Sistemas de Control Avanzado - 1ra ED

Control Avanzado Luis Edo García Jaimes

1.1 DEFINICIÓN

Un controlador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en

respuesta a cambios en la dinámica del proceso y en las perturbaciones.

El control adaptativo puede controlar sistemas con parámetros constantes ó sistemas

con parámetros variables. La idea básica del control adaptativo es estimar on-line las

variaciones de los parámetros de la planta, basándose en la medida de las señales de

entrada – salida de la misma y utilizar los parámetros estimados para realizar los

ajustes del controlador. El control adaptativo, tanto para sistemas lineales ó no lineales,

es esencialmente no lineal.

1.2 ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO

Existen dos tipos principales de controladores adaptativos:

Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC)

Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable)

Para el diseño de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes

métodos, unos que utilizan criterios de optimización y otros que no los utilizan, en este

sentido se tiene la siguiente clasificación [1]:

Criterio óptimo:

o Controladores de mínima varianza

o Controladores predictivos generalizados

Criterio no óptimo:

o Asignación de polos y ceros

o Controladores de tiempo finito

o Controladores PID


1.2.1 Controlador autosintonizado (STR): Este regulador se obtiene mediante un

acoplamiento entre el controlador convencional y los parámetros de la planta estimados

on-line.

La operación del controlador con auto-ajuste es la siguiente: en cada instante el sistema

de identificación en línea estima los parámetros de la planta, los cuáles son calculados

a partir de la medida de los datos entrada-salida de la misma. Con los parámetros

estimados se calculan los nuevos parámetros del controlador lo cual causa una nueva

salida de la planta. El ciclo de adaptación se repite, y así la acción de control cambia

cuando hay cambio de los parámetros de la planta.

Para una planta lineal existen muchos métodos disponibles para estimar la variación de

los parámetros. Uno de los más utilizados es el método “Mínimos cuadrados

recursivos”. También existen diferentes técnicas de control para plantas lineales, tales

como controladores PID, Controladores tipo Deadbeat, controladores de mínima

varianza etc. Mediante la conjunción de las diferentes técnicas, métodos de control y

estimadores se obtienen varios tipos de reguladores STR.

La figura 1.1 muestra un esquema general del sistema de control con autosintonia.

Figura 1.1 Sistema de control autosintonizado

1.2.2 Control con modelo de referencia: En este regulador la adaptación se obtiene a

partir de la señal de error que resulta de comparar la salida real del sistema con la

esperada a partir de un modelo de comportamiento establecido. El comportamiento

ideal del modelo de referencia debería poder ser alcanzado por el sistema de control

adaptativo. La figura 1.2 da una idea del control con modelo de referencia. La teoría de

control dispone de varios métodos que se pueden utilizar para obtener el mecanismo


de adaptación: método de Lyapunov, método de la hiperestabilidad etc. En cualquier

caso, los resultados obtenidos son semejantes, en cuanto a la estabilidad del sistema

se refiere.

Figura 1.2 Sistema de control con modelo de referencia.

1.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling): El control por ganancia

programable se refiere a un sistema donde los parámetros del controlador varían

dependiendo de las condiciones de operación medidas. La variable programable para el

cálculo de los parámetros del controlador puede ser el set-point, la variable controlada ó

una señal externa. Una vez seleccionadas las variables, se calculan los parámetros del

regulador para varios puntos de operación o zonas de trabajo en base a una adecuada

estrategia de control que puede ser del tipo PID, Deadbeat, etc. La figura 1.3 representa

un esquema del control con ganancia programable.

Programación

Precalculada

Punto de

Trabajo

Controlador Planta

Parámetros del

Controlador

SalidaSP Señal de

Control+

-

Figura 1.3 Sistema de control con ganancia programable.


La identificación de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema dinámico

a partir de datos experimentales.

La figura 2.1 es una representación conceptual de un sistema dinámico. El sistema es

comandado por variables de entrada y por perturbaciones El usuario puede

controlar las variables de entrada , pero no las perturbaciones . Las señales de

salida son variables que suministran información útil acerca del sistema.

Figura 2.1 Representación de un sistema dinámico.

2.1 TIPOS DE MODELOS

Los modelos de los sistemas dinámicos pueden ser de varias clases, incluyendo los

siguientes:

Modelos Mentales, Intuitivos o Verbales: éste es el tipo de modelo que se forma

por ejemplo cuando se maneja un carro (pisando el freno decrece la velocidad,

girando la cabrilla el carro voltea en determinada dirección, etc.)


Modelos Gráficos: En este caso el modelo del sistema está dado mediante una

gráfica. Un diagrama de Bode de un servo sistema es un ejemplo de un modelo

dado en forma gráfica. La respuesta de un sistema ante una entrada en escalón es

otro tipo de modelo gráfico.

Modelos Matemáticos: Son aquellos que describen el comportamiento del sistema

a partir de ecuaciones diferenciales (sistemas continuos) o de ecuaciones en

diferencias (sistemas discretos). Estos modelos son muy utilizados para el análisis,

predicción y diseño de sistemas dinámicos, controladores y filtros.

Existen dos formas básicas para obtener el modelo matemático de un sistema

dinámico:

o Matemáticamente: Es un método analítico en el cual se utilizan leyes físicas,

tales como las leyes de Newton y ecuaciones de balance para describir el

comportamiento dinámico de un fenómeno o de un proceso.

o Identificación del Sistema: Es un método experimental en el cual se realizan

algunas pruebas sobre el sistema que permiten obtener los datos necesarios

para estimar el valor de los parámetros del modelo representativo del sistema.

2.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN.

La obtención de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las siguientes

etapas fundamentales: la recolección de datos, la selección del modelo y la validación

del modelo.

2.2.1 Recolección de datos: Los datos de entrada y salida se pueden obtener

mediante un experimento diseñado específicamente para la identificación del sistema.

En este caso, el usuario puede determinar que señales va a medir, cuándo y cómo las

va a medir y también puede escoger las señales de entrada. El objetivo del diseño del

experimento es entonces, seleccionar los datos que proporcionen la máxima

información posible. En otros casos, el usuario no tiene la posibilidad de realizar el

experimento pero puede utilizar los datos obtenidos a partir de la operación normal del

sistema y llevar a cabo con ellos la identificación del mismo.

2.2.2 La Selección del Modelo: Esta se realiza a partir de un grupo de modelos,

eligiendo el más adecuado y representativo del sistema. Este paso es sin duda, el más


importante y al mismo tiempo constituye la etapa más difícil en el procedimiento de la

identificación. Es acá en donde el conocimiento previo del sistema y el de las

características de cada modelo deben combinarse para obtener resultados

satisfactorios. Algunas veces el modelo apropiado sólo se obtiene después de un

cuidadoso proceso de modelado.

2.2.3 Validación del Modelo: La evaluación de la calidad del modelo se basa en

determinar cómo se desempeña el modelo cuando se trata de reproducir con él los

datos obtenidos en la medición experimental. Un comportamiento deficiente del modelo

en este aspecto hace que el modelo sea rechazado, mientras que un buen desempeño,

proporcionará cierta confianza en el modelo.

Un modelo no se puede aceptar como la última y verdadera descripción del sistema;

por el contrario, es mejor mirarlo sólo como una descripción suficientemente buena de

ciertos aspectos que son de interés particular para un fin determinado.

