Sistemes de Reescriptura (09-10)ima.udg.es › ~villaret › sistemes_reescriptura.pdfSistemes de Reescriptura Abstractes Reescriptura de Termes Sistemes de Reescriptura (09-10) Mateu

Introduccio

Sistemes deReescripturaAbstractes

Reescripturade Termes

Sistemes de Reescriptura (09-10)

Mateu Villaret

IMA, UdG

05 d’octubre del 2009

Introduccio



Resum

1 Introduccio

2 Sistemes de Reescriptura Abstractes

3 Reescriptura de Termes

Introduccio



Reescriptura des de l’escola ...

(3 + 5)× (1 + 2)

Introduccio




(3 + 5)× (1 + 2)

8× (1 + 2) (3 + 5)× 3

Introduccio




(3 + 5)× (1 + 2)

8× (1 + 2) (3 + 5)× 3

(8× 1) + (8× 2) 8× 3 (3× 3) + (5× 3)

Introduccio




(3 + 5)× (1 + 2)

8× (1 + 2) (3 + 5)× 3

(8× 1) + (8× 2) 8× 3 (3× 3) + (5× 3)

8 + (8× 2) (8× 1) + 16 9 + (5× 3) (3× 3) + 15

Introduccio




(3 + 5)× (1 + 2)

8× (1 + 2) (3 + 5)× 3

(8× 1) + (8× 2) 8× 3 (3× 3) + (5× 3)

8 + (8× 2) (8× 1) + 16 9 + (5× 3) (3× 3) + 15

9 + 158 + 16

Introduccio




(3 + 5)× (1 + 2)

8× (1 + 2) (3 + 5)× 3

(8× 1) + (8× 2) 8× 3 (3× 3) + (5× 3)

8 + (8× 2) (8× 1) + 16 9 + (5× 3) (3× 3) + 15

9 + 158 + 16

24

Introduccio




D’altres de quotidians com les hores del dia:

1→ 2→ · · · → 11→ 12→ 1→ 2 . . .

Introduccio




D’altres de mes sofisticats:

n→ n′ on

{n′ = n/2 si n es parell (i n > 1)n′ = 3n + 1 si n es senar (i n > 1)

Introduccio





n→ n′ on


Per exemple:

7→ 22→ 11→ 34→ 17→ 52→ 26→ 13→ . . .

Introduccio





n→ n′ on


Per exemple:

7→ 22→ 11→ 34→ 17→ 52→ 26→ 13→ . . .→ 40→ 20→ 10→ 5→ 16→ 8→ 4→ 2→ 1

Introduccio





n→ n′ on


Problema obert:

Es veritat, o no, que qualsevol enter s’acaba reduint a 1?(Syracusa problem= Collatz’s problem)

Introduccio



Sistemes de Reescriptura

Definition

La reescriptura es un mecanisme abstracte per a latransformacio pas a pas d’objectes d’acord amb unes regles.

La reescriptura (de termes) te aplicacions en:

Programacio funcional

Sistemes de deduccio automatica

Introduccio



Exemples de Reescriptura: comput

La reescriptura com a mecanisme de comput

Regles aplicades en una sola direccio per calcular formesnormals.Programacio funcional.

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )

Aixı per exemple podem calcular ÷( 4, 2 ):

÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))

→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))

→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))

→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))

→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))

→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))

→ s(s(0)) = 2

Introduccio




Exemple

−(x , 0) → x−(s(x), s(y)) → −(x , y)÷( 0, s(y) ) → 0

÷( s(x), s(y) ) → s(÷(−(x , y), s(y) ) )


÷ ( 4, 2 ) → s(÷(−(3, 1), 2 ))→ s(÷(−(2, 0), 2 ))→ s(÷( 2, 2 ))→ s(s(÷(−(1, 1), 2 )))→ s(s(÷(−(0, 0), 2 )))→ s(s(÷( 0, 2 )))→ s(s(0)) = 2

Introduccio



Exemples de Reescriptura: deduccio

La reescriptura com a mecanisme de deduccio

Regles aplicades en ambdues direccions i que defineixen classesd’equivalencia.Raonament equacional en deduccio automatica.

