MODELAMIENTO DE SISTEMAS TERMICOS Hctor Manuel Vega Resistencia trmica Mecanismos de transmisin de calor Conduccin. Transmisin de Calor a travs de un material. Tabla de conductividades trmicas de algunos materiales a 20C (k= W/mK) q T1T2 e A kAeRT =MaterialConductividad (K)MaterialConductividad (K) Cobre 372.1Asbesto 0.17 Aluminio209.3Ladrillo refractario0.47 Bronce116186Arcilla 0.84 Latn 81105Lana de vidrio0.03 0.07 Acero 4758Madera 0.12 0.3 Conveccin Transmisin de energa por movimiento molecular. Tabla de coeficientes de transferencia por conveccin (h = W/m2K) Radiacin Transmisin de calor que no requiere ningn tipo de medio fsico. Superficie calentada Perfil de temperatura V Ts T Fluido CoeficientehFluido Coeficienteh Aire (conveccin libre)6 30Agua (conveccin forzada)300 18000 Aire (conveccin forzada)30 300Agua hirviendo3000 60000 Aceite (conveccin forzada)60 1800Vapor condensndose6000 120000 A hRcT1=4 32 1AA=T AfTRo Capacitancia trmica La capacidad de un material para almacenar calor. Depende de la cantidad de substancia que contiene y su calor especifico. Tabla de calores especficos de 0 a 100C (ce= KJ/KgK) e Tmc C =MaterialCalor especifico (ce)MaterialCalor especifico (ce) Acero0.46Concreto 0.88 Agua4.183Ladrillo 0.92 Aluminio0.904Arcilla 0.92 Bronce0.36Petrleo2.09 Latn 0.385Madera 1.3 1.59 Ejemplo 1: Obtener la red trmica equivalente del sistema trmico de la figuray hallar la funcin de transferencia. Las ecuaciones descriptivas son: Las funciones de trasferencia Tm/qinyTa/qin son: Calefactor Tm R1 Ta T R2 Rr Cm Ca 0) (2= += RT TdtdTCRT TRT TdtT T dC qa aara mra m mm in) /( 1 ) / / ) ((/ 1 / 12 222) ( 1R R s R C R C C s C CR R s CGr m r a m a mr as+ + + ++ +=) /( 1 ) / / ) ((/ 12 22 ) ( 2R R s R C R C C s C CRGr m r a m a mrs+ + + += Ejemplo2: Dibujar el circuito trmico equivalente del calentador de agua de la figura. TAREA 1. Obtener la funcin de transferencia del sistema trmico. ELEMENTOS La capacitancia de fluido corresponde al rea transversal del elemento que almacena fluido, normalmente tanques y tuberas de gran dimetro Cf = rea transversal La resistencia de fluido corresponde a todos aquellos elementos que limitan el paso del flujo, por ejemplo las vlvulas y los orificios, adems de todos aquellos elementos que causan perdidas como los tubos de longitud considerable y algunos accesorios. Rf = Limitantes del flujo y Perdidas de presin Ejemplo1:Determinar la resistencia de fluido correspondiente a un orificio de la vlvula considerando el liquido con viscosidad pequea o despreciable. Dibujar el circuito equivalente. A partir de la ecuacin de Bernoulli se puede determinar la velocidad de salida del lquido. El caudal de salida es: Si la resistencia de fluido se estima como la relacin entre altura de nivel y caudal,se encuentra que: gh V 22 =gh A AV Qo22 = =g Ahgh AhQhRf2 20= = = Ejemplo2: Si en t = 0, se abre la vlvula de desage de 1,el tanque esta lleno con H=2m, y el dimetro es de 1 m. Hallar:a. El tiempo para que h=H/2.b.La altura de nivel en t=2 y 30. c. El tiempo necesario para desocupar el tanque. d. Linealizar el sistema, repetir los clculos de a, b y c con el modelo lineal y comparar los resultados. La resistencia de fluido de la vlvula es: La ecuacin de caudales en el tanque es: ecuacin de variables separables hg d g AhRf2422t= =ffRhdtdhC = } } =hHfthg dCdt212024t( ) h Hg dCtf =282t a. Reemplazando h = H/2 =1 m b. La altura de nivel despus de 2 30 se obtiene Despejando h c. El tiempo para desocupar el tanque es d. Para Linealizar la resistencia de fluido se tiene que para el tanque de 2m de altura la curva de R en funcin de la altura es: ( ) ' ' 50 ' 4 290 1 262 . 19 0254 . 0) 5 . 0 ( 822= = = seg tt tm tCg dH hf44 . 1 ) 150 () 5 . 0 ( 862 . 19 0254 . 028222222=||.|

