sistemas elétricos

Profa Ruth P.S. Leão Email: [email protected] URL: www.dee.ufc.br/~rleao

Capítulo 7

SISTEMAS POLIFÁSICOS EQUILIBRADOS

Tensões polifásicas são geradas do mesmo modo que tensões monofásicas. Um sistema polifásico é simplesmente um conjunto de vários sistemas monofásicos interconectados e defasados entre si de modo a resultar em sistemas polifásicos. Em geral, o deslocamento elétrico entre fases de um sistema n-fásico equilibrado é 360o/n graus elétricos. Sistemas trifásicos são os mais comuns, embora para certas aplicações especiais seja usado um maior número de fases. 7.1. Gerador Trifásico Um típico gerador trifásico de dois pólos é ilustrado na Figura 7.1, o qual consiste de um rotor, parte girante, com um enrolamento de campo alimentado por uma fonte cc. A corrente contínua da fonte cc é transferida à bobina de campo através de escovas e de anéis coletores. A parte fixa do gerador é denominada de estator. Três enrolamentos são posicionados espacialmente no estator de forma simétrica, defasados de 120º entre si. Cada enrolamento do estator constitui uma das fases do gerador. O rotor gira por ação de uma máquina motriz primária, e a variação relativa do fluxo magnético da bobina de campo como vista pelas bobinas de estator induz um conjunto de três tensões nos enrolamentos do estator.

Figura 7.1: Gerador trifásico de dois pólos.

Profa Ruth P. S. Leão Email: [email protected] URL: www.dee.ufc.br/~rleao

6-2

7.2. Motor Trifásico O tipo mais comum de motor ca é o motor de indução trifásico. Basicamente consiste de um estator com enrolamentos de estator e um rotor cilíndrico com barras metálicas curto-circuitadas assumindo o formato de uma ‘gaiola de esquilo’, como ilustrado na Figura 7.2. Quando tensões trifásicas são aplicadas aos enrolamentos do estator, é estabelecido um campo magnético girante. À medida que o campo magnético gira, são induzidas correntes nas barras metálicas da gaiola de esquilo do rotor. A interação das correntes induzidas e o campo magnético produzem forças que levam o rotor a girar.

Figura 7.2: Motor de indução trifásico.

7.3. Sistemas Trifásicos A característica principal de um circuito trifásico equilibrado é o fato de que a fonte produz uma tensão trifásica equilibrada. Um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é constituído por três tensões senoidais de mesma freqüência e amplitude, defasadas entre si de 120º. As três fases são genericamente denominadas de a, b e c; a fase ´a´ é tomada como referência. Existem duas formas de ligar os enrolamentos de um gerador trifásico; estas configurações, denominadas Y e Δ, são mostradas na Figura 7.3, na qual os enrolamentos do gerador estão representados por fontes de tensão independentes.


6-3

(a)

(b) Figura 7.3: Conexões típicas de um gerador trifásico (a) ligação tipo Y

(b) ligação tipo Δ. O terminal comum da ligação em Y é denominado de neutro do gerador e é representado por n. O terminal neutro pode estar ou não disponível para conexões externas; quando disponível, a ligação é dita ser trifásica a quatro fios, ou trifásica tetrafilar. Cargas monofásicas são colocadas entre a linha e o neutro; cargas trifásicas são conectadas entre as linhas a, b e c. As ondas de tensão geradas são mostradas na Figura 7.4.

Figura 7.4: Ondas de tensão senoidais de gerador trifásico.

O diagrama fasorial de um sistema trifásico tetrafilar é representado na Figura 7.5. Deve ser observado que um diagrama fasorial de tensões e correntes de um circuito representa relações no tempo das fases e não relações espaciais do circuito. O diagrama fasorial da Figura 7.5 mostra as tensões relativas ao neutro, denominadas de tensões de fase ou tensões entre linha e neutro, e as tensões entre os terminais externos a, b e c, denominadas de tensões de linha. As tensões de fase são representadas pelos fasores Van, Vbn e Vcn. É comum utilizar apenas um sub-índice quando se faz

++

a

_ Vab

+

_

_ ~ ~

~ b

c

Vbc

Vca

_

~

~ ~

Va

Vb Vc

+

+ +

_

_

a

b

c

n

T/3


6-4

referência às tensões de fase, resultando em Va, Vb e Vc. As tensões de linha são representadas por sub-índice duplo, Vab, Vbc, Vca.

