Sistemas de Ecuaciones Lineales

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

SISTEMAS DE ECUACIONES

Autor: Eduardo Gago

Año 2014

Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago

1

1. Ecuación lineal con n incógnitas

Una ecuación lineal con n incógnitas es una ecuación de la forma:

(*) bxaxaxa nn =+++ ...................2211 ,

donde 1x , 2x ,…………, nx son símbolos a los que se los denomina “incógnitas” o “variables”

y; 1a , 2a ,………. , na , y b son números reales dados, tales que a los n primeros se los llama

“coeficientes” y al último “término independiente”.

Ejemplos:

1) 42 )( 1 −=− yxE y 043 )( 212 =+ xxE son ecuaciones lineales con dos incógnitas, y además

son las ecuaciones de dos rectas en el plano.

2) 01053 )( 3 =−+ zyxE ; 63 )( 4 =++ zπeyxE ; y 05

403,0 )( 3215 =

++ yπ

senyyE , son

ecuaciones lineales con tres incógnitas, y además son las ecuaciones de tres planos en el espacio.

3) Naturalmente las ecuaciones tales como:

43216 297 )( xxxxE +=+ ,

son ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, pues se pueden llevar a la forma (*) mediante apropiados pasajes de términos.

Una solución (o solución particular) de la ecuación (*) es cualquier vector ).,,.........,( 21 nααα

de números reales tales que:

bαaαaαa nn =+++ ...................2211

Se dice entonces que el vector ).,,.........,( 21 nααα “satisface” o “verifica” la ecuación.

Por ejemplo si )( 1E , )( 2E , )( 3E y )( 4E son las anteriores, entonces: )2,1(− y )4,0( son

soluciones de ( )( 1E y )0,0( ;

−4

1,

3

1 son soluciones de )( 2E ; )6,9,5( y )

10

7,2,1(− son

soluciones de )( 3E ; y )0,6

,0(e

y

π

6,0,0 son soluciones de )( 4E . Sin embargo, no son las

únicas.

En realidad, se sabe que toda ecuación lineal con dos incógnitas del tipo cbyax =+ , con

coeficientes no simultáneamente nulos, es la ecuación de una recta en el plano. O bien en otros términos: todo punto del plano ),(βαP , cuyas coordenadas, ),(βα , satisfagan una ecuación tal,

es un punto de una recta , y recíprocamente. Consecuentemente, toda ecuación lineal con dos incógnitas (con coeficientes no simultáneamente nulos), tiene infinitas soluciones, pues tales soluciones son las coordenadas de los infinitos puntos de paso de una recta.

También, se sabe que toda ecuación lineal con tres incógnitas del tipo dczbyax =++ , con

coeficientes no simultáneamente nulos, es la ecuación de un plano. O bien dicho de otra manera: todo punto del espacio ),,( γβαQ , cuyas coordenadas, ),,( γβα , satisfagan una

ecuación tal, es un punto del plano, y recíprocamente.


2

Consecuentemente, toda ecuación lineal con tres incógnitas (con coeficientes no simultáneamente nulos), tiene infinitas soluciones, pues tales soluciones son las coordenadas de los infinitos puntos de paso de un plano.

Ejercicio: Si )( 1E y )( 2E son las anteriores, obtener todas sus soluciones y graficarlas.

Solución:

a) Sea: )( 1E 4242 +=⇒−=− xyyx

Si 42) ( +=⇒∈∀= tyRttx , entonces, el conjunto solución de )( 1E es: )}42,{(1 += ttE .

En consecuencia, las infinitas soluciones de )( 1E dependen del parámetro t.

En la Fig. 1 se observa la gráfica de la recta en el plano r de ecuación )( 1E . Se marcan sobre la

recta r algunos puntos del plano cuyas coordenadas son soluciones particulares de )( 1E .

b) Sea )( 2E 1221 4

3043 xxxx −=⇒=+

Si sxRssx4

3) ( 21 −=⇒∈∀= , entonces, el conjunto solución de )( 2E es:

−= ssE4

3,2 .

