Sistemas discretos

S¡stemas discretos14.1 I ceneRALtDADEsEn este capítulo se desarrolla la maquinaria matemáticaparu diseñar compensadores que sonimplementados por medio de un microprocesador. El compensador será un programa de compu-tadora que calcula el control a intervalos de tiempo regulares. Para hacer esto se introduce latransformada Z.Esta transformada permite conservar, en gran parte, las técnicas en el dominiode la frecuencia desarrolladas en los capítulos previos.

Aunque la compensación se realizará digitalmente, el proceso, o sistema físico a ser con-trolado, será continuo; lo que comúnmente se conoce como un "sistema de datos muestreados".Se realizará algo de trabajo para llegar a un modelo matemático útil de sistemas de datos mues-treados.

Sin embargo, una vez obtenido el modelo serán utilizadas todas las técnicas analíticas desa-rrolladas para sistemas continuos. La transformada Z desempeña el papel principal en este des-arrollo.

Básicamente existen dos maneras de tratar la transformada Z. Una es pensar en función desistemas que sean intrínsecamente discretos y que puedan ser representados mediante una ecua-ción de diferencia de la forma

a^y(kT -f mT) i a*-úlkT + (m - 1)rl + ...* aoyTT)

:bru(kT + [.D * buplkT + (l - 1)f] + .. - I bou(kT\. t14.11

Tales sistemas surgen de diversas maneras. Un modelo de la economía estadounidense, porejemplo, en general se modela mediante una ecuación de diferencia porque la mayoría de losdatos económicos se reportan mensual o trimestralmente. Un modelo del crecimiento de uncáncer es discreto porque las células cancerosas se dividen en distintos puntos en el tiempo.

Un método alternativo de tratar la transformada Z es muestrear una señal continua. Éste esel método adoptado porque es el que se ajusta mejor al problema a resolver, es decir, el controlde un sistema continuo mediante un controlador discreto. Sin embargo, también se analizaránlos sistemas intrínsecamente discretos.

14.2 I UUESTREADOR tDEArLa figura 14.1 es una representación del llamado muestreador ideal. Consta de un interruptorque cierra y reabre instantáneamente cadaT unidades de tiempo. Para este propósito el tiempose medirá en segundos, aunque éste no siempre es el caso. En procesos químicos, por ejemplo,la unidad de tiempo muy bien podría ser minutos o incluso horas.

xQ) + .r*(r)

Desde luego, ningún intemrptor abre y cierra instantáneamente, pero el moderno converti-dor analógico -a- digital (A/D) se aproxima mucho. Los convertidores A/D con una tasa de

Figura 14.1 |Muestreador ideal.

377

374

Figuta 14.2Función ór(f ).

CAPíTULO l4 Sistemas discretos

conversión de 100 kHz son bastante caros, y están disponibles con tasas de conversión en elrango de megahertz.

En aplicaciones de control, la tasa de muestreo en general es de menos de 100 Hz. Si la ta-sa de conversión es de 100 kHz,la conversión se completa en menos de un milésimo del perio-do de muestreo típico. Por tanto, la tasa de conversión del convertidor A/D es casi instantáneay nos permite utilizar el siguiente modelo matemático del proceso de muestreo. Sea

x*(t): 6r(t)x(t),

donde

u4.21

La función 6, representa una "cerca de medias estacas" de funciones delta, como se mues-

tra en la figura 14.2-Esta definición de x* en conformidad con la media transformada de La-place utilizada para analizar sistemas de control continuos.

La función utilizada en el procesamiento de señales y comunicaciones es

ór(r)AIut, _ kr).

IIIr(r)g É s(t-kD.k:-m

t1431

Esta segunda función está más de acuerdo con la transformada de Fourier, donde la función de

tiempo se integra de r: -oo a f : *oo. No se tendrá la ocasión de utilizar esta última función.

14.9 | rnarsFoRMADA DE LAPLAGE DE x*(rfComo el lector probablemente lo sabrá, la función delta Dirac no es una función en el sentidonormal. P. A. M. Dirac, quien introdujo la función delta, la llamó "función impropia". Esta ideaposteriormente fue refinada por un matemático de nombre Schwarz en el concepto de la fun-ción "generalizada".

La función delta será eliminada simplemente con tomar la transformada de Laplace de ¡*(r)para obtener

L{x. (t)l A x*(r)oo roo

f / x|)e-" 6(tÁJo

ixEDe--kr''k:0

6r(kT)

- kT) dt

Í14.41

14.4 Transformada Z de x(f)

Esta última expresión para Xx(s) representa una transformada de Laplace, pero no es unatransformada que sea fácil de usar, porque la variable compleja s ocuffe en el exponente de lafunción trascendental e.En contraste, las transformadas de Laplace utilizadas con anterioridaderan relaciones de polinomios en la variable de Laplace s con coeficientes reales. Estas trans-formadas son fáciles de manipular e interpretar, como se obsevó en capítulos precedentes.

Finalmente, al lograr estas mismas relaciones de polinomios en una nueva variable z trans-formando X*(s), se alcanza el llamado plano z. Antes de hacerlo, habrá un lapso suficiente en elnuevo dominio para hacer algunas observaciones que serán útiles más adelante.

En primer lugar, se observó que las funciones a las que se aplicó el proceso de muestreocasi invariablemente serán continuas. Las únicas excepciones serán las funciones que son con-tinuas por intervalos, lo que significa que las funciones pueden tener un número infinito de sal-fosfinitos. El ejemplo más notable será la función escalón unitaria. Estos casos excepcionalesserán analizados conforme se vayan presentando.

En segundo lugar, al aplicar la transformada de Laplace a x*(t) se entresacan los valores dex(0),x(T),x(27), . . . ,x(kT),. . . Éstos son simplemente los valores instantáneos dex(r) en loscierres sucesivos de un interruptor ideal. Estos valores sirven como coeficientes de pondera-ción de las funciones compleja" ,-krs. Son exactamente el conjunto de valores que se "reúnen"al muestrear x(t) cada Tunidades de tiempo.

También se notó que X*(s) es periódica. Para comprender esto se observó que con m:0,1,2,..,,

/st- i2mn¡ oo

X* ( " - :""'" ) : » x(kT)e-kr(s*j2mt/r)

\T/k=o

: j x(kT)e-krs rti2mnft:0oo

: » x(kT)e-kr'k:0

: X*(s).

Por tanto, al pasar una línea vertical por cualquier punto s en el plano complejo, el valor deX*(s) se repite a intervalos de 2rlT a lo largo de la línea. En particular, cualquier polo o cerode Xx(s) se repetirá cada2r/7. Más adelante se dirá sobre esta periodicidad cuando se analicela distorsión por repliegue del espectro.

Se ha abordado X*(s) como si sus polos estuvieran en el plano s, el mismo plano dondenormalmente se grafican los polos y ceros de X(s), la transformada de Laplace de la función nomuestreada. Otro método en ocasiones empleado en la literatura es distinguir el plano comple-jo donde se ilustran los polos y ceros de la transformada de Laplace convencional de una fun-ción continua x del plano complejo donde se grafican los polos y ceros de la transformada deLaplace de x*(r). Una forma de distinguir los dos planos es utilizar dos variables ficticias talescomo s yp.

Como la notación X*(s) se usa casi universalmente, se úilizará el primer método y se gra-ficarán los polos y ceros de la transformada con asterisco en el mismo plano donde serán grafi-cados los polos y ceros de la transformada convencional, sin asterisco. Éste es el método máscompacto y, como se observará en la sección l4.4,la opción más intuitiva.

14.4 | rnarsFoRIUtADA Z DE x(rt

379

Se transforma x*(s) sustituyendo en lugar de s en la expresión para X*(s). Es decir,

380 CAPíTULO 14 Sistemas discretos

La expresión

X(z) : X*(s)1,: nzzroo

: » x(kT)e-kr(t¡z/r)ft:0

: » xTkr¡qet",¡-kk:0

oo

: » x(kT)z-k.k:0

oo

x(z) 3 \x\r)z-kk:0

t14.5I

se utiliza con frecuencia como definición de la transformada Z, si el punto de inicio es intrínse-camente sistemas discretos, en lugar del muestreo de señales continuas. En el caso de un siste-ma intrínsecamente discreto, todo lo obtenido son los valores de la función de tiempo cada Tunidades de tiempo. En el caso de la función de tiempo continua ¡ al comenzar, se establecióuna transformada que podría llamarse discretización "natural" de.r(r). Es decir, si se obtuvo unaexpresión cerrada para x(t), entonces x(r) se discretiza simplemente con sustituir t por kT en es-

ta expresión. La transformada Z se obtiene entonces simplemente con utilizar los valores de

x(t\ en los puntos discretos en el tiempo 0, C 27, . .. para ponderar los términos z-fr en la serie

infinita.Ahora se tiene una conexión directa entre la función de tiempo continua x y la transforma-

da Z de x(kT) que parece obviar la necesidad de las funciones asterisco intermedias .r*(r) yX-(s). No obstante, se verá que las funciones intermedias x*(t) y X*(s) serán muy útiles en dis-cusiones subsiguientes.

Antes de proseguir, vale la pena asegurarse de que la naturaleza de la sustitución de las va-riables

X(z) : X*(s)1,:mzzr fi4.6l

está totalmente comprendida. La ecuación [14.6] relaciona una transformada en el plano ¿ con

una en el plano s. El mapeo que relaciona ambas transformadas define a s en función de z y es

por tanto un mapeo del plano z de vuelta el plano s. Esto puede parecer retrógrado, pero si altransformar X*(s) en X(z), entonces se necesita una fórmula explícita para s en función de la zcon 1a que está relacionada.

Al desear saber qué punto es este punto z, entonces se utiliza el mapeo inverso z : etT.lJ¡i-lizando el mapeo inverso y sustituyendo s L. j2m lT, n : 0, l, 2,. . ., se obtiene

, _ ,(s*i2nn/T)T _ ,sT ri2nr : etT .

Por tanto, la imagen inversa de cada punto en el plano z es un número contablemente infinito depuntos en el plano s. Esto también se puede ver con el primer resultado, el cual demostróque X*(s) es periódica conpeiodoZilT.

