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SISTEMAS MULTIFASICOS
CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I
POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y
CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM
1. MODELO BASICO PARA EL
TRASPORTE DE MÚLTIPLES
ESPECIES EN EL FLUJO DE UN
FLUIDO MULTIFÁSICO EN UN
MEDIO POROSO.
1. MODELO BASICO
• El procedimiento axiomático para desarrollar los
modelos matemáticos básicos de sistemas
multifásicos se aplicará al desarrollo de
ecuaciones que describen el flujo de fluidos de
múltiples fases a través de un medio poroso.
• Empieza con una descripción del transporte de
especies individuales disueltas y entonces
combina estas ecuaciones para producir las ecuaciones de flujo de fluidos.
1. MODELO BASICO
• Aquí el término especie se usará como sinónimo de
componente, es decir, una especie es una substancia
disuelta en una fase. Las fases a considerar son sólida,
líquida o gas, las cuales a nivel microscópico están
separadas de otra fase sólida, líquida o gas por una
frontera o interfase.
• Cada fase será identificada por el símbolo α. Con base
en la definición dada, un suelo parcialmente saturado
contendrá tres fases: una fase acuosa (α=w),una fase gaseosa (α=g), y una fase sólida (los granos α=s).
1. MODELO BASICO
1. MODELO BASICO
. fase la de ladensidad es donde
,
relación la de travésa ,decir es
, fase la de volumen de unidadpor de masa la como definida
ión,concentrac lacon arelacionad está masa defracción La
. como denotará se
pase laen especie la de masa defracción la ejemploPor
.notación lacon apropiada
estado de variablela adornando fase laen especies las
denotarán sey disueltas especies contiene fluida fase Cada
sistema. delvolumen
el es y fase lapor ocupado volumen el es donde
, como define se fase la dedevolumen fracción La
α
iαiα
iα
i
i
i
i
i
VV
VV
2. MODELADO DEL
TRANSPORTE DE ESPECIES i EN
LA FASE α
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
• Para aplicar el método axiomático para establecer los modelos
básicos de los sistemas multifásicos, se necesita identificar una
familia de propiedades extensivas apropiada.
• Para todas estas aplicaciones, la masa de cada especie contenida en
cada fase, para cada fase α y cada componente i, es un miembro de
esa familia.
• Dado Miα como la masa de la especie i contenido en la fase α, donde
i = 1,…,Nc (siendo Nc el número total de especies) y sea α =1,…,Np
(siendo Nc el número total de fases); entonces la familia de propiedades extensivas caracterizando el modelo es constituida por
• { Miα, donde i = 1,…,Nc y α =1,…,Np }
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
nula. es no fase laen
dsolubilida cuya especies de número el es donde
,,1y ,,1con ,
reducida familia
la de matemático modelo elr desarrollamejor Es
0 que sabemos fase laen solube es no especie la Si
. de es familia esta para totalnúmero El
,1,y ,,1 ,
por aconstituid es
modelo el andocaracteriz extensivas spropiedade de familia La•
α
N
NNiM
Mi
NN
NNiM
C
pC
iα
i
pc
pc
i
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
pN
CN1
:es extensivas spropiedade de resultante
famila la de miembros) de totalnúmero (el adcardinalid La
xdtxtxtMtB
ii
,,
multifase sistema del cuerpos los sobre integrales como
estensivas spropiedade de familia la a expresa se esto Para
fases. múltiplesen especies multiples de e transportel
gobiernan que lesdiferencia ecuaciones lasderivarán se Ahora
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
pC
i Nyi ,,1,,1,
:siguiente intensivas spropiedade de familia
la produce que lo s,integrando losson sistema el para modelo
elan caracteriz que ientes,correspond intensivas spropiedade Las
. el es ,
,son ,
donde
,,,
global balance deecuación la a acuerdo De
la fase αecies i a asa de espflujo de mtx
αn la fase pecies i emasa de esternas de fuentes extxg
xdtxntxxdtxgtdt
dM
i
i
tB
i
tB
ii
