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Introdução
• A formulação em por unidade (pu) pode ser usadaem qualquer ramo da ciência. Na Engenharia Elétricao uso da representação do Sistema de Energia em pusimplifica a modelagem e resolução de problemas;
• A ideia é efetuar uma mudança de unidade dasgrandezas fundamentais tensão, corrente, potências,impedância e admitância que passam a serexpressas em pu.
1
Sistemas por Unidade
Introdução
• Antes de se expressar uma determinada grandezaem pu é necessário definir o valor de base dessagrandeza.
• 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑝𝑢 =𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑛𝑎_𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒_𝑑𝑎_𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑑𝑎_𝑏𝑎𝑠𝑒
• 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_% = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑝𝑢 . 100
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Sistemas por Unidade
Vantagens de utilizar pu
• Permite ignorar os transformadores ideais, queficam com relação 1:1 em pu;
• Comparações de tensões, correntes, e outrasgrandezas ficam facilitadas;
• Em computadores, os valores são da mesma ordemde grandeza, resultando em maior precisão;
• As impedâncias dos equipamentos já são dadas empu pelo fabricante;
• Estudos de planejamento ficam mais fáceis, pois asimpedâncias típicas em pu são conhecidas paralinhas, transformadores, etc.
3
Sistemas por Unidade
Seleção de bases
• Geralmente são escolhidas duas basesindependentes: Potência Trifásica e Tensão de Linha(fase-fase);
• Para sistemas de transmissão, geralmente a base depotência é de 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 100𝑀𝑉𝐴;
• Em cada área ainda sem base definida, que estejaligada a uma área com base 𝑉𝐵𝑥 por meio de umtransformador de relação 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚/𝑉𝑠𝑒𝑐, a próxima baseserá:
𝑉𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎_𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑉𝑠𝑒𝑐𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚
. 𝑉𝐵𝑥
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Sistemas por Unidade
Seleção de bases
• Um sistema complexo com vários níveis detensão pode ser dividido em tantas áreasdiferentes quanto transformadores existirem;
• A base de tensão é definida para uma destasáreas, sendo as outras calculadas de acordo coma relação de transformação de cadatransformador;
• Para cada área haverá bases de corrente,impedância e admitância diferentes.
5
Sistemas por Unidade
Seleção de bases
• A partir das duas bases, é possível calcular todas asoutras bases do sistema:
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CORRENTE MONOFÁSICA CORRENTE TRIFÁSICA
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒[A] 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
3 . 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒[A]
IMPEDÂNCIA
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =(𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒)
2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒[Ω]
Sistemas por Unidade
Exercício 1
• Um gerador de 100 MVA, 13,8kV, alimenta umacarga com tensão nominal através de umtransformador trifásico de 100 MVA, 13,8/138kV.Encontre as bases de tensão, impedância e corrente.
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Sistemas por Unidade
Exercício 1
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Sistemas por Unidade
Área 1 Área 2
𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴
𝑉𝐵1 = 13,8 𝑘𝑉 𝑉𝐵2 = 138 𝑘𝑉
𝑍𝐵1 = ? 𝑍𝐵2 = ?
𝐼𝐵1 = ? 𝐼𝐵2 = ?
Exercício 1
• Área 1:
– 𝑍𝐵1 =(𝑉𝐵1)
2
𝑆𝐵=
(13,8𝑘)²
100𝑀= 1,9044 Ω
– 𝐼𝐵1 =𝑆𝐵
3 . 𝑉𝐵1=
100𝑀
3. 13,8𝑘= 4188 𝐴
• Área 2:
– 𝑍𝐵2 =(𝑉𝐵2)
2
𝑆𝐵=
(138𝑘)²
100𝑀= 190,44 Ω
– 𝐼𝐵2 =𝑆𝐵
3 . 𝑉𝐵2=
100𝑀
3. 138𝑘= 418,8 𝐴
9
Sistemas por Unidade
Exercício 2
• Encontre as bases de tensão, impedância e corrente dosistema abaixo e passe as impedâncias das linhas,transformadores e carga para pu. Dados:
– 𝑆𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 15 + 𝑗5 𝑀𝑉𝐴;
– 𝑍𝐿𝑇1 = 0,3 + 𝑗0,8 Ω; 𝑍𝐿𝑇2 = 4 + 𝑗10 Ω;
– Transformador: 𝑍𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜 = 𝑗15 Ω;
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Sistemas por Unidade
Exercício 2
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Sistemas por Unidade
Área 1 Área 2
𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴
𝑉𝐵1 = 13,8 𝑘𝑉 𝑉𝐵2 = 138 𝑘𝑉
𝑍𝐵1 = ? 𝑍𝐵2 = ?
