lzr*ly=rg(I)lrt*y=18(II)

s{D,{

IA

a{

v

tto-

'i'\-9_-f+-9vF.,{ov

o

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

OBSERVAR

En una libreria, Pablo compró dos lapiceras y tres marcadores, y pagó $19. Julián compró en e[ mismo ne-

gocio tres lapiceras y un marcador, y tuvo que pagar $18. ¿Cuánto cuesta cada lapicera y cada marcador?

ltamando x a[ precio de una lapicera e y a[ precio de un marcador, podemos tradu-

cir a[ tenguaje algebraico [a información dada, mediante las siguientes ecuaciones.

Estas dos ecuaciones consideradas en forma simuttánea (es decir que se supone que ta x y h y de cada

una atuden a las mismas incógnitas) representan un sistema de dos ecuacíones lineales con dos incógni-

tas Resolver e[ sistema es encontrar, cuando existan, los valores de las incógnitas que verifican las dos

iguatdades simultáneamente.

Hay diferentes métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 0bserven cómo

podemos aplicar e[ tlamado método de susütución.

V=18-3x(IIf

2x+3.(18-3x)=rg-7x=-35

x=5!=3

lz.s*3.3=t9/(L 3.5+3=t8/

- Despejamos una de las variables de cuatquiera de las dos ecuaciones; en es-

te caso despejamos y de ta ecuación (II).- Sustituimos la expresión que obtuvimos en la otn ecuacién. E[ problema

queda reducido a [a resolución de una sola ecuación con una sola incógnita.

- Resolvemos [a ecuación y averiguamos x.

- Reemptazamos en (III) et valor de x que obtuvimos y averiguamos y.

- Para verificar las soluciones que obtuvimos, reemplazamos en las ecuacio-

nes originales y corroboramos que se cumptan las dos igualdades.

Conctuimos que la solución del sistema es: x = 5i y = 3.

2x-1,0=3!

5x+6y=25

4x+5Y=-2

-tu*zx=6

f?'l Resuel*ran por sustitución cada uno de los siguientes sistemas y comprueben las soluciones

que obtengan.

lx+ay=t

-2x-5y=-1

c¡,pÍruro l SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATE¡iIATICA 9 EGB @

Método de igualación

\_-/

;{)\-tI)-.E

I-¿€

\-át/<

'o\"€

€rlV.

e

YL,i

o

\-

O B5 E RVAI

llx,+v=r (1)

1

L -2x - 5Y = -7 (2')

ecuación (1)

]x=7-4y¿x̂=(1_or).t

Vamos a resolver este sistema aplicando el, métudo de

ígualación.

(t-+yt.l=F.'D.(-+)

i-t,=t-t'-fr.1'=I-l

7.. 1

6'6

!=t

x=(1-+.ü.1x=-2

l+,-r¡+4.!=t/l2\II

L-2(-2)-s.1=-t/

Concluimos que la solución del sistema €si x = -2'i y = t.

- Despejamos [a misma variable de las dos

ecuaciones; en este caso elegimos des-

pejar x.

- Igualamos las expresiones gue obtuü-

mos en et paso anterior.

- Resolvemos [a ecuación y averiguamosy.

- Hallamos e[ valor de x, reemplazando yen cualquiera de las dos expresiones del

primer paso.

¡ Verificamos que los valores obtenidos

cumplan tas ecuaciones originales del

sistema.

ecuación (2)

-2x=-t+5y

'=(-1 .r').(-+)

I +,+ tt=-tbrl¿ | t-zy=to

fU) Resuelvan con el método de igualación cada uno de los siguientes sistemas.

I ,-v=sai

| :'- zy=25

I +y - 3x ='t3s{

[26+y¡-3(x-y)=8

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES@ IiIATEIIATICA 9 EGB crpfruro ¿

Íq

éA

;.o.'5:

o

€¡.o

9-=f¡'o!a

dvo

--lt=, @l evi"toria se le volcó el té sobre la tarea, y se le

borroneó uno de los coeficientes de un sistema de

ecuaciones, pero recuerda que x = 4 es parte de la

solución. Calculen el coeficiente que está borro-

neado y resuelvan el sistema.

Fl C¿culen dos números enteros sabiendo que su suma es 36 y su diferencia es 4.

sta{2x+

3x-

0

= _5,5

2y:

]t

D,{ I tz, * 3y) :2 = 5,5

ü(l'-n=-'

Sistemas equivalentes

@ nrconorn

Se [aman sistemas equivalentes a los sistemas de ecuaciones que tienen la misma sotución.