2.3 IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA

Algunas técnicas de diseño de sistemas de control, incluyendo el método del lugar

geométrico de las raíces y el de asignación de polos, requieren de un modelo

paramétrico del sistema. Este tipo de modelo es particularmente importante en sistemas

de control adaptativo, en los cuales, los parámetros de la planta deben ser estimados

en línea para calcular el controlador correspondiente. Para dar una idea de la

identificación paramétrica se consideran a continuación el método de mínimos

cuadrados no recursivo y el método de mínimos cuadrados recursivos.

2.3.1 Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo. Se asume

que la función de transferencia de pulso del modelo es de la forma:

En donde es la entrada e es la salida.

El sistema dado por 2.1 queda descrito por la ecuación en diferencias:


Este modelo se conoce como “MODELO ARMAX” (Auto Regressive Moving Average) y

en él se debe estimar el vector de parámetros dado por:

A partir de un conjunto de pares de mediciones de entrada–salida del sistema:

Debido al error que se puede introducir en la medición, la ecuación 2.2 se puede

escribir en la forma:

El primer error es función solamente de las mediciones conocidas. Entonces, para

periodos de muestreo , se tendrá:

En donde es el vector de parámetros definido en la ecuación 2.3 y:

Para facilitar el tratamiento matemático, se definen las siguientes ecuaciones:


Así, las ecuaciones dadas en 2.6 se pueden escribir en forma matricial cómo:

En donde: Es de orden .

Es de orden (

Es de orden

Es de orden

Al utilizar el método de mínimos cuadrados para estimar , el vector debe ser tal

que minimice la suma de los cuadrados del error, es decir, que minimice la función:

Si se despeja e(N) de la ecuación 2.9 y se reemplaza en la ecuación 2.10 se obtiene:

El valor de que minimiza a debe cumplir con la ecuación:

Es decir:

Por lo tanto, el valor estimado de es:

EJEMPLO 2.1

Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de

control ante una entrada en escalón unitario. Obtener, a partir de ellos, un modelo de

segundo orden que describa la dinámica del sistema.

K 0 1 2 3 4 5

u(k) 0 1 1 1 1 1

y(k) 0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84


SOLUCIÓN: El modelo pedido es:

El vector de parámetros a estimar es:

Para ello se utiliza la ecuación:

El número de pares de medidas es: entonces:

Orden de

Orden de

Con los resultados anteriores se obtiene:

El modelo estimado es, entonces:


La figura 2.2 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los

datos estimados, éstos últimos se dan como una función en línea continua.

Figura 2.2 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)

2.3.2 Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos: En el método

no recursivo, el vector de parámetros se calcula utilizando toda la información

disponible, siendo esta pequeña en los primeros instantes, pero aumenta a medida que

transcurre el tiempo, lo que genera un alto costo computacional al procesar la

información. En el método recursivo el vector de parámetros se calcula a partir de los

resultados obtenidos en el instante anterior y de los datos de entrada y salida

actuales (instante ).

Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable, linealizable y

con una sola entrada y una salida por lo que puede ser descrito por una ecuación en

diferencias lineal de la forma:

La ecuación 2.14 se puede escribir en forma vectorial así:

En donde:


El procedimiento para la identificación es el siguiente [1]:

1. Seleccionar y .

2. Obtener los nuevos valores de y

3. Calcular el error:

4. Calcular L(k+1) mediante la ecuación:

5. Calcular los nuevos parámetros estimados:

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas:

8. Hacer y regresar al paso 2.

EJEMPLO 2.1

Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de

control a un escalón unitario. Obtener a partir de ellos, un modelo de segundo orden

que describa la dinámica del sistema. Asumir y utilizar mínimos cuadrados

recursivos.

K 0 1 2 3 4 5 6

u(k) 0 1 1 1 1 1 1

y(k) 0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91

SOLUCIÓN: el modelo pedido es:

El vector a estimar es:

Orden de P(k):


El orden de es:

1. Se toma: y

2. Nuevos valores de y de :

3. Calcular el error:

4. Calcular :

5. Calcular los nuevos parámetros estimados

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas:



El modelo del sistema es:

La figura 2.3 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los

estimados, éstos últimos se presentan como una función en línea continua. Obsérvese

la correspondencia entre los valores reales y los valores estimados.


A continuación se presenta un programa en Matlab para identificación recursiva con

modelo de segundo orden.

Figura 2.3 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)

clc

u=[0 1 1 1 1 1 1];

y=[0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91];

n=input('entre el orden del sistema n=');

p=1000*eye(2*n);

th=[zeros(1,2*n)]';

for k=1:length(y)-1

phit=[-y(k+1) -y(k) u(k+1) u(k)];

e=y(k+1)-phit*th

l=p*phit'/(1+phit*p*phit');

th=th+l*e;

p=eye(2*n)-l*phit*p;

end

u1=[1 1 1 1 1 1 1];

n=[th(3) th(4)];

d=[1 th(1) th(2)];

y1=dlsim(n,d,u1)

plot(y1)

hold

plot(y,'*')

grid


Estos controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de la

separación de las tareas de control e identificación. El diseño se realiza suponiendo

inicialmente parámetros conocidos y luego éstos son sustituidos por los estimados. En

estos reguladores se aplica el principio de equivalencia cierta pues se supone que los

parámetros identificados coinciden con los reales.

En el diseño de controladores autoajustables se distinguen tres partes [1]:

Un algoritmo recursivo de identificación de parámetros.

Un mecanismo de adaptación que realiza la tarea de diseño del controlador

Un controlador con parámetros ajustables.

3.1 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES

Un controlador lineal se puede describir mediante la función de transferencia de pulso:

En donde los grados de y de y los parámetros y deben seleccionarse

adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control [3].

Se asume que el proceso lineal que se va a controlar tiene como función de

transferencia de pulso:

En donde

Para el diseño del controladores adaptativos se pueden utilizar diferentes métodos:

Asignación de polos, optimización de parámetros, ajuste por tablas etc.


3.1.1 Método de asignación de polos: El objetivo de este método es diseñar el

controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados en el

lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. El diseño del

controlador consiste básicamente, en resolver una ecuación polinomial con ciertas

restricciones en los órdenes de los polinomios para asegurar que el controlador

propuesto sea causal y con realización mínima [3].

La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma:

El orden de en la ecuación 3.3 está determinado por:

La ecuación 3.3 genera ecuaciones simultáneas cuya solución da como resultado los

parámetros del controlador.

Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador

tenga un integrador, con esta condición, el denominador del controlador cumple

con la igualdad:

Con la adición del integrador se obtienen ecuaciones y el controlador tendrá

parámetros desconocidos y . La solución de orden mínimo se obtiene

haciendo:

En este caso los parámetros del controlador se obtienen con la ecuación:


EJEMPLO 3.1

La función de transferencia de pulso de cierto sistema neumático está dada por:

Diseñar para el sistema un controlador digital de modo que los polos dominantes del

sistema en lazo cerrado estén ubicados en z=0.6 j0.2

SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:

En donde: y

El orden del numerador del controlador es:

El orden del denominador del controlador es:

Por lo tanto, la función de transferencia de pulso del controlador toma la forma:

El orden de la ecuación característica deseada es:

es decir 5.

Se da como polo dominante z=0.6 j0.2 los tres polos restantes se pueden asignar en el

origen, así la ecuación características es:

Teniendo en cuenta las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 se obtiene:

Resolviendo resulta:


Por lo tanto el controlador pedido es:

La figura 3.1 muestra la respuesta del sistema ante un escalón unitario aplicado en el

set-point.

