Sistemas Numéricos e Funções Lógicas

7/23/2019 Sistemas Numricos e Funes Lgicas

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Eletrnica Digital

Flvio [email protected]

Curso Superior de Tecnologia em Automao IndustrialFaculdade SENAI de Telmaco Borba
mailto:[email protected]:[email protected]


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Objetivo da UC

Fornecer os conceitos de lgica para a

compreenso de circuitos aplicados eminstrumentos e sistemas de controle digital daautomao industrial.


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Ementa

Sistemas numricos, notao e cdigos.

Funes Lgicas.

lgebra Booleana, simplificao de equaese circuitos lgicos, Teoremas De Morgan.

Mapas de Karnaugh.

Circuitos combinacionais e sequenciais. Caractersticas e aplicaes das tecnologias.

Dispositivos programveis e interfaces.


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Bibliografia

IDOETA & CAPUANO Elementosde Eletrnica Digital. 40 ed. SoPaulo: rica, 2007.

FLOYD Sistemas Digitais:Fundamentos e Aplicaes. 9 ed.

Porto Alegre: Bookman, 2007.


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Avaliaes

Avaliao escrita 1 = Nota1*0,35

Avaliao escrita 2 = Nota2*0,35

Relatrio Laboratrio (MultiSim) = Nota3*0,3---------------------------------------------------------------

Nota final = Nota1+Nota2+Nota3


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Introduo Eletrnica Digital

Digital Digitus

Sistema indo arbico Decimal

Valores discretos

Aplicaes em automao


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Objetivo: Utilizao de diferentes sistemas de numerao para aotimizao do processamento de informaes eletrnicas ecomputacionais, tornando-as muito mais rpidas e simples.

Entender conceitos bsicos de sistemas de numerao como base, valor

posicional e valor de smbolo. Entender como trabalhar com nmeros representados nos sistemas de

numerao decimal, binrio, octal e hexadecimal.

Abreviar nmeros binrios como nmeros octais ou hexadecimais.

Converter nmeros octais e hexadecimais em nmeros binrios. Converter nos dois sentidos entre nmeros decimais e seus equivalentes

binrios, octais e hexadecimais.

Entender a aritmtica binria e como os nmeros binrios negativos sorepresentados utilizando a notao de complemento de dois.

Sistemas Numricos


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Sistema Decimal

O sistema decimal de numerao composto por 10smbolos ou dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;usando tais smbolos, podemos expressar qualquerquantidade.


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Sistema Binrio

No sistema binrio denumerao, existem apenas2 algarismos: 0 (zero) e 1(um). Por isso sua base

dois. Cada dgito ou algarismo

binrio chamado de bit (doingls binary digit, ou seja

dgito binrio). Um bit ,pois, a menor unidade deinformao nos circuitosdigitais.


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MSB do ingls most significant bit ou seja, bit

mais significativo

LSB do ingls least significant bit ou seja, bit

menos significativo

Sistema Binrio


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Converso do Sistema Binrio para oSistema Decimal

Para converter um nmero binrio em decimal, deve-semultiplicar cada bit pelo seu valor de posio (que indicado pelo valor da base) e somar os resultados.

Exemplo:

Na converso de 10102para o sistema decimal, procede-seda seguinte forma:


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Exerccios

Converta os nmeros do sistema numricobinrio para o sistema numrico decimal:

a) 11000110b) 1000110

c) 1010101010

d) 100000001e) 10011

f) 1010111


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Converso do Sistema Decimal para oSistema Binrio

A converso de nmeros dosistema decimal para osistema binrio realizadaefetuando-se divisessucessivas do nmero decimalpela base a ser convertida (nocaso 2) at o ltimo quocientepossvel. O nmerotransformado ser compostopor este ltimo quociente(algarismo mais significativo)e, todos os restos, na ordeminversa s divises.