Introduccio




Exemple

En Algebra, els grups son conjunts equipats amb una operaciobinaria ◦, una d’unaria i i un element especial e que satisfan:

(G 1) (x ◦ y) ◦ z ≈ x ◦ (y ◦ z),(G 2) e ◦ x ≈ x ,(G 3) i(x) ◦ x ≈ e

Introduccio




Exemple

(G1) (x ◦ y) ◦ z ≈ x ◦ (y ◦ z),(G2) e ◦ x ≈ x ,(G3) i(x) ◦ x ≈ e

Podem demostrar que e ≈ x ◦ i(x)?

eG3≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ i(x))G2≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ (e ◦ i(x)))G3≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ ((i(x) ◦ x) ◦ i(x)))G1≈ i(x ◦ i(x)) ◦ ((x ◦ (i(x) ◦ x)) ◦ i(x))G1≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (((x ◦ i(x)) ◦ x) ◦ i(x))G1≈ i(x ◦ i(x)) ◦ ((x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ i(x)))G1≈ (i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ i(x))) ◦ (x ◦ i(x))G3≈ e ◦ (x ◦ i(x))G2≈ x ◦ i(x)

Introduccio




Exemple

(G1) (x ◦ y) ◦ z ≈ x ◦ (y ◦ z),(G2) e ◦ x ≈ x ,(G3) i(x) ◦ x ≈ e

Podem demostrar que e ≈ x ◦ i(x)?

eG3≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ i(x))G2≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ (e ◦ i(x)))G3≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ ((i(x) ◦ x) ◦ i(x)))G1≈ i(x ◦ i(x)) ◦ ((x ◦ (i(x) ◦ x)) ◦ i(x))G1≈ i(x ◦ i(x)) ◦ (((x ◦ i(x)) ◦ x) ◦ i(x))G1≈ i(x ◦ i(x)) ◦ ((x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ i(x)))G1≈ (i(x ◦ i(x)) ◦ (x ◦ i(x))) ◦ (x ◦ i(x))G3≈ e ◦ (x ◦ i(x))G2≈ x ◦ i(x)

Introduccio




Word Problem

Donat un conjunt d’identitats E i dos termes s i t, podemtransformar s en t utilitzant E com a regles de reescriptura enambdues direccions?

Agafar el conjunt d’identitats i transformar-les en sistemes dereescriptura en una direccio de manera que “simplifiquin”:

(R1) (x ◦ y) ◦ z → x ◦ (y ◦ z),(R2) e ◦ x → x ,(R3) i(x) ◦ x → e

Ara agafar s i t i mirar si tenen la mateixa forma normal.

Termes equivalents poden tenir formes normals diferents!!!(confluencia?)

Els termes poden no tenir forma normal!!! (acabament?)

Introduccio




Word Problem







Introduccio




Word Problem







Introduccio



Perspectiva Historica

Orıgens: 1930’s amb el λ-calcul i combinatory logic:ambdos capturen la nocio de computabilitat.

Mes endavant amb els llenguatges de programacio,l’especificacio equacional dels tipus abstractes de dades, esdesenvolupa l’estudi del TRS.

Conferencies dedicades directament: RTA, TLCA.

Open problems list! http://rtaloop.pps.jussieu.fr/

Introduccio



Resum

1 Introduccio



Introduccio



Abstract Rewriting System: (A,→)

Reduccio= recorregut sobre un graf dirigit, execucio pas a pasd’un comput, transformacio gradual d’algun objecte, ...Matematicament parlem de relacions binaries.Un ARS es:

(A,→)

on:

A es un conjunt,

la reduccio → es una relacio binaria sobre A, →⊆ A× A,

enlloc de (a, b) ∈→, escriurem a→ b.

Example

A = N − {0, 1},→ = {(m, n)|m > n ∧ m mod n = 0}

Introduccio



Abstract Rewriting System: (A,→)

Reduccio= recorregut sobre un graf dirigit, execucio pas a pasd’un comput, transformacio gradual d’algun objecte, ...Matematicament parlem de relacions binaries.Un ARS es:

(A,→)

on:

A es un conjunt,

la reduccio → es una relacio binaria sobre A, →⊆ A× A,

enlloc de (a, b) ∈→, escriurem a→ b.

Example

A = N − {0, 1},→ = {(m, n)|m > n ∧ m mod n = 0}

Introduccio



Definicions basiques

Definition

Donades dues relacions R ⊆ A× B i S ⊆ B × C ,

R ◦ S = {(x , z) ∈ A× C | ∃y ∈ B. (x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ S}

Introduccio



Definicions basiques

Definition

0→ = {(x , x)| x ∈ A} identitati+1→ =

i→ ◦ → i + 1-composicio i ≥ 0+→ = ∪i>0

i→ clausura transitiva=→ = → ∪ 0→ clausura reflexiva∗→ =

+→ ∪ 0→ clausura reflexiva i transitiva−1→ = {(y , x)| x → y} inversa

← =−1→ inversa

↔ = → ∪ ← clausura simetrica+↔ = (↔)+ clausura simetrica i transitiva∗↔ = (↔)∗ clausura reflexiva, simetrica i transitiva