Figura 3.1 Respuesta del sistema al escalón unitario

3.1.2 Controlador de mínima varianza: Este tipo de controlador puede englobarse

dentro de los de síntesis óptima, ya que se utiliza la minimización de un índice de coste

como criterio de diseño. Sin embargo, también puede interpretarse como un problema

de asignación de polos, puesto que el método de síntesis está basado en

manipulaciones algebraicas con los polinomios que se utilizan en la descripción

externa.

El interés de este tipo de controladores se ve acentuado sobre todo en multitud de

procesos industriales en los cuales es de vital importancia la minimización de la

varianza de la salida. Esta técnica de control se utiliza cuando la salida del sistema está

contaminada por una perturbación estocástica. Estas perturbaciones no se pueden

eliminar por completo, pero se puede reducir su varianza.

El controlador de mínima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las

perturbaciones sobre la salida [1].

La estrategia control consiste en calcular la señal de control como una función de

los valores disponibles en ese instante o sea , de

tal forma que minimice el criterio:


En donde: , es el valor de consigna o referencia.

También se han propuesto controladores de mínima varianza minimizando el criterio:

Si se supone que sobre el sistema actúan perturbaciones estocásticas, el proceso

estará descrito por un modelo ARMAX de la forma (ver figura 3.2):

Donde:

Figura 3.2 Proceso con perturbación

Para el instante , la ecuación 3.10 se puede escribir en la forma:

Utilizando la identidad:

En donde:

La ecuación 3.11 se transforma en:


Los dos últimos términos del lado derecho de la ecuación 3.13 tienen el siguiente

significado:

: Es el efecto sobre la salida correspondientes a las perturbaciones

anteriores a .

: contiene las perturbaciones producidas entre el instante y el

instante , cuyo efecto sobre la salida no se puede controlar con pues

es independiente de

Resolviendo la ecuación 3.10 para se obtiene:

Reemplazando la expresión para en 3.13 resulta:

En la ecuación 3.15 se debe calcular la acción de control que minimice la varianza

de la salida:

El mínimo de se encuentra derivando con respecto a :

Resolviendo para se obtiene la ley de control:

La figura 3.3 corresponde al sistema con el controlador de mínima varianza

incorporado.

Eliminación del offset: El controlador de mínima varianza presenta offset (Error de

estado estable) ante cambios en la referencia ó ante cambios en la perturbación, para


eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador así, la ecuación 3.16

se puede escribir en la forma:

Figura 3.3 Controlador de mínima varianza (MVR3)

Control de mínima varianza con seguimiento de referencias: Se debe calcular la

acción de control que minimice la varianza de la salida:

O sea:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación se obtiene:

Para hallar el valor mínimo de la ecuación anterior se deriva con a respecto :

Despejando se obtiene la ley de control así:

La ecuación 3.19 corresponde al controlador de mínima varianza con seguimiento de

referencias.


La figura 3.4 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control

de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 3.19

Figura 3.4 Control de mínima varianza con seguimiento de referencias (MVR2)

Controlador de mínima varianza ponderado: en este caso se debe calcular la

acción de control que minimice la varianza de la salida:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación 3.20 se obtiene:

Para hacer mínimo el valor de es necesario calcular su derivada con respecto a e igualar

el resultado a cero lo cual da como resultado:

Resolviendo para se obtiene la ley de control:

La figura 3.5 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control

de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 3.21

Figura 3.5 Control de mínima varianza ponderado (MVR1)


EJEMPLO 3.2

Se desea diseñar un controlador de mínima varianza para un sistema con función de

transferencia discreta siguiente:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo

comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la

perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

Solución: La función de transferencia del sistema y de la perturbación se pueden

escribir en la forma:

En donde:

Con y , se obtiene:

)

Igualando los coeficientes de igual potencia en se obtiene:

Resolviendo se obtiene:


Para compensar el error de estado do estable se adiciona el integrador con así el

controlador toma la forma:

La figura 3.6a muestra la respuesta del sistema con el controlador de mínima varianza

estimado y la figura 3.6b la del sistema con controlador de mínima varianza mas el

integrador.

Figura 3.6 Respuesta con el controlador de mínima varianza (MVR3)

3.1.3 Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y cancelación de

polos para un sistema de primer orden (POR): Si la dinámica del sistema se

aproxima a la de un sistema de primer orden con retardo de la forma:


El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es:

Para el diseño, se asume que la función de transferencia del controlador PI toma la

forma:

Si se selecciona el cero del controlador de modo que cancele el polo de la planta, es

decir, si se hace la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:

Si al sistema en lazo cerrado se le condiciona a que tenga un polo estable en ,

entonces, al evaluar en se obtiene:

Despejando q0 resulta:

Entonces, conociendo y del modelo, los parámetros y del controlador

pueden calcularse especificando un polo dominante en lazo cerrado en que ha de

cancelarse con el cero del controlador.

Resolviendo se puede determinar la ubicación de los n polos restantes,

comprobándose que corresponden a polos no dominantes que decaen rápidamente y

que el polo es efectivamente el polo dominante.

Este método de diseño de controladores PI se recomienda especialmente cuando:

En donde T es el periodo de muestreo del sistema.

EJEMPLO 3.3

Un sistema de flujo tiene como función de transferencia:


Diseñar Para el sistema un controlador PI utilizando el método de cancelación y

asignación de polos de modo que el sistema tenga un polo dominante de lazo cerrado

en z=0.8. El sistema se muestrea cada 0.2 s.

SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema se puede escribir como:

0 1

El controlador PI toma la forma:

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo de la planta, entonces

.

El polo dominante deseado es , por lo tanto:

El controlador pedido es:

La figura 3.7 muestra la respuesta del sistema con el controlador PI calculado.

Figura 3.7 Respuesta con el controlador PI por cancelación y asignación de polos.


Esta técnica se emplea con modelos matemáticos simulados en computador y es muy

útil para sistemas complicados de controlar por ejemplo, sistemas no lineales o con

parámetros variables en el tiempo. Se trata de que el sistema controlado siga el

comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar una señal de

control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo para una cierta

señal de entrada.

En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que cumpla con

las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la planta y se desarrolla

un mecanismo de control que permita que la planta siga el modelo escogido. No es

necesario un conocimiento extensivo de la planta, pero si es necesaria la escogencia

del modelo adecuado para lograr la salida deseada. El modelo de referencia que se

utiliza es usualmente lineal.

Como se indica en la figura 4.1, el control por modelo de referencia está formado por

tres partes fundamentales: [1]

El controlador primario: Debe cumplir la condición de hacer posible que el

conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia.

El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinámico

estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar.

La ley de adaptación: esta se puede obtener por diferentes métodos: Método de

sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.


Figura 4.1 Control por modelo de referencia

4.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE LYAPUNOV

Este método establece que un sistema tiene un punto de equilibrio

asintóticamente estable, si existe una función que cumpla con las siguientes

condiciones [1]:

: Definida positiva para

Definida negativa para

para

Procedimiento para aplicar el método de Lyapunov:

1. Encontrar la ecuación de error en la salida:

2. Encontrar la función de Lyapunov como una función del error entre las señales

y del error en los parámetros. Esta función es de la forma:

Donde las matrices y deben ser definidas positivas.