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Converta os nmeros do sistema numricodecimal para o sistema numrico binrio:

a) 3

b) 8

c) 49

d) 164

e) 910f) 8000

Exerccios


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Sistema Octal

O sistema octal de numerao um sistema debase 8 no qual existem 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6 e 7.

d i l


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Converso do Sistema Octal para oSistema Decimal

Vamos por exemplo converter o nmero 1448em decimal:


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Converta os nmeros do sistema numricooctal para o sistema numrico decimal:

a) 46

b) 110

c) 22

d) 77

e) 41f) 225

Exerccios

C d Si D i l


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Converso do Sistema Decimal para oSistema Octal

Vamos converter o nmero 9210para osistema octal:


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Converta os nmeros do sistema numricodecimal para o sistema numrico octal:

a) 16b) 93

c) 105

d) 177

e) 15

f) 384

Exerccios

C d Si O l


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Converso do Sistema Octal para oSistema Binrio

Vamos usar um nmero octal qualquer, porexemplo, 278. A regra consiste em transformar cadaalgarismo diretamente no correspondente embinrio, respeitando-se o nmero padro de bits do

sistema, sendo para o octal igual a trs (23 = 8, basedo sistema octal). Assim sendo, temos:


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Converta os nmeros do sistema numricooctal para o sistema numrico binrio:

a) 20b) 97

c) 105

d) 77

e) 15

f) 34

Exerccios

C d Si t Bi i


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Converso do Sistema Binrio para oSistema Octal

Para efetuar esta converso, vamos aplicar oprocesso inverso ao utilizado na conversode octal para binrio. Como exemplo, vamos

utilizar o nmero 1100102.


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Converta os nmeros do sistema numricobinrio para o sistema numrico octal:

a) 1010

b) 111000

c) 110010

d) 10000

e) 1000011f) 11111

Exerccios


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Sistema Hexadecimal

O sistema hexadecimal tem a base 16. Os 16 smbolos que

constituem a numerao hexadecimal so os seguintesalgarismos e letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.

C d Si t H d i l


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Converso do Sistema Hexadecimalpara o Sistema Decimal

A regra de converso anloga de outrossistemas, somente que neste caso, a base 16.Como exemplo, vamos utilizar o nmero 3F16e

convert-lo em decimal:


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Converta os nmeros do sistema numricohexadecimal para o sistema numricodecimal:

a) 1D

b) 6F

c) FA

d) 167e) DF

f) 3E8

Exerccios

C d Si t D i l


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Converso do Sistema Decimal para oSistema Hexadecimal

Da mesma forma que nos casos anteriores, esta conversose faz atravs de divises sucessivas pela base do sistema aser convertido. Para exemplificar vamos transformar onmero 100010 em hexadecimal:


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Converta os nmeros do sistema numricodecimal para o sistema numricohexadecimal:

a) 81b) 99

c) 158

d) 562e) 12

f) 68

Exerccios

Converso do Sistema Hexadecimal


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Converso do Sistema Hexadecimalpara o Sistema Binrio

anloga converso do sistema octal para o sistemabinrio, somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits pararepresentar cada algarismo hexadecimal.

Como exemplo, vamos converter o nmero C1316para o

sistema binrio:


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Converta os nmeros do sistema numricohexadecimal para o sistema numricobinrio:

a) C8b) 3D

c) D4

d) 20De) F

f) 32C

Exerccios

Converso do Sistema Binrio


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Converso do Sistema Binriopara o Sistema Hexadecimal

anloga converso do sistema binrio para o octal,somente que neste caso, agrupamos de 4 em 4 bits dadireita para a esquerda. A ttulo de exemplo, vamos

transformar o nmero 100110002em hexadecimal:


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Converta os nmeros do sistema numricobinrio para o sistema numrico hexadecimal:

a) 10110011

b) 11111

c) 10000

d) 1010101

e) 10000011f) 110011001

Exerccios


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Aritmtica Binria

Adio Binria


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Adio Binria


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Efetue a adio dos nmeros binriosabaixo:

a) 101 + 110b) 1111 + 1010

c) 110 + 1001

d) 100 + 1010e) 10011 + 1110

f) 11 + 11011

Exerccios


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Subtrao Binria

Em muitos computadores grandes e na maioria dosminicomputadores, a operao de subtrao realizada usando-se a operao de adio. Esteprocesso requer o uso da forma complemento de 2.