Introduccio



Definicions basiques: exemple

Definim la relacio binaria R sobre {1, 2, 3, 4, 5} com a{(1, 2), (1, 3), (2, 4)}

R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





R+ = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (1, 4)}

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





R0 = R∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





R∗ = R∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





R−1 = {(2, 1), (3, 1), (4, 2)}

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





R ∪R−1 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





(R∪R−1)+ = {. . . }

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio





(R∪R−1)∗ = {. . . }

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

Introduccio



Definicions basiques: terminologia

Terminologia:

x es reduıble sii existeix una y tal que x → y

x esta en forma normal (irreduible) sii no es reduıble

y es una forma normal de x sii x∗→ y i y esta en forma

normal; si x te una unica forma normal determinada,aquesta s’escriu x ↓y es un successor de x sii x

+→ y

x i y es poden ajuntar (joinable) sii existeix z tal que

x∗→ z

∗← y ; ho escriurem x ↓ y

Introduccio




Terminologia:





+→ y


x∗→ z


Introduccio




Terminologia:




normal; si x te una unica forma normal determinada,aquesta s’escriu x ↓

y es un successor de x sii x+→ y


x∗→ z


Introduccio




Terminologia:





+→ y


x∗→ z


Introduccio




Terminologia:





+→ y


x∗→ z


Introduccio



Definicions basiques: continuacio de l’exemple

La relacioR = {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}

i la seva clausura reflexiva, transitiva i simetrica, es potrepresentar tambe com un graf dirigit.

1

2 3

4 5

Introduccio



Definicions basiques: continuacio de l’exemple

La relacioR = {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}

i la seva clausura reflexiva, transitiva i simetrica, es potrepresentar tambe com un graf dirigit.

1

2 3

4 5

Introduccio



Definicions basiques: nocions centrals

Definition

Una relacio → s’anomena:Church-Rosser sii x

∗↔ y =⇒ x ↓ y

confluent sii y1∗← x

∗→ y2 =⇒ y1 ↓ y2

semi-confluent sii y1 ← x∗→ y2 =⇒ y1 ↓ y2

de terminacio sii no hi ha cap cadena infinita:a0 → a1 → . . .

normalitzant sii tot element te forma normal

convergent sii es confluent i de terminacio

Introduccio



Definicions basiques: representacio grafica

En les seguent representacions grafiques, les lınies “solides”representen universals i les retallades existencials.Cada diagrama representa la implicacio de la definiciocorresponent.

Church-Rosser: Confluent: Semi-confluent:

x �∗ - y

z

∗�

∗ -

x∗- y1

∗

?y2

∗- z

∗?

x - y1

∗

?y2

∗- z

∗?

Introduccio



Church-Rosser: la propietat desitjada

Church-Rosser es el que anavem buscant:

Poder comprovar equivalencia mitjancant la cerca d’unsuccessor comu

Theorem (CR=Confluent)

Les seguents condicions son equivalents:

1 → es Church-Rosser

2 → es confluent

3 → es semi-confluent

Introduccio



Church-Rosser: la propietat desitjada

Church-Rosser es el que anavem buscant:

Poder comprovar equivalencia mitjancant la cerca d’unsuccessor comu

Theorem (CR=Confluent)

Les seguents condicions son equivalents:

1 → es Church-Rosser

2 → es confluent

3 → es semi-confluent

Introduccio



Church-Rosser i confluencia equivalents, diagramaticalment

Assumint confluencia i considerant l’equivalencia:

x∗↔ y ≡ x

∗← .∗→ . . .

∗← .∗→ y

. .

x

∗

�.

∗

-

. . .

∗

� y

∗-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

z

∗

�

∗-

Introduccio





x∗↔ y ≡ x

∗← .∗→ . . .

∗← .∗→ y

. .

x

∗

�.

∗

-

. . .

∗

� y

∗-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

z

∗

�

∗-

Introduccio





x∗↔ y ≡ x

∗← .∗→ . . .

∗← .∗→ y

. .

x

∗

�.

∗

-

. . .

∗

� y

∗-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

z

∗

�

∗-

Introduccio





x∗↔ y ≡ x

∗← .∗→ . . .

∗← .∗→ y

. .

x

∗

�.

∗

-

. . .

∗

� y

∗-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

.

∗

�

∗

-

z

∗

�

∗-

Introduccio



Demostracio

Demostracio del teorema anterior: 1⇒ 2⇒ 3⇒ 1

(1⇒ 2): si → es CR i y1∗← x

∗→ y2 llavors y1∗↔ y2 i per CR

y1 ↓ y2, per tant → es confluent.

(2⇒ 3): obvi.

(3⇒ 1): si → es semi-conf. i x∗↔ y demostrarem x ↓ y , (CR),

per induccio en la llargada de x∗↔ y .

Cas base: x = y , trivial.

Cas inductiu: x∗↔ y ↔ y ′, per HI sabem que x ↓ y , per

tant existeix z : x∗→ z

∗← y . Demostrem que x ↓ y ′ percasos:

y ← y ′: x ↓ y ′ es deriva directament ja que x ↓ yy → y ′: per semi-conf tenim z ↓ y ′ i per tant x ↓ y ′

Introduccio



Demostracio


(1⇒ 2): si → es CR i y1∗← x



(2⇒ 3): obvi.








