SISTEMAS DE ECUACIONES - et26.edu.aret26.edu.ar/wp-content/uploads/2015/03/CARPETA-MATEMÁTICA-DE-3ro... · ... A = 3x5 B = -x2 C = x b) A = x 3 5 B = 9 4 3 x C = - 12x3 c) A = -x3

Escuela Técnica Nº 26 D.E.6º – Confederación Suiza

Carpeta de Trabajos Prácticos de Matemática para 4º Año Automotores Página 1

ESCUELA TÉCNICA N° 26 D.E. 6°

“Confederación Suiza”

GUIA DE VERANO:

Carpeta de

TRABAJOS PRÁCTICOS

de

MATEMÁTICA

para 4° Año Automotores

APELLIDO Y NOMBRE DEL ALUMNO: ...............................................................

PROFESOR: ........................................................................................................

DIVISIÓN: …........................................



Para los alumnos:

El presente material te será de gran utilidad, ya que él fue diseñado para

mejorar la articulación entre el nivel básico y superior, y está planteado para

que repases los principales temas, abordados en Matemática. El objetivo del

mismo es que, tanto vos como tus compañeros, alcancen un mismo nivel de

conocimientos necesarios para el inicio a esta nueva etapa educativa..

Consejos para la realización del presente cuadernillo:

- Lee atentamente cada uno de los puntos.

- Trabaja en forma ordenada, es decir, no pases al punto siguiente sin haber

comprendido la teoría y realizado la ejercitación correspondiente.

- Lee con atención las consignas de los ejercicios.

- La resolución de las ejercitaciones la realizarás en el cuadernillo en tinta

con letra clara y prolija

- Organiza tu tiempo de trabajo. No dejes todo para último momento, ni hagas

todo junto.

- Este cuadernillo deberás traerlo con todas las resoluciones realizadas el

primer día de clases.

¡Éxitos!



FUNCIÓN AFIN

La función polinómica de primer grado q(x)= a x +b siendo a y b números reales se les denomina coeficiente principal e independiente de la función recibiendo el nombre de pendiente y ordenado al origen respectivamente Ecuación explicita de la recta:

Y=a x +b siendo a la pendiente y b la ordenado al origen

La representación grafica de una función a fin es una recta. La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y El valor de la pendiente determina que una funciona fin sea creciente constante o decreciente

Ejemplo de Ejemplo de Ejemplo de Función creciente Función constante Función decreciente A las funciones afines que pasan por el origen de coordenados (0;0) se las denominan funciones lineales Representar las siguientes funciones a partir de la ordenada al origen y la pendiente:

1) Y=2

1x 2) Y= - x+2 3) Y=

3

2x-1 4) Y=-

4

1x +3



SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, representa dos rectas en el plano y resolverlo y hallar la intersección de ambas (Conjunto solución) a x+ b y=e d x +e y=f Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen ningún punto en común) o son coincidentes. Los sistemas se clasifican en compatibles e incompatibles, según tengan o no solución. Los sistemas compatibles pueden ser determinados o indeterminados, según tengan uno o infinitas soluciones incidentes

SISTEMAS COMPATIBLES

Una única solución. Ejemplo de determinado.

SISTEMAS INDETERMINADOS

R1=R2 Infinitas soluciones Ejemplo de indeterminado.

SISTEMAS INCOMPATIBLES

R1//R2 Ejemplo de incompatible.



POLINOMIOS

1) Calcular: a) A + B b) A – B c) B – A

Siendo: a) A = 3/5 x4 B= x4

b) A= -5x B= -x2 c) A = 3x3 B= -8x3

d) A = x3 y2 B= 6x3 y2

2) Calcular A. B. C:

a) A = 3x5 B = -x2 C = x

b) A = x3

5 B = 9

4

3x C = - 12x3

c) A = -x3 B = -10 x4 C= 5

10

1x

5

3) Calcular A : B

a) A = 3x3 x B = - 5/3 x b) A = 2x4 -5x2 -12 B = 2x2+3

c) A = 2410133

16

18

1

3

1 2345 xxxxx B= 429

1 3 xx

4) Hallar el cociente y el resto:

a) (4x6-25) : (2x3+5) =

b) (8x3 + 12x2 + 6x + 1) : (2x + 1) =

c) (25x4 - 30x2 + 9) : (5x2 – 3)=

5) Aplicar Ruffini y el Teorema del resto:

a) D= 4x5-x3+x+6 D’= x +1

b) D = 28

14 xx D’=2

1x

c) D = 22

11 32 xx D’ = x+10

d) D= x3 – 1000 D’ = x – 10



6) Aplicar teorema del resto:

a)

