BAB 1

Bab 1. Sistem Persamaan Linear

Bab 1SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan linear sebenarnya sudah diajarkan di sekolah menengah, yang mana diharuskan menghitung variabel x dan variabel y dari dua persamaan yang diketahui. Pada bab ini akan dibahas kembali sistem persamaan linear, namun pembahasannya lebih luas dibandingkan dengan yang telah dibahas di sekolah menengah yang secara intuitif mengarah pada pemahaman tentang operasi baris elementer, metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan.

1.1 PENGENALAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sebuah garis di dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan yang berbentuk

a1x + a2y = b

Sebuah persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan variabel y. Secara lebih umum, maka kita mendefinisikan sebuah persamaan linear dalam n variabel x1, x2, , xn sebagai sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a2x2 + + anxn = b

dimana a1, a2, , an dan b adalah bilangan-bilangan real.

Contoh 1.Yang berikut ini adalah persamaan-persamaan linear :

1. x + 3y = 7

2.

3. x1 2x2 3x3 + x4 = 7

Perhatikanlah bahwa sebuah persamaan linear tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau untuk fungsi eksponensial. Sebagai ilustrasi, berikut disajikan beberapa contoh yang bukan termasuk persamaan linier.1. x + 3y2 = 7(bukan pers.linear coz PERS.KUADRAT)

2. y sin x = 0..(merupakan PERS.TRIGONOMETRI)

3. 3x + 2y z + xz = 4(merupakan perkalian variable)4. (merupakan persamaan akar)Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui atau disingkat sebagai sistem persamaan linear m x n dinyatakan sebagai:

+ + + =

dimana x1, x2, , xn adalah variabel-variabel yang tidak diketahui sedangkan aij dan bi untuk i = 1, 2, ., m dan j = 1, 2, , n semuanya menyatakan bilangan-bilangan real. Jika tidak semuanya 0, maka sistem persamaan di atas dinamakan sistem persamaan linear m x n tak homogen. Namun apabila = 0 maka dikatakan sebagai sistem persamaan linear homogen.

Himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan linear dinamakan himpunan penyelesaiannya (its solution set).

Contoh 2.Carilah himpunan penyelesaian dari

3x1 + 2x2 x3 = -2

x2 = 3

2x3 = 4

Untuk mencari penyelesaian persamaan tersebut, maka jelas dari kedua persamaan terakhir yaitu x2 = 3 dan x3 = 2. Dengan menggunakan kedua nilai ini dalam persamaan pertama, akan diperoleh x1 = -2

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem tersebut adalah {(-2, 3, 2)}.

Contoh 3:

x1 + x2 = 2

2x1 + 2x2 = 6

Jika persamaan ke-2 dibagi dengan 2, maka sistem persamaan linear akan menjadi:

x1 + x2 = 2

x1 + x2 = 3Kedua persamaan tersebut jelas saling kontradiksi. Dengan demikian, sistem persamaan linear pada contoh 3 tidak mempunyai penyelesaian. Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian dikatakan tak konsisten (inconsistent), sedangkan sistem persamaan linear yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten (consistent). Suatu sistem persamaan linear yang tak konsisten, maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Pandang sistem persamaan linear sebagai berikut :

a11x + a12y = b1(a11, a12 kedua-duanya tidak nol)

a21x + a12y = b2(a21, a22 kedua-duanya tidak nol)

Kedua persamaan tersebut dapat dipandang sebagai dua garis lurus pada bidang xy, sebut I1 dan I2. Secara geometris, solusi kedua persamaan tersebut mempunyai 3 kemungkinan, sebagaimana ditunjukkan dalam gambar berikut:

(i) I1 sejajar I2 (ii) I1 memotong I2 (iii) I1 berimpit I2

Dalam hal ini :

(i) Sistem persamaan linear tidak ada solusi

(ii) Sistem persamaan linear mempunyai tepat satu solusi

(iii) Sistem persamaan linear mempunyai banyak solusi1.2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BENTUK MATRIKS

