Mtodos Numricos, Notas de aula, 2011.cDepartamento de Computao,
Universidade Federal de Ouro Preto.Sistemas
LinearesMarconeJamilsonFreitasSouza, DepartamentodeComputao,
InstitutodeCinciasExatas e Biolgicas, Universidade Federal de Ouro
Preto, 35400-000 Ouro Preto, MG, Bra-sil. Homepage:
http://www.decom.ufop.br/prof/marcone, E-mail:
[email protected] IntroduoPrope-se, nestecaptulo,
apresentarmtodosnumricospararesolversistemaslinearespostos na
forma:___a11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ + a2nxn=
b2...........................an1x1+ an2x2+ + annxn= bn(1.1)ou,
equivalentemente:n
j=1aijxj = bii = 1, 2, . . . , n (1.2)isto , resolveremos
sistemas lineares nos quais o nmero de equaes igual ao de
incg-nitas.Na forma matricial, um sistema linear representado porAx
= b, em que:A =__a11a12 a1na21a22 a2n............an1an2 ann__Matriz
dos coecientesx =__x1x2...xn__Vetor das variveis (ou incgnitas)b
=__b1b2...bn__Vetor dos termos
independentescomumtambmrepresentarosistemaAx=bpelasuamatrizaumentada,isto,por:[A
| b] =__a11a12 a1n| b1a21a22 a2n| b2............ |...an1an2 ann|
bn__Matriz aumentada do sistema2 Marcone Jamilson Freitas
SouzaDenio: Denomina-se vetor soluo (ou simplesmente soluo) de uma
sistema Ax = b,e denota-se por x = [ x1, x2, , xn]t, ao vetor das
variveis que contm os elementos xj,j = 1, , n, que satisfazem a
todas as equaes do sistema.2 Classicaodeumsistemacomrelaoaonmerode
soluesCom relao ao nmero de solues, um sistema linear pode ser
classicado em:(a) Compatvel e determinado: Quando houver uma nica
soluo;(b) Compatvel e indeterminado: Quando houver uma innidade de
solues;(c) Incompatvel: Quando o sistema no admitir soluo;3
Sistemas Triangulares3.1 Sistema Triangular SuperiorDenomina-se
sistema triangular superior a todo sistemaAx =b em queaij= 0 j i,
ouseja, a sistemas da forma:___a11x1= b1a21x1+ a22x2=
b2...............an1x1+ an2x2+ + annxn= bn(3.5)Tais sistemas
soresolvidos por substituies progressivas atravs deequaes
daforma:xi =bii1
j=1aijxjaiii = 1, . . . , n (3.6)3.2.1 Discusso da Soluo1. Seaii
= 0i = Sistema compatvel e determinado;2. Seaii = 0 para algum i h
dois casos a considerar:(a) Sebii1
j=1aijxj = 0 = Sistema compatvel e indeterminado(b) Sebii1
j=1aijxj = 0 = Sistema incompatvel3.2.2
AlgoritmoOpseudocdigodoprocedimentopararesolverumsistematriangularinferiorpormeiode
substituies progressivas mostrado na Figura 2. Supe-se neste
procedimento queaii = 0i.4 Marcone Jamilson Freitas
Souzaprocedimento SubstituicaoProgressiva(n,A,b,x);1 parai de 1 atn
faa2 SOMA 0;3 paraj de 1 ati 1 faa4 SOMA SOMA +aij xj;5 m-para;6 xi
(biSOMA)/aii;7 m-para;8 Retornex; { Retorne o vetor soluo }m
SubstituicaoProgressiva;Figura 2: Algoritmo para resolver sistemas
triangulares inferiores4 Mtodos NumricosOs mtodos numricos
destinados a resolver sistemas lineares so divididos em dois
grupos:os mtodos diretos e os mtodos iterativos.5 Mtodos DiretosSo
mtodos que produzem a soluo exata de um sistema, a menos de erros
de arredon-damento, depois de um nmero nito de operaes
aritmticas.Com esses mtodos possvel determinar, a priori, o tempo
mximo gasto para resolverum sistema, uma vez que sua complexidade
conhecida.AclssicaRegradeCramer, ensinadanoensinomdio,
ummtododireto. En-tretanto, pode-se mostrar que o nmero mximo de
operaes aritmticas envolvidas naresoluodeumsisteman npor
estemtodo(n + 1)(n!n 1) +n. Assim, umcomputador que efetua uma
operao aritmtica em 108segundos gastaria cerca de 36dias
pararesolver umsistemadeordemn=15. Acomplexidadeexponencial
dessealgoritmo inviabiliza sua utilizao em casos prticos.O estudo
de mtodos mais ecientes torna-se, portanto, necessrio, uma vez que,
emgeral, os casos prticos exigem a resoluo de sistemas lineares de
porte mais elevado.Apresentaremos, aseguir, mtodosmaisecientes,
cujacomplexidadepolinomial,para resolver sistemas lineares. Antes,
porm, introduziremos uma base terica necessria apresentao de tais
mtodos.Transformaes elementares:
Denominam-setransformaeselementares asseguin-tes operaes efetuadas
sobre as equaes (ou linhas da matriz aumentada) de umsistema
linear:1. Trocar duas equaes:Li Lj;Lj Li;2. Multiplicar uma equao
por uma constante no-nula:Lj c Lj; c R, c = 03. Adicionar a uma
equao um mltiplo de uma outra equao:Lj Lj +c Li; c RSistemas
Lineares 5Sistemas equivalentes: Doissistemas Ax=be Ax=
bsedizemequivalentes seasoluo de um for tambm soluo do
outro.Teorema: Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando-se somente
transformaes elemen-taressobreasequaesdeAx=b, obtemosumnovosistema
Ax= b, sendoqueAx = b e Ax =b so equivalentes.5.1 Mtodo de GaussO
mtodo de Gauss consiste em operar transformaes elementares sobre as
equaes deum sistemaAx = b at que, depois den 1 passos, se obtenha
um sistema triangular su-perior, Ux = c, equivalente ao sistema
dado, sistema esse que resolvido por
substituiesretroativas.__a11a12 a1n| b1a21a22 a2n| b2............
|...an1an2 ann| bn__. .Ax=bTransf. Elem.__a
11a
12 a
1n| b
10 a
22 a
2n| b
2............ |...0 0 a
nn| b
n__. .Ux=c5.1.1 Descrio do MtodoPara descrevermos o mtodo,
consideraremos o sistema linear 4 4 abaixo.___7x1+ 4x2 2x3+ x4= 14,
3083x1+ 11x2+ 4x3 5x4= 25, 7442x1+ 3x2+ 8x3+ 2x4= 3, 87210x1 5x2+
x3 3x4= 36, 334(5.7)A resoluo deste sistema pelo mtodo de Gauss
envolve duas fases distintas. A pri-meira, chamadadefasedeeliminao,
consisteemtransformarosistemadadoemumsistematriangularsuperior.