Ejempto:

!zr-y=a, Jry-x=-s'¡t*Y=l I2x+tV=5s = (3; -2) s = (3; -2)

Los sistemas son equivalentes.

3 GD *u y María resolvieron los siguientes sistemas de ecuacio-

nes. Ana dice que el !J y el {.¡ son equivalentes, mientras que

María dice que los que son equivalentes son el ! y el !J.Resuelvan los sistemas y comprueben quién tiene razón.

tx=!-z-2x-y+7=0

U+5:3y

7y+ttx=-4

@| Ut promedio entre dos números es igual a 18, y la suma entre el triplo del primero y el segundo

da como resultado 6. ¿De qué números se trata?

CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMATICA 9 EGB @

l

I

le 6iil v".inquen en cada caso si el par ordenado indicado es solución del sistema. En caso de que nolo sea, hallen la solución.

lu-v=ta { s=(3;1) b)

lx+2y=5

@

lu-$v=a,s

t-r.6y=ey

| -x=Syslln=t -

t+,

t*+7y=22

s = (2; -3)-y=75

+85 = (28; 4)

77

!J Completen el segundo sistema con una ecuación conveniente, de modo que resulte equivalen-te al primero.

tx+sy=-r-l

:\/€v'62

\./9o\J-ú

€\,!v=

o{A

q

gr t¡J

3

Id

\J<@

U

U\*-,

@

U ¿E únicala respuesta? ¿Por qué?

s{ 2(y+3)=x

y-2+2x=0

'{

x+y x+y 4--7- - T ='

5x+t=4y-2,5

g - bur=y

v- fx=-tü{

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

GD R"r,r"Lran con el método que consideren más adecuado los siguientes sistemas de ecuaciones.

a{ 4x+3(y-2)=y+6

5y-6=3y-2x

illr¡rÁrrct s ¡e¡ c,epfrulo ¿

\--

¿€{

9r'a

d¡,ó&

o'

f¡,] '

o

d!'t-o

Y=2+rl6-x=2+x6-2=x+x :I

3 EE} R"r.r"lrrun los sistemas y verifiquen en forma griífica la solución obtenida algebraicamente.

b, t t'*n=L¿ I *+"=t

I u*zy-14=o!(

[ -r* t-r=ofilil escriban un sistema de ecuaciones que pueda asociarse a la si-

guiente interpretación griáñca.

..1'r,,

:] - iUü,

oÉ

f

I nterpretación gráfica

de un sistema de ecuaciones lineales

OBSERVAR

Cada una de las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales puede asociare a una función lineal,

cuya representación gráfica es una recta. Resolver el sistema significa encontrar las coordenadas del pun-

to que tienen en común ambas rectas (más adelante veremos que puede ocurrir gue este punto no exis-

ta o no sea único).

Ejempto:

En et siguiente sistema podemos obtener [a fór-

mula de [a función linea[ asociada a cada ecua-

ción, despejando la y.

ír*y=6-# !=G-x -1 H

l- -t*, =21 !=2+rJ

Aprovechando las expresiones que ya obtuvimos,

resolvemos el sistema por igualación.

!=6'x

4=2x2=X

En el gráfico pueden comprobar Que 5 = (2; 4) es e[ punto en e[ que se intercecan las rectas asociadas

a las ecuaciones del sistema.

Teniendo en cuenta que la representación gráfica está sujeta a las imprecisiones del dibujo, es impor-

tante corroborar que coincida con [a solución obtenida algebnicamente.

Para representar gráficamente e[ sistema, gnfica-

mos las funciones asociadas a sus ecuaciones en

un mismo diagnma de ejes cartesianos.

v,'/

'i' ¡

,/_

\ L

¿ ,.

'/7 x

v

\* \I

,1 L xz

cepfturo ¿ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES iIATEI,IATICA 9 EGB @

0¿

A

;€Ece-av

o9-f!o

<\Jo-

o Las dos incógnitas son:

r?r: cantidad de mayores

,t: cantidad de menores

o Las dos ecuaciones son:

Totat de personas + n + m = 88

Total recaudado --á 4n + gm = 667

Éste es el sistema

a resolver.

Resolvemos e[ sistema y obtenemos n = 25 v m = 63.

Interpretamos que se vendieron 25 entradas de menores y 63 de mayores.

GD Sr"rrdu compró una bicicleta y un casco de ciclista por $108. Si el

casco cuesta $72 menos que la bici, ¿cuál es el precio de cada artículo?

Los sistemas de ecuaciones como herramienta

pa'a resolver problemas

Íli orrr.uo.

