Mata Kuliah : KALKULUS I

DASAR-DASAR INTEGRASI

MODUL 13FUNGSI DUA PEUBAH

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM (TIU)

Agar mahasiswa memahami konsep dasar kalkulus, bentuk dan metode pemecahan persamaan diferensial biasa beserta dan trampil memecahkan masalah terapan

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS (TIK)

Menggambarkan permukaan bidang datar di R3: bola, hiperbola berdaun satu, hiperbola berdaun dua, paraboloida eliptik, paraboloida hiperbolik, kerucut

Menentukan turunan parsial dari fungsi dua peubah terhadap setiap peubah bebasnya

Menyebutkan arti geometri dari turunan parsial fungsi dua peubah

Menentukan diferensial total dari fungsi dua peubah

Menentukan turunan berarah dari fungsi dua peubah dalam arah vector satuan u

1. Sistem Koordinat Ruang

R3 = { (x, y, z) | x, y, z ( R)

=vektor posisi dari titik T(x, y, z)

= vektor satuan sepanjang x

= vektor satuan sepanjang y

= vektor satuan sepanjang z

2. Permukaan berderajat dua di ruang

Bidang datar: ax + by + cz = d;

a, b, c, d > 0

di bidang XOY: ax + by = d, garis lurus.

di bidang YOZ: by + cz = d, garis lurus.

di bidang XOZ: ax + cz = d, garis lurus.

Persamaan permukaanNama permukaan

Bola

Ellipsoida

Hiperboloida berdaun satu

Hiperboloida berdaun dua

Paraboloida elliptik

Paraboloida hiperbolik

Kerucut

Persamaan yang tidak memuat salah satu peubahnya disebut silinder.

Persamaan x2 + y2 = a2 ,

y2 = 4 ax , dengan a, b konstanta positif

menyatakan persamaan silinder lingkaran, silinder elliptik, silinder parabolik dan silinder hiperbolik.

Bola:

Jejak di bidang XOY: x2 + y2 = a2, lingkaran.

Jejak di bidang YOZ: y2 + z2 = a2, lingkaran.

Jejak di bidang XOZ: x2 + z2 = a2, lingkaran.

Ellipsoida:

Jejak di bidang XOY : , ellips.

Jejak di bidang YOZ : , ellips.

Jejak di bidang XOZ : , ellips.

Hiperboloida berdaun satu:

Jejak di bidang XOY: , ellips.

Jejak di bidang YOZ: , hiperbola.

Jejak di bidang XOZ: , hiperbola.

Jejak di bidang sejajar XOY; ellips.

Hiperboloida berdaun dua:

Jejak di bidang XOY: , hiperbola.

Jejak di bidang XOZ: , hiperbola.

Jejak di bidang x = k, k > a atau k < -a, ellips.

Paraboloida elliptik:

Jejak di bidang YOZ: , parabola.

Jejak di bidang XOZ: , parabola.

Jejak di bidang x = k, k > a atau k < -a, ellips.

Parabolioda hiperbolik:

Jejak di bidang XOY: , sepasang garis.

Jejak di bidang YOZ: , parabola.

Jejak di bidang XOZ: , parabola.

Jejak di bidang z = k

Untuk k > 0 : , hiperbola

Untuk k > 0 : , hiperbola

Kerucut:

Jejak di bidang YOZ: , sepasang garis.

Jejak di bidang XOZ: , sepasang garis.

Jejak di bidang z = k, k ( 0: , ellips

3. fungsi Dua Peubah

Definisi:

1). Misal A ( R2. Suatu fungsi f : A ( Rp. adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di R. Aturan fungsi f dapat dituli sebagai Z = f(x, y) .

Daerah definisi fungsi f : Df = A

Daerah nilai fungsi f : Rf = {z ( R |z = f(x, y); (x, y)(A}2). Suatu fungsi dua peubah adalah himpunan pasangan terurut (x, y, z) dimana pasangan (x, y) hanya muncul paling banyak satu kali dalam setiap pasangannya.