Asegunda, chamadadefasedesubstituio, consisteemresolver o sistema
triangular superior atravs de substituies retroativas.Para aplicar
a primeira fase, utilizemos o quadro abaixo, onde cada grupo de
linhas re-presenta um passo (ou estgio) da obteno do sistema
triangular superior. Trabalharemoscom 3 dgitos com arredondamento
na apresentao em ponto utuante.Tabela 1: Fase de
eliminaoLinhaMultiplicadores Coecientes Termos
Transformaesdasincgnitas Ind. ElementaresL(0)17 4 -2 1
14,308L(0)2m21= 3/7= 0, 429 3 11 4 -5 25,744L(0)3m31=2/7=0, 286 -2
3 8 2 -3,872L(0)4m41= 10/7= 1, 429 10 -5 1 -3 36,334L(1)20 9,284
4,858 -5,429 19,606 L(1)20, 429 L(0)1+ L(0)2L(1)3m32= 4, 144/9,
284= 0, 446 0 4,144 7,428 2,286 0,220 L(1)30, 286 L(0)1+
L(0)3L(1)4m42=10, 716/9, 284=1, 154 0 -10,716 3,858 -4,429 15,888
L(1)41, 429 L(0)1+ L(0)4L(2)30 0 5,261 4,707 -8,524 L(2)30, 446
L(1)2+ L(1)3L(2)4m43= 9, 464/5, 261= 1, 799 0 0 9,464 -10,694
38,513 L(2)41, 154 L(1)2+ L(1)4L(3)40 0 0 -19,162 53,848 L(3)41,
799 L(2)3+ L(2)46 Marcone Jamilson Freitas SouzaDetalhemos a Tabela
1. Nela constam 3 passos:Passok = 1:piv: a(0)11= 7Linha pivotal:
L(0)1Objetivo: zerar os elementos abaixo do piva(0)11 .Ao nal do
primeiro passo obtemos o sistemaA1x =b1equivalente ao sistema
dado,em que:[A(1)| b(1)] =__7 4 2 1 | 14, 3080 9, 284 4, 858 5, 429
| 19, 6060 4, 144 7, 428 2, 286 | 0, 2200 10, 716 3, 858 4, 429 |
15, 888__Passok = 2:piv: a(1)22= 9, 284Linha pivotal:
L(1)2Objetivo: zerar os elementos abaixo do piva(1)22 .Ao nal do
segundo passo obtemos o sistema A(2)x = b(2)equivalente ao sistema
dado,isto :[A(2)| b(2)] =__7 4 2 1 | 14, 3080 9, 284 4, 858 5, 429
| 19, 6060 0 5, 261 4, 707 | 8, 5240 0 9, 464 10, 694 | 38,
513__Passok = 3:piv: a(2)33= 5, 261Linha pivotal: L(2)3Objetivo:
zerar os elementos abaixo do piva(2)33 .Ao nal do terceiro passo
obtemos o sistema A(3)x = b(3)equivalente ao sistema dado:[A(3)|
b(3)] =__7 4 2 1 | 14, 3080 9, 284 4, 858 5, 429 | 19, 6060 0 5,
261 4, 707 | 8, 5240 0 0 19, 162 | 53, 848__Portanto, ao nal de 3
passos, o sistemaAx = b, expresso por (5.7), foi transformadono
seguinte sistema triangular superiorA3x = b3:___7x1+ 4x2 2x3+ x4=
14, 3089, 284x2+ 4, 858x3 5, 429x4= 19, 6065, 261x3+ 4, 707x4= 8,
524 19, 162x4= 53, 848(5.8)Terminada a fase de eliminao, passamos,
agora, fase de substituio, resolvendo osistema anterior atravs das
seguintes substituies retroativas:x4 =53,84819,162= 2, 810x3
=8,5244,707(2,810)5,261= 0, 894x2
=19,606+5,429(2,810)4,8580,8949,284= 0, 001x1
=14,30840,001+20,8942,8107= 2, 700Portanto, a soluo do sistema
:Sistemas Lineares 7 x =__2, 7000, 0010, 8942, 810__5.1.2 Avaliao
do Resduo/ErroO erro produzido por uma soluo x do sistema Ax = b
pode ser avaliado pela expresso: =max1in|ri| (5.9)sendori ai-sima
componente do vetor resduoR, o qual dado por:R = b A x (5.10)Para o
exemplo considerado, o vetor resduo :R = b A x =__14, 30825, 7443,
87236, 334____7 4 2 13 11 4 52 3 8 210 5 1 3____2, 7000, 0010,
8942, 810__ =__0, 0020, 0070, 0070, 015__Assim, o erro cometido
vale: =max1in|ri| =max1i4{|0, 002|, |0, 007|, | 0, 007|, |0, 015|}
= 0, 0155.1.3 AlgoritmoApresentamos, aseguir,
opseudocdigodoprocedimentorelativofasedeeliminaodomtododeGauss.
elesesegueoprocedimentodesubstituioretroativadescritopgina3.
Essealgoritmosupequeoselementosdiagonais(akk)sono-nulos. Nahiptese
de existir algumakk = 0, esse elemento deve ser colocado em outra
posio forada diagonal principal, por intermdio de operaes de troca
de linhas e/ou colunas.procedimento Eliminacao(n,A,b);1 parak de 1
atn 1 faa2 parai dek + 1 atn faa3 m aik/akk;4 paraj dek + 1 atn
faa5 aij aij +makj;6 m-para;7 bi bi +mbk;8 m-para;9
m-para;10RetorneA eb; { Retorne a matriz aumentada modicada }m
Eliminacao;Figura 3: Algoritmo da fase de eliminao do mtodo de
Gauss8 Marcone Jamilson Freitas SouzaTabela 2: Complexidade de pior
caso do Mtodo de GaussFase Divises Multiplicaes Adies Total1 n 1
n(n 1) n(n 1)2 n 2 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)............n 1 1 (2).(1)
(2).(1)Eliminaon(n1)213n313n13n313n23n312n276nn 0 + 1 + + (n 1) 0 +
1 + + (n 1)Substituio
nn(n1)2n(n1)2n2TOTAL12n2+12n13n3+12n256n13n3+12n213n23n3+32n276n5.1.4
ComplexidadeParaavaliaronmeromximodeoperaesaritmticasenvolvidasnaresoluodeumsisteman
npelomtododeGauss,mostra-se,pelaTabela2,acomplexidadedepiorcaso das
fases de eliminao e substituio.Como se observa, o mtodo de Gauss
tem complexidade polinomialO(n3). Um com-putador que faz uma operao
aritmtica em 108segundos gastaria 0, 0000257 segundospara resolver
um sistema 1515 (Um tempo innitamente inferior quele gasto pela
Regrade Cramer, conforme pgina 4).5.1.5 Observaes FinaisNo mtodo de
Gauss, os multiplicadores do passok da fase de eliminao so
calculadospela expresso:m(k)ik= a(k1)ika(k1)kki = k + 1, , n
(5.11)Observe que o piv dok-simo passo da fase de eliminao
semprea(k1)kk, isto , oelemento diagonal da matrizA(k1)do sistema
transformadoA(k1)x = b(k1)obtido nopasso anterior.Desvantagens do
mtodo de Gauss:(i) No pode ser aplicado quando o piv for nulo (akk
= 0);(ii)
Oserrosdearredondamentocometidosduranteumpassodaobtenodosistematriangular
se propagam para os passos seguintes, podendo comprometer a
validadeda soluo obtida.Para contornar o problema (i) e minimizar o
problema (ii), a ideia usar uma estratgiade pivoteamento, conforme
a seguir se descreve.5.2 O Mtodo de Gauss com Pivotao ParcialEsta
estratgia de pivoteamento consiste em:(i) No incio da etapakda
etapa de eliminao,escolher para piv o maior elemento,em mdulo,
dentre os coecientes:Sistemas Lineares 9a(k1)ik; i = k, k + 1, ,
n(ii) Trocar as linhask ei se necessrioExemplo: Resolver o sistema
a seguir, avaliando o erro cometido em cada caso:_0, 0002x1+ 2x2=
52x1+ 2x2= 6(5.12)(a) Pelo mtodo de Gauss(b) Pelo mtodo de Gauss
com pivotao parcialResoluo do item
(a):ATabela3apresentaafasedeeliminaodoMtododeGaussaplicadoaosistemalinear
5.12.Tabela 3: Fase de eliminao do Mtodo de Gauss do sistema
(5.12)Linha Multiplicadores Coecientes Termos
Transformaesdasincgnitas Ind. ElementaresL(0)10, 002 2 5L(0)2m21=
2/0, 002= 1042 2 6L(1)20 -19998 -49994 L(1)210000 L(0)1+ L(0)2Tendo
triangularizado a matriz dos coecientes do sistema (5.12), passemos
fase deresoluo do sistema triangular (5.13), o qual equivalente ao
sistema dado:_0, 0002x1+ 2x2= 519998x2= 49994(5.13)cuja soluo : x
=_0, 00012, 4999_Avaliemos o resduoR e o erro produzido por esta
soluo.R = b A x =_56__4, 99985_ =_0, 00021_ =max1in|ri| =max1i2{|0,
002|, |1|} = 1Resoluo do item (b):A Tabela 4 apresenta a fase de
eliminao do Mtodo de Gauss, com pivotao parcial,aplicado ao sistema
linear (5.12).Tendo triangularizado a matriz dos coecientes do
sistema (5.12), passemos fase deresoluo do sistema triangular
(5.14), que equivalente ao sistema dado:_2x1+ 2x2= 61, 9998x2= 4,
9994(5.14)cuja soluo :10 Marcone Jamilson Freitas SouzaTabela 4:
Fase de eliminao do Mtodo de Gauss c/ pivotao aplicado ao sistema
(5.12)Linha Multiplicadores Coecientes Termos
Transformaesdasincgnitas Ind. ElementaresL(0)10, 0002 2 5L(0)22 2
6L(0)
12 2 6 L(0)
1L(0)2L(0)
2m21= 0, 0002/2= 0, 0001 0,0002 2 5 L(0)
2L(0)1L(1)20 1,9998 4,9994 L(1)20, 0001 L(0)
1+ L(0)
2 x =_0, 50012, 4999_O resduoR e o erro produzido por esta soluo
so apresentados a seguir.R = b A x =_56__4, 99996, 0018_ =_0,
00010, 0018_ =max1in|ri| =max1i2{|0, 001|, | 0, 0018|} = 0,
0018Tais resultados mostram, claramente, a melhora obtida com a
tcnica de pivotao.Observamos, nalmente, que a escolha do maior
elemento em mdulo entre os candi-datos a piv faz com que os
multiplicadores, em mdulo, estejam entre zero e um, o queminimiza a
ampliao dos erros de arredondamento.Apresentamos, pela Figura 4,
pgina 11, o pseudocdigo do procedimento de
Gausscompivoteamentoparcial pararesolversistemaslineares.
