``Sistema de Ecuaciones Diferenciales`` - WikiUASD4.+Sistemas+de... · ``Sistema de Ecuaciones Diferenciales`` Prof. Gil Sandro Gómez 1 Unidad 4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

``Sistema de Ecuaciones Diferenciales``

Prof. Gil Sandro Gómez 1

Unidad 4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales tienen una gran utilidad en ingeniería así como

en la ciencia, pero la mayoría de los problemas no dependen de una

ecuación, sino de un sistema de ecuaciones que casi siempre, éstas son

diferenciales. De ahí la necesidad que nos adentremos en el estudio de los

sistemas de ecuaciones diferenciales.

Definición. Un conjunto de ecuaciones diferenciales con varias funciones

incógnitas, se llama sistema de ecuaciones diferenciales.

Solución de un sistema. Una solución de un sistema de ecuaciones

diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciales

1 2( ), ( ),x x y x 3( )z x , etcétera, que satisface cada ecuación del

sistema en algún intervalo común .I

Sistema de primer orden

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

' ... ( )

' ... ( )

' ... ( )

n n

n n

n n n nn n n

x a x a x a x f t

x a x a x a x f t

x a x a x a x f t

donde t es la variable independiente y ( ),1ix x t i n , son n funciones de

t (variables dependientes).

4.2 Método de eliminación

La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales

lineales se agiliza al escribir una vez más cada ecuación del sistema en

notación de operador diferencial.

Procedimiento de eliminación para sistema de ecuaciones diferenciales 2x2

Paso 1. Se escribe el sistema en términos de operadores diferenciales lineales.

Paso 2. Se elimina la variable x , multiplicando la ecuación (1) del sistema por

el coeficiente de x la ecuación (2) del sistema y multiplicando la ecuación

(2) por el coeficiente de x de la ecuación (1), tratando que al multiplicarse

ambas ecuaciones queden con signos diferentes y así poder eliminarlos

realizando la suma.



Paso 3. La ecuación factorizada obtenida en el paso (3) se resuelve utilizando

la ecuación característica para hallar las raíces.

Paso 4. Observando el tipo de raíces obtenidas en el paso anterior se decide

la solución complementaria ( )y t que se tendrá.

Paso 5. Al realizar de nuevo los pasos (2), (3) y (4) se elimina la variable y y se

obtiene ( )x t .

Paso 6. Se eliminan las constantes adicionales sustituyendo las expresiones

para ( ) ( )x t y y t en una o ambas ecuaciones del sistema.

Paso 7. Se encuentra la solución del sistema original en función de las demás

constantes.

Si el determinante del sistema es cero, se dice que el sistema es degenerado.

Un sistema degenerado puede no tener soluciones, o si posee soluciones,

éstas pueden implicar cualquier cantidad de constantes arbitrarias.

Ejemplo 1. Mediante el método de eliminación halle la solución del sistema

de ecuaciones dado, donde la derivación es con relación a la variable .t

4

~ (1)

dxx y

dt

dyx y

dt

Primero escribimos el sistema (1) en forma de operadores:

4 0

0

1 4 0

1 0

Dx x y

Dy x y

D x y

x D y



Ahora eliminamos la variable x :

2

2

. ( -1) :

1 4 0

-( -1) ( -1) 1 0

( -1) 1 4 0

( -1) 1 4 0 ( 2 1) 4 0

( 2 5) 0 ~ (3)

Multiplicamos la ec del sistema por D

D x y

D x D D y

D D y y

D D y y D D y y

D D y

Escribimos la ecuación auxiliar de (3):

2 2 5 0 ~ (4)m m

La solución de (4) es:

2

1 2

2 ( 2) 4(5)(1)1 2 1 2 , 1 2

2m i m i m i

De ahí que la solución de (3) viene dada por:

1 2( ) cos2 2 ~ (2)t ty t c e t c e sen t

Retornamos al sistema de ecuaciones (1) para eliminar la variable y :

2 2

.(1) ( -1) y la ecuacion (1) del sist. por -4 :

1 1 4 1 0

4 4 1 0

( 2 1) 4 0 ( 2 5) 0 ~ (5)

Multiplicamos la ec del sistema por D

D D x D y

x D y

D D x x D D x

La ecuación auxiliar de (5) es:

2 2 5 0 ~ (6)m m

Resolviendo (6):

1 2

2 4 20 2 16 2 41 2

2 2 2

1 2 , 1 2

im i

m i m i

Entonces, 3 4( ) cos2 s 2 ~ (3)t tx t c e t c e en t



Ya determinada la solución ( ( ), ( ))x t y t , buscamos la solución definitiva

expresando 3 4 c y c en función de

1 2 c y c .

Derivamos (3):

3 3 4 42 cos2 2 2 cos2 2 ~ (4)t t t tdxc e t c e sen t c e t c e sen t

dt

Sustituimos (2), (3) y (4) en la primera ecuación del sistema:

3 3 4 4 3 4 1 22 cos2 2 2 cos2 2 s2 2 4 s2 4 2 ~ (5)t t t t t t t tc e t c e sen t c e t c e sen t c e co t c e sen t c e co t c e sen t

Comparando términos semejantes en (5), tenemos que:

3 4 4 2

3 4 3 1

2 4~ (6)

2 4

c c c c

c c c c

Resolviendo el sistema (6)

3 2 4 12 2c cc y c c

Sustituyendo los valores de 3 4 c y c en (3), la solución de (1) es:

2 1

1 2

( ) (2 cos2 2 2 )

( ) ( cos2 2 )

t

t

x t c t c sen t e

y t c t c sen t e

4.3 Sistemas autónomos

Definición. Un sistema de ecuaciones diferenciales es autónomo si no

depende explícitamente de la variable independiente, su forma general

(para el caso de dos ecuaciones de primer orden) será por tanto:

( , )

~ (7)

( , )

dxf x y

dt

dyg x y

dt

Para los sistemas autónomos es siempre posible aplicar una estrategia de

resolución que consiste en obtener en primer lugar la ecuación implícita de



las órbitas solución, de la siguiente manera: Las ecuaciones pueden escribirse

de forma diferencial:

( , )

~ (8)

( , )

dxdt

f x y

dydt

g x y

así, se puede eliminar la variable independiente, igualando los primeros

miembros y obtenemos la ecuación diferencial ordinaria:

~ (9)( , ) ( , )

dx dy

f x y g x y

cuyas curvas solución son las órbitas del sistema de ecuaciones. Si en la

solución general es posible despejar una de las incógnitas, entonces su

sustitución en el sistema original nos proporciona una ecuación ordinaria y, en

definitiva, las soluciones del sistema.