Esto significa que todos los polos de Xx(s) que quedan a lo largo de una línea vertical en elplano s mapean el mismo punto en el plano z. Por tanto, múltiples polos de X*(s) en el plano sse convierten en un solo polo de X(z) en el plano z. Esto también significa que tiras del plano s de

ZttlT de ancho vertical están mapeadas una sobre otra en el plano z. Más adelante se profundi-zará sobre el tema.

14.5 Transformadas Z útiles en el control

A estas alturas, se alcanzó una parte de nuestro objetivo. Ahora se tiene una transformadaX(e) definida en función de una variable compleja z. Sin embargo, la expresión paraX(z) es unasuma infinita en la variable compleja z. Lo que se lograría es algo de la forma

38r

v t'\ - xl|?:'(z - a¡)

-^ \§/ lli:ok - u,) '

donde a¡Y b¡ son pares conjugados reales o complejos. En estas condiciones, se escribe

(l fr:0á"lkl) : {' [0 de otro modo.

Ír4.71

X(z) : K(z^ + d^-tZ*-r + . . . + aú + ao)t14.81

Zn I §ntzn-r +...* ?tz* fro '

donde todas las a¡y §¡son reales.En realidad, el objetivo no está lejano. Ahora se demostrará que se encontrarán expresio-

nes de forma cerrada para las transformadas Z de todas las funciones que se necesitan para es-tudiar el control de sistema de datos muestreados y discretos.

14.5 | rnlrsFoRMADAS Z UTTLES EN Et CONTROLEl objetivo en esta sección es encontrar con rapidez las transformadas Z de las funciones queposteriormente se necesitarán en el análisis de los sistemas de control. Éstas son las mismasfunciones para las cuales están las transformadas de Laplace en el capítulo 2. Este objetivo selogrará con el menor número de palabras posible.

14.5.1 Función delta discretaLa contraparte en el dominio z dela función delta continua es

t14.eI

A diferencia de su contraparte continua, óo es una función bien definida. La transformada Z es

z{so&T)l: i 6okr)z-k : zo :1.k=0

Al recordar que la transformada de Laplace de 6s(/) también es 1. Por tanto, la función deltadiscreta, al igual que su contrapafte continua, repiesenta la inyección instantánea de "energía"en un sistema.

14.5.2 Función escalón discretaA continuación se considera la función escalón discreta

La transformada Z del escalón unitario es

@

ztt7r» ! \il :Dr-L.k:0

vkr\:{r k>0L0 ft<0. t14.101

342 CAPíTULO l4 Sistemas discretos

Al multiplicar ambos lados de esta última ecuación por z se obtiene

oo

zL(z):.+» Z-k:z*l(z).fr:0

Un poco de reacomodo da entonces

r(z)Z

z-l

r^1,*,

( "-akr

k-)-lo k

[14.lU

Se observa que la ecuación t14.111 se mantiene si la suma infinita converge, es decir, si

lzl > 1. Por tanto, la región de convergencia es el área afuera del círculo unitario en el plano :.Esta región de una suma infinita es completamente análoga a la región de convergencia que de-

terminamos para la transformada de Laplace de una función continua. En el último caso, la regiónde convergencia fue un semiplano infinito a la derecha de una línea vertical. Aquí la región de

convergencia resulta ser una región infinita afuera de un disco.

Esta correspondencia tendrá más sentido en breve, cuando se demuestre cómo se mapea el

plano s en el plano zbajo z: esT. Más específicamente, se demostrará que la mitad izquierdadel plano s se mapea en el interior del círculo unitario en el plano 4 el eje imaginario en el

círculo unitario y la mitad derecha del plano s en la región exterior al círculo unitario.También se observó que para definir la función escalón discreta establecimos

lSrt,l : ,1T* 1(r¡ : 1.

Es decir, se toma el límite por la derecha en lugar de por izquierda. Esta opción concuerda con

la derivación de la transformada de Laplace de escalón unitario. El impacto de esta opción es

más fácil de entender si se encuentra

f,{1.(r)}: -"ó(r - kr) dt.

Con k > 0, se obtiene

ln* ,-" a{, - kD dt : e-kr' ,

puesto que con k > 0, 6(t - kT) está en el intervalo (0, oo).

Sin embargo, con k:0 se tiene

r6I d1r¡ dt,

JO

y la función delta se evalúa en el límite inferior del intervalo de integración. Por tanto, se deci-de cuál deberá ser el valor de esta integral. La "opción", consistente con el tratamiento de las

funciones escalón y delta continuas, es permitir que la integral tenga un valor de 1.

14.5.3 Forma discreta de e-ar

Sea

>0<0.x(kT)

Entonces

entonces

A continuación se observa

x(z):\r-akrr-kk=0

oo

:l.qeor z¡-kk=0

oo

:Ir-0, u):eorzk:0

u)

w-leoT z

oo

x(z) :\trz-k.1.^

14.5 Transformadas Z útiles en el control

Í14.121

383

eoTz-l

_ __: -, lzl, e_or.z - e-''

14.5.4 Forma discreta de x(tl : tl (t)Sea

(kr k >0x(kT):{o r.o.

dz.'oo'"dzz-l - '-dr?r*-

- -rzi-.nr--'o*"k:0

@

: » krz-kft:0

- x(z), lzl > l.

Por tanto

x(z):-rz*=

"[..+..]- -"1 -z --. I

'"1{'_ 1¡'' z-l: T'1;r'

l:l > l.(z- "

384 CAPíTULO f 4 Sistemasdiscretos

14.5.5 Forma discreta de x(tl : A coslat + ólSea

(Acos(akT*ó) n>0x(kT) : \ -|.0 n <0'

El primer paso es escoger la representación alternativa

x&r):^(Y)Tabla f e.f I Algunas transformadas adicionales.

1

KT

(kDz

(kr)3

e-akT

kT e-akr

(kT)z ¿-axr

sen a;kI

cos arkf

2lMle"kr cos(arkf + @)

Zz-Tz

Q- 1rT2 z(z+ 1)

(z - 1)3

T3z(22 +42+1)(z- 1)4

z-------------;7z-e "'

T z(e-at\(z- e-")'T2

"-ar ,(r+

"-ar)(z- e-"')'zsen@T

?_ zzcos,,r+1z(z- cos¿oT)

z2-2zcosr»T+1zlMlei0 zlMle- i0

-T-

Z_eoTeioT' ,_"oT"-iaT

Entonces,

x(z) : +2¿ióri.,kr r-- + t rf*utruio':kr r-k

A zeió A ze-ió:ir-r-,- -rz-et.r. I zkif + e-ió\

"i@r+ó) ¡ e

^- t '

122-j(oT+Q)1

-l-2 n(ri"*e-ior\2

AzlzcosQ-cos(otT +ó)lz'-¿zcosol +l

).lzl

+1

>1.

En la tabla 14.1 se resumen las transformadas z derivadas hasta este punto, más algunas

transformadas adicionales.

14.7 Teoremas importantes

14.6 ! nennEsENTAClóU ATTERNATTVALas transformadas Z consideradas hasta este punto surgen naturalmente de nuestro método

inicial de muestreo de una señal continua. En este método, el intervalo de muestreo 7 está ex-plícitamente presente. Este desarrollo es importante para entender los sistemas de datos mues-treados. Para sistemas que son intrínsecamente discretos, se deriva una representación alternativade las transformadas que aparecen en la tabla 14.1.

Tabla 14.21Tabla de transformad as Z parafunciones intrínsecamente discretas.

Zz-Z

(r--17z(z+ 1)

(z- 1)3

z(22 + 4z+ 1\- QtrZ

z=zAZ

k2 ak

z¡unfi + E)kcos(rok+@)

,:¡^n't *

(z- a)2

az(z+ a)(z- a)3

zlMleio , zlMle-ioz-a-E-r-A+E

Al suponer que la primera derivación de la transformada Z de x(kT) - ,-akr, hicimos o :e-ar, entonces

385

k2

ak

kak

(ak k,(k) : t0 k

0

0' [14.13]

z-u

En esta forma, el intervalo de muestreo 7 está "oculto" en la definición de a.La transformada Z qle se derivó anteriormente tiene su propio entorno natural, o sea, el

de sistemas que son intrínsecamente discretos. Por ejemplo, en el modelado de la división celu-lar, donde las células se dividen a intervalos regulares, esta forma alternativa tiene un ciertoatractivo.

La tabla I4.2 incluye las representaciones alternativas de un subconjunto de las funcionesen la tabla 14.1 que son útiles cuando se analizan sistemas que son intrínsecamente discretos.

14.7 ! TEOnEMAS IMPORTANTESAl presentar la transformada de Laplace en el capítulo 2, no se'ofreció un desarrollo completo,pero en cambio se consideraron sólo aquellas propiedades aplicables al estudio de sistemas de


control. Se hará lo mismo aquí para la transformada Z. El tratamiento deberá ser suficiente cG-

mo repaso. Muchos de los teoremas son análogos discretos de aquellos para la transformada de

Laplace.

14.7.1 Linealidad

Comprobaci.ón

z{y&r)J :\t"f {nD + bs&r)lz-kk:0oooo

:»af@r)a-k+»bs&r)z-k¿:0 ft:O

: aF (z) + bc(z).

14.7,2 Propiedad de eorr¡m¡ento a la derecha

I

Comprobación

Y(z): itU,r¡z-o¿:0

oo

D¡rn, -mr)z-kk:0

f (-mT)20 + f (T -mT)z-l+.'. + f ((m-l)T -mT)7-(m-t¡

* f(o)z-* * f(T)z-(m+t) + ...

: z-*i rrnrrr-- + » f (ir - mr)z-ift:O i:0

m-l: ¿-ntF(d +D, ¡r,, - mT)z-i .

i:0

Si/(kf) : 0 con k < 0, entonces el teorema de cambio a la derecha se simplifica como

Y(z): z-*F(z).