\| =||.|

\| =tt t( ) ' ' 29 ' 16 989 262 . 19 0254 . 0) 5 . 0 ( 822= = = seg tt th h Rf546 . 44562 . 19 0254 . 042= =t Grafica de R en funcin de la altura de nivel Para el tiempo de h=H/2, selinealiza en el promedio de alturas donde se va a modelar quecorresponde a 1.5m.Para esta altura la resistencia defluido es: Rf=545.68 seg/m2 La ecuacin de respuesta del sistema es: Con Cf = 0.52t = 0.7854 m2. Despejando t de la ecuacin se obtiene A. Para una altura de 1 m se obtiene: RCtHe h=|.|

\|=hHRCLn t' ' 57 ' 4 297127854 . 0 68 . 54522= =|.|

\| = segmmLn mmsegt B. La linealizalizacin se hace alrededor de 1.75m, con lo que R = 589.4 seg/m2 t = RC = 589.4 seg/m2 0.7854 m2 = 462.9 seg C. realizando la linealizacin dela curva de R Se obtiene: R= 297 seg/m2, Por lo que la constante de tiempo es: t = RC = 297 seg/m2 0.7854 m2 = 233.2 seg El tiempo para desocuparse es t = 5t =1166.3 seg = 19 min 26 seg m me h 445 . 1 29 . 462150= = Ejemplo 3: El sistema de la figura consta de un tanque, de 1.8m de altura, 1.2m de dimetro y un dimetro en la vlvula de descarga de 2.5cm, si el caudal de entrada es 1.5 Li/s, y en t = 0 tiene una altura de 80 cm, determinar, si el tanque se llena, se desocupa o se mantiene en algn nivel fijo. Obtener la respuesta en el tiempo del sistema y calcular el tiempo necesario para que ocurra cualquiera de estos tres eventos. La resistencia de fluido es: La capacitancia es: C = 0.62t = 1.131m2 hhg dhRf46062 . 19 025 . 04242 2= = =t t El caudal de salida se obtiene con: El equilibrio del sistema se obtendra cuando Q0 = Qin De donde h =0.476m por lo que el tanque alcanza el equilibrio a este nivel Para la altura inicial (0.8m), la resistencia es Rf = 411.4[seg/m2] En la altura de equilibrio (0.476m) es Rf = 317.37[seg/m2] Con estos puntos extremos mediante el promedio geomtrico. hRhQf3010 1743 . 2 = =segmh33 310 5 . 1 10 1743 . 2 = 2R 361.3 seg / m (= En el circuito equivalente la ecuacin del modelo es: La transformada de Laplace es: Despejando la altura Como Q(t)=1.510-3 para t > 0 Reemplazando Q(s) por 1 .510-3/S, y los valores de R y C se obtiene: Constante de tiempo es t = RC = 408.6 seg infdh hQ Cdt R= +( )0 ) () (0 ) ( ) (1ChRCS HRHh SH C Qsss s in|.|

\|+ = + =( ) 0 ( ) 0( )/1/ 1/s ssQ h C Q C hHCS R S RC+ += =+ +( )3( )30.8 1.326 102.447 10sSHS S+ =+ Aplicando la transformada inversa se obtiene: El tiempo en alcanzar el equilibrio es t = 5t = 2043 seg ( )32.447 10( )0.542 0.8 0.542tth e = + 0 500 1000 1500 2000 25000.50.550.60.650.70.750.80.85NIVEL DEL TANQUETiempo (sec)Altura (m)TAREA 2. El tanque de la figura tiene una altura de 1m y un dimetro es de 80 cm. Si en t = 0, se abre la vlvula de desage de 3/4,con el tanque lleno. Calcular: a. El tiempo para que h=40cm b. La altura de nivel en t=2min. c. El tiempo necesario para desocupar el tanque. d. Linealizar el sistema, repetir los clculos de a, b y c 3. Si este tanque tiene un caudal de entrada de 2Li/seg, estando desocupado. Mediante la funcin de transferencia obtener la curva de variacin del nivel en funcin del tiempo y determinar que sucede con el sistema. 4. Desarrollar el ejercicio B- 3- 14 pag 131 (Ingeniera de control moderna . K Ogata 3 edicion)