Sistem Kontrol Pada Pendulum Terbalik

7/27/2019 Sistem Kontrol Pada Pendulum Terbalik

1/30

1

SISTEM KONTROL PADA PENDULUM

TERBALIK

TK4112 Kontrol Modern

Oleh:

Reza Sakaridani 13309069

Ashri Rahmatia Salma 13309019

PROGRAM STUDI TEKNIK FISIKA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2012


2/30

2

SISTEM KONTROL PADA PENDULUM TERBALIK

Sistem kontrol pada pendulum terbalik dilakukan agar pendulum terbalik tersebut dapat tetap

berdiri tegak apabila diberi gaya dengan besaran gaya yang bervariasi. Pada kehidupan sehari-hari,

sistem pendulum terbalik diterapkan pada peluncuran roket atau pada kendaraan roda dua.

Gambar 1. Pendulum terbalik

Gambar di atas merupakan gambaran sistempendulum terbalik. Dengan x merupakan posisi cart,

merupakan sudut pendulum dengan cartdan F merupakan gaya yang diberikan pada pendulum dan

cart, maka dapat dituliskan persamaan

Dengan M merupakan massa cart, m merupakan massa pendulum, l merupakan panang

pendulum, g merupakan koefisien gravitasi, dan f merupakan koefisien gaya gesek pada antara

pendulum dengan cart.

Berikut ini merupakan diagram blok dari sistemkontrol pendulum yang merupakan sistem kalang

tertutup denganfeedbackdari posisi cartdan sudut pendulum.


3/30

3

Gambar 2.Model sistem kontrol pendulum denganfeedbackyang berasal dari posisi cartdan sudut

pendulum

Dengan menggunakan state variables berikut,

Dengan menggunakan program Matlab, dengan nilai parameter berupa

M = 2.4, m = 0.23, l = 0.36, f = 0.1, g = 9.8

maka dapat diperoleh bentuk persamaan state space sebagai berikut.

= 0 1 0 00 0 0 . 9 4 0 . 4 1 60 0 0 10 0 29.861 0.304

+ 00.41601.15


4/30

4

= 1 0 0 0

Dengan menggunakan program Matlab, diperoleh transfer function berupa

= 0.416 0.3519 11.34 + 0.304 29.86

Pengujian Stabilitas

Matrix A : 0 1 0 00 0 0 . 9 4 0 . 4 1 60 0 0 10 0 29.861 0.304Pole yang dimiliki oleh sistem adalah :

0 0 5.3146 -5.6186

Terdapat satu buah pole yang bernilai positif yang artinya terletak di sebelah kanan sumbu

imajiner, sehingga dapat disimpulkan sistem pendulum terbalik ini tidak stabil.

Pengujian Controlability

Matrix controlability didapatkan dengan perintah:

matrix_controlability = ctrb(system_ss)

Matrix : 0 0.4160 0.4784 1.22640.4160 0.4784 1.2264 14.65830 1.1500 0.3496 34.44641.1500 0.3496 34.4464 20.9111 Dengan menggunakan cara determinan,

D = 0 0.4160 0.4784 1.22640.4160 0.4784 1.2264 14.65830 1.1500 0.3496 34.44641.1500 0.3496 34.4464 20.9111 = 170.1030


5/30

5

Dengan menggunakan cara rank,dengan perintah:

rank(matrix_controlability)

Rank = 4

Pengujian di atas menunjukkan bahwa sistem ini complete state controllable karena determinan

matriks controllabilitybernilai tidak sama dengan 0 dan matriks ini bersifat full rank.

Pengujian Observability:

Matrix observability dicari dengan perintah matlab:

Matrix_observability = Obsv(system_ss)

Matrix: 1 0 0 00 1 0 00 0 0 . 9 4 0 . 4 1 60 0 12.42 1.0665Dengan menggunakan cara determinan,

D =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 . 9 4 0 . 4 1 60 0 12.42 1.0665 = 4.1651

Dengan menggunakan cara rank,perintahnya yaitu:

Rank(matrix_observability)

Rank = 4

Pengujian di atas menunjukkan bahwa sistem ini complete state observable karena determinan

matriks observabilitybernilai tidak sama dengan 0 dan matriks ini bersifat full rank.