𝐼𝐵1 = ? 𝐼𝐵2 = ?
Exercício 2
• Área 1:
– 𝑍𝐵1 =(𝑉𝐵1)
2
𝑆𝐵=
(13,8𝑘)²
100𝑀= 1,9044 Ω
– 𝐼𝐵1 =𝑆𝐵
3 . 𝑉𝐵1=
100𝑀
3. 13,8𝑘= 4188 𝐴
• Área 2:
– 𝑍𝐵2 =(𝑉𝐵2)
2
𝑆𝐵=
(138𝑘)²
100𝑀= 190,44 Ω
– 𝐼𝐵2 =𝑆𝐵
3 . 𝑉𝐵2=
100𝑀
3. 138𝑘= 418,8 𝐴
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Sistemas por Unidade
Exercício 2
• Passando os valores para pu:
– 𝑍𝐿𝑇1_𝑝𝑢 =𝑍𝐿𝑇1_Ω
𝑍𝐵1=
0,3+𝑗0,8
1,9044= 0,1575 + 𝑗0,4201 𝑝𝑢
– 𝑍𝐿𝑇2_𝑝𝑢 =𝑍𝐿𝑇2_Ω
𝑍𝐵2=
4+𝑗10
190,44= 0,0210 + 𝑗0,0525 𝑝𝑢
– 𝑍𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜_𝑝𝑢 =𝑍𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜_Ω
𝑍𝐵2=
𝑗15
190,44= 𝑗0,0788 𝑝𝑢
– 𝑆𝐿_𝑝𝑢 =𝑆𝐿_𝑀𝑉𝐴
𝑆𝐵=
(15+𝑗5) 𝑀
100 𝑀= 0,15 + 𝑗0,05 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Representação de elementos
• Linhas curtas x médias/longas
14
𝑌𝑝𝑢 =𝑌[𝑆]
𝑌𝑏𝑎𝑠𝑒𝑌𝑏𝑎𝑠𝑒 =
1
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒[s]
Sistemas por Unidade
Representação de elementos
• Transformadores
• 𝑅1 = 𝑟1 + 𝑎²𝑟2• 𝑋1 = 𝑥1 + 𝑎²𝑥2
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Sistemas por Unidade
Representação de elementos
• Dedução da impedância do transformador em pu
𝑍1_𝑝𝑢 =𝑍1_Ω𝑍𝐵1
= 𝑍1_Ω.𝑆𝐵𝑉𝐵1 ²
• Referindo a impedância do primário para o secundário:
𝑍2_Ω = 𝑍1_Ω.𝑉𝐵2 ²
𝑉𝐵1 ²
• Dividindo pela base:
𝑍2_𝑝𝑢 =𝑍2_Ω𝑍𝐵2
= 𝑍2_Ω.𝑆𝐵𝑉𝐵2 ²
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Sistemas por Unidade
Representação de elementos
• Substituindo 𝑍2_Ω na equação anterior:
𝑍2_𝑝𝑢 = 𝑍1_Ω.𝑉𝐵2 ²
𝑉𝐵1 ².
𝑆𝐵
𝑉𝐵2 ²
𝑍2_𝑝𝑢 = 𝑍1_Ω. 𝑆𝐵
𝑉𝐵1 ²
• Dessa forma chegamos que a impedância em pu do transformadorreferido ao primário é igual quando referido ao secundário:
𝑍2_𝑝𝑢 = 𝑍1_𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Exercício 3
• Um transformador de distribuição de 50 kVA, 2400:240 V,60 Hz, tem uma impedância de dispersão de 0,72 + j0,92Ω no enrolamento de alta tensão e uma impedância de0,007 + j0,009 Ω no enrolamento de baixa tensão.Calcule:a) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de
alta tensãob) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de
baixa tensãoc) A impedância equivalente do transformador em pu usando por
base os valores da potência e tensão do lado de alta tensão d) A impedância equivalente do transformador em pu usando por
base os valores da potência e tensão do lado de baixa tensão
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Sistemas por Unidade
Exercício 3
a) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de alta tensão
• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇 = 𝑍𝐴𝑇 + 𝑎2𝑍𝐵𝑇 𝑎 =2400
240= 10
• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇 = 0,72 + 𝑗0,92 + 102(0,007 + 𝑗0,009)
• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇 = 1,42 + 𝑗1,82 Ω
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Sistemas por Unidade
Exercício 3
b) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de baixa tensão
• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇 = 𝑍𝐵𝑇 +𝑍𝐴𝑇
𝑎²𝑎 =
2400
240= 10
• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇 = 0,007 + 𝑗0,009 +0,72+𝑗0,92
10²
• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇 = 0,0142 + 𝑗0,0182 Ω
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Sistemas por Unidade
Exercício 3
c) A impedância equivalente do transformador em puusando por base os valores da potência e tensão do lado de alta tensão
• 𝑍𝐵_𝐴𝑇 =(𝑉𝐵_𝐴𝑇)²
𝑆𝐵=
2400²
50𝑘= 115,2 Ω
• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇_𝑝𝑢 =𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇
𝑍𝐵_𝐴𝑇=
1,42+𝑗1,82
115,2= 0,0123 + 𝑗0,0158 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Exercício 3
d) A impedância equivalente do transformador em pu usando por base os valores da potência e tensão do lado de baixa tensão
• 𝑍𝐵_𝐵𝑇 =(𝑉𝐵_𝐵𝑇)²
𝑆𝐵=
240²
50𝑘= 1,152 Ω
• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇_𝑝𝑢 =𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇
𝑍𝐵_𝐵𝑇=
0,0142+𝑗0,0182
1,152= 0,0123 + 𝑗0,0158 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Representação de elementos