Pada sub bab sebelumnya telah diketahui bahwa sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dituliskan sebagai

+ + + =

Jika persamaan linear di atas kita tuliskan dengan simbol , maka sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai:

, di mana i = 1, 2, , m.Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks :

Jajaran ini dinamakan matriks yang diperbesar atau matriks lengkap (augmented matrix). Adapun yang dimaksud dengan matriks koefisien dari sistem persamaan linear di atas adalah matriks yang berbentuk:

Contoh 4:

2x1 x2 + x3 = 6

x1 3x2 + 2x3 = 6

dapat diwakili oleh :

1.3 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN OPERASI BARIS ELEMENTER

Metode dasar yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang dikenal adalah teknik substitusi, eliminasi dan sebagainya. Untuk sistem persamaan linear berukuran besar, teknik eliminasi akan lebih efektif dibandingkan dengan teknik lainnya.

Gagasan teknik eliminasi muncul dengan merubah suatu sistem persamaan linear menjadi sistem persamaan linear lain yang setara (dalam arti solusinya tidak berubah), tetapi mempunyai bentuk yang mudah diselesaikan.

Sehubungan dengan hal di atas, dapat dikatakan bahwa metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan-persamaan linear adalah untuk mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dengan penyelesaian yang lebih mudah. Sistem yang baru ini umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan operas-operasi untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematis. Operasi-operasi ini dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE), yang akan dibahas berikut ini.

(i) Kalikan persamaan dengan konstanta tidak nol(ii) Pertukarkan dua buah persamaan

(iii) Tambahkan kelipatan dari satu persamaan ke persamaan lain.

Dengan melakukan suatu rangkaian operasi baris elementer pada suatu persamaan linear akan didapat suatu sistem persamaan yang lebih sederhana dan ekivalen dengan sistem persamaan yang semula. Dengan demikian, kita dapat menentukan jawab (solusi) dari sistem persamaan linear tersebut. Untuk lebih jelasnya berikut disajikan contohnya.Contoh 5:Pada sistem persamaan :

x + y + 2z = 92x + 4y 3z = 1

3x + 6y 5z = 0

Tambahkan (2) kali persamaan pertama kepada persamaan kedua untuk mendapatkan

x + y + 2z = 9

2y 7z = 17

3x + 6y 5z = 0

Tambahkan (3) kali persamaan pertama kepada persamaan ketiga untuk mendapatkan

x + y + 2z = 9

2y 7z = 17

3y 11z = 27

Kalikanlah persamaan kedua dengan untuk mendapatkan

x + y + 2z = 9

y z =

3y 11z = 27

Tambahkanlah (3) kali persamaan kedua kepada persamaan ketiga untuk mendapatkanx + y + 2z = 9

y z =

- z =

Kalikanlah persamaan ketiga dengan (2) untuk mendapatkan

x + y + 2z = 9

y z =

z = 3

Tambahkanlah (1) kali persamaan kedua kepada persamaan pertama untuk mendapatkan

x + z =

y z =

z = 3

Tambahkanlah () kali persamaan ketiga kepada persamaan pertama dan kali persamaan ketiga kepada persamaan kedua untuk mendapatkan

x

= 1

y

= 2

z = 3

Jadi, x = 1, y = 2, dan z = 3 merupakan solusi tunggal dari sistem linear di atas.Karena baris dalam matriks lengkap bersesuaian dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi di atas bersesuaian dengan operasi dalam matriks lengkap berikut :

(i) Kalikan sebuah baris dengan konstanta tidak nol

(ii) Pertukarkan dua buah baris tersebut

(iii) Tambahkan perkalian dari satu baris pada lainnya.