En consecuencia, las infinitas soluciones de )( 2E depende del parámetro s.

En la Fig. 2 se observa la gráfica de la recta en el plano δ de ecuación )( 2E . Se marcan sobre

la recta δ algunos puntos del plano cuyas coordenadas son soluciones particulares de )( 2E .

Las coordenadas de los infinitos puntos de paso de cada una de las rectas r y δ representan

todas las soluciones de las ecuaciones )( 1E y )( 2E .

Observación: Una ecuación lineal con dos incógnitas cuyos coeficientes son simultáneamente nulos, o carece de soluciones, o tienen infinitas.

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

•

•

•

•

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x1

x2

•

•

•

Fig. 1: gráfica de la recta r Fig. 2: gráfica de la recta s


3

2. Sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de m ecuaciones lineales con n incógnitas (con m y n números naturales), a los que de ahora en adelante se los llamará: sistemas m×n.

Si nm = (es decir, si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas), el sistema se denomina cuadrado.

Una solución (o solución particular) de un sistema de m×n es cualquier vector que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Si en un sistema de ecuaciones todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo. En caso contrario, es decir, algún término independiente es no nulo, el sistema se dice no homogéneo.

Por ejemplo sean los sistemas:

=−=−

064

032)( 1 yx

yxS

=+−=+

0

03)( 2 ba

baS

=+−−=−3

42)(

21

213 xx

xxS

=−=−

464

032)( 4 yx

yxS

=+−=−032

232)( 5 ut

utS

=+−+−=++

−=−+−

432

234

45432

)(

4321

432

4321

6

xxxx

xxx

xxxx

S

Los vectores )0,0( y )2,1(− son soluciones de los sistemas )( 1S y )( 3S , respectivamente,

mientras que, )3,1(− no es solución de )( 2S , pues satisface sólo una de las ecuaciones de dicho

sistema. El vector de cuatro componentes )3,1,1,2(− , es una solución del sistema )( 6S .

)( 1S y )( 2S son ejemplos de sistemas homogéneos, mientras que )( 3S , )( 4S , )( 5S y )( 6S son

ejemplos de sistemas no homogéneos.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

=−=+

2

4)( 1 yx

yxS b)

=−=−

633

2)( 2 yx

yxS c)

=+=+

4

2)( 3 yx

yxS

Solución: a) Si se suman ambas ecuaciones

62

2

4

=

=−=+

+

x

yx

yx

362 =⇒= xx , entonces si 13444 =⇒−=⇒−=⇒=+ yyxyyx

La única solución de )( 1S es: )}1,3{(1 =S , y además como se observa en la Fig. 3, )1,3( son las

coordenadas del punto de intersección de las rectas de ecuaciones: 4)1 =+ yxr y 2)2 =− yxr .

b) Si se saca factor común 3 en el primer miembro de la segunda ecuación de )( 2S , se obtiene:

26)(3633 =−⇒=−⇒=− yxyxyx


4

Se descubre que las dos ecuaciones de )( 2S son iguales. Entonces, como se observa en la Fig. 4,

la rectas de ecuaciones: 2)1 =− yxr y 633)2 =− yxr , son coicidentes.

De esto se desprende que las rectas se 1r y 2r se intersectan en los infinitos puntos que pasan

por ellas. c) Si se restan ambas ecuaciones

60

4

2

=

=+=+

−

yx

yx

El resultado anterior indica que el sistema no tiene solución, ya que 60 = constituye una inconsistencia. En consecuencia, como se observa en la Fig. 5, que surge de graficar las rectas

21 =+ yx)r y 42 =+ yx)r ; las mismas son paralelas y no se intersectan en ningún punto, se

dice entonces que =3S {Ø}.