Si despejamos a 𝑑𝑦/𝑑𝑥 de la ecuación (9), tenemos que:

( , )

~ (10)( , )

dy g x y

dx f x y

Cuando nos referimos a (10), hablamos de la ecuación en el plano fase. Si en

lugar de graficar 𝑥 o 𝑦 en función del tiempo, graficamos a 𝑥 contra 𝑦

obtenemos el llamado plano de fase o retraso o diagrama de fase como se

muestra en gráfica 1.



Puntos críticos y soluciones de equilibrio

Definición. Un punto 0 0( , )x y donde 0 0( , ) 0f x y y 0 0( , ) 0g x y es un punto

crítico o punto de equilibrio del sistema ( , ), ( , )dx dy

f x y g x ydt dt

y la

solución constante correspondiente 0 0( ) , ( )x t x y t y es una solución de

equilibrio. El conjunto de todos los puntos críticos es el conjunto de puntos

críticos.



Clasificación de los puntos críticos

Los puntos críticos de acuerdo a su comportamiento se clasifican en:

a. Estable. Sea 1x un punto crítico de un sistema autónomo y sea ( )x x t la

solución que satisface la condición inicial 0(0)x x , donde 0 1x x . Se dice

1x que es un punto crítico estable cuando para cada 0 existe un valor

0 (posiblemente dependiente de) tal que la condición inicial satisface

0 1 1( ) , 0.x x x t x t Si, además, 1

0lim ( )t

x t x

siempre

que 0 1x x , se llama a 1x un punto crítico asintóticamente estable.

b. Inestable. Sea 1x un punto crítico de un sistema autónomo y sea ( )x x t

la solución que satisface la condición inicial 0(0)x x , donde 0 1x x . Se

dice 1x que es un punto crítico estable inestable si existe un disco abierto

de radio 0 con la propiedad de que, para cualquier 0 , hay una

posición inicial 0x que satisface 0 1x x , pero la solución

correspondiente ( )x t satisface 1( )x t x para al menos un 0t .

Fig. 4. Punto estable

4. 4 Métodos matriciales para resolver sistemas lineales

Todo proceso está basado en el aprendizaje significativo, que es quien

sustenta la solución de problemas. El factor más importante que influye en el

aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. La experiencia sobre la cual

queremos trabajar es retomar lo que ya se sabe del Álgebra Lineal y

aplicarlo a la solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y así notarán

la utilidad de estos conceptos.



A continuación expondremos la metodología e ideas básicas de cómo

resolver estos S.E.D.

Si 𝑋, 𝐴 𝑡 𝑦 𝑓(𝑡) denotan, respectivamente, las matrices

1 111 12 1

2 221 22 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ... ( )

( ) ( )( ) ( ) ... ( )( ) , ( ) , ( )

( ) ( ) ... ( )( ) ( )

n

n

n n nnn n

x t f ta t a t a t

x t f ta t a t a tX t A t f t

a t a t a tx t f t

Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

111 1 12 2 1 1

221 1 22 2 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( )

n n

n n

nn n nn n n

dxa t x a t x a t x f t

dt


dt


dt

~ (11)

Puede ser escrito como,

1 111 12 1

2 221 22 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ... ( )

( ) ( )( ) ( ) ... ( )~ (12),

( ) ( ) ... ( )( ) ( )

n

n

n n nnn n

x t f ta t a t a t

x t f ta t a t a td

dt

a t a t a tx t f t

o simplemente ( ) ( ) ~ (13)dX

A t X f tdt

, si el sistema (13) es homogéneo,

(13) se convierte en ( ) ~ (14)dX

A t Xdt

.

Ejemplo. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo, escríbalo

en forma matricial.

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −2𝑥 + 5𝑦 + 𝑒𝑡 − 2𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥 − 3𝑦 + 10𝑡



En su forma matricial puede ser escrito como:

𝑑𝑋

𝑑𝑡=

−2 54 −3

𝑋 + 𝑒𝑡 − 2𝑡10𝑡

𝑜 𝑋′ = −2 54 −3

𝑋 + 10 𝑒𝑡 +

−210

𝑡, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑋 = 𝑥𝑦

Definición. Un vector solución en un intervalo 𝐼 es cualquier matriz columna

𝑋 =

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)

⋮𝑥𝑛 (𝑡)

cuyos elementos son diferenciables, y tal que satisface el sistema

(13) en el intervalo.

El problema con valores iniciales para el sistema normal (11) es el problema

de determinar una función vectorial diferenciable 𝑥(𝑡) que satisfaga el

sistema en el intervalo 𝐼 y que además, satisfaga la condición inicial 𝑥 𝑡0 =

𝑥0, donde 𝑡0 es un punto dado de 𝐼 y 𝑥0 𝑡 = 𝑐𝑜𝑙(𝑥1,0,..,𝑥𝑛 ,0) es un vector

dado.

Existencia y unicidad

Teorema 1. Sean 𝐴(𝑡) y 𝑓(𝑡) continuas en un intervalo abierto 𝐼 que contiene

al punto 𝑡0. Entonces, cualquier elección del vector 𝑥0 = 𝑐𝑜𝑙(𝑥1,0, … , 𝑥𝑛 ,0),

existe una única solución 𝑥(𝑡) en todo el intervalo 𝐼 del problema con

valores iniciales

𝑋′ 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑋 𝑡 + 𝑓 𝑡 , 𝑥 𝑡0 = 𝑥0.

Más adelante veremos un conjunto de vectores soluciones linealmente

dependiente e independiente de un sistema homogéneo.

Definición. Sea 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 un conjunto de vectores solución del sistema

homogéneo (14) en el intervalo 𝐼. Decimos que el conjunto es linealmente

dependiente en el intervalo si existen constantes 𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 , no todas nulas,

tales que 𝑐1𝑋1 + 𝑐2𝑋2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑋𝑛 = 0 para todo 𝑡 del intervalo. Si el conjunto de

vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es

linealmente independiente.

Wronskiano

Definición. El Wronskiano de 𝑛 funciones vectoriales

𝑥1 𝑡 = 𝑐𝑜𝑙 𝑥1,1, … , 𝑥𝑛 ,1 , … , 𝑥𝑛 𝑡 = 𝑐𝑜𝑙(𝑥1,𝑛 , … , 𝑥𝑛 ,𝑛 ) se define como la función con

valores reales.



