SISTEME DE ECUATII LINIARE - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~ccosmin/sisteme.pdf · intreaga gama de posibilitati vom alege varianta in care U are 1 pe diagonala.In ... 2.3 Factorizarea

ANALIZA NUMERICA- SISTEME DE ECUATII LINIARE (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

1

SISTEME DE ECUATII LINIARE

1. Introducere

Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare de forma (1) se grupeaza in generalin doua categorii: metode directe, bazate pe procedee de eliminare si metode indirecte(iterative).

====

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.........

..................

2

1

2

1

21

22221

11211

(1)

BXA ==== (1')

Proprietatile pe care le ofera liniaritatea unei functii sau ecuatii sunt utilizate ca elementede baza pentru metodele de rezolvare bazate pe procedee de eliminare a necunoscutelor.Ecuatiile sistemului initial se pot multiplica prin constante si se combina cu ajutoruloperatiilor suplimentare obtinindu-se in final forme simplificate ale sistemului considerat.La alegerea unei metode de calcul, pentru rezolvarea unei anumite probleme pe un sistemde calcul dat, trebuie avute in vedere o serie de criterii cum ar fi: numarul secventelor decalcul, precizia rezultatelor, posibilitatea introducerii unor teste de precizie, secventiale,pe parcursul desfasurarii algoritmului.

In cadrul metodelor directe, care se considera a fi metode exacte, s-au impus metodelecare au la baza algoritmul de eliminare Gauss, cu variantele Gauss-Jordan, Doolitle,Crout si Cholesky.

Metodele exacte permit obtinerea solutiei exacte a sistemului de ecuatii facind abstractiede erorile de tip round-off ale sistemului de calcul, de erorile de rotunjire si trunchierefolosind un numar finit de operatii elementare.

In cadrul metodelor iterative s-au impus metodele Jacobi, Gauss-Seidl, metoda relaxarilorsuccesive si metoda Lanczos.

Metodele iterative se caracterizeaza prin faptul ca solutia sistemului considerat se obtineca limita a unui sir de valori ce reprezinta solutii pentru diverse iteratii succesive. Incadrul acestor metode, se pune problema de a alege acea metoda, care asigura cea maimare viteza de convergenta a solutiilor pentru o aproximare initiala adecvat aleasa.

Dintre metodele numerice directe, utilizate la rezolvarea sistemului de ecuatii algebriceneomogene se vor prezenta: metoda eliminarii directe Gauss, metoda factorizarii LU simetoda Cholesky.


2

2. Proceduri numerice de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

Dintre metodele numerice directe, utilizate la rezolvarea sistemului de ecuatii algebriceneomogene se vor prezenta: metoda eliminarii directe Gauss, metoda factorizarii LU simetoda Cholesky, iar ca si metoda indirecta (iterativa) de rezolvare a sistemelor deecuatii liniare va fi prezentata metoda Jacobi.

2.1. Metoda eliminarii Gauss

In prima etapa numita triangularizare (substitutia inainte) se elimina succesiv in n-1 pasinecunoscutele xi, i=1,2,...n-1 din ecuatiile sistemului ceea ce are ca rezultat eliminareaelementelor situate sub diagonala principala a metricei A si transformarea acestora intr-omatrice superior triunghiulara.

In pasul 1 se obtine:

====

111

1

111

212

1

2

1

111

112

11

12

111

21212

11

2122

11211

.........0

............

...0

...

baab

baab

b

x

xx

aaaaa

aaa

aaaaa

aaa

aaa

nnnn

nnn

nn

nn

n

(2)

sau cu notatiile

(((( ))))

(((( ))))1

1111

1

11

1111 ,...2,1;,...3,2,

baabb

njjniaaaaa

iii

jiijij

====

================

(3)

rezulta:

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

====

1

12

1

2

1

112

12

122

11211

.........0

...............0...

nnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aa

aaaaa

(4)

In pasul i-1 al eliminarii sistemul de ecuatii devine:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

====

1

1

12

1

2

1

11

11

12

12

122

111211

...

...

...

...

......00..................

......00..................