3. Calcular la derivada de la función de Lyapunov. Esta derivada debe ser definida

negativa. Por lo general toma la forma:

El primer término garantiza que la derivada es negativa definida, entonces,

haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solución para la adaptación.

4. Hacer el término extra igual a cero para obtener la ley de adaptación.

Normalmente tiene la forma:


, está relacionado directamente con el error y tiene que ver con el vector de

señales (Referencia, salida etc.)

EJEMPLO 4.1

Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de primer

orden [2].

SOLUCIÓN: Sea el sistema de primer orden:

Si se toma como modelo de referencia:

El error es:

La ecuación de la planta se puede escribir como:

Haciendo:

Se obtiene:

En donde es la salida y es la ley de control.

La ecuación del modelo de referencia se puede escribir como:

Para que el error sea cero se debe cumplir que: por lo tanto:

Despejando :


Es decir:

Haciendo:

La ecuación 4.12 corresponde a la ley de control del sistema y en ella no se conocen

los parámetros y debido a que y son desconocidos.

Los valores apropiados de y que se adapten al sistema de control se pueden

determinar tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

Reemplazando 4.8 y 4.9 en 4.13 se obtiene:

Reemplazando 4.12 en 4.14:

Sumando y restando en la ecuación anterior se obtiene, después de simplificar:

De la ecuación 4.15 se deduce que si , y .

Se trata de diseñar un sistema que lleve los parámetros y a los valores deseados.

Para este propósito se define la función de Lyapunov:

Esta función es cero cuando y los parámetros del controlador tengan su valor

óptimo.


Derivando parcialmente la ecuación la ecuación 4.16 con respecto a los parámetros se

obtiene:

Reemplazando la ecuación 4.15 en la 4.16 se obtiene:

De acuerdo con la teoría de la estabilidad de Lyapunov, el sistema es estable si es

semidefinida negativa, esto se cumple si en la ecuación 4.18 se da:

Entonces:

La figura 4.2 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control

MRAC aplicado al sistema de primer orden.

En donde:

Señal de entrada.

La señal de control.

La salida del proceso.

La salida del modelo de referencia.

: El error.

y son las ganancias adaptativas y es una constante positiva que se puede

tomar como parámetro de ajuste. Se trabajó con

Para realizar la simulación se tomaron como modelo para el proceso y como modelo de

referencia:


Figura 4.2 Diagrama de bloques y respuesta del control MRAC

EJEMPLO 4.2

Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de segundo

orden.

SOLUCIÓN: Sea el sistema de segundo orden:

En donde y son parámetros del proceso variables en el tiempo.

yp

So

to

u

ym

e

2

-2

R

4

0.8s+1

Proceso

5

s+5

Modelo de Ref

1

s

1

s


Sea el modelo de referencia:

Se asume como ley de control para el sistema [3]:

En donde es la señal de referencia.

La ecuación diferencial que describe el sistema es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La ecuación diferencial del modelo de referencia es:

Restando las ecuaciones 4.26 y 4.27 se obtiene:

Introduciendo los parámetros de error:

Y teniendo en cuenta que el error es:

Se obtiene:

La ecuación anterior se puede escribir así:

Ahora se introduce la función de Lyapunov:

En donde y son constantes positivas.


Como el modelo de referencia se supone estable, entonces es positiva y es una

función positiva definida.

La derivada de la función de Lyapunov introducida es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La teoría de estabilidad de Lyapunov garantiza la estabilidad global del sistema

dinámico si es una función semidefinida negativa. Esto se puede asegurar para la

ecuación 4.33 si:

De la ecuación 4.29 se obtiene:

Integrando cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:


La figura 4.3 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control

MRAC aplicado al sistema de segundo orden.

En donde:

La señal de entrada.

La señal de control.

La salida del proceso.

La salida del modelo de referencia.

El error.

Para realizar las simulaciones se tuvieron en cuenta los siguientes valores:

El modelo del proceso a controlar se tomó como:

El modelo de referencia se tomó como:

f

ym

yp

qo

q1

r

u

s +2s+42

4

1

s +1.6s+12

1

s

1

s

1

s

5

5

-2

du/dt

du/dt


Figura 4.3 Control MRAC para sistema continuo de segundo orden

4.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS

Al igual que en los sistemas continuos, la idea básica del control con modelo de

referencia MRAC, para sistemas discretos, es que el proceso con función de

transferencia [3]:

Con:

Siga el modelo:

En donde:

Mediante la aplicación de la ley de control:

En donde:


La figura 4.4 muestra el diagrama en bloques del sistema de control con modelo de

referencia propuesto.

Figura 4.4 Control con modelo de referencia

La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura 4.4 es:

El procedimiento para el diseño es el siguiente:

1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado.

2. Reescribir el polinomio del proceso en la forma:

En donde: : Contiene los ceros estables del proceso.

: Contiene los ceros inestables del proceso.

3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio es decir:

4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de , es decir, ceros de

5. Si el grado de seleccionado es menor que el grado de

después de la cancelación de , el lado derecho de la ecuación 4.38 se

multiplica y divide por el polinomio

6. Los polinomios , y quedan deteminados por las

ecuaciones:

NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que

, en este caso la ley de control toma la forma:


La ecuación 4.41 se puede escribir en forma vectorial como:

En donde:

EJEMPLO 4.3

La función de transferencia de un sistema de presión está dada por:

Diseñe para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el

sistema, en lazo cerrado siga la dinámica del modelo:

SOLUCIÓN: Los modelos discretos son:

La ley de control es:

Grado de

Grado de


Condición de los polinomios:

Comparando término a término y resolviendo las ecuaciones resultantes se obtiene

qué:

, , y

Entonces:

y

Por lo tanto:

Finalmente, la ley de control es:

Despejando se obtiene:

Tomando transformada z y reuniendo términos:

Es decir:

La figura 4.5 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta del

mismo ante una entrada en onda rectangular.

0.038(z+0.4631)

z (z-0.8607)2

1.855z2

(z+0.4631)(z+0.0819)

4.0394z(z+0.4404)

(z+0.4631)(z+0.0819)


Figura 4.5 Control con modelo de referencia


La técnica de la ganancia programable (Gain scheduling) es un acercamiento al control

de sistemas no lineales que utiliza una familia de controladores lineales, para

proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operación del sistema.

Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo

parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulación o de

programación (“scheduling variables”), de modo que cuando estas variables asumen un

valor constante se obtiene un punto de funcionamiento [2]. Para sintonizar el

controlador adecuado se utilizan una o más de las variables de programación. En este

caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos de operación de interés,

obteniéndose una familia de modelos lineales para la cual se diseña una familia de

controladores lineales. Luego, se implementa el esquema de control con un controlador

cuyos parámetros son cambiados acorde a los valores que toman las variables de

programación, que deberán monitorearse continuamente.

La literatura no documenta reglas generales para el diseño de controladores con

ganancia programable. Sin embargo, se pueden establecer los siguientes pasos:


Determinar las variables de programación: Estas variables deben reflejar las

condiciones de operación de la planta y permitir establecer expresiones simples que

relacionen los parámetros del controlador con las variables de ajuste. Esto se hace

normalmente mediante la identificación física del sistema.

Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operación: estos

puntos deben estar parametrizados por las variables de programación. Si el sistema

es no lineal se linealiza alrededor de dichos puntos.

