Cap. 2. SISTEME COMPLEXE GAZODINAMICE

Procesele termodinamice simple care se utilizează în termodinamică pentru

descrierea schimbării de stare a gazelor perfecte la efectuarea lucrului mecanic nu

iau în consideraţie variaţia energiei cinetice de mişcare a gazului considerând-o

drept nulă. Totodată există foarte multe sisteme tehnice care produc lucru mecanic

utilizând enrgia de curgere a gazelor la viteze mari (100 m/s şi mai mult).

Aceste sisteme tehnice gazodinamice sunt : avioane, rachete ,nave

aerospaţiale, turbine cu abur, turbine cu gaze, propulsoare cu reacţie, compresoare

centrifuge şi axiale, aparatele tehnologice şi de conducerea automată cu jet.

Teoria sistemelor tehnice gazodinamice face parte din dintr-o disciplină care

poartă numele Dinamica gazelor sau Gazodinamică.

Scopul principal al teoriei sistemelor gazodinamice constă în determinarea

variaţiei parametrilor gazodinamici în sistemele tehnice ca o funcţie de

coordonatele spaţiale (x,y,z) şi de timpul (t) :

În acest capitol vom studia sistemele gazodinamice cele mai simple care pot

fi descrise prin teoria curgerilor unidimensionale, adică se determină variaţia

parametrilor în funcţie numai de o singură coordonată x.

Pentru aceasta se rezolvă sistemul ecuaţiilor gazodinamice în care sunt

exprimate matematic legile fizice fundamentale de conservarea masei, impulsului

şi a energiei scrise în forma diferenţială sau integrală.

Ca să fie închis, la sistemul se adaugă ecuaţia de stare a gazului perfect , care

descrie legătura între presiunea (P), densitatea ( ρ) şi temperatură (T) :

,

unde : , în care este constanta universală a gazului

perfect, iar μ masă molară a unui gaz concret.

Acest sistem se completează cu ecuaţia trasformării termodinamice, care are

loc la curgerea gazului în condiţii date (adiabatică, politropică, izotermă,

izentropică etc.).

În cazul când transformarea termodinamică nu este cunoscută se face apel la

ecuaţia calorică de stare a gazului perfect, care reprezintă relaţia între variaţia

temperaturii T şi variaţia energiei interne unitare e sau a entalpiei unitare i a unei

mase de gaz.

Astfel ecuaţia calorică poate fi scrisă în două forme :

sau ,

unde cp, cv căldura specifică a gazului la presiune constantă, respectiv la volum

constant.

În cele ce urmează, vom demonstra ecuaţiile fundamentale ale gazodinamicii:

ecuaţia de continuitate, ecuaţia impulsului, ecuaţiile de mişcare ale gazului ideal,

ecuaţia energiei gazului în mişcare şi ecuaţia Bernoulli pentru curgerea adiabatică

a gazului perfect, toate acestea constituind sistemul ecuaţiilor gazodinamice.

În acest capitol vom studia sistemele gazodinamice cele

mai simple care pot fi descrise prin teoria curgerilor unidimensionale.

2.1.1. Ecuaţia de continuitate

Aplicăm legea de conservarea masei pentru un tub de curent cu secţiunea

variabilă (fig. 2.1):

Fig.2.1. Curgerea gazului printr-un tub de curent cu secţiunea variabilă

Vom considera că tubul de curent este foarte subţire astfel încât să putem

admite că parametrii gazodinamici (viteza, presiunea şi densitatea) sunt constanţi

în toată secţiunea sa.

Volumul elementar , iar masa de gaz conţinută în acest volum

elementar este egală cu dm = , unde ρ este densitatea gazului, S – aria

secţiunii transversale curentă a tubului.

În conformitate cu legea de conservarea masei, variaţia masei în unitatea de

timp este egală cu diferenţa dintre fluxul de masă intrat şi cel ieşit prin

cele două secţiuni normale S şi S + dS. Deci:

,

sau

Din ultima relaţie după simplificarea cu , rezultă ecuaţia de continuitate

pentru un tub de curent cu secţiunea variabilă:

(2.1)

La curgerea permanentă (t =const) avem , aşa încât ecuaţia devine

mai simplă:

,

de unde reiese că , sau că debitul masic de gaz, trecut printr-un tub de

curent cu secţiunea variabilă, este constant :

(2.2)

Relaţia obţinută reprezintă ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent în

formă integrală.

Diferenţiind ecuaţia (2.2) rezultă: .

După împărţirea, termen cu termen, a expresiei obţinute la ecuaţia iniţială (2.2)

se obţine ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent în forma diferenţială:

(2.3)

NOTĂ. Ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent arată că, datorită

permanenţei debitului masic, variaţia secţiunii tranversale(S) a canalului conduce

atât la schimbarea valorii vitezei (υ) de curgere, cât şi la modificarea densităţii

(ρ) a gazului.

2.1.2. Ecuaţia de impuls

Legea conservării impulsului din mecanică enunţă că suma vectorială a

forţelor ce acţionează asupra unei mase de fluid în mişcare este egală cu variaţia

impulsului în unitatea de timp, respectiv:

, (2.4)

în care m reprezintă masa unui volum de fluid în mişcare cu viteza medie de

curgere υ.