Maka dapat disimpulkan bahwa sistem kontrol kalang tertutup pada pendulum terbalik bersifat

controllable dan observable, tetapi tidak stabil.Agar sistem ini stabil, diperlukan suatu manipulasi

misalnya penempatan pole.


6/30

6

Pole Placement

Dengan mengubah pole sebelumnya menjadi pole yang diinginkan, yaitu

1 = -7 2 = -6 3 = -2+3.9j 4 = -2-3.9j

Dari nilai-nilai di atas, didapatkan matriks J, yaitu:

J = [-7 -6 -2+3.9j -20-3.9j]

Diperoleh nilai matriks state feedback gain K dengan menggunakan program Matlab, yaitu:

K = acker(A,B,J)

K = [0 0 -54.2027 -9.4922]

Sehingga diperoleh persamaan keadaan baru, yaitu

u = -Kx = [0 0 54.2027 9.4922]

=

+

=

+

= Melihat Kestabilan Lyapunov dari Sistem

Dengan menggunakan pole yang diperoleh dari perhitungan pole placement di atas, didapatkan

nilai matriks:

Kp = [-115.1803 -47.5104 -184.5786 -34.3133]

P =[ 0.7813 -0.5000 -0.4202 -0.2519;

-0.5000 8.0135 0.2519 -10.4850;

-0.4202 0.2519 0.4349 -0.5000;

-0.2519 -10.4850 -0.5000 17.5517]


7/30

7

Dengan menggunakan fungsi Matlab :

clc;

clear;

%kondisi system

A = [0 1 0 0; 0 0 -0.94 0.416; 0 0 0 1; 0 0 29.861 -0.304];

B = [0;0.416;0;-1.15];

C = [1 0 0 0];

D = [];

system_ss = ss(A,B,C,D);

s1 = -2+3.9j;

s2= -2-3.9j;

s3= -8+2j;

s4= -8-2j;

J =[s1 s2 s3 s4];

%lihat respon

Kp = acker(A,B,J)

sys = ss(A-B*Kp, eye(4), eye(4), eye(4));

t = 0:0.01:4;

x = initial(sys,[1;0;0;0],t);

x1 = [1 0 0 0]*x';

x2 = [0 1 0 0]*x';

x3 = [0 0 1 0]*x';

x4 = [0 0 0 1]*x';

subplot(4,1,1);plot(t,x1), grid

title('Response to Initial Condition')

ylabel('State x1')


ylabel('State x2')


ylabel('State x3')


xlabel('t(sec)')

ylabel('State x4')

%lihat matrix P lyapunov

P = lyap(A-B*Kp,eye(4))


8/30

8

Diperoleh grafik input x terhadap waktu t berupa

Dari hasil simulasi, didapatkan bahwa kestabilan tiap state telah stabil. Hal ini juga didukung

dengan didapatkannya matrix P yang unikyaitunilai P seluruhnyalebihdarinol, sehingga dapat dikatakan

bahwa sistem yang telah memiliki full state feedback telah stabil.

Respon sistem untuk Tracking input berupa step, ramp, dan sinusoidal

Untuk melakukan pengujian respon sistem untuk tracking terhadap sinyal input step, ramp, dan

sinusoidal pertama-tama dilakukan pengujian kekontrolan sistem. Sistem ini merupakan sistem yang

controllable, seperti yang dijelaskan pada bab pengujian controlability dan observability. Kemudian,

dihitung eigen dari sistem untuk melihat komponen keadaan inisial, apakah memiliki komponen sinyal

step, ramp, atau sinusoidal.

Eigen dari sistem adalah : 005.31465.6186

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

Response to Initial Condition

State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

0

5

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

0

5

t(sec)

State

x4


9/30

9

Dari nilai eigen itu, didapatkan eigen 0 dan eigen bilangan real. Jadi, komponen initial condition

yang dimiliki oleh sistem pada awalnya adalah sinyal step dan ramp.