Himpunan pasangan terurut yang berbentuk fungsi f ditulis dengan lambang

f = {(x, y, z) |(x, y, z1) dan (x, y, z2) ( f ( z1 = z2 }

Df = {(x, y) | z = f(x, y) ( f }Rf = {z ( R |z = f(x, y), (x, y) ( Df }

Agar syarat keanggotaan himpunan f dipenuhi, maka ada aturannya yaitu z = f(x, y)Df = {(x, y) | z = f(x, y) ( R }Rf = {z ( R |z = f(x, y), (x, y) ( Df }

4. Lingkungan ketinggian

Definisi:

Misal z = f(x, y) adalah suatu fungsi dua peubah.

Keluarga f(x, y) = k; k parameter dinamakan lingkungan ketinggian dari permukaan f.

Misal F(x, y, z) = 0 menyatakan secara implisit Z sebagai fungsi dari x dan y. Keluarga F(x, y, k) = 0 dinamakan lingkungan ketinggian dari permukaan F(x, y, z) = 0.

TURUNAN PARSIAL DARI FUNGSI DUA PEUBAH

1. Turunan Parsial Dari Fungsi Dua Peubah

Definisi:

1). Misal z = f(x, y) adalah suatu fungsi dua peubah. Turunan parsial dari fungsi f terhadap peubah bebas x adalah suatu fungsi yang dinyatakan oleh

Sehingga nilainya di setiap titik (x, y) ( Df adalah

bilamana limit ini ada.

2). Misal z = f(x, y) adalah suatu fungsi dua peubah. Turunan parsial dari fungsi f terhadap peubah bebas y adalah suatu fungsi yang dinyatakan oleh

Sehingga nilainya di setiap titik (x, y) ( Df adalah

bilamana limit ini ada.

2. Arti Geometri Dan Fisis Turunan Parsial

Turunan parsial

Arti geometri dari turunan parsial adalah tanjakan garis singgung di titik (x, y, z) pada kurva perpotongan tersebut. Arti fisisnya adalah laju perubahan nilai fungsi z = f(x, y) dalam arah sumbu x positif, yang dapat diwakili oleh vektor satuan .

Turunan parsial

Arti geometri dari turunan parsial adalah tanjakan garis singgung di titik (x, y, z) pada kurva perpotongan tersebut. Arti fisisnya adalah laju perubahan nilai fungsi z = f(x, y) dalam arah sumbu y positif, yang dapat diwakili oleh vektor satuan .

3. Cara Menentukan Turunan Parsial

Definisi turunan parsial pertama:

Soal :

1. Tentukan fx dan fy dari

a.

b.

c.

d.

2. Jika , tentukan dan

3. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan permukaan dan dengan bidang di titik (3, 2, 2)

4. Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Definisi, turunan parsial kedua

Misal fungsi z = f(x, y) mempunyai turunan parsial pertama dan maka

1.

2.

3.

4.

Dengan cara yang sama kita dapat menghitung turunan parsial ketiga, keempat dan seterusnya.

5. Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Peubah

Definisi, limit fungsi dua peubah

Misal fungsi z = f(x, y) terdefinisi pada cakram terbuka I yang memuat titik kecuali mungkin di sendiri. Limit fungsi f bila (x, y) mendekati adalah L, ditulis

Definisi kekontinuan fungsi dua peubah

1). Misal fungsi f terdefinisi pada cakram terbuka B y memuat titik . Fungsi f dinamakan kontinu di jika

2). Fungsi f yang terdefininsi pada daerah D dikatakan kontinu pada D jika fungsi itu kontinu di setiap titik yang terletak pada D.

Soal :

1. Cari limit atau nyatakan bahwa limit tersebut tidak ada

a.

b.

c.

d.

6. Vektor Gradien

Definisi:

Misal fungsi dua peubah z = f(x, y) mempunyai turunan parsial pertama. Vektor gradien dari fungsi f, ditulis , adalah suatu fungsi bernilai vektor yang didefinisikan oleh

Jika adalah suatu titik yang terletak pada daerah definisi fungsi turunan-turunan parsialnya, maka vektor gradien dari fungsi f di titik ialah

Soal :

Tentukan vector gradien dari fungsi f di titik (x0,y0)

1. , (x0,y0) = (1,-2)

2. , (x0,y0) = (1,2)

3. , (x0,y0) = ()

4. , (x0,y0) = (5,7)

7. Turunan Berarah

Kita telah mempelajari bahwa arti fisis dari turunan parsial fx di titik sebarang (x,y) adalah laju perubahan nilai fungsi z = f(x, y) dalam arah sumbu x positif, yang dapat diwakili oleh vektor satuan dan laju perubahan nilai fungsi z = f(x, y) dalam arah sumbu y positif, yang dapat diwakili oleh vektor satuan .