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
fases dos las a separa que interfase la de travésa
fase la a fase la de vaque especie la de
sistema) del otal volumen tde unidad(por masa la es términoEl
fase laen ocurriendo
químicas reacciones lapor producida masa la es términoEl
e. transportde sistema delexterior del proviniene que ,
fases, diferentes las entre masa de ointercambi al debido ,
, especies las de masageneran que
fase laen a debido ,
:partes en tres todescompues será términoEl i
βαi
e
α
r
g
g
i
α químicasreaccionesr
g
iα
β
i
iα
E
iα
I
i
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
iα
E
iiiαiiα
I gergyeg
Entonces
fase laen especie las pas dispersión de vector el es vector El
:como tegeneralmen escribe sey fase, laen disueltas especies las
por cabo a llevados difusión, dispersión de procesos a debido es
vectorialcampo el decir, es , fase la a especie la de masa de flujo El
αij
jτ
αi
i
iiα
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
0 tomadoha se dsimplicidaPor
,,1,,1
;0
:son ientescorrespond
local balance de ecuaciones las esdefinicion anteriores las Aplicando
i
E
pC
iiiii
g
Nyi
erjvt
p
N
i
iiiii
N
erjvt
C
,,1
;0
fase laen especies las todassobresumar entoncesy
masa defracción la de sen términoecuación laescribir einteresant Es
1
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
p
N
i
iN
i
iN
i
i
N
i
i
N
i
i
N
erj
vt
iv
CCC
C
C
,,1;0
obtiene se , de ntesindependieson y que
notandoy operadores diferentes los hacia sumatoria la Moviendo
111
1
1
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
CC
C
N
i
iN
i
i
i
N
i
i
eejj
r
r
11
1
;
define se Además
.en asincorporadser deben no orden,primer de
recciones las o radiactivo odecaimient el Así, cuenta.en tomadas
son fase la de dentro reacciones las cuando cumple se Esto
0
que implica masa deón conservaci La
uno. es demas fracciones las de suma la definiciónPor
2. MODELADO DEL TRANSPORTE DE ESPECIES
_______________________________________
contacto. tiene fase la
cuales lascon fases otras las todasa fase la de masa de
ncia transferela describeecuación la de términoúltimo El
. fase la de movimiento delecuación la es Esta
,,1;0
siguiente lo obtiene se 0, que Notando
α
Nevt
j
p
3. EL CASO DEL FLUJO
SATURADO
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
• En esta sección se discute el flujo de un fluido, tal como el
agua, fluyendo en medio poroso tal como un suelo. En el
caso sencillo se asume que no hay interacción entre el
fluido y el sólido.
• Para el caso contrario, aquí se analizará el caso en el que el
fluido es adsorbido en el sólido. Los modelos de esta clase
tienen aplicaciones significativas en la ciencia de suelos y
en hidrología. Como se verá, la ecuación básica será usada y
el intercambio entre el fluido y el sólido da lugar a un
término fuente. Para mayor claridad se desarrollará este modelo ab initio.
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
;0
sólido el paray
;0
:agua fase la para obtenidan fórmulació la doRescribien
s
sw
sssss
w
ws
wwwww
evt
evt
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
;0
:obtenga se quey grano de velocidadde términoel elimine se que
forma de por sólido el paraecuación la mosmultiplica Ahora
0
produce agua el paraecuación laen definición esta den sustitució La
comoDarcy de velocidadla ahora Definimos
w
w
w
s
sw
sssss
ss
w
w
ws
wwswww
ss
w
w
ws
sww
sw
evt
evqt
evqt
vvq
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
Dt
D
Dt
D
Dt
D
Dt
D
eeqDt
D
Dt
D
www
ww
s
swss
ww
ws
wss
ss
www
producir paraecuación la de minoprimer tér
el expande se (2008)Gray y Pinder de desarrollo el Siguiendo
sólidas. partículas las de velocidadla a
respectocon cuentaen tomadasido ha material derivada la donde
;0
obtiene seecuación la de términoslos oReagrupand
ww
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
Dt
D
Dt
D
Dt
D
Dt
D
Dt
D
ss
ss
s
w
ss
s
wwww
1