......0

......

in

ii

n

i

inn

ini

iin

iii

ni

ni

b

b

bb

x

x

xx

aa

aa

aaaaaaa

(5)

sau in forma restrinsa:(((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]11 ==== ii BXA (6)


In pasul l se obtine(((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]ll BXA ==== (7)

cu(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))1111

1

11

11111

11 ,...,1,,

========

++++============

ll

li

li

lll

ll

lill

il

i

llj

li

lij

lljl

ll

lill

ijl

ij

bmbbaabb

nljiamaaaaaa

(8)

In final dupa consumarea pasului n-1, sistemul este complet triangularizat:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

====

1

23

12

1

3

2

1

1

23

233

12

123

122

1131211

.....................

nnn

nnn

n

n

n

b

bbb

x

xxx

a

aaaaaaaaa

(9)

sau utilizind o scriere simbolica:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]'\ BXS0 ==== (10)ObservatieIn procesul de calcul automat, matricele succesive (((( ))))[[[[ ]]]]lA se construiesc in spatiul dememorie initial alolcat pentru matricea [[[[ ]]]]A . Procedeul se prezinta algoritmat in formaurmatoare:

3

ljiijij

liii

ll

ili

amaa

nlj

bmbb

aam

nlinl

====

++++====

====

====

++++========

,...,1

,...,11,...,2,1


Pentru determinarea solutiei sistemului (1) are loc un proces de eliminare inversa(substitutia inapoi) care poate fi descris astfel:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) 1,...,3,2,...

...

11

11,1

,1

21,1

2,12

11

1

1

====

====

====

====

++++

++++

nnia

xaxabx

axa

bx

abx

iii

iiii

nini

iii

nnn

nn

nnnnn

nnn

nn

n

(11)

respectiv in forma algoritmica:

in care ija sunt elemen

In concluzie, in urma matrice S superior triunesingulara, iar elemefiecare pas al eliminmatricii A este dat de p

2.2. Descompunerea L

O modificare a metofrecvent utilizata. In aprodus de doua matrimatricea superior triunmatrice poate fi scrisatriunghiulara L si a intreaga gama de pocontinuare va fi exemp

====

====

====

++++====

n

ijjijiiii

nnnn

xabax

nnibax

1

1

1

1,...,2,1

4

te ale matricii triunghiulare S iar ib elementele matricii B'.

aplicarii unei eliminari Gauss dupa n-1 etape de calcul se obtine onghiulara, asociata sistemului (1) cu conditia ca matricea A sa fientele transformate de pe diagonala principala sa rezulte nenule inarii: (((( )))) 0liia , i=1,2,...,n; l=1,2,...,n-1. Valoarea determinantuluirodusul elementelor de pe diagonala principala a matricii S:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))123312211 ...detdet ======== nnnaaaaSA (12)

U

dei eliminarii, numita descompunerea sau factorizarea LU esteceasta metoda, matricea coeficientilor A este tranformata intr-unci L si U unde L este matricea inferior triunghiulara si U esteghiulara avind elemente egale cu 1 pe diagonala principala. Orice ca produsul unei matrici a permutarilor P a unei matrice inferioruneia superior triunghiulara U, intr-o infinitate de moduri. Dinsibilitati vom alege varianta in care U are 1 pe diagonala.Inlificata aplicarea metodei in cazul unei matrici de dimensiuni 4x4.


5

Fie urmatoarea descompunere a matricii A in produsul a doua matrice L si U:

====

44434241

34333231

24232221

14131211

34

2423

141312

44434241

333231

2221

11

1000100

101

000000

aaaaaaaaaaaaaaaa

uuuuuu

lllllll

lll

(13)

Inmultind liniile lui L cu prima coloana a lui U:4141313121211111 ;;; alalalal ================ (14)

Inmultind prima linie a lui L cu coloanele a lui U:;;; 141411131311121211 aulaulaul ============ (15)

de unde

11

1414

11

1313

11

1212 ;; l

aulau

lau ============ (16)

In aceasta metoda se alterneaza gasirea unei coloane a lui L si a unei linii a lui U, astfelca urmeaza gasirea urmatoarei coloane a lui L, prin inmultirea liniilor lui L cu cu coloanaa doua a lui U:

423222

424212413232123122221221

,,

;;

lllalulalulalul

====++++====++++====++++ (17)

Procedind analog obtinem in continuare:

3443244214414444

33

243214313434

234213414343233213313333

22

14212424

22

13212323

;

;

ulululall

ululau

ululalululall

ulaul

ulau

====

====

========

========

(18)

Formulele generale pentru obtinerea elementelor matricelor L si U sunt:

njjil

ulau

niijulal

ii

i

kkjikij

ij

j

kkjikijij

,...,3,2,,

,...,2,1,;

1

1

1

1

====>>>>

====

========

====

====

(19)

Pentru j=1, 11 ii al ==== si pentru. i=1, 11

1

11

11 a

alau jij ======== (20)


6

Observatie: Stocarea matriciiDeoarece matricele L si U pot fi stocate in zona rezervata matricei A aceasta metoda estecunoscuta si sub denumirea de schema compacta:

====

nnnn

n

n

nnnn

n

n

lll

ulluul

aaa

aaaaaa

...............