Vom generaliza ecuaţia (2.4) pentru cazul unui tub de curent cu secţiunea

constantă S = const. Suma forţelor din partea stângă a ecuaţiei (2.4) include

forţele unitare exterioare de inerţie (gravitaţională) Fg şi cele interioare de

suprafaţă (de presiune) Fp , care acţionează asupra fluidului în mişcare din

volumul examinat. În cazul gazelor, forţele unitare de inerţie datorită densităţii

reduse, se neglijează (Fg = 0 ) şi rămâne numai forţa de presiune (Fp).

Diferenţa presiunilor din secţiunea de intrare (P1) şi din secţiunea de

ieşire(P2) a tubului de curent se datorează forţei de presiune :

,

care la rândul său conform ecuaţiei (2.4 ) va fi egală cu variaţia în timp a

impulsului, sau

, (2.5)

unde reprezintă debitul masic, υ2 este viteză în secţiunea de

ieşire,iar υ1 - viteză în secţiunea de intrare. Considerând distanţa dx infinit de mică

, putem înlocui: , şi împărţind-o ecuaţia (2.5) cu S

se obţine ecuaţia impulsului în formă diferenţială: ,

sau , şi în forma finală :

(2.6)

unde υ este viteză medie de curgere, P – presiunea şi ρ– densitatea gazului din

tubul de curent.

NOTĂ. La fel ca şi legea a doua a lui Newton din mecanica clasică a punctului

material, ecuaţia impulsului este relaţia iniţială principală din care pot fi deduse

toate ecuaţiile de mişcare, care descriu atât curgerea continuă în timp, cât şi

curgerea cu discontinuităţi ce apar în gaze la viteze supersonice, de exemplu cu

unde de şoc, de detonaţie etc.

2.1.3. Ecuaţia de energie pentru curgerea adiabatică a gazului (ecuaţia

Bernoulli)

Derivând expresia (2.7) pentru entalpia

, (2.7)

rezultă ecuaţia:

(2.8)

Substituind-o în relaţia pentru energie din Principiul Întâi al termodinamicii în

forma diferenţială (2.9):

, (2.9)

rezultă expresia ecuaţiei de energie în forma entalpică:

, (2.10)

la care este volumul specific, q – căldura masică obţinută de gaz ( sau

eliminată din gaz) prin transferul de căldură, P – presiunea şi ρ– densitatea

gazului din tubul de curent.

Substituind ecuaţia impulsului (2.6) în expresia (2.10) rezultă relaţia:

. (2.11)

Considerând curgerea gazului fiind adiabatică, la absenţa transferului de căldură

dq= 0, expresia (2.11) se simplifică:

, sau

Prin integrarea ultimei se obţine :

, (2.12)

unde i0 este entalpia totală a gazului în mişcare.

Luând în consideraţie expresia pentru entalpia unitară

, (2.13)

relaţia lui Robert Mayer de legătură între căldurile specifice cp şi cv

, (2.14)

precum şi expresia exponentei a procesului adiabatic

, (2.15)

rezultă entalpia gazului in procesul adiabatic:

(2.16)

După introducerea expresiei pentru entalpia (2.16) în ecuaţia (2.12) se obţine

ecuaţia Bernoulli pentru curgerea adiabatică a gazelor perfecte:

, (2.17)

în care:

este entalpia, care reprezintă energia potenţială unitară a unei mase

de gaz, – energia cinetică unitară a unei mase de gaz,

iar entalpia totală, care reprezintă energia totală unitară a unei

mase de gaz în mişcare. Parametrii P, ρ sunt presiunea şi densitatea a gazului care

curge cu viteza υ, respectiv P0, ρ0 reprezintă presiunea şi densitatea gazului în

stare de repaus (când υ = 0).

Din ecuaţia de stare a gazului perfect

, (2.18)

reiese ca raportul presiunea-densitatea se poate nota .

Atunci ecuaţia Bernoulli poate fi exprimată şi prin temperaturile:

, (2.19)

unde: T este temperatura gazului în mişcare la viteza υ, iar T0 - temperatura gazului

în stare de repaus (când υ = 0).

NOTĂ. Faptul experimental ca viteza de curgere a gazelor se schimbă mult mai

rapid decât are loc un schimb de căldura cu exteriorul, ne permite să utilizăm

modelul procesului adiabatic care descrie sistemele termodinamice fără transfer

de căldură în mediul ambiant . De aceea simplă transformare adiabatică (

) se aplică pentru descrierea matematică a proceselor de curgerea

gazelor .

2.2. Propagarea perturbaţiilor de presiune în gaze, viteza sunetului, numărul

Mach

Sub noţiunea de perturbaţie se înţelege modificare locală a parametrilor de

stare (P,ρ,T,υ), care se propagă printr-un mediu continuu cu o anumită viteza.

Având în vedere ca pentru gaze aceşti parametrii sunt interdependenţi, vom

specifica numai noţiunea de perturbaţii de presiune.