Nesteprocedimento,Aamatriz aumentada do sistema, isto ,A = [A |
b].5.3 O Mtodo de Gauss com Pivotao CompletaNesta estratgia, no
incio do passo k da fase de eliminao escolhido para piv o
elementode maior mdulo dentre aqueles que ainda atuam no processo
de eliminao, isto :Piv = a(k1)rs=max i,jk|a(k1)ij|;Assim,aps
localizado o maior elemento em mdulo da matriz sob
transformao,necessrio pass-lo para a posioakk. Para tanto, so
feitas, se necessrio, uma troca delinhas
eumatrocadecolunasacadapassok.
Estaestratgia,entretanto,nomuitoempregada, pois envolve uma
comparao extensa entre os elementosa(k1)ij, i, j ketroca de linhas
e colunas para posicionar o piv. Todo este processo acarreta um
esforocomputacional bem maior que a estratgia de pivoteamento
parcial e nem sempre resultaem ganho signicativo na qualidade da
soluo produzida.5.4 O Mtodo da Decomposio LU5.4.1 IntroduoEm muitas
situaes, desejvel resolver vrios sistemas lineares nos quais a
matriz doscoecientes a mesma. Nesses casos, indicado resolver o
sistema linear Ax = b por umatcnica de decomposio da matriz A.
Dentre as tcnicas de decomposio mais utilizadas,destacamos a da
decomposio LU.Sistemas Lineares 11procedimento
GaussPivoteamentoParcial(n,A, x);1 parak de 1 atn 1 faa2 w |akk|;3
r k;4 parai dek atn faa5 se |aik| > w ento6 w |aik|;7 r i;8
m-se;9 m-para;10 paraj dek atn + 1 faa11 aux akj;12 akj arj;13 arj
aux;14 m-para;15 parai dek + 1 atn faa16 mik aik/akk;17 paraj dek +
1 atn + 1 faa18 aij aij +mikakj;19 m-para;20 m-para;21m-para;22 xn
an,n+1/ann;23parai den 1 at 1 passo 1 faa24 SOMA 0;25 paraj dei + 1
atn faa26 SOMA SOMA+aij xj;27 m-para;28 xi
(ai,n+1SOMA)/aii;29m-para;30Retornex; { Retorne o vetor soluo }m
GaussPivoteamentoParcial(n, A,x);Figura 4: Algoritmo do Mtodo de
Gauss com Pivoteamento ParcialPor esta tcnica,uma matrizA
decomposta como o produto de duas matrizesL eU, sendoL uma matriz
triangular inferior eU, uma matriz triangular superior, isto :A =
L.UDesta forma, podemos reescrever o sistemaAx = b na seguinte
forma:Ax = (L.U)x = L.(Ux) = bFazendo-se Ux = y podemos resolver o
sistema Ax = b em dois passos:Primeiramente,resolvemos o sistema
triangular inferior Ly = b, obtendo y como soluo. Em seguida,
comasoluo yobtidanopassoanterior,
resolvemososistematriangularsuperiorUx= y,obtendo xcomosoluo.
Emoutraspalavras,
decompomosaresoluodeumsistemalinearnaresoluodedoissistemastriangulares:
oprimeiro, triangularinferior,
queseresolvefacilmenteporsubstituiesprogressivas(bastaaplicaroAlgoritmodaFig.
2,12 Marcone Jamilson Freitas Souzaconsiderando elementos diagonais
unitrios) e o segundo, triangular superior, que se resolvepor
substituies retroativas (Algoritmo da Fig. 1).Antes de descrevermos
o mtodo da decomposio LU com detalhes, apresentaremosalguns
conceitos necessrios sua fundamentao.Denio:
SejaAumamatrizquadradadeordenn, no-singular, isto, det(A) =0.Diz-se
queA1 a inversa deA seAA1= A1A = I.Teorema 2: SeA eB so matrizes de
ordemn, inversveis, ento: (AB)1= B1A1Teorema 3: SeM(0)=__1 0 0m211
0m310 1__eM(1)=__1 0 00 1 00 m321__ento:(i) (M(0))1=__1 0 0m211
0m310 1__(ii) (M(1))1=__1 0 00 1 00 m321__5.4.2 Fatorao LU de uma
matrizOsfatores
LeUpodemserobtidosutilizando-seaideiabsicadoMtododeGauss.Mostremos
como isso pode ser feito fatorando-se uma matrizA genrica de ordem
3.Tabela 5: Fatorao LU de uma matrizLinha Multiplicadores
Coecientes Transformaesdas incgnitas
ElementaresL(0)1a(0)11a(0)12a(0)13L(0)2m21=
a(0)21/a(0)11a(0)21a(0)22a(0)23L(0)3m31=
a(0)31/a(0)11a(0)31a(0)32a(0)33L(1)20
a(1)22a(1)23L(1)2m21L(0)1+L(0)2L(1)3m32= a(1)32/a(1)220
a(1)32a(1)33L(1)3m31L(0)1+L(0)3L(2)30 0
a(2)33L(2)3m32L(1)2+L(1)3SejamA(0),A(1),A(2),M(0)eM(1)matrizes
denidas conforme a
seguir:A(0)=__a(0)11a(0)12a(0)13a(0)21a(0)22a(0)2na(0)31a(0)32a(0)33__
MatrizA originalA(1)=__a(0)11a(0)12a(0)130 a(1)22a(1)230
a(1)32a(1)33__ Matriz obtida ao nal do passok =
1A(2)=__a(0)11a(0)12a(0)130 a(1)22a(1)230 0 a(2)33__ Matriz obtida
ao nal do passok = 2Sistemas Lineares 13M(0)=__1 0 0m211 0m310
1__eM(1)=__1 0 00 1 00 m321__Observe que:M(0)A(0)=__1 0 0m211 0m310
1____a(0)11a(0)12a(0)13a(0)21a(0)22a(0)2na(0)31a(0)32a(0)33__=__a(0)11a(0)12a(0)13m21a(0)11+a(0)21m21a(0)12+a(0)22m21a(0)13+a(0)23m31a(0)11+a(0)31m31a(0)12+a(0)32m31a(0)13+a(0)33__=__a(0)11a(0)12a(0)130
a(1)22a(1)230 a(1)32a(1)33__ = A(1)De forma anloga podemos mostrar
queM(1)A(1)= A(2)Resumindo, temos:A(0)= AA(1)= M(0)A(0)A(2)=
M(1)A(1)..M(0)A(0)= M(1)M(0)A(0)..A= M(1)M(0)ALogo:A(2)=
M(1)M(0)APremultiplicando ambos os membros da expresso anterior
pela inversa deM(1)M(0),obtemos:(M(1)M(0))1A(2)=
(M(1)M(0))1M(1)M(0). .IA = IA = A A = (M(1)M(0))1A(2)=
(M(0))1(M(1))1A(2) A =__1 0 0m211 0m310 1__. .(M(0))1__1 0 00 1 00
m321__. .(M(0))1__a(0)11a(0)12a(0)130 a(1)22a(1)230 0 a(2)33__.