eequivalent forma siguiente la deescribir puede se términosegundo El
;0
ecuación siguiente
la produce seecuación laen resultado el doSustituyen
w
s
swss
ww
ws
ss
ss
ws
s
ws
ww
eeq
Dt
D
Dt
D
Dt
D
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
fluido.lidad del compresibi
Dt
Dp
Dt
Dp
pDt
D
w
wwww
w
w
ww
ww
la es Donde
minoprimer tér al cadena la de regla la aplica se Si
Dt
Dp
Dt
Dp
pDt
D wsww
w
w
s
s
ws
s
s
ws
términosegundo sólidos, granos los parasimilar manera De
w
ss
ss
b
wbw
w
w
ss
ss
wss
ss
w
p
entelidad aparcompresibi
Dt
Dp
Dt
Dp
pDt
D
1
la define se donde
siguiente lo obtiene término tercesel considera se Finalmente
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
bsswww
S
ww
gS
enamientoe de almaccoeficient
gpk
q
como el define se siy
Darcy deley la paraexpresión la incluye se Si
sólida fase lay agua fase la entre
agua de masa de ointercambihay cuando asubterráne agua
de saturado flujo eldescribir paraecuación la es cual la
;0
ecuación siguiente la obtiene se
w
s
swss
ww
ws
ww
wwS eegp
k
Dt
Dp
g
S
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
ref
p
p w
ww
s
swss
ww
ws
ww
wwS
zzg
kg
gp
dph
áulicacarga hidr
eegpk
t
p
g
S
w
ref
es cual la , de definición la
tomandopequeño, es densidad de gradiente
ely presión la de solo depende densidad la que los para
sistemas parar simplifica puede seecuación Esta
;0
obtiene se tiempo,al respectocon parcial derivada
unapor remplazar puede se sustancial derivada
la que lentamente tan deforma se matriz la que asume se Si
'
'
w
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
g
gp
ghy
t
p
gt
h
eibnitzregla de L
w
w
ww
w
w
11
obtiene se integral una de
ión difernciac la para la Usando
. la es donde
01
;01
ecuación laen derivadas dos esta den sustitució La
w
w
ilicadad hidráuconductivik
gK
eehKt
hS
o
eehk
gt
hS
w
s
swss
ww
wsw
ww
S
s
swss
ww
wsw
www
S
3. EL CASO DEL FLUJO SATURADO
______________________________________________
frontera. de scondicione deción especifica la facilita su vez, a cual, la
estado, de variablela como campo elen medida facilmente es cual la
,hidráulica carga lausar de ventajala n tieneformulació Esta
011
;0
ebalancearsdeben
fase de fronteras las de travésa flujo el que doConsideran
w
ss
ww
wsw
ww
S
s
sw
w
ws
ehKt
hS
o
ee
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
fluidos dos para ecuaciones de sistema elobtener puede se
(2008),Grey y Pinder en seguido general desarrollo el Siguendo
. la es donde
entonces , como poroso medioun de porosidad la definimos Si
directo. ejemploun ser por y agronomía,en nteespecialme
práctica, aimportancisu por agua-aire flujo el primero describirá Se
e α de la fassaturaciónS
SVVVV
α
α
vvα
aweeqvS
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
was
s,;0
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
aweeS
eeq
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
v
s
as
s
wss
s
was
s
s
s
s
s
,;01
11
1
: términoel para sólida fase deecuación lacon combina se Cuando
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Existen relaciones experimentales que
relacionan la saturación de la fase α con
la presión en la fase α. Un ejemplo se
muestra en la figura. La ordenada es la
carga de presión capilar, el cual es
definido como pc/ρwg, donde pc=pw-pa
en el sistema aire agua. Es de notar que
la presión capilar es un número
negativo, considerando que la presión
atmosférica es tradicionalmente
definida como cero.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Se consideraran ahora las varias curvas
mostradas en la figura. Una inicia con
saturación (Sw=1) y una presión capilar
cero (pc=0). Conforme la presión es
reducida, es decir conforme pc se
incrementa, inicialmente no cambia la
saturación. Cuando la carga de presión
capilar de alrededor de 5 cm, un
decremento de saturación inicia
conforme entra aire al medio poroso. La
presión a la que esto inicia es llamada
presión de burbujeo (bubbling
pressure).