64

16x :

2

1x =

b) (x5 + 32) : (x + 2) =

c)

xx

5

1:

125

1 3 =

d) (x4 + 10000) : (x + 10) =

e) (5x3 - 30x2 + 30x - 20) : (x – 5) =

f) (12x2 + 16x – 40) : (x + 3) =

7) Verificar: Equivalencias

a) (x + y)2 + (x – y)2 =

b) (x2 – y2)2 + (2x y )2 = (x2 + y2)2

c) (x + y) 2 – (x – y )2 = 4xy



ECUACIONES E INECUACIONES DE 1º GRADO

Una entidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de lo variable. Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor variable. Resolver una ecuación es encontrar, si existe el o los valores de las variables que verifican la igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación. Las desigualades que contienen variables se llaman inecuaciones. Una inecuación se resuelve como una ecuación salvo en el caso en que se divida o multiplique a ambos miembros por un numero negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:

1) 5,22

3x = x

4

15

2) 4,3 + 3,2 x = 5,2x + 7,3

3) 15

2x = 5,02

5

1x

4

4) 2

102

x = 1

2

10

x

5) – 6x + 4 = x – 1 +1 10 3

6) - 4610

3 x = 5,02

5

1x

-2 2

7) 3 – 24x – 1 – 2x = 4310

1 x

10 2

8) 4

22 x =

2

214

x

9) 3 – 4x = -3 – 4x 5 5

10) 2

21 x =

2

102

x

Plantea y resuelve cada uno de estos cálculos:

1) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 5

2?



2) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte da 5

9

3) La mitad de un número más su tercera parte de su consecutivo es 7

¿De qué numero se trata?

4) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es 2 ¿Cuál es el número?

5) La tercera parte de la suma de dos números es igual a la mitad del

mayor de ellos ¿Cuáles son los números?

Resolver las siguientes inecuaciones: 1) -3x > 2

2) 5

1 x < -4

3) -7x < 3

4) 4

1 x > -1

5) 3x - 3

8 < 4-x

6) 2,3x +5,4 - x > (6-3x):0,1

7) - 5105

3x >

x

2

51 : 0,5

8) 10x-5 <

3

12x : 0,2

9) x2

7 <

10

2

1x

10) x2

14 > -x +1



ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La formula general de las ecuaciones de segundo grado es:

ax2 + bx +c =0 Donde a, b y c pertenecen a los Reales y a 0

Ecuaciones incompletas: 1) Si b= 0 La ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax2 + bx = 0

Ejemplos:

a) x2 – 9 = 0

b) 3

1x2 – 12 = 0

2) Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma a 2x + bx = 0 Ejemplos

a) 2x2 – 3x = 0

b) -3x2 + x = 0

Ecuaciones completas: Si la ecuación es completa o sea ninguno de sus coeficientes es igual a cero, con valores de x que lo satisfacen se encuentra aplicando una fórmula, en la cual estos intervienen.

02 cbxax Para obtener los valores de las x, se aplica:

a

acbbxx

2

4;

2

21

Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x – (1 – 3x2) = 2x2 – (-x – 3)

2) x. (5 – 2x) = 3. (-3

2 + 2x) + 2

3) x. (1 + x) – 22

1x = 10 +

2

1. x

4) 1 – 4. (x2 – x) = (2x – 1). (x – 1)

5) 2x2 + x – 6 = 0

Planteen y resuelvan los siguientes problemas:



1) ¿Cuál es el número distinto de cero, que sumado a su cuadrado es igual a su

cuádruple?

2) El doble del cuadrado de un numero entero sumado a su triple es igual a 65 ¿Cuál es el número?

3) Hallar un número, distinto de cero, tal que si se le resta su cuadrado de como resultado exactamente su cuadrado.