...

...

...............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

A (21)

Rezolvarea sistemului de ecuatii

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]BX ==== dupa factorizare [[[[ ]]]][[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]BXUL ====Notam [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]'BXU ====Atunci avem:[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]'' BBBL ==== prin substitutie inainte dupa care cu B' cunoscut, prin

substitutie inapoi obtinem[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]XBXU ==== '

Un avantaj special al metodei factorizarii LU este posibilitatea rezolvariisistemului cu mai multe coloane de termeni liberi cu o mare economie de efort de calcul.De retinut ca spre deosebire de cazul clasic al eliminarii Gauss, in care termenii liberitrebuiau cunoscuti in avans, in aceasta metoda nu este necesar sa cunoastem acesti vectoriin momentul reducerii la forma LU. Numarul operatiilor aritmetice necesare aflariisolutiei pentru fiecare nou termen liber, este exact numarul operatiilor necesar efectuariiinmultirii dintre o matrice nxn cu un vector de n dimensiuni.

2.3 Factorizarea Cholesky

In cazul matricelor simetrice (A=AT) si pozitiv definite ( 0>>>>AXXT , pentru oricevector X nenul) una dintre cele mai eficiente metode de rezolvare a sistemelor liniare estefactorizarea Cholesky. Metoda consta in descompunerea matricei A in L si LT astfel incitA=LLT unde L este matrice inferior triunghiulara. Aceasta descompunere se poate facepentru orice matrice A simetrica si pozitiv definita:

TLLA ==== (22)

====

nnnin

iiii

lll

lll

nuleelementelll

.........

...........................

1

21

2221

11

L (23)


7

Elementele matricei L se obtin in functie de cele ale matricei A prin identificarea termencu termen a rezolvarii produsului matrceal (22). Se obtin urmatoarele relatii de recurenta:

(((( )))) jiljilllal

jilal

lalal

ijjj

j

lljliijij

i

liiiiii

ii

>>>>

====

====


8

Observatie:Remarcabil este faptul ca in factorizarea Cholesky vectorul B nu este afectat si inconsecinta matricea L o data obtinuta poate fi utilizata si pentru alte situatii, vectori liberidiferiti.

2.4 Metoda iterativa Jacobi de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

In principiu metodele iterative constau in considerarea unei valori initiale (((( ))))0X pentruvectorul solutie X si apoi prin aplicarea unui algoritm de calcul iterativ se determina unsir de aproximatii succesive (((( )))) (((( )))) (((( ))))kXXX ...,,, 21 care in principiu trebuie sa conveargacatre solutia exacta a sistemului.

Fie sistemul de ecuatii: AX=b:

====++++++++++++++++

====++++++++++++++++

====++++++++++++++++====++++++++++++++++

nnnnnnn

ininiii

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

......

......

......

332211

332211

22323222121

11313212111

(30)

Explicitind din fiecare relatie a sistemului (30) pe xi i=1,2,...,n obtinem urmatorul set derelatii:

====

====

====

11

22

11

22

23

22

231

22

21

22

22

11

13

11

132

11

12

11

11

...

...

...

...

nnn

nn

nn

n

nn

n

nn

nn

nn

nn

xa

axaax

aa

abx

xaax

aax

aa

abx

xaax

aax

aa

abx

(31)

si care poate fi rescris in forma matriceala astfel:

++++

====

n

i

nnnnn

iniii

n

n

n

i

n

i

x

x

xx

mmmm

mmmm

mmmmmm

g

g

gg

x

x

xx

...

...

0.....................

...0.....................

......0

......0

...

...

...

...2

1

1,321

321

22321

11312

2

1

2

1

(32)

unde ii

ijij

ii

ii a

am

abg ======== ; .