𝑊 𝑥1,, … , 𝑥𝑛 𝑡 =

𝑥1,1 𝑡 𝑥1,2 𝑡

𝑥2,1 𝑡 𝑥2,2 𝑡

… 𝑥1,𝑛 𝑡

… 𝑥2,𝑛 𝑡

⋮ ⋮ ⋮𝑥𝑛 ,1 𝑡 𝑥𝑛 ,2 𝑡 … 𝑥𝑛 ,𝑛 𝑡

.

Si 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son soluciones linealmente independientes en 𝐼 para el sistema

homogéneo 𝒙′ = 𝑨𝒙, donde 𝑨 es una matriz 𝑛𝑥𝑛 de funciones continuas,

entonces el Wronskiano 𝑊(𝑡) nunca se anula en 𝐼. En caso que éste sea igual

a cero, las soluciones son linealmente dependientes.

Conjunto fundamental de soluciones

Definición. Si 𝑋1, 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 es un conjunto cualquiera de soluciones de 𝑛

vectores solución linealmente independiente del sistema homogéneo (14) en

el intervalo 𝐼, entonces es un conjunto fundamental de soluciones en el

intervalo.

Representación de soluciones (caso homogéneo)

Teorema 2. Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 𝑛 soluciones linealmente independientes del

sistema homogéneo

𝑋′ = 𝐴 𝑡 𝑋 𝑡 ~(14)

en el intervalo 𝐼, donde 𝑨(𝒕) es una función matricial 𝑛𝑥𝑛, continuas en 𝐼.

Entonces, toda solución de (14) en 𝐼 se puede expresar en la forma:

𝑋 𝑡 = 𝑐1𝑋1 𝑡 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝑡 ~(15),

donde 𝑐1, … , 𝑐𝑛 son constantes.

Considerando los vectores de un conjunto fundamental de soluciones y

formamos las columnas de una matriz 𝑋(𝑡) la siguiente manera,

𝑿 𝒕 =

𝑥1,1 𝑡 𝑥1,2 𝑡 …

𝑥2,1(𝑡) 𝑥2,2(𝑡) …

⋮ ⋮ …

𝑥1,𝑛 𝑡

𝑥2,𝑛 (𝑡)

⋮𝑥1,𝑛 (𝑡) 𝑥2,𝑛 (𝑡) … 𝑥𝑛 ,𝑛 (𝑡)

~(16),

entonces 𝑋(𝑡) denomina matriz fundamental de (14). La podemos utilizar

para expresar la solución general (15) como

𝐱 𝒕 = 𝑋 𝑡 𝑪~(17),



donde 𝑪 = 𝑐𝑜𝑙(𝑐1, … , 𝑐𝑛 ) es un vector constante arbitrario. Dado que el

determinante 𝑊(𝑡) nunca se anula en 𝐼, esto implica de acuerdo a la teoría

de las matrices que 𝑋(𝑡) tiene inversa para cada 𝑡 en 𝐼.

Ejemplo. Determine si el conjunto 𝑆 es un conjunto fundamental de soluciones

para el sistema dado. Si la respuesta es afirmativa, halle la solución general.

𝑆 = 𝑒𝑡

𝑒𝑡 , 𝑒−𝑡

3𝑒−𝑡 , 𝑥 ′ =

2 −13 −2

𝒙~(𝟏) en (∞,-∞)

Primero analicemos si 𝑆 es un conjunto linealmente independiente

𝑊 𝑡 = 𝑒𝑡 𝑒−𝑡

𝑒𝑡 3𝑒−𝑡 = 𝑒𝑡3𝑒−𝑡 − 𝑒𝑡𝑒−𝑡 = 3 − 1 = 2

Como el determinante es diferente de cero, decimos que 𝑆 es un conjunto

linealmente independiente.

Comprobemos si cada vector columna es una solución del sistema dado.

𝑋′ 𝑡 = 2 −13 −2

𝑒𝑡

𝑒𝑡 =

2𝑒𝑡 − 𝑒𝑡

3𝑒𝑡 − 2𝑒𝑡 =

𝑒𝑡

𝑒𝑡 ~(2)

Hagamos el análisis para el segundo vector columna, también.

𝑋′ 𝑡 = 2 −13 −2

𝑒−𝑡

3𝑒−𝑡 =

2𝑒−𝑡 − 3𝑒−𝑡

3𝑒−𝑡 − 6𝑒−𝑡 =

−𝑒−𝑡

−3𝑒−𝑡 ~(3)

Si observamos los resultados (2) y (3), podemos decir que estos vectores

satisfacen el sistema.

La matriz fundamental para el sistema es:

𝑋 𝑡 = 𝑒𝑡 𝑒−𝑡

𝑒𝑡 3𝑒−𝑡 ~(4)

La solución de (1) viene expresada por

𝐱 𝐭 = 𝑿 𝒕 𝒄 = 𝑐1 𝑒𝑡

𝑒𝑡 + 𝑐2

𝑒−𝑡

3𝑒−𝑡



Representación de soluciones (no homogéneo)

Teorema 3. Sea x𝑝 una solución particular del sistema no homogéneo

𝐱′ 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝐱 𝑡 + 𝑓 𝑡 ~(18)

en el intervalo 𝐼 y sea {𝐱𝟏, … , 𝐱𝑛 } un conjunto fundamental de soluciones en 𝐼

para el sistema homogéneo 𝑋′ = 𝐴 𝑡 𝑋 𝑡 . Entonces toda solución de (18) en

𝐼 se puede expresar en la forma

𝐱 𝑡 = 𝐱𝑝 𝑡 + 𝑐1𝐱1 𝑡 + ⋯ + 𝑐𝑛𝐱𝑛 𝑡 ~(19),

donde 𝑐1, … , 𝑐𝑛 son constantes.

La expresión (19) es la solución general de (18). Esta solución general puede

expresarse también como 𝐱 = 𝐱𝐩 + 𝐗𝐜, 𝐗 donde es una matriz fundamental

para el sistema homogéneo y 𝐜 es un vector constante arbitrario.

Método para resolver sistemas normales

1. Para determinar una solución general del sistema homogéneo 𝑛 × 𝑛

𝐱′ = 𝐀𝐱:

a. Determine un conjunto fundamental de soluciones {𝐱𝟏, … , 𝐱𝐧} que

consta de 𝑛 soluciones linealmente independientes del sistema

homogéneo.

b. Forme la combinación lineal

𝐱 = 𝐗𝐜 = 𝐜𝟏𝐱𝟏 + ⋯ + 𝐜𝐧𝐱𝐧,

donde 𝑐 = 𝑐𝑜𝑙 𝑐1, … , 𝑐𝑛 es cualquier vector constante y 𝑿 = [𝐱𝟏, … , 𝐱𝒏]

es una matriz fundamental para obtener una solución general.