Perturbaţie de presiune se numeşte mică sau slabă, dacă procesul de

modificare locală a parametrilor de stare are loc cu o variaţie neglijabil de mică în

comparaţie cu valoarea lor absolută din mediul neperturbat, adică când ,

sau etc.

Viteza de propagare a perturbaţiilor de intensitate mică (undelor sonore)

reprezintă viteza sunetului sau viteza de propagare a undelor sonore printr-un

mediu continuu.

Dacă variaţia locală a parametrilor de stare este comparabilă ( ,

etc.) sau chiar mai mare ( , etc.) comparativ cu valoarea lor absolută

din mediul neperturbat, atunci perturbaţia se consideră mare sau puternică şi

reprezintă o undă de şoc . Perturbaţiile de intensitate mare (undele de şoc) se

propagă cu vitezele mai mari decât viteza sunetului .

Pentru a stabili corelaţia existentă între viteza sunetului (viteza de propagare

a perturbaţiilor mici) şi parametrii termodinamici ai gazului se consideră modelul

unui tub de curent cu secţiunea constantă ( ) în care s-a produs o perturbaţie

de intensitate mică care se propagă cu viteza υ egală cu viteza sunetului a.

Din ecuaţia de continuitate în formă diferenţială (2.3)

,

pentru secţiunea constantă , vom avea ca

(2.20)

Din ecuaţia impulsului (2.6) scrisă în forma :

, (2.21)

rezultă . Substituind expresia obţinută pentru dυ în formula (2.20)

şi notând υ = a , rezultă ca , sau ca viteza sunetului

. (2.22)

Din expresia procesului adiabatic după logaritmare rezultă ca

,

iar după derivarea se deduce ecuaţia

,

din care poate fi uşor obţinută formula procesului adiabatic în formă diferenţială:

(2.23)

Substituind expresia (2.23) în relaţia (2.22) rezultă formula pentru calculul

vitezei de propagare a perturbaţiilor mici sau a vitezei sunetului:

, m/s , (2.24)

Utilizând acum ecuaţia de stare a gazului perfect , se obţine relaţia

pentru viteza sunetului exprimată prin temperatura de curgere T :

, m/s , (2.25)

Cum rezultă din formulele (4.19) şi (4.20) viteza sunetului variază în funcţie

de presiune,densitate sau de temperatură. De exemplu, la T =273 K viteza

sunetului în aer este egală cu a = 331,9 m/s, în apă a =1332 m/s şi a =3000

4000 m/s pentru solul pământului .

NOTĂ. Din ecuaţia Bernoulli pentru gaze rezultă ca temperatura gazului variază

în funcţie de viteza curgerii. La rândul său şi viteza sunetului depinde de

temperatura gazului în mişcare. Aceasta indică ca viteza sunetului pentru un gaz

în mişcare nu este constantă şi se modifică în funcţie de viteza curgerii a

gazului.

Numărul Mach.

Un criteriu de bază cu care în dinamica gazelor se identifică regimuri de

curgere a gazelor şi de mişcare a corpurilor solide în gaze reprezintă numărul

Mach, care arată raportul dintre viteză de curgere (sau de mişcare a corpurilor în

gaze) υ şi viteza sunetului a:

(2.26)

Având în vedere ca valoarea vitezei sunetului a din formula (2.26) pentru

numărul Mach nu este constantă şi se modifică în funcţie de viteza curgerii. În

studiul sistemelor tehnice gazodinamice, pentru a nu o încurca cu viteza sunetului

fizică a0 , care indică viteza sunetului a gazului în starea de repaus, se mai

utilizează denumirea de viteza sunetului locală, adică viteza sunetului determinată

într-un gaz în mişcare. Astfel, în formula numărului M parametrul a este viteza

sunetului locală.

În dependenţă de valoarea numărului Mach, care reprezintă drept viteza

adimensională, se clasifică următoare regimuri de mişcare a gazului (sau a

corpurilor solide în gaze ) şi anume :

- la numărul M< 1, când viteza υ < a, curgerea (sau mişcarea) se numeşte

subsonică;

- la numărul M= 1 , când viteza υ = a, curgerea(sau mişcarea) este

transonică

- la numărul M >1 ,când viteza υ> a, curgerea (sau mişcarea) se numeşte

supersonică

- la numărul M >1, când viteza υ » a, curgerea (sau mişcarea) va fi

hipersonică.

2.3. Parametrii de frânare şi parametrii critici la curgerea gazului

2.3.1. Parametrii de frânare.

Din ecuaţia energiei pentru curgerea adiabatică a gazului (2.12):

, (2.27)

reiese că la modificarea vitezei de curgere, entalpia i şi sarcina cinetică se

transformă reciproc şi reversibil.

De exemplu, când viteza υ creşte entalpia i se micşorează, ceea ce arată ca

energia potenţială a gazului (entalpia i ) s-a transformat în energia cinetică (sarcina

cinetică ) . Când viteza gazului scade, excesul de energie cinetică se transformă

înapoi în entalpie, având ca o limită valoarea entalpiei totale i0.

Procesul în urma căruia energia cinetică a unui gaz în curgere se transformă

integral în lucrul mecanic de comprimare prin reducerea vitezei la zero (υ= 0) se

numeşte în procesul de frânare.