I

14.7 Teoremas importantes 387

14.7.3 Propiedad de corr¡m¡ento a !a izquierda

Comprobación

y(z) :i trn, * mr)a-kk:0

Se sustituyen las variables i : k + mpara obtener

@

Y(z) : )_, ¡«'T)7-o-^ti=m

oo

_ ,,r, \- f ¡T)Z-iLJi:mm-l oo

: z''D f GT\z-i + r',',D f GT)z-i¡:0 i:m

m*l

- z"'\- .f Gr)z-i*/'l:0

oo m-l: z"'Df1T)z-i - r^»fgr)z-i

,:0 í:0m-1

: z* F(z) - » f QT)z*-i ,

t:0

donde la región de convergencia de Y(z) serála misma que la de F(z). fLa propiedad de cambio alaizquierda será muy útil para resolver ecuaciones de diferencia.

Si todas las "condiciones iniciales" soncero, es decir,f(iT):0, i:0, 1, ...,m- 1, entonces

Z{y(kT+mT)l:z-Y(z).

14.7.4 Teorema del ualor final

Ít4.t4l

388

Figura r4.3 |Representación pormedio de un diagramade bloques de la funciónde transferencia

i,r,or, - f ((k - r)r)t7-k :k:0

\f QrDr-o -k:0

0 - z-\F(z).

Y-.k). :üpy ! c(,)U (z) Dl:oa¡zi

i rro, - r)z-k&:0

CIPírulo r¡ Sistemas discretos

Comprobación Primero se observa que se puede escribir

rg irrr kD - f ((k - r)r))z-k: .f (oo).ft:0

También se escribe

Por consiguiente,

lg(1 - z-\rk):.f(oo).I

El teorema es válido si los polos de (1 - z-r)p(z) están en el interior del círculo unitario o

en z : 1. Si ( 1 - z-l)p(z) tiene polos afuera del círculo unitario o en el círculo unitario lejos

de z: 1, la transformada no es válida.

14.8 | rUnCtót DE TRANSFERENCIA EN EL PLANO zSe considera la ecuación [14.1]. Se desea encontrar representación en la forma de función de

transferencia de esta ecuación de diferencia. Al encontrar una función de transferencia siemprc

se establecen las condiciones iniciales en cero de modo que podamos descubrir las característi-

cas intrínsecas de la ecuación. Por tanto, al aplicar la transformada Z a ambos lados de la ecua-

ción [14.1] y se usa la ecuación ll4.l4), se obtiene

a^z*Y (z) * a^-tZ*-'y (r) + " ' * atzY (z) * asY 17¡

: b tzt U (z) * b utzt-t u (z) + . . . * b t zu (z) -f boU (z).

Esta ecuación puede ser reacomodada como

t14.151

La ecuación [14.15] es una relación de función de transferencia de exactamente la misma for-ma que la que obtuvimos cuando se aplicó la transformada de Laplace a una ecuación diferen-

cial con las condiciones iniciales en cero. La ecuación t14.151 puede ser representada por el

diagrama de bloques mostrado en la figura I4.3.De gran importancia es el hecho de que se es-

cribe

Y(z): U(z)G(z).

Lo que se muestra de manera indirecta es que la convolución en el dominio del tiempo cerresponde a multiplicación en el dominio z. Esto es completamente análogo al resultado que se

obtuvo en el caso continuo con la transformada de Laplace. Más adelante, existirá la ocasiónde demostrar este resultado más en forma.

14.9 Transformadainversa Z

14.9 | rnlnsFoRMADA INVERS,A ZSe obtendrá la transformada inversa Z exacfamente de la misma manera en que se adquirió latransformada de Laplace inversa, o sea, mediante expansión en fracciones parciales.Laraz6nde que el método de expansión en fracciones parciales funcione tan bien puede ser encontradaen la forma de la ecuación [14.15]. La función de transferencia entre la entrada t-l y la salida yes una relación de polinomios en z con coeficientes reales.

El hecho de que los coeficientes sean reales es crucial porque garantizaque las raíces delnumerador y denominador de la función de transferencia G(z) y la salida Í(z) serán pares con-jugados reales o complejos. Esto, a su vez, significa que los términos individuales en la expan-sión en fracciones parciales de Y(z) o G(z) serán de forma simple y se podrá realizar latransformación inversa mediante inspección.

Casi sin excepción, los pares de transformadas encontrados con la técnicade expansión enfracciones parciales serán los encontrados en las tablas 14.l y 14.2.El método de fraccionesparciales para transformadas Z es m:uy directo y similar en muchos aspectos a la expansión enfracciones parciales para transformadas de Laplace. Primero se ilustrará el método con algunosejemplos de los que luego se abstraerán algunas guías generales.

389

Suponga

Y(z) :(z -1)(z - 0.5)

Entonces la expansión en fracciones parciales es

1 Czz -A5'(z -1)(z - 0.5) -A+

Se requiere la constante A porque.cada uno de los términos de la expansión en fracciones par-ciales tiene a z en el numerador. Ésta es diferente de las expansiones en f racciones parcialesde Laplace donde había sólo un constante en el numerador. Si A + 0, cuando se realiza latransformación inversa se tendrá un término A60«T) Esto no constituye un problema, puestoque 6o es una función bien definida.

Regresando al problema considerado, se encuentre A con z - o, y se obtiene

A: Y(z)t ^: ---:- :2''tz=o (_1X_0.S)

Si f(z) tuviera un factor multiplicativo zk, k > 1, en el numerador, entonces el término constan-te sería cero. Existen varias maneras de encontrar By C. Una forma es poner la expansión enfracciones parciales sobre un denominador común para obtener:

1 (A+ Br C)22 +(-1.SA-0.S8 - C)z+O.SA(z -1)(z - 0.5)

:(z-1)(z-0.s)

lgualando los coeficientes en los numeradores a ambos lados de la ecuación se obtienen lastres ecuaciones lineales

A+ B f C:0,

-1.54 - 0.58 - C:0,

Bz__Iz-1 |

O.5A : '1.

390 CAPíTULO r4 Sistemas discretos

La última ecuación verifica que A: 2 Las dos ecuaciones restantes se vuelven entonces

B+C--2,-0.58 - C :3,

y se obtiene

B:2 C: -4.

Vale la pena señalar en este momento que si A no está incluido en la expansiÓn en frac-

ciones parciales, entonces, si se colocan los términos sobre un denominador comÚn, se obtie-

ne

(z -1)(z - 0.5)

(B+C)22-(0.58+C)z: (z -1)e 4s) '

Al tratar de igualar el numerador a ambos lados de la ecuaciÓn, se termina con

1:(B* C)22 - (0,58 + C)2,

lo que no funciona. Sin A no se tiene un término constante para igualarlo a 1.

Ahora que se conocen las diferencias entre las expansiones en fracciones parciales de fun-

ciones continuas y discretas, se demostrará un método mucho mejor de encontrar constantes, o

residuos, en la expansión.

Con la función de transferencia del ejemplo 14.9.1, se escribe

Y(a : Y(z)

Z z(z -1Xz - 0.5)

ABCr--l--- z' z-1 ' z-0.5

Vale la pena señalar varias cosas. En primer lugar, si se divide Y(z)entre zse obtiene una frac-

ción parcial que se parece a la de una función de transferencia continua. En segundo lugar,

se obtiene automáticamente el residuo A. En tercer lugar, una vez que se encuentran los tres

residuos, se obtiene la expansión en fracciones parciales de Y(z) multiplicando por z. Luego

se toma la transformada inversa y se encuentra y(k).Ahora se continúa Como se haría para Un sistema continuo. Por tanto,

A: zY(z)1,=s

_l z 1- lze r)e4.q)1,-,

-2,B : (z- 1)Y(z)1,:t

t z-1 I: lr(, -1)(z -0.5).11,_,

-2,

14.9 Transformada inversa Z

(z -o.5)Y(z)1,:s5I z-O.5 It_lLz(z -1)(z -0.5)J l,=ou

-4.

z -0.5'

391

:

Entonces,

Y(z)z

22I

- -'1- z-1 -

z z-1 z-O.5'

Al aplicar la transformada inversa Z a ambos lados de esta última ecuación se obtiene el mis-mo resultado de antes, o sea,

y(k):lzso«) + 2 - 4(0.5)t1(k)

Antes de dejar este ejemplo, se pone el periodo entre muestras f en la solución como si-gue. El punto z:0.5 corresponde al punto

s- tnl : ln99T T'en el plano s. Por tanto, se podrÍa escribir la solución como

y(kD : Í2so(KT) + z - 4e"k\1«T),

donde

0.5q:ln 7.

Si se conoce I, entonces podemos evaluar o.

El siguiente ejemplo muestra cómo evaluar los residuos cuando hay raíces complejas.

Y(z) : 0.22(z -1)(z-0.6 - j0.2)(z-0.0 + i0.2)

El factor multiplicativo z en el numerador significa que no habrá término constante en la ex-pansión en fracciones parciales, la que puede escribirse como

Y(z):Z

A

-_rz-1 |

Metó Me-ift_

z-0.6- j0.2 ' z-0.6+ j0.2'

La evaluación prosigue exactamente como lo haría para una transformada de Laplace:

392 GAPíTULO l4 Sistemas discretos

Entonces

A: (z- "lo?) t,=,

o.2- (z -0.6 - i 0.2X z -0.6 +

:1.,o.r,

l,:,

La evaluación de ¡¡stb prosigue de la misma manera:

Mejo :(z-0.6 - jo.2)l\?1L r

lz=o.o+ro.z0.2:@,'

I

o.2 2=0.6+ ¡o.2

: ¡-6¡6 -'o-

: 1.12ej2'o3.

donde la frecuencia amortiguada es

tun-'ffi :1.25.

También se obtiene y(kT) con un poco de trabajo. se observa que

0.6 + iO.2: rei' = s(ln rlr)Te(tal7)T,

donde

Luego, si

M:1.12, Y 6:2.03,

se escribe

y(kr) - z-1 {*\ * r, {#+" . #r\: [1 + 2Me"r cos(óf + d)]1(kD,

donde el resultado f inal se obtiene utilizando el último par de transformadas en la tabla 14.1.