Figura 7.5: Tensões de fase e de linha em um gerador trifásico tetrafilar. Pelo diagrama fasorial da Figura 7.5, as tensões de fase equilibradas são definidas fasorialmente como:

120VV

120VV

0VV

cncn

bnbn

anan

+∠=

−∠=

∠=

(7.1)

Em sendo o conjunto de tensões trifásicas equilibradas, suas magnitudes são iguais, |Van|=|Vbn|=|Vcn|, e defasadas de 120º elétricos; isto significa que, considerando o sentido de rotação anti-horário, a tensão Van está adiantada de 120º em relação à Vbn, ou seja, 1/3 do período da onda, e Vbn adiantada de 120º em relação à Vcn. Isto significa que os valores máximos positivos das tensões acontecem a cada 5,56 ms para uma onda de 60 Hz. Os fasores de tensão quando giram na seqüência an, bn, cn ou simplesmente abc, é dito girar na seqüência positiva ou seqüência direta. Para obtenção da tensão de linha Vab, tem-se que:

( ) ( )( )120

1 cos 120 120

1 312 2

3 3 3 302 2

ab an bn

an an

an

an

an an

V V V

V V

V jsen

V j

V j V V

= −

= − ∠−

= − − − −

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= + = ∠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.2)

_

~

~ ~

Va

Vb Vc

+

+ +

_

_

a

b

c

n Van

Vbn

Vcn

-120º

60º 30º

Van

Vbn

Vcn -Vbn Vab


6-5

Como as tensões de linha são equilibradas, tem-se que:

120

3 90

3 30

bc ab

an

bn

V V

V V

V V

= ∠−

= ⋅ ∠−

= ⋅ ∠+

(7.3)

e 240

3 210

3 150

3 30

ca ab

an

an

an

V V

V V

V V

V V

= ∠−

= ⋅ ∠−

= ⋅ ∠+

= ⋅ ∠+

(7.4)

Portanto, a tensão de linha na conexão trifásica estrela ou Y, equilibrada, é √3 a tensão de fase e faz um ângulo de 30º com as tensões de fase correspondentes. O diagrama fasorial das tensões de linha de um gerador trifásico conectado em delta é mostrado na Figura 7.6.

Figura 7.6: Tensões de fase e de linha em um gerador trifásico. Às vezes a impedância dos enrolamentos é tão pequena em comparação com as outras impedâncias do circuito que pode ser desprezada; neste caso, o gerador pode ser representado exclusivamente por fontes de tensão ideais, como na Figura 7.5 e 7.6. Quando a impedância dos enrolamentos não pode ser desprezada, estes são representados por impedâncias em série com as fontes de tensão, Rw+jXw. Como os enrolamentos dos geradores trifásicos são todos iguais, as impedâncias são as mesmas para as três fases. A Figura 7.7 mostra o circuito de um gerador trifásico, conectado em Y, alimentando uma carga trifásica. No circuito do gerador é

Vab

Vbc

Vca + +

a

_ Vab

+

_

_ ~ ~

~ b

c

Vbc

Vca


6-6

desconsiderada a resistência em relação à reatância, e omitida a fonte interna de tensão para simplificação da figura.

(a)

(b) Figura 7.7: Geradores conectados em Y e Δ alimentando carga trifásica.

As tensões nos terminais dos enrolamentos do gerador são denominadas de tensões de fase, VF, e as correntes através dos enrolamentos são denominadas correntes de fase, IF. As correntes nas linhas conectando os enrolamentos do gerador à carga são denominadas de corrente de linha IL, e as tensões nos terminais das linhas são denominadas tensões de linha, VL. Note que em uma conexão Y a corrente de linha IL é igual à corrente de fase IF; observe ainda que duas magnitudes de tensão são disponibilizadas nos terminais do sistema trifásico tetrafilar: a tensão de fase, VF, e a tensão de linha, VL. Assim, no gerador equilibrado conectado em estrela tem-se que:

FL II = (7.5)

FL V3V = (7.6) Se os terminais dos geradores forem denominados a, b, c, e a lei de Kirchhoff aplicada ao nó n, tem-se a corrente no neutro dada por:

( ) ( )( )( )

1 2 3

120 120

1 0 1 120 1 120

1 3 1 31 02 2 2 2

n F F F a b c

a a a

a

a

I I I I I I I

I I I

I

I j j

= − + + = − + +

= − + ∠− + ∠+

= − ∠ + ∠− + ∠

⎛ ⎞= − − − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(7.7)

_

+

+

VL3

IL1

IL2 _ VL2IL3

+

VF1 VL1IF1

Carga

Trifásica

_

VF2

VF3

IF3 IF2 VF3

_ _ +

VF2

IL2

n

IF3

IL1

+

+ IF2

Carga

Trifásica

IL3

VL3 VL2

IF1 VL1

_ VF1


6-7

A Equação 7.7 demonstra que em um sistema equilibrado a corrente que circula no neutro é nula. Examinando a Figura 7.7.(b) é visto que as tensões de fase são iguais às tensões de linha em um gerador conectado em Δ, entretanto as correntes de linha diferem das correntes de fase. Considerando as correntes de fase Iab, Ibc, e Ica, representadas por sub-índices duplos, definidas como:

AIII

AIII

AIII

caFca

bcFbc

abFab

120120

120120

00

3

2

1

+∠=+∠=

−∠=−∠=

∠=∠=

(7.8)

As correntes de linha são obtidas por:

bccac

abbcb

caaba

IIIIIIIII

−=−=−=

(7.9)

Segue-se que:

( )120

1 cos120 120

1 312 2

3 3 3 302 2

a ab ca

ab ab

ab

ab

ab ab

I I I

I I

I jsen

I j

I j I A

= −

= − ∠+

= − −

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − = ∠−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.10)

Como as correntes são equilibradas, resulta para Ib e Ic:

3 150b bc ab abI I I I A= − = ∠− (7.11)

3 90c ca bc abI I I I A= − = ∠+ (7.12) O diagrama fasorial para as correntes de fase e de linha é mostrado na Figura 7.8.

a

b

c

Iab Ica

Ibc

Ia

Ib

Ic


6-8

Figura 7.8: Diagrama fasorial das correntes de fase em relação às tensões de

fase (a) e das correntes de linha e de fase (b) em uma conexão delta. Pelas Equações de 7.10 a 7.12 é visto que a magnitude da corrente de linha é √3 vezes maior que a corrente de fase e que há um ângulo de fase de 30º entre cada corrente de linha e a corrente de fase mais próxima. 7.3.1. Análise de Sistema Trifásico Como as fontes e cargas trifásicas podem ser ligadas em Y e Δ, o circuito formado por fonte e carga pode assumir quatro diferentes configurações básicas:

Fonte Carga Y Y Y Δ Δ Y Δ Δ

7.3.1.1. Sistema Y-Y

A Figura 7.9 mostra uma fonte conectada em Y alimentando uma carga conectada em Y. Os blocos Za, Zb e Zc representam impedâncias da carga, as quais podem ser resistivas, reativas ou ambos. A carga é balanceada de modo que Za=Zb=Zc. As impedâncias dos cabos que interligam a fonte à carga são desconsideras.

θ Vab

Vbc

Vca

Ibc Iab

Ica

(a)

-30º Iab

Ibc

Ica

-Ica Ia

(b)


6-9

Figura 7.9: Fonte conectada em Y alimentando carga conectada em Y.

Quando uma carga equilibrada (Za=Zb=Zc) conectada em Y é alimentada por uma fonte equilibrada conectada em Y, pode-se afirmar que a corrente da carga é obtida pela tensão de fase (Va, Vb, Vc) da fonte aplicada sobre a impedância da carga.

7.3.1.2. Sistema Y-Δ Figura 7.10: Fonte conectada em Y alimentando carga conectada em Δ. Quando uma carga equilibrada em Δ é alimentada por tensões de linha equilibradas, tem-se que:

0

120

120

ab

bc

ca

V V

V V

V V

= ∠

= ∠−

= ∠+

(7.13)

As correntes de fase são obtidas por: ab

abab

bcbc

bc

caca

ca

VIZVIZVIZ

=

=

=

(7.14)

A soma das correntes de fase é dada por:

_

+ Vb

a

b +

_ _ _

+

IabVa +

Ib

Ic Vc

Ia

Ib

Ic

Ia

Vb

Zab

Zbc ZcaIbc

Ica

Vab

VbcVca

c

_

+

+Ib

Ic Vc

Ia

Ib

Ic

_ Ia

Va Za

__ _

+

+ +Zb

Zc

Vb Va

Vc

a

b

c


6-10

ab bc caab bc ca

ab bc ca

V V VI I IZ Z Z

+ + = + + (7.15)

Como a carga é equilibrada, tem-se que Zab=Zbc=Zca=Z, e a corrente no interior do delta:

( )

( )

1

1 0 120 120

1 3 1 31 02 2 2 2

ab bc ca ab bc caI I I V V VZ

V V VZV

j jZ

+ + = + +

= ∠ + ∠− + ∠−

⎛ ⎞= − − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(7.16)

A equação (7.16) mostra que em condição de equilíbrio de carga e fonte não há circulação de corrente no interior do delta.

7.3.1.3. Sistema Δ-Y

Figura 7.11: Fonte conectada em Δ alimentando carga conectada em Y.

7.3.1.4. Sistema Δ-Δ

Figura 7.12: Fonte conectada em Δ alimentando carga conectada em Δ. 7.3.2. Potência em Sistemas Trifásicos Nos circuitos trifásicos equilibrados a potência instantânea total é dada pela soma das potências instantâneas de cada fase. Assim,

_

Iab

Ia

Ib

+

Vbc

Iab

Zbc ZcaIbc

Ica

_

_

a

+Vab

Ic

+ Ica

Ibc Vca Vca

Vbc

ZabVab

b

c

_

_

Vab

Ia

Ib

Ic

+

+

+

Vbc Ica

_

Iab Za

__ _

+

+ +Zb

Zc

Ib Ia

Ic

Ibc Vca

a

b

c


6-11

( ) ( )( ) ( )( ) ( )120tcos120tcosIVip

120tcos120tcosIVip

tcostcosIVip

ppccc

ppbbb

ppaaa

+−⋅+=⋅=

−−⋅−=⋅=

−⋅=⋅=

θωωυ

θωωυ

θωωυ

(7.17)

em que Vp e Ip representam a tensão e corrente máxima de fase. A potência instantânea total é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

θθθωω

θωωθωωφ

cos3cos5,1120cos120cos

120cos120coscoscos3

EFEFpp

pp

cba

IVIVtt

ttttIV

pppp

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−⋅++

−−⋅−+−⋅=

++=

(7.18)

Figura 7.13: Potência instantânea nas fases a, b e c e potência total. Para uma única fase, a potência instantânea é dada por:

( ) ( )

( )

( )

1 cos cos

cos cos 22 2

cos 1 cos 2 2

p p

p p p p

EF EF EF EF

p V I t t

V I V It

V I t V I sen sen t

φ ω ω θ

θ ω θ

θ ω θ ω

= −

= − −

= ⋅ − − ⋅

(7.19)

As Equações 7.18 e 7.19 revelam que enquanto a potência instantânea monofásica varia no tempo, com uma variação de freqüência dupla em relação ao tempo e valor médio igual a VEF.IEF.cosθ, a potência instantânea trifásica equilibrada, sob

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000Potências pa,pb,pc,pT

tempo


6-12

condições de regime permanente, é constante no tempo, cujo valor médio é definido como três vezes o valor médio da potência monofásica, 3.VEF.IEF.cosθ.

7.3.2.1. Potência em Sistema Conectado em Y

Para um gerador conectado em Y, a potência entregue pela máquina é dada por:

( )

* * *3

3

33

3 cos 3

a a b b c c

a a b b c c

a a

aba

ab a ab a

S V I V I V I

V I V I V I

V I

VI

V I jsen V I

φ

θ θ θ

θ

θ

θ θ θ

= + +

= ∠ + ∠ + ∠

= ∠

= ∠

= + ≡ ∠

(7.20)

Considerando que a potência aparente complexa trifásica é definida como:

φφφ 333 jQPS += (7.21) tem-se que a potência útil e reativa entregue por um gerador conectado em Y é igual a:

θφ cosIV3P LL3 = (7.22)

θφ senIV3Q LL3 = (7.23) em que |VL| e |IL| representam as magnitudes da tensão e da corrente de linha do sistema equilibrado. Vale salientar que θ é o ângulo entre a tensão de fase e a corrente de fase e não entre a tensão de linha e corrente de linha. A abertura angular θ entre a tensão de fase e a corrente de fase define o sentido de fluxo da potência útil e reativa como demonstrado no Capítulo 4, seção 4.10. Da Equação 7.20 verifica-se que a magnitude da potência aparente é dada por:

θVa

Vb

Vc

Ib Ia

Ic

n


6-13

( )FF

FF

LL3

IV3

IV33

IV3S

=

⋅=

=φ

(7.24)

Em que |VF| e |IF| representam valores eficazes de fase. Com base na Equação 7.22 e 7.23 tem-se que:

( ) ( ) 2

3222

LL23

23 ScossenIV3QP φφφ θθ =+⋅=+ (7.25)

Assim,

23

233 QPS φφφ += (7.26)

7.3.2.2. Potência em Sistema Conectado em Δ

Para um gerador conectado em delta, a potência trifásica entregue pelo gerador é calculada por:

( )θθ

θ

θ

θθθφ

jsencosIV33

IV3

IV3

IVIVIV

IVIVIVS

aab

aab

abab

cacabcbcabab

*caca

*bcbc

*abab3

+=

∠=

∠=

∠+∠+∠=

++=

(7.27)

Assim,

θ

θφ

cosIV3

cosIV3P

FF

LL3

=

= (7.28)

e

θ

θφ

senIV3

senIV3Q

FF

LL3

=

= (7.29)

7.3.3. Fator de Potência de Deslocamento O fator de potência de deslocamento de um sistema trifásico equilibrado é definido pela relação entre a potência útil trifásica e a potência aparente trifásica. Assim,

a

b

c

IabIca

Ibc

Ia


6-14

φ

φ

3

3

SP

FPD = (7.30)

Pela Equação 7.24 e 7.28 tem-se que:

θcosFPD = (7.31) O fator reativo é definido pela relação da potência reativa e da potência aparente, assim,

3

3

QFR sen

Sφ

φ

θ= = (7.32)

O ângulo θ das Equações 7.31 e 7.32 representa a abertura angular entre a tensão de fase e a corrente de fase, independente de ser a conexão Δ ou Y. 7.3.4. Medição de Potência em Circuitos Trifásicos O instrumento básico usado para medir potência útil em circuitos trifásicos é o Wattímetro. O wattímetro eletromecânico contém duas bobinas. A primeira, chamada bobina de corrente, é estacionária e recebe uma corrente proporcional à carga. A segunda, chamada bobina de potencial, é móvel e recebe uma corrente proporcional à tensão na carga. O wattímetro acusa uma leitura proporcional ao produto da corrente através da bobina de corrente pela tensão aplicada à bobina de potencial e pelo co-seno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente. A Figura 7.13 mostra os símbolos básicos e a conexão de um wattímetro medindo a potência de uma carga. O resistor em série com a bobina de tensão limita a corrente através da bobina a uma pequena parcela proporcional à tensão aplicada à bobina. Note na Figura 7.13 (b) que o terminal positivo da bobina de corrente deve ser conectado na direção da fonte e o terminal positivo da bobina de potencial deve ser ligado ao outro terminal da bobina de corrente para que haja uma medição correta do sentido da potência medida.


6-15

(a)

(b) Figura 7.13: Esquema de um wattímetro (a) e um wattímetro medindo potência

de uma carga.

7.4.1.1. Método dos Três Wattímetros Com três wattímetros é possível a leitura da potência em uma carga trifásica balanceada ou desbalanceada, conectada em Y ou em Δ. A Figura 7.14 mostra a medição da potência em uma carga conectada em Y e em Δ.

Figura 7.14: Medição de potência trifásica com três wattímetros em carga Y e Δ.

A potência total é determinada pela soma da medição de cada wattímetro.

3213 PPPP ++=φ (7.33) Para uma carga balanceada, a potência total é simplesmente três vezes a leitura de um wattímetro.

BC

BP +

+

1 2

3

4

VF

+3

4

1

BP+

2 BC

RL


6-16

Em muitas cargas trifásicas, particularmente cargas em Δ, não é exeqüível interromper as fases da carga em Δ para ligação do instrumento. Para a carga em Y, é necessário levar-se a ligação ao ponto neutro. Este ponto não é sempre acessível. Daí ser geralmente empregado um outro método que faz uso de apenas dois wattímetros para medir potência trifásica.

7.4.1.2. Método dos Dois Wattímetros Este método é aplicável para ligações trifásicas a três fios (3 fases) equilibradas ou não. A conexão de dois wattímetros a uma carga trifásica quer conectada em Y ou Δ é mostrada na Figura 7.15.

Figura 7.15: Método dos dois wattímetros.

Note que a bobina de tensão de cada wattímetro é conectada à tensão de linha e que através da bobina de corrente circula a corrente de linha. A mesma recomendação apresentada em relação à polaridade das bobinas de corrente e de potencial deve ser observada na conexão de mais de um wattímetro, i.é., polaridade positiva da bobina de corrente ligada à fonte e polaridade positiva da bobina de tensão ligada ao outro terminal da bobina de corrente, terminal junto à carga.

2

4

2

W2

W1

Carga Y ou Δ

VL

VL1

1

3

4 3

IL

IL

a

b

c


6-17

Figura 7.16: Diagrama fasorial de tensões e correntes com a fase b como referência.

Considerando que a fase ‘b’ é a fase comum à ligação das bobinas de potencial de ambos wattímetros, tem-se que:

( )( )

( )( )( )

( )

1

2

cos cos 30

cos 30

cos cos 30

cos 30

cb

c

ab

a

Vcb c cb cI

cb c

Vab a ab aI

ab a

W V I V I

V I

W V I V I

V I

δ θ

θ

δ θ

θ

= = − − −

= −

= = − −

= +

(7.34)

O ângulo θ representa o ângulo da impedância da carga ou o defasamento entre a tensão de fase e a corrente de fase da carga. Como a carga é equilibrada, tem-se que:

( )( )

1

2

cos 30

cos 30

L L

L L

W V I

W V I

θ

θ

= −

= + (7.35)

A soma das leituras dos wattímetros W1 e W2,

( )1 2 cos30 cos 30 cos30 cos 30

2 cos cos30

3 cos

L L

L L

L L

W W V I sen sen sen sen

V I

V I

θ θ θ θ

θ

θ

+ = + + −

=

=

(7.36)

Portanto, a soma algébrica da leitura dos dois wattímetros mede corretamente a potência num sistema trifásico de qualquer fator de potência.

-θ

-θ

Vbn

Ia

30º Van

Vcn

Vab

Vcb

Ic -30º


6-18

Se a fase comum fosse a fase ‘c’, ter-se-ia como diagrama fasorial e leitura dos wattímetros W1 e W2:

Figura 7.17: Diagrama fasorial de tensões e correntes com a fase c como referência.

( )( ) ( )

( )( ) ( )30cos30coscos

30cos30coscos

2

1

+=−−==

−=−−−==

θθδ

θθδ

LLbbcV

Ibbc

LLaacV

Iaac

IVIVIVW

IVIVIVWbc

b

ac

a (7.37)

cuja soma é igual a da Equação 7.36. Se a fase ‘a’ fosse considerada como referência, então:

Figura 7.18: Diagrama fasorial de tensões e correntes com a fase a como referência.

Ia -θ 30º

-θ

Vbn

-30º

Van

Vcn

Vac

Vbc

Ic

Ib

Ia -30º

-θ

-θ

Vbn

30º

Van

Vcn

Vba

Vca

Ic

Ib


6-19

( )( ) ( )( )( ) ( )30cos30coscos

30cos30coscos

2

1

+=−−==

−=−−−==

θθδ

θθδ

LLccaV

Icca

LLbbaV

Ibba

IVIVIVW

IVIVIVW

ca

c

ba

b (7.38)

As leituras dos wattímetros W1 e W2 resultam em valores diferentes, na grande maioria das vezes. Em condição de equilíbrio, somente quando o fator de potência de deslocamento da carga for unitário, i.é., θ=0o, a leitura de W1 e W2 é igual, resultando na soma algébrica igual à potência útil total de √3|VL||IL|.

( )

( ) LLLL2

LLLL1

IV23300cosIVW

IV23300cosIVW

=+=

=−= (7.39)

Para a condição de fator de potência igual a ½, i.é., θ=60º, adiantado ou atrasado, a leitura em um dos wattímetros será nula. Quando FPD for igual a 0,5 adiantado, a leitura no wattímetro W2 é nula e a potência total é simplesmente igual à leitura de W1. Por outro lado, para um fator de potência igual a 0,5 atrasado, θ=-60º, a leitura no wattímetro W1 é nula.

( )( ) 03060cosIVW

IV233060cosIVW

LL2

LLLL1

=+=

=−= (7.40)

Para θ=90º (fator de potência nulo), a leitura de W1 e W2 é igual, porém de sinais contrários, resultando na soma algébrica igual a zero para a potência útil total.

( )

( ) LLLL2

LLLL1

IV213090cosIVW

IV213090cosIVW

−=+=

=−= (7.41)

É essencial no método dos dois wattímetros que os sinais corretos sejam dados às leituras dos mesmos, e que a soma seja feita algebricamente.

7.4.1.3. Volt-ampère Reativos Os volt-ampère reativos num circuito trifásico equilibrado podem ser expressos por:


6-20

( )( )30

30

2

1

−=

+=

θ

θ

senIVQ

senIVQ

ccb

aab (7.42)

A potência reativa total,

[ ]θ

θθθθφ

senIV3

cos30sen30cossencos30sen30cossenIV

QQQ

LL

LL

213

=

−++=

+=

(7.43)

A potência reativa pode também ser obtida a partir da diferença entre as leituras dos wattímetros, multiplicada por √3.

( )3 1 23Q W Wφ = − (7.44) Como a relação entre os volt-ampères reativos e a potência útil é igual à tgθ, segue-se que pela relação entre as equações que definem a potência reativa a partir da leitura do wattímetro dividida pela soma das leituras dos wattímetros, que define, por sua vez, a potência útil, tem-se:

( )1 2

1 2

3 W Wtg

W Wθ

−=

+ (7.45)

E consequentemente pode-se obter o fator de potência de deslocamento. 7.3.5. Vatagens dos Sistemas Trifásicos sobre os Monofásicos Todos os sistemas são comparados na base de uma determinada quantidade de potência transmitida a uma determinada distância com a mesma quantidade de perda e para a mesma tensão máxima entre condutores. Em todos os casos, o peso total de cobre será diretamente proporcional ao número de fios, uma vez que a distância é fixada e inversamente proporcional à resistência de cada fio. Como é suposto que fator de potência e tensão são iguais tanto para o sistema monofásico como para o trifásico, tem-se que:


6-21

θ

θ

φφ

φφ

cosVI3P

cosVIP

33

11

=

= (7.46)

Como

φφ

φφ

φφ

θθ

31

31

31

I3I

cosVI3cosVI

PP

=

=

=

(7.47)

Também, 3RI2RI 3

231

21 ×=× φφφφ (7.48)

ou

21

2I3I3

I2I3

RR

23

23

21

23

3

1 =×

==φ

φ

φ

φ

φ

φ (7.49)

43

21

23

RR

smonofásico condutores Ns trifásicocondutores N

Rsmonofásico condutores NR

s trifásicocondutores N

mofásico Cobre trifásicoCobre

3

1

1

3

=×=

×=

=

φ

φ

φ

φ

(7.50)

A relação acima mostra que a mesma quantidade de potência pode ser transmitida a uma determinada distância com uma determinada perda na linha com apenas três quartos da quantidade de cobre que seria necessário para a transmissão monofásica ou 1/4 a mais de cobre é necessário para a monofásica do que seria para a trifásica. Como visto na Equação 7.18 e 7.19, a potência trifásica é constante, enquanto a monofásica é pulsante; isto significa que máquinas motoras trifásicas apresentam um conjugado ou torque contínuo ( ωτ P= ) e as máquinas monofásicas, conjugado pulsante o que resulta em maior estresse para a máquina.

Profa Ruth P.S. Leão Email: [email protected] URL: www.dee.ufc.br/~rleao

Referências [1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits, 6th Ed. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-095997-9.927p. [2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos, LTC, 6a Edição, 2003. [3] Kerchner, R.M., Corcoran, G.F., Circuitos de Corrente Alternada, Porto Alegre, Globo, 1973.

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