9

Calculele se pot conduce matriceal considerind relatia (32) scrisa sub forma condensata:

MXgX ++++==== (33)gasind simultan la fiecare iteratie aproximatiile tuturor necunoscutelor. Considerindvectorul de pornire:

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))0002010 ...... niT xxxx====X (34)dupa prima iteratie gasim:

(((( )))) (((( ))))01 MXgX ++++==== (35)apoi:

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))mm MXgX

MXgX

++++====

++++====

++++1

12

.... (36)

Relatiile (36) se mai pot scrie astfel:

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))0121

0320223

02012

01

......

XMgMMMIX

XMgMMIXMgMIMgMXgXXMgMIMXgMgMXgX

MXgX

++++++++ ++++++++++++++++++++====

++++++++++++====++++++++++++====++++====

++++++++====++++++++====++++====

++++====

mmm

(37)

Cum procesul iterativ, daca e convergent, nu trebuie sa depinda de vectorul de pornireX(0), va rezulta ca:

0M ====++++

1lim mn

(38)

adica matricea M trebuie sa fie convergenta, sa ca 1


10

3. Conditionarea sistemelor de ecuatii liniare

Sistemele de de ecuatii liniare pot fi bine conditionate (cu solutie stabila) si rauconditionate (cu solutie instabila). Stabilitatea solutiei se judeca in raport cu miciperturbatii ale vectorului liber. Daca la modificari nesemnificative ale termenului liber,solutia sistemului se modifica in aceeasi masura, atunci sistemul este bine conditionat,avind solutie stabila; daca solutia se modifica esential, sistemul este rau condtionat si aresolutie instabila.

Un sistem este rau conditionat pentru o operatie determinata, efectuata printr-o metodadeterminata, atunci cind aceasta sensibilitate este mare. Aceasta definitie introducedistinctia intre doua tipuri de de conditionare: un sistem poate fi rau conditionat pentru ometoda particulara sau rau conditionat pentru o operatie particulara, oricare ar fi metodafolosita.

Sa consideram sistemul:bXA ==== (41)

Fie rbb ++++====' si eXX ++++====' unde r reprezinta vectorul care produce perturbarea iar e estevectorul perturbarii solutiei.Avem:

'' bXAbXA

========

(42)

care mai poate fi rescris: (((( )))) bbXXA ==== '' (43)

saurAe ==== (44)

eArrAerAe

XAbbAXbAX

====

====

;;

;;11

11

(45)

sau:

ebAArX

rXAAeb

1

1

(46)

Din (46) rezulta

1

1

1

AArXeb

AArXeb

(47)

sautinind cont ca (((( ))))AAA cond1 ==== numit numarul de conditie a matricii A obtinem:

(((( )))) (((( )))) br

Xe

br

AA

condcond

1 (48)


11

Relatia (48) poate furniza informatii asupra stabilitatii sistemelor de ecuatii liniare. Astfeldaca matricea A a sistemului are numarul de conditie cond(A) 1 atunci modificarea

solutiei exprimata prin Xe

este de acelasi ordin de marime ca si modificarea in termenul

liber definit de br

. Altfel spus daca mici modificari se produc in termenul liber, solutia

se modifica si ea in aceeasi masura. Sistemele cu matricea coeficientilor A avind numarulde conditie cond(A) mic sunt sisteme bine conditionate, stabile in solutie.

Exemplu numeric

Fie sistemul de ecuatii:

========

40.240.360.135.242.357.1

yxyx

(49)

ale carei solutii x=1.64, y=0.060 au fost obtinute efectuindu-se calculele cu trei cifresemnificative. Sistemul este slab conditionat deoarece modificari neinsemnate alecoeficientilor produc variatii mari ale solutiilor. Afirmatia este ilustrata grafic in Fig. 1.

Fig. 1

O imbunatatire a conditionarii se obtine daca se scade prima ecuatie din cea de a doua sirezultatul se multiplica cu 100:

========++++

40.240.360.10.504.20.3

yxyx

(50)

Solutiile acestui nou sistem x=1.63, y=0.06 sunt putin diferite de ale celui precedent, darmodificarile coeficientilor nu le influenteaza in mod insemnat (Fig. 2).

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30 35

X

Y

1.57x-3.42y=2.351.6x-3.40y=2.40


12

Fig. 2

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 5 10 15 20 25 30 35

X

Y 3.0x+2.04y=5.01.6x-3.40y=2.4

Documents

SISTEME DE ECUATII LINIARE - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~ccosmin/sisteme.pdf · intreaga gama de posibilitati vom alege varianta in care U are 1 pe diagonala.In ... 2.3 Factorizarea