Entonces, si se sustituyen los valores de My @, se obtiene

f-(r)o _ rnl, ,: Í,

0.62 + 0.22

y(kT): [1 + 2.24e"kr cos(ákf + 2.m)]r(t),

l4.lO Solución de ecuaciones de diferencias 393

. Jd2+d@^-t^

T- ú) 0.32

Y t¡: ?:-=-.tt

Obsérvese que lo que tiene que hacerse es encontrar los polos equivalentes en elluego sustituir f por kL

a

plano s y

14,10 I SOLUCTóN DE ECUACTONES DE DTFERENCTASLa solución de ecuaciones de diferencias con condiciones iniciales utilizando la transformadaZ es completamente análoga a la solución de ecuaciones diferenciales con condiciones inicia-les utilizando la transformada de Laplace. La analogía es más clara si formulamos el problemapara resolverlo con la propiedad de cambio a la izquierda, como 1o ilustra el ejemplo 14.10.1.

Al considerar la ecuación de diferencia

y(kT +2T) -sy(kT + D + 6y(kT): u(kT), [14.16]

con y(0) : 1 y y(f) : 0 y u(kT) como la función de impulso discreta. Con mucha frecuenciase suprime la f y se escribe:

y(k+z) -sy(k+ 1)+6y(k) : u(k), a14.171

con y(0) :1 y y(1) : 0. Al aplicar la transformada Z a una u otra representación se obtiene

z2Y1z¡ I

y(ir)22-i -sÍzy(z) ;

y(ir)21-¡)+6y(z):tJ(z). tl4.1BI

La ecuación [14.18] puede expresarse como

lzz - 5z+ 61Y(z) : z2 y(O) + zy(1) - szV(O) + U(z),

o finalmente

vt 2\ - z'Y(o)+ [Y(1) - 5Y(o)12, U(z)

' \Lt - z, -52+6 r ,z -57¡A' lr4.1eI

Si se sustituyen las condiciones iniciales y si u(kI) : óo(kl), se obtiene

't_\ zz-sz 'l z2-Sz+1Yl2l -

I

-

zz -52+6 z2 -52+6 z2 -52+6'

Ahora se encontrará Y(z) por medio de una expansión en fracciones parciales. Es decir,

Y(z) z2-52+1 A B Cz : z(z-2)(z-3):r- z-2-r z-g'

394 CAPíTULO r4 Sistemas discretos

Y

n: l ry(r)1, :l ,r, _-?,r* !.1, : l.^ : l' , .l l,:. - l1z -zl<z - s¡l l,=o - o'

,:l,r-2\Y141 , :1",u'!,t1, :9." - 1,. -., z )1,__,

- l-4, _ 3¡ )1,=, - z'

,:l,r-r,IQl , :lz'z-52!t), :-:." - 1,. - ", z )1,=, - l-z1z _z¡ I l,:, - 3.

Finalmente,

y(z):*.,:9_*v

l-ry(k): [aá.u,1

*]t f- !t.l-] ,«,.1

El resultado también puede ser expresado en función de kT. Sólo tiene que resolverse la ex-

presión

e'T: a,

paraa con a:2y a:3. Es decir,

ln2 ln 3qt:, Y az: T'

y se obtiene

y(kr): [**,nr)+ !{"",\n -f,{"','l'] rttr¡

: [*u.,nr)+ f,{e''u') - !t"*-'t] r(kr)

14.11 I COUVOLUCIóU VERSUS MULTIPLICAGIONEn esta sección se verificó un resultado que se obtuvo indirectamente con anterioridad, es de-

cir, que la convolución de dos funciones de tiempo corresponde a la multiplicación de sus res-

pectivas transformadas Z en el dominio de la frecuencia.

La figura 14.3 muestra el diagrama de bloques con la relación entre entrada y salida en el

dominio z.Parasistemas lineales invariantes con el tiempo, se escribe

y&r): » s&r - ir\u(ir). l14.2oli:0

14.12 Respuesta a la frecuencia

Ésta es la expresión suma de convolución para y(kT),la equivalente discreta de la integral deconvolución para sistemas continuos lineales invariantes con el tiempo. Si g(kQ es la respuestaal impulso de un sistema causal, entonces I es cero para tiempos negativos y se escribe

395

Figura 14.4 |Diagrama de señalen el dominio deltiempo

y&D:» s&r -ir)u(ir).i:0

El diagrama de bloques en el dominio del tiempo se muestra en la figura 14.4.

Ít4.21)

tt4.22l

lt4.23l

TPara verificar que esta expresión concuerda con la relación en el dominio z simplemente se

encuentra la transformada Z de y(kT),la cual es

Y(z):- {ir,o. - ir)u(ir,}.--

Ahora se sustituye la variable f,: k - f, observando que cuando ft: 0, l: -i. Entonces,

oo (a )Y(z) : » { » s«r)u(ir¡l r-tt+it

¿:_¡ ( ¡:o )

_f s s(tr)z-,) {I urinz-,\\?:,

Si S(lf ) es causal, entonces g@f ) debe ser cero para tiempos negativos, esto es por (. < 0. Portanto, se cambia el límite inferior en la primera suma de (. : -i a {. : 0, y se obtiene

Y(z) :{iru.,.'} {É

u(iDz-'¡\

: G(z)U(z).

La ecuaciónll4.23l es exactamente la relación entre R y Y en el plano z que se derivó conanterioridad. Por tanto, se verifica la regla básica de que la multiplicación en el dominio z co-rresponde a la convolución en el dominio del tiempo. Lo inverso también es verdadero. No ha-brá ocasión de utilizar el método de convolución. En realidad, para sistemas lineales invariantescon el tiempo, el dominio z es el lugar más simple pararcalizar tanto el análisis como el diseño.

14.12 I RESPUESTA A LA FRECUENCIACon la transformada de Laplace, se demostró que al aplicar la entrada A cos(ott) a un sistemalineal invariante en el tiempo y función de transferencia G(s), la salida de estado permanente

)'.. es de la forma

yss : lím y(t): A\G(jt»)lcos(ttt ]-Q), Í14.241

donde 4: ñ(io¡). Para sistemas discretos se puede obtener un resultado similar. SeaG(z)latransformada Z de un sistema LTI discreto, y sea u(kt) : A cos(rokT ) la entrada a este sistema,con I como periodo de muestreo. Entonces

396 GAPíTULo l4 Sistemas discretos

Az(z - cos a;7)Z{u(kr\l :z2 - 2zcos a-¡7 * I

Azk - cosa.¡7)

(z-ei,r)(z-e-).r¡'

Supóngase

G(z):w*-l¿llÍ:, (z - p')

Por simplicidad se supone que no hay polos repetidos, el cual es el caso en casi todos los siste-mas. El caso especial de polos repetidos simplemente complica la notación sin cambiar el re-

sultado. Entonces

Y(z): U(z)G(z)

puede ser expresada como

Mz M*z J- C,zY\z): ,_*i;r + , _,-*, *

* ,_ -. Il4-251

Si lp¿l < 1, i :1,2, . . . n, entonces, como se observará en breve,la respuesta de estadopermanente sólo dependeráde los primeros dos términos del lado derecho de la ecuación 114.25).Por consiguiente, sólo se evaluarán las dos constantes, M y M*.

Ahora

Af¿i.r - 0.51ei.r + e-irr)) ¡, iar¡

-Lrr.r

)¿lat - ¿-Ja

A(ei'r - e-iar, ^. ;...r.: Ner,,r - e-irr)G(e''' )

A: - Gpt.r¡.2

El otro residuo es el conjugado complej o de M. Como en el caso continuo, esto resulta del

hecho de que G(z) es la relación de polinomios en z con coeficientes reales.

Después de encontrar M, se escribirá

Mz M*z + C¡z

Z_ gJtot Z_ e_J., 7_r r_ p,

Si ahora se toma la transformada inversa de Y(z), se obtiene

y(kD:Mej'kr ¡¡4*r-iak'*I c¡p!. U4.261i --l

M- \o('),lr:"t"

ly!"iokr * M*e-it»kr

M : lMletq.

_ 2lMllei@Pr+e) + ,-i@*r+e¡f2

+ e).

etT - e-aT

14.13 Mapeo de esr

Ít4.271

u4.281

tt4.2el

397

si lp,l < 1 con i: I,2, . .. , n, entonces

Por tanto,

Ahora sea

Entonces

n

rm I c¡p! :0.k+ñ u

i:l

y* A fím y&f) : Mei'kr * M*e-i'*r .

Se obtiene un resultado que es análogo a aquel para sistemas continuos. Con una entradasinusoidal, la salida de estado permanente también es sinusoidal, incrementada por el factor deganancia lG¡ei'r¡1y con un cambio de fase 0: tG@iar). Una diferencia importante es queen el caso continuo se tiene lG(jrco)|, mientras que en el caso discreto lG(ei'r¡1.Larazónde es-to se analiza en la sección 14.13.

14.13 I MAPEO DE esIEn esta sección, se investiga con más detalle el mapeo z : esT que se utilizó para transformarX*(s) en X(z). Se comienza con x(r) : e-otl(t), a > 0. La transformada de Laplace de esta fun-ción es

:ZlMlcos(a*TRecordando que M: (Al2)G(er'a'7¡, finalmente se escribe

lrr: A|G(ei'rYcos(akT + 0).

1X(s) : s*a

En contraste, la transformación con asterisco es

oo

X*(s) : » r-akr r-krs -ft:0

etT

Recordando que Xx(s) es periódica en s se observa que X*(s) tendrá polos en ,§ : -a tilnnlT, n : I,2, . . ., como se muestra en la figura 14.5. Por tanto, X*(s) tiene un número con-tablemente infinito de polos, uno de los cuales es el polo de X(s) en .r : -a. Obsérvese que lospolos de X*(s) se componen del polo de X(s) y copias de este polo, repetidas a intervalos de2rlT.Lo mismo sería cierto para cualesquiera otras funciones cuya transformada de Laplaceexiste. Recuérdese, que en los sistemas lineales invariantes con el tiempo se considera que lospolos serán reales o pares conjugados complejos. Así pues, el ejemplo considerado, si bien essimple, es representativo de todas las funciones de tiempo y transformadas analizadas en estelibro.


En la figura 14.5 se observa que el polo de la transformada de Laplace X(s) quedará en una

tira de 2tlT de ancho con centro en el eje real del plano s. Esta tira se llama tira primaria. Este

polo se repite en las tiras secundarias arriba y debajo de la tira primaria.

Tf ra li¡e**a&§*, I :, :: I- - *:.ii=:--:-*l+:,*,,

Círculo unitario

Tira primariaRe(z)

Bajo el mapeo s : ln zJT, X*(s) se mapea en la transformada Z.

