Circuitos Digitales

SISTEMAS DE CODIGOS

RREEPPÚÚBBLLIICCAA BBOOLLIIVVAARRIIAANNAA DDEE VVEENNEEZZUUEELLAA

MMIINNIISSTTEERRIIOO PPOOPPUULLAARR DDEE EEDDUUCCAACCIIÓÓNN SSUUPPEERRIIOORR

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD FFEERRMMÍÍNN TTOORROO

SSEEDDEE CCAABBUUDDAARREE –– EEDDOO.. LLAARRAA

DDEECCAANNAATTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRIIAA

CCOOOORRDD.. SSAAIIAA

AAuuttoorr:: TT..SS..UU.. AAiizzaa AAppoonnttee VV--1188..330011..228811

TT..SS..UU.. AAlleejjaannddrroo AAddaammeess VV--1122..772244..665599

TT..SS..UU.. MMaaiillllee AAllttuuvvee VV--1144..558844..882299

TT..SS..UU.. YYeennnnyy NNaavvaarrrroo VV--1133..331144..994433

PPrrooff..:: IInngg.. JJuuaann JJoosséé OOsstteerriizz

CCIIRRCCUUIITTOOSS DDIIGGIITTAALLEESS

Cabudare, Enero de 2012

INDICE GENERAL

PORTADA

INTRODUCCIÓN

DESARROLLO DEL TEMA

Código Gray

Código Ascii

Complemento A1

Complemento A2

Suma y Resta Binaria

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

REFERENCIAS ELECTRONÍCAS

Pp.

1

ii

3

3

7

11

13

13

21

22

23

ii

INTRODUCCIÓN

En la actualidad los circuitos digitales tienen una gran importancia debido

al aumento de fiabilidad en el procesamiento y transmisión de la información

ya que una pequeña degradación de la señal no influirá en su valor (o en su

influencia como entrada en un circuito digital). A este motivo se le pueden

añadir otros más, como pueden ser: se dispone de un soporte matemático

adecuado, como son las álgebras discretas; existen tecnologías de fabricación

adecuadas; contamos con una amplia distribución comercial debido a sus

amplias aplicaciones en múltiples campos además su sistema de código.

Se debe tener presente que los circuitos digitales trabajan con números y

sólo con números existen muchísimas formas de representar el mismo

número (de hecho, existen infinitas formas), pero sólo unas pocas son las

que nos interesarán para los circuitos digitales. Es por ello que, debido al

carácter discreta y a los componentes utilizados en hoy en día, dispositivos

como transistores y diodos, no se va a emplear el sistema decimal sino el

sistema binario. Por lo tanto, es necesario conocer la teoría de los sistemas

numéricos, con vistas a su aplicación a la conversión entre los principales

sistemas. Así, los sistemas numéricos más importantes son los sistemas

decimal, binario, octal y hexadecimal.

En este orden de ideas se puede comenzar el estudio de algunos de los

códigos utilizados en el área de circuitos digitales como lo es: el código Gray,

código Ascii, complemento A1, complemento A2, así como suma y resta

binaria.

CODIGO GRAY

El código Gray es un sistema de numeración binario en el que dos

valores sucesivos difieren solamente en uno de sus dígitos, es por ello que

este sistema fue diseñado originalmente para prevenir señales ilegítimas de

los switches electromecánicos. En el presente es usado para facilitar la

corrección de errores en los sistemas de comunicaciones, tales como algunos

sistemas de televisión por cable y la televisión digital terrestre, también se

sigue empleando para el diseño los mapas de Karnaugh, los cuales son, a su

vez, utilizados en la implementación de circuitos combinacionales y circuitos

secuenciales. Esto es debido a que el principio de diseño de buscar

transiciones más simples y rápidas entre estados sigue vigente, a pesar de

que los problemas de ruido y potencia se hayan reducido. Su característica es

que entre una combinación de dígitos y la siguiente, sea ésta anterior o

posterior, sólo hay una diferencia de un dígito. Se debe tener presente que el

código GRAY es utilizado principalmente en sistemas de posición, ya sea

angular o lineal. Sus aplicaciones principales se encuentran en la industria y

en robótica.