Pan resolver una situación en [a que intervienen varias incógnitas, en muchos casos es conveniente tra-

ducirla a[ lenguaje algebraico. Para esto, se deben identificar las variables y plantear un sistema cuyas

ecuaciones reflejen las relaciones que existen entre ellas.

0bserven e[ siguiente ejemplo.

Cartos, Juan Manuel y Silüo tienen una banda de rock llamada Los De-

colorados. Para e[ día de ta primavera hicieron un mininecital. Cobraron

$4 [a entrada a los menores de 12 años y $9 a los mayores. Vendieron

88 entradas y recaudaron $667. En [a boletería olyidaron distinguir las

entradas de mayores y las de menores vendidas. ¿Cuántas entradas de

cada tipo se vendieron?

ffrl Con lu, treinta y cuatro monedas de 25 y 50 centavos que tenía ahorradas, María se compró unacamisa que costaba $14. ¿Cuántas monedas de cada valor había en su alcancía?

@ t.t trapecio isósceles tiene 35 cm2 de superficie. Una de sus bases mide las tres cuartas partes

de la otra y su altura mide 5 cm. Calculen el perímetro del trapecio.

c,tpfruro ¿ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMATICA 9 EGB @

@! Uttu empresa de üajes y turismo cuenta con micros que traslad.an 48 pasajeros sentados y va-

rios minibuses con capacidad panl2 pasajeros. La últimavez que las 8 unidades viajaron comple-tas, trasladaban204 pasajeros. ¿Con curíntos micros y minibuses cuenta la empresa?

@$ tt entrenador del club Los Goleadores compró en una tienda 5 camisetas -todas del mismoprecio- y 3 pelotas número cinco y pagó $177. A la semana siguiente regresó al mismo local para

comprar 9 camisetas y dos pelotas más -ambos artículos iguales a los que ya había comprado- y en

la caja le hicieron un descuento del 157o por considerarlo cliente del negocio y pagó $f87.

¿Cuiál es el precio de cada pelota y de cada camiseta?

ED n*"rr la medida de los lados del romboide.

Fi * ñin - 4,8 cm

2-rnn - m-Q + 0,6 cm

Éi\o\-/6t\-€

dE

v!I

.Á

.:€1r)ve

el4IJ

o

a, Izy=x+tl- L"-Y=-2

vanlos.

"rItr+2y=22- L"+Y=g

fEil n perimetro de un rectiíngulo es de 38 cm, yuno de sus lados mide el doble que el otro, aumen-

tado en 4 cm. Calculen la medida de sus lados y su diagonal.

fE) f[f r"aro le dice aAndrés: "Si sumás las dos cifras de un número, te da nueve como resultado; si

invertís el orden, obtenés un número dieciocho unidades mayor que la mitad del primero". ¿A qué

número se refiere Pedro?

@ FiD trrrr"rrten un problema que pueda resolverse con cada uno de los siguientes sistemas, y resuél-

@ [ATtt{ÁTIcA 9 EGB sISTEMAS DE EcUAcIoNES LINEALES cepÍturo ¿

fp nesuelrran, representen y clasifiquen los siguientes sistemas.

3x-y=2

-6x+2Y=59

:

:;.o\'6!

o\a

z-

q'

9vr!'o\'a-'o,d

<\.-o.

Clasificación de los sistemas de ecuac¡ones linealesR E COR DAT

Cada vez que resolvamos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, y to representemos

gráficamente asociando una recta a cada una de tas ecuaclones, nos encontraremos con atguno de estos

tres casos.

I,uE

ÉI

Las rectas se cortan en un punto:

Ld solución es única.

Es importante verificar siempre que [a resotución algebnica y [a interpretación gráfica guarden coherencia.

Sistema compaüble

determinodo

Sistemd compaüble

indeterminado

Las dos ecuaciones están asocia-

das a [a misma recta o, dicho de

otra forma, a dos rectas que tie-

nen infinitos puntos en común.

Ti ene infi nitns soluciones.

Sistema

íncompaüble

Las rectas son paraletas y, por [o

tanto, no tienen ningún punto

en común.

El sistema no üene solución.

s{a{l +.t ='o?){ lxYl

L3 4 '

zx-l=+,s

-+'= 4 -+

:

\_- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALEScAPfTtILo 4 MAIEIIATICA 9 EGB @

CD e to, siguientes sistemas les falta una ecuación. Completen cada sistema con una ecuación ade-cuada, de modo que resulte del tipo pedido en cada caso, y anoten su solución, cuando sea posible.

flf Ca"ttt"n en cada sistema el coeficiente que falta teniendo en cuenta la solución y/o la clasifi-cación indicada.

lzlx+1) -3(y - 4)=e,5 [-ax* .&J""*' y=16 l-+r+2(x+y)=12u{ . ..,.,: U{ s{L ;;"* x=7-2! lx+21=-3x+5y-8 lrl=-r- -;.. x

'= [t'')

r€vó

:\o

a

srE

I

ovg

=,¡l\-/oo

*É!"4

@

Sistema compatibleindeterminado

Sistema incompatible

fliil tttaiqr,en cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Expliquensus respuestas.

