Sistem Order Dua1

8/18/2019 Sistem Order Dua1

1/4

DINPRO / IV / 1Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

DINAMIKA PROSES

SISTEM ORDER DUA

• Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistemorder dua terhadap berbagai perubahan input ( step, ramp, sinus).

• Materi:1. Respons Sistem Order Dua: step, ramp, sinus

2. Contoh-Contoh Dinamika Proses Order Dua (proses- proses multi kapasitas: interacting tank, dan non-interacting tank)

IV


4.1. Respons Sistem Order Dua

( ) ( ) cbx ya += 000

Bentuk umum sistem order dua linear:

( ) ( )( ) ( ) ct bX t Y a

dt

t dY a

dt

t Y d a +=++ 012

2

2

( ) ( )( ) ( ) ct bxt ya

dt

t dya

dt

t yd a +=++ 012

2

2… (4.1.1)

Dimana: y(t ) = variabel output, x(t ) = variabel input,

dan a2 , a1 , a0 , c adalah konstanta

Kondisi awal pada keadaan tunak:

… (4.1.2)

Pers. (4.1.1) – (4.1.2):

… (4.1.3)

Dimana: Y (t ) = y(t ) – y(0) dan X (t ) = x(t) – x(0) term deviasi



Pers. (4.1.3) dibagi dengan a0 menjadi betuk standar sbb:

( ) ( )s X ssK

sY ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

++= 1222 ζτ τ

( ) ( ) ( ) ( )t KX t Y dt

t dY dt

t Y d =++ ζτ τ 22

22 … (4.1.4)

Dimana:

TL pers. (4.1.4):

… (4.1.5)

0

2

a

a=τ

0abK =

20

1

0

1

22 aa

a

a

a==

τ ζ

adalah konstanta waktu

adalah faktor peredaman

( damping factor)

adalah gain kondisi tunak


2/4

BAB IV Dinamika Proses Sistem Order Satu YDH - DINPRO - 2


Akar-akar denominator pers. (4.1.5) dicari sebagai berikut:

τ

ζ ζ 12

2,1

−±−=r

… (4.1.6)

Berdasarkan pers. (4.1.6), akar-akar denominator tergantung pada

monotonic & unstable

unstable

oscillatory & stable

sustained oscillation

monotonic & stable

monotonic & stable

Kestabilan

tak terkendali – 1

osilasi berkembang tak-stabil – 1 < < 0

kurang redam (under damped )0 < < 1

osilasi terjaga (undamped )= 0

redam lebih (over damped )>1

redam kritis (critically damped )= 1

ResponUntuk



Respon Lebih Redam (Over-damped )

( )( )( )

( )s X K

sY ee

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

11 21 τ τ

( )( )21222

12 r sr sss −−=++ τ ζτ τ

… (4.1.7)

Dimana τ e1 dan τ e2 adalah konstanta waktu efektif

Substitusi pers. (4.1.7) ke (4.1.5):

… (4.1.9)

1

1

21

1

−−=−=

ζ ζ

τ τ

r e

1

1

22

2

−+

=−=

ζ ζ

τ τ

r

e

Pemfaktoran denominator pers (4.1.5)

( )( )11 21 ++= ss ee τ τ

… (4.1.8)



Jika pers. (4.1.9) dikenai perubahan step input: X (s) = ∆ x/s , dgn fraksi parsial:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+−∆=

− τ

τ

/

1

t

e

t

t u xK t Y

( ) ( )( ) s As As As xK sY eeee3

2

2

1

1

21 1111++++=

∆

++= τ τ τ τ

Dengan laplace inverse menghasilkan over-damped response berikut:

Untuk ζ = 1, maka τ e1 = τ e2 = τ menghasilkan respon kritis berikut:

… (4.1.11)

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−−∆= −− 21 /

12

2/

21

1 ee t

ee

et

ee

e eet u xK t Y τ τ

τ τ

τ

τ τ

τ … (4.1.10)

Respon Kritis Redam (Critically Damped )



3/4



Gambar 4.1.1. Respon kritis redam dan lebih redam untuk

sistem order dua terhadap perubahan step input

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15

t

Y ( t

)

= 1

= 2

= 3 K = 1

∆ x = 1

τ = 1

kritis



Respon Kurang Redam (Under-damped )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

−−∆= − φ ψ

ζ

τ ζ t et u xK t Y

t sin

1

1 /

2

( )τ

ζ

τ

ζ

τ

ζ ζ 22

2,1

111 −±−=

−−±−= ir … (4.1.12)

Dimana

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

ζ

ζ φ

21

arctan

τ

ζ ψ

21−

=

Respon ini sering terjadi pada sistem pengendalian proses, ketika faktor peredaman berkisar antara – 1 dan 1, maka akar denominatornya:

… (4.1.13)

Untuk perubahan step input: X (s) = ∆ x/s , dgn fraksi parsial diperoleh respon:

dan

adalah frekuensi (radian/waktu) hertz ( Hz)

adalah phase angle (radian)



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15

t

Y ( t )

Gambar 4.1.2. Respon kurang redam untuk sistem order dua

terhadap perubahan step input

K x

K = 1 ; ∆ x = 1 ; τ = 1 ; ζ = 0.215

B

C

T

A

t R tS



4/4



Karakteristik Respon Kurang Redam

21

22

ζ

πτ

ψ

π

−==T … (4.1.14)

( ) 212// ζ πζ τ ζ −−− == eeOvershoot T

Period of oscillation:

dimana A = K ∆ x

Decay Ratio (C/B) ( ) 212/ ζ πζ τ ζ −−− == ee T

… (4.1.15)

Rise time ( t R): waktu pertama kali respon mencapai nilai tunak baru

Settling Time ( tS): waktu yang diperlukan respon untuk stabil pada nilaitunak baru. Biasanya: ±5%, ±3%, ±1% dari total

perubahan

Overshoot ( B/A): perbandingan puncak ( peak ) pertama dan nilai tunak baru

… (4.1.16)



Gambar 4.1.3. Pengaruh faktor peredaman terhadap perubahan

step input untuk respon kurang redam sistem order dua

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15

t

Y ( t )

K = 1 ; ∆ x = 1 ; τ = 1 ; ζ = 0.215

= 0.215 = 0.344

0.707

1.0

K x


Documents

Sistem Order Dua1