X(z): --: -'z - e-aT'

Vale la pena señalar algunos puntos. En primer lugar, todos los polos de X*(s) se mapean

en el mismo lugar en el plano z, como se muestra en la figura 14.5. Se sabe que cada polo de

X(s) genera un número infinito de polos en Xx(s).

En segundo lugar, para obtener X(z) a partir de X*(s) se sustituye una expresión en z para

,r, o sea, s: ln zlT.Elmapeo inverso del plano s en el plano zes z- ¿'7. Como se ha visto, el

mapeo es uno a uno sobre tiras del plano s de ZilT de ancho. Por tanto, si se desea conocer dón-

de un punto específico en el plano s se mapea en el plano z utilizamo s z : esT.

En particular, si se conocen las ubicaciones de los polos de X*(s) en el plano s, los puntos

en el plano z se encuentran utilizando z : ¿t7. Como los polos de X*(s) son simplemente lospolos de X(s), más las copias de estos polos que aparecen a lo largo de líneas verticales a inter-valos de 2rlT, se concluye que los polos de X(z) son simplemente los polos de X(s) mapeados

bajo z : e'7.

En tercer lugar, como las funciones de transferencia en el dominio s son relaciones de poli-nomios en s con coeficientes reales, pueden ser expandidas mediante fracciones parciales en

términos que corresponden a las entradas en las tablas de transformadas Z presentadas con an-

terioridad. Por tanto, para la clase de funciones de tiempo que se están considerando, se diceinequívocamente que si una función en tiempo continuo x(r) tiene transformada de Laplace X(s)

con un polo en s : -a, entonces el equivalente discreto de esta función, cuando es Z transfor-mada, tendrá un polo an z: e-aT.

En cuarto lugar, en las tablas de transformadas Z se observa que no se puede decir lo mis-mo de los ceros. De hecho, las tablas muestran ejemplos de funciones de tiempo continuas cu-yas transformadas de Laplace no tienen ceros pero cuya transformada equivalente Z sítieneceros. En otros casos, ni las transformadas de Laplace ni las transformadas Z tienen ceros. Por

tanto, no existe un mapeo conveniente de ceros. Si bien este resultado podría parecer una "me-

diahogaza de pan", es la mitad importante de la hogaza porque, como en el plano s, los polosen el plano z determinan las funciones en el tiempo, o modos, que aparecen en la respuesta en

el tiempo.

Figura f 4.5 IPolos de

ó5/

¿st -g at

Im(s)

-rlT-2nlT

14.14 Tira primaria

14.14 I TIRA PRIMARIAEn esta sección se explora más el hecho de múltiples puntos en el plano s que se mapean, con-forme a Z: esT, en un solo punto en el plano z.

Al suponer que mapeamos la tira primaria del plano s en el plano z. Se comienza mapean-do los puntos de una línea vertical

s: o * jo¡,

donde o < 0 es fijo. Bajo el mapeo z: esT, un punto en esta línea se mapea como

,-r(o+jo)T-ooTojaTd-r

El término eoT es un número real que puede considerarse como factor escalar para el fasor uni-fario ej'T.

5¡/T

4¡r/T

3rlT

2¡/TCírculo unitario

Tira primariaRe(z)

399

Figura r4.6 |Tira primaria de mapeoen el plano z.

.'{IiB§ssusdadal:: -,- -*.a::t:.i -:-:-

a)

5¡r/T

4rlT

3¡lT

2¡rlT

¡rlT

-¡lT-2nlT

-3¡lT

-4¡/T

-5¡lT

Círculo unitario

Re(z)

b\

Im(s)

400

Figura 14,7 |Polos de x* (s) y x(z)de x(f ) : coS a¡L


Si -rlT l @ l nT, y oes fijo, con t¡ < 0, entonces el mapeo de esta parte de la línea ver-

tical en el plano s al plano z es un círculo con radio e-oT < 1, como se muestra en la figura

14.6a. Si o > 0, el segmento de línea se mapea en un círculo con radio mayor que uno, como se

muestra en la figura 14.6b. Si o: 0, el segmento de línea se mapea en el círculo unitario.

En el plano s, la región de polos estables está en la mitad izquierda del plano. Por tanto, se

observa que la región de estabilidad en el plano z está adentro del círculo unitario. Para mayor

claridad, los segmentos de línea en las tiras primarias y secundarias de las ñguras 14.6a y l4-6b

se dividieron en partes de rayas y continuas, las partes continuas corresponden a 0 < a < nlT.y se mapean en la mitad superior del círculo en el plano z. Las partes de rayas de los segmentos

de línea corresponden a -r/T < a < 0 y se mapean en la mitad inferior del círculo en el plano z-

En suma:

1. La mitad izquierda de la tira primaria en el plano s se mapea en el interior del círculo uni-

tario.

2. El eje imaginario entre -jilT y jnlT en el plano s se mapea en el círculo unitario en el pla-

no z.

3. La mitad derecha de la tira primaria se mapea en la región exterior al círculo unitario.

4. Se mantiene el mismo patrón para cada una de las tiras secundarias.

Ahora se considera

x(t): cos (arf).

La transformada Z correspondiente es

z(z - cos a,ll) z(z - cos aT)X(z):

zz - 2z cos a;Z -| 1 (z-ei.r)(Z-e-irr¡

Los polos de X(z) y los polos relacionados de X*(s) se muestran en la figura t4.7 . Para mante-

ner la figura ordenada, se ilustran sólo los mapeos de la tira primaria y las dos tiras secundarias

adyacentes. En esta figura, se observa que una vez que los polos de X*(s) están mapeados en el

plano z no se distinguen los polos en la tira primaria de los polos en las tiras secundarias. Por

tanto, la frecuencia más grande distinguida es ú) : rlT,la cual es la mitad de la frecuencia de

muestreo de 2rlT. Esto es lo que podría llamarse aproximación por la "puerta trasera" a la velo-

cidad de Nyquist. La aproximación por la "puerta delantera" es un análisis de Fourier discreto'

Círculo unitario

Im(s)

Re(z)

14.15 Regla del asterisco 401

Al suponer que la velocidad de muestreo es de 10 Hz, de modo Que f :0.1 s y que se tratade muestrear una onda seno de 6 Hz. Entonces la función seno tiene polos en 2 - s+i6(2r).Considere el mapeo de los polos conforme la frecuencia se incrementa de 0 a 6 Hz. Las tra-yectorias seguidas conforme la frecuencia se incrementa se muestran en la figura 14.8.

Al observar que a una frecuencia de 5 Hz, las dos trayectorias coinciden en Z: -1. El po-lo que emigra a 6 Hz sigue adelante, y termina en un punto que corresponde a -4 Hz. El poloque emigra a -G Hz hace lo mismo, y termina en un punto sobre el círculo unitario que corres-ponde a 4 Hz. Por tanto, la onda seno de 6 Hz parecerá ser la onda seno de 4 Hz.

Se observa que conforme los polos continúan emigrando hacia lOHz(2rlT radls)y -10Hz (-2rlT radls) la frecuencia continuará decreciendo.

Figura r4.8 IPolos de Xa(s)y X(z)de x(f) : cos a.¡L

Im(s)

Im(z)

Mapeo delorigen a 6 Hz

Mapeo delorigen a -6 Hz

14.15 I REGLA DEL ASTERTSCOA continuación se desarrolla una regla para manipular diagramas de bloques que se requeriránpara obtener la formulación final del problema de control de datos muestreados. Primero se re-cuerda que

G(z) : G*(s)|,=rnrrr. [14.30]

Entonces, se tiene

Y(z): G(z)R(z),

la tira primaria, se obtiene

[14.3U

y-se restringe el mapeo a

Iz*(s) : G*(s)R*(s). fr4.32l

-\hora se considera la figura 14.9.e'ión continua y(r). Se escribe

La salida de Y(s) es la transformada de Laplace de una fun-

Y(s): R*(s)G(s).

4o2

Figura r4.9 IMuestreo de un sistemacontinuo.

Fisura r4.rO IGráfica de variastransformacionesde muestreo.

Figura r4.ri IDiagrama de bloquesde un sistema de datosmuestreados.

GAPíTULO r4 Sistemas discretos

I

I

tTR(s) )r

-l

R*(s) f(s) r*(s)

Ahora se desea muestrear la salida para obtener I*(s). Se puede escribir

Y*(s) : {R.(s)G(s)}.. t14'331

Sin embargo, si igualamos los lados derechos de las ecuaciones [14.32] y [14.33], se obtiene

[R-(s)G(s)]* : R*(s)G*(s).

La ecuación 114.34) es muy útil para el análisis de sistemas de datos muestreados. Para ver

por qué, se considera la figura 14.10, la cual muestra las transformaciones previamente estudia-

das más otras dos nuevas. Ya se analizó la ruta a través de la parte superior de la gráfica. De las

dos nuevas trayectorias, una es la transformada de Laplace de la función de tiempo continua

x(r). Esta trayectoria es conocida, pero la otra no. Representa el paso de X(s) directamente a

X*(s). La operación se muestra simbólicamente como

X(s) * á.(s),

x>6(f-kT) L s:lnz/Tx(r) ----+ x*(/) ".-'-+ X*(s)

-

X(¿)

donde A.(s) : L{67Q)}, y el * quiere decir convolución de las dos transformadas de Laplace

en el plano s. Este es un resultado estándar de la teoría de las variables complejas, o sea,

Llx(t)y(t)): X(s) * I(s).

Aunque no se presume de dominar la teoría de las variables complejas, la operación puede

comprenderse cualitativamente, lo cual es todo lo que se necesita. La convolución de las dos

funciones simplemente define un mapeo de la función X(s) en una segunda función X.(s). El

dominio y el rango del mapeo son los mismos, es decir, el plano s. Por tanto, la operación "as-

terisco" que definimos con anterioridad es simplemente este mapeo de una transformada de La-

place en otra. Se uitilizará esta operación para encontrar el entorno matemático apropiado para

el estudio de sistemas de datos muestreados.

