SISTEMAS DISCRETOS

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sistemas Discretos

Definição Entidade que manipula um ou vários

sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída)

Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída

Sistema

Sin

ais

de

en

trad

a

Sin

ais

de

saíd

a

Sistemas Discretos

Definição Terminologias adicionais

Entradas Excitação x[n] Saídas Resposta y[n]

Matematicamente h{} é uma operação realizada sobre uma

função x[n] para produzir uma função y[n]

h{}x[n] y[n]

Sistemas Discretos

Diagrama de Blocos Somador

w[n] = x[n] – y[n] + z[n]

+

-

+

x[n]

y[n]

z[n]

w[n]

++

-

+

x[n]

y[n]

z[n]

w[n] Σ+

-

+

x[n]

y[n]

z[n]

w[n]

Sistemas Discretos

Diagrama de Blocos Amplificador

y[n] = K x[n]

K y[n]x[n]

y[n]x[n] K

y[n]x[n]K

Sistemas Discretos

Diagramas de Blocos Atrasador

y(t) = x[n – 1]

D x[n – 1]x[n]

Sistemas Discretos

Modelagem de sistemas Definir equações que “ligam” as entradas

às saídas Geralmente equações integro-diferenciais

Equações diferenciais ordinárias (por exemplo)

Em sistemas discretos Equações de acumulação e de diferenças

Equações a diferença (por exemplo)

Exemplos/Exercícios

Sistemas Discretos

Modelagem de sistemas Sistema linear e invariante no tempo (LTI)

Equações a diferenças com coeficientes constantes

Compare com EDOs com coeficientes constantes

M

0ll

N

0kk ]ln[xb]kn[ya

M

0lln

ln

l

N

0kkn

kn

k dt

)t(xdb

dt

)t(yda

Sistemas Discretos

Convolução Objetivo

Facilitar a determinação de propriedades do sistema

Independência da excitação

Aplicado a sistemas LTI Linear e invariante no tempo

Resposta ao impulso x[n] = δ[n] y[n] = h[n]

Sistemas Discretos

Convolução

Também chamada de convolução-soma Reversão de uma das seqüências Multiplicação amostra-a-amostra de

Seqüência “invertida” e “atrasada/adiantada” Seqüência “fixa”

]n[h]n[x]kn[x]k[h

]k[x]kn[h]n[y

k

k

Sistemas Discretos

Propriedades da Convolução Comuns à convolução contínua

Comutativa Distributiva

Decorrentes de sistema ser LTI Linearidade Homogênea Invariante no tempo

Sistemas Discretos

Propriedades da Convolução Amostragem do impulso

Atraso/avanço

]nnx[A]nnδ[A*]n[x 00

]n[h]nn[x

]nn[h]n[x]nn[y

]n[h]n[x]n[y

0

00

Sistemas Discretos

Propriedades da Convolução Estabilidade

Se x[t] é limitado

Então

Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente somável

Existência da convolução

B]n[x

k

]n[xB]n[h]n[x]n[y

Sistemas Discretos

Propriedades da Convolução Causalidade

Um sistema linear e invariante no tempo é causal se

Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real

0n,0]n[h

Sistemas Discretos

Propriedades da Convolução Memória

Um sistema linear e invariante no tempo é estático se:

Sistema sem memória

0n,0]n[h

Sistemas Discretos

Diagrama de Blocos Genericamente

Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução

M

0ll

N

0kk ]ln[xb]kn[ya

Sistemas Discretos

Diagrama de Blocos Simplificando (forma direta I)

D

D

D

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

x[n]

D

D

D

1/an

an-1

an-2

a1

a0

y[n]

+

+

+

+–

Sistemas Discretos

Diagrama de Blocos Simplificando (forma direta II)

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

y(t)

D

D

D

1/an

an-1

an-2

a1

a0

x(t)

+

+

+

+–