Fig. 3: Rectas que se intersectan en un punto

-2 2 4 6 8

-4

-2

2

4

x

y

-2 2 4 6 8

-4

-2

2

4

x

y

Fig. 4: Rectas coincidentes

-3 -2 -1 1 2 3 4

-2

2

4

6

x

y

Fig. 5: Rectas paralelas


5

Por consiguiente, si con 1r y 2r indicamos las rectas de los casos a), b) y c), caben sólo tres

posibilidades:

En cualquiera de los casos a) y b), el sistema se dice compatible y, en particular, determinado en el caso a), e indeterminado en el b). En el caso c), decimos que el sistema es incompatible.

Se llama solución general de un sistema al conjunto de todas las soluciones particulares del mismo.

En términos de esta definición se tiene entonces que un sistema es, compatible si su solución general es no vacía, e incompatible en caso contrario.

Cuando se dice que un sistema ha sido resuelto, se entiende que se ha obtenido su solución general. Sistemas equivalentes Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen la misma solución general Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

Se conocen diversos métodos de resolución de sistemas. Aquí se va a recordar el conocido “método de reducción” ó de “eliminación de incógnitas”.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de reducción

=+++=−−+

=+−+=+−

1374163

623102

65

1032

)(

tzyx

tzyx

tzyx

tzy

S

Se pretende encontrar la solución del sistema )(S , aplicando el método de reducción, pues su

generalización constituye el método de resolución que se enunciará más adelante (Método de Gauss). Con este propósito se efectúan una serie de operaciones a fin de obtener un sistema equivalente a )(S cuya resolución sea casi inmediata.

Para resolver el sistema, se comienza por verificar que la variable x esté en la primera ecuación de )(S . Cómo no se cumple esa condición, un adecuado reordenamiento de ecuaciones logra

ese objetivo, generando el sistema )( 1S que es equivalente a )(S .

a) el sistema tiene solución única: es el caso en que 1r y 2r se intersectan en un punto

b) el sistema tiene infinitas soluciones: es el caso en que 1r y 2r son coincidentes

c) el sistema carece de soluciones: es el caso en que 1r y 2r son paralelas

Las situaciones de los tres ejemplos anteriores constituyen las únicas posibilidades en lo que se refiere a la cantidad de soluciones de un sistema de m×n


6

=+−=+++=−−+

=+−+

)( 1032

)( 1374163

)( 623102

)( 65

)(

4

3

2

1

1

Etzy

Etzyx

Etzyx

Etzyx

S

La primera, segunda, tercera y cuarta ecuación de )( 1S , se van a reconocer con los símbolos:

)( 1E , )( 2E , )( 3E , y )( 4E , respectivamente.

Ahora se elimina la incógnita x de todas las ecuaciones de )( 1S , a partir de )( 2E . Con este

propósito se trabaja en primer lugar con )( 1E y )( 2E . Si se multiplica por 2− a )( 1E y se le

suma a )( 2E , se obtiene una ecuación en la que el coeficiente de x es nulo. El procedimiento

consiste entonces en realizar la operación )()(2 21 EE +−

=−−+−=−+−−

⇒

=−−+−=+−+−

⇒

=−−+=+−+

623102

1222102

623102

6).2()5).(2(

623102

65

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

)(64

623102

1222102

5Etz

tzyx

tzyx

−=−−

=−−+−=−+−−

La operación anterior se puede expresar de la siguiente manera: )()()(2 521 EEE =+− .

Similar procedimiento se realizará con )( 1E y )( 3E . Si se multiplica por 3− a )( 1E y se le

suma a )( 3E , se obtiene una ecuación en la que el coeficiente de x también es nulo. El

procedimiento consiste entonces en realizar la operación )()(3 31 EE +−

=+++−=−+−−

⇒

=+++−=+−+−

⇒

=+++=+−+

1374163

1833153

1374163

6).3()5).(3(

1374163

65

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

)(547

1374163

1833153

6Etzy

tzyx

tzyx

−=++

=+++−=−+−−

La operación anterior se puede expresar de la siguiente manera: )()()(4 631 EEE =+− .