14.16 I STSTEMAS DE DATOS MUESTREADOSLa figura 14.11 representa el diagrama de bloques de un sistema de datos muestreados. El pro'ceso go(r) es continuo. La salida c(r) es retroalimentada y restada de la entrada de referencia

r(r). Eita resta se representa por medio de una operación analógica en el diagrama y la diferen-

cia e(t) es muestreada a intervalos regulares por un convertidor A/D.

lt4.34l

14.16 Sistemas de datos muestreados 4O3

La función de la computadora es implementar una estrategia de control. Como se verá enbreve, esa estrategia de control al final será representada como una función de transferencia en elplano z. La función de transferencia, a su vez, será transformada en una ecuación de diferenciaque la computadora evaluará para producir la señal de control.

La ecuación de diferencia es controlada por la señal de error muestreada e(t).Lasalida dela ecuación de diferencia es alimentada a un convertidor digital a analógico (D/A), que cambiala señal de control digital en una señal de control analógica continua por intervalos, que con-trola el proceso. Nuestro interés consiste en diseñar la ecuación de diferencia que controla eldesempeño del sistema. Para ello se necesita un modelo matemático preciso de todo el sistema.Esto se logra definiendo estructuras matemáticas para el convertidor A/D, el convertidor D/A yla computadora.

La figura 14.12a muestra cómo se puede modificar el diagrama de bloques para que reflejeestas estructuras matemáticas. Obsérvese que esta representación se hace en el dominio s. Sereemplaza el convertidorA/D con un muestreador ideal y su estructura matemática relacionadaó.. Ésta es una opción muy razonable para el convertidor A/D dadas las velocidades de conver-sión que previamente se discutieron. El tiempo entre muestras es 7, y los dos muestreadoresilustrados en la figura l4.I2a están sincronizados de modo que abren y cierran al mismo tiem-po. Esto se representa por la línea intemrmpida que conecta los dos muestreadores.

Figura 14.124a) Primera y b) segundamodificación del

c* - diagrama de bloques

-de datos muestreados.

A continuación se reemplaza el convertidor D/A con un retenedor de orden cero (ZOH, porsus siglas en inglés), como se muestra en la figura 14.l2a. La respuesta al impulso del retene-dor de orden cero se muestra en la figura I4.I3. Si se aplica un impulso unitario al retenedor deorden cero cuando /: 0, el retenedor genera de inmediato un valor de uno y lo mantiene du-rante Iunidades de tiempo. Ningún dispositivo físico se comporta exactamente así, pero unconvertidor D/A moderno puede convertir una entrada digital en una salida analógica en apro-ximadamente 10-s s. Éste es casi el comportamiento ideal mostrado en la figura.

Figura f 4.r3 IRespuesta al impulsode retención de gradocero.

En operación real, la computadora puede considerarse como impulsos de peso u(kT), en-tregados al convertidor D/A cada T unidades de tiempo. Entre entradas de la computadora la

c*

87oHG)

4o,4

Figura 14.14 |Salida de retenciónde grado cero.

CAPíTULO r4 Sistemas discretos

retención de grado cero mantiene la salida en el último valor recibido de la computadora. Con

el tiempo, la salida se ve como 1o muestra la figura 14.14.

Se representa el algoritmo de la computadora como G*. (s). Éste puede parecer un poco

extraño, pero como se sabe, G*, (s) se transforma en G"(z) si se hace la sustitución s : ln zJT

en G* r(s). G.(z), a su vez, define una ecuación de diferencia que relaciona e(kT),la salida del

convertidor D/A con u(kT), el control aplicado al retenedor de orden cero. La razón por la que

se representa el algoritmo de computadora inicialmente como G*.(s) es porque se aplica el al-

goritmo asterisco para lograr la representación matemática final.

Ahora se deriva la transformada de Laplace del retenedor de orden cero, observando que

SzoH:1(r)-lQ-f).

Por tanto,

e-T t | - e-T'Llszot): ¿U(r)) - t{l(t - I)} :

Después de encontrar Gror(s), ahora se define

G'oG)A Gzou(s)Gp(s).

Es decir, se barre el convertidor D/A con la función de transferencia de la planta. Esto nos lleva

a la segunda modificación del diagrama de bloques, como se muestra en la figura 14.12b.

Utilizando la figura l4.l2b, ahora estamos en posición de construir el modelo matemático

que necesitamos para diseñar los compensadores en el dominio digital. De la figura l4.l2b,po-demos escribir

C(s) : E-(s)G](s) G'r(s).

E*(s):[R(s)-C(s)]-: R*(s) - C*(s).

en la [14.35] se obtiene

t14.3f

Así como también

t14.361

Sustituyendo la ecuación [14.36]

C(s) : [R.(s) - C-(s)]G](s)G'o(s)

: [R*(s)G]1s)c'o(s)l - [C-(s)G](s)G'r(s)1. tl4.3T

Al aplicar la operación asterisco a ambos lados de la ecuación Í14.371se obtiene

C.(s) : [R*(s)G]1s)Gi(s)l* - [C*(s)G](s)G'r(s)1-

: R*(s)G)(s)tG'r(s)1- - C-(s)G](s)tc'r(s)J-. [14.38]

14.17 Determinación de GiP)

La ecuación t14.381 se puede escribir como

C-(s)[1 + G](s)tc'r(s)J-1 : R*(s)G](s)[Gi(s)J-, t14.3eI

la que a su vez se puede volver a escribir como

G](s)tci(s)J-Í14.401I + cI(s)[G'r(s)1-

Finalmente, si.s : ln zlT en la ecuación [14.40] se obtiene

G,(z)G'r(z)f14.411| + G,(z)G'r(z)

La ecuación[4. l) deberá ser familiar. Tiene exactamente la misma forma que la expre-sión que se obtuvo parala función de transferencia de lazo cerrado en el estudio de sistemascontinuos. Por consiguiente, la ecuación |4.411puede representarse por el diagrama de blo-ques de la figura 14.15. Ya casi se comienza el diseño del compensador G"(z), sin embargo, nosfalta un detalle que se debe considerar: la determinación de GiQ).

c.(s)R*(s)

C(z)

R(z)

donde

Ig..(s) :Gr(s)

s

Se utiliza esta notación por la obvia razón de que I"r"(s) es la expresión en el plano s para larespuesta del proceso continuo a una entrada escalón unitaria. Si se aplica la transformada in-versa de Laplace se obtiene

g'rG) : t-|¡G'o(s)\

: L-t {%r.(s) - ¿-'r%."(s)}

: L-t {%*(s)} - L-t{¿-'r%r.(s)}

: y","(r)L(t) - y"""(t - f)\t - T).

Ahora se discretiza SiO simplemente con sustituir r por kT para obtener

14.17 ¡ DETERMTNAGTóN OE G'olzlSe comienza considerando

Fisura r4.r5 IDiagrama de bloquesde sistema de datosmuestreados de lazocerrado en el plano z.

405

T'p(kr) - )"..(ftT)\kD - !","(kr - Dl(kr - r).

406

Figura r4.rG IComparación de Gr(s)y G[(z)


L-l+

z'-----+

G'r(z) L z{y"""(kr)l&Dl - z{y"""(kr - T)l&r - T))

: » y","(kT)l(kr)z-k - » !"""(krk:0 ft:O

: %,"(e) - {o + y(0)z-t -f y(T)z-z +

- %..(z) - z-'{v(o) zo + v(r)z-l + ' '

: %r.(z) - z-ry"""(z)

: (1 _ z-t)yrr"(z).

Por tanto, se obtiene

Entonces,

- Dl(kr - T)z-k

"'+ Y(kT)z-&+l)r + "')* y(kT)z-kr + "'\

fr4.42l

Y r"r(z) : -1 , G'r{il.1- L

Ahora se trazan dos diagramas de bloques análogos, como se muestra en la figura 14.16. La fi-gura 14.16 dice 1o siguiente: si se aplica una entrada escalón unitaria a Go(s) se obtiene Y"r.(s),

cuya transformada inversa de Laplace es y"r"(r). Esto se muestra en la parte a dela figura L4.t6.Si se aplica la versión discreta del escalón unitario a Gik) se obtiene Y"""(z), cuya transformada

inversa Z es y"r"(kT). Esto se muestra en la parte b dela figura 14.16. Un punto más importantees el siguiente: las respuestas continua y discreta son idénticas en los instantes t : 0, T,27, . . .

kT, . .. Por esta razón Gi(z) se llama transformada de escalón invariante de Gr(s), donde la pa-

labra invariante significa que no cambia.El hecho de que Gik) sea la transformada de escalón invariante de Gr(s) es el resultado de

nuestro modelo del convertidor D/A. Se modela el convertidor D/A como el llamado "retene-

dor de orden cero". Por consiguiente, se obtiene una forma muy específica de [email protected] se hu-biera modelado el convertidor D/A de alguna otra manera, por ejemplo como un retenedor de

primer orden, se obtendría una fórmula diferente para Gok).Por consiguiente, en ocasiones

G/(z) recibe el nombre de transformada de retenedor de orden cero de Gr(s). Sin embargo, co-

nio vimos, también es la transformada de escalón invariante de Gr(s). En la literatura, los tér-minos escalón invariante y retenedor de orden cero se utilizan indistintamente.

y&r)

14.17 Determinación de Gi@l

Tabla f 4.3 I Transformadas Z por impulso invariante de transformadas de Laplace seleccionadas.

4l¡7

1

31

-51

s"

1(kr)

KT

L<nrt'

t ^-akTt-E

L@xr-1+e-akr)

1-e-akr(1+akT)

1 - s-akr (cos bkr + f sen Otr)

Zz-1

TzG-trT2 z(z +1)-rT;_7f

z(1 - e-ur\e -1fz- ea5zl(aT - 1 + e-ur)z+(1 - e-ur - aTe-ar))

a(z- 1)2(z* e-'r)zÍ(1 - e-ur - aTe-'r)z+(e 2ar - e-ur + aTe-ur)l

(z - 1)(z- e*"r)2z(Az+ B)

1z-t¡@A: 1 - e-ur cos bT - $e"r sen bfB = s-2ar + $e-at sen bf - e-ur cos bf

aSG+ áI

A

;Is+ a)

a2sG+ar

a2+b2s[(s+ a)2 + b2]

Basados en el análisis, se puede escribir un algoritmo corto para determinar G'ok):

l. Formar %,.(s) : q¿('l .