Selanjutnya ketiga operasi di atas, dituliskan dengan notasi sebagai berikut:

adalah penukaran baris ke i dengan t kali baris-baris ke i untuk t0

adalah operasi penukaran baris ke i dengan baris ke j

adalah operasi penukaran baris ke i dengan baris ke i ditambah t kali baris ke j

Berikut ini akan disajikan contoh operasi baris elementer untuk mencari solusi dari suatu matriks lengkap, yang pembahasannya merupakan ekivalensi dari contoh 5.Contoh 6:Pada sistem persamaan :

x + y + 2z = 9

2x + 4y 3z = 1

3x + 6y 5z = 0

Langkah 1.

Matriks lengkap untuk sistem ini adalah

Langkah 2.

Tambahkan 2 kali baris pertama kepada baris kedua untuk mendapatkan

Langkah 3.

Tambahkan 3 kali baris pertama kepada baris ketiga untuk mendapatkan

Langkah 4.

Kalikanlah baris kedua dengan untuk mendapatkan

Langkah 5.

Tambahkanlah 3 kali baris kedua kepada baris ketiga untuk mendapatkan

Langkah 6.

Kalikanlah baris ketiga dengan 2 untuk mendapatkan

Langkah 7.

Tambahkanlah 1 kali baris kedua kepada baris pertama untuk mendapatkan

Langkah 8.

Tambahkanlah kali baris ketiga kepada baris pertama dan kali baris ketiga kepada baris kedua untuk mendapatkan

Jadi solusinya, kita peroleh: x = 1, y = 2, z = 3.

Contoh di atas merupakan suatu sistem persamaan linear dengan satu solusi. Berikut ini akan dibahas suatu sistem persamaan linear yang mempunyai solusi lebih dari satu.

Contoh 7:

Pada sistem persamaan :

x + 2y -3z + 2w = 22x + 5y -8z + 6w = 53x + 4y -5z + 2w = 4

Matriks lengkap untuk sistem ini adalah

Sehingga diperoleh:

y - 2z + 2w = 1 atau y = 2z - 2w + 1 x + 2y - 3z + 2w = 2 atau x = 2 - 2y + 3z - 2w

= 2 2(2z - 2w + 1) + 3z - 2w

= z + 4w Jadi dengan mengambil z dan w sebarang, akan diperoleh solusi lebih dari satu yaitu: y = 2z - 2w + 1 dan x = z + 4w Contoh 8:Pada sistem persamaan :

kx + y + z = 1

x + ky + z = 1

x + y + kz = 1Tentukan nilai k sehingga:

(i) ada jawab tunggal

(ii) ada banyak jawab

(iii) tak ada jawab yang benar

Solusi:Matriks lengkap dari persamaan tersebut di atas adalah

Dari matriks yang terahir ini akan diperoleh:

(i). Jika k = 1, matriks lengkapnya menjadi:

Sehingga didapat :

x + y + z = 1 atau x = 1 y z

Jadi, dengan mengambil y dan z sebarang dari x = 1 y z akan diperoleh ada banyak jawab.

(ii). Kalau k1

(k-1) 0 dan (1-k2) 0 Dari matriks lengkap

Di dapat jawaban:

(k-1) z = 0

z = 0 karena (k-1) 0 (1 k2) y = 0

y = 0 karena (1 k2) 0

x + ky + z = 1

x = 1

Jadi, jika k1, ada jawab tunggal yaitu x = 1, y = 0, z = 0

1.4 ELIMINASI GAUSS DAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Gauss dan Jordan pertama sekali memperkenalkan suatu cara untuk menentukan solusi persamaan linear dengan menggunakan operasi baris elementer pada matriks, sehingga menjadi matriks eselon baris atau matriks eselon baris yang tereduksi.Definisi:

Suatu matriks m x n dinamakan bentuk eselon baris jika memenuhi sifat-sifat :

(i) Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1.