Resulta oportuno señalar que utilizando el código Gray es posible resolver

el problema de las Torres de Hanói, además puede incluso formar un ciclo

hamiltoniano o un hipercubo, en el que cada bit se puede ver como una

dimensión. Convenientemente gracias a las propiedades de distancia de

Hamming de los códigos de Gray, es usado en ocasiones en algoritmos

genéticos. Es por ello que las computadoras antiguas indicaban posiciones

abriendo y cerrando interruptores. Utilizando tres interruptores como

3

entradas usando Base 2, estas dos posiciones estarían una después de la

otra:

...

011

100

...

Ahora bien, el problema con el código binario en base 2 es que con

interruptores mecánicos, es realmente difícil que todos los interruptores

cambien al mismo tiempo. En la transición de los dos estados mostrados

arriba, tres interruptores cambian de sitio. En el lapso en el que los

interruptores están cambiando, se pueden presentar salidas de información

espurias. Si las salidas mencionadas alimentan un circuito secuencial,

probablemente el sistema presentará un error en entrada de datos. En

consecuencia, el código gray resuelve este problema cambiando solamente

un dígito a la vez, así que no existe este problema:

Decimal Gray Binario

0 000 000

1 001 001

2 011 010

3 010 011

4 110 100

5 111 101

6 101 110

7 100 111

Como resultado de esto se puede notar que desde el 7 podría pasar a 0

con un solo cambio de switch (el más significativo pasa a cero). Esta es la

propiedad llamada "cíclica" del código de Gray. De la misma manera este

4

sistema es usado en informática y resulta útil en determinadas aplicaciones

que intentan minimizar el error en un determinado proceso de transmisión de

datos. Dado un sistema de numeración cualquiera, el cambio de un número

del mismo al siguiente comporta el cambio de uno o varios dígitos: por

ejemplo, en el sistema decimal, el paso de 46 a 47 implica un solo cambio,

pero el de 999 a 1000 supone cuatro cambios.

En otras palabras, el código Gray es un código cíclico que se puede definir

como cualquier código en el que, para cualquier palabra de código, un

corrimiento circular produce otra palabra del código. El código Gray es uno de

los tipos más comunes de códigos cíclicos y tiene la característica de que las

palabras de código para dos números consecutivos difieren sólo en un bit. Es

decir, la distancia entre las dos palabras de código es 1. En general la

distancia entre dos palabras de código binario es igual al número de bits en

que difieren las dos palabras.

Para la conversión de código binario a código gray se siguen los siguientes

pasos:

El bit más significativo en el código gray, es el mismo de código

binario.

Partiendo de izquierda a derecha, sumar cada par adyacente de los

bits en código binario para obtener el siguiente bit en código gray.

Se descartan los acarreos.

Para convertir de código gray a binario, se siguen los pasos siguientes:

El bit más significativo en código binario, es el mismo que el

correspondiente bit en código gray.

5

A cada bit del código binario generado, se le suma el bit en código

gray de la siguiente posición adyacente. Se descartan los acarreos.

Ejemplo 1.

Defina un código Gray para codificar los números decimales del 0 al 15.

Solución.

Se necesitan cuatro bits para representar todos los números, y podemos

construir el código necesario asignando al bit i de la palabra de código el

valor 0 sí los bits i e i 1 del número binario correspondientes son iguales, y 1

en caso contrario.