Tracking input step

Digunakan simulink untuk melihat respon sistem terhadap sinyal step. Terdapat sistem

penggenerasi sinyal dan hasil sinyal yang digenerasi akan dibandingkan dengan sinyal asli dari sistem.

Skema simulink di bawah ini digunakan untuk simulasi semua sinyal mode / jenis sinyal referensi.

Simulink kami pilih untuk menjalankan simulasi karena lebih simple dalam pemrogramannya dan

menunjukkan hasil yang sama dengan pemrograman biasa pada matlab. Pemilihan Initial Condition

untuk menghaislkan sinyal step dilakukan secara metode empiris. Metode ini kami pilih untuk gunakan

karena perhitungan secara konvensional cukup rumit untuk sistem berorde 4. Initial condition yang

digunakan adalah: [1 0 0 0]


10/30

10

Hasil respon sistem terhadap sinyal step:

Hasil respon sistem dan controller terhadap sinyal step:

Tracking input ramp

Skema yang digunakan pada simulink untuk menghasilkan sinyal ramp sama dengan skema yang

digunakan pada sinyal step di atas. Yang membedakan adalah initial condition yang digunakan. Metode

pencarian initial condition juga sama, dilakukan dengan metode empiris dan didapatkan bahwa initial

condition yang menghasilkan sinyal ramp adalah: [0 1 0 0]


11/30

11

Hasil respon sistem dan controller terhadap sinyal ramp:

Tracking input sinusoidal

Untuk tracking input sinusoidal, tidak ditemukan kondisi sinyal sinusoidal pada nilai eigen A.

Komponen mode yang dimaksud adalah komponen bernilai imajiner saja pada eigen sistem. Jadi, untuk

memunculkan sinyal sinusoidal, kami melakukan proses augmenting sistem dengan suatu sinyal

sinusoidal yang memiliki persamaan laplace . Hasil penggabungan antara sistem pada plant dengan


12/30

12

sinyal sinusoidal kami namakan persamaan kompensator pada pemrograman di bawah ini.

Pemrograman matlabnya adalah sebagai berikut:

clc;clear;

%kondisi system

A = [0 1 0 0; 0 0 -0.94 0.416; 0 0 0 1; 0 0 29.861 -0.304];

B = [0;0.416;0;-1.15];

C = [1 0 0 0];

D = [];


%lihat fungsi transfer

system_tf = tf(system_ss);

num = [0.416 -0.3519 -11.34];

den = [1 0.304 -29.86 0 0];

%fungsi transfer referensi

num1 = 1;

den1 = [1 0 1];

sin_tf = tf(num1,den1);

[a,b,c,d] = tf2ss(num1,den1);

%kompensator

t=0:0.1:100;

AA=[A B*c; [0 0 0 0; 0 0 0 0] a];

BB=[0;0;0;0;b];

CC=eye(6);

DD=0;xr=[0;0;0;0;0;1];

sig=ss(AA,BB,CC,DD);

[y,t,x]=initial(sig,xr,t);

y1=[0 0 0 0 0 1]*y';

plot(t,y1)

%pole placement

s1 = -2+3.9j;

s2= -2-3.9j;

s3= -7+2j;

s4= -7-2j;

s5= -6+j;

s6= -6-j;J =[s1 s2 s3 s4 s5 s6];

K = acker(AA,BB,J)

a1=aa-bb*K

b1=bb*K(1)

c1=cc

d1=dd


13/30

13

Respon sistem untuk tracking terhadap input sinusoidal:

Respon sistem dan sinyal controller untuk tracking terhadap input sinusoidal:

Dari ketiga uji tracking di atas, dilakukan dengan menggunakan sinyal referensi yang sama dengan

sinyal sistem. Hal ini perlu dilakukan agar mode yang dimilki oleh referensi sama dengan sistem. Jika

mode yang dimiliki referensi berbeda dengan sistem, akan didapatkan offset pada saat simulasi. Oleh

karena itu, penyamaan mode antara sistem dan referensi perlu dilakukan dalam suatu sistem tracking.


