SISTEM DIGITAL · sensor aktuator. Pemrograman MATLAB digunakan untuk membantu dalam pemecahan masalah. 7.1. Teori Himpunan Pada bab ini akan dijelaskan tentang teori himpunan dan

Bab 7 Sistem Digital Hal. 165

SISTEM DIGITAL

Abstrak

Pada bab ini akan dijelaskan tentang dasar sistem digital dan

logika Boolean serta penerapannya dalam penggabungan

sensor aktuator. Pemrograman MATLAB digunakan untuk

membantu dalam pemecahan masalah.

7.1. Teori Himpunan

Pada bab ini akan dijelaskan tentang teori himpunan dan dijelaskan

tentang notasi dasar pada teori himpunan. Umumnya himpunan

dinotasikan dengan huruf besar, seperti 𝑈, 𝑉, sedangkan anggota-

anggota dari himpuanan tersebut dinotasikan dengan huruf kecil, seperti

𝑢, 𝑣, sehingga dapat dituliskan bahwa 𝑢 ∈ 𝑈 dan 𝑣 ∈ 𝑉, yang bermakna

bahwa 𝑢 adalah anggota dari himpunan 𝑈 dan 𝑣 adalah anggota dari

himpunan 𝑉 , sedangkan 𝑣 ∉ 𝑈 memiliki arti bahwa 𝑣 bukan anggota

himpunan dari 𝑈. Lambang " = " merupakan lambang identity logical,

sehingga jika dituliskan bahwa 𝑢 = 𝑣 , maka anggota 𝑢 dan 𝑣 adalah

suatu objek yang sama. Contoh 𝑢 =1

2 dan 𝑣 =

2

4, maka dapat dituliskan

bahwa 𝑢 = 𝑣 , jika 𝑢 dan 𝑣 adalah objek yang berbeda, maka dapat

dituliskan 𝑢 ≠ 𝑣. Jika 𝑈 adalah sub himpunan dari 𝑉, maka dapat

dituliskan bahwa 𝑈 ⊂ 𝑉, sedangkan untuk notasi 𝑈 ⊆ 𝑉 bermakna

bahwa 𝑈 adalah sub himpunan dari V atau 𝑈 sama dengan 𝑉. Untuk

menuliskan bahwa anggota-anggota 𝑢1,𝑢2,𝑢3 adalah elemen dari

himpunan 𝑈, maka dapat dituliskan 𝑈 = 𝑢1,𝑢2,𝑢3 , dan jika ternyata

anggota 𝑢𝑖 adalah anggota-anggota dari himpunan bilangan bulat, maka

dapat dituliskan 𝑈 = 𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 .

Putra VGVTextboxDr. Valentinus Galih Vidia Putra, M.Sc.


Himpunan Union “∪ " diartikan sebagai kata “atau”, sebagai

contoh 𝐴 ∪ 𝐵, maka dapat diartikan bahwa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈

𝐵, yang dibahasakan yaitu 𝑥, dimana 𝑥 adalah anggota himpunan 𝐴 atau

𝑥 anggota himpunan 𝐵. Dapat dijelaskan dengan Gambar-1 sebagai

berikut

Gambar-1 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ∈ 𝑩

Irisan/ intersection dari himpunan dapat diartikan sebagai “dan”

sebagai contoh 𝐴 ∩ 𝐵, maka dapat diartikan bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 , yang dibahasakan yaitu 𝑥, dimana 𝑥 adalah

anggota himpunan 𝐴 dan 𝑥 anggota himpunan 𝐵. Dapat dijelaskan

dengan Gambar-2, sedangkan 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ menyatakan bahwa 𝐴 dan 𝐴

adalah disjoint (tidak selibat). Himpunan kosong ∅ adalahh himpunan

yang tidak memiliki elemen (Gambar-3).

Gambar-2 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝒙 ∈ 𝑩

Dapat diperlihatkan pada Gambar-3 suatu himpunan kosong.