(ii) Jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian depan pada baris k+1 lebih besar dari banyaknya entri nol di bagian depan pada baris k. (iii) Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuanya adalah nol, maka baris-baris tersebut berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.Sebuah matriks yang mempunyai sifat-sifat (i), (ii), dan (iii) dikatakan di dalam bentuk eselon baris (row-ecelon form). Untuk lebih mudah memahami pengertian dari matriks eselon baris, berikut akan disajikan beberapa contoh serta pembahasannya.

A =

;B =

1. Pada matriks A, baris ke 1 sampai ke 3 tidak sama dengan nol, ini artinya sifat pertama terpenuhi. Setiap unsur 1 pada tiap baris dari baris ke 1 sampai dengan baris ke 3 selalu didepannya nol, dan dibawahnya juga nol, berarti sifat ke 2 terpenuhi. Baris ke 4 sampai ke 5 seluruhnya nol, berarti sifat ke 3 terpenuhi. Jadi, matriks A merupakan matriks eselon baris.

Pada matriks B, baris ke 2 di mana unsur ke 3 yaitu 1 didahului oleh nol, tetapi unsur di bawahnya tidak nol (yaitu 1). Dengan demikian, matriks B bukan merupakan matriks eselon baris.Untuk lebih mempertajam pengertian dari matriks eselon baris, berikut ini diberikan beberapa contoh matriks eselon baris dan bukan matriks eselon baris.Contoh 9:

(i) Matriks-matriks berikut memiliki bentuk eselon baris. ; ; ;

(ii) Matriks-matriks berikut tidak memiliki bentuk eselon baris

; ; ;

Definisi:Suatu matriks m x n dinamakan bentuk eselon baris tereduksi, jika memenuhi sifat:

(i) Matriks memiliki bentuk eselon baris.

(ii) Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah satu-satunya entri bukan nol dalam kolom yang bersangkutan.Sebagai ilustrasi, berikut diberikan contoh mengenai matriks eselon baris terduksi dan bukan matriks eselon baris terduksi.Contoh 10:(i) Matriks-matriks berikut memiliki bentuk eselon baris tereduksi.

;

;

(ii). Matriks-matriks berikut tidak memiliki bentuk eselon baris tereduksi.

;

Seiring dengan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian sistem persamaan linear dengan melakukan operasi baris elementer pada matriks lengkap hanya sampai kepada bentuk eselon baris disebut metode eliminasi Gauss. Sedangkan jika operasi baris elementer dilakukan sampai ke bentuk eselon baris tereduksi disebut metode eliminasi Gauss-Jordan.

Pada penyelesaian contoh (6) di atas, jika proses penyelesaian hanya sampai pada langkah (6), pemecahan masalah menggunakan metode Gauss. Dalam hal ini, penyelesaian sistem persamaan linear dapat diperoleh dengan cara substitusi balik (back substitution). Apabila proses di atas dilanjutkan sampai langkah (8), pemecahan masalah menggunakan metode Gauss-Jordan.

Perlu diperhatikan bahwa jika bentuk eselon baris dari matriks lengkap mengandung baris yang berbentuk:

(000001)

maka sistem yang bersangkutan tidak konsisten. Sebaliknya, jika sistemnya konsisten dan baris-baris bukan nol dari eselon baris dari matriks membentuk suatu sistem segitiga, maka sistem tersebut akan memiliki penyelesaian tunggal. Seperti yang diperlihatkan dalam contoh 6 di atas.1.5 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen (homogeneous) jika konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya sama dengan nol, yakni sistem tersebut mempunyai bentuk :

+ + + =

Tiap-tiap sistem persamaan-persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena

x1 = 0, x2 = 0, , xn = 0

selalu merupakan sebuah penyelesaian. Penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian trivial (trivial solution). Jika ada penyelesaian lain, maka dinamakan penyelesaian yang tak trivial (nontrivial solution).

Karena sebuah sistem persamaan-persamaan linier homogen selalu konsisten, maka akan ada satu pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu diantara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan yang berikut :

Untuk sebuah sistem persamaan linear homogen, maka persis salah satu diantara pernyataan berikut benar.