2. Para determinar una solución general del sistema no homogéneo

𝐱′ = 𝐀𝐱 + 𝐟:

a. Determine una solución particular x𝑝 del sistema homogéneo.

b. Forme la solución general con la suma de la solución particular y la

solución complementaria, obtenida en el paso 1.

𝐱 = 𝐱𝑝 + 𝐗𝐜.



4.5 Método de los valores propios para resolver sistemas de ecuaciones

homogéneos.

Antes de iniciar el desarrollo del método, debemos recordar algunos

conceptos básicos del Álgebra Lineal, tales como:

Valor propio. Sea 𝑨 una matriz de tamaño 𝑛 × 𝑛 . El número 𝜆 es un valor

propio de 𝑨 si se verifica que

𝐴𝑢 = 𝜆𝑢~(5),

Vector propio. El vector no nulo 𝑢 que satisface la ecuación (5) se llama

vector propio de 𝑨 asociado al valor propio 𝝀.

La ecuación (5) que nos permitió definir los conceptos de valor propio y

vector propio puede escribirse como

𝜆𝐼 − 𝐴 𝒖 = 0~(6),

con lo que los valores propios, si existen, son los vectores no nulos solución del

sistema lineal homogéneo

𝜆𝐼 − 𝐴 𝒙 = 0~(7).

Este sistema tiene una solución distinta a la trivial, si y sólo si, la matriz 𝜆𝑰 − 𝑨

no es invertible, o equivalente si

det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0~(8).

La ecuación (8) recibe el nombre de ecuación característica de la Matriz 𝐴.

Definición. Se llama polinomio característico de una matriz cuadrada 𝐴 al

polinomio

𝑃𝐴 𝜆 = det 𝜆𝐼 − 𝐴 ~(9).

Definición. Llamamos multiplicidad algebraica de un valor propio, a la

multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, el número de

veces que aparece como raíz de dicho polinomio.

Subespacio propio. Sea 𝜆 un valor propio de una matriz 𝑨 de tamaño 𝑛 × 𝑛.

Se llama subespacio propio de 𝑨 asociado a 𝜆 al subespacio vectorial

𝐸 𝜆 = 𝑁𝑢𝑐 𝜆𝐼 − 𝐴 = {𝑥𝜖ℝ𝑛 : 𝜆𝐼 − 𝐴 𝑥 = 𝟎 } .

A la dimensión del subespacio propio 𝐸 𝜆 se le conoce como multiplicidad

geométrica de 𝜆.



El subespacio propio contiene a todos los vectores propios asociados a 𝜆 y

además, al vector nulo.

Ejemplo. Encuentre los valores y vectores propios de la Matriz 𝑨.

𝐴 = 4 −42 −3

Escribimos el polinomio característico:

𝑃 𝜆 = det 𝜆𝐼 − 𝐴

𝑃 𝜆 = 𝜆 00 𝜆

− 4 −52 −3

= 𝜆 − 4 5−2 𝜆 + 3

= 𝜆 − 4 𝜆 + 3 + 10 = 𝜆2 −

𝜆 − 2

Igualamos a cero el polinomio característico para hallar los valores propios de

𝑨.

𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0, ecuación característica asociada a la matriz dada.

La solución de la ecuación la tenemos mediante factorización:

𝜆2 − 𝜆 − 2 = 𝜆 − 2 𝜆 + 1 = 0

Los valores propios son:

𝜆1 = 2

𝜆2 = −1

Calculamos los vectores propios para cada valor propio determinado.

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜆 = 2 −2 5−2 5

𝑢

𝑣 =

0

0

−2𝑢 + 5𝑣 = 0

−2𝑢 + 5𝑣 = 0

𝑢 =5

2𝑣 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 = 5

Esto implica que el vector propio asociado a 𝜆 = 2 es:

𝐾1 = 52



Hallamos el vector propio para 𝜆2 = −1:

−5 5−2 2

𝑤

𝑧 =

0

0 →

−5𝑤 5𝑧−2𝑤 2𝑧

= 0

0

−5𝑤 + 5𝑧 = 0−2𝑤 + 2𝑧 = 0

La solución del sistema es:

𝑤 = 𝑧 para 𝑧 = 1 → 𝑤 = 1,

entonces el vector propio es:

𝐾2 = 1

1

Teorema 4. Independencia Lineal de Vectores propios.

Si 𝜆1, … , 𝜆𝑛 son valores propios distintos para la matriz 𝐴 y 𝐾𝑖 es un vector propio

asociado a 𝜆𝑖 , entonces 𝐾1,, … , 𝐾𝑛 son linealmente independientes.

Matriz real simétrica. Una matriz real 𝐴 de dimensión 𝑛 × 𝑛 es simétrica si se

cumple que 𝐴 = 𝐴𝑇.

Ejemplo. Analice si la siguiente matriz es simétrica.

𝐴 = 2 7 17 2 71 7 2

La transpuesta de la matriz dada es:

𝐴𝑇 = 2 7 17 2 71 7 2

Como 𝐴𝑇 = 𝐴, entonces 𝐴 es simétrica.

Nota: Si la matriz real 𝐴 𝑛 × 𝑛 es simétrica, sabemos que tiene 𝑛 vectores

propios linealmente independientes.

Si una matriz 𝐴 no es simétrica, es posible que tenga un valor propio repetido

pero que no tenga dos vectores propios correspondientes linealmente

independientes.



Valores propios distintos

Corolario 1. Si la matriz 𝐴 tiene 𝑛 valores propios distintos 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 y 𝐾𝑖 es un

vector propio asociado a 𝜆𝑖 , entonces

𝑒𝜆1𝑡𝐾1, … , 𝑒𝜆𝑛 𝑡𝐾𝑛

es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo

x′ = Ax~(8).

Teorema 5. Solución general de un sistema homogéneo

Si 𝜆1, … , 𝜆𝑛 valores propios reales y diferentes de la matriz de coeficientes 𝐴 del

sistema homogéneo (8), y sean 𝐾1, … , 𝐾𝑛 los vectores propios correspondientes.

Entonces, la solución general de (8) en el intervalo ∞, −∞ está dada por

X = ∁1K1eλ1t + … + ∁nKn eλn t~(9).

Ejemplo. Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado.