14/30

14

Jika suatu sistem telah memiliki komponen mode yang diperlukan untuk menghasilkan sinyal

(step, ramp, sinusoid, atau sinyal jenis lain) maka kita hanya perlu menentukan initial condition yang

mampu menghasilkan sinyal yang kita inginkan tersebut. Jika mode yang diperlukan belum dimililki oleh

referensi, sinyal referensi perlu dikompensasikan dengan sinyal yang memiliki mode diinginkan. Setelah

sinyal referensi dikompensasi, sinyal sistem perlu disamakan dengan mode sinyal referensi.

Menentukan Parameter PID sebagai kontroler

PID merupakan controller yang cukup konvensional digunakan pada saat ini. Dalam menentukan

parameter PID digunakan persamaan:

Persamaan di atas merupakan bentuk standar. Dapat diamati bahwa K1 = Kp /Ti , K2 = Kp , K3 =

Kp*Td. Untuk menentukan besaran K1, K2, dan K3 digunakan persamaan:

Dimana, merupakan bentuk normalisasi dari K1, K2, dan K3. Digunakan suatu persamaan baruuntuk menunjukkan hubungan antara :dengan Ka. Persamaannya adalah

Untuk Ka sendiri, didapatkan dari augmented system equation. Untuk suatu sistem dengan orde 2,

Augmented system memiliki matrix sebagai berikut:


15/30

15

Metode Full state feedback dipergunakan untuk menentukan Ka dengan menggunakan titik pole

diinginkan yang sama dengan sebelumnya. Program matlab yang digunakan untuk menentukan

parameter PID adalah:

clc;clear;%kondisi sistemA = [0 1 0 0; 0 0 -0.94 0.416; 0 0 0 1; 0 0 29.861 -0.304];B = [0;0.416;0;-1.15];C = [1 0 0 0];D = [];SYS = ss(A,B,C,D);

Mp=0.2;ts=5;ln=log(Mp);ksi=sqrt(ln*ln/(pi*pi+ln*ln));wn=4/(ksi*ts);

s1= -ksi*wn+i*wn*sqrt(1-ksi^2);s2= -ksi*wn-i*wn*sqrt(1-ksi^2);s3= -9*ksi*wn;

s4= -9*ksi*wn-1;s5= -9*ksi*wn-2;J =[s1 s2 s3 s4 s5];

%augmented systemAa = [A B; 0 0 0 0 0];Ba = [0; 0; 0; 0; 1];

%Menentukan K1,K2,K3Ka = acker(Aa,Ba,J);sigma = [C 0; C*A C*B; C*A*A C*A*B];Khat = Ka*pinv(sigma)K3hat = Khat(1,3);K3 = K3hat/(1+(K3hat*C*B));K =[Khat(1,1)*(1-K3*C*B);Khat(1,2)*(1-K3*C*B);K3];

display('penentuan parameter PID:')Kp = K(2,1)Ki = K(1,1)Kd = K(3,1)

Parameter yang digunakan (Kp, Ki , Kd) adalah:

Kp = -126.5393 Ki = -147.4423 Kd = 1065.3

Respon sistem dengan menggunakan parameter di atas ternyata tidak menghasilkan respon yang

stabil. Meskipun dilakukan pendekatan parameter PID secara empiris, namun tetap tidak dapat


16/30

16

dihasilkan reson yang stabil. Oleh karena itu diasumsikan bahwa sistem ini memang tidak cocok

menggunakan controller PID. Sistem ini tidak cocok menggunakan controller PID karena kondisi

pendulum terbaik yang memang cenderung tidak stabil, sehingga tidak cocok bila menggunakan

controller PID

Respon sistem dengan controller PID ini dengan parameter Kp, Ki, Kd adalah:

Perancangan Kontrol LQR

Untuk menyempurnakan sinyal kontrol yang sebelumnya, kami menggunakan pengontrol LQR.

Pada suatu sistem pengontrolan, energi merupakan parameter penting terjadinya suatu proses atau

tidak. Pengontrol LQR mampu mengoptimalkan penggunaan energi suatu sistem.

