VA DE NÚMEROS

En l’actualitatEn l’actualitat, a tot arreu veiem xifres...., a tot arreu veiem xifres....

El món digital ja és una part El món digital ja és una part indispensable de la nostra vida, i molt indispensable de la nostra vida, i molt important.important.

És impossible saber quan es començà a usar les matèmàtiques, però sí estem segurs que es féu per a resoldre situacions quotidianes:

per a saber quants caps de bestiar es tenia

o el nombre d'armes o per a mesurar l'extensió de

terra sembrada o conquistada

Així, l'home va descobrir el primer sistema de matemàtiques aplicades.

EN UN PRINCIPI ……

SISTEMES DE NUMERACIÓ

BabilònicEgipci

GrecRomà

Indo-aràbic

BABILÒNIC: CUNEIFORME

A Mesopotàmia feien servir un sistema :de base sexagesimal: número base 60numeració posicional: cada xifra té valor diferent segons la posició (centenes, desenes, unitats),

notació gràfica com l’escriptura, de tipus cuneïforme: Y (de valor 1); < (de valor 10)Un nombre inferior a 60, es representava repetint les marques: 39 (3 < i 9 Y) YYY

YYY <<< YYY

Per a nombres de més dígits sexagesimals (a partir de 60) se separaven els dígits en columnes: 165 = 2x60 + 45,

YY <<<< YYYYY

USOS DEL SISTEMA SEXAGESIMAL

EGIPCI: JEROGLÍFIC

La notació jeroglífica egípcia data d’uns 5.000 anys i està estructurada en una escala numèrica de base 10.

Els egipcis utilitzaven un senzill esquema iteratiu amb l’ajut d’un conjunt de símbols diferents per a cada una de les primeres sis potències de deu.

Pal asa corda lotus dit granota home

GREC: ALFABÈTICEl sistema de notació grec es basava en l’alfabet. Cada lletra representava un valor numèric.

Per als nou múltiples de 1000 s’adoptaren les nou primeres lletres precedides per un accent: ‘ (=1000).

La M separada de la resta del nom per un punt (la miríada) representava el producte d’aquest nombre per 10.000: M· (= 40.000).

Sistema ROMÀSistema aditiu que usa lletres de l’abecedari com a símbolsHi ha dos grups de simbols, amb comportaments diferents:El de les potències de 10: I (1), X (10), C (100), M (1000). No es poden

repetir més de tres vegades

Si només tinguerem aquests, per escriure 999 hauriem d'escriure molts signes (així funciona la numeració egípcia).

Els romans devien adonar-se que més de tres signes iguals ja no es capten a cop d'ull. Per això van fer un altre grup de signes intermedis, el dels "cincs": V (5), L (50), D (500). No es repeteixen mai.

A més incorporaren la idea de la resta: Un símbol I, X, C posat a l'esquerra d'un simbol V, L, D o X, C, M respectivament, li restava el seu valor a aquest.

I per escriure nombres grans...Una línia horitzontal sobre un símbol, el multiplica por 1000.

Ex: XLIII = (50 – 10) + 3 = 43; DCCCXXVIICCCVI = 827. 306

USOS DE LA NUMERACIÓ ROMANA

INDO-ARÀBICEl sistema de notació hindú va combinar tres principis bàsics molt més antics: una base decimal, una notació posicional i una forma xifrada per a cada un dels

deu numerals bàsics.

Cap d’aquests principis no era originàriament hindú, però foren ells els que els van reunir per primera vegada, per a construir el sistema de numeració modern, que passà a Occident a través de la traducció (Al-jabr wa’l muqabalah, 850) del matemàtic àrab Mohammed Ibn-Musa al-Hwarizmi.

Quan aparegueren a Europa les primeres traduccions llatines d’aquesta obra, es va atribuir a l’autor no sols l’obra, sinó també el sistema de numeració que s’hi exposa, conegut com el d’al-Hwarizmi.

SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL

La causa de que emprem el sistema de numeració decimal és deu al fet que des de sempre s'han utilitzat els dits de les mans per a contar (Aristòtil) .

El sistema decimal és un sistema de numeració en el qual les quantitats es representen utilitzant com base el número 10. Per això, es compon de deu xifres diferents: zero (0); un (1); dos (2); tres (3); quatre (4); cinc (5); sis (6); set (7); vuit (8) i nou (9). Aquest conjunt de símbols es denomina nombres àrabs, i és d'origen hindú.

És el sistema de numeració usat habitualment en tot el món i en totes les àrees que requereixen d'un sistema de numeració.

SISTEMA BINARIComo en el universo de los ordenadores y la electrónica no hay dedos para contar, sólo dos niveles de voltaje: ON= 1, OFF= 0; por eso, el sistema de numeración natural de las máquinas es el binario, en base 2.

Gottfried W. Leibnitz estudió el sistema binario en el siglo XVII sin saber todas la utilidades que años después tendría su descubrimiento. Vió en este sistema la imagen de la Creación: se imaginó que la unidad (1) representaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema filosófico basado en esas premisas.

El zero (0) és el signe numèric de valor nul, que en notació posicional ocupa els llocs on no hi ha una xifra significativa. Si està situat a la dreta d'un nombre sencer, decuplica el seu valor; col·locat a l’esquerra, no el modifica.

El zero va aparèixer per primera vegada a Babilònia en el segle III a. C., encara que la seva escriptura en tauleta d’argila es remunta a l’any 2000 a. C.