4) El quíntuplo de un número es igual a la mitad de su cuadrado, aumentado en 12 unidades ¿Cuáles son los números que cumplen con esa condición?

5) El cuadrado de un número entero es igual al siguiente multiplicado por -4. ¿Cuál es el número?

6) La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 50.

¿Cuáles son los tres números?

7) El área del rectángulo de la figura es 18(cm). Calcular su perímetro.

8) Calcular x sabiendo que el triángulo es rectángulo en a. Calcular el perímetro suponiendo que los lados están expresados en cm. Calcular el área.

9) Si el perímetro del triángulo es igual a 24 cm. Calcular x. Calcular la longitud de

cada lado.

10) El perímetro del triángulo de la figura es 50 cm. Calcular la longitud de cada uno de los lados.



Hallar las raíces:

1) 6x2 – 2/3 = 0

2) 2

4

3x = 0

3) 2

5

4x + 5x = 0

4) 2

2

1x + x = 0

5) 9

2

2

1 2 x = 0

6) 3

1

2

3 2 x = 0

7) x2 + 3x + 2 = 0

8) x2 + 5x – 3 = 0

9) x2 + 6x + 4 = 0

10) x2 + 2x + 10 = 0

Sistemas de ecuaciones cuadráticas: 1) y = 2x2 + 3x – 5

y = (x – 1)2

2) y = 2x2 – 3x + 5

y = 2x + 3x – 4

3) y = 2x2 + 8x + 1 y = 2x + 4x – 4

4) x. y = 10 x + y = 7



Realizar Los siguientes cálculos: a) Representar las funciones

b) Hallar las raíces

c) Hallar la ordenada al origen

d) Hallar el eje de simetría

e) Hallar el vértice

1) f (x) = x2

2) f (x) = x2 – 1

3) f (x) = x2 + 4

4) f (x) = x2 – 2x + 1

5) f (x) = x2 – 2x + 1

6) f (x) = x2 – 9

7) f (x) = x2 – x + 4

1

8) f (x) = -x2 + x – 4

1

9) f (x) = x2 + x + 4

1

10) f (x) = x2 - 4

1



FUNCIONES CUADRÁTICAS Análisis de funciones de segundo grado mediante gráficos: Sacar conclusiones:

En función del valor de a:

En función del desplazamiento horizontal:

En función del desplazamiento vertical



INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Resolver analítica y gráficamente:

1) x2 – 9 > 0

2) x2 – 4 < 0

3) x2 + 3 > 0

4) x2 + 1 < 0

5) 3x2 – 12 < 0

6) –x2 – 9 < 0

7) x. (x + 1) – 25 > x

8) (x + 2)2 < 4

9) x. (2x – 3) < - 1

10) 2x2 – 4x – 6 > 0



FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ejercicios:

1) La cantidad de dinero (co) se deja depositado en un banco durante t años con un interés anual r. La expresión c(t) = co . e rt Permita calcular ¿Cuánto se recibió después de un tiempo t? ¿Cuánto recibirás al cabo de dos años por $800 al 3% anual?

2) La población proyectada P de una ciudad está dada aproximadamente por la siguiente función

P(t) = 2000 . e 0,05t Donde t es el número de años después de 1985

a) ¿Qué significa el valor 20.000? Y matemáticamente b) Calcula P(16) ¿Qué significa? c) ¿Cuánto creció la población de dicha ciudad entre 1990 y 1991? ¿Cuánto

se estima entre el 2010 y 2020?

3) La cantidad de productos que los consumidores pueden demandar de un cierto producto se puede modelizar con la función: q (p) = 160000 – 10p

Si el precio “p” no supera $5,2

a) Indicar el dominio y la imagen de esta función b) Si el precio es de $3 ¿Qué cantidad se consumió? c) ¿Qué indica q(o)? d) Si los consumidores compran 6000 unidades ¿a qué precio lo

hacen?

4) El precio de un artículo es de $20 pero cada mes se rebaja en un 6%

a) Escribe la sucesión de precios en los siguientes seis meses b) ¿Cuál es la formula general? c) ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que el precio sea menor que el 50%

del valor inicial?

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