Aceasta conduce la starea de repaus, în care toată energia gazului se află sub

formă de entalpie. Din acest motiv entalpia totală i0 se mai numeşte şi entalpia de

frânare.

Fiind o stare termodinamică, starea de frânare a unui gaz se caracterizează

prin parametrii de frânare: presiunea totală P0, densitatea totală 0 ,temperatură

totală T0 .

Entalpia gazelor exprimată prin căldura specifică cp este i = cp T. Înlocuind

această expresie în ecuaţia (2.27) se obţine

Exprimându-o temperatura totală T0, rezultă că:

Substituind în ultima formulă expresia pentru căldura specifică din

formula (2.16) şi luând în consideraţie ca pătratul vitezei sunetului a2= kRT

(din formula 2.25) , rezultă relaţia :

Introducând numărul Mach , se obţine expresia pentru determinarea

temperaturii totale T0 în funcţie de numărul M şi temperatura T a gazului :

(2.28)

Pentru determinarea celorlalţi parametrilor trebuie să ţinem cont ca procesul

de frânare este un proces adiabatic, descris prin relaţia :

, (2.29)

unde : P0 este presiunea totală, 0 – densitatea totală,iar P,ρ reprezintă

presiunea,respectiv densitatea a gazului în mişcare.

Substituind în (2.29) presiunea din ecuaţia stării P=ρ·R·T se obţine legătura între

parametrii termodinamici:

(2.30)

Din relaţia (2.28), considerând (2.30), se obţine presiunea şi densitatea

totală a gazului, care corespund stării lui de frânare. Astfel, expresia pentru

determinarea presiunii totale în funcţie de numărul M şi presiunea P a gazului

care curge cu viteza υ este

, (2.31)

Densitatea totală în funcţie de numărul M şi densitatea ρ a gazului în mişcare

(2.32)

2.3.2. Parametrii critici.

În cazul când un curent de gaz atinge viteza de curgere egală cu viteza

sunetului locală υ = a, atunci aceasta viteza se numeşte numită viteză critică şi se

notează cu υ*.

Starea gazului care se deplasează cu viteza sunetului se numeşte stare critică

şi este caracterizată prin parametrii critici – presiunea critică P* , temperatura

critică T* , densitatea critică * . Numărul Mach în starea critică . După

substituirea M=1, relaţiile (2.29), (2.30) şi (2.31) devin invariante de numărul

Mach, iar temperatura, presiunea şi densitatea va corespunde parametrilor critici :

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Pentru aer (k =1,405) rezultă: temperatura critică T* = 0,831T0 , presiunea critică

P* = 0,528P0 şi densitatea critică * = 0,6360 .

Expresia pentru viteza critică se obţine din relaţia vitezei de propagare a

perturbaţiilor mici , în care temperatura se substituie T=T* ,iar

temperatura critică să ia din formula (2.33). Astfel viteza critică va fi:

, (2.36)

la care a* reprezintă viteza sunetului critică.

În afara de numărul , care reprezintă drept viteză adimensională, la

calculele sistemelor gazodinamice foarte des se utilizează noţiunea de coeficient

de viteză numit deseori şi numărul Cebâşev: . Legătura între numărul M

şi coeficientul poate fi stabilită utilizând expresiile vitezei sunetului şi ale vitezei

critice

,

din care rezultă : (2.37)

Singurul caz în care cei doi criterii M şi sunt egali este starea critică a gazului

pentru care M* = *= 1.

NOTĂ. Parametrii totali şi critici sunt foarte utili la calculul ajutajelor turbinelor

şi motoarelor cu reacţie, sau curgerilor în canalele cu secţiunea variabilă .

2.4. Ecuaţia Saint-Venant pentru calculul debitului gazului trecut prin tuburi

şi orificii.

Fie un rezervor de volum mare în care un gaz este în repaus υ0=0 cu

parametri de frânare P0, T0, 0 , şi din care printr-un tub sau orificiu cu secţiunea S

(fig. 2.2) curge un gaz în mediul exterior cu presiunea Pe.

Fig. 2.2. Rezervor cu un tub

În secţiunea S a tubului, gazul are viteza υ, iar starea termodinamică lui este

caracterizată a prin parametrii P, , T, unde presiunea în secţiunea de ieşire scade

până la presiunea din mediul exterior P= Pe.

Din ecuaţia Bernoulli pentru curgerea adiabatică a gazului , se obţine

viteza de curgerea gazului:

(2.38)

Luând în consideraţie expresiile pentru entalpia şi căldura specifică

se obţine relaţia

(2.39)

Vom nota raportul presiunilor . Pentru destinderea adiabatică a gazului

(2.30) se poate scrie: ,

sau

(2.40)

Înlocuind în ultima relaţia (2.39) raportul temperaturilor din formula (2.40),

rezultă formula vitezei de scurgere a gazului din rezervor aflat sub presiunea totală

P0:

, (2.41)

sau

(2.42)

unde: , iar P este presiunea statică în secţiunea de ieşire a orificiului.