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥 + 3𝑦

~(10)

1. Escribimos el sistema en forma matricial:

𝑥′𝑦′

= 1 24 3

𝑥𝑦 ~(11)

2. Determinemos los valores propios asociados a la matriz de coeficientes

constantes.

Para determinar los valores propios, debemos hallar el polinomio

característico asociado, el cual viene dado por

𝑃 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 1 − 𝜆 24 3 − 𝜆

= 1 − 𝜆 3 − 𝜆 − 4 2 = 𝜆2 − 4𝜆 − 5~(12)

Igualamos (12) cero:

𝜆2 − 4𝜆 − 5 = 0~(13)

Resolviendo la ecuación (13) tenemos que los valores de 𝜆 son:

𝜆 = 5 𝑦 𝜆 = −1

3. Calculamos los vectores propios asociados a cada valor propio del paso

(2).



Vector propio para 𝜆 = 5

𝐴 − 𝜆𝐼 𝐾 = 𝟎

−4 24 −2

𝑢

𝑣 =

0

0 ~(14)

Resolviendo el sistema (14):

−4𝑢 + 2𝑣 = 0

4𝑢 − 2𝑣 = 0

𝑣 = 2𝑢 para 𝑢 = 1, tenemos que: 𝐾1 = 12

Ahora calculamos el vector propio para 𝜆 = −1:

2 24 4

𝑢

𝑣 =

0

0 ~(15)

2𝑢 + 2𝑣 = 04𝑢 + 4𝑣 = 0

La solución del sistema nos dice que 𝑢 = −𝑣, para 𝑣 = 1, entonces

𝐾2 = −1

1

4. Dado que tenemos calculado los vectores propios de la matriz de

coeficientes constantes del sistema, podemos escribir la solución general

usando la ecuación (9):

𝑋 𝑡 = ∁1 12 𝑒5𝑡 + ∁2

−1

1 𝑒−𝑡

Valores propios repetidos

Vamos analizar cuando no todos los valores propios son diferentes, es decir, que

algunos valores propios son repetidos.

Si 𝑚 es un entero positivo y (𝜆 − 𝜆1)𝑚 es un factor de la ecuación característica

de 𝑨, mientras que (𝜆 − 𝜆1)𝑚+1 no es un factor, entonces se dice que 𝜆1 es un

valor propio de multiplicidad 𝒎. A continuación estudiaremos los siguientes

casos:

i. Para algunas matrices 𝑨𝒏×𝒏 es posible encontrar 𝑚 vectores propios

linealmente independientes 𝐾1, … , 𝐾𝑚 que corresponden a un valor

propio 𝜆1 de multiplicidad 𝑚 ≤ 𝑛. En este caso, la solución general del

sistema contiene la combinación lineal



∁1𝐾1𝑒𝜆1𝑡 + … + ∁𝑚𝐾𝑚𝑒𝜆1𝑡~(16).

ii. Si sólo hay un vector propio que corresponde al valor propio 𝜆1 de

multiplicidad 𝑚, entonces siempre se puede determinar 𝑚 soluciones

linealmente independientes de la forma

𝑋1 = 𝐾11𝑒𝜆1𝑡

𝑋2 = 𝐾21𝑡𝑒𝜆1𝑡 + 𝐾22𝑒𝜆1𝑡

.

.

.

𝑋𝑚 = 𝐾𝑚1𝑡𝑚 −1

(𝑚−1)!𝑒𝜆1𝑡 + 𝐾𝑚1

𝑡𝑚 −2

(𝑚−2)!𝑒𝜆1𝑡 + ⋯ + 𝐾𝑚𝑚 𝑒𝜆1𝑡

donde 𝐾𝑖𝑗 son vectores columnas.

Valor propio de multiplicidad dos.

Si la matriz 𝐴 del sistema 𝑋′ = 𝐴𝑋 es simétrica y tiene elementos reales, es

posible determinar 𝑛 vectores propios linealmente independientes,

𝐾1, 𝐾2, … , 𝐾𝑛 . La solución general viene dada de acuerdo al teorema 5, no

importa que los valores propios sean repetidos.

Segunda solución. Asumamos que 𝜆1 es un valor propio de multiplicidad dos

y que sólo hay un vector propio asociado con él. Se puede determinar una

segunda solución de la forma

𝑋2 = 𝐾𝑡𝑒𝜆1𝑡 + 𝑃𝑒𝜆1𝑡~(17),

en donde 𝐾 =

𝑘1

𝑘2

⋮𝑘𝑛

y 𝑃 =

𝑝1

𝑝2

⋮𝑝𝑛

.

Si sustituimos (17) en el sistema 𝑋′ = 𝐴𝑋, encontramos que los valores de 𝐾 y 𝑃

Deben satisfacer las siguientes relaciones:

𝐀 − 𝜆1𝐈 𝐊 = 𝟎 ~ 18

𝐀 − 𝜆1𝐈 𝐏 = 𝐊~(19)

La ecuación (18) nos dice que 𝐊 debe ser un vector característico de 𝐴

asociado 𝜆1. Al resolver las ecuaciones (18) y (19), encontramos

respectivamente las soluciones: 𝑋1 = 𝐾𝑒𝜆1𝑡 y 𝑋2, porque con la solución de

(19) obtenemos el vector 𝑃.



Valor propio de multiplicidad tres.

Cuando la matriz de coeficientes 𝑨 tiene sólo un vector propio relacionado

con 𝜆1 de multiplicidad tres, se puede encontrar una segunda solución con

(17) y una tercera solución de la forma

𝐗3 = 𝐊𝑡2

2𝑒𝜆1𝑡 + 𝐏𝑡𝑒𝜆1𝑡+𝐐𝑒𝜆1𝑡~(20),

donde 𝚱 =

𝑘1

𝑘2

⋮𝑘𝑛

, 𝐏 =

𝑝1

𝑝2

⋮𝑝𝑛

𝑦 Q=

𝑞1

𝑞2

⋮𝑞𝑛

.

Al sustituir (20) en el sistema 𝑋′ = 𝐴𝑋, se determina que los vectores columnas

𝐊, 𝐏 y 𝐐 deben satisfacer

𝐀 − λ1𝐈 𝐊 = 𝟎~ 21

𝐀 − λ1𝐈 𝐏 = 𝐊~ 22

𝐀 − λ1𝐈 𝐐 = 𝐏~ 23

La solución de (21), (22) y (23) respectivamente nos permiten formar las

soluciones de 𝐗1 , 𝐗𝟐 y 𝐗𝟑.

Ejemplo. Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones.

