SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES - Tema 2.pdf · Modulación por tiempo de pulso (PTM): PWM y PPM Las modulaciones por tiempo de pulso utiliza el eje de tiempos para codificar

1

SISTEMAS DE

COMUNICACIONES

DIGITALES

POP en Tecnologías Electrónicas y

de las Comunicaciones

2

COMUNICACIÓN BANDABASE

Modulación por amplitud de pulso (PAM)

- Señal PAM (con

muestreo natural):

donde

- Espectro PAM:

)()()( twtstws

k

skTtts

t)(

s

k

s nffWnd

nddfW

sen)( sss TfTd /1,/ t

3


Modulación por amplitud de pulso (PAM)

- Señal PAM (con

muestreo instantáneo):

donde

- Espectro PAM:

s

k

s

k

sss

kTtthkTw

kTthkTwtw

)(

)(

t

tth )(

f

ffH

t

tt

sen )(

k

s

s

s nffWfHT

fW )(1

)(

4


Modulación por codificación de pulso (PCM)

- A cada valor de amplitud de la señal muestreada se le asigna una

palabra digital de n bits. Por tanto, existen M = 2n palabras de código

posibles. Este proceso se denomina cuantificación. Si los intervalos de

decisión del cuantificador son iguales se habla de cuantificación

uniforme. Si son distintos, tenemos cuantificación no uniforme.

- La relación señal a ruido del cuantificador uniforme viene dada por:

- Cuando Pe es despreciable, se tiene que:

- Ancho de banda de la señal PCM:

esalida PM

M

N

S

)1(41 2

2

Pe : probabilidad de error de bits

debido al ruido del canal

nN

S

dB

02,6

Cada bit adicional en la palabra de

código incrementa en 6 dB la SNR

nBnfRB sPCM 21

21

snfR

Tasa de bits

Bfs 2

Ancho de banda de

la señal original

5


Señalización digital

- Las señales digitales se pueden expresar como una serie ortogonal:

- Se define baudio (tasa de símbolos):

- Tasa de bits: Señal binaria n = N

- Si w(t) es la forma de onda de entrada al receptor, la detección óptima

de la señal transmitida (procesamiento por correlación) viene dada por:

- Ancho de banda de la forma de onda digital: Hz

N

k

kk Tttwtw1

00),()( wk: datos digitales

k(t): funciones ortogonales

0/TND símbolos/s

0/TnR bits/s

0

0 , ... 2, 1,,)()(

1 T

k

k

k NkdtttwK

w

DT

NB

2

1

2 0

6


Señalización digital (ejemplo con señal binaria)

B = 1 kHz

B = 500 Hz

7


Señalización digital (ejemplo con señal de niveles múltiples, L=4)

B = 500 Hz

B = 250 Hz

8


Códigos de línea

9


Códigos de línea

- Conforme al análisis para señales digitales, un código de línea puede expresarse

como:

- Densidad espectral de potencia de la forma de onda del pulso del símbolo:

- Autocorrelación de los datos:

Ejemplo: Código unipolar NRZ

- Con k = 0, existen I = 2 posibles productos anan: R(0) = ½ A·A + ½ 0·0 = A2/2

- Con k ≠ 0, existen I = 4 posibilidades de que ocurran A·A, A·0, 0·A, 0·0: R(k) = A2/4

an, an+k: dato n-ésimo y (n+k)-ésimo

Pi: probabilidad de tener el producto i-ésimo anan+k

n

sn nTtfats )(

k

kfTj

s

ssekR

T

fFf

2

2

)()(

)(P

I

i

iiknn PaakR1

)()(

0,

0,)(

2

41

2

21

kA

kAkRunipolar

10


Códigos de línea

Ejemplo código unipolar NRZ:

0,

0,)(

2

41

2

21

kA

kAkRunipolar

k

kfTj

sk

kfTj

s

sss e

A

T

fFekR

T

fFf

222

2

2

14

)()(

)()(P

)(1

14

)(:0,0

)/(1

,)(

2

2

fTfT

fTTAf

fT

fT

T

nfn

TnfT

efT

fTTfF

bb

bbunipolar

b

b

b

k

b

bk

kfTj

b

bb

s

sensen

sen

P

11


Códigos de línea

12


Códigos de línea

13


Espectros de potencia de señales de niveles múltiples

- Supongamos una señal digital de L = 2l niveles múltiples, la velocidad en baudios es:

D = R/l

- Su espectro de potencia viene dado por:

- Ancho de banda hasta el primer nulo es:

- Eficiencia espectral de una señal: (bits/s)/Hz

- Eficiencia espectral máxima (fórmula de Shannon):