Prin urmare, debitul masic din ecuaţia de continuitate va fi :

(2.43)

În fine , rezultă

, (2.44)

unde , iar presiunea P= Pe la care Pe reprezintă presiunea în exterior. care

are loc scurgere.

Expresia obţinută (2.44) permite calculul debitului masic cu care scurge

gazul printr-un orificiu cu secţiunea S în mediul ambiant care are presiunea Pe ,

dacă se cunoaşte presiunea P0 şi temperatura T0 sub care se află gazul în rezervor.

Aceasta formula poartă numele de ecuaţia Saint-Venant .

2.5. Criza curgerii gazului prin orificii, tuburi şi ajutaje. Ajutajul Laval

Având în vedere că la scurgerea gazului din rezervor (fig. 2.2) presiunea P

la ieşire din orificiu (sau în secţiunea S de ieşire a ajutajului) este egală cu

presiunea mediului exterior Pe , adică P=Pe, vom analiza cum variază debitul

masic la creşterea presiunii în rezervor P0 (sau la scăderea presiunii din exterior

Pe).

În conformitatea cu ecuaţia Saint-Venant (2.44), debitul masic creşte cu

raportul , fiind o parabolă cu maximum la presiunea P egală cu presiunea

critică (fig.2.3) :

Fig. 2.3. Dependenţa debitului masic în funcţie de raportul presiunilor

Creşterea în continuare a presiunii P0 (sau scăderea presiunii din exterior Pe)

nu provoacă nici o schimbare a debitului (fig. 2.3, dreapta orizontală). Acest

fenomen care se manifestă prin blocajul debitului de curgere la atingerea

parametrilor critici ( presiunii P* , temperaturii T* , densităţii * , vitezei υ* ) se

numeşte criza curgerii gazului prin orificii, tuburi şi ajutaje.

Utilizarea ecuaţiei Saint-Venant în acest caz nu permite obţinerea

rezultatelor corecte şi calculul debitului masic se efectuează reieşind din valoarea

parametrilor critici :

(2.45)

unde

este densitatea critică;

S –aria secţiunii de ieşire (secţiunii minime a ajutajului);

- viteza critică.

Pentru înţelegerea acestui fenomen, trebuie să avem în vedere că viteza

relativă u de propagarea perturbaţiilor de presiune în interiorul rezervorului (fig.

2.4) este suma vectorială între viteza sunetului a şi cea de curgere a gazului prin

ajutaj υ.

Fig. 2.4. Propagarea perturbaţiilor de presiune în rezervor la scăderea presiunii din exterior Pe

Fiindcă vitezele au sensuri opuse, rezultă că u = a - υ. În cazul când

presiunea în orificiul de scurgere (tub, racord, ştuţ, conductă, duză, ajutaj etc.)

atinge valoarea critică, viteza de curgere devine critică egală cu viteza sunetului

υ= υ*= a, iar viteza relativă de propagare a perturbaţiilor de presiune nulă u = 0

Aceasta înseamnă că perturbaţiile de scădere a presiunii exterioare Pe, nu

pătrund în rezervor, fiind aduse înapoi din ajutaj cu curentul de gaz cu viteză egală

cu cea a propagării . Rezervorul pare că nu „simte” sau nu are informaţii despre

variaţia presiunii din exterior şi, deci, nu „reacţionează” prin trimiterea sau

reţinerea unei mase suplimentare de gaz prin orificiu. În automatică această situaţia

corespunde pierderii „reacţiei inverse”.

NOTĂ. Fenomenul menţinerii constante vitezei şi a debitului masic la atingerea

parametrilor critice la curgerea gazului prin canale şi ajutaje permite asigurarea

forţei de tracţiune permanente a aparatelor de zbor aerospaţiale indiferent de

înălţimea zborului şi starea mediului ambiant. Acest fenomen asigură stabilitatea

turaţiei turbinelor cu abur şi cu gaze la variaţiile parametrilor termodinamici.

Ajutajul Laval.

Pentru depăşirea blocajului de curgere şi obţinerea vitezelor de curgere mai

mari de viteza sunetului se utilizează ajutajul „convergent – divergent”, care

reprezintă un dispozitiv format dintr-un confuzor urmat de un difuzor. Gazul sub

presiune se accelerează datorită formei convergente a porţiunii subsonice (M< 1)

(fig. 2.5) atingând în secţiunea minimă (M=1) viteza critică egală cu viteza

sunetului. Urmează accelerarea curentului sonic datorită porţiunii divergente

supersonice (M >1) a ajutajului până la viteze supersonice (numărul M=5÷10) şi

chiar hipersonice (numărul M = 10÷20).

Fig. 2.5. Schema ajutajului Laval

Prima dată ajutajul de acest tip a fost propus în anul 1889 de inginerul suedez

Carl de Laval pentru obţinerea unor viteze supersonice a aburului la intrarea în

turbina cu abur de construcţie proprie.