.t

2. Encontrar )"..(kZ) : L-t{%r.(s)}1,:rr.3. Encontrar Yrr"(z): Z {y"r"(kT)}.4. Encontrar G|(z): (1 - z-l)yesc (z)

La determinación de G|(z) con este algoritmo puede ser fácil o difícil. Es fácil si se cuentacon una tabla de transformadas Z por impulsos invariantes, como la tabla 14.3.

Obsérvese que como L {6(t)l = 1, las transformadas de Laplace del lado izquierdo puedenconsiderarse como las respuestas al impulso de varios "sistemas". Si luego se transforman es-tas funciones en transformadas de Laplace inversas, se discretizan sustituyendo r por kT y lue-go se encuentra la transformada Z de la función de tiempo discreta, se obtiene la respuesta alimpulso invariante de los "sistemas" continuos en el lado izquierdo de la tabla. Esto se des-prende porque 2{6r(kT)} : 1. Ahora se utiliza esta tabla para demostrar el algoritmo para en-contrar G)(z).

ffiSea

Entonces,

G,(s) : ?, s+a

%..(s) : , 2

s(s+ a)

dada por la tabla, es

z(1 - ¿-ar¡

La Y"."(z) correspondiente,

Y"""(z) : (z-1)(z-s-"r¡


Al multiplicar por (1 - 7-t¡ se obtiene

G'oQ): (1 - z-1)Y*Q)

z -1 z(1 - e-at¡

En este caso se observa que norepita el ejemplo con

z (z - 1)(z - s*"r')

(1 - s-'r¡:- (z- e-'r¡'

hay ceros en G'oQ). Sin embargo, se invita al lector a que

Gr(s) : *hEn este caso, Gi(z)tendrá un cero aun cuando no haya ceros en Gp(s)

14.1e I UVOUIST EN EL PLANO zSe concluye este capítulo con un análisis del criterio de Nyquist en el plano z. No se úllizarámucho el criterio de Nyquist al analizar sistemas discretos, pero se incluye este análisis para

que el capítulo quede completo. En realidad, debido a los extensos fundamentos del criterio de

Nyquist que se establecieron en el capítulo 10, no tomará mucho tiempo acabar con este tema.

En el plano s, la región de estabilidad es infinita en extensión, o sea, toda mitad izquierda

del plano s. En el plano z, éste no es el caso. La región de estabilidad es el interior del círculo

unitario. Esto facilitaeltrazo del contorno f en el plano GFlporque el contorno de Q en el pla-

no z es de extensión finita, porque simplemente es el círculo unitario.

Se tratan los polos err z:1 del mismo modo que se tratan los polos er s : 0, rodeándolos

con un contorno de radio arbitrariamente pequeño. Con el ejemplo 14.18.1 se demuestran estas

ideas.

Sea

GH(z): K(z+o.8)(z- 0.8)(z- 1)'

coñ frr"rt,a - 1O Hz. No se tendrá que conocer lafrecuencia de muestreo para aplicar el crite-

r¡o dó ÑVquist, pero elegir una frecuencia de muestreo facilita relacionar el análisis con lo que

ya se hizo en el capítulo 10.

La figura 14.17amuestra el contorno a lo largo del cual se evaluará GH(z) Obsérvese que

se rodeó el polo afi Z:1 con una parte de un círculo de radio e con centro en z: 1. El con-

torno f en el plano GH se muestra en la parte b de la figura. Las curvas de Bode de magnitudy fase de GH(ei,r¡, con K: 1, mostradas en la figura 14.'18, son de gran ayuda paratrazar f .

En la figura 14.17b se observa que la curva es similar a las que se dibujaron en el capítu-lo 1O para función de transferencia continuas con un solo polo eñ s:0, con la siguiente ex-

cepción. La curva no toca el origen en el plano z. Larazón es que se evalúa GH(ei'r¡ dentrode un rango finito de valores de «.¡, es decir, 0 < a < tlT.

Se rotulan los segmentos de Q como se hizo en el análisis de Nyquist en el plano s. El seg-

mento / es la mitad superior del círculo unitario. El segmento f es la mitad inferior del cÍrculo

unitario. El segmento ///es la parte de un círculo de radio e con centro en z: 1. No hay seg-mento // porque el contorno Q en el plano z, a diferencia de su contraparte en el plano s, es

de extensión finita.

Im(z)

14.18 Nyquist en el plano z

Im(GF1)

GH(1.)

b)

Re(GIl)

-50

- 100

- 150

-200

-250

409

a)

Figura 14.17 |a)Contorno Qen el plano z yb)contorno fen el plano GH.

Figura r4.rB ICurvas de Bodede magnitud y fase deGH(ei,\O<coT<ilT.

bo

oo

fJ.

oo3orna'"

o

.Eobo

¿

En la curva de Bode de fase se observa que (o :7 y ilT radls.

/GH(e¡'r): -180o'

A continuación se encuentra en la curva que

lGH(ei'1)1- lgtz/zo: 3.98 y IGH(ei"r)l:10-25/20: 0.0562.

Es sencillo evaluar la ecuación de Nyquist en los tres casos mostrados en la figura l4.i7b.Con

K1'.r*:0.251,

el punto -'1 en el plano GHestáen laregión 1. Laecuación de Nyquistes

Z:N*P:0+2:2.

4lo

Figura r4.r9 |Lugar geométricode las raícesen el ejemplo 14.18.1


Los dos polos de lazo cerrado se encuentran adentro de O en el plano z, es decir, adentro del

círculo unitario.Con

0.251 < n. #A :17.8,

el punto -1 está en la región 2,y la ecuaciÓn de Nyquist es

Z-N+P--2+2:O.

Las dos circunvoluciones del punto -1 son en el sentido de las manecillas del reloj. Como se

recorrió e en el plano z en sentido contrario al de las manecillas del reloj, se anexÓ un signo

menos a las dos circunvoluciones. Por tanto, cuando el punto -1 está en la regiÓn 2, no se tie-

nen polos delazo cerrado adentro del círculo unitario y dos afuera de é1.

Finalmente, con

K > 17,8,

el punto -1 en el plano GHestá en la región 3 y la ecuaciÓn de Nyquist es

Z:N]-P:-1 +2:1.

En este caso, hay un polo del sistema de lazo cerrado adentro del círculo unitario y uno afuera.

El lugar geométrico de las raíces, mostrado en la figura 14.19, ayudará a entender este

análisis. Con baja ganancia, ambos polos están en el círculo unitario. Cuando los polos dejan

el eje real, emigran hacia el círculo unitario. Con K :0.251, alcanzan el círculo unitario. Los

dos polos se desplazan a lo largo de un círculo con centro afi Z: -0.8 hasta que regresan al

eje real a la izquierda de z: -1. Luego un polo emigra hacia z - -oo, el otro hacia el cero en

z: -0.8. Con K x 17.8 (el valor real es 1B), el polo que emigra hacia el cero llega al círculo

unitario afi Z: -1. Por tanto, con K > 18, uno de los polos de lazo cerrado está adentro del

círculo mientras que el otro continÚa su viaje hacia z: -oo.

Im(¿)

aCírculo ,'unitario\/

II

El ejemplo 14.18.1 constituye la extensión de la investigación del análisis de Nyquist en el

plano z. Debe quedar claro que los procedimientos son similares a los que se utilizaron en el ca-

pítulo 10. El análisis en realidad es algo más simple porque el contorno Q es de extensión finita.

14.20 Problemas 411

14.19 I RESUMENEn este capítulo se presentó la transformada Z mediante el muestreo de una señal continua. És-te es el desarrollo más natural de sistemas de control porque básicamente interesan los sistemasde datos muestreados, es decir, el control de una planta continua con una computadora digital.

También se revisó las propiedades de la transformada Z relevantes para aplicaciones decontrol. Al hacerlo, se observó que la transformada Z esfá estrechamente conectada a la trans-formada de Laplace. En realidad, se argumenta que la transformada Z es simplemente un casoespecial de la transformada de Laplace.

A continuación se examina con detalle los mapeos del plano s en el plano ¿, observandoque la mitad izquierda del plano s se mapea en el interior del círculo unitario en el plano z, queel eje imaginario del plano s se mapea en el círculo unitario en el plano z y que la mitad dere-cha del plano s se mapea en la región externa del círculo unitario en el plano z. Además, se en-cuentra que el mapeo es uno a uno sólo en la tira primaria en el plano s.

También se desarrolló un modelo matemático para estudiar sistemas de datos muestreadoscon retroalimentación análogos al modelo que se utilizó en el estudio de sistemas continuos conretroalimentación. En el capítulo 15 se pondrá este modelo matemático a trabajar.

Se concluyó el capítulo con un breve análisis de cómo utilizar el criterio de Nyquist parala estabilidad en el plano z. Se observó que el análisis es muy similar a aquel en el dominio s,quizá incluso un poco más fácil puesto que el contorno §2 en el plano z es de extensión finita.

14.20 I nnOAtEMAS14.20'1 Ecuaciones de diferenciaPara cada una de estas ecuaciones de diferencia, encuentre la solución por medio de transfor-madas Z.Use MATLAB para verificar sus respuestas.