.A(2) A =__1 0 0m211 0m31m321__. .L__a(0)11a(0)12a(0)130
a(1)22a(1)230 0 a(2)33__. .UAssim, podemos concluir queA = LU,
sendo:(i) U a matriz triangular superior obtida ao nal da fase de
eliminao do mtodo deGauss;(ii) L uma matriz triangular inferior,
cujos elementos da diagonal principal so unitriose abaixo de cada
elemento diagonal lkk = 1 encontram-se os multiplicadores da etapak
da fase de eliminao com sinal trocado.14 Marcone Jamilson Freitas
Souza5.4.3 O Mtodo da Decomposio LUEste mtodo, tambm conhecido como
Mtodo de Doolittle, consiste na seguinte sequnciade passos:(i)
Obter a fatoraoLUda matrizA;(ii) FazerUx = y;(iii) Resolver o
sistema triangular inferiorLy = b;(iv) Obtida a soluo y do sistema
Ly = b, resolver o sistema triangular superior Ux = y.Exemplo:
Resolver pelo Mtodo da DecomposioLUo seguinte sistema
linear:___3x1+ 2x2+ 4x3= 1x1+ x2+ 2x3= 24x1+ 3x2 2x3= 3(5.15)(a)
Obteno da fatorao LU da matriz dos coecientes:Tabela 6: Fatorao LU
da matriz do sistema (5.15)Linha Multiplicadores Coecientes
Transformaesdas incgnitas ElementaresL(0)13 2 4L(0)2m21= 1/3 1 1
2L(0)3m31= 4/3 4 3 -2L(1)21/3... 1/3 2/3 L(1)2(1/3)
L(0)1+L(0)2L(1)3m32= (1/3)/(1/3) = 1 4/3... 1/3 -22/3 L(1)3(4/3)
L(0)1+L(0)3L(2)34/3 1... -8 L(2)31 L(1)2+L(1)3Logo:A(2)=__3 2 4. .
. . . .1/3... 1/3 2/3. . . . . . . . .4/3 1... 8__=L =__1 0 01/3 1
04/3 1 1__e U=__3 2 40 1/3 2/30 0 8__(b) Resoluo do sistemaLy =
b:___y1+ = 1 y1 = 1(1/3)y1+ y2= 2 y2 = 5/3(4/3)y1+ y2+ y3= 3 y3 = 0
y = _1 5/3 0 t(c) Resoluo do sistemaUx = y:___3x1+ 2x2+ 4x3= 1 x1 =
3(1/3)x2+ (2/3)x3= 5/3 x2 = 58x3= 0 x3 = 0Sistemas Lineares 15 x =
_ 3 5 0 tAobtenodosfatores L=[lij] (comdiagonal principal unitria)e
U=[uij] noMtodo de Doolittle pode ser realizada utilizando as
seguintes frmulas:u1j= a1jj = 1, , nuij= aij i1
k=1likukjj = i, , n; i 2li1=ai1u11i = 2, , nlij=1ujj_aij j1
k=1likukj_i = j + 1, , n; j 2Figura 5: Frmulas para obteno dos
fatores L e U5.5 O Mtodo da Decomposio LU com Pivotao ParcialPara
aplicar a estratgia de pivoteamento parcial ao Mtodo da
DecomposioLUfaz-senecessrio armazenar um vetor de
permutaoP.Mostremos atravs de um exemplo como o mtodo funciona.Seja
resolver o seguinte sistema linear:___3x1 4x2+ x3= 9x1+ 2x2+ 2x3=
34x1 3x3= 2(5.16)(a) FatoraoLU:Tabela 7: Fatorao LU da matriz do
sistema (5.16)Linha Multiplicadores Coecientes Transformaes
Vetordas incgnitas Elementares PermutaoL(0)13 -4 1 1L(0)21 2 2
2L(0)34 0 -3 3L(0)
14 0 -3 L(0)
1L(0)33L(0)2m21= 1/4 1 2 2 2L(0)
3m31= 3/4 3 -4 1 L(0)
3L(0)11L(1)21/4... 2 11/4 L(1)2(1/4) L(0)
1+L(0)22L(1)33/4... -4 13/4 L(1)3(3/4) L(0)
1+L(0)
31L(1)
23/4... -4 13/4 L(1)
2L(1)31L(1)
3m32= 2/(4) = 1/2 1/4... 2 11/4 L(1)
3L(1)22L(2)31/4 -1/2... 35/8 L(2)3(1/2) L(1)
2+L(1)
32Passok = 1:A matriz dos coecientes e o vetor de permutao
originais so:16 Marcone Jamilson Freitas SouzaA(0)=__3 4 11 2 24 0
3__; P(0)=__123__Dado que na colunak = 1 o maior elemento est na
terceira linha, devemos permutaras linhasL1 eL3, o que resultar na
seguinte matriz dos coecientes transformada:A(0)
=__4 0 31 2 23 4 1__; P(0)
=__321__ProsseguindocomoMtododeGauss,
obtemosaseguintematriztransformadaaonal do passok = 1:A(1)=__4 0
31/4 2 11/43/4 4 13/4__; P(1)=__321__Passok = 2:Analogamente,
dadoquenacolunak=2, omaiorelementoestnaterceiralinha,devemos
permutar as linhasL2eL3, o que resultar na seguinte matriz dos
coecientestransformada:A(1)
=__4 0 33/4 4 13/41/4 2 11/4__; P(1)
=__312__Encerrado o passok = 2 obteremos:A(2)=__4 0 33/4 4
13/41/4 1/2 35/8__; P(2)=__312__A partir da matrizA(2)extraimos as
matrizesL eU:L =__1 0 03/4 1 01/4 1/2 1__e U=__4 0 30 4 13/40 0
35/8__(b) Resoluo do sistemaLy = b:onde b o resultado da aplicao do
vetor de permutao ao vetorb.Aplicando P(2)= _3 1 2 tao vetor b = _9
3 2 t, obtemos: b = _ 2 9 3 t___y1+ = 2 y1 = 2(3/4)y1+ y2= 9 y2 =
21/2(1/4)y1 (1/2)y2+ y3= 3 y3 = 35/4 y = _ 2 21/2 35/4 t(c) Resoluo
do sistemaUx = y:___4x1+ 0x2 3x3= 2 x1 = 1 4x2+ (13/4)x3= 21/2 x2 =
1(35/8)x3= 35/4 x3 = 2 x = _1 1 2 tSistemas Lineares 175.6 Mtodo de
CholeskyEste mtodo se aplica quando a matriz dos coecientesA
simtrica (A = At) e denidapositiva(xtAx > 0 x = 0). Nestasituao,
amatriz Apodeser fatoradaemA = LU= LLt, sendo os elementoslijdeL
obtidos a partir das seguintes frmulas:l11=a11lii=aiii1
j=1l2iji = 2, , nli1=ai1l11i = 2, , nlij=1ljj_aij j1
k=1likljk_i = j + 1, , n; j 2Figura 6: Frmulas para obteno do
fator L do Mtodo de CholeskyConhecidoofatorL,
osistemaAx=LLt..y=bseresolveemdoispassos. Primei-ramente,resolvemos
o sistemaLy=b,obtendo ycomo soluo. A seguir,resolvemos osistemaLtx
= y, obtendo x como soluo.Observamos que em uma matriz denida
positiva todos os autovalores da matriz sopositivos, isto , so
positivas todas as razes do polinmio caracterstico det(AI) =
0).Devido estabilidade numrica da decomposio de uma matriz simtrica
denida po-sitiva, no se faz necessrio o uso da pivotao parcial na
decomposio de Cholesky.Exemplo: Seja resolver o seguinte sistema
linear pelo Mtodo de Cholesky:___4x1+ 2x2+ 14x3= 142x1+ 17x2 5x3=
10114x1 5x2+ 83x3= 155(5.17)Soluo:Procuremos coecienteslijtais
que:__4 2 142 17 514 5 83__. .A=__l110 0l21l220l31l32l33__.
.L__l11l21l310 l22l320 0 l33__. .LtResolvendo-o, obtemos:l11 =a11
=4 = 2 l21 =a21l11=22= 1 l31 =a31l11=142= 7l22 = _a22l221 =17 1 =
4l32 =1l22 (a32l31l21) =14 (5 7 1) = 3l33 = _a33l231l232 = _83
72(3)2= 5Conhecido o fatorL, resolvamos, agora, o sistema
triangular inferiorLy = b:__2 0 01 4 07 3
5____y1y2y3__=__14101155__18 Marcone Jamilson Freitas Souzacuja
soluo : y = _7 27 5 tO passo seguinte, agora, resolver o sistema
triangular superiorUx = Ltx = y:__2 1 70 4 30 0
5____x1x2x3__=__7275__cuja soluo : x = _3 6 1 t5.7 Renamento da
SoluoEm vista da possibilidade de existncia de erros gerados nos
clculos dos multiplicadores,em geral a soluo x(0)de um sistema
linearAx = b no exata.Procuremos, ento, uma soluo x(1)melhorque
x(0)na forma: x(1)= x(0)+ (0)(5.18)onde: x(0)=__ x(0)1 x(0)2...
x(0)n__; (0)=__(0)1(0)2...(0)n__isto , (0) a parcela de correo do
vetor x(0).Logo, podemos escrever:A x(1)= bA( x(0)+ (0)) = bA
x(0)+A(0)= bA(0)= b A x(0)= R(0) A(0)=R(0), isto,
paradeterminarmosaparceladecorreoA(0)bastaresolvermosumsistemalinearondeAamatrizdoscoecientesdosistemaoriginal
eR(0) o resduo produzido pela soluo x(0).Com isso, obteremos: x(1)=
x(0)+ (0)=__ x(0)1+(0)1 x(0)2+(0)2... x(0)n+(0)n__Evidentemente,
x(1)tambmpodenoserumaboa soluo. Nestecaso, procura-remos uma soluo
ainda melhor x(2),na forma: x(2)= x(1)+ (1),sendo a parcela
decorreo (2)obtida resolvendo-se o sistema A(1)= R(1), sendo R(1)o
resduo produzidopela soluo aproximada x(1).Este processo se repete
at que uma das seguintes condies seja satisfeita:(i) max1in|r(k)i|
< , onde a preciso estabelecida;Sistemas Lineares 19(ii) k >
ITERMAX, onde ITERMAX o nmero mximo de iteraes.Obs.: Dado o fato de
que no processo de renamento de uma soluo devem ser resolvidosvrios
sistemasA(k)=R(k), comk = 1, 2, , ITERMAX, sendo a matriz dos
coeci-entes a mesma, o mtodo mais indicado o da decomposio LU com
pivotao parcial.ExerccioResolva o sistema 5.19, a seguir, pelo
Mtodo da Decomposio LU retendo durante osclculos 3 casas decimais
(com truncamento). Rene a soluo at que max1in|r(k)i| < 0, 010ouk
> 2 iteraes.___3x1+ 5x2+ 3x3= 57x1 3x2+ x3= 10, 4162x1+ 4x2 5x3=
19, 652(5.19)(a) Obteno da fatorao LU da matriz dos coecientes:A
tabela 8 apresenta os passos relativos fatorao LU, sem pivotao, da
matriz doscoecientes do sistema (5.19).Tabela 8: Fatorao LU da
matriz do sistema (5.19)Linha Multiplicadores Coecientes
Transformaesdas incgnitas ElementaresL(0)13 5 3L(0)2m21= 7/3 = 2,
333 7 -3 1L(0)3m31= 2/3 = 0, 666 2 4 -5L(1)22,333... -14,665 -5,999
L(1)22, 333 L(0)1+ L(0)2L(1)3m32= (0, 670)/(14, 665)=0, 045
0,666... 0,670 -6,998 L(1)30, 666 L(0)1+ L(0)3L(2)30,666 -0,045...
-7,267 L(2)30, 045 L(1)2+ L(1)3Desta tabela resulta a seguinte
matriz:A(2)=__3 5 3. . . . . . . .2, 333... 14, 665 5, 999. . . . .
. . . . . . . . .0, 666 0, 045... 7, 267__ L =__1 0 02, 333 1 00,
666 0, 045 1__e U=__3 5 30 14, 665 5, 9990 0 7, 267__(b) Determinao
de x(0):(b.1) Resoluo do sistemaLy = b:___y1+ = 5 y1 = 52, 333y1+
y2= 10, 416 y2 = 1, 2490, 666y1 0, 045y2+ y3= 19, 652 y3 = 16,
26520 Marcone Jamilson Freitas Souza y = _5 1, 249 16, 265 t(b.2)
Resoluo do sistemaUx = y:___3x1+ 5x2+ 3x3= 5 x1 = 2, 238 14, 665x2
5, 999x3= 1, 249 x2 = 1, 000 7, 267x3= 16, 265 x3 = 2, 238 x(0)=
_2, 238 1, 000 2, 238 t(b.3) Avaliao deR(0):R(0)= b A x(0)=__510,
41619, 652____3 5 37 3 12 4 5____2, 2381, 0002, 238__ =__00, 0120,
014__Como max1i3|r(k)i| = 0, 014> 0, 010 devemos prosseguir com
o renamento da soluoatual x(0).(c) Determinao de x(1):Como x(1)=
x(0)+ (0), entoparacalcularanovasoluo x(1), devemosobteraparcela
(0), a qual obtida resolvendo-se o sistema linearA(0)= R(0).(c.1)
Resoluo do sistemaLy = R(0):___y1+ = 0 y1 = 02, 333y1+ y2= 0, 012
y2 = 0, 0120, 666y1 0, 045y2+ y3= 0, 014 y3 = 0, 014 y = _0 0, 012
0, 014 t(c.2) Resoluo do sistemaU(0)= y:___3(1)+ 5(2)+ 3(3)= 0 (1)=
0, 001 14, 665(2) 5, 999(3)= 0, 012 (2)= 0, 000 7, 267(3)= 0, 014
(3)= 0, 001 (0)= _ 0, 001 0, 000 0, 001 t(c.3) Determinao da nova
soluo x(1): x(1)= x(0)+ (0)=__2, 2381, 0002, 238__+__0, 0010, 0000,
001__ =__2, 2371, 0002, 237__(c.4) Avaliao deR(1):R(1)= b A
x(1)=__510, 41619, 652____3 5 37 3 12 4 5____2, 2371, 0002, 237__
=__0, 0000, 0060, 007__Como max1i3|r(k)i| = 0, 007 < 0, 010,
concluimos que x(1) a soluo do sistema (5.19)com a preciso
requerida.Sistemas Lineares 215.8 Mtodos IterativosTratam-se de
mtodos nos quais a soluo x de um sistema linearAx = b obtida
comolimitedeumasequnciadeaproximaes sucessivas x(0), x(1), x(2), ,
x(k), , sendodada uma aproximao inicial x(0), isto : x =limk
x(k)(5.20)5.8.1 Mtodo de JacobiSeja o sistema linearAx = b em sua
forma expandida:___a11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ + a2nxn=
b2...........................an1x1+ an2x2+ + annxn=
bnExplicitemosx1 na primeira equao,x2 na segunda equao e assim
sucessivamente.x1 =b1(a12x2 +a13x3 + +a1nxn)a11x2 =b2(a21x1 +a23x3
+ +a2nxn)a22...xn =bn(an1x1 +an2x2 + +an,n1xn1)annO mtodo de Jacobi
consiste na seguinte sequncia de passos:(i) Escolher uma aproximao
inicialx(0)=_x(0)1x(0)2 x(0)n_tarbitrria;(ii) Gerar aproximaes
sucessivas x(k)a partir de x(k1)com base nas seguintes equaesde
iterao:x(k)1=b1(a12x(k1)2+a13x(k1)3+
+a1nx(k1)n)a11x(k)2=b2(a21x(k1)1+a23x(k1)3+
+a2nx(k1)n)a22...x(k)n=bn(an1x(k1)1+an2x(k1)2+ +an,n1x(k1)n1)ann22
Marcone Jamilson Freitas SouzaSinteticamente, cada componente x(k)i
determinada com base na seguinte equao:x(k)i=bin
j=1j=iaijx(k1)jaiii = 1, 2, , n (5.21)Na forma matricial:x(k)=
J.x(k1)+D k = 1, 2, (5.22)sendoJeD denidas de acordo com (5.23) e
(5.24). A matrizJ conhecida comomatriz de iterao de Jacobi.J =__0
a12/a11a13/a11 a1n/a11a21/a220 a23/a22
a2n/a22...............an1/annan2/annan3/ann 0__(5.23)D
=__b1/a11b2/a22...bn/ann__(5.24)(iii) Interromper o processo quando
um dos critrios abaixo for satisfeito:(1) max1in|x(k)ix(k1)i| <
, onde a tolerncia permitida;(2) k > ITERMAX, onde ITERMAX o
nmero mximo de iteraes.Exemplo:Resolverosistema(5.25), aseguir,
pelomtododeJacobi usandocomoaproximaoinicial x(0)= _0 0 0
tecomocritriodeparada max1i3|x(k)i x(k1)i| 10 iteraes:___10x1+ 2x2+
x3= 7x1 15x2+ x3= 322x1+ 3x2+ 10x3= 6(5.25)(a) Equaes de
iterao:x(k)= J.x(k1)+D, onde:J =__0 2/10 1/101/15 0 1/152/10 3/10
0__D =__7/1032/156/10__Sistemas Lineares 23x(k)1=7
2x(k1)2x(k1)310x(k)2=32 x(k1)1x(k1)315x(k)3=6 2x(k1)13x(k1)210(b)
Determinao da soluo do sistema:k x(k)1x(k)2x(k)3Erro
=max1i3|x(k)ix(k1)i|0 0 0 0 -1 0,7000 -2,1333 0,6000 2,13332 1,0667
-2,0467 1,1000 0,50003 0,9993 -1,9889 1,0007 0,09934 0,9977 -2,0000
0,9968 0,01115 1,0003 -2,0004 1,0005 0,00376 1,0000 -1,9999 1,0000
0,0004Portanto, x = _1, 0000 1, 9999 1, 0000 t a soluo do sistema
(5.25) com pre-ciso < 0, 001.5.8.2 Convergncia do Mtodo de
JacobiSeja o sistemaAx = b posto na formax = Jx +D, ondeJ = (fij)nn
e:fij =_0 se i = jaij/ajjse i = jSe x a soluo deAx = b ento podemos
escrever: x = J x +D (5.26)Por outro lado, as equaes de iterao no
Mtodo de Jacobi so:x(k)= Jx(k1)+D k = 1, 2, (5.27)Fazendo (5.27) -
(5.26), obtemos:x(k) x = J_x(k1) x_k = 1, 2, (5.28)SejaE(k)= x(k) x
o erro cometido nak-sima iterao. Logo:E(k)= J.E(k1)k = 1, 2,
(5.29)Ou, em termos de componentes:24 Marcone Jamilson Freitas
Souza___e(k)1= 0e(k1)1+ f12e(k1)2+ f1ne(k1)ne(k)2= f21e(k1)1+
0e(k1)2+ f2ne(k1)n...............e(k)n= fn1e(k1)1+ fn2e(k1)n+
0e(k1)n(5.30)Aplicando propriedades de mdulo sobre as equaes do
sistema (5.30), obtemos:n
i=1|e(k)i| e(k1)1n
i=1i=1|fi1| +e(k1)2n
i=1i=2|fi2| + +e(k1)nn
i=1i=n|fin| (5.31)Teorema: (Critrio das colunas) condio suciente
para que o Mtodo de Jacobiconvirja que:|ajj| >n
i=1i=j|aij| j = 1, 2, , n (5.32)O critrio das colunas estabelece
que se os elementos diagonais forem dominantes nascolunas, ento o
Mtodo de Jacobi converge, independentemente da soluo
inicial.Provaremos, agora, esse fato.Prova:Hiptese: Os elementos
diagonais so dominantes nas colunasTese: e(k)i0, isto ,x(k) xA
partir da hiptese, isto , do fato de que:|ajj| >n
i=1i=j|aij| j = 1, 2, , npodemos escrever:n
i=1i=jaijajj < 1 j = 1, 2, , nn
i=1i=j|fij| < 1 j = 1, 2, , nSejan
i=1i=j|fij| < L < 1 j = 1, 2, , n. Levando esse resultado
na expresso (5.31),obtemos:n
i=1e(k)i Ln
i=1e(k1)i k = 1, 2, Fazendok = 1, 2, 3, podemos
escrever:Sistemas Lineares 25n
i=1e(1)i Ln
i=1e(0)in
i=1e(2)i Ln
i=1e(1)i L2n
i=1e(0)i...n
i=1e(k)i Lkn
i=1e(0)iTendo em vista que 0 < L < 1, ento fazendok ,
obteremos:limkn
i=1e(k)i 0Do resultado anterior extramos quee(k)i 0 = e(k)i 0i =
1, 2, , n. Assim,comoe(k)i=x(k)i xii, obteremos: x(k)i xi=x(k) x,
conformequeramosdemonstrar.5.8.3 Algoritmo do Mtodo de JacobiA
Figura 7, a seguir, apresenta o pseudocdigo do Mtodo de Jacobi. Tol
a tolernciaadmitida, ITERMAX o nmero mximo de iteraes permitida ex
o vetor soluo, oqual comea com uma aproximao inicial.26 Marcone
Jamilson Freitas Souzaprocedimento Jacobi(n, A, b, ITERMAX, Tol,
x);1 PARE FALSE;2 k 0;3 erro ;4 enquanto (k < ITERMAXe erro Tol)
faa5 erro 0;6 parai de 1 atn faa7 xanti xi;8 m-para;9 parai de 1
atn faa10 soma 0;11 paraj de 1 atn faa12 se (j = i) ento soma
soma+aij xantj;13 m-para;14 xi (bisoma)/aii;15 se (|xixanti| >
erro) ento16 erro |xixanti|;17 m-se;18 m-para;19 k k +
1;20m-enquanto;21se (erro< Tol ) ento22 Retornex; { Retorne o
vetor soluo }23seno24 Imprima: No houve convergncia em
ITERMAXiteraesm JacobiFigura 7: Algoritmo do Mtodo Iterativo de
Jacobi5.8.4 Mtodo de Gauss-SeidelEste mtodo difere do anterior
apenas com relao s equaes de iterao, as quais
so:x(k)1=b1(a12x(k1)2+a13x(k1)3+
+a1nx(k1)n)a11x(k)2=b2(a21x(k)1+a23x(k1)3+
+a2nx(k1)n)a22x(k)3=b3(a31x(k)1+a32x(k)2+
+a3nx(k1)n)a33...x(k)n=bn(an1x(k)1+an2x(k)2+
+an,n1x(k)n1)annSinteticamente:Sistemas Lineares 27x(k)i=bii1
j=1aijx(k)jn
j=i+1aijx(k1)jaiii = 1, 2, , n (5.33)Na forma matricial, o Mtodo
de Gauss-Seidel pode ser posto na forma:x(k)= Lx(k)+Ux(k1)+D
(5.34)sendo:L =__0 0 0 0a21/a220 0 0a31/a33a32/a330
0...............an1/annan2/annan3/ann 0__U=__0 a12/a11a13/a11
a1n/a110 0 a23/a22 a2n/a220 0 0 a31/a33...............0 0 0 0__D
=__b1/a11b2/a22...bn/ann__A equao (5.34) pode ser escrita na
formax(k)=Gx(k1)+ D. De fato, a partir de(5.34), podemos
escrever:x(k)Lx(k)= Ux(k1)+D(I L) x(k)= Ux(k1)+Dx(k)= (I L)1U.
.Gx(k1)+ (I L)1D. .D x(k)= Gx(k1)+D.AmatrizG, dadapelaequao(5.35),
achamadamatrizdeiteraodeGauss-Seidel.G = (I L)1U
(5.35)Exemplo:Resolverosistemaabaixo(queomesmosistema5.25usadoparaexemplicaroM-tododeJacobi)peloMtododeGauss-Seidel
usandocomoaproximaoinicial x(0)=_0 0 0 te como critrio de parada
max1i3|x(k)ix(k1)i| < 0, 001 ouk > 10 iteraes:___10x1+ 2x2+
x3= 7x1 15x2+ x3= 322x1+ 3x2+ 10x3= 628 Marcone Jamilson Freitas
Souza(a) Equaes de iterao:x(k)= Lx(k)+Ux(k1)+D, onde:L =__0 0 01/15
0 02/10 3/10 0__, U=__0 2/10 1/100 0 1/150 0 0__e D
=__7/1032/156/10__x(k)1=7 2x(k1)2x(k1)310x(k)2=32
x(k)1x(k1)315x(k)3=6 2x(k)13x(k)210(b) Determinao da soluo do
sistema:k x(k)1x(k)2x(k)3Erro =max1i3|x(k)ix(k1)i|0 0 0 0 -1 0,7000
-2,0867 1,0860 2,08672 1,0087 -1,9937 0,9964 0,30873 0,9991 -2,0003
1,0003 0,00964 1,0000 -2,0000 1,0000 0,0009Portanto, x = _1, 0000
2, 0000 1, 0000 t a soluo do sistema (5.25) com pre-ciso < 0,
001.5.8.5 Algoritmo do Mtodo de Gauss-SeidelAFigura8, aseguir,
apresentaopseudocdigodoMtododeGauss-Seidel. Tol atolerncia
admitida, ITERMAX o nmero mximo de iteraes permitida ex o
vetorsoluo, o qual comea com uma aproximao inicial.5.8.6
Convergncia dos Mtodos IterativosPara os mtodos iterativos de
Jacobi e Gauss-Seidel so vlidos os seguintes critrios
deconvergncia:CRITRIO DAS COLUNAS: condio suciente para que um
sistema linear con-virja usando um mtodo iterativo que:|ajj|
>n
i=1i=j|aij| j = 1, 2, , nAlm do mais, quanto mais prximo de zero
estiver a relao max1jn
ni=1i=j|aij||ajj|, maisrpida ser a convergncia.Sistemas Lineares
29procedimento Gauss-Seidel(n, A, b, ITERMAX, Tol, x);1 PARE
FALSE;2 k 0;3 erro ;4 enquanto (k < ITERMAXe erro Tol) faa5 erro
0;6 parai de 1 atn faa7 xant xi;8 soma 0;9 paraj de 1 atn faa10 se
(j = i) ento soma soma+aij xj;11 m-para;12 xi (bisoma)/aii;13 se
(|xixant| > erro) ento14 erro |xixant|;15 m-se;16 m-para;17 k k
+ 1;18m-enquanto;19se (erro< Tol ) ento20 Retornex; { Retorne o
vetor soluo }21seno22 Imprima: No houve convergncia em
ITERMAXiteraesm Gauss-SeidelFigura 8: Algoritmo do Mtodo Iterativo
de Gauss-SeidelCRITRIO DAS LINHAS: condio suciente para que um
sistema linear convirjausando um mtodo iterativo que:|aii|
>n
j=1j=i|aij| i = 1, 2, , nAlm do mais, quanto mais prximo de zero
estiver a relao max1in
nj=1j=i|aij||aii|, maisrpida ser a convergncia.CRITRIO DE
SASSENFELD: Sejai =i1
j=1(|aij| j) +n
j=i+1|aij||aii|(5.36) condio suciente para que um mtodo
iterativo convirja, que: =max1ini< 1Alm disso, quanto menor for
mais rpida ser a convergncia.30 Marcone Jamilson Freitas
SouzaCRITRIO DO RAIO ESPECTRAL:
condionecessriaesucienteparaqueummtodoiterativoconvirjaque (F)
|a21| +|a31| = |1| +|2| = 3|a22| = | 1| = 1 > |a12| +|a32| = |1|
+|0| = 2|a33| = |3| = 3 > |a13| +|a23| = |2| +|1| = 3Como o
critrio das colunas no vericado para as colunas 1 e 2 (bastava que
no fossesatisfeito para uma nica coluna), concluimos que esse
critrio no garante convergnciase usarmos um mtodo iterativo.(b)
Critrio das linhas:|a11| = |3| = 3 > |a12| +|a13| = |0| +|1| =
1|a22| = | 1| = 1 > |a21| +|a23| = |1| +|0| = 1|a33| = |3| = 3
> |a31| +|a32| = |2| +|1| = 3Como o critrio das linhas no
vericado para as linhas 2 e 3, concluimos que no hgarantia de
convergncia, por esse critrio, se usarmos um mtodo iterativo.(c)
Critrio de Sassenfeld:1 =|a12|+|a13||a11|=|0|+|1||3|= 1/32
=|a21|1+|a23||a22|=|1|13+|0||1|= 1/33
=|a31|1+|a32|2|a33|=|2|13+|1|13|3|= 1/3 =max1i3j = max{13,13,13}
=13Como = 1/3 < 1 resulta que o critrio de Sassenfeld foi
satisfeito. Portanto, pode-seaplicar um mtodo iterativo ao sistema
(5.37), uma vez que h garantia de convergnciado mesmo.Exemplo
2:Vericar se h garantia de convergncia do sistema a seguir usando
um mtodo itera-tivo.Sistemas Lineares 31___0, 5x1+ 0, 6x2+ 0, 3x3=
0, 2x1+ x2+ x3= 00, 4x1 0, 4x2+ 1x3= 0,
6(5.38)Soluo:Claramenteoscritriosdalinhaedacolunanoseaplicam.
Apliquemos, ento, ocritrio do raio espectral. As matrizes de iterao
dos mtodos de Jacobi e Gauss-Seidel,dadas respectivamente por
(5.23) e (5.35), so:J = L +U =__0 1, 2 0, 61 0 10, 4 0, 4 0__= (J)
= 1, 1200S = (I L)1U =__0 1, 2 0, 60 1, 2 0, 40 0, 96 0, 08__= (S)
= 0, 6928Como (J) > 1 e (S) < 1 ento somente pelo Mtodo de
Gauss-Seidel haver conver-gncia.5.9 Clculo de DeterminantesUm
subproduto da resoluo de sistemas lineares por meio de mtodos
diretos o clculode determinantes. Mostremos como calcular o
determinante de uma matriz pelo Mtododa
DecomposioLU.Comovimos,amatrizApodeserdecompostacomoprodutodedoisfatoresLeU,onde
L uma matriz triangular inferior com elementos diagonais unitrios e
U uma matriztriangular superior, isto : A = LU. Assim, podemos
escrever:det(A) = det(L.U) = (det(L)) (det(U))=_n
i=1lii__n
i=1uii_=n
i=1uii = produto dos pivsNo caso de haver pivoteamento:det(A) =
(1)kdet(L.U) = (1)kproduto dos pivssendo k o nmero de trocas de
linhas que ocorreram durante o processo de decomposio.Exemplo:Na
decomposioLUda matrizA =__3 4 11 2 24 0 3__32 Marcone Jamilson
Freitas Souzacom decomposio parcial, obtemos os seguintes fatoresL
eU:L =__1 0 03/4 1 01/4 1/2 1__e U=__4 0 30 4 13/40 0 35/8__com 2
trocas de linhas. Logo:det(A) = (1)kdet(L.U) = (1)24 (4) 35/8 =
705.10 Sistemas Lineares ComplexosUm sistema linearAx = b dito
complexo se seus elementos so nmeros complexos, isto, se:A = M +Nix
= s +tib = c +disendoMeNmatrizesn n,s, t, c, d vetoresn 1 ei2=
1.Exemplo: Dado o sistema linear complexo:_(2 + 3i)x1+ (4 2i)x2= 3
+ 5i7ix1 4x2= 9 + 3i(5.39)temos:A =_2 + 3i 4 2i7i 4_, x =_s1 +t1is2
+t2i_, b =_3 + 5i9 + 3i_ M=_2 40 4_, N=_3 27 0_, c =_39_, d
=_53_Para descomplexicar esse sistema procedemos como segue:Ax =
b(M +Ni)(s +ti) = (c +di)Ms +Nsi +Mti +Nti2= c +diMs +Nsi +Mti Nt =
c +diMs Nt + (Ns +Mt)i = c +diComo duas entidades complexas so
iguais se forem iguais as suas partes real e imagi-nria, ento:_Ms
Nt = cNs + Mt = dAs equaes anteriores formam um sistema linear de
coecientes reais, cujas incgnitassoosvetoresset,
quepodeserresolvidoporqualquerumdosmtodosapresentadosanteriormente.