• Máquinas síncronas
Onde:
• 𝐸𝑔: tensão gerada em vazio, força eletromotriz fem;• 𝐼𝑎 : corrente do enrolamento da armadura;• 𝑅𝑎: resistência do enrolamento da armadura (por fase);• 𝑋𝑠: reatância síncrona (por fase).
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𝑉𝑡 = 𝐸𝑔 − 𝐼𝑎(𝑅𝑎 + 𝑗𝑋𝑠)
Sistemas por Unidade
Exercício 4
• Um gerador síncrono de 100 MVA e 13,8kV temreatância sub-transitória de 25%. Determine o valorda reatância em ohms.
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Sistemas por Unidade
Exercício 4
• Um gerador síncrono de 100 MVA e 13,8kV temreatância sub-transitória de 25%. Determine o valorda reatância em ohms.
𝑆𝐵 = 𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100 𝑀𝑉𝐴𝑉𝐵 = 𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 13,8 𝑘𝑉
𝑍𝐵 =(𝑉𝐵)²
𝑆𝐵=(13,8𝑘)²
100 𝑀= 1,9044 Ω
𝑋𝐺 = 𝑋%. 𝑍𝐵 = 0,25 . 1,9044 = 0,4761 Ω
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Sistemas por Unidade
Exercício 5
• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV temreatância sub-transitória de 12%. Determine o valorda reatância em pu com 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 =6,9 𝑘𝑉.
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Sistemas por Unidade
Exercício 5
• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV temreatância sub-transitória de 12%. Determine o valorda reatância em pu com 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 =6,9 𝑘𝑉.
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 40𝑀𝑉𝐴𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 6,6 𝑘𝑉
𝑍𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =(𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙)²
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙=(6,6𝑘)²
40 𝑀= 1,089 Ω
𝑋𝐺_Ω = 𝑋%. 𝑍𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0,12 . 1,089 = 0,1307 Ω
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Sistemas por Unidade
Exercício 5
• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV tem reatânciasub-transitória de 12%. Determine o valor da reatânciaem pu com 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 = 6,9 𝑘𝑉.
𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴𝑉𝐵 = 6,9 𝑘𝑉
𝑍𝐵 =(𝑉𝐵)²
𝑆𝐵=(6,9𝑘)²
100 𝑀= 0,4761 Ω
𝑋𝐺_𝑝𝑢 =𝑋𝐺_Ω𝑍𝐵
=0,1307
0,4761= 0,2745 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Mudança de base
• Para simplificar cálculos, a mudança de uma basepara outra de forma direta:
𝑍𝑝𝑢_𝑛𝑜𝑣𝑎 = 𝑍𝑝𝑢_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎.𝑉𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎
2
𝑉𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎2 .
𝑆𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎𝑆𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎
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Sistemas por Unidade
Exercício 5
• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV tem reatância sub-transitória de 12%. Determine o valor da reatância em pu com𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 = 6,9 𝑘𝑉.
𝑍𝑝𝑢_𝑛𝑜𝑣𝑎 = 𝑍𝑝𝑢_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 .𝑉𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎
2
𝑉𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎2 .
𝑆𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎𝑆𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎
𝑋𝐺_𝑝𝑢 = 𝑋%.𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
2
𝑉𝐵2
.𝑆𝐵
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑋𝐺_𝑝𝑢 = 0,12.6,6 𝑘 2
6,9 𝑘 2.100 𝑀
40 𝑀= 0,2745 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Exercício 6
• Considerando o sistema mostrado a seguir e os dados dosequipamentos, converta os valores para pu, usando comobase 50 MVA e 6,9 kV no circuito do gerador.– Gerador: 40 MVA; 6,6 kV; X” = 12%;
– Transformadores 1 e 2: 50 MVA; 6,9/138 kV; Xeq = 15%;
– Motores 1 e 2: 15 MVA; 6,9 kV; X = 10%;
– Linha de transmissão: X = 21,5 Ω.