1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.

2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan yang tak trivial.

Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial, yakni jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan takdiketahui dari banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa halnya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui.

Contoh 8:

Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linear homogen berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

(*)

Matriks lengkap untuk sistem tersebut adalah

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkan

Sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks ini adalah

(**)

Dengan menyelesaikan untuk variabel-variabel utama maka akan menghasilkan

Maka penyelesaiannya akan diberikan oleh

x1 = -s-t,x2 = s,

x3 = -t, x4 = 0,

x5 = t

Perhatikan bahwa pemecahan trivial bisa diperoleh bila s = t = 0.

Pada contoh 8, melukiskan dua hal penting mengenai cara memecahkan sistem persamaan linear homogen, yaitu:

1. Tidak satu pun dari ketiga dasar-dasar operasi baris tersebut yang dapat mengubah kolom nol terakhir dalam matriks yang diperbesar itu, sehingga sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks yang diperbesar harus juga merupakan sistem homogen.

2. Bergantung pada apakah bentuk eselon baris terreduksi dari matriks yang diperbesar mempunyai suatu baris nol, maka banyaknya persamaan dalam sistem terreduksi sama dengan atau lebih kecil dari banyaknya persamaan dalam sistem asilnya (bandingkan sistem (*) dan sistem (**) pada contoh 8).

Jadi sistem homogen yang diberikan mempunyai m persamaan dengan n bilangan takdiketahui dan m < n, dan jika r baris taknol dalam bentuk eselon baris terreduksi dari matriks yang diperbesar, maka kita akan mempunyai r < n, Jadi, sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris terreduksi dari matriks yang diperbesar itu akan kelihatan seperti:

di mana , , , adalah variabel-variabel utama dan menyatakan jumlah yang melibatkan ke n-r variabel yang masih sisa. Dengan menyelesaikan untuk variabel-variabel utama akan diperoleh

= -

= -

= -

Soal-soal Latihan :1. Yang manakah dari persamaan berikut merupakan persamaan linear dalam x1, x2, dan x3?

a. x1 + 2x1x2 + x3 = 2

b. x1 + x2 + x3 = sin k (k adalah sebuah konstanta)

c. x1 - 3x2 + 2x31/2 = 4

d. x1 =

2. Carilah sistem persamaan linear yang bersesuaian dengan masing-masing matriks lengkap berikut: a.

b.

c.

d.

3. Diketahui sistem persamaan linear:

a. x + 2y + kz = 1

b. x + y + kz = 2

2x + ky + 8z = 3

3 x + 4y + 2z = k

2x + 3y - z = 1

Tentukan nilai k sehingga:

(i) ada jawab tunggal (ii) ada banyak jawab

(iii) tak ada jawab yang benar4. Apakah matriks berikut dalam bentuk eselon baris yang direduksi ?

a.

b.

5. Apakah matriks berikut dalam bentuk eselon baris ?a.

b.

c.

6. Pecahkan setiap sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

a. x1 + x2 + 2x3 = 8

b. 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

x1 2x2 + 3x3 = 1

x1 + 5x2 + 2x3 = 0

3x1 7x2 + 4x3 = 10

7x1 + 7x2 + x3 = 0

7. Pecahkan sistem persamaan linear di dalam no. 3 dengan menggunakan eliminasi Gauss.

8. Buktikan bahwa apabila sistem persamaan linear homogen

, i = 1, 2, ,m mempunyai sifat m < n

maka pasti mempunyai penyelesaian tak-trivial.