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Conforme la presión es reducida la
saturación decrece hasta que forma una
asíntota a una saturación de 0.3; esta
saturación es denominada saturación
irreductible. Es en este punto que la
continuidad del agua es comprometida y
la presión no puede ser propagada a
través del medio poroso. Esta es la
curva de drenaje primario, denotada en
la figura como PDC.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Si el proceso es invertido, es decir se
incrementa la presión del agua (decrece
pc) la saturación del agua se incrementa.
Sin embargo no regresa a una
saturación total porque el aire es
atrapado en el medio poroso. La
saturación a la que esto toma lugar es
llamada la saturación de aire residual
(por los 0.82). Esta es la llamada curva
de imbibición principal denotada por
MIC.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Si ahora la se disminuye la presión del
agua otra vez, el resultado es un
decrecimiento de la saturación hasta la
misma asíntota de saturación de agua
irreducible. Esta es la curva de drenaje
principal y denotada como MDC.
Nótese que desde cualquier saturación,
dentro de los valores irreducible y
residual, dos presiones existen. Las
diferentes curvas reflejan la historia de
drenaje o imbibición de la prueba. Este
es el fenómeno llamado histéresis.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA También se puede iniciar con un suelo
totalmente seco y empezar a introducir
agua. La presión del agua se incrementa
conforme el agua entra al suelo. La
saturación también se incrementa hasta
que la saturación residual de aire se
alcanza. Esta es la curva de imbibición
primaria y denotada como PIC en la
figura. Las curvas denotadas como
MDC* y MIC* indican la evolución del
sistema si las saturaciones iniciales
están entre 0 y la de agua irreductible y
entre la de saturación residual y la 1.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Una segunda relación constitutiva requerida relaciona
la permeabilidad con la saturación. La coexistencia del
agua y aire decrece la permeabilidad a ambos. La
fórmula de la ley de Darcy requiere una modificación
que reconozca esta realidad física, como en la siguiente
fórmula.
10 rango elen
la es donde
ˆ
r
r
r
k
vadad relatipermeabilik
zgpkk
q
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Entre más esté presente la fase α en el sistema, más alto
es el valor de krα. La relación entre permeabilidad
relativa y saturación en el caso de drenaje primario y
drenaje principal y la imbibición se provee en la figura.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Se considera primero el caso de drenaje primario (Panel
izquierdo). La permeabilidad relativa del agua es unitaria ante la
saturación total del agua. Conforme el la saturación del agua se
aproxima a la saturación irreductible, la permeabilidad relativa
al agua se reduce a cero. En la saturación irreductible la fase
agua ya no es continua, la presión no se puede propagar y el
flujo no es posible.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Por el otro lado, la permeabilidad relativa del aire es cero con
saturación de agua total y se incrementa conforme la saturación
del agua decrece. No llega a ser uno a causa de la existencia de
saturación irreductible del agua
4. EL SISTEMA AIRE AGUA Si la saturación del agua es incrementada desde la saturación
irreductible (Panel derecho de la figura), la permeabilidad
relativa del aire decrece y alcanza el cero en la saturación
residual del aire. En este punto la fase aire se hace discontinua y
no es posible el flujo. Mientras, conforme la saturación del agua
se incrementa, la permeabilidad relativa
de la fase agua se incrementa hasta que
alcanza un máximo en la saturación de
aire residual.
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
Dt
Dp
p
S
Dt
DS
Dt
DS
c
c
ww
ww
ww
escribir puede secadena, la de regla lay
figura primera la depresión -saturación de relaciones las Empleando
. forma la deecuación la de términoel ahora eConsidéres
Dt
Dp
p
S
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DSSS
c
c
wa
aa
awaw
obtenery aintroducid ya saturación de curvausar permite Esto
Entonces;1 Como
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
Dt
ρεD
ρε
ρS-
Dt
DpS
Dt
DS
Dt
D
s
s
αα
wwwww
ww
1
1
forma la deecuación segunda la de términoel ahora eConsidéres
escribir puede se
porosos, mediosen flujo de capítulo del resultadoun Empleando
.S
forma la deecuación primera la de términoel ahora eConsidéres
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
matrizalidad de lcompresibi
pα
Dt
DpαS
Dt
Dp
pS
Dt
DS
Dt
ρεD
ρε
ρS-
s
s
s
b
sb
s
s
s
s
s
s
s
s
αα
la es
1
1
1donde
-
1
1
1-
1
1-
escribir puede se
1
1con oContinuand
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
sólidoilidad del compresib
p
ρ
Dt
DpερS
Dt
Dρ
ρ
ερS
o
Dt
Dp
p
ρ
ρ
ερS
Dt
Dρ
ρ
ερS
Dt
Dρ
ρ
ερS
s
s
s
s
ssαα
s
s
αα
s
s
s
s
ααs
s
αα
s
s
αα
la es
1donde
11
11
escribir puede se
1 términoEl
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
zgp
kkq
rˆ
sigue comoabordar puede se flujo del adivergenci La
anulan. se términosestosy fase entre masa de erenciahay transf no
aquí, considerad el como isotérmino sistemaun En
con 1
son interfase de términosLos hielo. deformación lay
agua deón condensaciy n evaporació la a concierne aire-agua
caso elEn interfase. de términoslos considerar falta Hace
w,aαeeS
ee s
as
s
wssswa
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
;0
11
1
:agua de flujo deecuación lacon iniciará Se
poroso. medioun en saturado-no flujo el scribiendoecuaciónde la
crear para relevanten informació la árecolectar se Ahora
www
w
ww
s
s
wws
s
ww
qDt
DS
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
;0ˆ
1
: obtiene se términocada para
obtenidan informació lacon expresión esta Combinando
zgpkk
Dt
DpS
Dt
Dp
p
S
Dt
DpS
Dt
DpS
w
wwrwww
wwww
c
c
ww
ssww
sbww
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
;0ˆ
:ecuación lar simplifica puede se
pequeña, es sólidos los de dy velocida lidadcompresibi la que asume se Si
zgpkk
Dt
DpS
Dt
Dp
p
S
Dt
DpS
wwrwww
wwww
c
c
ww
sbww
ws
aws
pp
ppp
:que tienese 1,
selecciona sey dominante es agua delpresión la que asume se Si
2008). Gray,y (Pinder Bishop de parámetro el es Donde
1
:granos los de superficie laen actuando
aire ely agua de presiones las de ponderado promedio el como
escribir puede se sólidos losen lapresión que asume se Ahora
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
;0ˆ
:acuosa fase paara tomase Si
zgpkk
t
pS
t
pp
p
S
t
pS
ppp
wwrww
wwwww
aw
c
ww
wbww
aw
c
;0ˆ1
11
:aérea fase la paraecuación la de proveesimilar desarrolloUn
zgpkk
Dt
pS
t
pp
p
S
t
pS
warwaa
aaaw
aw
c
wa
abaw
4. EL SISTEMA AIRE AGUA
Dada la información suplementaria contenida en las
relaciones constitutivas, todas las variables de estado
que aparecen pueden ser expresadas en términos de
pw y pa . Este conjunto de ecuaciones no-lineales,
acopladas a través de las presiones, debe ser resuelto
simultáneamente.
__________________________________________
5. EL MODELO DE FLUJO
CON AIRE INMÓVIL
5. EL MODELO DE FLUJO CON AIRE INMÓVIL
• En ciencias de suelos es tradicional asumir que
el aire, mientras esté presente, es una fase
inmóvil. Cuando se hace esta suposición, se
acepta implícitamente que:
• La presión de la fase aérea es esencialmente
constante y atmosférica; y
• No existe movimiento de aire significativo.