Pada perancangan kontrol LQR ini, digunakan nilai Q = 0.0001, 0.01, 1, 100, 10000 untuk setiap

nilai R = 0.0001, 0.01, 1, 100, dan 10000. Dengan menggunakan fungsi Matlab di bawah ini,

clc;


17/30

17

clear;

%kondisi sistem

A = [0 1 0 0; 0 0 -0.94 0.416; 0 0 0 1; 0 0 29.861 -0.304];

B = [0;0.416;0;-1.15];

C = [1 0 0 0];D = [];

q = 10000;Q = [q 0 0 0; 0 q 0 0; 0 0 q 0; 0 0 0 q];R = 0.0001;

N = [];

SYS = ss(A,B,C,D);

[K,S,e] = lqr(SYS,Q,R,N)

sys = ss(A-B*K, eye(4), eye(4), eye(4));

t = 0:0.01:4;

x = initial(sys,[1;0;0;0],t);

x1 = [1 0 0 0]*x';x2 = [0 1 0 0]*x';

x3 = [0 0 1 0]*x';x4 = [0 0 0 1]*x';


title('Response to Initial Condition')ylabel('State x1')

subplot(4,1,2);plot(t,x2), gridylabel('State x2')


ylabel('State x3')


xlabel('t(sec)')

ylabel('State x4')

diperoleh respon sistem untuk setiap nilai Q dan nilai R yang dimasukkan sesuai yang tertera pada

penjelasan di atas.

Q = 0.0001, R = 0.0001 Q = 0.0001, R = 0.001

K = -1.0000 -2.8424 -60.8741 -11.1539 K = -0.1000 -0.7661 -54.4126 -9.7625


18/30

18

Q = 0.0001, R = 1 Q = 0.0001, R = 100

K = 0.0100 -0.2330 -52.6972 -9.4030 K = -0.0010 -0.0729 -52.1726 -9.2932

Q = 0.0001, R = 10000 Q = 0.01, R = 0.0001

K = -0.0001 -0.0230 -52.0081 -9.2587 K = -10.0000 -16.3650 -108.7138 -23.1095

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2Response to Initial Condition

Sta

te

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1

1.5Response to Initial Condition

S

tate

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-3

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.01

0

0.01

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.95

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.02

0

0.02

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-4

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1x 10

-3

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.995

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2x 10

-3

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-5

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2x 10

-4

t(sec)

State

x4


19/30

19

Q = 0.01, R = 0.01 Q = 0.01, R = 1

K = -1.0000 -2.8424 -60.8741 -11.1539 K = -0.1000 -0.7661 -54.4126 -9.7625

Q = 0.01, R = 100 Q = 0.01, R = 10000

K = -0.0100 -0.2330 -52.6972 -9.4030 K = -0.0010 -0.0729 -52.1726 -9.2932

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.9995

1


S

tate

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2x 10

-4

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-6

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1x 10

-5

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-3

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.01

0

0.01

t(sec)

State

x4


20/30

20

Q = 1, R = 0.0001 Q = 1, R = 0.01

K = -100.0000 -151.6288 -666.5591 -166.3249 K = -10.0000 -16.3650 -108.7138 -23.1095

Q = 1, R = 1 Q = 1, R = 100

K = -1.0000 -2.8424 -60.8741 -11.1539 K = -0.1000 -0.7661 -54.4126 -9.7625

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.95

1


S

tate

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.02

0

0.02

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-4

S

tate

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1x 10

-3

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.995

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2x 10

-3

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-5

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2x 10

-4

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

t(sec)

State

x4


21/30

21

Q = 1, R = 10000 Q =100, R = 0.0001

K = -0.0100 -0.2330 -52.6972 -9.4030 K = -1.0000 -1.5083 -6.3127 -1.6140

Q = 100, R = 0.01 Q = 100, R = 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


S

tate

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-3

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.01

0

0.01

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.95

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.02

0

0.02

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-4

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1x 10

-3

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

t(sec)