Esse sistema pode ser colocado na seguinte forma matricial:_M NN M_
_st_ =_cd_Exemplo: Resolver o sistema (5.39) por qualquer mtodo
numrico.Sistemas Lineares 335.11 Clculo da Inversa de uma
MatrizSeja Ann a matriz que se deseja inverter. Se Ann possui a
inversa Xnn ento AX = I.Sejam X1, X2, , Xn as colunas de X. Para se
achar a matriz inversa faz-se necessrioresolver
nsistemaslinearescujamatrizdoscoecientesamesma, isto,
devemserresolvidos os sistemas:AX1= ( 1 0 0 0 )tAX2= ( 0 1 0 0
)t...AXn= ( 0 0 0 1 )tO mtodo mais indicado para calcular a inversa
de uma matriz o Mtodo da Decom-posioLU,
umavezquetem-sequeresolvervriossistemaslinearescomumamesmamatriz
dos coecientes.Exerccio:Aplicar o mtodo anterior para encontrar a
inversa da matriz:A =__3 5 37 3 12 4 5__5.12 Comparao entre MtodosA
Tabela 9 compara os mtodos iterativos e diretos com relao a vrios
aspectos.Tabela 9: Comparao entre os mtodos numricosItem Mtodo
Direto Mtodo IterativoConvergncia A soluo sempre obtida H garantia
de obter soluosomente sob certas condiesNmero de possvel determinar
a priori No possvel determinar aoperaes o nmero de operaes
necessrias princpio a complexidadeEsparsidade Destri a esparsidade
da matriz Preserva a esparsidade dadurante a fase de eliminao
matrizErros de Os erros aparecem durante a Apenas a soluo corrente
arredondamento aplicao das transformaes sujeita a erro. No
helementares sobre as equaes propagao dos erros porquedo sistema.
Esse erro se propaga so usados os coecientesporque as transformaes
de cada originais da matriz A e vetorfase so realizadas a partir de
b no clculo das componentesequaes transformadas da fase da
soluo.anterior, as quais esto sujeitasa erros. Essa propagao de
errospode ser minimizada usando-setcnicas de pivoteamento.5.13 Mal
Condicionamento de Sistemas LinearesResolva os sistemas lineares
(a) e (b) a seguir e compare suas solues.34 Marcone Jamilson
Freitas Souza(a)_x y = 1x 1, 00001y = 0e (b)_x y = 1x 0, 99999y =
0O que aconteceu e por qu?Esta uma situao em que o sistema dito mal
condi-cionado".Dizemos que um sistema bem condicionado (estvel) se
pequenas mudanas nos coe-cientes e nos termos independentes
acarretam pequenas mudanas na soluo do sistema.Nocasodesistemasmal
condicionados, pequenasmudanasnosdadosdeentradaprovocam grandes
variaes na soluo nal.Um critrio prtico para vericar se um sistema
mal condicionado consiste em avaliaro determinante normalizado da
matriz dos coecientes, a saber:det(NormA) =det A12. . .
n(5.40)ondei = _a2i1 +a2i2 + +a2inSe o mdulo desse determinante
estiver muito prximo de zero (| det(NormA)|1)pode-se esperar o mal
condicionamento do sistema.Exerccio:Verique se o sistema (5.41) mal
condicionado.___7x1+ 8x2+ 9x3= 248x1+ 9x2+ 10x3= 279x1+ 10x2+ 8x3=
27(5.41)5.14 Aplicaes5.14.1 EletricidadeSeja o diagrama de circuito
dado pela Figura 9:0 V100 V123AB5 1 2 2 3 Figura 9: Diagrama de
circuito de uma rede eltricaPelaLei deOhm, acorrentequeui
donpparaonqdeumaredeeltricacalculada com base na frmulaIpq=VpVqRpq,
comIem ampres eR em Ohms, sendoVpeVqas voltagens nos nsp eq,
respectivamente, eRpqa resistncia no arcopq.PelaLei deKircho,
asomadascorrentesquechegamacadannula; assim, asequaes que
relacionam as voltagens podem ser obtidas.Para o diagrama de
circuito considerado, pede-se:Sistemas Lineares 35(a) Obter as
equaes dos ns 1, 2 e 3;(b)
ApliqueocritriodeSassenfeldaosistemaresultanteparamostrar
queomesmoconverge usando um mtodo iterativo;(c) Resolver o sistema
formado por um mtodo iterativo, com < 0.5, a m de se obteras
voltagens em cada n do circuito.Resposta: A soluo do sistema que
contm as voltagens do circuito com erro < 0, 5 ,pelo Mtodo de
Gauss-Seidel:V=__74, 9970, 9559, 17__Observao: A soluo exata V= [76
72 60]t:5.14.2 Estequiometria de reao qumicaEquilibrar a reao
qumica:KMnO4 + H2SO4 + NaNO2 =K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2OSugesto:
Atribua coecientes xi s substncias que aparecem na equao. Como pela
Leide Lavoisier, em uma reao qumica a soma das massas dos reagentes
igual soma dasmassas dos produtos resultantes, ento iguale a
quantidade de cada elemento qumico queaparece no lado esquerdo da
equao quantidade desse mesmo elemento que aparece nolado direito da
equao. Esse procedimento, feito para cada elemento qumico,
resultarem um sistema de equaes lineares, onde as incgnitas so os
coecientes estequiomtri-cosxida reao qumica. No caso de haver mais
incgnitas do que equaes,o sistema indeterminado,isto ,h uma
innidade de solues para ele. Para gerar uma dessassolues, basta
atribuir um valor qualquer a uma das incgnitas. Caso apaream
valoresnegativos para alguma incgnita, tente outra atribuio, j que
no caso real os coecientesestequiomtricos so nmeros inteiros
positivos. Se a soluo do sistema for fracionria,multiplique-a pelo
determinante do sistema. Isto far com que todos os coecientes
sejaminteiros.Resposta: Uma das possveis solues :2KMnO4 + 3H2SO4 +
5NaNO2 =K2SO4 + 2MnSO4 + 5NaNO3 + 3H2OReferncias[1] L.C. Barroso,
M.M.A. Barroso, F.F. Campos Filho, M.L.B. de Carvalho e M.L.
Maia.Clculo Numrico (com aplicaes), Editora HARBRA, So Paulo,
2aedio, 1987.[2] F.F. Campos Filho, Algoritmos Numricos, Livros
Tcnicos Cientcos Editora, 2aedio, Rio de Janeiro, 2007.[3] E.
Kreyzig, AdvancedEngineeringMathematics, JohnWiles &Sons Inc.,
70thedition, New York, 1993.[4] M.A.G. Ruggiero e V. L. R. Lopes,
Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Compu-tacionais, Editora
McGraw-Hill, So Paulo, 1988.