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Sistemas por Unidade
Exercício 6
• Área 1: Gerador;
• Área 2: Trafo 1, Trafo 2 e LT;
• Área 3: Motor 1 e Motor 2.
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Sistemas por Unidade
Exercício 6
• Área 1:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵1 = 6,9 𝑘𝑉
– 𝑋𝐺 = 𝑋%.𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
2
𝑉𝐵12 .
𝑆𝐵
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
– 𝑋𝐺 = 0,12.6,6 𝑘 2
6,9 𝑘 2 .50 𝑀
40 𝑀= 0,1372 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Exercício 6
• Área 2:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵2 =138 𝑘
6,9 𝑘. 6,9 𝑘 = 138 𝑘𝑉
– 𝑋𝑇1 = 𝑋𝑇2 = 𝑗0,15 𝑝𝑢 (os valores nominais dos transformadorescoincidem com os valores de base da área 2, logo utilizamos o valor fornecidoem porcentagem diretamente em pu)
– 𝑍𝐵2 =(𝑉𝐵2)²
𝑆𝐵=
(138 𝑘)²
50 𝑀= 380,88 Ω
– 𝑋𝐿𝑇_𝑝𝑢 =𝑋𝐿𝑇_Ω
𝑍𝐵2=
21,5
380,88= 0,0565 𝑝𝑢
36
Sistemas por Unidade
Exercício 6
• Área 3:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵3 =6,9 𝑘
138 𝑘. 138 𝑘 = 6,9 𝑘𝑉
– 𝑋𝑀1 = 𝑋𝑀2 = 𝑋%.𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
2
𝑉𝐵32 .
𝑆𝐵
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
– 𝑋𝑀1 = 𝑋𝑀2 = 0,1.6,9 𝑘 2
6,9 𝑘 2 .50 𝑀
15𝑀= 0,3333 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Exercício 7
• Fazer o diagrama de impedância do sistema abaixo, usandocomo base as características nominais do gerador síncrono G1(30 MVA e 13,8 kV).
39
Sistemas por Unidade
Exercício 7
• Área 1: G1
• Área 2: T1, T2, T3, 𝐿𝑇𝑏𝑐 , 𝐿𝑇𝑐𝑒• Área 3: G2
• Área 4: M
40
Sistemas por Unidade
Exercício 7
• Área 2:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵2 =138 𝑘
13,2 𝑘. 13,8 𝑘 = 144,27 𝑘𝑉
– 𝑋𝑇1_𝑝𝑢 = 0,1.138 𝑘 2
144,27 𝑘 2 .30 𝑀
35 𝑀= 0,0784 𝑝𝑢
– 𝑋𝑇2_𝑝𝑢 = 0,1.138 𝑘 2
144,27 𝑘 2 .30 𝑀
20𝑀= 0,1372 𝑝𝑢
– 𝑋𝑇3_𝑝𝑢 = 0,12.138 𝑘 2
144,27 𝑘 2 .30 𝑀
15𝑀= 0,2196 𝑝𝑢
42
Sistemas por Unidade
Exercício 7
• Área 2:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵2 = 144,27 𝑘𝑉
– 𝑍𝐵2 =(144,27 𝑘)²
30 𝑀= 693,79 Ω
– 𝑋𝐿𝑇𝑏𝑐_𝑝𝑢 =𝑋𝐿𝑇𝑏𝑐_Ω
𝑍𝐵2=
90
693,79= 0,129 𝑝𝑢
– 𝑋𝐿𝑇𝑐𝑒_𝑝𝑢 =40
693,79= 0,057 𝑝𝑢
43
Sistemas por Unidade
Exercício 7
• Área 3:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵3 =18 𝑘
138 𝑘. 144,27 𝑘 = 18,82 𝑘𝑉
– 𝑋𝐺2 = 0,13.18 𝑘 2
18,82 𝑘 2 .30 𝑀
20 𝑀= 0,1784 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade
Exercício 7
• Área 4:
– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴
– 𝑉𝐵4 =13,2 𝑘
138 𝑘. 144,27 𝑘 = 13,8 𝑘𝑉
– 𝑋𝑀 = 0,12.13,8 𝑘 2
13,8 𝑘 2 .30 𝑀
10 𝑀= 0,36 𝑝𝑢
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Sistemas por Unidade