El bit más significativo del número siempre se debe comparar con 0 al

utilizar esta técnica. El código resultante es:

Decimal Binario Gray

0 0000 0000

1 0001 0001

2 0010 0011

3 0011 0010

4 0100 0110

5 0101 0111

6 0110 0101

7 0111 0100

8 1000 1100

9 1001 1101

10 1010 1111

6

11 1011 1110

12 1100 1010

13 1101 1011

14 1110 1001

15 1111 1000

CODICO ASCII

En cuanto al código ASCII se puede comenzar señalando que ASCII, es

acrónimo de American Standard Code for Information Interchange (Código

Normalizado Americano para el Intercambio de la Información). Es un

sistema que se basa en un conjunto de caracteres del alfabeto latino utilizado

en el idioma inglés y otras lenguas del mundo occidental. Con el objetivo de

controlar dispositivos digitales que manipulan texto o para representar textos

en pantalla, la mayoría de los sistemas informáticos del día de hoy utilizan el

código ASCII o un código compatible con mayores capacidades. En

computación, un esquema de codificación que asigna valores numéricos a las

letras, números, signos de puntuación y algunos otros caracteres. Al

normalizar los valores utilizados para dichos caracteres, ASCII permite que

los ordenadores o computadoras y programas informáticos intercambien

información. Además que utiliza 7 bits para representar los caracteres,

aunque inicialmente empleaba un bit adicional (bit de paridad) que se usaba

para detectar errores en la transmisión. A menudo se llama incorrectamente

ASCII a otros códigos de caracteres de 8 bits, como el estándar ISO-8859-1

7

que es una extensión que utiliza 8 bits para proporcionar caracteres

adicionales usados en idiomas distintos al inglés, como el español. Por otra

parte, ASCII fue publicado como estándar por primera vez en 1967 y fue

actualizado por última vez en 1986.

Se debe tener presente que en la actualidad define códigos para 33

caracteres no imprimibles, de los cuales la mayoría son caracteres de control

obsoletos que tienen efecto sobre cómo se procesa el texto, más otros 95

caracteres imprimibles que les siguen en la numeración (empezando por el

carácter espacio). Casi todos los sistemas informáticos actuales utilizan el

código ASCII o una extensión compatible para representar textos y para el

control de dispositivos que manejan texto como el teclado. No deben

confundirse los códigos ALT+número de teclado con los códigos ASCII.

Cabe agregar que, el código ASCII reserva los primeros 32 códigos

(numerados del 0 al 31 en decimal) para caracteres de control: códigos no

pensados originalmente para representar información imprimible, sino para

controlar dispositivos (como impresoras) que usaban ASCII. Por ejemplo, el

carácter 10 representa la función "nueva línea" (line feed), que hace que una

impresora avance el papel, y el carácter 27 representa la tecla "escape" que a

menudo se encuentra en la esquina superior izquierda de los teclados

comunes.

Entonces el código 127 (los siete bits a uno), otro carácter especial,

equivale a "suprimir" ("delete"). Aunque esta función se asemeja a otros

caracteres de control, los diseñadores de ASCII idearon este código para

poder "borrar" una sección de papel perforado (un medio de almacenamiento

popular hasta la década de 1980) mediante la perforación de todos los

8

agujeros posibles de una posición de carácter concreta, reemplazando

cualquier información previa. Dado que el código 0 era ignorado, fue posible

dejar huecos (regiones de agujeros) y más tarde hacer correcciones.

Significa entonces que muchos de los caracteres de control ASCII servían

para marcar paquetes de datos, o para controlar protocolos de transmisión

de datos (por ejemplo ENQuiry, con el significado: ¿hay alguna estación por

ahí?, ACKnowledge: recibido o ", Start Of Header: inicio de cabecera, Start of

TeXt: inicio de texto, End of TeXt: final de texto, etc.). ESCape y SUBstitute

permitían a un protocolo de comunicaciones, por ejemplo, marcar datos

binarios para que contuviesen códigos con el mismo código que el carácter

de protocolo, y que el receptor pudiese interpretarlos como datos en lugar de

como caracteres propios del protocolo.