Dinotasikan 𝐴 ∩ ∅ = ∅, sedangkan 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴


Gambar-3 Himpunan Kosong

Perbedaan dari dua buah himpunan dapat dinotasikan sebagai 𝐴 − 𝐵

yang dapat dirumuskan sebagai 𝐴 − 𝐵 = 𝐴⋂𝐵 dan dapat diperlihatkan

pada Gambar-4 di bawah

Gambar-4 Perbedaan dari Dua Himpunan

Munkres, J.R. (1999) dan Hilgert dan Karl, (2010) menyatakan

bahwa relasi ekivalensi , 𝐸 ⊆ 𝐸 ′ , merupakan bentuk relasi kelas

ekivalensi, yaitu dijelaskan sebagai berikut: jika diberikan suatu

subhimpunan dari himpunan 𝐴, yaitu 𝐸 dan 𝐸′, maka jika relas i

ekivalensi pada 𝐸 ditentukan dengan sebuah elemen titik 𝑥 dan relasi

ekivalensi pada 𝐸′ ditentukan dengan sebuah elemen titik 𝑥′ dan

andaikan 𝐸 ∩ 𝐸′ ≠ ∅, dan sebuah titik 𝑦 adalah titik pada irisan 𝐸 ∩ 𝐸′,

maka 𝐸 ⊆ 𝐸′ ( Gambar-5)


Gambar-5 Relasi Ekivalensi

Dari definisi jika 𝑦 ∼ 𝑥, notasi ∼ menunjukkan kelas ekivalensi,

dan 𝑦 ∼ 𝑥′ dengan menggunakan sifat simetri, maka dapat dituliskan

bahwa 𝑥 ∼ 𝑦 dan 𝑥′ ∼ 𝑦, sehingga 𝑥 ∼ 𝑥′ dan jika sebuah titik lain

𝑤 ∈ 𝐸, maka dapat dituliskan bahwa 𝑤 ∼ 𝑥 dan 𝑤 ∼ 𝑥′, sehingga dapat

disimpulkan bahwa 𝐸 ⊂ 𝐸′, dari sifat kesimetrian maka dapat

disimpukan juga bahwa 𝐸′ ⊂ 𝐸, atau dapat dituliskan bahwa 𝐸 = 𝐸′,

sehingga dapat dituliskan bahwa 𝐸′ ⊆ 𝐸 dan sebaliknya.

7.2. Himpunan Terbuka

Jika terdapat suatu ruang Euclidean dimensi-n, sebagai berikut

𝐸𝑛 = 𝑦1, 𝑦2 , …𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ

Dengan 𝐸1 adalah garis nyata ( real line) dan 𝐸2 adalah ruang Euclidean

(ruang koordinat nyata yang terdefinisi pada himpunan nyata ℝ)

dimensi-2 dan 𝐸3 adalah ruang Euclidean dimensi-3. Suatu norm atau

besar dari 𝑦 = 𝑦1, 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ di 𝐸𝑛 adalah

𝑦 = 𝑦12 + 𝑦2

2 + ⋯ + 𝑦𝑛2

Jarak antara dua buah titik 𝑦 = 𝑦1, 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ dan 𝑧 = 𝑧1,𝑧2, … 𝑧𝑛 𝑧𝑖 ∈ ℝ di 𝐸𝑛 adalah

𝑟 = 𝑦 − 𝑧 = 𝑦1 − 𝑧1 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 − 𝑧𝑛

2

Dengan sifat 𝑛𝑜𝑟𝑚 adalah 𝑟 ≥ 0

𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧 dengan 𝑦,𝑧 ∈ 𝐸𝑛


𝑦 − 𝑧 ≤ 𝑦 − 𝑤 + 𝑧 − 𝑤 dengan 𝑦,𝑧, 𝑤 ∈ 𝐸𝑛

Himpunan terbuka / open set didefinisikan sebagai kumpulan

anggota tanpa daerah batasnya, sebagai contoh adalah suatu daerah

padat tanpa daerah batasnya, dan jika daerah batasnya dimasukkan,

maka akan didapatkan himpunan tertutup (closed set). Contoh jika

𝑥 ∈ 𝐸𝑛 (𝐸𝑛 terbuka dan terdapat ∅ terbuka), bola terbuka dengan pusat

𝑎 dan jejari 𝑟, adalah sub himpunan dari bola terbuka 𝐵 𝑎,𝑟 =

𝑥 ∈ 𝐸𝑛 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 memenuhi syarat sebagai suatu himpunan

terbuka jika 𝑥 ∈ 𝐵 𝑎, 𝑟 dan juga 𝑠 = 𝑟 − 𝑥 − 𝑎 dengan 𝐵 𝑎, 𝑠 ⊂

𝐵 𝑎, 𝑟 .

