Sistemas Realimentados Controladores PID. Conteúdo Regras de sintonia de Ziegler Nichols; Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional; Controladores

Sistemas Realimentados

Controladores PID

Conteúdo

• Regras de sintonia de Ziegler Nichols;• Projeto de controlador PID – Abordagem

Computacional;• Controladores PID modificados (PI-D e I-PD);• Controle PID com vários graus de liberdade;• Abordagem por alocação de zeros.

Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols para Controladores PID

Se o modelo matemático da planta é conhecido, aplica-se uma dentre várias técnicas de projeto de controladores conhecidas;

Se o modelo da planta não é conhecido (muito complexo), então abordagens analíticas de projeto de controladores não podem ser aplicadas;

Em geral, as plantas a serem controladas se enquadram no segundo caso. Logo, recorre-se a abordagens experimentais de sintonia de PID.


Ziegler e nichols propuseram regras de sintonia de PID (ajuste de Kp, Ti e Td), baseadas na resposta ao degrau ou no valor de Kp que resulta em uma estabilidade marginal.

São aplicáveis a plantas cujo modelo matemático são desconhecidos ou conhecidos.

Proporcionam um ponto de partida na sintonia fina e não os valores definitivos dos parâmetros do controlador PID.


Existem dois métodos denominados regras de sintonia de Ziegler-Nichols: a saber:

Primeiro Método – obtém-se experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário


Primeiro Método – Se aplica se a planta não possui integradores ou polos complexos conjugados dominantes. Então a curva de resposta ao degrau unitário característica é como na figura abaixo.


Observase uma constante L, correspondente ao atraso na resposta, e uma constante de tempo T.

Deste modo, a seguinte aproximação é válida:


Proposta de Ziegler-Nichols

Um polo na origem e um zero duplo em -1/L.


Segundo Método – Define-se Ti=∞ e Td=0, e aumenta-se Kd de 0 ao valor crítico Kcr, no qual a saída exibe uma oscilação sustentada pela primeira vez, cujo período é chamado de período crítico Pcr.


Segundo Método – Proposta de Ziegler-Nichols

Um polo na origem e zeros duplosem -4/Pcr.

Obs.: Se o modelo matemático da planta é conhecido, então podemos encontrar Kcr a partir do método do lugar das raízes e Pcr=2π/ωcr.


Exemplo 1: Considere o sistema de controle mostrado na figura abaixo, no qual um controlador PID é utilizado para controlá-lo. Sintonize o controlador usando as regras de Ziegler-Nichols.

Seja a FT do controlador PID.

Para determinar os parâmetros do controlador, vamos obter a curva de resposta auma entrada degrau unitária e verificar se o sistema projetado exibe aproximada-Mente 25% de sobressinal máximo.


Se o sobressinal máximo for excessivo, faremos uma sintonia fina a fim de reduzi-lo.

Como a planta possui um integrador (o polo na origem), fazemos uso do Segundo Método de Ziegler-Nichols, isto é Ti=∞ e Td=0.

Assim, A FTMF fica como segue:

O valor de Kp que torna o sistema marginalmente estável pode ser obtido utizando oCritério de Estabilidade de Routh.


Assim, de posse da equação característica do sistema dada por:

Fazemos o arranjo de Routh.


Para encontrar a frequência da oscilação sustentada fazemos Kp=Kcr em

Isto é

Logo,

Portando, usando a tabela proposta por Ziegler-Nichols, temos que:


Logo, a FTMF do sistema fica como segue:

Avaliando a resposta ao degrau unitário, observa-se a presença de um sobressinal de aproximadamente 62%. Portanto, o valor do sobressinal é excessivo, devendo ser feito uma sintonia fina dos parâmetros do controlador.


Para isso, vamos mover o zero duplo do controlar de -1,4235 para -0,65, o que faz com que o sobressinal seja reduzido para 18% aproximadamente. Entretanto, a velocidade de resposta é lenta (aproximadamente 0,7s).


Agora, para aumentar a velocidade de resposta, aumentamos o ganho Kp de 18 para 39,42, mantendo o zero duplo em -0,65.