Cabe agregar que los diseñadores del código ASCII idearon los caracteres

de separación para su uso en sistemas de cintas magnéticas. Es por ello que

dos de los caracteres de control de dispositivos, comúnmente llamados XON y

XOFF generalmente ejercían funciones de caracteres de control de flujo para

controlar el flujo a hacia un dispositivo lento (como una impresora) desde un

dispositivo rápido (como un ordenador), de forma que los datos no saturasen

la capacidad de recepción del dispositivo lento y se perdiesen.

Como consecuencia de esto, los primeros usuarios de ASCII adoptaron

algunos de los códigos de control para representar "metainformación" como

final-de-línea, principio/final de un elemento de datos, etc. Estas asignaciones

a menudo entraban en conflicto, así que parte del esfuerzo de convertir datos

de un formato a otro comporta hacer las conversiones correctas de

metainformación. Por ejemplo, el carácter que representa el final-de-línea en

9

ficheros de texto varía con el sistema operativo. Cuando se copian archivos

de un sistema a otro, el sistema de conversión debe reconocer estos

caracteres como marcas de final-de-línea y actuar en consecuencia.

Cabe decir entonces que, ASCII incluye 256 códigos divididos en dos

conjuntos, estándar y extendido, de 128 cada uno. Estos conjuntos

representan todas las combinaciones posibles de 7 u 8 bits, siendo esta

última el número de bits en un byte. El conjunto ASCII básico, o estándar,

utiliza 7 bits para cada código, lo que da como resultado 128 códigos de

caracteres desde 0 hasta 127 (00H hasta 7FH hexadecimal). El conjunto

ASCII extendido utiliza 8 bits para cada código, dando como resultado 128

códigos adicionales, numerados desde el 128 hasta el 255 (80H hasta FFH

extendido).

Debido a esto, en el conjunto de caracteres ASCII básico los primeros 32

valores están asignados a los códigos de control de comunicaciones y de

impresora caracteres no imprimibles, como retroceso, retorno de carro y

tabulación empleados para controlar la forma en que la información es

transferida desde una computadora a otra o desde una computadora a una

impresora. Los 96 códigos restantes se asignan a los signos de puntuación

corrientes, a los dígitos del 0 al 9 y a las letras mayúsculas y minúsculas del

alfabeto latino.

Ejemplo:

La palabra "Start" se representa en código ASCII como sigue

1010011 1110100 1100001 1110010 1110100

S t a r t

10

COMPLEMENTO A UNO

Se puede definir complemento A1 de un número binario como una

operación matemática muy importante en el campo de la computación, ya

que nos permite la representación binaria de números negativos. Se obtiene

al cambiar cada uno de los dígitos del número binario N por su

complementario, esto es, cambiar los unos por ceros y los ceros por unos.

Por ejemplo:

Número binario = (001010110)2 = (86)10

Complemento a uno = (110101001)2 = (− 86)10

En este sistema de representación, los números positivos se expresan igual

que en Signo Magnitud o que en Binario Puro. Sin embargo, para escribir los

números negativos se utiliza el Complemento a la Base Menos 1. De forma

normalizada, el Complemento a la Base Menos 1 de un número entero

positivo N de base b, se expresa de la siguiente manera:

Cb-1(N) = bn - 1 - N

Visto desde la perspectiva anterior, el formato Complemento A1 (C-a-1) es

al sistema binario lo que el formato C-a-9 es al sistema decimal. Es un

formato por complementación a la base menos uno. Bueno, en realidad es

una complementación para representar los números negativos al total de

representaciones posibles, dado el espacio de trabajo y dada la base de la

escritura posicional, menos uno. La justificación radica en que se agiliza el

proceso de complentación al eliminar el paso de añadir uno y por ende las

operaciones de Entrada/Salida con respecto al formato C-a-2. Pero claro,

nada viene de gratis y esto implicará un paso adicional al hacer aritmética.

11

En todo caso, el formato Complemento A1 se define similar al formato

Complemento-a-dos, tan sólo difieren del modo en hacer la complementación

que en este caso el complemento se consigue buscando la diferencia de la

cantidad al total de representaciones menos uno. Como el total de

representaciones menos uno en binario se escribe 111...1, restar a esta

cantidad implica que el resultado es justo igual al substraendo con los bits

trastocados. Es decir, donde teníamos uno tendremos cero y viceversa.

