Sistemas Aleatorios: Axiomas de Probabilidad · Probabilidad es asignar a cada evento A un numero P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dar a una medida precisa de la

Sistemas Aleatorios: Axiomas de Probabilidad

Computacion / Matematicas

MA2006

Computacion / Matematicas Sistemas Aleatorios: Axiomas de Probabilidad

Axiomas de probabilidad

Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de laProbabilidad es asignar a cada evento A un numero P(A) llamadola probabilidad del evento A el cual dara una medida precisa de laoportunidad de que el evento A ocurra.




1 Para cualquier evento A, P(A) ≥ 0.





2 P(S) = 1.





2 P(S) = 1.

3 Si A1, A2, . . . es un conjunto de eventos mutuamenteexcluyentes (es decir Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j), entonces

P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) =∞∑i=1

P(Ai )


Proposicion 1

P(∅) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningunresultado. Recuerde que la definicion del espacio muestralconsideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento.


Proposicion 1

P(∅) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningunresultado. Recuerde que la definicion del espacio muestralconsideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento.DemostracionTome cada Ai = ∅, ası nuestra coleccion de conjuntos esmutuamente excluyente. Por tanto,


Proposicion 1


P(∅) = P(∪∞i=1Ai )


Proposicion 1


P(∅) = P(∪∞i=1Ai )=

∑∞i=1 P(Ai )


Proposicion 1


P(∅) = P(∪∞i=1Ai )=

∑∞i=1 P(Ai )

=∑∞

i=1 P(∅)


Proposicion 1


P(∅) = P(∪∞i=1Ai )=

∑∞i=1 P(Ai )

=∑∞

i=1 P(∅)

Esto solo ocurre cuando P(∅) = 0.


Proposicion 2

El axioma 3 se cumple para una coleccion finita de conjuntosmutuamente excluyentes y no solo para una coleccion infinita deconjuntos mutuamente excluyentes.


Proposicion 2

El axioma 3 se cumple para una coleccion finita de conjuntosmutuamente excluyentes y no solo para una coleccion infinita deconjuntos mutuamente excluyentes.DemostracionSea B1, B2,. . . ,Bn una coleccion finita de eventos mutuamenteexcluyentes cualquiera. Definamos la coleccion de eventos Ai = Bi

para 1 ≤ i ≤ n y Ai = ∅ para i > n. Ası A1, A2, A3,. . . es unacoleccion mutuamente excluyente de eventos y podemos aplicar elaxioma 3:


Continuacion

P(B1 ∪ · · · ∪ Bn) = P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An)= P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ · · · )= P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ An+1 ∪ · · · )= P(∪∞i=1Ai )=

∑∞i=1 P(Ai )

= P(A1) + P(A2) + · · ·= P(A1) + · · ·+ P(An) + P(An+1) + P(An+2) + · · ·= P(A1) + · · ·+ P(An) + P(∅) + P(∅) + · · ·= P(A1) + · · ·+ P(An) + 0 + 0 + · · ·= P(A1) + · · ·+ P(An)= P(B1) + P(B2) + · · ·+ P(Bn)


Ejemplo

Considere el experimento de lanzar una moneda al aire. En estecaso, S = {C ,X}. Todos los eventos posibles son:

{∅, {C}, {X},S}


Ejemplo


{∅, {C}, {X},S}

Y sabemos que cualquier funcion de probabilidad sobre Sdebecumplir P(∅) = 0 y P(S) = 1. Ası, la funcion o asignacion deprobabilidad P en este experimento queda caracterizada porP({C}) y por P({X}). Ademas, siendo {C} y {X} mutuamenteexcluyentes y cuya union es S, se debe cumplir

1 = P(S) = P({C} ∪ {X}) = P({C}) + P({X})

de donde P({X}) = 1− P({C}).


Ejemplo


{∅, {C}, {X},S}

Y sabemos que cualquier funcion de probabilidad sobre Sdebecumplir P(∅) = 0 y P(S) = 1. Ası, la funcion o asignacion deprobabilidad P en este experimento queda caracterizada porP({C}) y por P({X}). Ademas, siendo {C} y {X} mutuamenteexcluyentes y cuya union es S, se debe cumplir

1 = P(S) = P({C} ∪ {X}) = P({C}) + P({X})

de donde P({X}) = 1− P({C}). Ası, se tienen toda unacoleccion de asignaciones o funciones de probabilidad para esteexperimento: Se elije un numero entre 0 y 1, llamemosle p a estenumero y definimos P({C}) = p y ası P({X}) = 1− p y estodefine una asignacion que cumple con los axiomas de probabilidad.


Proposicion 3

Para cualquier evento A, P(A) + P(A′) = 1.


Proposicion 3

Para cualquier evento A, P(A) + P(A′) = 1.DemostracionTome A1 = A y A2 = A′, ası nuestra coleccion de eventos esdisjunta y su union es S. Por tanto,


Proposicion 3

Para cualquier evento A, P(A) + P(A′) = 1.DemostracionTome A1 = A y A2 = A′, ası nuestra coleccion de eventos esdisjunta y su union es S. Por tanto,

1 = P(S)= P(A1 ∪ A2)= P(A1) + P(A2)= P(A) + P(A′)


Ejemplo

Considere el experimento de estar en una lınea de produccion debaterias en la cual se van probando una por una hasta que seencuentra una bateria cuyo voltaje se encuentra en un cierto rangopredefinido. Los eventos simples son

A1 = {E}A2 = {FE}A3 = {FFE}A4 = {FFFE}

Suponga que la probabilidad de una bateria resulte satisfactoria es0.99; entonces

P(A1) = 0.99P(A2) = (0.01)(0.99)P(A3) = (0.01)2(0.99)P(A4) = (0.01)3(0.99)


Ejemplo

Considere un sistema de cinco componentes identicos conectadosen serie. Suponga que la propabilidad de que un componente nofalle es 0.9. Determine la probabilidad de que el sistema falle.


Proposicion 4

Para cualquier evento A, P(A) ≤ 1.


Proposicion 5

Para dos eventos A y B cualquiera,P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).


Ejemplo

En un cierto suburbio residencial, 60% de las familias estansuscritas al periodico de una ciudad cercana, el 80% lo hacen alperiodico local y 50% de todas las familias lo hacen a ambosperiodicos. Si se elige una familia al azar,

¿cual es la probabilidad de que este suscrita a al menos unperiodico?

¿cual es la probabilidad de que este suscrita exactamente a unperiodico?


Determinacion de probabilidades: caso finito onumerable

Suponga que el espacio muestral es finito o numerable. Si elevento A se compone de los eventos simples E1, E2,. . . entonces

P(A) =∑Ei∈A

P(Ei )


Resultados igualmente probables

Suponga que el espacio muestral Stiene N elementos o eventossimples Ei y todos ellos son igualmente probables. Entonces

P(Ei ) =1

N


Ejemplo

Suponga el experimento donde se arrojan dos dados legales oimparciales y se anota el resultado. Calcule la probabilidad de quelos dados sumen 4.


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