Conclusão: A última resposta possui um sobressinal de aproximadamente 28%, o qual está próximo da especificação de 25%. Logo consideramos aceitável. Além disso, conseguiu-se diminuir o tempo de resposta para aproximadamente 0,4s. Observe que os valores sintonizados (Kp=39,42; Ti=3,077 e Td=0,7692) são aproximadamente o dobro daqueles obtidos usando o segundo método de ziegler-Nichols (Kp=18; Ti=1,405 e Td=0,35124). Entretanto, deve-se frizar que o método forneceu um ponto de partida para a sintonia fina.


Conclusão: Analizando o lugar das raizes do sistema compensado, pode-se verificar que o aumento do ganho Kp imediatamente a partir dos valores sugeridos pelo método de Ziegler-Nichols não contribui para a diminuição do sobressinal (ξ≈0,3 para uma ampla faixa de valores para K).


Conclusão: Note que após o ajuste dos zeros, o lugar das raízes se modificou de tal forma que dois polos de malha fechada e o zero duplo se cancelam, de modo que os polos de malha fechada dominantes passam a seguir a assintota paralela ao eixo imaginário, permitindo uma ganho auto e um coeficiente de amortecimento suficientemente auto.

Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional

Exemplo 2: Considere o sistema de controle da figura abaixo. Deseja-se encontrar uma combinação de K e a de modo que o sistema de malha fechada seja subamortecido e o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário seja de no máximo 10%.

Primeiro, definimos regiões de busca para K e a, tomando o cuidado de evitar ganhos K muito elevados, os quais implicariam a necessidade de unidade de força de grande potência. Sendo assim, supomos

Vamos escolher um passo de busca de 0,2 para ambos K e a.




Controladores PID modificados (PI-D e I-PD)

O termo derivativo produz um impulso na presença de uma entrada degrau!


Em um controlador PID real, em vez do termo Tds emprega-se

γ≈0,1

Logo, uma função degrau na entrada do termo derivativo produzirá um pulso estreito, em vez de um impulso.

Esse fenômeno é chamado de Salto do valor de referência.


Controle PI-D: Para evitar o salto do valor de referência, podemos colocar a ação derivativa somente no ramo de realimentação para que a diferenciação ocorra apenas no siinal de realimentação e não no sinal de referência.


Na ausência de disturbios e ruídos, a FTMF do sistema com controle PID básico fica como segue

Enquanto que a do sistema com controle PI-D fica como segue


Controle I-PD: No caso de uma entrada degrau de referência, ambos os controladores PID básico e PI-D geram funções degraus no sinal manipulado, o que pode ser indesejável em muitas ocasiões. Portanto, pode ser vantajoso mover a ação proporcional e a ação derivativa para o ramo de realimentação, afetando somente o sinal realimentado.


Observe que no controle I-PD, é obrigatório ter a ação integrativa.

A FTMF na ausência de distúrbios e ruídos é

Observe na equação a seguir que, na ausência de ruídos, a FTMF entre o distúrbio e a saída é a mesma tanto para controle PID quanto para PIDs modificados.


Observe que no controle I-PD, é obrigatório ter a ação integrativa.

A FTMF na ausência de distúrbios e ruídos é

Observe na equação a seguir que, na ausência de ruídos, a FTMF entre o distúrbio e a saída é a mesma tanto para controle PID quanto para PIDs modificados.

Controle com Vários Graus de Liberdade

Observe que para o sistema da figura abaixo, onde Gp é fixo, pode-se obter três funções de malha fechada distintas, são elas:

Graus de liberdade implica em número de FTMF independentes!


No caso presente, temos

Logo, se uma das três FTMF for dada, as outras duas são obtidas, caracterizando um sistema de UM GRAU DE LIBERDADE.

Controle com Vários Graus de LiberdadeObserve agora que do sistema da figura abaixo, pode-se obter as três FTMF a seguir:


Observe que neste caso, dado Gyd, é possível obter Gyn, porém não é possível obter Gyr, pois Gc1 independe de Gyd.

Logo, o sistema possui dois graus de liberdade.

Veremos posteriormente que sistemas com dois grausde liberdade poder ser ajustados independentemente,a fim de melhorar o desempenho da resposta transitória.