También, aquí los formatos que comienzan con cero corresponden a enteros

positivos y los que comienzan con uno a negativos. Por supuesto, al

representar el formato con caracteres hexadecimales, un carácter de 8 o más

corresponde a un entero negativo.

CONSECUENCIAS:

Se simplifica la complementación al eliminar el paso de añadir uno.

Al sumar, si hay carry-over, éste se añade al resultado.

Tenemos duplicidad de representación para el cero.

Ejemplo:

En Complemento a 1, para n = 16, el número positivo 950310 se

representa igual que en Signo Magnitud o que en Binario Puro:

Por tanto,

950310 = 0010010100011111C1

= 0010010100011111SM = 0010010100011111BP

12

COMPLEMENTO A2

En el complemento A2 los números negativos se representan mediante el

patrón de bits mayor sin signo. De acuerdo con lo explicado anteriormente el

cálculo del complemento A2 es muy sencillo y muy fácil de realizar mediante

puertas lógicas, donde reside su utilidad. Para comenzar los números

positivos se quedarán igual en su representación binaria. Los números

negativos deberemos invertir el valor de cada una de sus cifras, es decir

realizar el complemento a uno, y sumarle 1 al número obtenido

Cabe recordar que debido a la utilización de un bit para representar el signo,

el rango de valores será diferente al de una representación binaria habitual;

el rango de valores decimales para «n» bits será:

Ejemplos:

-210 con 5 dígitos es 11110, su opuesto es 210 (00010)

1210 con 5 dígitos es 01100, su opuesto es -1210 (10100)

SUMAS Y RESTAS BINARIOS

Como ya se sabe el sistema binario, es un sistema de numeración en el

que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0

y 1). El número binario 11001010 en sistema decimal es 202.

13

Para eso, empezando desde el digito de la derecha, realizamos lo siguiente:

11001010

0 x 20 = 0 x 1 = 0

1 x 2¹ = 1 x 2 = 2

0 x 2³ = 0 x 4 = 0

1 x 2⁴ = 1 x 8 = 8

0 x 2⁵ = 0 x 16 = 0

0 x 2⁶ = 0 x 32 = 0

1 x 2⁷ = 1 x 64 = 64

1 x 2⁸ = 1 x 128 = 128

De estos resultados se realiza la suma, la cual nos da 202.

Si tuviéramos algún 0 o 1 más seguiríamos haciendo las mismas

operaciones elevando una potencia más el 2.

Suma

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal,

debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se

arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda.

Esta suma en números decimales es:

14

Número decimales...................................Número binario

0--------------------------------------------------------000

1--------------------------------------------------------001

2--------------------------------------------------------010

3--------------------------------------------------------011

4--------------------------------------------------------100

5--------------------------------------------------------101

6--------------------------------------------------------110

7--------------------------------------------------------111

8-------------------------------------------------------1000

9-------------------------------------------------------1001

10-------------------------------------------------------1010

Como se podrán dar cuenta hay un patrón a seguir.

Con la suma pasa esto:

Después de haber realizado la suma y tener el resultado, para conocer el

resultado real, se hace lo siguiente:

En el resultado 1 1 0 1 0 1 1 0 se resta el segundo número 1 de izquierda

a derecha, que en este caso es 64, menos la suma de los números 1 que le

siguen, que en este caso la suma de estos es 22. Entonces el resultado seria

15

42. Pero ¿qué sucede con el primer número 1 de la izquierda?

Este número 1 es precisamente el que representa el signo negativo (-). De

esta forma obtenemos el resultado de – 42.

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la

derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del

resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuación se suma

el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar

todas la columnas (exactamente como en decimal).