2

NRZ múltiples niveles

sen )(

b

b

fT

fTKf

P

/RBnulo

B

R

N

S

B

C1log 2max

14


Interferencia intersímbolos (ISI)

- Supongamos una señal de entrada de niveles múltiples de cresta plana:

n

snentrada nTthatw )(

)()()( thnTtanTtthatwn

sn

n

snentrada

15



- La forma de onda de salida es:

donde:

siendo:

- El filtro en el receptor viene dado por:

Cuando HR(f) se selecciona para reducir al mínimo la interferencia intersímbolos,

entonces el filtro de recepción se llama filtro de ecualización.

n

sene

n

snsalida nTthathnTtatw )()(

)()()()()( ththththth RCTe

)()()()()( fHfHfHfHfH RCTe

fT

fTT

T

tfH

s

ss

s

sen )(

)()()(

)()(

fHfHfH

fHfH

CT

eR

16



- El primer criterio de Nyquist consiste en utilizar una función de transferencia

equivalente He(f), tal que su respuesta al impulso satisfaga:

Así, la respuesta al impulso no provoca ISI para instantes de tiempo t = kTs con

k ≠ 0. Este es el caso de pulsos con forma de onda sinc:

lo que daría lugar a una función de transferencia equivalente:

Esta función de transferencia es óptima, ya que presenta Bmínimo = fs/2, lo que

permite una velocidad en baudios de 2B pulsos/s. Sin embargo, plantea una serie

de problemas prácticos:

1. Es físicamente irrealizable (cresta plana y transiciones verticales)

2. Requiere una sincronización casi perfecta durante el muestreo (la envolvente

de sin(x)/x decae sólo 1/x, por lo que cualquier error de sincronismo

producirá ISI durante muchas ranuras de tiempo adyacentes)

0,0

0,)(

k

kCkTh se t

tf

tfth

s

se

sen )(

ss

ef

f

ffH

1)(

17



- El filtro de coseno alzado tiene la siguiente función de transferencia:

- donde r = fD/f0 es el denominado factor de roll-off y B es el ancho de banda del

filtro. Su respuesta al impulso viene dada por:

- La velocidad de transmisión en baudios es:

D

Bf

Bfff

ff

ff

fHe

0

2cos1

1

)( 1

1

21

1

D

D

2

0

0

0

1

41

2cos

2

2sen 2)()(

tf

tf

tf

tfffHth ee

)1(1

22

121

0 rDBr

Bf

TD

s

18



- Para r = 0, la respuesta al impulso coincide con la de sen(x)/x. Sin embargo,

aunque el filtro sigue siendo no causal, a medida que se aumenta r:

(1) Los requisitos de filtración se aligeran

(2) Los requisitos de sincronismo también se aligeran puesto que la respuesta al

impulso decae más rápido: 1/|t3| frente a 1/|t| para el caso de la sinc(x)

19


Modulación por tiempo de pulso (PTM): PWM y PPM

Las modulaciones por tiempo de pulso utiliza el eje de tiempos para codificar la

información. PWM codifica su ancho en función del valor a codificar, mientras que

PPM envía un pulso en la posición temporal correspondiente al dato a codificar.

20


Modulación por tiempo de pulso (PTM): PWM y PPM

La decodificación de señales de PWM o PPM puede llevarse a cabo mediante el

circuito de la figura, donde las señales de control A y B se generan utilizando los

circuitos indicados para cada caso (PWM o PPM).

21


Rendimiento de los sistemas de comunicación

- En un sistema binario, la señal transmitida en un intervalo de tiempo de símbolo

(0, T) viene dada por:

- En el caso general, se tendrán M señales distintas, siendo M = 2 para el caso

binario. La señal recibida vendrá dada por:

- donde hc(t) es la respuesta al impulso del canal y n(t) es el ruido en el mismo. Para el caso de

canal ideal y sistema binario:

- A partir de esta señal de entrada, el filtro de recepción se encargará de obtener una muestra

en el instante de tiempo T que le permita estimar cuál fue el símbolo transmitido:

- donde ai(T) es la componente debida a la señal deseada y n0(T) la componente debida al ruido

binario 0 unpara

binario 1 unpara

Ttts

Tttstsi

0)(

0)()(

2

1

Mitnthtstr ci ,,1)()()()(

Ttitntstr i 02,1)()()(

2,1)()()( 0 iTnTaTz i

22



- Sea z = ai + n0 la señal a la salida del filtro de recepción, si suponemos ruido

gaussiano con varianza s02, las pdfs condicionales p(z|si) asociadas a cada uno

de los símbolos transmitidos vendrán dadas por:

- El detector tomará una decisión en base al criterio:

2

002

1exp

2

1)|(

ss

ii

azszp

1

2

)(

s

s

Tz

23



- Si {j(t)} representa un conjunto de N funciones ortogonales, tal que:

donde jk es la delta de Kronecker:

que para funciones que representan voltajes o corrientes:

- Cualquier conjunto finito de señales {si(t)} de duración T segundos puede

representarse mediante un conjunto de señales ortogonales:

- donde:

T

jkjkj NkjTtKdttt0

,,1,0)()(

caso otro en

para

0

11

kjjk

T

jjj KdttE0

2 )(

MN

MitatsN

j

jiji

,,1)()(1

Nj

TtMidtttsK

aT

ji

j

ij

,,1

0,,1)()(1

0

24



- Desde un punto de vista vectorial, tendríamos que:

- La energía normalizada asociada a la señal si(t) podría obtenerse mediante:

- Para funciones ortonormales (Kj = 1):

- Y cuando todas las señales si(t) tienen la misma energía:

Miaaa iNiii ,,1),,,( 21 s

MiKaKaadtttaa

dttatadttadttsE

j

N

j

ij

N

j

jkj

N

k

ikij

T

kj

N

j

N

k

ikij

T N

k

kik

N

j

jij

T N

j

jij

T

ii

,,1)()(

)()()()(

1

2

1 10

1 1

011

0

2

10

2

MiaEN

j

iji ,,11

2

iaEN

j

ij todopara

1

2

25



- Para el ruido se tendría que este viene dado por: , donde la

componente del mismo dentro del espacio vectorial de señales es:

- El ruido está constituido por una componente dentro del espacio vectorial de

señales y otra fuera de dicho espacio vectorial de señales, la cual no afectará al

proceso de detección:

Siendo:

)(~)(ˆ)( tntntn

N

j

jj tntn1

)()(ˆ

)(~)()(1

tntntnN

j

jj

T

j

j

j jdtttnK

n0

)()(1

todopara

T

j jdtttn0

0)()(~ todopara

26



- La componente interferente de ruido puede representarse en el espacio vectorial

de las señales como:

- Cuando se considera ruido blanco AWGN con densidad espectral de potencia

constante N0/2, su potencia promedio es infinita:

- Sin embargo, para ruido AWGN filtrado, su potencia promedio es finita:

Por tanto, la potencia promedio del ruido a la salida del correlador es finita y viene

dada por N0/2.

),,,( 21 Nnnn n

df

Ntn

2)(var 02s

2

)()(var 02

2 NdtttnEn jj

s

27



- Durante el proceso detección, el receptor debe tomar una decisión en base a:

- Un criterio para determinar el valor del umbral óptimo = 0 consistiría en

minimizar la probabilidad de error (Maximum Likelihood detector), de tal forma

que:

Y aplicando el teorema de Bayes, se llega a que:

- Cuando las pdfs condicionales son simétricas y P(s1) = P(s2), se tiene que:

1

2

)(

s

s

Tz

)|()|( 21

1

2

zspzsp

s

s

)(

)(

)|(

)|(

1

2

2

1

1

2

sP

sP

szp

szps

s

021

2)(

1

2

aa

Tz

s

s

28



- Se producirá un error en la detección siempre que seleccione como dato recibido

aquel que no ha sido transmitido:

- La probabilidad de error de bit será:

- Cuando P(s1) = P(s2) = ½, se tiene que:

0

)|()|()|( 1121

dzszpssdecisionPseP

0

)|()|()|( 2212

dzszpssdecisionPseP

2

1

2

1

)()|(),(i

ii

i

iB sPsePsePP

)|()|()|()|( 21221

121 sePsePsePsePPB

2/)(

2

0

2

02/)(

2210210 2

1exp

2

1)|(

aaaaB dz

azdzszpP

ss

29



- Si definimos u = (z – a2)/s0, la probabilidad de error de bit queda de la forma:

donde Q(x) es denominada función de error complementaria o co-función de error,

y representa la integral bajo la cola de la probabilidad gaussiana Esta viene

definida por:

La expresión anterior no puede evaluarse de manera cerrada, pero para x > 3 se

puede aproximar a

0

21

2/)(

2

22exp

2

1

021 s s

aaQdu

uP

aauB

xdu

uxQ

2exp

2

1)(

2

2exp

2

1)(

2x

xxQ

30


El filtro adaptado

- El filtro adaptado es un filtro lineal que ofrece a su salida un valor de relación

señal a ruido máxima. Si a la entrada del filtro de recepción se tiene una señal

r(t) = s(t) + n(t), la salida del filtro z(T) en el instante t = T vendrá dada por un valor

ai más una componente debida al ruido n0. La potencia promedio del ruido será

s02, por lo que la relación potencia instantánea de la señal frente a la potencia

promedio de ruido será:

- La señal a(t) podemos expresarla en términos de la función de transferencia del

filtro de recepción H(f) y su espectro en frecuencia S(f):

- En cuanto a la potencia promedio del ruido esta vendrá dada por:

2

0

2

si

T

a

N

S

dfefSfHta ftj

i

2)()()(

dffH

N 202

0 )(2

s

31


El filtro adaptado

- Por tanto, la relación señal a ruido en el instante t = T puede expresarse como:

- Nosotros deseamos encontrar el valor de H(f) = H0(f) para el que se obtiene el

máximo (S/N)T. Según la ecuación de desigualdad de Schwarz:

- La igualdad se produce cuando f1(x) = kf2*(x), donde k es una constante arbitraria

y * indica complejo conjugado. Si identificamos H(f) con f1(x) y S(f)ej2fT con f2(x),

podemos rescribir para este caso particular:

- Aplicando lo anterior sobre (S/N)T, se llega a que:

dffHN

dfefSfH

N

SfTj

T2

0

22

)(2/

)()(

dxxfdxxfdxxfxf

2

2

2

1

2

21 )()()()(

dffSdffHdfefSfH fTj 22

22 )()()()(

dffS

NN

S

T

2

0

)(2

32


El filtro adaptado

- La igualdad se dará cuando:

o desde el punto de vista temporal:

- En ese caso, se tendrá que la relación señal a ruido vendrá dada por:

- donde E es la energía de la señal de entrada s(t):

fTjefkSfHfH 2*

0 )()()(

caso otro en0

0)()()( 2*1

TttTksefkSth fTj

0

2max

N

E

N

S

T

dffSE

2)(

33


El filtro de correlación

- La salida del filtro adaptado para una entrada r(t) puede expresarse como:

- Para t = T, esta se reduce a:

t

tt

dtTsr

dtTsrdthrthtrtz

0

00

)()(

)()()()()(*)()(

ttt

tttttt

T

dsrTz0

)()()( ttt

34


Optimización de la probabilidad de error

- Según vimos anteriormente, para el caso de transmisión sobre canal AWGN, el

umbral óptimo de detección para sistemas binarios venía dado por 0 = (a1 + a2)/2.

En dicho caso, la probabilidad de error de bit venía dada por: PB = Q[(a1 – a2)/2s0]

- Por tanto, si se desea minimizar la probabilidad de error habrá que maximizar el

argumento de Q(x), o equivalentemente, habrá que maximizar:

donde a1 – a2 es la señal diferencia entre las componentes de señal en el instante

de muestreo t = T, y (a1 – a2)2 es la potencia instantánea de la señal diferencia.

Por tanto, si hacemos uso de un filtro adaptado a esa señal diferencia, se tendrá

que la relación señal a ruido en t = T vendrá dada por:

donde Ed es la energía de la señal diferencia:

2

0

2

21 )(

s

aa

0

2

0

2

21 2)(

N

Eaa

N

S d

T

s

T

d dttstsE0

2

21 )()(

35



- Por tanto, la probabilidad de error puede expresarse finalmente como:

- La expresión anterior puede definirse en función de la energía de bit. Para ello,

definiremos en primer lugar un coeficiente de correlación cruzada r como:

siendo , donde q es el ángulo existente entre los vectores de señal s1 y

s2, de tal forma que -1 ≤ r ≤ 1. Si expandimos la expresión para Ed, se tiene que:

- Los dos primeros términos representan la energía de un bit:

02N

EQP d

B

T

b

dttstsE 0

21 )()(1

r

qr cos

TTT

d dttstsdttsdttsE0

210

2

20

2

1 )()(2)()(

TT

b dttsdttsE0

2

20

2

1 )()(

36



- Finalmente, Ed puede expresarse como:

- Así, la tasa de error de bit puede definirse como:

- Existen dos casos de interés:

r = 0 Señales ortogonales:

r = -1 Señales antipodales u opuestas:

)1(22 rr bbbbd EEEEE

0

)1(

N

EQP b

B

r

0

2

N

EQP b

B

0N

EQP b

B

37



- Caso particular: Señalización unipolar

- El valor esperado a la salida del muestreador, z(T), cuando se transmite s1(t) es:

- Cuando se transmite s2(t) se tiene a2(T) = 0 Ed = A2T y la probabilidad de error

es:

0 binario datoel para

1 binario datoel para

Ttts

TtAts

00)(

0)(

2

1

TAdttAnAEtsTzETaT

2

0

2

11 )()(|)()(

00

2

0 22 N

EQ

N

TAQ

N

EQP bd

B

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