Calcular los parámetros del controlador para los diferentes puntos de

operación: Se calculan los parámetros del controlador para un determinado número

de condiciones de trabajo, en función de las variables de programación, empleando

algún método de diseño apropiado. El controlador se calibra o sintoniza para cada

condición de operación. No existe norma sobre el número de condiciones o zonas

de operación en que debe dividirse el rango de operación de la planta, el diseñador

decide al respecto.

Seleccionar el controlador en función de las variables de programación: según

el punto de operación en que se encuentre el proceso, se selecciona el controlador

diseñado para dicho punto de operación. Para evitar los inconvenientes que puede

causar la conmutación de un controlador a otro se puede generar una ecuación de

regresión que permita calcular los parámetros del controlador en función de las

variables de programación.

En la figura 5.1 se presenta un diagrama básico de la técnica de control por ganancia

programable.

Programación

Precalculada

Punto de

Trabajo

Controlador Planta

Parámetros del

Controlador

SalidaSP Señal de

Control+

-

Figura 5.1 Control con ganancia programable.


EJEMPLO 5.1

La figura 5.2 muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones

aplicados en diferentes zonas de operación. La temperatura se midió con un

instrumento calibrado de 0 a 100 ºC y la apertura de la válvula se da en porcentaje.

Diseñar para el sistema un controlador PI con ganancia programable.

Figura 5.2 Prueba del escalón

SOLUCIÓN: La dinámica del intercambiador se aproximó a un sistema de primer orden

con retardo. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones aplicados, se

discretizaron los modelos y para cada uno de ellos se calculó un controlador PI

utilizando el método de Ziegler-Nichols. Los resultados se dan en la tabla 5.1

Modelos continuo y discreto:

Controlador PI:

Formulas empleadas para el cálculo del controlador:


Tabla 5.1 Controladores obtenidos

22 1.5261 -1.2592

40 1.8289 -1.5233

52 1.6498 -1.3781

67 2.2663 -1.8818

78 1.7412 -1.4606

Las ecuaciones para el cálculo de y de que se han de utilizar para estimar el

controlador son:

Los datos presentados en la tabla 5.1 y las ecuaciones de regresión para estimar los

parámetros y del controlador, se obtienen a partir de los valores de los puntos de

operación y de los modelos de primer orden con retardo correspondientes. Para ello se

utilizó el programa en MATLAB que se da a continuación:

% GANANCIA PROGRAMABLE

% El programa calcula un controlador PI según Ziegler-Nichols

% Para este caso, el modelo debe ser de primer orden con retardo POR

% Para cada punto de operación se debe estimar el modelo correspondiente.

% Puntos de operación: los valores medios de la respuesta de la variable en cada uno

% de los escalónes.

clc

T=input('Entre los puntos de operacion V=');


L=length(T);

N=0;

while N<L

N=N+1

n=input('Entre el numerador n=');

d=input('Entre el denominador d=');

R=input('Entre el retardo R=');

TM=input('Entre el periodo de muestreo TM=');

[a,b,c,d1]=tf2ss(n,d);

[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,TM,R);

[nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd);

k=length(nd1);

for j=1:k

if (abs(nd1(j)))<10^(-8)

nd1(j)=0;

else

nd1(j)=nd1(j);

end

end

printsys(nd1,dd1,'z')

theta=R+TM/2;

kc=0.9*d(1)/(n*theta);

ti=3.33*theta;

qo=kc*(1+TM/(2*ti))

q1=-kc*(1-TM/(2*ti))

qo1(N)=qo

q11(N)=q1

end

disp('Los coeficientes para el calculo de qo sn:')

coeqo=polyfit(T,qo1,4);

disp('Los coeficientes para el calculo de q1 son:')


coeq1=polyfit(T,q11,4);

T1=50:95;

qo2=polyval(coeqo,T1);

q12=polyval(coeq1,T1);

figure(1)

plot(T1,qo2,T,qo1,'*')

title('VALORES DE qo')

xlabel('T (ºC)')

ylabel('qo')

grid

figure(2)

plot(T1,q12,T,q11,'*')

title('VALORES DE q1')

xlabel('T (ºC)')

ylabel('q1')

grid

La figura 5.3 muestra la variación de con la temperatura

Figura 5.3 Variación de con la temperatura

La figura 5.4 muestra la variación de con la temperatura

20 30 40 50 60 70 80 901

1.5

2

2.5VALORES DE qo

T (ºC)

qo


Figura 5.4 Variación de con la temperatura

La figura 5.5 muestra la forma de simular el sistema con ganancia programable con el

controlador PI. Los polinomios para el cálculo de y se incluyen en el bloque f(u).

Figura 5.5 Simulación para el ejemplo 5.1

Los resultados de la simulación se muestran en la figura 5.6, se manejaron los puntos

de operación correspondientes a 40, 70 y 50 ºC respectivamente. Para disminuir el

sobreimpulso los valores estimados para y se multiplicaron por 0.75

Otra alternativa para realizar el control por ganancia programable consiste en

seleccionar un controlador fijo para cada punto de operación. En este caso se utilizan

ciertos valores de la variable de programación para realizar la conmutación entre los

diferentes controladores. En el ejemplo 5.2 se ilustra el método.

20 30 40 50 60 70 80 90-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6VALORES DE q1

T (ºC)

q1

q1

qo

e(k)

m(k)T

r(k)

e(k-1)

42s+1

1.5

D

To Workspace

-1

Z

-1

Z

-K-

-K-

f(u)

f(u)

20


Figura 5.6 resultado de la simulación con ganancia programable.

EJEMPLO 5.2

La dinámica de los tanques interconectados de la figura 5.7 se describe mediante las

ecuaciones diferenciales no lineales:

Figura 5.7 Tanques interconectados para el ejemplo 5.2

Para el diseño del controlador se proponen como puntos de equilibrio: ,

, y . a) Linealice el sistema alrededor de cada uno de los puntos de

operación establecidos. b) Obtenga, para cada punto de operación, la matriz de


ganancia de realimentación incluyendo integrador de modo que los polos de lazo

cerrado del sistema queden ubicados en . c) Simule el

sistema de control obtenido con el sistema no lineal propuesto originalmente.

SOLUCIÓN: Para ilustrar el procedimiento se resuelve completamente el problema para

el punto de equilibrio correspondiente a . Los resultados para todos los puntos

de equilibrio se presentan en la tabla 5.2

La dinámica del sistema linealizado se puede representar mediante la ecuación de

estado:

En donde:

Las derivadas parciales se calculan en el punto de equilibrio:

Los puntos de equilibrio cumplen con la condición: es decir:

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para se obtiene que el punto de

equilibrio es:

Para el cálculo de las matrices y se tiene:

El sistema linealizado es, entonces:


La matriz de ganancia de realimentación del sistema incluyendo integrador está dada

por la fórmula de Ackerman:

En donde:

Siendo los coeficientes de la ecuación característica deseada:

Entonces:

La ecuación característica deseada es:

Entonces:

La ganancia correspondiente al integrador es:

La matriz de ganancia de realimentación es:

En la tabla 5.2 se presentan los valores de la ganancia del integrador y de la matriz de

ganancia de realimentación para cada punto de operación.


Tabla 5.2 Ganancias del sistema en función del punto de operación

A continuación se presenta el programa en Matlab utilizado para realizar los cálculos de

la matriz de ganancia de realimentación y de la ganancia del integrador.

% GANANCIA PROGRAMABLE

% gananciavar11

% Se trabaja conjuntamente con el diagrama gananciavar1 de simulink

clc

% Generacion de puntos de operacion

t=0:1999;

t=t';

ref1=[0.4*ones(600,1)];

ref2=[0.7*ones(500,1)];

ref3=[0.5*ones(500,1)]

ref4=[0.3*ones(400,1)];

reft=[ref1;ref2;ref3;ref4];

ref=[t,reft];

%Parametros y puntos de operacion

q1=0.4;

q2=0.8;

q3=0.6;

q4=0.2;

% Estados de equilibrio para punto1

h1=8*q1^2;

h2=4*q1^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);


a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto1

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];

cero=zeros(length(a),1);

A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

p=[-0.1 -0.2 -0.5]'; % Polos deseados

K1=acker(A,B,p);

k11=K1(1,1:2);

k21=K1(1,3);


h1=8*q2^2;

h2=4*q2^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);

a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto 2

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];



A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

K2=acker(A,B,p);

k12=K2(1,1:2);

k22=K2(1,3);


h1=8*q3^2;

h2=4*q3^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);

a12=0.25/sqrt(h1-h2);

a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto 3

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];


A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

K3=acker(A,B,p);

k13=K3(1,1:2);

k23=K3(1,3);


h1=8*q4^2;

h2=4*q4^2;

a11=-0.25/sqrt(h1-h2);

a12=0.25/sqrt(h1-h2);


a21=0.25/sqrt(h1-h2);

a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);

b11=1;

b21=0;

c=[1 0];

% Matrices linealizadas punto4

a=[a11 a12;a21 a22];

b=[b11;b21];

c=[1 0];


A=[a cero;c 0];

B=[b;0];

K4=acker(A,B,p);

k14=K4(1,1:2);

k24=K4(1,3);

sim('gananciavar1')

La figura 5.8 muestra el comportamiento del sistema ante cambios en la referencia y

la figura 5.9 corresponde al diagrama de bloques en simulink realizado para simular el

sistema.

Figura 5.8 Control MRAC con variables de estado



Es una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita de un

modelo del proceso para predecir el valor de las variables controladas a lo largo de un

horizonte temporal especificado por el usuario, calculando el valor de las variables

manipuladas para hacer que en ese horizonte las variables controladas estén en sus

valores de referencia.

Los controladores predictivos calculan los valores de las variables manipuladas en cada

periodo de muestreo de acuerdo con los valores de consigna deseados para las

variables controladas y las restricciones y condiciones de operación del proceso.

6.1 ESTRATEGIA DE LOS CONTROLADORES PREDICTIVOS

La metodología de los controladores predictivos se caracteriza por la siguiente

estrategia [4] , representada en la figura 6.1

En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las salidas

futuras para un determinado horizonte, llamado horizonte de predicción. Estas

salidas predichas, para dependen de los valores conocidos de

las entradas y de las salidas pasadas hasta el instante y de las señales de control

futuras u para


Las señales de control futuras se calculan optimizando un determinado criterio en el

que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la trayectoria de

referencia (que puede ser directamente el set-point o una suave

aproximación a este). Este criterio suele tomar la forma de una función cuadrática

de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de referencia también

predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control. Si el criterio es

cuadrático, el modelo lineal y no existen restricciones se puede obtener una solución

explicita, en otro caso se debe usar un método iterativo de optimización.

Sólo la señal de control se envía al proceso mientras que las demás señales

de control calculadas se desechan, puesto que en el siguiente instante de muestreo

ya se conoce y se repite el paso 1 con este nuevo valor y todas las

secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto (que en principio

será diferente al al disponer de nueva información), haciendo uso del

concepto de horizonte deslizante.

Figura 6.1 Estrategia del control predictivo

6.2 ESTRUCTURA BÁSICA DEL CONTROL PREDICTIVO

Para llevar a cabo la estrategia propuesta, se usa una estructura como la mostrada en

la figura 6.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso,

basándose en las señales de control futuras propuestas. Estas señales son calculadas

por el optimizador teniendo en cuenta la función de coste así como las restricciones.


El modelo elegido debe describir lo mejor posible la dinámica del proceso para poder

predecir las salidas futuras al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar y de

comprender. El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues proporciona

las acciones de control.

Figura 6.2 Estructura básica del control predictivo

6.3 ELEMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO

Hay una serie de elementos comunes a todos los controladores predictivos [4]:

El modelo de predicción.

La función objetivo

Obtención de la ley de control

6.3.1 Modelo de predicción. Debe ser capaz de capturar la dinámica del proceso para

poder predecir las salidas futuras, al mismo tiempo debe ser sencillo de usar y

comprender y además, debe permitir un análisis teórico.

A continuación se presentan los principales modelos de procesos y de perturbaciones

utilizados en la formulación del control predictivo.

Modelo de respuesta al impulso. Este modelo no requiere información previa sobre

el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta representación sólo es

válida para sistemas estables. La figura 6.3 muestra la respuesta del sistema al

impulso.


Figura 6.3 Respuesta al impulso

La salida del sistema está dada por:

En donde:

Siendo los valores muestreaos cuando el proceso es excitado con un impulso

unitario.

La predicción del modelo está dada por:

Modelo de respuesta al escalón. Este modelo no requiere información previa sobre

el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta representación sólo es

válida para sistemas estables. La figura 6.4 muestra la respuesta del sistema al

escalón.

Figura 6.4 Respuesta al escalón


La salida está dada por:

En donde son los valores muestreados de la salida correspondientes a la entrada en

escalón y

La predicción del modelo es:

Modelo de función de transferencia. Este modelo está dado por la ecuación:

En donde:

La predicción del modelo es:

Esta representación es también válida para procesos inestables y tiene la ventaja de

que necesita pocos parámetros.

Modelo de las perturbaciones. Tan importante como la elección del modelo del

proceso es la elección del modelo utilizado para representar las perturbaciones. Uno

de los modelos más utilizados para modelar las perturbaciones es el Autorregresivo

Integrado de Media Móvil (Auto-Regressive and Integrated Moving Average,

ARIMA):

A continuación se definen los siguientes modelos estocásticos de los modelos de

proceso y perturbaciones utilizados:

Modelo ARX


Modelo ARMAX

Modelo ARIX

Modelo ARIMAX

6.3.2 Función objetivo: Los diversos algoritmos de control predictivo proponen

distintas funciones de coste para la obtención de la ley de control. En general se

persigue que la salida futura en el horizonte considerado siga a una determinada señal

de referencia al mismo tiempo que se puede penalizar el esfuerzo de control requerido

para hacerlo. La expresión general de tal función objetivo es:

Parámetros: representan el horizonte mínimo y el horizonte máximo de

predicción y es el horizonte de control. El significado de resulta bastante

intuitivo: marcan los límites de los instantes en que se desea que la salida siga a la

referencia.

Los coeficientes y son secuencias que ponderan el comportamiento futuro.

6.3.3 Algoritmos de control predictivo: Existen diferentes algoritmos de control

predictivo que han sido aplicados con éxito: DMC, IDCOM, PFC, EPSAC, APC, GPC,

MUSMAR, NPC, UPC, SCAP, HPC, etc.

Control con matriz dinámica (Dynamic Matrix Control, DMC): Este método usa la

respuesta ante un escalón para modelar el proceso, considerando solo los

primeros términos, asumiendo por tanto que el proceso es estable.

Control predictivo con modelo heurístico: (Model Predictive Heuristic Control,

IDCOM) Este método se conoce comercialmente como IDCOM (Identification-

Command). Es muy similar al DMC con la diferencia principal de utiliza un modelo

de respuesta impulsional.


Control predictivo funcional (Predictive Functional Control, PFC): Este algoritmo

utiliza un modelo en el espacio de estados, por lo que permite el manejo de

procesos inestables y procesos no lineales.

Control adaptativo con predicción extendida. (Extended Prediction Self Adaptive

Control, EPSAC). El algoritmo EPSAC usa un modelo de función con transferencia:

Donde es el retardo y es la perturbación.

Control adaptativo con horizonte extendido. (Extended Horizont Adaptive Control,

EHAC) Esta formulación también emplea un modelo de función de transferencia y

pretende minimizar la discrepancia entre la salida calculada y la referencia en el

instante

El único coeficiente de ajuste es el horizonte de predicción , lo cual simplifica el uso

pero proporciona poca libertad para el diseño. No utiliza trayectoria de referencia

porque el error se considera sólo en un instante , tampoco se pondera el esfuerzo

de control.

Control predictivo generalizado. (Generalized Predictive Control, GPC) Este

método utiliza un modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving

Average) para la predicción de la salida:

Donde la perturbación viene dada por un ruido blanco coloreado por el polinomio

. Este algoritmo, al igual que otros que usan el modelo de función de

transferencia, se puede implementar fácilmente en forma adaptativa usando un

algoritmo de identificación en línea como los mínimos cuadrados recursivos.

6.4 CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GPC)

La idea básica del GPC es calcular una secuencia de futuras acciones de control de tal

forma que minimice una función de coste multipaso. El índice a minimizar es una

función cuadrática que mide por un lado, la diferencia entre la salida predicha del

sistema y una cierta trayectoria de referencia hasta el horizonte de predicción, y por otro

el esfuerzo de control necesario para obtener dicha salida.


6.4.1 Formulación del control predictivo generalizado. El GPC utiliza un Modelo

Autorregresivo de Media Móvil (Controller Auto-Regressive Moving-Average CARMA).

Para aplicaciones industriales en las que las perturbaciones son no-estacionarias

resulta más conveniente el uso de un modelo CARMA integrado, dando lugar al

CARIMA, que viene descrito por [5]:

En donde:

Para simplificar se considera que , así la ecuación 6.15 se puede escribir en

la forma:

El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuencia de

señales de control que minimice una función de coste de la forma:

En donde:

: Es la predicción óptima de la salida del proceso pasos adelante.

: Horizonte mínimo de coste. (Horizonte mínimo de predicción).

: Horizonte máximo de coste. (Horizonte máximo de predicción).

: Horizonte de control.

y :Secuencias de ponderación. En la práctica y se toma como

parámetro de diseño.

: Es la trayectoria futura de referencia o Set-point.

El objetivo es el cálculo de la secuencia de control futura de tal manera

que la salida futura del proceso permanezca se aproxime lo mejor posible a

. Esto se logra minimizando la función de costo dada en la ecuación 6.16


6.4.2 Predicción óptima. Para minimizar la función de costo, es necesario obtener

primero la predicción óptima de en el intervalo . Aplicando el

algoritmo de la división, el último término de la ecuación 6.16, se puede escribir en la

forma:

Para simplificar se utiliza: , , ,

Entonces:

Haciendo:

Multiplicando la ecuación 6.15 con por se obtiene:

Despejando

Haciendo resulta:

Los polinomios y se pueden obtener recursivamente, de forma que los nuevos

valores en el paso ( y sean función de los del paso .

La mejor predicción de se obtiene cuando , es decir:

El conjunto de las predicciones óptimas es:


La ecuación 6.23 se puede escribir en forma matricial así:

Donde:

Los dos últimos términos de la ecuación 6.24 dependen solo del pasado por lo tanto,

pueden agruparse en un solo término , dando lugar a:

6.4.3 Obtención de la ley de control. La función de costo a minimizar propuesta para

el control predictivo generalizado, según la ecuación 6.17 es [5]:

Reemplazando en esta ecuación y con se obtiene:

La ecuación anterior se puede escribir como:

Factorizando la expresión anterior resulta:

Haciendo:


Se obtiene:

La ecuación 6.26 debe ser un mínimo, el cual se obtiene derivando la función con

respecto a la variable e igualar el resultado a cero.

Para el cálculo de la derivada se tienen en cuenta las siguientes propiedades del

cálculo matricial:

Es decir:

Por lo tanto:

Debido a que en el instante solo se aplica al sistema de control la salida , solo

interesa el primer elemento del vector . Por lo tanto, en la ecuación 6.27 sólo interesa

la primera fila de la matriz así, la ley de control para el GPC queda:

Siendo , la primera fila de

EJEMPLO 6.1

Para el sistema de control de la figura 6.6, diseñe un controlador predictivo. Asuma

horizonte de predicción 3, horizonte de control 3, y periodo de muestreo T=2 seg.

Figura 6.6 Sistema para el ejemplo 6.1

SOLUCION: La función de transferencia de pulso para el sistema es:


Las ecuaciones para obtener la predicción son:

La ecuación de predicción está dada por:

En donde:


La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

Finalmente, la ley de control es:

En donde es la primera fila de la matriz:

Con

Se obtiene:

Pero:

Entonces:

Tomando la transformada z a la ecuación anterior:

Es decir:


La figura 6.7 muestra el diagrama en bloques del sistema con el controlador predictivo

calculado para el sistema.

Figura 6.7 Diagrama en bloques para el control predictivo del ejemplo 6.1

En la figura 6.8 se presenta la respuesta del sistema con el control predictivo con

diferentes valores de la referencia .

Figura 6.7 Respuesta del control predictivo para ejemplo 6.1

EJEMPLO 6.2

La función de transferencia de un sistema neumático está dada por:

El periodo de muestreo es de 0.5 s. Calcular para el sistema, un controlador predictivo

con , horizonte mínimo de predicción 3, horizonte máximo de predicción 5 y

horizonte de control 5.

SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:


En donde: , , y .

Entonces:

Entonces la de predicción entre y es:


Es decir:


En donde es la primera columna de . Con se obtiene:

Por lo tanto:



Es decir:

Finalmente:

Figura 6.8 Respuesta del sistema del ejemplo 6.2

6.5 CONTROL CON MODELO INTERNO

Los métodos de control basados en modelos, incorporan dentro del controlador un

modelo del proceso. Este tipo de control es conocido como control con modelo interno o

, por sus siglas en inglés.

La figura 6.9a muestra un sistema de control realimentado en donde GP(S) es el modelo

de la planta y es el controlador del sistema. La figura 6.9b muestra el diagrama de

bloques básico del sistema de control basado en modelo, en donde es un modelo

de la planta , en la práctica se hace y es el modelo del

controlador con modelo interno . Comparando las Figuras 6.9a y 6.9b, se observa

como el controlador equivalente está dado por:

La ecuación 6.29 es la base para el diseño de los controladores del tipo PID cuyos

parámetros se calculan aplicando alguna de las técnicas de control con modelo interno.