Ejemplo:

Esto con sus respectivos acarreados seria:

17

La primera suma a realizar es 1 + 1 + 1 + 1 = 4. De igual manera no

podemos poner el número 4 en el resultado, así que lo convertimos a binario

(100). Utilizamos la cifra del extremo derecho (0). Esta vez para acarrear

utilizamos las dos cifras que nos sobraron. Como se podrán dar cuenta el

número acarreado 1 no se ubicó en la columna siguiente. Esto es porque en

esta ocasión también cuenta el 0 que nos sobraba (aunque no se escribe ahí

está). De esta manera seguimos realizando la suma hasta obtener el

resultado.

Existe otro método el cual es muy sencillo y más práctico.

Esta vez, en vez de realizar la suma de cada columna tendremos en cuenta

los siguientes tres puntos:

Si en la columna la cantidad de números 1 es par el resultado de la

columna es 0.

Si en la columna la cantidad de números 1 es non el resultado de la

columna es 1.

Por cada par de números 1 en la columna se acarrea un número 1.

18

Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal.

Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la

operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la

resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una

unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que

equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse,

sumándola, a la posición siguiente. Veamos un ejemplo:

Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar

mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para

simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias

soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos

cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

19

Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede

obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo.

Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en

binario:

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero,

como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit

sobrante se desprecia.

Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios

puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del

sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

20

CONCLUSIONES

Como ya quedo demostrado los sistemas de numeración son las distintas

formas de representar la información numérica, es decir, cualquier cifra

decimal se puede representar en binario, a esta codificación se le llama

codificación binaria directa ó código binario natural. Se puede expresar que

en cuanto al sistema gray se alcanzó a comprender que es un código binario,

que tiene por característica, que entre una combinación de dígitos y la

siguiente, sea ésta anterior o posterior, sólo hay una diferencia de un dígito

además es utilizado principalmente en sistemas de posición, ya sea angular o

lineal.

Ahora bien en cuanto al código asca se pudo comprobar que es una

transcodificación de caracteres alfabéticos y demás signos utilizados

corrientemente al sistema binario; supone pues, representar con sólo

caracteres binarios 0 y 1 todos los caracteres que, por ejemplo contiene la

máquina de escribir. Por otra parte también se estudio el complemento A1 el

cual se refiere a que, el complemento a1 de un número binario se obtiene

cambiando cada 0 por 1 y viceversa. En otras palabras, se cambia cada bit

del número por su complemento. Mientras que el complemento A2 es un

sistema que nos permite representar números binarios de forma negativa, en

donde el MSB (Bit más Significativo) es el bit del signo.

Cabe considerar, por otra parte, las operaciones aritméticas con números

en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1.

El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0

y 1 + 0 = 1. La adición, sustracción se realizan de manera similar a las del

sistema decimal.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Tocci Ronald J., Neal S. Widmer. Sistemas Digitales 2da edición,

Pearsons Educación, México, 2003.

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REFERENCIA ELECTRONICA

Introducción al estudio de los circuitos lógicos y sistemas numéricos. (S.F).

Recuperado 27 de diciembre de 2011 desde

http://www.monografias.com/trabajos32/sistemas-numericos/sistemas-

numericos.shtml

Sistemas de Numeración. (S.F).

Recuperado 27 de Diciembre de 2011 desde

https://sites.google.com/site/sistemasdemultiplexado/principios-de-electrnica-

digital-y-puertas-lgicas/1-1-sistemas-de-numeracionhtm

Tema más electrónica. (2004) Recuperado 27 de diciembre de 2011 desde

http://lamont13.wikispaces.com/file/view/tema+electronica.pdf

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2011 desde

http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/aritmetica.html

Capitulo 2. Sistema de Numeración. (2002) Recuperado 10 de Enero de 2012

desde

http://www.speccy.org/curso-cm/fr_cap2.html

Aritmética Binaria. (2004) Recuperado 10 de Enero de 2012 desde

http://www.iuma.ulpgc.es/~jrsendra/Docencia/Electronica_Basica/download/trans

parencias/aritmetica_binaria.pdf

23