State

x4


22/30

22

K = -100.0000 -151.6288 -666.5591 -166.3249 K = -10.0000 -16.3650 -108.7138 -23.1095

Q = 100, R = 100 Q = 100, R = 10000

K = -1.0000 -2.8424 -60.8741 -11.1539 K = -0.1000 -0.7661 -54.4126 -9.7625

Q = 10000, R = 0.0001 Q = 10000, R = 0.01

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.5

0

0.5

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0x 10

-3

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.01

0

0.01

t(sec)

State

x4


23/30

23

K = -10000 -15076 -62783 -16093 K = -1000 -1508.3 -6312.7 -1614

Q = 10000, R = 1 Q = 10000, R = 100

K = -100.0000 -151.6288 -666.5591 -166.3249 K = -10.0000 -16.3650 -108.7138 -23.1095

Q = 10000, R = 10000

K = -1.0000 -2.8424 -60.8741 -11.1539

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

t(sec)

State

x4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

t(sec)

State

x4


24/30

24

Dari seluruh grafik respons di atas, dapat terlihat bagaimana respons suatu sistem untuk setiap

nilai Q dan R yang berbeda. Untuk nilai Q yang sama, pertambahan nilai R mengakibatkan sistem

mencapai steady state dalam waktu tempuh yang lebih lama. Sedangkan untuk nilai R yang sama,

pertambahan nilai Q mengakibatkan osilasi sistem berkurang. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa

sistem pengontrol memiliki respons paling baik saat nilai Q = 10000 dan R =0.0001, sehingga diperoleh

nilai

K = (-1 -1.5076 -6.2783 -1.6093) * 10-4

Nilai Q menggambarkan nilai cost state, sedangkan nilai R menggambarkan nilai cost input. Maka

dapat disimpulkan bahwa sistem ini memiliki respons yang baik saat cost state bernilai paling besar dan

input state bernilai paling kecil.

Perancangan State Observer

Pada perancangan sistem kontrol menggunakan pendekatan pole placement, diasumsikan

variabel keadaan dapat digunakan sebagaifeedback. Namun pada kenyataannya, tidak seluruh variabel

keadaan dapat digunakan sebagai feedback sehingga variabel-variabel keadaan yang tidak dapat

digunakan tersebut perlu diestimasi agar sistem kontrol yang dirancang dapat berfungsi dengan baik.

State observer mengestimasi variabel keadaan berdasarkan nilai perhitungan output dan variabel

kontrol.

Diberikan bentuk state space suatu plant

=

+

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1


State

x1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

State

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

State

x3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

t(sec)

State

x4


25/30

25

= + dan bentuk state space suatu observer

= + + =dengan nilai error = = =

Dapat disimpulkan dari turunan persamaan di atas,bahwa nilai error dipengaruhi oleh nilai Ke

dalam perancangan state observer ini. Berikut ini merupakan diagram blok dari suatu sistem yang

menggunakan state observer.

Dengan menggunakan program Matlab di bawah ini,

clc;

clear;

%kondisi systemA = [0 1 0 0; 0 0 -0.94 0.416; 0 0 0 1; 0 0 29.861 -0.304];

B = [0;0.416;0;-1.15];

C = [1 0 0 0];D = [0];


ob = obsv(A,C);[num_p,den_p]=ss2tf(A,B,C,D);

plant = tf(num_p,den_p)

s1 = -4+3.9j;

s2= -4-3.9j;

s3= -10+2j;

s4= -10-2j;

J =[s1 s2 s3 s4];

Kp = acker(A,B,J)

J_ob = [s1 0 0 0; 0 s2 0 0; 0 0 s3 0; 0 0 0 s4];

poly(J);Phi = polyvalm(poly(J_ob),A);

control


26/30

26

Ke = Phi*(inv(ob))*[0;0;0;1]

A_baru = A-Ke*C-B*Kp;

B_baru = Ke;

C_baru = Kp;

D_baru = 0;

[num_c,den_c] = ss2tf(A_baru,B_baru,C_baru,D_baru);control = tf(num_c,den_c)

T=(plant*control)/(1+(plant*control))

S=1/(1+(plant*control))L=control*plant

figure(1)

bode(T)

figure(2)

bode(S)figure(3)

bode(L)