Berdasarkan ini, kita dapat menuriskan kedua turunan parsial itu dengan cara :

gagasan konsep turunan berarah adalah memperumum vector satuan dengan vector satuan lain yang arahnya tertentu, sehingga turunan dalam arah vector itu mempunyai arti fisis sebagai laju perubahan nilai fungsi dalam arah vector satuan tersebut

Definisi Turunan Berarah

Misal z = f(x, y) adalah suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada cakram terbuka yang memuat titik (x, y) dan adalah suatu vektor satuan di bidang. Turunan berarah dari fungsi f adalah arah vektor satuan ditulis

didefinisikan bilamana limit ini ada

Cara Menghitung Turunan Berarah

Jika adalah suatu fungsi dua peubah yang fungsi turunan parsialnya kontinu dan adalah suatu vector satuan di bidang, maka turunan berarah dari fungsi f dalam arah vector satuan ialah

Catatan :

Lambang menyatakan perkalian scalar dari dua vector. Sebagai ilustrasi, jika dan maka

Contoh :

Tentukan turunan berarah dari fungsi f di titik P dalam arah vector satuan

1. , P(-1,1) dan

2. , P(1,4) dan

3. , P() dan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Zainal Arifin, MTMATEMATIKA I 10

_902745389.unknown

_1125420894.unknown

_1125423337.unknown

_1125486123.unknown

_1125504468.unknown

_1125506166.unknown

_1125504590.unknown

_1125504664.unknown

_1125504775.unknown

_1125504551.unknown

_1125488038.unknown

_1125488159.unknown

_1125488296.unknown

_1125488362.unknown

_1125488396.unknown

_1125488249.unknown

_1125488039.unknown

_1125487114.unknown

_1125487793.unknown

_1125487048.unknown

_1125485802.unknown

_1125486027.unknown

_1125486080.unknown

_1125485856.unknown

_1125424043.unknown

_1125424103.unknown

_1125423528.unknown

_1125422176.unknown

_1125422735.unknown

_1125423148.unknown

_1125423244.unknown

_1125423011.unknown

_1125422574.unknown

_1125422635.unknown

_1125422473.unknown

_1125421285.unknown

_1125421378.unknown

_1125422080.unknown

_1125421338.unknown

_1125421106.unknown

_1125421182.unknown

_1125420981.unknown

_902746994.unknown

_1094872520.unknown

_1094872554.unknown

_1094872681.unknown

_1094872777.unknown

_1094872785.unknown

_1094872721.unknown

_1094872560.unknown

_1094872535.unknown

_1094872542.unknown

_1094872527.unknown

_1094872472.unknown

_1094872493.unknown

_1094872503.unknown

_1094872485.unknown

_1094867933.unknown

_1094868719.unknown

_1094872463.unknown

_1094868738.unknown

_1094867978.unknown

_1094868176.unknown

_1094868185.unknown

_1094868137.unknown

_1094867339.unknown

_1094867474.unknown

_902747107.unknown

_902747004.unknown

_902746381.unknown

_902746696.unknown

_902746856.unknown

_902746898.unknown

_902746759.unknown

_902746557.unknown

_902746591.unknown

_902746405.unknown

_902745580.unknown

_902746113.unknown

_902746128.unknown

_902745805.unknown

_902746060.unknown

_902745736.unknown

_902745521.unknown

_902744171.unknown

_902745349.unknown

_902745384.unknown

_902744927.unknown

_902745278.unknown

_902745303.unknown

_902745129.unknown

_902744406.unknown

_902744203.unknown

_902744032.unknown

_902744125.unknown

_902743943.unknown