El primer testimoni de l'ús del «zero indi» està datat cap a l'any 810. Abu Ja‘far Mujammad Musa, en la seva obra titulada «Tractat de l’addició i la subtracció mitjançant el càlcul dels indis» explica el principi de numeració posicional decimal, assenyalant l’origen indi de les xifres. La desena figura, que té forma arrodonida, és el «zero»

ACTIVITAT:Escriu en notació jeroglífica, babilònica, grega, i romana els nombres

Aràbiga Babilònica

Egípcia Grega Romana

183

999

17

56

2012

Números

Il·lustres

L'arrel quadrada de 2 és igual a la longitud de la hipotenusa d'un

triangle rectangle els catets del qual tenen una longitud 1.

Els va inventar Hipaso de Metaponto

2

NÚMERO

El va descobrir Arquímedes.

És la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre :

P = d · π

NÚMERO D’OR

Pitàgores i els seus seguidors formaven una una espècie d'escola o comunitat. Per a ells, el número cinc tenia un atractiu especial: el seu símbol era un estel de cinc puntes i els interessava especialment la figura del pentàgon. En el pentàgon van trobar el nombre, anomenat nombre auri (d'or). És un nombre irracional que reflecteix la relació entre el costat d'un pentàgon i la seua diagonal. El seu valor és , o aproximadament 1,6180339887....

Les anomenades proporcions áurees, 1: 5, han sigut considerades perfectes pels artistes des de l'Antiga Grècia fins als nostres dies.

Un rectangle amb les proporcions perfectes té la particularitat que si se li treu un quadrat de 1×1, la part restant torna a tenir les proporcions perfectes.

Els constructors del Partenón d'Atenes (i els de molts altres temples i edificis) van tenir molt en compte la proporció àuria. La relació entre l'altura i l'amplària de la seua façana és precisament aqueixa . I el mateix succeeix amb molts objectes quotidians: targetes de crèdit, carnets d'identitat, les caixes dels cassets...

si hi ha de la part petita a la part gran la mateixa relació que de la gran al tot

SUCCESIÓ DE FIBONACCI

• Per què les margarides tenen generalment 34, 55 o 89 pètals? Per què les pinyes tenen 8 diagonals en un sentit i 13 en l'altre? Per què en el girasol de la foto es poden explicar 21 espirals en un sentit i 34 en l'altre?

• Tots els nombres a dalt esmentats formen part de la successió de Fibonacci, anomenada així en honor al matemàtic italià que la va estudiar per primera vegada en 1202.

• La successió de Fibonacci s'obté de la següent manera: fn = fn - 1 + fn - 2 per a n >= 3. En altres paraules, cada terme és igual a la suma dels dos anteriors: 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13...

• Els nombres de Fibonacci són, per tant: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584...

• Els nombres de Fibonacci posseeixen diverses propietats. Potser una de les més curioses, és que el quocient de dos nombres consecutius de la sèrie s'aproxima al nombre d'or. Açò és: an+1/an tendeix a (1 + arrel quadrada de 5)/2

Les proporcions entre les diferents parts del cos són proporcions àuries. Per exemple, el quocient entre l’altura de l’home (costat del quadrat) i la distància del melic a la punta de la ma (radi de la circumferència) és el nombre auri

Dins de la natura el nombre   apareix, per exemple, en les pinyes dels pins, en les espirals dels grans en els gira-sols, en el creixement de les plantes, en la bifurcació de les branques dels arbres, en l’estrella de mar, en l’espiral de la conquilla del “Nautilus”

Un googol és un nombre gran. Aquest nombre fou introduït al 1920 per Milton Sirotta als 9 anys d'edat, nebot del matemàtic nord-americà Edward Kasner.

Aquest número encara que no té cap utilitat en el món de les matemàtiques, s'utilitza per il·lustrar la diferència entre un nombre inimaginablement gran i l'infinit.

EL DARRER PRIMERQuin és l’últim número primer que s’ha trobat?

243112609 -1

Qui l’ha trobat?

Omar Rojas i Reinout i Quispel

Com es va calcular?

Es va calcular amb un programa d’internet

PER QUÈ ELS NOMBRES SÓN COM SÓN?

FI

φ

CUBE 1, I LES MATEMÀTIQUES

El interés matemático de esta película salta a la vista en el mismo título de la misma. Entre los temas matemáticos que trata destacan los siguientes:

• Codificación con números primos: A los pocos minutos de empezar la película aparecen los números primos como ejemplo de codificación de las habitaciones cúbicas. Afortunadamente uno de los personajes, Leaven, que es estudiante de matemáticas, descubre que no son unos números cualquiera, que tienen un sentido y encierran más información de la que en un principio sospechan.

• Descomposición en factores primos: En la película vemos a un personaje autista, Kazan, el cuál tiene una habilidad asombrosa para saber los factores primos de un número “grande”, es decir, tiene la virtud de saber a priori si un número es primo ó no. A día de hoy no es tan fácil saber si un número es primo ó no, o al menos de saberlo en un periodo de tiempo razonable, por lo que este hecho se ha utilizado para la encriptación de datos. Sin embargo Kazan puede.

• Geometría Tridimensional: En otra parte de la película se menciona explícitamente a Descartes, en particular, los ejes cartesianos. Pronto descubrirán que los cubos se mueven y se mueven siguiendo una determinada permutación que sorprendentemente esta codificada en los números que hay en cada puerta.