U En la interpretación gráfica de un sistema compatible indeterminado, las rectas pueden resul-tar perpendiculares.

11 tos sistemas compatibles determinados tienen una solución única.

9 Un sistema incompaüble tiene infinitas soluciones.

Ü Ett la interpretación gráfica de un sistema compaüble determinado, las rectas pueden resultarperpendiculares.

@ 14ATE[IATICA 9 EG8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES cepfruro ¿

Cap. +.Sisteñas de ecuationes linealesPara las respuestas redondeamos los resultados a los centési-mos, en los casos en que resultó necesario.

El U t * (¡ + l) + (x + 2) = 2x + 20. Los números son 17, 18 y l9b_1 3x - 12 = rlm . El número es 9.

g 210' 5 cm) + ll = 38 cm. Superficie: 84 cm2

U Perímetro:14,33 unidades.

@l r¡x; =a*5 h(x)=-x+2

CD A"=-2;y=I !)x=5;y=¡

@ l r= 15;y= 19 b)x=2;Y=-t

@ lr=3;y=t !)x=-r;y=rb_1x=-I;Y=1 !1x=t;Y=]

6l Ei coefrciente fiíl Los nume.oses -1. son 16y20.

ED U Et par indicado no es solucióndel sistema; la solución es:

!.¡ El par indicado no es solucióndel sistema; la solución es:

!J El par indicado no es solucióndel sistema; la solución es:

@l U unu posibilidades la siguiente:

llx+sy=-x-$I sx- ¿/= ¡+ ro

fiBl U s = (s; ol b)s = (z; st

EB s s= to;rt

fiil Única solución: !J yNo tienen solución:

@ l attl =0,42x+15!.¡ Pagará $ 34,32.

ffl I zx+y=lI y 4*=á

frff] at ak)=!** !v¿ I I

blb@)=x+t ..]

l

@

!J Infinitassoluciones: lly ü.Uv sJ.

!l 69 minutos.

?

e@ =| x-z3

I x= 4iY= -r

9x=-3iy=IMaría tienerazón.

Íiiil Los númerosson -15 y 51.

lle. 3 \15's/

(z;s)

¡r188._s2\\9'S)!.1 No, las ecuaciones queverifican la solución delprimer sistema y son equi-valentes a la dada en el se-gundo, son infinitas.

9_¡g=(2;-2) ÜS=

U S= (1;2)

(+, 1)

Glr b)a&)=x -tb(x) = z

I Isósceles.

! Rectángulo.

!,¡ Las coordenadas de losvértices s6n¡ ¿ = (2; 1);

b = (3; 4); c= (7; 4) yd= (B; 1)

9 Trapecio isósceles.! Perímetro: 16,32 cm.Superficie: 15 cm2.

fli'l Había 12 monedas de 25 centavos y 22 monedas de 50centavos.

l Ps¡irnsl¡s=24,2cm.

Eil m bicicleta cuesta $90 y el casco glB.

E7D La "-pt"ra

tiene 3 micros y 5 minibuses.

Eil El precio de la pelota es de $29 y el de la camiseta $18.

tg tn = np = 1,8 cmyFq = ñE = 3 cm.

Fil Sus lados miden 5 cm y 14 cm respectivamente y la me-dida de la diagonal es de 14,87 cm.

E0 El número es 54.

Eiíl tos problemas para ser resueltos con cada sistema po-drían ser los siguientes:

!,1 Tres remeras y dos bermudas le costaron a Adrián$22; Iulirí¡ compró en el mismo negocio una remera y unpar de bermudas, iguales a las de Adrián, y pagó $9.

¿Cuál es el valor de cada prenda?Solución: remera: $4 y bermudas: $5.

!.¡ El doble de la edad de Iosé es igual a la edad de Aldoaumentada en 11; la diferencia de sus edades es igual a -2

¿Cuántos años tienen losé y Aldo?Solución: José tiene 7 años yAldo tiene 9 años.

f,p g Solución:,(12;20) Usistema gSistemaSistemacompatible incompatible. compatibledeterminado.

'F3

tl=*":f

f,! Una posible respuesta es la siguiente:

RESPUESTAS MATEMÁTICA 9 EGB