1. y(k +2) - l.Sy(k + l) +0.5y(fr) : u(k),u(k):1(k), y(0) - 1y)(1) : 1

2. y(k +2) - l.6y(k + 1) +0.68y(k) : u(k),u(k):1(k), y(0) - 0y)(1) : 0

3. y(k+2) -y(k + 1)+0.25y(k):u(k),u(k):1(/r),y(0) - 1y)(1):04. y(k +3) - zy(k +2) + t.25y(k + 1) - 0.25y(k) : u(k),u(k) :11¡¡¡,

y(0):0, y(1):0y t(2):05. y(k +3) -zy(k +2) + 1.25y(k + 1) : u(k),u(k):l(k), )(0) : t,

y(1) : oy y(2) : Q

6. y(k+ 3) -0.6y(k +2)+ 0.09y(ft+ 1) -0.004y(k):60(ft),y(0):0,y(1):0y!(2):07. y(k +2) -0.6y(k + 1) + 0.12y(k):0, y(0) - I y )(1) :08. y(k+3) - r.6y(k+2)+ 0.68y(fr + 1) - 0.08y(ft):60(k), )(0): 1,

y(l):lyy(2):l9. y(k+3) - r.ty(k-t2) +0.34y(k + 1) - 0.024y(k):l(k),)(0): 1,

y(l):oyy(2):Q10. y(k+3) - r.2y(k+2)+0.36y(k + 1) - 0.032y(k): óo(k),.)(0):1,

y(1):lyy(2):o11. y(k+2) - y(k + l) + 0.16y(k):kt(k), y(0):0yy(1): Q

12. y(k+2) -r.2y(k + 1) + 0.2y(k):1(k),y(0):0yy(l): I

412 cAPíTuLo l4 Sistemas discretos

14.20..2 Expansión en fracciones parciales

Expanda cada función G(z) en una suma de fracciones parciales y luego encuentre la funciónde tiempo relacionada g(k), así como también S&T) a la frecuencia de muestreo dada. Compare

su respuesta con MAILAB.

1 5z¿ - o.6z - 0.4 1o Hzr' VTsz + O2z - 0.16 ' 'v LLL

3. ^722-l§.82+9 .2oHzJ. z3 _2.422 *z_0.4,-".--. 6i¿ -_6.22+ 1.48 .2oHz

z' - l.6z' 10.762 - 0.96'

^ 2z - 0.5 .ZOHzz" -0.52 +0.125

.¡ 622 -=7.32 + 1.75 .2oHzz' V=1.6? + a65z - o.o5 '

uu "o ,

4. -2'-2^ =.5oHzz'-z+U.5622 -7.52+3.75

z3 -z.z5z2 *1.52-0.25'6.

7.

9.

50 Hz

Fisura 14.20 4

Filtros: pasa bajas,pasa banda o pasa altas.

8. ffi,5oHz4zz -5.52t1.62 10 Hz

2.3 - 2.522 * 2.06252 - 0.5625',

to. az1- +,zz ! gle, 5o Hz

z'-z' *0.162

14.20..3 Filtración digitalEn estos problemas, los polos y ceros pueden ser reales o complejos. Con excepción del primer

problema, el objetivo es utilizar MATLAB para diseñar el filtro especificado.

1. Clasifique cada uno de los filtros de la figura 14.20 como pasa bajas, pasa banda o pasa altas.

Re(z)

2. Seaf, - 10 Hz. Diseñe un filtro pasa banda

G(z) : K(z-z)(z-z)(z-z)(z- p)(z- p)k- P)k- P+)

donde la pasa banda es de 3 rad/s a 5 raÜs.

3. Seaf, :20}12. Diseñe un filtro pasa bajas

G(z) : K(z-z)(z-zz)(r- pr)(r- P)Q- Pt)'

dondea) G(z:1) : 1.

b) El punto de media potencia queda aproximadamente a 4 raüs.

Im(z) Im(z) Im(z)

14.2O Problemas 413

Seaf, : l0Hz. Diseñe un filtro pasa bajas

K(z - z)G(z): (z-oó'

donde el punto de media potencia queda aproximadamente a2 radls.

Sea/" : 10 Hz. Diseñe un filtro pasa altas

'K(e - 0'8)G(z): e-p)donde el punto de media potencia queda aproximadamente a 3 radls.

14.2o'4 Determinac¡ón de Gi(zlPara cada una de estas funciones de transferencia Gr(s) encuentre Gir@. En cada caso se da lafrecuencia de muestreo.

1. #, loHz

l,zo u,.§-

FGT4'ZoHz

--12-5oHz(s * 2)"'

14.2o..5 Simulación digitalLa figura 14.21 muestra la implementación con un retraso para la ecuación de diferencia

y(k+1)+0.5y(ft):u(k).

Para cada una de estas ecuaciones de diferencia trace la implementación utilizando retrasos.

1. y(k +3) - t.6y(k +2) + 0.68y(k + 1) - 0.08y(k) : u(k)2. y(k+ 3) - 1.ry(k+2)*0.34y(k + 1) -0.024y(k):u(k)3. y(k +3) - r.2y(k +2) +0.36y(k + 1) - 0.032y(k): u(k)4. y(k + 2) - y(k * 1) + 0.16y(/<) : u(k)5. y(k +2) - I.Zy(k + 1) + 0.2y(k) : u(k) *2u(k * I)6. y(k+9 -2.ay@ +3) + 1.96y(k+2) -o.62ay@ + l) + 0.64y(k):

u(k) +2u(k * r) +3u(k +2)7. y(k + 0 - ay& + 3) + 5.r6y(k +z) -2.48y(k + 1) + 0.32y(k) :

3u(k)*4u(k+1)+u(k*2)8. y(k + g - 3y(k + 3) + 3.16y(k +2) - t.32y(k + t) + 0.16y(fr) :

u(k) +2.5u(k + 1) + 3u(k ]-2)9. y(k + 3) - 1.5y(k +2) +0.66y(k + l) - 0.8y(ft) :3u(k + 1) + 2u(k)

10. y(k + 3) - 0.33(fr +2) +0.029y(k + 1) - 0.0006y(/<) :3u(k + l) + 2u(k)

Figura 14.21 |lmplementaciónpor medio de retraso.


14.20'6 Análisis de NyquistPara cada función de transferencia GH(z) trace la curva de Nyquist (contorno f ) en el plano

GH y determine el rango de ganancia K con la que el sistema es estable. La tasa de muestreo se

da con la función de transferencia.

1. ,((z + l.)(z -.0.§). t0 Hzk - l)'(z - 0.4)

2.

4.3. Kzk+ P.2oHz(z - l)"

r<(z + 9,?)(z ;9,6) ,20Hzk-t)(7-0.2)rcQ + 9,?k t^9^,2) ,5oHz(z - r)17 - 0.8)

< K(z - 0.6)k - 0.2)(z - 2j'l Hz 6. G+#?-L»,tHz

8. #+ffi,roHzs. ffi,zoHz to. ffi,Zo*z1 4.20'7 Problemas adicionales1. La rueda de un automóvil es de24 in de diámetro y el rin tiene cuatro rayos equidistantes

entre sí. El auto está en movimiento y es filmado con una cámara que toma 24 cuadros por

segundo. ¿A qué velocidad parece por primera vez que giran hacia atrás?

2. Para cada función de transferencia, determine si el teorema de valor final puede utilizarsepara encontrar el valor de estado permanente en respuesta a una entrada limitada.

7- K(z * 0.8)(z - 0.2.) .25H2k -t 0.2)(z - 0.8)'

^\ Kzu) G _-IrG _{-9) b)wa++¡\ Kz

L t z' - zz/J1+ t

3. Amortización es el nombre que recibe la acción de saldar una deuda con n pagos iguales.

La cantidad sin pagar es el capital pendiente. Sea

a) y(k): el capital pendiente después del k-ésimo pago.

b) u(k) : p la cantidad del k-ésimo pago.

Escriba una ecuación de diferencia que describa este proceso de amortización. Luego utilice

transformadas Z para encontrar la fórmula para p, el pago, donde N es el número de pagos.

4. Los números Fibonacci pueden ser generados por este modelo de una población de conejos:

a) Cada par de conejos se aparean de por vida.

b) Cada par de conejos procrean una coneja y un conejo a finales de cada mes.

c) Cada par de recién nacidos produce sus primeros descendientes cuando tienen dos me-

ses de edad.

Escriba una ecuación de diferencia para describir el número de conejos en el mes k. Use

transformadas Z para encontrar la fórmula paray(k), con la que se genera una fórmula pa-

ra los números o secuencia de Fibonacci.

5. El rastreador u - P es un viejo y probado algoritmo de rastreo de radar descrito como:

a) z(fr) es una lectura corrompida por ruido del alcance del objeto obtenida con el ft-ési-

mo pulso del radar.

b) y(k) es la estimación del alcance al objetivo después de que el k-ésimo pulso del radar

es procesado.

c) y(k) es la velocidad de alcance del objetivo después de que el k-ésimo pulso del radar

es procesado.

Lecturas adicionales 415

A )r(k) es el alcance al objetivo pronosticado al ft-ésimo pulso del radar, basado en elprocesamiento de todas las lecturas hasta u(k - 1). Si I es el periodo al cual los pul-sos de radar son enviados, entonces el rastreador d - P puede ser representado por es-te conjunto de ecuaciones.

tp(k):y(k-I)+Ti&-r),y(k) : y p(k) + alu(k) - y o&)1,

i&):i«- D*+tu&)-yo&\.

Resuelva este conjunto de ecuaciones de diferencia.e) Un modelo del ingreso nacional es

y(k) : u(k) +cv(1 f §)y(k - 1) - aByft - 2),

donde y(fr) es el ingreso nacional y u(k) es el gasto del gobierno. Sean o : 0.125 y

§: I. Encuentre el ingreso nacional si

f) Considere la ecuación de diferencia

c(k i l) - c(k) : Ac(k) - células eliminadas mediante terapia contra el cáncer.

donde c(k) es el número de células cancerosas en el momento ft y A es una constantepositiva. Suponga que la terapia contra el cáncer es kB, donde B es otra constante po-sitiva y ft es la variable tiempo discreta. En otras palabras, la terapia es un función ram-pa. Sea c(0) el número inicial de células cancerosas. Suponiendo que el paciente nomuere por el tratamiento, ¿puede ser erradicado el cáncer?

TECTURAS ADICIONATESBracewell, Ron (1965) , The Fourier Transform and lts Applications, Nueva York: McGraw-

Hill.Cadzow, James A- (1973), Discrete Time Systems, Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall.Franklin, Gene F., J. David Powell y Michael L. Workman (1990), Reading, Mass.: Addison-

Wesley.Houpis Constantine J. y Gary B. Lamont (1992), Digital Control Systems, Theory, Hardware,

Software,2a. ed., Nueva York: McGraw-Hill.Luenberger, David G. (1979),Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models, and Applica-

/ions, Nueva York: John Wiley & Sons.Saucedo, R. y E. E. Schiring (1968), Introduction to Continuous and Digital Control Systems,

Nueva York: MacMillan.

(0 conk < 0u(kl : I

I conk > 0.

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Sistemas discretos