Sobre )( 4E no se realiza ninguna operación, ya que no tiene la variable x.

El sistema )( 1S , se puede escribir ahora así:

=+−−=++

−=−−=+−+

)( 1032

)( 547

)( 64

)( 65

)(

4

6

5

1

2

Etzy

Etzy

Etz

Etzyx

S

que resulta equivalente con )( 2S .


7

Ahora, se verifica que la variable y esté en la segunda ecuación de )( 2S , cómo no se cumple

esa condición, un adecuado reordenamiento de ecuaciones logra ese objetivo, generando el

sistema )( 3S que es equivalente a )( 2S .

−=−−=+−

−=++=+−+

)( 64

)( 1032

)( 547

)( 65

)(

5

4

6

1

3

Etz

Etzy

Etzy

Etzyx

S

Ahora se elimina la incógnita y de todas las ecuaciones de )( 2S , a partir de )( 4E . Con este

propósito se trabaja con )( 6E y )( 4E . Si se multiplica por 2− a )( 6E y se le suma a )( 4E , se

obtiene una ecuación en la que el coeficiente de y es nulo. El procedimiento consiste entonces

en realizar la operación )()(2 46 EE +−

=+−=−−−

⇒

=+−−−=++−

⇒

=+−−=++

1032

108142

1032

)5).(2()47).(2(

1032

547

tzy

tzy

tzy

tzy

tzy

tzy

)(20717

1032

108142

7Etz

tzy

tzy

=−−

=+−=−−−

La operación anterior se expresar de la siguiente manera: )()()(2 746 EEE =+− .

Sobre )( 5E no se realiza ninguna operación, ya que no tiene la variable y.


−=−−=−−

−=++=+−+

)( 64

)( 20717

)( 547

)( 65

)(

5

7

6

1

4

Etz

Etz

Etzy

Etzyx

S

que resulta equivalente con )( 4S .

Finalmente se elimina la incógnita z de la ecuación )( 5E . Con este propósito se trabaja con

)( 7E y )( 5E . Si se multiplica por 17− a )( 5E y se le suma a )( 7E , se obtiene una ecuación en

la que el coeficiente de z es nulo. El procedimiento consiste entonces en realizar la operación

)(17)( 57 EE − .

−=−−=−−64

20717

tz

tz ⇒

−−=−−−=−−

)6).(17()4).(17(

20717

tz

tz ⇒

=+=−−1026817

20717

tz

tz

)(12261

1026817

20717

8Et

tz

tz

=

=+=−−

La operación anterior se expresar de la siguiente manera: )()(17)( 857 EEE =− .


8


==−−

−=++=+−+

)E( t

)E( t z

)E( t z y

)E( t z yx

)S(

8

7

6

1

5

12261

20717

547

65

(**)

que resulta equivalente a )( 5S , y su solución es inmediata, ya que de )( 8E , se puede calcular la

variable t, resultando: 212261 =⇒= tt

Luego de calculada la variable t se pueden encontrar el resto de las incógnitas. Con ese

objetivo, se van a despejar las variables restantes de )( 5S , recorriendo las ecuaciones de abajo

hacia arriba.

Con el resultado de la variable t, se toma la )( 7E , y se calcula el valor de la variable z.

2341720141720717 −=⇒=−⇒=−−⇒=−− zzztz

Ahora se toma la )( 6E , y se calcula la variable y.

15814547 =⇒−=+−⇒−=++ yytzy

Ahora se toma la )( 1E , y se calcula la variable x.

3622565 −=⇒=+++⇒=+−+ xxtzyx

Finalmente el resultado del sistema )(S , es:

)}2,2,1,3{( −−=S

En este ejemplo es posible verificar que la solución general de los sistemas

)(S , )( 1S , )( 2S , )( 3S , )( 4S , y )( 5S es la misma, lo que permite afirmar que dichos sistemas son

equivalentes. Este ejemplo permitió verificar algunas de las definiciones que se van a establecer a partir de ahora. 1º) Se dice que sobre un sistema se efectúa una transformación (u operación) elemental, cuando: a) se intercambian ecuaciones b) se multiplica a una ecuación por un número no nulo c) se suma a una ecuación el producto de otra por un número. 2º) Si sobre un sistema m×n se efectúa cualquier transformación elemental, se obtiene un sistema equivalente. Método de Gauss

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales suele facilitarse mediante la utilización de un sencillo algoritmo. Tomando como ejemplo el sistema )(S resuelto anteriormente, a

continuación se expondrá este método.


9

1º paso: Se comienza escribiendo en una tabla, ordenando en filas y columnas, los coeficientes y los términos independientes de )(S , ubicando la columna correspondiente a estos últimos

entre dos líneas verticales (a fin de individualizarla rápidamente). Así tendremos:

2º paso: Es útil construir el cuadro anterior incorporándole una columna adicional a la derecha, que se denomina columna de control (c.c.), y que sirve para corroborar si se están realizando bien los cálculos. Cabe aclarar, que esta columna no es necesaria a los efectos de resolver el problema, es simplemente para control del que está realizando el ejercicio. Esta columna surge de la suma de todos los elementos de cada fila, y sobre los elementos de la columna control se aplicarán las mismas transformaciones que se efectuarán sobre los restantes elementos de la correspondiente fila; si los cálculos son correctos, la suma de los elementos transformados de cada fila, deberá coincidir con el elemento de la columna control que se encuentra sobre ella. De tal modo, se obtiene el siguiente cuadro: 3º paso: Se debe tener en cuenta una condición que es muy importante, el elemento que se ubica en la intersección entre la primera fila y la primera columna no puede ser nulo. Entonces un adecuado reordenamiento de las filas soluciona esta situación.

A partir de ahora, para llevar adelante el método, se realizarán productos cruzados entre los elementos de la primera fila y las restantes del cuadro, que se trabajarán de a una por vez.

4º paso: Primero se realizan los productos cruzados entre los elementos de la primera y la segunda fila, como se muestra a continuación:

10 surge de: 101)3(20 ++−++

12 surge de: 61)1(51 ++−++

13 surge de: 6)2()3(102 +−+−++

43 Surge de: 1374163 ++++

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

43

13

12

10

..

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ti

tzyx

−−−−


10

Como se ve en el cuadro ( I ), el primer elemento que se obtuvo se coloca en la segunda columna. A partir de él, se van ubicando el resto de los resultados como se observa en los cuadros ( II ), ( III ), ( IV ) y ( V).

521010 ×−×=

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1−

)1(2)3(11 −×−−×=−

12)2(14 ×−−×=−

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4−

62616 ×−×=−

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6−

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11−

12213111 ×−×=−

( I ) ( II )

( III ) ( IV )

( V )


11

En el cuadro ( V ) se observa que el valor 11− , se obtiene cómo se muestra en el recuadro, pero a la vez, este valor surge de la suma de todos los elementos de la fila. O sea,

)6()4()1(011 −+−+−+=−

5º paso: Luego se realizan los productos cruzados entre los elementos de la primera y la tercera fila, como se muestra a continuación:

En el cuadro anterior que se encuentra a la derecha se observa que el valor 7 , se obtiene cómo se muestra en el recuadro, pero a la vez, este valor que surge de la suma de todos los elementos de la fila. O sea, )5(4717 −+++=

6º paso: Se deja para el lector que verifique el cálculo de los elementos que se colocan en la tercera fila de la última etapa del cuadro siguiente, y que surgen de operar los elementos de la primera y la cuarta fila, A continuación se expone la solución:

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5− 7

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1

531611 ×−×=

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1 7

)1(3417 −×−×= 13714 ×−×=

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5−

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1 7 4

631315 ×−×=− 1234317 ×−×=


12

Cómo ejemplo se muestra, cómo se obtiene el valor 3− en la tercera fila del último paso. 7º paso: Luego de operar la primera fila con todas las siguientes de una en una, se realiza el mismo proceso con las filas obtenidas en el último paso.

Se vuelve a recordar que el elemento que está en la intersección entre la primera fila y la primera columna no puede ser nulo. Entonces un adecuado reordenamiento de las filas soluciona esta situación. Con las explicaciones anteriores se está en condiciones de volver a realizar el mismo procedimiento anterior tantas veces hasta llegar a tener una sola fila, quedando:

)1(0)3(13 −×−−×=−

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 0 1− 4− 6− 11−


13

8º paso: Una vez que se llega a tener una sola fila, se escribe el sistema equivalente, tomando la primera fila de cada uno de los pasos, con excepción de aqueellas primeras filas donde el elemento de la primera columna es nulo, resultando:

==−−−=++

=+−+

12261

20717

547

65

)( 6

t

tz

tzy

tzyx

S

Observar que )( 6S es igual al sistema que aparece en la página 8 (sistema )( 5S ), que es el

sistema equivalente a )(S y cuya solución era:

)}2,2,1,3{( −−=S

Entonces se observa, que el algoritmo utilizado permite obtener un sistema equivalente igual al encontrado con el método de reducción. Entonces el Método de Gauss es el método que a partir de ahora se va adoptar para resolver todos los sistemas de ecuaciones lineales.

Al sistema equivalente final )( 6S , obtenido por el algoritmo de Gauss, se lo denomina sistema

equivalente reducido.

Observaciones para aplicar en el método de Gauss: a) El elemento que está ubicado en la primera columna, de las primeras filas de los diferentes pasos del algoritmo, debe ser distinto de cero. Caso contrario un adecuado reordenamiento de filas soluciona el inconveniente. b) El sistema se reduce hasta llegar a tener una sola fila.

43

13

12

10

.

13

6

6

10

74163

23102

1151

1320

ccti

tzyx

−−−−

10

43

13

12

10

13

6

6

1320

74163

23102

1151

−

−−−

0 1− 4− 6− 9− 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 0 1− 4− 6− 11− 17− 7− 20 4− 1− 4− 6− 11− 61122 183

Fila para armar e1 sistema equivalente

No tener en cuenta, tiene el elemento de la primera fila primera columna nulo

No tener en cuenta, tiene el elemento de la primera fila primera columna nulo





14

c) Luego de efectuar todas las operaciones elementales sobre un sistema, se va a obtener un sistema equivalente al dado, que se denomina “Sistema equivalente reducido”, y que se forma copiando la primera fila de cada paso (excepción hecha para aquellas primeras filas cuyo elemento en la primera columna sea nulo). d) Si en un sistema aparece una ecuación (una fila) cuyos coeficientes son nulos, y d1) si el término independiente de esta ecuación es también nulo, la ecuación se satisface con cualquiera de los valores de las incógnitas, por lo cual, suprimiéndola se obtiene un sistema equivalente. d2) si en cambio, el término independiente de tal ecuación es no nulo, la ecuación no puede ser satisfecha por ningún conjunto de valores de las incógnitas; en tal caso el sistema obtenido es incompatible y allí se concluye el proceso. En consecuencia no se construirá el “Sistema equivalente reducido”. e) Si la primera columna tiene todos sus elementos nulos, puede ser eliminada del proceso, y desaparecería en ese paso, esa incógnita en el sistema equivalente. f) Si se tiene una fila cuyos elementos tienen un factor común, se puede sacar factor y desecharlo. Rango de un sistema Se define “rango un sistema” ( sr ) al número de ecuaciones que forman el “Sistema

equivalente reducido”. Propiedades: a) Cómo se explicó en la propiedad d2) del punto anterior, sólo los sistemas compatibles tienen rango, ya que los sistemas incompatibles no generan un sistema equivalente reducido. b) Si el rango del sistema es igual al número de incógnitas el sistema es compatible a solución única. c) Si el rango del sistema es menor al número de incógnitas (n) el sistema es compatible a infinitas soluciones. Observación: En el ejemplo donde se encuentra la solución de )(S , el sistema equivalente

reducido tiene cuatro ecuaciones (4=n ), y su rango es 4 ( 4=sr ), en consecuencia )(S es

compatible solución única.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

=++++=++++=++++=++++

7852

54442

108722

7542

)

54321

54321

54321

54321

1

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

S

b)

=+−+−=+++

=+++=+++

20103

22112

4623242

147

)

4321

4321

4321

4321

2

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

S


15

a)

En ( I ) , ( II ) y ( IV) no se realiza intercambio de filas, ya que el elemento ubicado en la intersección entre la primera fila y la primera columna es no nulo. En ( III ) cómo la primera columna tiene todos sus elementos nulos se descartan, y se pasa a ( IV ). En ( V ) se observa

que el sistema es incompatible ya que 60 5 =x (cumple con lo dicho en d2), entonces no existe

ningún valor de 5x que cumpla con esa condición.

Respuesta: =1S {Ø}

b) En ( I ), ( II ) y ( IV ) no se realiza intercambio de filas, ya que el elemento ubicado en la intersección entre primera fila y la primera columna es no nulo. En ( III ) cómo la primera columna tiene todos sus elementos nulos se descartan, y se pasa a ( IV ). En ( V ) la fila está constituida por todos elementos nulos (cumple con lo dicho en d1), en consecuencia puede desestimarse.

El sistema equivalente reducido resulta:

−=−=+=+++

2

1892

147

4

42

4321

x

x x

xxxx

)S*

24

20

30

20

..

7

5

10

7

8

4

8

5

5211

4421

7212

421154321 cctix

xxxx

3100

1021

2121

−−−−−

0

2

4−

4

0

10−

0 1 3 6 10 0 1 3 0 4 1 3 6 10 1 3 0 4 0 6− 6−

( I )

( II )

( III ) ( IV ) ( V )

1x 2x 3x 4x ti cc. 1 1 1 7 14 24 2 4 2 23 46 77 1 2 1 11 22 37 1− 3 1− 10 20 31 2 0 9 18 29 1 0 4 8 13 4 0 17 34 55 0 1− 2− 3− 0 2− 4− 6− 1− 2− 3− 2− 4− 6− 0 0 0

( I )

( II )

( III ) ( IV ) ( V )


16

El rango de )(S es 3 ( 3=sr ), y el número de incógnitas es 5 ( 5=n ), en consecuencia )(S es

compatible a infinitas soluciones. Ahora se encuentra la solución del sistema

22 44 =⇒−=− xx

00218182182.921892 222242 =⇒=⇒−=⇒=+⇒=+ xxxxxx

3131314321 0142.70147 xxxxxxxxxx −=⇒=+⇒=+++⇒=+++

Si tx =3 , entonces tx −=1

En consecuencia:

}),2,,0,{(2 RtttS ∈−=

Sistemas homogéneos Todo lo expuesto para sistemas de mµ n puede, aplicarse al caso particular de los sistemas homogéneos, es decir, a los sistemas cuyos términos independientes son iguales a cero. En un sistema homogéneo, al ser todos los términos independientes iguales a cero, es fácil notar que en el sistema equivalente reducido nunca se va a encontrar la situación que en una fila los coeficientes sean todos nulos y el término independiente sea distinto de cero. A partir de la conclusión anterior, se desprende que un sistema homogéneo nunca es incompatible Entonces, un sistema homogéneo es siempre compatible, pues siempre admite como solución el vector )0,.......,0,0( , llamada solución trivial. Sin embargo, puede, o no, admitir otras

soluciones que se las denomina soluciones no triviales o autosoluciones. Dicho de otra manera, un sistema homogéneo, si es compatible a solución única admite la solución trivial, y si es compatible a infinitas soluciones admite además de la solución trivial, otras soluciones que se llaman soluciones no triviales o autosoluciones.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales