SISTEMAS ESTRUTURAIS IIUniversidade Federal FluminenseDepartamento de Engenharia CivilSistemas Estruturais IIProf.: Eliane Maria Lopes CarvalhoMonitora: Daniela Ribeiro da Costa Silva

OBJETIVOS

Tipos de Estruturas

nmero de reaes de apoio=nmero de equaes de equilbrioESTRUTURAS ISOSTTICASSo estruturas que apresentam as mnimas condies de manuteno do equilbrio esttico diante da atuao de qualquer carregamento. A estrutura isosttica no apresenta reserva de segurana, por isso caso ocorra o rompimento de um de seus vnculos, a estrutura se tornar hipoesttica.Exemplo:Temos:3 Reaes de Apoio VA , VB e HB3 Equaes de Equilbrio FH = 0, FV = 0 e Mz = 0

As estruturas hipoestticas so aquelas que no possuem as condies mnimas de manuteno do equilbrio esttico diante da solicitao de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NO pode ser projetada, por serem inadmissveis para as construes devido sua INSTABILIDADE.ESTRUTURAS HIPOESTTICASnmero de reaes de apoionmero de equaes de equilbrio Exemplo:Temos:4 Reaes de Apoio VA, HA, VB e HB3 Equaes de Equilbrio FH = 0 , FV = 0 e Mz = 0

Solicitaes em Estruturas Isostticas Submetidas a Diferentes Tipos de Carregamentos

ESFOROS SIMPLESP1, P2, P3, P4 foras externasSeja um corpo submetido a um conjunto de foras em equilbrio:Seo SED

CLCULO DOS ESFOROS NA SEO SSecciona-se o corpo por um plano que intercepta segundo uma seo S, dividindo-o em 2 partes: E e D.b) Para ser possvel esta diviso, preservando o equilbrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seo S, um sistema esttico equivalente ao das foras da parte retirada.c) Aplicando as equaes de equilbrio a qualquer das duas partes, obtm-se os esforos atuantes nas sees.Seo SED

Tipos de Esforos

ESFORO NORMALSoma algbrica das componentes, na direo normal seo, de cada uma das foras atuantes de um dos lados desta seo. O esforo normal pode ser de dois tipos: trao ou compresso.TraoCompressoConveno de Sinais:+-TraoCompressoNNNN

Concluso: um esforo cortante Qy ou Qz, positivo quando, calculando pelas foras situadas do lado esquerdo da seo, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas foras situadas do lado direito da seo, tiver os sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrrio, o esforo cortante ser negativo.Esforo Cortante NegativoEsforo Cortante PositivoEsforo Cortante em Relao ao eixo z:Esforo Cortante PositivoEsforo Cortante Negativo+QQQQ-Esforo Cortante NegativoEsforo Cortante PositivoEsforo Cortante em Relao ao eixo y:ESFORO CORTANTESoma vertical das componentes, sobre o plano da seo, das foras situadas em um dos lados desta seo, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforo cortante pode ocorrer em relao ao eixo y ou em relao ao eixo z.Conveno de Sinais:

MOMENTO TORORSoma algbrica dos momentos das foras situadas de um dos lados desta seo em relao ao eixo normal seo que contm o seu centro de gravidade.Momento Toror PositivoMomento Toror NegativoConveno de Sinais:Momento Toror PositivoMomento Toror Negativo+-TTTT

Bordo ComprimidoBordo TracionadoBordo ComprimidoBordo TracionadoMomento Fletor NegativoMomento Fletor em Relao ao eixo z:Momento Fletor PositivoMomento Fletor NegativoMomento Fletor em relao ao eixo y:Momento Fletor PositivoConveno de Sinais:Momento Fletor PositivoMomento Fletor Negativo+-mmmmBordo ComprimidoBordo TracionadoBordo ComprimidoBordo TracionadoSoma algbrica dos momentos das foras atuantes de um dos lados da seo em relao ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos da viga sofre trao e o outro bordo sofre compresso.Assim como o esforo cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x ou em torno do eixo y. MOMENTO FLETOR

RESUMINDO:No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforos simples:

a) Esforo Normal N;

b) Esforos Cortantes Qy e Qz;

c) Momento Toror T;

d) Mementos Fletores my e mz

OBSERVAO IMPORTANTE: No caso de estruturas planas, que apresentem carregamentos atuantes apenas no seu prprio eixo, temos a atuao somente dos seguintes esforos:

N Esforo Normal ( seja de trao ou de compresso)

Qy Esforo Cortante em relao ao eixo y

Mz Momento Fletor em relao ao eixo z

Conveno de Sinaispara a Elaboraode Diagramas

Esta a conveno de sinais que devemos utilizar para elaborar os diagramas de esforos solicitantes. Conveno Referente ao Sinal PositivoConveno Referente ao Sinal Negativo

Traado de Diagramas em Viga Isosttica Submetida a Carga Concentrada

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gnero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento L, est submetida a uma carga concentrada P. Clculo das Reaes de Apoio:FV =0 VA + VB = PMB = 0 VA . L P . b = 0, logo: VA = Pb/L MA = 0 VB . L P . A = 0, logo: VB = Pa/LConferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P OK

Clculo dos Esforos na Seo S1:Q1 = VA = Pb/L constantem1 = VA . x = Pb/L . x Equao de uma retaClculo dos Esforos na Seo S2:Q2 = VA P = VA ( VA + VB) = Pb/L (Pb/L +Pa/L) = Pb/L Pb/L Pa/L = - Pa/L ctem2 = VA . y P ( y a )= Pb/L . y P ( y a ) Equao de uma reta Calculando os esforos nas sees S1 e S2:B

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTE+-Pb LPa LO diagrama de esforo cortante deve ser traado seguindo o sentido das foras atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, inicialmente temos:- No ponto A, a fora cortante Pb/L para cima, - Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo.- E finalmente, no ponto B, a fora Pa/L para cima. Observe que o diagrama de esforo cortante de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas uma constante

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor:mA = 0 e mB = 0mC esquerda= VA. a = Pb/L . a = Pba/L Equao da retamC direita = VB . b = Pa/L . b = Pab/L Equao da retam mx = Pab L+Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas retilneo.

Traado de Diagramasem Viga Isosttica Submetida a Carga Uniformemente Distribuda

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gnero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento L, est submetida a uma carga uniformemente distribuda q. Clculo das Reaes de Apoio:FV =0 VA + VB = q . LMB = 0 VA . L qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2 MA = 0 VB . L qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL OKComo no h carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal, no existem reaes no eixo x. Portanto,neste caso no h diagrama de esforo normal.

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTEClculo do Esforo Cortante:

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor:

Traado de Diagramas em Vigas Inclinadas Submetidas a Carga Concentrada

AApresentamos uma estrutura bi apoiada com uma viga inclinada, sendo o apoio da esquerda de 20 gnero e o da direita de 10. Colocamos ainda uma carga concentrada q atuando na viga cujo comprimento L.

DIAGRAMA DE ESFORO NORMALClculo do Esforo Normal:

N(x) = -VA . sena + q . sena . x (equao da reta)

p/x = 0 NA = - qL . sena 2p/x = L NB = -qL . sena + q . sen a . x 2 NB = qL . sena 2+-qL sena 2qL sena 2

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTEClculo do Esforo Cortante:

Q(x) = VA . cosa q . cosa . x (equao da reta)

p/x = 0 QA = qL . cosa 2p/x = L QB = qL . cosa q . cosa . x 2 QB = -qL . cosa 2+-qL . cosa 2qL . cosa 2

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor:

m(x) = VA. cos a .x q.cos a . x . x 2m(x) = qL . cos a .x q.cos a . x 2 2

+q . cosa. L 8Clculo do Momento Mximo:m mx = qL/2 . cosa . L/2 q. cosa . . (L/2)m mx = q. cosa . L/4 q. cosa . L/8 = q.cosa . L/8

Carga Triangular

PS Clculo das Reaes de Apoio:FV =0 VA + VB = . P . LMB = 0 VA . L . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL/6L = PL/6 MA = 0 VB . L . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2 OKApresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gnero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento L, est submetida a uma carga triangular.

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTESClculo dos Esforos na seo S:PS/x = P/L PS = Px/L

Cortante:QS = VA . PS . x = PL/6 . Px/L . xQS = PL/6 Px/2L Parbola do 2 grau

PL6PL3+-B

DIAGRAMA DO MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor:mS = PL/6 . x . PS . x . x/3 = PL/6 . x . Px/L . x . x/3mS = PL/6 . x PX/6L Parbola do 3 grau Clculo do Momento Mximo: O momento mximo ocorre no ponto onde o cortante nulo, para que a seo S ocorra onde o cortante nulo, temos:QS = PL/6 Px/2L = 0 x = L/3 x = 0,577 . Lm mx = PL/6 . 0,577L P.(0,577L)/6Lm mx = 0,09622L - 0,032PL m mx = 0,064PL +m mx = 0,064PL0,064PL

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