𝑥′ = 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧

𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧

𝑧′ = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧

a). Primero expresamos el sistema dado en forma matricial:

𝑋′ = 𝐴𝑋

𝑋′ = 3 −1 −11 1 −11 −1 1

𝑥𝑦𝑧 ~(2)

b). Escribimos la ecuación característica del sistema

det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

3 −1 −11 1 −11 −1 1

− 𝜆 1 0 00 1 00 0 1

= 0



3 − 𝜆 −1 −1

1 1 − 𝜆 −11 −1 1 − 𝜆

= 0~(3)

C). El polinomio característico viene dado por el cálculo de (3):

𝑝 𝜆 = −𝜆3 + 5𝜆2 − 8𝜆 + 4~(4)

d). Procedemos a determinar los valores propios de 𝑨:

Para encontrar los valores propios de 𝑨, calculamos los ceros (4), éstos

pueden ser determinado usando un programa o manualmente aplicando el

teorema de Ruffini, también puedes factorizar el polinomio característico.

Factorizando tenemos que −𝜆 + 1 (𝜆 − 2)2 = 0, de ahí que los factores del

polinomio son: 𝜆1 = 1 y 𝜆2 = 2, el segundo valor propio es de multiplicidad dos.

Calculamos el vector propio para 𝜆1 = 1

2 −1 −11 0 −11 −1 0

𝑘1

𝑘2

𝑘3

= 000 ~(5)

Escribimos (5) en su forma normal:

2𝑘1 − 𝑘2 − 𝑘3 = 0

𝑘1 − 𝑘3 = 0𝑘1−𝑘2 = 0

~(6)

Resolvemos (6) para obtener el vector propio asociado a 𝜆1 = 1:

𝑘2 = 𝑘1, para 𝑘1 = 1, entonces 𝑘2 = 1 y 𝑘3 = 𝑘1, esto implica que 𝑘3 = 1

De ahí que el vector 𝐊 = 111

Ahora procedemos a buscar el vector asociado al valor propio 𝜆2 = 2, que es

de multiplicidad dos. Como la matriz tiene un vector de multiplicidad dos.

Tenemos que investigar si la matriz es simétrica, porque de serlo, nos garantiza

que tiene 𝑛 vectores propios linealmente independientes asociados al valor

propio 𝜆2 = 2.

La matriz 𝑨 del sistema no es simétrica, esto nos obliga a utilizar las

ecuaciones (18) y (19).

Ahora calculamos el vector propio asociado a 𝜆2 = 2



1 −1 −11 −1 −11 −1 −1

𝑣1

𝑣2

𝑣3

= 000 ~(7)

Expresemos (7) en su forma normal:

𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0

~(8)

Resolviendo (8) mediante el método de Gauss nos queda:

𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 = 0 → 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑣3, si 𝑣2 = 1 y 𝑣3 = 0, pues el vector propio 𝐕 es:

𝐕 = 110

Usando la ecuación (19) calculamos el tercer vector propio:

1 −1 −11 −1 −11 −1 −1

𝑤1

𝑤2

𝑤3

= 110 ~(9)

Como podemos darnos cuenta, en (9) existe una combinación lineal entre los

vectores de las filas 1 y 2. Analicemos el tercer reglón para determinar el

último vector.

𝑤1 − 𝑤2 − 𝑤3 = 0 → 𝑤1 = 𝑤2 + 𝑤3, hagamos 𝑤2 = 0, así que 𝑤1 = 𝑤3

Si 𝑤1 = 1, tenemos que 𝑤3 = 1.

𝐖 = 101

Ya tenemos calculado los tres vectores, por tanto podemos escribir la

solución del sistema.

𝑋 𝑡 = ∁1 111 𝑒𝑡 + ∁2

110 𝑒2𝑡 + ∁3

110 𝑡𝑒2𝑡 +

101 𝑒2𝑡

Valores propios complejos

Hasta hace poco habíamos venido estudiando el tema de los valores y

vectores propios, éstos eran reales. En algunas ocasiones cuando formamos

el polinomio característico nos encontramos que la solución viene dada por

valores complejos. De acuerdo a lo que aprendimos en nuestro curso de

Matemática Básica las raíces complejas vienen en parejas, es decir; ella y su

conjugada.



Teorema 6. Soluciones con valores propios complejos

Sea 𝑨 una matriz real del sistema de ecuaciones homogéneo 𝑋′ = 𝐴x 𝑡 ~(14),

y 𝐊𝟏 un vector propio correspondiente al valor propio complejo 𝜆1 = 𝛼 + 𝛽𝑖,

donde 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Dos soluciones de (14) vienen dada por 𝐊𝟏𝑒𝜆1𝑡 y 𝐾1

𝑒𝜆1 𝑡 .

Ejemplo. Halle la solución del sistema de ecuaciones diferenciales

homogéneas.

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 6𝑥 − 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 5𝑥 + 2𝑦

Lo primero que haremos es escribir el sistema en forma matricial:

𝑋′ 𝑡 = 6 −15 2

𝑥

𝑦 ~(2)

Escribimos la ecuación característica del sistema

𝑑𝑒𝑡 6 −15 2

− 𝜆 1 00 1

= 0 → 𝑑𝑒𝑡 6 − 𝜆 −1

5 2 − 𝜆 = 0

El polinomio característico es: 𝑝 𝜆 = 𝑥2 − 8𝑥 + 17

Buscamos los ceros del polinomio característico:

𝑥2 − 8𝑥 + 17 = 0

Los ceros son: 𝜆 = 4 + 𝑖 y 𝜆 = 4 − 𝑖.

Los valores propios son complejos, como podemos observar. Procedemos a

buscar los vectores propios complejos asociados.

Buscamos el vector propio para 𝜆 = 4 + 𝑖

2 − 𝑖 −1

5 −2 − 𝑖

𝑘1

𝑘2 =

0

0

Escribimos el sistema en su forma normal para hallar los valores de 𝑘1 y 𝑘2.