O complemento de 2 de um nmero binrio obtido trocando-se cada 0 por 1, e cada 1 por 0, esomando-se 1 ao resultado. O primeiro passo, ainverso de cada bit, chamado complementaode 1. Por exemplo, o complemento de 10110110 01001001.


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O complemento de 2 de um nmero binrio formado somando-se 1 ao complemento de 1do mesmo nmero. Por exemplo, ocomplemento de 2 de 10110110 obtido

como a seguir:

Subtrao Binria


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A operao de subtrao pode ser executada convertendo-seo subtraendo (o nmero a ser subtrado em seucomplemento de 2 e, ento, somando-se ao minuendo (onmero do qual se subtrai). Para ilustrar, considere asubtrao no nmero 1001 de 1100 (decimal 9 de decimal12).

Subtrao Binria


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Efetue a subtrao dos nmerosbinrios abaixo:

a) 111 - 101

b) 1101 - 1010

c) 1100 - 1001

d) 1111 - 1010

e) 11000 - 1110

f) 111 - 10

Exerccios


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Multiplicao binria

A multiplicao de nmeros binrios feitada mesma maneira que a multiplicao denmeros decimais.


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Efetue a multiplicao dos nmerosbinrios abaixo:

a) 10 x 11b) 1101 x 101

c) 1000 x 10

d) 1011 x 1010e) 11010 x 1110

f) 1011 x 100

Exerccios


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Diviso binria

O procedimento para dividir um nmero binrio (odividendo) por outro (o divisor) igual quele que seguido para os nmeros decimais, ao qualnormalmente nos referimos como diviso longa.O processo real mais simples em binrio; pois,quando estamos verificando quantas vezes o divisorcabe no dividendo, existem apenas duas

possibilidades: 0 ou 1. Para ilustrar, considere oseguinte exemplo:


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1001

0

11

119 : 3

10 : 41010

10

100

10

E i


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Efetue a diviso dos nmeros binriosabaixo:

a) 110 : 11

b) 1000 : 10

c) 1010 : 10

d) 1111 : 10

e) 1110 : 10

f) 10011 : 11

Exerccios


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Cdigos Binrios

So arranjos compostos pelos dgitos binrios 0 e 1para representao de dados;

No obrigatoriamente respeitam as propriedades

algbricas, como os sistemas numricos; So normalmente empregados para simplificar o

hardware necessrio nas interfaces homem-mquina;

Tambm so utilizados com o objetivo de reduoda margem de erro na codificao de informaes.


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Cdigo BCD (B inary Coded Decimal)

obtido pela converso de cada algarismo decimalde um nmero pelo seu equivalente valor binriopuro com 4 bits.


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O BCD utiliza apenas os nmeros binrios entre00002e 10012. 010a 910

O cdigo BCD no utiliza os nmeros10102,10112,11002, 11012, 11102e 11112.

So utilizados apenas os 10 primeiros dos 16possveis grupos de 4 bits.

A apario de qualquer um desses nmeros

proibidos em uma mquina que use o cdigoBCD, geralmente uma indicao de que ocorreuum erro.


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Exemplo:

Converta 0110100000111001(BCD) para seuequivalente decimal.

Divida o nmero BCD em grupos de 4 bits econverta cada um deles para decimal.


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Exemplo:

Converta 011111000001(BCD) para seu equivalentedecimal.

Este grupo de bits proibido e indica um erro no

nmero BCD.


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Comparao entre BCD e binrio

BCD um sistema decimal onde cada dgito codificado noseu equivalente binrio;

Binrio puro obtido a partir de um nmero decimalcompleto;

BCD requer mais bits que o binrio puro para representarnmeros decimais maiores que um digito.

BCD tem facilidade de converso em decimal: importante doponto de vista do hardware.


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Cdigo Gray

Este sistema de codificaosurgiu quando os circuitoslgicos digitais se realizavamcom vlvulas termoinicas e

dispositivos eletromecnicos.

Os contadores necessitavam depotncias muito elevadas e

geravam rudo quando vriosbits modificavam-sesimultaneamente

Equivalente entre

binrio de 3 bits ecdigo Gray


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Cdigo Gray

Pertence classe de cdigosdenominados de variaomnima, pois somente um bitmuda entre valores

subsequentes.