9. Selesaikanlah sistem persamaan linear homogen berikut:

a. 2x1 + x2 + 3x3 = 0

b. 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 + 2x2 = 0

5x1 x2 + x3 x4 = 0

x2 + x3 = 0

c. 2x1 4x2 + x3 + x4 = 0

d. x + 6y 2z = 0

x1 5x2 + 2x3 = 0

2x 4y + z = 0

2x2 2x3 x4 = 0

x1 + 3x2 + x4 = 0

x1 2x2 x3 + x4 = 0

10. Untuk nilai-nilai yang manakah sistem persamaan berikut mempunyai pemecahan tak-trivial?

( 3)x + y = 0

x + ( 3)y = 0

11. Selidiki sistem persamaan-persamaan di bawah ini mempunyai penyelesaian atau tidak? Jika mempunyai penyelesaian tentukan penyelesaiannya.

a. 2x y + z = 1

b. x + 3y + x = 6

x + y z = 2

3x 2y 8z = 7

3x y + z = 0

4x + 5y - 3z = 17 c. x y + 2z w = 1

d. 2x 3y = 2

2x + y 2z 2w = 2

2x + y = 1

x + 2y 4z + w = 1

3x + 2y = 1

3x 3w = 3

12. Selidiki apakah sistem persamaan-persamaan berikut ini mempunyai penyelesaian tak-trivial atau tidak? Jika mempunyai penyelesaian tak-trivial, tentukan penyelesaian umumnya. a. 3x + 8y + 2z = 0

b. x + 3y 5z = 0

2x + y + 3z = 0

3x - y + 5z = 0

-5x - y + z = 0

3x + 2y z = 0

c. 3x + y + 2z = 0

d. 2x - y + 3z = 0

x + y = 0

4x - 2y - z = 0

6x + 2y + 3z = 0

10x 5y 6z = 0

PAGE 17

_976666653.unknown

_1106940946.unknown

_1137729441.unknown

_1137729723.unknown

_1137729929.unknown

_1137729940.unknown

_1137729925.unknown

_1137729624.unknown

_1137729699.unknown

_1137729703.unknown

_1137729694.unknown

_1137729678.unknown

_1137729459.unknown

_1118638965.unknown

_1120760020.unknown

_1120760225.unknown

_1118639093.unknown

_1119593489.vsdy

x

I1

I2

y

x

I1

I2

x

y

x

I1=I2

_1118639025.unknown

_1107024578.unknown

_1118638165.unknown

_1118638819.unknown

_1107024734.unknown

_1118636136.unknown

_1107024783.unknown

_1107024700.unknown

_1106945078.unknown

_1107024528.unknown

_1106941011.unknown

_1106938206.unknown

_1106938295.unknown

_1106938782.unknown

_1106940881.unknown

_1106938359.unknown

_1106938260.unknown

_1106900624.unknown

_1106938186.unknown

_976667281.unknown

_976667472.unknown

_976667546.unknown

_976667570.unknown

_976667344.unknown

_976667227.unknown

_976667260.unknown

_976667213.unknown

_976661530.unknown

_976663039.unknown

_976663285.unknown

_976665012.unknown

_976665736.unknown

_976665821.unknown

_976665830.unknown

_976665566.unknown

_976663921.unknown

_976664625.unknown

_976664014.unknown

_976663839.unknown

_976663087.unknown

_976662685.unknown

_976662909.unknown

_976662944.unknown

_976662744.unknown

_976662561.unknown

_976662628.unknown

_976662282.unknown

_976661221.unknown

_976661348.unknown

_976661447.unknown

_976661256.unknown

_976661309.unknown

_976657535.unknown

_976659973.unknown

_976660206.unknown

_976660400.unknown

_976661091.unknown

_976661122.unknown

_976660550.unknown

_976660333.unknown

_976660037.unknown

_976660103.unknown

_976660127.unknown

_976659995.unknown

_976659985.unknown

_976659884.unknown

_976659913.unknown

_976658117.unknown

_976658687.unknown

_976658693.unknown

_976658638.unknown

_976657600.unknown

_976656245.unknown

_976657293.unknown

_976657442.unknown

_976656710.unknown

_976656838.unknown

_976656589.unknown

_976655927.unknown

_976656221.unknown

_976655330.unknown

_976655914.unknown

_976654485.unknown