Ing. Eduardo Orcés

Sistemas de Control

Clase 17

Ing. Eduardo Orcés P. Febrero 03/2014

2013-II

Ing. Eduardo Orcés

TEMAS

Diseño de Sistemas de Control: Método

de Ajuste de Ganancia

2013-II

Diseño de sistemas mediante el LGR

Especificaciones típicas de Diseño

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Diseño por Ajuste de Ganancia

• Trazar el LGR.

• Hallar la ganancia K requerida para satisfacer las especificaciones de diseño, usando las correlaciones de 2° orden.

• Justificar la suposición de 2° orden si:

- polos de orden superior están más alejados del eje

imaginario (>5x) que los polos dominantes de 2°

orden.

- ceros de LC son cancelados aproximadamente por

polos de LC de orden superior, ó, están más alejados

(>5x) que los polos dominantes de LC.

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Aproximaciones de Segundo Orden

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• Ejemplo 8.8 (Nise): Seleccione la ganancia K requerida

para obtener un sobrepaso de 1.52 %. También estime

el tiempo de asentamiento, tiempo pico y error de estado

estable. (Usar programa ch8p2)

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a. Caso 2;

b. Caso 3

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% (ch8p2) Example 8.8: We can couple the design of gain on the root locus with a

% step response simulation for the gain selected. We introduce the command

% rlocus(G,K), which allows us to specify the range of gain, K, for plotting the root

% locus. This command will help us smooth the usual root locus plot by equivalently

% specifying more points via the argument, K. Notice that the first root locus

% plotted without the argument K is not smooth. We also introduce the command,

% x = input('prompt'), which allows keyboard entry of a value for x in response to a

% prompt. We apply this command to enter the desired percent overshoot. We also add

% a variable's value to the title of the root locus and step response plots by

% inserting another field in the title command and use num2str(value) to convert

% value from a number to a character string for display. Let us apply the concepts

% to Example 8.8 in the text.

'(ch8p2) Example 8.8' % Display label.

clear % Clear variables from workspace.

clf % clear graph on screen.

numg=[1 1.5]; % Define numerator of G(s).

deng=poly([0 -1 -10]); % Define denominator of G(s).

'G(s)' % Display label.

G=tf(numg,deng) % Create and display G(s).

rlocus(G) % Draw root locus (H(s)=1).

title('Original Root Locus') % Add title.

pause

K=0:.5:50; % Specify range of gain to smooth root locus.

rlocus(G,K) % Draw smoothed root locus (H(s)=1).

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title('Smoothed Root Locus') % Add title.

pos=input('Type %OS '); % Input desired percent overshoot

% from the keyboard.

z=-log(pos/100)/sqrt(pi^2+[log(pos/100)]^2) % Calculate damping ratio.

sgrid(z,0) % Overlay desired damping ratio line

% on root locus.

title(['Root Locus with ',num2str(pos),'% overshoot line'])

% Define title for root locus

% showing percent overshoot used.

[K,p]=rlocfind(G) % Generate gain, K, and closed-loop

% poles, p, for point selected

% interactively on the root locus.

pause

'T(s)' % Display label.

T=feedback(K*G,1) % Find closed-loop transfer function

% with selected K and display.

step(T) % Generate closed-loop step response

% for point selected on root locus.

title(['Step Response for K=',num2str(K)])

% Give step response a title which

% includes the value of K.

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• Ejemplo de Diseño: Diseño de una balanza automática

de auto-nivelación en que la operación de pesaje se

realiza controlando la posición lineal de un contrapeso

Wc, y la posición angular de la balanza.

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• Wc = 2 N, Lw = 5 cm, Li = 20 cm, f = 98√3 N/m/s, Ebb = 24 V.

Tornillo, 20 vueltas/cm: Ks = 1/20 (cm/rev) = 1/4000π (m/rad)

I = 0.05 kg.m2

• Potenciómetros:

a) entrada: longitud = 0.5 cm, Ki = 24V/0.5cm = 4800 V/m

b) retroalimentación: longitud = 6 cm, Kf = 24V/6cm = 400 V/m

• Especificaciones: 1) ess = 0 (tipo 1)

2) respuesta amortiguada, ζ = 0.50

3) tiempo de estabilización < 2 s

• Modelo matemático:

s

K

ss

K

sV

s

xKyKtV

dt

dyflxWWl

l

yII

l

y

m

m

m

m

m

fim

icw

i

i

)1()(

)(

)(

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• Función de transferencia:

iismcfsmi

smiiw

lKKKWKKKsflIss

KKKll

sW

sX

))(()(

)(2

• Ecuación característica (remplazando los valores numéricos):

010

96

10)38( mm KK

sss

• Obtenemos el LGR en función de la ganancia del motor:

0)38(

93.693.693.693.6)10/(1

0)38(

96)38()10/(1

2

2

ss

jsjsK

ss

ssK

m

m

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• Con K = 25.3 = Km /10π, las raíces dominantes se colocan en ζ =

0.5. Para obtener esta ganancia,

Km = 795 (rad/s)/V = 7600 rpm/V

• Se necesitará un amplificador para proporcionar parte de esta

ganancia. La parte real de las raíces dominantes es mayor que

cuatro y por lo tanto el tiempo de asentamiento, 4/ζωn, es menor

que 1 segundo, y se satisface la especificación del Ts. La tercera

raíz de la ecuación característica es una raíz real en s = -30.2, y las

raíces complejas subamortiguadas claramente dominan la

respuesta del sistema.

• La ganancia de estado estable del sistema es:

Wkg

cmW

Wl

W

Wlx

c

w

c

wss 5.2

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