Dependenţa între viteza de curgere υ şi aria secţiunii transversale S curente a

ajutajului Laval se obţine din ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent

scrisă pentru secţiunea minimă cu aria S (fig. 2.5) în care parametrii gazului sunt

critici , P, T, şi υ şi pentru o altă secţiune oarecare S cu parametrii de curgere

P,, T şi υ:

(2.46)

Exprimând vitezele de curgere prin numărul Mach υ= M a ( iar pentru

secţiunea critică υ*=a* ) şi prin vitezele sunetului , din

ecuaţia (2.46) rezultă:

,

sau

(2.47)

Considerând procesul de curgere a gazului prin ajutaj adiabatic, din ecuaţia procesului adiabatic avem că

.

Substituind această relaţie în formula (2.47) se obţine:

Pentru determinarea raportului se aplică raportul temperaturilor

şi relaţia pentru temperatura critică :

.

Vom avea ca

,

sau

(2.48)

Astfel rezultă raportul secţiunilor în funcţie de viteză adimensională de

curgere - numărul Mach :

(2.49)

Graficul funcţiei are două ramuri : una de stângă (zona subsonică

M<1, fig. 2.6), care corespunde vitezelor subsonice din porţiunea convergentă şi

cea de dreaptă (zona supersonică M >1) corespunzătoare vitezelor supersonice din

porţiunea divergentă a ajutajului Laval.

Se observă că pentru obţinerea, în secţiunea de ieşire a ajutajului Laval, a

unei curgeri supersonice, aria secţiunii de ieşire trebuie să fie mai mare decât aria

secţiunii critice cu un anumit număr de ori.

Fig. 2.6. Raportul ariilor secţiunilor ale ajutajului în funcţie de numărul Mach

Trasând dreptele m2–n2 şi m1–n1 putem aprecia influenţa geometriei

porţiunii convergente asupra variaţiei vitezei de curgere a gazului pentru aceste

două cazuri. Se poate observa că aria maximă a secţiunii transversale a porţiunii

convergente trebuie să fie mai mare decât cea de la porţiunea divergentă

În afară de aceasta, gazul trebuie să aibă presiunea totală P0 suficient de

mare pentru atingerea regimului critic de curgere în secţiunea minimă a ajutajului,

care în calcule se ia egală cu presiunea a mediului exterior Pe,sau

Aceasta rezultă din raportul (2.34) :

Pentru aer (k =1,405) rezultă ca P0= 1,89 P* sau considerând P* =Pex , avem ca

presiunea totală în valoarea ei absolută trebuie să fie în 1,89 ori mai mare decât

presiunea atmosferică Pex.

NOTĂ: Forma convergent-divergentă a ajutajului Laval fiind o condiţie

obligatorie, totodată nu este suficientă pentru obţinerea vitezelor supersonice.

Pentru pornirea ajutajului Laval presiunea totală P0 a gazului de alimentare (aer)

trebuie să fie de 1,89 ori mai mare decât presiunea statică în secţiunea critică a

ajutajului.

2.6. Probleme rezolvate

Problema 2-1. În mişcarea unidimensională a aerului parametrii de frânare sunt: Po = 5

bar, To = 323 K. Determinaţi parametrii gazodinamici P, , T, υ în punctul cu numărul

Mach M = 1,5. Constanta de gaz a aerului R = 287 J/(kg·K). Clarificaţi care este regimul

de curgere.

Rezolvare

Densitatea gazului frânat se determină din ecuaţia de stare a gazului perfect

Din expresia temperaturii T în funcţie de numărul M şi a temperaturii totale

gazului T0 se determină în valoarea acesteia pentru M = 1,5:

Temperatura aerului în punctul dat cu numărul M = 1,5 va fi:

T = 0,6872 323 = 222 K

Din formulele pentru determinarea presiunii totale în funcţie de numărul M şi

presiunea P a gazului şi a densităţii totale în funcţie de numărul

M şi densitatea ρ a gazului , introducând numărul M = 1,5 şi

valorile parametrilor de frânare Po = 5 bar, 0 =0,3915 kg/m3 se determină parametrii

termodinamici:

Viteza curgerii se determină după formula pentru viteza sunetului locală a şi a

numărului Mach M = 1,5:

m / s

Regimul de curgere este supersonic , având în vedere ca numărul M >1 .

Problema 2-2. În mişcarea unidimensională a aerului parametrii de frânare sunt: Po = 5

bar, To= 323 K. Determinaţi parametrii gazului P, , T, υ în punctul cu numărul Mach

M= 0,8. Constanta de gaz a aerului R=287 J/(kg·K). Clarificaţi care este regimul de

curgere.

Rezolvare. Procedaţi în mod analog cu problema 2.1, substituind M = 0,8. Regimul

de curgere în acest caz este subsonic. Comparaţi valorile parametrilor termodinamici cu

cele obţinute în cazul regimului supersonic din problema 2.1.

Problema 2-3. Să se determine depresiunea P= P - Po în tronsonul de lucru al unui tub

Venturi (fig. 2.7) dacă parametrii aerului frânat sunt: Po = 755 mm Hg, to= 20 C. Viteza

aerului în tronsonul de lucru este υ =240 m/s. Constanta de gaz a aerului R=287 J/(kg·K).

Fig. 2.7. Tubul Venturi

Rezolvare

1.Din ecuaţia de stare a gazului perfect, considerând 1 mm Hg = 133,322 N/m2 şi

temperatura T0 =273,15+20 K ,iar constantă de gaz a aerului R = 287 J/(kg·K) se

determină densitatea gazului frânat

2.Din ecuaţia Bernulli pentru curgere adiabatică a gazului

şi formula pentru viteza sunetului

,

rezultă viteza sunetului locală în tronsonul tubului Venturi

,

Atunci sau valoarea ei

=328,7 m/s.

3.Deteminăm numărul Mach în tronsonul de lucru :

=0,7298

4.Din formula presiunii totale

,

introducând numărul M=0,7298 şi presiunea Po = 1,0066 105 N/m2, se determină

presiunea statică P în tronsonul tubului :

P = 1,0066 105 0,7017 = 0,7022 105 N/m2

6. Depresiunea în tronsonul tubului

P = P – P0 ,

sau P = (0,7022 - 1,0066) 105 = – 0,3044 10 5 N/m2

Problema 2-4. Să se determine debitul masic de aer pentru un tub Venturi (fig. 2.7) dacă

aria secţiunii tronsonului de lucru este S =150 mm2 , iar parametrii aerului frânat sunt:

Po= 755 mm Hg, to= 20C. Viteza aerului în tronsonul de lucru este υ = 240 m/s.

Constanta de gaz a aerului R=287 J/(kg·K).

Rezolvare.

Debitul masic de aer poate fi obţinut din ecuaţia de continuitate , la care

aria S a secţiunii transversale şi viteza υ a aerului în tronsonul de lucru sunt cunoscute,

iar densitatea gazului în tronsonul tubului nu este dată şi trebuie să fie determinată.

1.Considerând 1 mm Hg = 133,322 N/m2 , temperatura T0 =273,15+20 K şi constanta

de gaz a aerului R = 287 J/(kg·K) determinăm densitatea gazului frânat

2.Din ecuaţia Bernulli pentru curgere adiabatică a gazului

şi formula pentru viteza sunetului

,

rezultă viteza sunetului locală în tronsonul tubului Venturi

,

sau =328,7 m/s.

3.Numărul Mach în tronsonul de lucru are valoarea:

=0,7298

4.Pentru determinarea densităţii gazului în tronsonul tubului vom aplica formula

densităţii totale în funcţie de numărul M

,

introducând valoarea numărul M = 0,7298 şi densitatea totală 0 =1,197 kg/m3 .

Rezultă

= 1,197·0,7764 = 0,9256 kg/m3

5.Debitul masic se determină după formula :

sau

Problema 2-5. Determinaţi viteza aerului într-o conductă de ventilaţie , dacă tubul Pitot-

Prandtl (fig. 2.8) instalat pe axă în direcţia curgerii indică diferenţa de presiune ΔP=

2940 N/m2. Temperatura şi presiunea aerului aspirat din exterior este T0 = -10 oC,

respectiv P0= 93 000 N/m2. Constanta de gaz a aerului R = 289 kJ/(kg·K). Aerul se

consideră ca un fluid incompresibil. Care va fi debitul volumetric Q m3/s , dacă aria

secţiunii conductei în care se determină viteză este S =1000 mm2.

Fig. 2.8. Tubul Pitot-Prandtle .

Rezolvare.

1.Din ecuaţia Bernoulli pentru fluidul incompresibil scrisă pentru orificiul central şi

orificiile laterale ale tubului Pitot avem:

,

sau ,

sau

De unde reiese formula pentru determinarea vitezei de curgere în conductă de

ventilaţie:

unde: este densitatea aerului aspirat.

2. Din ecuaţia de stare determinăm densitatea, fiind cunoscute presiunea P0 şi

temperatura T0 a aerului aspirat:

unde: T0 = 273,15 –10 = 263,15 K.

Atunci viteza aerului din conducta

3. Debitul volumetric se determină din ecuaţia de continuitate pentru fluide

incompresibile:

, m3/s

sau Q=69,102·1·10-3=0,69102 m3/s,

unde S =1000 mm2=1·10-3 m2 , υ = 69,102 m/s

Problema 2-6.Determinaţi debitul masic de aer care se scurge dintr-un rezervor (fig. 2.2)

cu presiunea Po = 3 bar şi temperatura to=20 oC, printr-un orificiu cu secţiunea S=30 mm2

în atmosferă cu presiunea Patm=1 bar şi aceeaşi temperatură to. Constantă de gaz pentru

aer R=287 J/ (kgK). Comparaţi rezultatul obţinut cu cel bazat pe relaţia fluidului

incompresibil ( =o=const).

Rezolvare.

Densitatea aerului din rezervor se determină din ecuaţia de stare:

Densitatea aerului atmosferic:

Deoareace raportul presiunilor

rezultă că la ieşirea din orificiu se realizează regimul critic de curgre şi toţi parametrii din

secţiunea S au valori critice.

Viteza critică se determină cu formula:

Densitatea critică a aerului este:

Debitul masic de aer este:

Considerând aerul drept un fluid încompresibil, viteza rezultă din ecuaţia

Bernoulli pentru lichide:

, sau ,

sau

Prin urmare debitul masic de aer va fi

Comparaţia arată ca debitul masic de aer determinat în conformitate cu modelul

fluidului incompresibil este mai mare cu ~36% decât în cazul real, evaluat după modelul

fluidului compresibil cu consideraţia regimului de curgere.

Problema 2-7. Determinaţi debitul masic de aer care se scurge dintr-un rezervor cu

presiunea Po = 3 bar şi temperatura to = 20 oC, printr-un ajutaj convergent (fig. 2.2) cu

secţiunea de ieşire S=30 mm2 în atmosfera cu presiunea Patm=1 bar şi aceeaşi temperatura

to. Constanta de gaz pentru aer R = 287 J/ (kgK). Comparaţi rezultatul cu calculul

debitului masic efectuat după formula Saint-Venant.

Rezolvare.

Calculul debitului se face reieşind din modelul fluidului compresibil considerând regimul

de curgere (vezi problema 3-1).

Viteza de scurgere a gazuliu aplicând formula Saint-Venant va fi:

Debitul masic aer evaluat utlizând formula Saint-Venan , destinată curgerilor

subsonice a gazului prin orificii şi ajutaje, va fi:

Comparaţia arată ca debitul calculat după formula Saint-Venant pe baza

modelului fluidului compresibil fără considerarea regimului de curgere este de 1,9 ori

mai mare decât în cazul real.

Problema 2-8. În interiorul unui rezervor, care alimentează ajutajul Laval (fig. 2.5),

presiunea aerului este Po=0,7 MPa iar temperatura lui to =20C. Determinaţi aria Sa,

presiunea Pa şi temperatura Ta corespunzătoare secţiunii de ieşirea ajutajului, dacă aria

secţiunii critice S =3 cm2, iar numărul Mach în secţiunea de ieşire Ma=1,5. Apreciaţi

efectul de răcire a aerului T = To - Ta.

Rezolvare.

1.Utilizând relaţia (2.49) pentru secţiunea de ieşire şi cea critică a ajutajului Laval

,

aflăm aria secţiunii de ieşire a ajutajului

,

sau cm2

Reieşind din numărul M a = 1,5, se determină din formulele (2.28 ,2.31) pentru

presiunea şi temperatura totale în funcţie de numărul Mach

,

De unde presiunea şi temperatura aerului în secţiunea de ieşire

a ajutajului vor fi:

Efectul termic de răcire a aerului la curgerea prin ajutajul Laval va fi:

Problema 3-3. În interiorul rezervorului care alimentează un ajutaj Laval (fig. 3.4),

presiunea aerului este Po= 0,7 MPa. Determinaţi aria secţiunii critice S, dacă numărul

Mach în secţiunea de ieşire Ma = 2,2 , iar aria acesteia Sa= 6 cm2. Determinaţi valoarea

presiunii exterioare Pex la care nu apare unda de şoc pe traseul ajutajului. Rezolvaţi

problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice.

Rezolvare.

Utilizând funcţia geometrică q (M), unde M este numărul Mach, din ecuaţia

continuităţii reiese că pentru fiecare secţiunea i a ajutajului Siq(Mi) = const , sau Si

q(Mi) = S* q(M*) . Având în vedere că în secţiunea critică (M* = 1) funcţia geometrică

q (M* ) = 1, avem că: , sau .

Aflând din tabelele gazodinamice valoarea funcţiei q(Ma) pentru Ma = 2,2 , putem

determina aria secţiunii critice:

S* = Sa q(Ma) = 6 0,4965 = 2 cm2 ,

şi presiunea gazului în secţiunea de ieşire a ajutajului Pa utilizând funcţia

gazodinamică de presiune π(M) . Pentru secţiunea de ieşire a ajutajului avem

, de unde rezultă că

În continuare se notează cu presiunea după unda de şoc, dacă aceasta va avea

loc în secţiunea de ieşireşi se face apel la relaţia pentru adiabata de şoc Hugoniont -

Rankine

Dar cum că şi w1 w2 = a 2, rezultă ca , unde

M1 este numărul Mach în amonte de unda de şoc.

Substituind în relaţia adiabatei Hugoniot-Rankine M1 = Ma = 2,2 rezultă :

Deci, = 0,065 5,477 = 0,36 MPa .

Astfel, dacă Pex , atunci unda de şoc apare pe tot traseul ajutajului.

Problema 3-4. Un ajutaj Laval (fig. 3.6) se alimentează cu aer comprimat care are

presiunea totală Po=0,7 MPa. Determinaţi aria secţiunii S, dacă numărul Mach în

secţiunea de ieşire Ma=2,2, iar aria acesteia Sa=6 cm2. Determinaţi valoarea presiunii

exterioare Pex la care unda de şoc apare în secţiunea de ieşire ajutajului. Rezolvaţi

problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice.

Rezolvare.

Ideea rezolvării este la fel ca în problema 3-3.

Valoarea presiunii mediului exterior la care în secţiunea de ieşire ajutajului apare o

undă de şoc se determină după condiţia: Pex Pa, unde Pa este presiunea gazului în

secţiunea de ieşire a ajutajului după unda de şoc.