Dengan menggunakan program matlab di atas, maka diperoleh nilai Kp dan Ke berturut-turut:

Kp = -286.1996 -119.5181 -349.6237 -67.3179

Ke = 1.0e+003 * ( 0.0277 0.3167 1.7621 9.2389)

dan diperoleh pula fungsi transfer untuk pengontrol, yaitu:

-1.284e006 s^3 - 7.326e006 s^2 - 8.047e005 s - 9.29e005

-----------------------------------------------------------------------

s^4 + 55.7 s^3 + 1387 s^2 + 5.547e005 s + 2.644e006

sehingga diperoleh pula fungsi transfer dan grafik L

-1.582e-008 s^6 - 5.341e005 s^5 - 2.596e006 s^4 + 1.68e007 s^3 + 8.298e007 s^2 + 9.453e006 s + 1.054e007

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

s^8 + 56 s^7 + 1374 s^6 + 5.535e005 s^5 + 2.771e006 s^4 - 1.576e007 s^3- 7.894e007 s^2


27/30

27

Grafik L seharusnya akan menuju ke nilai negatif tak hingga, dan grafik L pada sistem ini pun

menuju ke arah nilai negatif tak hingga. Kecuraman pada grafik L ini dipengaruhi oleh nilai gain

feedback.

Berikut ini merupakan fungsi transfer dan grafik untuk S.

s^8 + 56 s^7 + 1374 s^6 + 5.535e005 s^5 + 2.771e006 s^4 - 1.576e007 s^3 - 7.894e007 s^2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

s^8 + 56 s^7 + 1374 s^6 + 1.944e004 s^5 + 1.752e005 s^4 + 1.042e006 s^3 + 4.037e006 s^2 + 9.453e006 s + 1.054e007

-150

-100

-50

0

50

100

Magnitude(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-360

-270

-180

-90

0

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


28/30

28

Nilai S merupakan noise rejection sehingga grafik S seharusnya menuju ke arah nol. Grafik S pada

sistem ini sudah menuju ke arah nol walaupun sempat berosilasi. Hal ini menunjukkan kecepatan sistem

mengurangi noise, sehingga noise menjadi 0.

Di bawah ini merupakan fungsi transfer dan grafik T.

-1.582e-008 s^14 - 5.341e005 s^13 - 3.25e007 s^12 - 8.626e008 s^11 - 2.981e011 s^10 - 2.889e012 s^9 + 1.064e013 s^8 +

1.756e014 s^7 + 1.752e014 s^6 - 2.602e015 s^5 - 6.67e015 s^4 - 9.123e014 s^3 - 8.317e014 s^2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

s^16 + 112 s^15 + 5885 s^14 + 7.269e005 s^13 + 3.692e007 s^12 + 9.377e008 s^11 + 1.391e010 s^10 + 1.264e011 s^9 +

6.53e011 s^8 + 8.378e011 s^7 - 1.381e013 s^6 - 1.138e014 s^5 - 4.385e014 s^4 - 9.123e014 s^3 - 8.317e014 s^2

-40

-20

0

20

40

60

Magnitude(dB)

10-1

100

101

102

103

0

180

360

540

720

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


29/30

29

Nilai T menggambarkan kemampuan tracking suatu sistem terhadap disturbance sehingga grafik

bode T seharusnya menuju ke nilai negatif tak hingga. Grafik bode T pada sistem ini pun menuju ke arah

negatif tak hingga. Jadi, error yang dihasilkan antara disturbance dan sistem menjadi semakin kecil.

-150

-100

-50

0

50

Magnitude(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-180

0

180

360

540

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


30/30

30

Referensi

http://www.control.isy.liu.se/

Endra Joelianto ; Robust HPID Controller Design Via LMI Solution of Dissipative Integral Backstepping

with State Feedback Synthesis, Bandung

Endra Joelianto; Linear Quadratic Control, Bandung: 2010

Katsuhiko Ogata; Modern Control Engineering, fifth edition; 2010

Documents

Sistem Kontrol Pada Pendulum Terbalik