Abordagem por Alocação de Zeros

A abordagem por alocação de zeros permite anular o erro estacionário a resposta a uma entrada do tipo rampa e à entrada de referência de aceleração.

Para mostrar isto, vamos considerar o sistema de controle da figura a seguir e, além disso, supor que Gp é uma FT de fase mínima dada por


onde

Supondo também que Gc1 é um controlador PID em série com um filtro 1/A(s) e Gc2 é um controlador PID, PI, PD, I, D ou P, em série com um filtro 1/A(s), isto é

de modo que


Portanto,


Se a entrada de distúrbio for uma função degrau de amplitude d, isto é

E presumindo que o sistema seja estável, então

Abordagem por Alocação de ZerosAlocação de zeros

Seja a FTMF dada por

Isto é, escolhendo os zeros s=-s1 e s=-s2, de modo que p(s) seja igual à soma dos últimos três termos do denominador, então o erro estacionário na resposta à entrada em degrau, rampa e aceleração será nulo.

Abordagem por Alocação de ZerosAlocação de zeros

Suponha que se deseje que a resposta a uma entrada degrau unitário apresente um sobressinal que esteja compreendido em uma faixa arbitrária tal como, por exemplo

Observe que o limite inferior é escolhido ligeiramente acima de zero para evitar superamortecimento.

Quanto menor o limite superior, mais difícil será determinar os coeficientes a, podendo inclusive não ser possível determiná-los.

Abordagem por Alocação de ZerosDeterminação de Gc2

Uma vez conhecidos todos os coeficientes da FTMF, temos então que

Onde Gc1 é um controlador PID, dado por

De modo que


Logo, escolhemos

Logo, a resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo degrau unitário pode ser obtida de modo que exiba um sobressinal máximo dentro do intervalo

De modo que

A resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo rampa ou aceleração pode ser obtida de modo que não exiba erro estacionário. Embora o tempo de acomodação seja geralmente pequeno, caso se deseje diminuir ainda mais, então é preciso permitir um sobressinal máximo maior, por exemplo


Como

Embora o tempo de acomodação seja geralmente pequeno, caso se deseje diminuir ainda mais, então é preciso permitir um sobressinal máximo maior, por exemplo

Temos que

Abordagem por Alocação de ZerosExemplo:

Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na figura abaixo. A FT da planta é dada por

Projete os controladores Gc1 e Gc2, de modo que o sobressinal máximo na resposta à entrada de referência do tipo degrau seja menor que 19% , mas superior a 2%, que o tempo de acomodação seja menor que 1s, que os erros estacionários à entrada rampa e aceleração sejam nulos, e que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau seja pequena, tendendo a zero rapidamente.

Abordagem por Alocação de ZerosResolução: Note que

Para simplificar, definiremos Gc=Gc1+Gc2. Então,

Abordagem por Alocação de ZerosNote ainda que

Onde observamos que a equação característica de Y/D e Y/R são idênticas.

Suponha

Então

Abordagem por Alocação de ZerosSuponha que os polos dominantes sejam e que o polo remanescente seja s=-c.

Relembrando os requisitos do sistema:1)Resposta à entrada degrau de distúrbio seja rapidamente amortecida;2)Sobressinal da resposta à entrada degrau esteja entre 19% e 2%, com tempo de acomodação menor que 1s;3)Erro estacionário nulo para entradas tipo rampa e aceleração.

Valores razoáveis para a, b e c serão buscados a partir de uma abordagem computacional.

Definimos as seguintes regiões de busca:


Definimos as seguintes regiões de busca:

A localização dos polos dominantes nas regiões hachuradas garante uma resposta rapidamente amortecida.


Note que o denominador Y/D ´pde ser escrito como:

Como os denominadores de Y/D e Y/R são os mesmos, o denominador de Y/D determina também as características da resposta à entrada degrau.


Para satisfazer ao terceiro requisito, recorremos ao método de alocação de zeros e escolhemos a FTMF Y/R como segue:

Logo, o problema se resume a buscar um conjunto de polos de malha fechada em termos de a, b e c na região específica.


Documents

Sistemas Realimentados Controladores PID. Conteúdo Regras de sintonia de Ziegler Nichols; Projeto de controlador PID – Abordagem Computacional; Controladores