2 − 𝑖 𝑘1 − 𝑘2 = 0

5𝑘1 − 2 + 𝑖 𝑘2 = 0

De la primera ecuación del sistema tenemos que:

𝑘2 = 2 − 𝑖 𝑘1, si 𝑘1 = 1 → 𝑘2 = 2 − 𝑖



El vector propio asociado a 𝜆 = 4 + 𝑖 es:

𝐊 = 1

2 − i

Para 𝜆 = 4 − 𝑖, tenemos que:

2 + 𝑖 −1

5 −2 + 𝑖

𝑝1

𝑝2 =

0

0

De ahí que, 2 + 𝑖 𝑝1 − 𝑝2 = 0

5𝑝1 + −2 + 𝑖 𝑝2 = 0

De la primera ecuación del sistema tenemos que:

𝑝2 = (2 + 𝑖)𝑝1, para 𝑝1 = 1 → 𝑝2 = 2 + 𝑖

Entonces, el vector propio 𝐏 que es el conjugado de 𝐊 viene dado por:

𝐏 = 1

2 + 𝑖

La solución es: 𝐱 𝑡 = 𝑐1 1

2−𝑖 𝑒 4+𝑖 𝑡 + 𝑐2

12+𝑖

𝑒 4−𝑖 𝑡

Teorema 7. Soluciones reales que corresponden a un valor propio complejo

Sea 𝜆 = 𝛼 + 𝛽𝑖 un valor propio complejo de la matriz de coeficientes 𝑨 en el

sistema homogéneo (14) y sean 𝐁𝟏 y 𝐁𝟐 los vectores columnas. Entonces la

solución viene dada por

𝐗𝟏 = 𝐁𝟏𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 − 𝐁𝟐𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡 𝑒𝛼𝑡

𝐗𝟐 = 𝐁𝟐𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 + 𝐁𝟏𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡 𝑒𝛼𝑡 ~(𝟐𝟒)

Son soluciones linealmente independiente de (14) en (−∞, ∞).

Las matrices 𝐁𝟏 y 𝐁𝟐 se forman por lo común por 𝐁𝟏 = 𝐑𝐞(𝐊𝟏) y 𝐁𝟐 = 𝐈𝐦(𝐊𝟏).

Ejemplo. Escriba la solución del ejemplo anterior como una solución real que

pertenece a un valor propio complejo.

Como el valor propio es λ1 = 4 + 𝑖 y el vector propio asociado

𝐊 = 12−i

podemos construir la solución sabiendo que

𝐁𝟏 = 𝐑𝐞(𝐊𝟏) y 𝐁𝟐 = 𝐈𝐦(𝐊𝟏).

Ahora construimos las matrices:



𝐁𝟏 = 1

2 𝑦 𝐁𝟐 =

0

−1

Entonces la solución viene expresa como:

𝑋 𝑡 = 𝐶1 1

2 𝑐𝑜𝑠𝑡 −

0

−1 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑒4𝑡 + 𝐶2

0

−1 𝑐𝑜𝑠𝑡 +

1

2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑒4𝑡

Sistemas de ecuaciones no homogéneos

Hasta el momento habíamos estudiado solo sistemas de ecuaciones

homogéneos, ahora analizaremos sistemas no homogéneos. Un sistema de

ecuaciones es no homogéneo cuando tiene la forma 𝑋′ = 𝐴𝑋 + 𝑓 𝑡 ~(20).

No se pueden confundir los términos autónomo y no autónomo con

homogéneo y no homogéneo. Un sistema puede ser autónomo y no

homogéneo simultáneamente.

Las técnicas que utilizamos para resolver ecuaciones no homogéneas de

orden superior pueden aplicarse para los sistemas, la única diferencia es que

para los sistemas es un poco más complicado el proceso. Esto nos dice que

podemos usar coeficientes indeterminados y variación de parámetros.

Método de Coeficientes Indeterminados

Recordamos cuando estudiamos las ecuaciones diferenciales no

homogéneas que este método solo podía ser usado si 𝑓(𝑡) era un polinomio,

una función exponencial, una función seno o coseno, una constante o una

combinación finita de ellas.

El procedimiento para ser aplicado a los sistemas sigue la misma mecánica

que para las ecuaciones diferenciales no homogéneas, esto lo

confirmaremos en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 5. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

𝑋′ = 1 33 1

𝑋 𝑡 + −2𝑡2

𝑡 + 5

Para hallar la solución del sistema, tenemos que hallar la solución del sistema

de ecuaciones homogéneo asociado mediante el uso de los valores propios.

𝑋′ = 1 33 1

𝑋 𝑡 ~(5)

La ecuación característica asociada a (2) es:



𝐴 − 𝜆𝐼 = 1 33 1

− 𝜆 1 00 1

= 0

0

1 − 𝜆 3

3 1 − 𝜆 =

0

0 ~(3)

Calculamos el determinante de (3):

𝜆2 − 2𝜆 − 8 = 0~(4)

El polinomio característico de (4) es:

𝑃 𝜆 = 𝜆2 − 2𝜆 − 8~(5)

Factorizando hallamos los ceros de (5):

𝜆 − 4 𝜆 + 2 = 0 → 𝜆1 = 4, 𝜆2 = −2

Ya podemos calcular los valores propios de (3).

Comencemos para 𝜆1 = 4

1 − 4 3

3 1 − 4 =

0

0

−3 33 −3

= 0

0 ~(6)

Tomando en consideración que la matriz 𝐴 es una matriz simétrica, la

independencia lineal está garantizada.

Busquemos el vector asociado a 𝜆1 = 4

−3 33 −3

𝑝1

𝑝2 =

0

0 ~(7)

Resolviendo (7) nos encontramos que:

𝑝1 = 𝑝2, hagamos 𝑝2 = 1, entonces 𝑝1 = 1.

Pues el vector 𝐏 es:

𝐏 = 1

1

Ahora vamos a calcular el segundo vector asociado a 𝜆2 = −2:

3 33 3

𝑞1

𝑞2 =

0

0 ~(8)



Revolviendo (8) tenemos que:

3𝑞1 + 3𝑞2 = 0 → 𝑞1 = −𝑞2, asumamos que 𝑞2 = 1, entonces, 𝑞1 = −1.

𝐐 = −1

1

La solución del sistema homogéneo es:

𝐗𝑆𝐻 = 𝐶1 1

1 𝑒4𝑡 + 𝐶2

−1

1 𝑒−2𝑡

Como tenemos la solución del sistema homogéneo asociado, podemos

encontrar la solución particular.

El 𝐗𝑝 viene dado por:

𝐗𝑝 = 𝑎1

𝑏1 𝑡2 +

𝑎2

𝑏2 𝑡 +

𝑎3

𝑏3 ~(9)

Si (9) es una solución de (1), tiene que satisfacer el sistema dado.