7.3. Operasi Himpunan

Jika terdapat tiga buah himpunan, yaitu 𝐴, 𝐵,𝐶 dan terdapat suatu

operasi himpunan sebagai berikut 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) serta (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶, maka

dapat diperlihatkan pada Gambar-6 hasil operasi himpunan tersebut

Gambar-6 Operasi Himpunan

Jika sebuah objek 𝑎 adalah sebuah anggota/ elemen dari himpunan

𝐴 = 𝑎 , 𝑏, 𝑐 dan 𝑅 = 𝑎 , 𝑆 = 𝑏 , 𝑇 = 𝑐 adalah sub himpunan dari

himpunan 𝐴, jika 𝐴 adalah himpunan dari semua sub himpunan

℘ 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , maka pernyataan di atas dapat dituliskan.

𝑎 ∈ 𝐴, {𝑎} ⊂ 𝐴 atau 𝑅 ⊂ 𝐴, 𝑎 ∈ ℘(𝐴)


7.4. Aljabar Boolean

Matematikawan yang menghubungan antara matematika dengan suatu

bilangan biner adalah George Boole. Perkembangan dari logika aljabar

disebut sebagai aljabar boolean. Pada aljabar boolean terdapat suatu

variabel yang bernilai 1 atau 0 dapat pula disebut benar atau

salah.terdapat beberapa gerbang logika yaitu seperti AND, OR, NOT

dsb, dengan simbol input dan output seperti pada Gambar-7 di bawah.

Pada analisa gerbang logika umum digunakan software MATLAb untuk

menganalisa suatu gerbang logika pada rangkaian listrik seperti pada

Gambar-7 di bawah

Gambar-7 Gerbang Logika

Dapat diperlihatkan hubungan rumusan matematik pada Gambar-8 di

bawah untuk logika OR dan AND

Gambar-8 Logika OR dan logika AND

Dapat diperlihatkan aturan aljabar Boolean pada Tabel-1 di bawah


Tabel-1 Aljabar Boolean

Terdapat sebuah aturan lain selain yang diperlihatkan pada Tabel-1 di

atas, yaitu sebagai berikut

𝑋 + 𝑋 . 𝑌 = 𝑋 + 𝑌 . 𝑋 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑌

Pada Gambar-9 dapat diperlihatkan symbol beberapa gerbang logika

selain AND, OR dan NOT


Gambar-9 Gerbang Logika pada Rangkaian IC

Dapat diperlihatkan suatu gerbang logika menggunakan MATLAB

menggunakan menu seperti pada Gambar-10 di bawah

Gambar-10 Menu Gerbang Logika

Contoh penggunaan simulink dengan menggunakan MATLAB pada

gerbang logika dapat diperlihatkan pada Gambar-11 di bawah


Gambar-11 Gerbang Logika pada Rangkaian IC dengan MATLAB

Dapat diperlihatkan gabungan untuk gerbang logika seperti pada

Gambar-12 di bawah

Gambar-12 Gabungan Gerbang Logika


pada gerbang logika XOR atau disebut sebagai exclusive OR yang

memiliki simbol dan tabel kebenaran (truth table) seperti pada

Gambar-13 di bawah

Gambar-13 Gerbang XOR

Dapat diperlihatkan rangkaian elektronik AND, OR, NOT, NAND dan

NOR

Gambar-14 Rangkaian Elektronika IC

7.5. Latihan Soal-Jawab


1. Buktikan bahwa 𝐴. 𝐵 + 𝐴∗. 𝐵 + 𝐴. 𝐵∗ + 𝐴∗. 𝐵∗ =

𝐴. 𝐵 .0

Jawab

𝐴. 𝐵 + 𝐴∗. 𝐵 + 𝐴. 𝐵∗ + 𝐴∗.𝐵∗ = 𝐴. (𝐵 + 𝐵∗ + 𝐴∗. (𝐵 + 𝐵∗

= 𝐴 + 𝐴∗ . 𝐵 + 𝐵∗ = 1.1 = 𝐴 + 1 . 𝐵 + 1

= 𝐴. 𝐵 + 1 = 𝐴. 𝐵 .1 = 𝐴. 𝐵 .0

2. Buktikan bahwa 𝐴. 𝐵 + 𝐶 . 𝐴. 𝐵 + 𝐷 = 𝐴. 𝐵 . 𝐶. 𝐷

Jawab

𝐴.𝐵 + 𝐶 . 𝐴.𝐵 + 𝐷 = 𝐴.𝐵 + 𝐶 + 𝐴.𝐵 + 𝐷

= 𝐴. 𝐵 . 𝐶. 𝐷

3. Buatlah lebih sederhana suatu fungsi 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang

diberikan oleh rumusan berikut di bawah!

Jawab

𝐴∗. 𝐵∗. 𝐷 + 𝐴∗. 𝐵. 𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 + 𝐴. 𝐶. 𝐷

= 𝐴∗ .𝐷 𝐵∗ + 𝐵 + 𝐵. 𝐶 .𝐷 + 𝐴. 𝐶 . 𝐷

= 𝐴∗ .𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 + 𝐴. 𝐶. 𝐷 = 𝐴∗ + 𝐴. 𝐶 .𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷

= 𝐴∗ + 𝐶 .𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 = 𝐴∗ .𝐷 + 𝐶. 𝐷 + 𝐵.𝐶 . 𝐷

= 𝐴∗ .𝐷 + 1 + 𝐵 .𝐶. 𝐷 = 𝐴∗. 𝐷 + 𝐶 . 𝐷 = 𝐴∗ + 𝐶 .𝐷

4. Jabarkanlah bentuk lain dari suatu fungsi berikut !

𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑍 + 𝑌. 𝑍

Jawab


𝑓 𝑋,𝑌, 𝑍 = 𝑋. 𝑌 + 𝑋. 𝑍 + 𝑌. 𝑍 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐷 = 𝐴 . 𝐷

= 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝑋. 𝑌 . 𝑋. 𝑍 . (𝑌.𝑍 )

= 𝑋 + 𝑌 . ( 𝑋 + 𝑍 . 𝑌 + 𝑍

5. Tunjukkan dengan menggunakan teori himpunan tentang aturan

De Morgan serta hukum distributif !

Jawab

Aturan De Morgan dapat dibuktikan sebagai berikut

𝐵 + 𝐶 = 𝐵 . 𝐶

Maka dengan menggunakan teori himpunan didapatkan bahwa 𝐵 + 𝐶 =

𝐵 . 𝐶 , yaitu

𝐴 − 𝐵⋃𝐶 = (𝐴 − 𝐵)⋂(𝐴 − 𝐶)

Hukum distributif dapat dibuktikan sebagai berikut

𝐴. 𝐵 + 𝐶 = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶

Dapat diperlihatkan pada gambar di bawah

𝐴⋂ 𝐵⋃𝐶 = 𝐴⋂𝐵 ⋃ 𝐴⋂𝐶

Hasil yang sama didapatkan untuk

𝐴⋃ 𝐵⋂𝐶 = 𝐴⋃𝐵 ⋂ 𝐴⋃𝐶

6. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa bentuk rangkaian

seperti pada gambar di bawah adalah gerbang logika XOR dan

tunjukkan rumus rangkaian tersebut !


Dapat dituliskan dengan tabel kebenaran sebagai berikut

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Hasil dari tabel kebenaran menunjukkan bahwa rangkaian adalah XOR

dengan rumusan 𝑍 = 𝑋⨁𝑌 = 𝑋 + 𝑌 . 𝑋. 𝑌 = 𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑋

Dapat dijabarkan sebagai berikut rumus logika X-OR

𝑍 = 𝑋⨁𝑌 = 𝑋. 𝑌 + 𝑌.𝑋 = 𝑋. 𝑌 + 𝑌. 𝑋 + 𝑋. 𝑋 + 𝑌. 𝑌

= 𝑋 𝑌 + 𝑋 + 𝑌 𝑌 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑌 . 𝑌 + 𝑋

= 𝑋 + 𝑌 . 𝑋. 𝑌

Referensi

[1] Halliday, D., Resnick, R., Walker, Fundamenthal of Physics-

Extended, 5th, John Wiley & Sons, New York 1997.

[2] Mary L. Boas, Mathematical Methods in The Physical Sciences,

John Wiley and Sons Inc, Canada, 1983.

[3] Putra, V.G.V,, Endah dan Ngadiono, Pengantar Listrik Magnet dan

Terapannya, Penerbit CV. Mulia Jaya, Yogyakarta, 2016.


[4] Putra, V.G.V, Pengantar Eksperimen Fisika, Penerbit CV Mulia

Jaya, Yogyakarta, 2015.

[5] Suarga, Fisika Komputasi Solusi Problema Fisika dengan Matlab,

Penerbit Andi, Yogyakarta, 2005.

Documents

SISTEM DIGITAL · sensor aktuator. Pemrograman MATLAB digunakan untuk membantu dalam pemecahan masalah. 7.1. Teori Himpunan Pada bab ini akan dijelaskan tentang teori himpunan dan