Figura 6.9 a) Sistema de control realimentado. b) Estructura IMC básica

Tomando como base la estructura general, Rivera, Morari y Stogestad

demostraron que para modelos simples esta estructura conduce a controladores del

tipo PID y desarrollaron un procedimiento para obtener los controladores y lograr un

cierto desempeño deseado. Para lograr la solución redefinieron el controlador IMC

como:

Donde es un filtro pasa bajo, que debe seleccionarse de manera que garantice que

la función de transferencia del controlador sea propia. El filtro es de la forma:

EJEMPLO 6.3

Se desea diseñar un controlador PI con modelo interno para un sistema de primer

orden sin retardo. Obtener los parámetros y del controlador.

SOLUCIÓN: El modelo del sistema de primer orden sin retardo es:

La ecuación del controlador PI ideal es:


Se elige la ecuación del filtro como:

Con Se obtiene:

Reemplazando en la ecuación 6.29 resulta:

Comparando las dos ecuaciones obtenidas para el controlador GC(S) se obtiene:

Con un procedimiento similar al anterior, Rivera et al dedujeron, para diferentes

modelos de la planta, los parámetros para los controladores como se indica en la tablas

6.1 y 6.2. Es necesario tener en cuenta que la ganancia del controlador varía

inversamente con el valor del parámetro es decir, si es pequeño la ganancia del

controlador es alta y la respuesta del sistema en lazo cerrado es rápida y si es grande

la ganancia del controlador es pequeña y la respuesta del sistema en lazo cerrado es

lenta.

La tabla 6.1 se aplica a un modelo de primer orden con retardo:


Para obtener los parámetros de dicha tabla, Rivera, Morari y Stogestad utilizan una

aproximación de Padé de primer orden para el retardo así:

Tabla 6.1 Parámetros del IMC para un modelo POR

Tabla 6.2 Parámetros del IMC para diferentes modelos

P

PI

PD

PID

PID

PID

EJEMPLO 6.4

El modelo de cierto sistema de flujo puede aproximarse al de un sistema de segundo

orden sin retardo con función de transferencia:

Obtenga para el sistema un controlador PID con modelo interno. Asuma como periodo

de muestreo . Resuelva el problema para y y grafique las

respuestas ante una entrada en escalón unitario.


SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir en la forma:

Por comparación se obtiene:

a) Los parámetros del controlador con son:

El controlador PID discreto tiene por ecuación:

La ecuación del controlador es, entonces:

b) Los parámetros del controlador con son:

Los parámetros del controlador son:


La ecuación del controlador es, entonces:

La figura 6.10 muestra la respuesta del sistema de flujo a un escalón unitario. Como

puede verse, para la respuesta del sistema es más rápida que para el

sistema con pero presenta un sobreimpulso considerable (18%). Por lo

tanto, cuando se diseñan controladores por el método de control con modelo interno es

necesario seleccionar el valor de adecuado para que el sistema en lazo cerrado tenga

un desempeño adecuado.

Figura 6.10 Respuesta del sistema con el controlador PID-IMC

6.6 DISEÑO DE COMPENSADORES POR EL MÉTODO DE RAGAZZINI

Para el sistema de control discreto mostrado en la figura 6.11, la función de

transferencia de lazo cerrado es:


Si se especifica cuál debe ser el comportamiento de la planta en lazo cerrado, es decir,

si se especifica , el compensador resultante a partir de la ecuación 6.32 es:

Figura 6.11 Sistema de control digital

Como puede verse, a partir de la ecuación 6.33, una parte del controlador cancela los

polos y ceros de la planta. El problema consiste en establecer e implementar

restricciones específicas sobre de modo que el controlador sea realizable y que el

sistema, en lazo cerrado, tenga un comportamiento adecuado. Dichas restricciones se

pueden resumir en las siguientes [7]:

1. Restricción de causalidad: un sistema causal o realizable es aquel que no

responde antes de ser excitado. Para que en la ecuación 6.33 sea causal, es

necesario que y tengan ceros del mismo orden en el infinito es decir, si

se expande en potencias de , el término más significativo de en

potencias de debe ser al menos tan grande como el de Si es de la forma:

En donde:

Es la ecuación característica deseada.

La restricción de causalidad implica qué:


2. Restricción de estabilidad: Si tiene polos fuera del círculo unitario, el

sistema es inestable. El controlador no debe cancelar dichos polos pues

cualquier error en la cancelación entre ceros y polos hará que con el tiempo, el

sistema se haga inestable. Entonces, para que los polos inestables se cancelen, se

deben cumplir las siguientes condiciones:

debe tener como ceros todos los polos de que estén fuera del

círculo unitario.

debe tener como ceros todos los ceros de que estén fuera del

círculo unitario.

3. Restricción de exactitud: Como es la función de transferencia del sistema

en lazo cerrado, entonces:

Si el sistema es tipo 1, con constante de error de velocidad Kv, debe tener un error

de estado estable igual a cero ante una entrada en escalón unitario y 1/Kv de error

de estado estable ante una entrada en rampa unitaria, es decir:

Para un escalón unitario :

Para una rampa unitaria:

Utilizando el teorema de L'Hopital se obtiene:

La aplicación de las restricciones anteriores y el cumplimiento de las especificaciones

impuestas al sistema, permiten el diseño del compensador.


EJEMPLO 6.5

La figura 6.12 representa el esquema de una antena diseñada para rastrear un satélite.

La dinámica del sistema que describe el movimiento de la antena se puede aproximar

mediante la expresión:

Diseñar un compensador de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga tiempo de

crecimiento de 10 seg, sobreimpulso máximo 10% y coeficiente estático de error de

velocidad igual a 2.

Figura 6.12 Antena rastreadora de satélites

SOLUCION: La constante de tiempo equivalente del sistema continuo en lazo cerrado

es: . Por lo tanto, se puede tomar como periodo de muestreo .

La ubicación deseada para los polos de lazo cerrado está dada por:


De las condiciones del problema:

La ecuación característica deseada es, entonces:

Como el sistema es de segundo orden, debe ser de la forma:

a) Restricción de causalidad :

b) Restricción de estabilidad: no se aplica pues no tiene polos ni ceros fuera del

círculo unitario.

c) Restricción de exactitud :

Ahora se evalúa la derivada de con respecto a en , es decir:

Evaluando la expresión anterior en resulta:


Resolviendo las ecuaciones y se obtiene:

Por lo tanto:

La ecuación del controlador es:

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema, con el controlador diseñado,

es:

La figura 6.13a corresponde a la respuesta del movimiento de la antena cuando se le

aplica un escalón unitario en la señal de referencia y la figura 6.13b representa la

acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma. Como puede

verse, el controlador presenta oscilaciones ocultas ("efecto timbre"), debido al polo

ubicado en . Para obviar el problema se reemplaza dicho polo por una

ganancia que se obtiene haciendo en él z=1, como se indica a continuación:

La figura 6.13c representa la respuesta del movimiento de la antena y la figura 6.13d la

acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma al aplicar un


escalón unitario en la referencia, una vez suprimido el efecto timbre que producía el

controlador.

Figura 6.13 Respuesta del movimiento de la antena y del controlador al aplicar

un escalón unitario a) y b) con efecto timbre c) y d) sin efecto timbre.

REFERENCIAS

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[2] Aström, K. Wittenmark, B. Adaptive Control. Addison Wesley, 1989.

[3] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.

[4] Bordons, C. Control Predictivo: metodología, tecnología y nuevas perspectivas.

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla. 2000

[5] Camacho,E. Bordons, C. Model Predictive Control. Springer Verlag, 1999.

[6] Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley, 1990.

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BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA

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Documents

Sistemas de Control Avanzado - 1ra ED