2𝑡 𝑎1

𝑏1 +

𝑎2

𝑏2 =

1 33 1

𝑎1

𝑏1 𝑡2 +

𝑎2

𝑏2 𝑡 +

𝑎3

𝑏3 +

−2𝑡2

𝑡 + 5 ~(10)

Realizamos las operaciones indicadas en (10):

2𝑡 𝑎1

𝑏1 +

𝑎2

𝑏2 =

𝑎1 + 3𝑏1

3𝑎1 + 𝑏1 𝑡2 +

𝑎2 + 3𝑏2

3𝑎2 + 𝑏2 𝑡 +

𝑎3 + 3𝑏3

3𝑎3 + 𝑎3 +

−2𝑡2

𝑡 + 5 ~(11)

Igualamos al vector nulo la ec. (11):

𝑎1 + 3𝑏1

3𝑎1 + 𝑏1 𝑡2 +

𝑎2 + 3𝑏2

3𝑎2 + 𝑏2 𝑡 +

𝑎3 + 3𝑏3

3𝑎3 + 𝑏3 +

−2𝑡2

𝑡 + 5 − 2𝑡

𝑎1

𝑏1 −

𝑎2

𝑏2 =

0

0 ~(12)

De (12) tenemos:

𝑎1𝑡

2 + 3𝑏1𝑡2 + 𝑎2𝑡 + 3𝑏2𝑡 + 𝑎3 + 3𝑏3 − 2𝑎1𝑡 − 𝑎2 − 2𝑡2

3𝑎1𝑡2 + 𝑏1𝑡2 + 3𝑎2𝑡 + 𝑏2𝑡 + 3𝑎3 + 𝑏3 − 2𝑏1𝑡 − 𝑏2 + 𝑡 + 5 =

0

0 ~(13)

Por nuestro estudio de Álgebra Lineal sabemos que dos matrices son iguales, si

cada uno de sus elementos son iguales, este concepto vamos a aplicarlo para

resolver (13).

𝑎1 + 𝑏1 − 2 = 03𝑎1 + 𝑏1 = 0

,𝑎2 + 3𝑏2 − 2𝑎1 = 0

3𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑏1 + 1 = 0 𝑦

𝑎3 + 3𝑏3 − 𝑎2 = 03𝑎3 + 𝑏3 − 𝑏2 + 5 = 0

~(14)



Resolviendo (14) tenemos que:

𝑎1 = −1

4, 𝑏1 =

3

4, 𝑎2 =

1

4, 𝑏2 = −

1

4, 𝑎3 = −2, 𝑦 𝑏3 =

3

4~(15)

Sustituyendo (15) en (9):

𝐗𝑠𝑝 = −

14

34

𝑡2 +

14

−14

𝑡 + −234

La solución general viene dada por: 𝐗(𝑡) = 𝐗𝑠ℎ+𝐗𝑠𝑝

𝐗 𝑡 = 𝐶1 1

1 𝑒4𝑡 + 𝐶2

−1

1 𝑒−2𝑡 +

−14

34

𝑡2 +

14

−14

𝑡 + −234

El método de Variación de Parámetros

Por nuestro estudio de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas,

sabemos que para encontrar la solución general de la misma debemos

determinar una solución particular. Ésta se puede hallar usando variación de

parámetros.

La técnica de variación de parámetros puede ser usada en los sistemas de

ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos. La aplicación de variación

de parámetros para determinar la solución particular de un sistema de

ecuaciones diferenciales es un poco más laborioso que cuando lo aplicamos a

una ecuación lineal.

Para la utilización del método se debe tener un conocimiento previo de como

se calcular la inversa de una matriz, multiplicar dos matrices y que es una matriz

no singular. Para no tener ningún problema, vamos a decir cuando una matriz es

no singular. Una matriz es no singular si el valor de su determinante es diferente

de cero.

Sea 𝛗(𝑡) una matriz fundamental para el sistema homogéneo

𝐗′ 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝐗 𝑡 ~ 24 ,

donde las entradas de 𝐴 pueden ser cualesquiera funciones continuas de 𝑡.

Como una solución general de (6) viene dada por 𝛗 𝑡 𝒄, siendo 𝒄 un vector

constante 𝑛 × 1, buscamos una solución particular para el sistema no

homogéneo

𝐗′ 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝐗 𝑡 + 𝑓(𝑡)~ 25



de la forma

𝐗𝐩 𝑡 = 𝛗 𝑡 𝐔(𝑡)~ 26

Aplicando la regla de la derivada de un producto a (26) tenemos:

𝐗′𝐩 𝑡 = 𝛗 𝑡 𝐔′ 𝑡 + 𝛗′ 𝑡 𝐔 𝑡 ~ 27

Al derivar (26) es necesario mantener el orden de los factores, porque son

matrices y en el producto de las matrices no se cumple siempre la ley

conmutativa.

Sustituyendo (26) y (27) en (25) obtenemos

𝛗 𝑡 𝐔′ 𝑡 + 𝛗′ 𝑡 𝐔 𝑡 = 𝛗 𝑡 𝐔 𝑡 + 𝑓 𝑡 ~(28)

Como 𝛗 𝑡 satisface a (24), la ec. (28) se transforma en:

𝛗 𝑡 𝐔′ 𝑡 + 𝛗′ 𝑡 𝐔 𝑡 = 𝛗′ 𝑡 𝐔 𝑡 + 𝑓 𝑡 ~(29)

De ahí,

𝛗 𝑡 𝐔′ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ~(30)

Multiplicamos por 𝝋(𝑡)−1 ambos lados de (30):

𝝋(𝑡)−1𝛗 𝑡 𝐔′ 𝑡 = 𝝋(𝑡)−1𝑓 𝑡 ~(31)

Pues nos queda:

𝐔′ 𝑡 = 𝝋(𝑡)−1

𝑓 𝑡 ~(32)

Integramos a (32), entonces

𝐔 𝑡 = 𝝋(𝑡)−1

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ~(33)

Como 𝑋(𝑡)𝑝 = 𝝋(𝑡) 𝐔 𝑡 , concluimos que 𝐗(𝑡)𝑝 = 𝝋(𝑡) 𝝋(𝑡)−1

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ~(34).

Ya que hemos calculado la solución complementaria y la particular, podemos

escribir la solución general de (25):

𝐗(𝑡)𝐺 = 𝛗 𝑡 𝒄 + 𝝋 𝑡 𝝋 𝑡 −1𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ~ 35 .

Como advertimos cuando estudiábamos el método de variación de parámetros

para ecuaciones lineales no homogéneas, que al realizar la integral en (33) no

era necesario usar la constante de integración.

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``Sistema de Ecuaciones Diferenciales`` - WikiUASD4.+Sistemas+de... · ``Sistema de Ecuaciones Diferenciales`` Prof. Gil Sandro Gómez 1 Unidad 4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales