SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga

8.1 DEFINIÇÕES

Equação linear é uma equação na forma:

na qual são as variáveis e

são os respectivos coeficientes da variáveis, e b é o termo independente.

Solução de uma equação linear: os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem à equação, constituem sua solução. Esses valores são chamados de raízes da equação linear.

1 1 2 2 3 3 ... n na x a x a x a x b

1 2 3, , ,..., nx x x x 1 2 3, , ,..., na a a a

Sistema compatível é um sistema que admite solução, isto é, tem raízes.

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

...

n n

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

Sistemas de equações lineares: é um conjunto de equações lineares.

8.2 SISTEMA COMPATÍVEL

Sistema determinado é um sistema compatível que admite apenas uma única solução.

Exemplo:

é compatível e determinado, pois tem como raízes unicamente.

2 3 18

3 4 25

x y

x y

3

4

x

y

8.2.1 SISTEMA DETERMINADO

Sistema indeterminado é um sistema compatível que admite mais de uma solução (na verdade infinitas soluções).

Sistema incompatível é um sistema que não admite solução.

Exemplo:

é incompatível pois 3x+9y não pode ser simultaneamente igual a 12 e igual a 15 para mesmos valores de x e y.

4 2 100

8 4 200

x y

x y

8.2.2 SISTEMA INDETERMINADO

0 2 4 6 8 10 12 14 ...

25 24 23 22 21 20 19 18 ...

y

x

3 9 12

3 9 15

x y

x y

8.3 SISTEMA INCOMPATÍVEL

Dois sistemas são equivalentes quando admitem a mesma solução.

Exemplo: são equivalentes porque admitem a mesma solução:

3 6 42

2 4 12

x ye

x y

2 14

2 6

x y

x y

10

2

x

y

8.4.1 OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES

Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam as seguintes operações elementares:

8.4 SISTEMAS EQUIVALENTES

I)Permutação de duas equações. II)Multiplicação de uma equação por um número real

diferente de zero. III)Substituição de uma equação por uma soma com outra

equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.

23

2 4 6 10

) 4 2 2 16

2 8 4 24

2 4 6 10

2 8 4 24

4 2 2 16

x y z

I x y z L

x y z

x y z

x y z

x y z

1 1

2 4 6 101

) 2 8 4 242

4 2 2 16

1 2 3 5

2 8 4 24

4 2 2 16

x y z

II x y z L L

x y z

x y z

x y z

x y z

2 2 1

1 2 3 5

) 2 8 4 24 2

4 2 2 16

1 2 3 5

0 4 2 14

4 2 2 16

2

3 mesma solução sistemas equivalentes

1

x y z

III x y z L L L

x y z

x y z

x y z

x y z

x

y

z

Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo.

Exemplo: Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma

solução e essa chamamos de trivial é qualquer que seja o sistema, xi=0.

2 5 3 0

7 2 4 0

3 8 5 0

9 3 8 0

x y z

x y z

x y z

x y z

8.5 SISTEMAS HOMOGÊNEOS

Será separado em: 8.6.1 Sistema com n equações lineares com igual número de

variáveis. 8.6.2 Sistema com m equações com n variáveis (para m≠n) 8.6.3 Sistema de equações lineares homogêneo (para m=n

ou m≠n) Dado o seguinte sistema:

2 4 22

5 15 20

x y

x y

8.6 ESTUDO E SOLUÇÃO DOS SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

8.6.1 SISTEMA COM N EQUAÇÕES COM N VARIÁVEIS 8.6.1.1 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

1 1

12 4 22

2

5 15 20

x y L L

x y

2 2 1

1 2 11

5 15 20 ( 5)

x y

x y L L L

2 2

1 2 11

10 25 75

25

x y

x y L L

1 1 21 2 11 ( 2)

0 1 3

x y L L L

x y

1 0 5

0 1 3

x y

x y

sistema equivalente

1 5

1 3

x

y

5

3

x

y

raízes

Matriz-coluna de termos independentes

e yx variáveis

2 4 22

5 15 20

2 4 22

5 15 20

x y

x y

Matriz dos coeficientes das variáveis

Matriz ampliada do sistema

Escalonamento de matrizes

Seja o sistema de n equações lineares com n variáveis: fazendo

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

31 32 33 3 3 3

1 2 3 n n

x b

x

x;X= ;B=

x

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a b

a a a a bA

a a a a b

8.6.1.2 MÉTODO DA MATRIZ INVERSA

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

...

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

o sistema pode ser escrito sob a forma matricial: ou utilizando a notação abreviada, vem: Admitindo a existência da matriz A-1 e pré-multiplicando ambos os membros pela matriz inversa, vem: mas:

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

31 32 33 3 3 3

1 2 3 n n

x b

x

x =

x

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a b

a a a a b

a a a a b

AX B

1 1A AX A B

1A A I

mas: logo:

1IX A B

IX X

1X A B

Observação: o método de Gauss-Jordan é com certeza mais prático , exige que se transforme a matriz A em uma matriz I, enquanto o método da matriz inversa exige que se transforme a referida matriz A em sua inversa A-1, mas é conveniente no caso em que se tem para resolver um conjunto de sistema em que a matriz dos coeficientes das variáveis em cada sistema seja a mesma. Neste caso, só calculamos uma vez a matriz inversa e resolverá todos os sistemas.

Exemplo: 1) Para b1=16, b2=-5 , b3=11 2) Para b1=25, b2=-11, b3=-5 3) Para b1=3 , b2=5 , b3=-5 Fazendo: Os 3 sistemas se transformam em: 1) 2) 3)

1

2

3

2 7

3 2

5 3 4

x y z b

x y z b

x y z b

1 2 3

2 1 7 16 25 3

1 3 2 ;X= ;B = -5 ;B = -11 ;B = 5

5 3 4 11 -5 -5

x

A y

z

1

2

3

AX B

AX B

AX B

e a solução deles é dada por: 1) 2) 3) 1)

1

1

1

2

1

3

X A B

X A B

X A B

1

6 17 19

66 66 66

6 27 3

66 66 66

12 1 5

66 66 66

A

6 17 19

66 66 66 16 36 27 3

5 466 66 66

11 212 1 5

66 66 66

X

2) 3)

6 17 19

66 66 66 25 26 27 3

11 766 66 66

5 412 1 5

66 66 66

X

6 17 19

66 66 66 3 36 27 3

5 266 66 66

5 112 1 5

66 66 66

X

1 1

2 4 16

5 2 4

10 4 3

2 4 161

5 2 42

10 4 3

x y

x y

x y

L L

8.6.2 SISTEMA COM M EQUAÇÕES COM N

VARIÁVEIS (M≠ N) O método é semelhante ao método de Gauss-Jordan, com a

diferença de que a matriz dos coeficientes não pode ser transformada em matriz-unidade pois não é quadrada.

Exemplos: 1) Resolver o sistema de 3 equações com 2 variáveis:

2 2 1

3 3 1

1 2 8

5 2 4 5

10 4 3

1 2 8

0 12 36 10

10 4 3

L L L

L L L

2 2

3 3 2

1 1 2

1 2 81

0 12 3612

0 24 77

1 2 8

0 1 3 24

0 24 77

1 2 8

0 1 3 2

0 0 5

L L

L L L

L L L

1 0 2

0 1 3

0 0 5

1 0 2

0 1 3

0 0 5

x y

x y

x y

Ora, como não existem valores para x e y que satisfaça a 3ª equação, o sistema é incompatível.

1 1

2 4 16

5 2 4

3 9

4 5 7

2 4 16

5 2 4 1

3 1 9 2

4 5 7

x y

x y

x y

x y

L L

2) Resolver o sistema de 4 equações com 2 variáveis:

2 2 1

1 2 8

5 2 45

3 1 9

4 5 7

L L L

3 3 1

1 2 8

0 12 363

3 1 9

4 5 7

L L L

4 4 1

1 2 8

0 12 364

0 5 15

4 5 7

L L L

2 2

1 2 8

0 12 36 1

0 5 15 12

0 13 39

L L

1 1 2

1 2 8

0 1 32

0 5 15

0 13 39

L L L

3 3 2

1 0 2

0 1 35

0 5 15

0 13 39

L L L

4 4 2

1 0 2

0 1 313

0 0 0

0 13 39

L L L

1 0 2

0 1 3

0 0 0

0 0 0

2

3

x

y

1 2 3 4

1 2 3 4

1 1

2 8 24 18 84

4 14 52 42 190

2 8 24 18 84 1

4 14 52 42 190 2

x x x x

x x x x

L L

3) Resolver o sistema de 2 equações com 4 variáveis:

2 2 1

2 2

1 1 2

1 4 12 9 424

4 14 52 42 190

1 4 12 9 42 1

0 2 4 6 22 2

1 4 12 9 424

0 1 2 3 11

1 0 20 21 86

0 1 2 3 11

L L L

L L

L L L

1 3 4

2 3 4

86 20 21

11 2 3

x x x

x x x

Sistema compatível e indeterminado

1 3 4

2 3 4

86 20 21

11 2 3

x x x

x x x

arbitrários

3

4

3 1 0 5 2 4 ...

1 2 0 3 5 4 ...

x

x

1

2

5 24 86 -77 -59 -78 ...

2 3 11 -13 -8 -9 ...

x

x

calculados

8.6.2.1 CARACTERÍSTICAS DE UMA MATRIZ

Quando se transforma a matriz ampliada inicial numa unitária, diz-se que ela foi transformada num matriz em forma de escada. A matriz ampliada do sistema será designada por A e a matriz em forma de escada por B.

Nos exemplos anteriores obtiveram-se matrizes em forma de escada:

Exemplo 1) matriz B em forma de escada matriz ampliada do sistema

1 0 2

0 1 3

0 0 5

B

2 4 16

5 2 4

10 4 3

A

matriz V dos coeficientes das variáveis

1 0

0 1

0 0

V

Examinando as matrizes B e V, verifica-se: a)a matriz B tem 3 linhas com elementos não todos nulos b)a matriz V tem duas linhas com elementos não todos nulos

1 0 2

0 1 3

0 0 5

B

1 0

0 1

0 0

V

Chama-se característica de A, e se representa por Ca, ao números de elementos não todos nulos de B. No exemplo 1, Ca=3 Chama-se característica de V, e se representa por Cv, ao números de elementos não todos nulos de V. No exemplo 1, Cv=2

No exemplo 1, B representa um sistema de 3 equações e 2 variáveis e Ca>Cv. Neste caso, o sistema é incompatível: a última linha de B representa a equação linear 0x+0y=-5 que não é satisfeita por nenhum valor de x e y. No exemplo 2, tem-se: Ca=2 Cv=2 Neste caso Ca=Cv, o sistema é compatível e as duas primeiras linhas de B informam as raízes. No exemplo 3, tem-se: Ca=2 Cv=2

1 0 2 1 0

0 1 3 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

B V

1 0 20 21 86 1 0 20 21 V=

0 1 2 3 11 0 1 2 3B

No exemplo 3, B representa um sistema de 2 equações e 4 variáveis e Ca=Cv. Neste caso, o sistema é compatível: a primeira de B informa que , enquanto a segunda linha de B informa que , e os valores de x1 e x2 se obtém atribuindo valores arbitrários a x3 e x4 .

Resumindo: Ca>Cv sistema incompatível Ca=Cv=C sistema compatível C<n indeterminado exemplo 3 n=4 C=n determinado exemplo 2 n=2

1 3 486 20 21x x x

2 3 411 2 3x x x

Um sistema de equações lineares homogêneo pode ter outras soluções denominadas soluções próprias, além da solução trivial. O método para encontrar essas soluções, se existirem, é o mesmo método utilizado para resolver um sistema de m equações com n variáveis.

8.6.3 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEO (PARA M=N OU M≠N)

Para classificar qualquer sistema de equações lineares (m=n, m≠n, homogêneo ou não) será sempre a mesma notação e utilizado o mesmo critério:

A) A é matriz ampliada do sistema (contém a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz coluna dos termos independentes, ambas separadas por um traço vertical).

B)B é a matriz reduzida à forma de escada. C) Ca é a característica da matriz ampliada (número de

linhas com elementos não todos nulos de B). D)Cv é a característica da matriz V dos coeficientes das

variáveis (número de linhas com elementos não todos nulos dessa matriz dos coeficientes das variáveis, contida em B).

E)C (quando Ca=Cv=C, o que nem sempre acontece, pois Ca pode ser maior que Cv) é a característica da matriz B.

8.7 RESUMO

F)m é o número de equações. G)n é o número de variáveis. Por outro lado: H)Se Ca>Cv, o sistema é incompatível. I) Se Ca=Cv=C, o sistema é compatível. Neste caso: I1) Se C=n, o sistema é determinado. I2)Se C<n, o sistema é indeterminado.