No aplicado a operaesaritmticas, mais adequado a

sistemas de controle digitalpara eliminar o problema decorrida na mudana de bits.


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Cdigo Gray

Aplicao:

Codificador de rotao de eixo

de trs bits e oito posies.


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Bytes A maioria dos microcomputadores manipula e armazena

dados binrios e informaes em grupos de 8 bits.

Assim um nome especial dado para uma cadeia (ousequncia) de 8 bits: o chamado byte.

Um byte sempre corresponde a 8 bits, e pode representarnumerosos tipos de dados e informaes

Exemplo: Quantos bytes h em uma sequncia de 32 bits(cadeia de caracteres de 32 bits)?

32 / 8 = 4 Assim, uma cadeia de caracteres de 32 bits constituda por quatro bytes


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Bytes

Exemplo: Qual o maior valor decimal que pode ser

representado em binrios usando dois bytes?


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Nibble

Nmeros binrios muitas vezes so divididos em gruposde 4 bits, por exemplo: BCD e nmeros hexadecimais;

Nibble = grupos de 4 bits.

Exemplo:

Quantos nibbles existem em 1 byte?

1 byte = 8 bits; portanto 1 byte tem 2 nibbles.

Qual o hexa do nibble menos significativo do nmero1001 0101?

O nibble menos significativo 0101 = 5


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Palavras (Words)

Bits, bytes e nibbles representam nmeros fixos dedgitos binrios;

O tamanho de uma palavra (word) depende docaminho (pathway) de cada sistema.

Por exemplo:

Microondas = 1 byte (8 bits)

PC = 8 bytes (64 bits)


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Exerccios

Quantos bytes so necessrios para representar nosistema binrio o nmero decimal 9635245?

Quantos bytes so necessrios para representar ovalor decimal 846569 em BCD?


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Funes Lgicas

F L i E OU NO NE NOU


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Funes Lgicas E, OU, NO, NE e NOU

Nas funes lgicas, temos apenas dois estadosdistintos:

O estado 0 (zero) e o estado 1 (um).

O estado 0 representar, por exemplo: portofechado, aparelho desligado, ausncia de tenso,chave aberta, no, etc. O estado 1 representar,

ento: porto aberto, aparelho ligado, presenade tenso, chave fechada, sim, etc.

Funo E ou AND


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Funo E ou AND

A funo E aquela que executa a multiplicao de 2 oumais variveis booleanas. tambm conhecida como funoAND, nome derivado do ingls. Sua representao algbricapara 2 variveis S = A.B, onde se l S = A e B.

Tabela verdade e simbologia Porta E ou AND


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Tabela-verdade e simbologiaPorta E ou AND

A

B


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Notamos que a tabela-verdade mostra as 8 possveisvariaes das variveis de entrada e seus respectivosresultados na sada. O nmero de situaes possveis iguala 2N, onde N o nmero de variveis de entrada.

No exemplo: N = 3 23= 8.

S

Funo OU ou OR


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Funo OU ou OR

A funo OU ou OR aquela que assume valor 1 quandouma ou mais variveis da entrada forem iguais a 1 e assumevalor 0 se, e somente se, todas as variveis de entradaforem iguais a 0. Sua representao algbrica para 2

variveis de entrada S = A + B, onde se l S = A ou B.

Tabela-verdade e Simbologia Funo OR


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Tabela verdade e Simbologia Funo ORou OU

Funo NO ou NOT


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Funo NO ou NOT

A funo NO, ou funo complemento, aquela queinverte ou complementa o estado da varivel de entrada. Sea varivel de entrada for 1, ela se tornar 0 na sada. Se avarivel de entrada for 0, ela se tornar 1 na sada.

Tabela-verdade e Simbologia


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gFuno NO ou NOT

Portas Lgicas Derivadas


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Portas Lgicas Derivadas

Os sistemas digitais mais complexos, comocomputadores de grande porte, so construdos apartir das portas lgicas bsicas E, OU e NO. Apartir dessas portas, podem-se construir quatro

outras denominadas portas lgicas derivadas.