5. EL MODELO DE FLUJO CON AIRE INMÓVIL
:siguiente forma la de es cual la ecuación, una solo obtiene sey
devanece se fase la paraecuación la supuestos, esos Dadas
;0ˆ
zgpkk
t
pSS
p
S
wwrww
wbwwwwww
c
ww
5. EL MODELO DE FLUJO CON AIRE INMÓVIL
________________________________________________
presión la es incógnita cuya lineal,-noecuación
una a reducido sido ha ecuaciones de sistema el que Nótese
.
como definida hidráulica dadconductivi la es donde
1
es original formasu en cual La
Richards deecuación la deextensión una elanterior ecuación La
w
rw
w
www
w
p
kk
SKK
z
gpSK
zt
S
6. CONDICIONES DE FRONTERA
6. CONDICIONES DE FRONTERA
2
1
1
321
,ˆ,,,
dorearreglan o,
ˆ
:decir es flujo, como presentada
usualmentecondición (Neumann) tiposegundo de La
,,,
:)( daespecificapresión una es
)(Dirichlet oprimer tip del frontera decondición la
presión, laen basadan formulació la de caso elEn
xnzgtxntxqknpxp
nzgpk
nq
xtxptxp
o
o
o
nzgtxnpxp ˆ,,
frontera la de travésa flujo no decomún condición la para que Nótese
6. CONDICIONES DE FRONTERA
usar. puede se agua del nivle delelevación la a igual carga deun valor
ementeequivalent o, constante aatmosféricpresión decondición Una
l.superficia agua de cuerpo
un con contactoen está frontera la deporción una donde
caso elen como conocida, es frontera la de localidad unaen
carga la de valor el donde aplicacondición esta nte,Prácticame
,,
forma la deDirichlet o oprimer tip de es constante carga de caso El
buscada. essolución una cual la para incógnita
estado de variablela como hidráulica carga de concepto el usa
saturado flujo de ecuaciones las para aalternativn formulació La
1
0
txhpxh
h
ww
w
6. CONDICIONES DE FRONTERA
. frontera la de parte una de travésa
flujo de scondicione identificacondición esta práctica, laEn
. matriz la de inversa la es donde
da dolarearreglán cual la
:forma la de es carga la usando
especifica se cuandoNeumann o tiposegundo de decondición La
2
1
0
1
0
KK
nqKnh
nhKnq
w
w
6. CONDICIONES DE FRONTERA
acuífero. el hacia filtración la
describe que la como como pensadaser puedecondición esta Así
. carga unacon lsuperficia agua de cuerpoun y
es carga la donde acuífero al separando capa una de de travésa
fluir para agua del habilidad la describe que parámetroun es donde
es saturado flujoen frontera decondición de tipoeste de
común aplicación UnaDirichlet. dey Neumann de scondicione las de
linealn combinació una Es conocida.función una es , donde
,
forma la de es Robbin) (de po tercer tidelcondición La
0
0
h
h
hhz
h
txf
txfhnh
w
w
ww
6. CONDICIONES DE FRONTERA
buscada. frontera econdiciond la
,r especifica puede se constante, es comoy
presión,-saturación relaciones las de travésa especifica setambién
ndoespecifica que ya , saturación lar también especifica
puede se constante, como asumida es caso esteen aire fase la Como
mantienen. sepresión
la den formulació la para definidas scondicione lasecuación sola
una den formulació una usando saturado-no flujo del caso elEn
wa
c
w
c
w
pp
p
SpS
6. CONDICIONES DE FRONTERA
lineal. frontera decondición ientecorrespond la que
ntenuméricameabordar de compleja más esy lineal-no frontera de
condición una es esta Así frontera. decondición la de parte como
relativa dadpermeabili la incluye cual La
,ˆ,,,
forma la de escondición la saturado-no flujo de caso el para porque
complica, se embargoSin presión. de gradiente el define se
frontera, lapor entrando flujo el ndoespecifica teSimilarmen
20
1
crw
w
crw
w
pk
xnzgtxntxqpk
kntxp
6. CONDICIONES DE FRONTERA
capilar.presión lacon esconsistent
ser deben fluidas presiones dos las y también, ,saturación la
con econsistent-autoser deben frontera laen usadas presiones las
conocida, es frontera laen saturación la si palabras, otrasEn
ntemente.independie definidasser pueden noy
ligadasestán saturación lay presiones dos las Así .
decir, escapilar,presión la de edependinet es saturación la Además,
.relación la de
tavésa aire dely agua del presiones las ligacapilar presión la que
doConsideran cuidado.con aconsideradser debe constante,presión
de Dirichlet,condición una deción especifica la dinámicas,son
agua ely aire el para fase la cuando o,multifásic flujo del caso elEn
c
ww
nwc
pSS
ppp
