MATEMTICASISTEMA LINEARES

CLEAN MARIA REIS LOURENO2014

2 ANO TCNICOSISTEMA LINEARES

CLEAN MARIA REIS LOURENO2014

EQUAO LINEAR

INTRODUOAugusto foi sacar R$ 90,00 em um caixa eletrnico que s dispunha de notas de R$ 10,00 e de R$ 20,00. Como pode ser feita a distribuio das notas a fim de totalizar R$ 90,00 ? x o nmero de notas de R$ 10,00; y o nmero de notas de R$ 20,00.

Devemos determinar quais so os possveis valores de x e de y de modo que: 10 . x + 20 . y = 90A equao obtida acima um exemplo de equao linear.

DEFINIOEquao linear nas incgnitas x1, x2,....xn toda equao do tipo: a1x1 + a2x2 + + anxn = b em que a1 , a2, , an e b so coeficientes reais. b chamado coeficiente (ou termo) independente da equao.Acompanhe alguns exemplos de equaes lineares:1) x1 - 2x2 + 4x3 = - 7 2) x + y + z = 1 3) 4x - 3y = - 2 4) .x1 - 4x2 = - 3

ObservaoI - Note que, numa equao linear, os expoentes de todas as incgnitas so sempre unitrios. Dessa forma, no representam equaes lineares.1) 2x1 - x2 = 5 2) x + y + z = 1 3) x- y = 0

II - Uma equao linear no apresenta termo misto(aquele que contm produto de duas ou mais incgnitas). Dessa forma, no representam equaes lineares: 1) 2x1 - x2 x3 = 5 2) x + y + wz = 0 3) x- yz= - 4

SOLUO DE UMA EQUAO LINEARDizemos que a sequncia de nmeros reais (1, 2,....n ) soluo da

equao a1x1 + a2x2 + + anxn = b quando a sentena 1x1 + 2x2 + +

n xn = b for verdadeira, isto , quando substitumos x1 por 1 , x2 por 2

,..., xn por n e, as fazermos as contas indicadas, obtemos uma sentena

verdadeira.

Vejamos alguns casos:

O par ordenado (2, -3 ) a soluo da equao 4x - 5y = 23

EXEMPLOSConsidere a situao da introduo: Vamos apresentar as solues da equao 10x + 20y = 90, lembrando que x e y devem ser nmeros naturais.

Temos as seguintes possibilidades:

x ( n notas de R$ 10,00) y ( N notas de R$ 20,00)

1 4

3 3

5 2

7 1

9 0

SISTEMA LINEAR 2 X 2

Tina passeava pelo calado da praia quando avistou um quiosque de

sanduches e sucos naturais. Em um cartaz havia as seguintes sugestes

de pedidos:

1) 3 sucos + 2 sanduches = R$ 14,00

2) 2 sucos + 1 sanduches = R$ 8,00

SISTEMA LINEAR 2 X 2 Tina ficou interessada em saber o preo unitrio do sanduche e do suco.

Estudante aplicada, representou por x e y os preos unitrios do suco e do

sanduche, respectivamente, obtendo as seguintes equaes.

3x + 2y = 14

2x + y = 8

O Conjunto dessas duas equaes lineares exemplo de um sistema linear

de duas incgnitas.

Resolvendo o sistema: Mtodo da adio Temos o seguinte sistema:

3x + 2y = 14

2x + y = 8

Devemos multiplicar a segunda equao por - 2 e somarmos com a

primeira equao.

3x + 2y = 14

-4x - 2y = -1

Resolvendo o sistema: Mtodo da adio 3x + 2y = 14

-4x - 2y = -16

- x = - 2 => x = 2 ( preo do suco)

Substitumos esse valor em qualquer uma das equaes anteriores:

3x + 2y = 14 => 3 . + 2y = 14 => 6 + 2y = 14

2y = 14 - 6 => 2y = 8 => y = 4 ( preo do sanduche)

Interpretao geomtrica e classificao Alm do processo algbrico, um sistema linear 2 x 2 pode ser resolvido

graficamente.

I . Voltemos ao exemplo da Tina.

A equao linear 3x + 2y = 14 equivalente a y = , isto , y =

que a lei de uma funo afim cujo grfico a reta r representada ao lado. J

a equao linear 2x + y = 8 equivale a y = - 2x + 8, que a lei de uma funo

afim cujo grfico a reta s.

14 - 3x 2

- 3x + 7 2

Interpretao geomtrica e classificao

Sistema possvel e determinado As retas r e s interceptam - se unicamente no ponto P (2,4), isto , o par

ordenado (2,4) a nica soluo do sistema , pois verifica,

simultaneamente, as duas equaes.

Dizemos que o Sistema possvel e determinado (SPD)

3x + 2y = 14 2x + y = 8

Sistema impossvel - SI Seja o sistema resolvendo - o pelo mtodo da adio,

temos:

x - 2y = 5 2x - 4 y = 7

Sistema Impossvel - SI Como as retas so paralelas, no h ponto de interseco. Assim, o sistema

no admite soluo.

Dizemos que o sistema , impossvel e indicamos por SI; seu

conjunto soluo S = { }

x - 2y = 5 2x - 4 y = 7

Sistema Possvel e indeterminado Ao resolvermos algebricamente o sistema , usando o mtodo da

adio, obtemos:

Observe que 0x + 0y = 0 satisfeita para qualquer valor real de x e de y.

Assim, para que um par ordenado (x, y) seja soluo desse sistema, ele

dever satisfazer a condio x + y = 1, isto , y = 1 - x.

Como x pode assumir qualquer valor real, o sistema admite infinitas solues e

o classificamos como SPI ( sistema possvel e indeterminado).

Seu conjunto soluo S = { (x, 1-x) ; x E IR

x + y = 1 2x + 2 y = 2

Sistema Possvel e indeterminado

Geometricamente, as funes do 1 grau tm

por grficos retas coincidentes e, portanto,

possuem como interseco todos os ponto de r.

Como r tem infinitos pontos, o sistema admite

infinitas solues.

RESUMO - As trs possibilidades de classificao

SISTEMA

IMPOSSVEL

POSSVEL

Determinado

Indeterminado

(tem soluo)

(no tem soluo)

( a soluo nica)

(tem infinitas solues)

BibliografiaIEZZI, Gelson [et al.]. Matemtica: cincias e aplicaes, 2: ensino mdio. e

ed. So Paulo: Saraiva, 2010.

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