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Sistemas de Controle 1Cap3 – Modelagem no Domínio do Tempo
Pontifícia Universidade Católica de GoiásEscola de Engenharia
Prof. Filipe Fraga
Sistemas de Controle 1
3. Modelagem no Domínio do Tempo
3.1 Introdução
3.2 Algumas Observações
3.3 A Representação Geral no Espaço dos Estados
3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço dos Estados
3.6 Convertendo do Espaço dos Estados para a Função de Transferência
3.7 Linearização
3.1 Introdução
• Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação:
– Técnica clássica, ou no domínio da frequência
• Vantagens
• Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica
• Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados.
• Desvantagens
• Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo
Aproximações para esses sistemas
Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada
– Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo)
• Vantagens
• Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta)
• Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável)
• Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas
• Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas
• Desvantagens
• Não é muito intuitiva
• Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente
* Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação.
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3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 1:
Considere que existe uma corrente inicial i(0).
1. Selecionando i(t) para ser variável de estado:
– Equação da malha:
– Aplicando a Transformada de Laplace:
– Admitindo que a entrada v(t) seja um degrau unitário u(t):
4
Transf. De Laplace para o degrau unitário
Isolando I(s)
Inversa de Laplace
Equação de Estado
3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 1:
Sabendo i(t) e v(t) é possível calcular os valores de todas variáveis possíveis do circuito (ou de todos estados possíveis)
2. Resolvendo algebricamente todas as outras variáveis do circuito em termos de i(t) e v(t):
Resistor:
Indutor:
Derivada da corrente:
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3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 1:
• Representação no espaço dos estados para o circuito RL:
• A equação de estado utilizada não é única, ela poderia ter sido escrita em função de qualquer outra variável do circuito. Exemplo: 𝒊 =
𝒗𝑹
𝑹
6
Equações de saída
Equação de estado
Representação no espaço de
estados
Equação de Estado
3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 2:
• Representação no espaço dos estados para o circuito RLC:
• Circuito de segunda ordem
– 2 equações diferenciais de primeira ordem
– 2 variáveis de estado: i(t) e q(t)
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2 equações diferenciais de primeira ordem e linearmente independentes
Equações de Estado
3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 2:
• Calculando as outras variáveis do circuito:
• Representação no espaço dos estados:
Tensão no indutor: Combinação linear das variáveis de estado: i(t) e q(t)
Equação de saída
Equações de estado
Representação no espaço de
estados
Essa representação não é única
3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Exemplo 2:
• Outra possível escolha de variáveis de estado:
– Tensão no resistor:
– Tensão no capacitor:
Equações de estado
Restrição para escolha de variáveis de estado: Nenhuma das variáveis de estado pode ser representada como uma combinação linear das outras variáveis de estado.
3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Representação matricial:
Equações de estado
Logo:
3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados
• Representação matricial:
Equação de saída
Logo:
Representação no espaço de
estados
3.2 Algumas ObservaçõesExemplo de modelagem no espaço dos estados
• Forma de abordagem:
1. Selecionar subconjunto particular de todas as variáveis do sistema para serem as variáveis de estado.
2. Para um sistema de ordem n, escrever n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas em termos das variáveis de estado.
3. Conhecendo os valores das variáveis de estado para a condição inicial t0 e para t>t0 é possível calcular seus valores para outros momentos t1>t0.
4. Equação de saída: combinação algébrica das variáveis de estado com a entrada.
5. Representação do sistema no espaço dos estados: equações de estado + equações de saída.
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3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
13
Exemplos:Representação no espaço de estados
Descrição das variáveis
3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Definições:
Combinação linear
Independência linear Diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combinação linear das outras
Variável de sistema Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema
Variáveis de estado O menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema
Exemplo: i(t) e q(t)
3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Definições:
Vetor de estado Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado
Espaço de estados O espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado
Equações de estado Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, com n variáveis, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado
Equação de saída A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um sistema como combinações lineares das variáveis de estado e das entradas
3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Exemplo de representação geral:
Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t)
Se houver uma única saída:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia
Variáveis de Estado:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿
Nó 1
Equação no nó 1: Equação na malha externa:
−𝑣 𝑡 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 0
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 4 Obter as equações de estado:equações de estado
Passo 5 Obter a equação de saída:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Representação no espaço dos estados
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
* Observa-se que esse circuito possui uma fonte de corrente dependente de tensão.
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia
Variáveis de estado
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿
LKT na malha com L e C:
Corrente em R2:
LKC no nó 1:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Montando o sistema:
Resolvendo por Cramer:
(1 − 4𝑅2) −𝑅2
−1
𝑅1−1
𝑣𝐿𝑖𝐶
=𝑣𝑐
𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡)
𝑣𝐿 =
𝑣𝑐 −𝑅2
𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡) −1(1 − 4𝑅2) −𝑅2
−1𝑅1
−1
𝑖𝐶 =
(1 − 4𝑅2) 𝑣𝑐
−1𝑅1
𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡)
(1 − 4𝑅2) −𝑅2
−1𝑅1
−1
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Equações de estado:
Passo 4 Obter as equações de estado:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 5 Obter a equação de saída:
Equações de saída na forma matricial:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Equações de movimento:
Escrever equações no domínio da transformada de Laplace por inspeção e em seguida aplicar a transformada inversa.
𝑠2𝑀1 + 𝑠𝐷 + 𝐾 𝑋1 𝑠 − 𝐾𝑋2 = 0
−𝐾𝑋1 + 𝑠2𝑀2 + 𝐾 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Fazer a relação entre movimento e velocidade:
Escolher as variáveis de estado: 𝑥1, 𝑣1, 𝑥2 𝑒 𝑣2
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Organizando equações de estado:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Escrevendo na forma matricial:
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Se a saída do sistema for 𝑥2 então a equação da saída será:
𝑦 = 0 0 1 0 𝒙
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
1) Transformar função de transferência em equação diferencial.
Multiplicar cruzado
Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase
Variáveis de faseNas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
3) Derivar variáveis de fase para encontrar 𝑐
Variáveis de fase
Derivadas das variáveis de fase
𝒄
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
4) Organizando o sistema
𝒄
5) Montando matrizes