Elas so: porta NE (ou NO E), porta NOU (ou NO

OU), porta OU EXCLUSIVO e porta NO OUEXCLUSIVO.

Funo NO E NE ou NAND


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Funo NO E, NE ou NAND

Como o prprio nome NO E diz: essa funo acomposio da funo E com a funo NO, ou seja,teremos a funo E invertida. representadaalgebricamente da seguinte forma:

S = (A . B), onde o trao indica que teremos a inverso doproduto A . B.

Funo NO OU NOU ou NOR


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Funo NO OU, NOU ou NOR

A funo NOU a composio da funo NO com a funo OU,ou seja, a funo NOU ser o inverso da funo OU. representada da seguinte forma:

S = (A+B), onde o trao indica a inverso da soma A + B.

Exerccio


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Exerccio

Desenvolva a tabela-verdade e o smbolo dasseguintes portas lgicas:

Porta OU ou OR com 3 entradas. Porta E ou AND com 4 entradas.

Porta NO E ou NAND com 3 entradas.

Circuitos Lgicos e suas


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gExpresses Booleanas

Todo circuito lgico executa uma expressobooleana e, por mais complexo que seja, formadopela interligao das portas lgicas bsicas. Podemosobter a expresso booleana que executada por um

circuito lgico qualquer. Para mostrar oprocedimento, vamos obter a expresso que ocircuito abaixo executa.

A B C D S


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0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 11 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 11 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1


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A expresso final obtida substituindo a expresso

de S1 na expresso acima, obtendo ento:

S = A . B + C

Exerccio


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Exerccio

Obtenha a expresso final do circuito abaixo:

A

B

C

D

S

Desenvolvimento de um Circuito


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Lgico a Partir da Expresso

O mtodo para obter o circuito lgico que executa umaexpresso booleana consiste em identificar as portas lgicasna expresso e desenh-las com as respectivas ligaes, a

partir das variveis de entrada. A resoluo deve respeitar a ordem de prioridade da

aritmtica elementar, iniciando pelos parnteses seguidopelos colchetes e por ltimo as chaves. Em expresses queno possuam parnteses, deve-se executar primeiro asfunes de produto:

A . B + C = (A . B) + C


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Para exemplificar vamos obter o circuito que

executa a expresso

S = (A + B) . C . (B + D)


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Exerccio


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Exerccio

Obtenha o circuito lgico que executa asseguintes funes:

a) S = A . B . Cb) S = A . B + B . C

c) S = A + B . C + C . D + D

d) S = A . B . C + B . C + B . C . D + D

Expresses Booleanas Obtidasd b l d d


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de Tabelas-verdade

Observando a tabela, notamos que a expresso verdadeira (S = 1) nos casos onde A = 0 e B = 0 ouA = 1 e B = 0 ou

A = 1 e B = 1. Para obter a expresso, basta montar

os termos relativos aos casos onde a expresso forverdadeira e som-los.

Caso 00: S = 1 quando, A = 0 e B = 0A . B

Caso 10: S = 1 quando, A = 1 e B = 0A . B Caso 11: S = 1 quando, A = 1 e B = 1A . B

S = A . B + A . B + A . B


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Notamos que o mtodo permite obter,qualquer que seja a tabela, uma expressopadro formada sempre pela soma de

produtos. Utilizando a lgebra de Boole possvel simplificar as expresses e obtercircuitos mais simplificados.

Exerccio


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Exerccio

Observando as tabelas-verdade abaixo, escrevaa expresso booleana correspondente:

a) b) c)

A B S

0 0 0

0 1 0

1 0 11 1 1

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 11 1 1

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Porta Lgica XOR (OU-EXCLUSIVO)


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Porta Lgica XOR (OU EXCLUSIVO)

A funo lgica que esta porta executa, como oprprio nome j diz, consiste em fornecer 1 sadaquando as variveis de entrada forem diferentesentre si. A partir desta definio, montamos sua

tabela-verdade.


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Porta Lgica XNOR (COINCIDNCIA)


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g ( )

Sua funo fornecer 1 sada quando houvercoincidncia nos valores das variveis de entrada.


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Documents

Sistemas Numéricos e Funções Lógicas