Introduccio



Demostracio


(1⇒ 2): si → es CR i y1∗← x



(2⇒ 3): obvi.








Introduccio



Demostracio


(1⇒ 2): si → es CR i y1∗← x



(2⇒ 3): obvi.








Introduccio



Demostracio


(1⇒ 2): si → es CR i y1∗← x



(2⇒ 3): obvi.








Introduccio



Demostracio


(1⇒ 2): si → es CR i y1∗← x



(2⇒ 3): obvi.








Introduccio



Consequencies del teorema

La confluencia sola no garanteix que sigui factible decidirequivalencia: si la relacio no es de terminacio...Els seguents resultats acaben el dibuix:

Fact

Si → es confluent, cada element te com a molt una unicaforma normal.

Si → es normalitzant i confluent, cada element te unaunica forma normal.

Theorem (Confluent i normalitzant)

Si → es confluent i normalitzant llavors x∗↔ y ⇔ x ↓= y ↓.

Introduccio



Consequencies del teorema

Aixı el test d’equivalencia tinguent confluencia es: testejar si laforma normal dels dos elements son identiques. Sera decidiblesi les formes normals son computables i la identitat tambe.La terminacio tambe ens ajuda:

Theorem

Si → es convergent llavors x∗↔ y ⇔ x ↓= y ↓.

Introduccio



Exercicis (i)

Donades les seguent dues relacions de reescriptura:

1 Sigui A = N − {0, 1}. Definim

→ = {(m, n)|m > n ∧ m mod n = 0}

2 Sigui A = {a, b}∗ (les paraules sobre l’alphabet a, b).Definim

→ = {(ubav , uabv)| u, v ∈ A}

Explica que significa en cadascuna d’elles que: un elementesta en forma normal, un element es forma normal d’unaltre i que siguin “joinable”.

Digues tambe i justifica-ho, si son d’acabament,Church-Rosser i confluents.

Introduccio



Exercicis (ii)

Fes les seguents demostracions:

3 Demostra el teorema “Confluent i normalitzant” i els fetsprecedents.

4 Demostra que → es confluent i normalitzant sii cadaelement te una unica forma normal.

5 Demostra diagramaticalment els dos casos del pasd’induccio de la demo del teorema CR=Confluent.

Introduccio



Resum

1 Introduccio



Introduccio



Reescriptura de Termes

Sistemes de reescriptura de termes (de primer-ordre)(TRS).

La regla de reduccio es presenta esquematicament:

x + 0→ x

de manera que podem reduir per quasevol substitucio, p.ex.[x 7→ 1]:

1 + 0→ 1

i ho podem fer en qualsevol contexte:

1 + (3 + 0) ∗ 4→ 1 + 3 + 4

Introduccio






x + 0→ x


1 + 0→ 1


1 + (3 + 0) ∗ 4→ 1 + 3 + 4

Introduccio






x + 0→ x


1 + 0→ 1


1 + (3 + 0) ∗ 4→ 1 + 3 + 4

Introduccio



Reescriptura de termes

Conceptes basics: Signatura, termes, contextos,substitucions, matching, unificacio, ...

Definicio de TRS

Reduccio

Sistemes equacionals; semantica

TRS complerts i el “word problem”

Solapament i parells crıtics

Introduccio



Termes (i)

Definition

Una Signatura es un conjunt no buit de sımbols defuncio f , g , a, . . . amb una aritat cadascun. Els sımbols0-aris tambe s’anomenen constants.

Les variables son un conjunt infinit Var de sımbolsdisjunts de la signatura x , y , . . .

El conjunt de termes sobre una signatura Σ, T (Σ) esdefineix:

x ∈ T (Σ) per tot x ∈ Var .si f ∈ Σ es n-aria i t1, . . . , tn ∈ T (Σ) llavorsf (t1, . . . , tn) ∈ T (Σ).ti son els arguments i f el cap o arrel.Enlloc de a() escriurem a.

Introduccio



Termes (ii)

Definition

Termes sense variables son ground.

Termes sense variables repetides son lineals.

Var(t) son les variables que occorren a t.

La llargada o tamany d’un terme es el numerod’occurrencies de sımbols de funcio i variables del terme.

Example

Alguns termes i alguns no termes: Σ = {f2, h1, a0, b0} Termes:

f (f (x , h(a)), f (x , a)) x h(x , y) a f (f (a, b), a)

“no termes”:

f (f (a), b) x(a) f a(b)

Introduccio



Termes (iii)

Definicions “auxiliars”:

Definition

Un contexte es un terme C ∈ T (Σ ∪ {•}) on • es unanova constant: forat. (C [ ])

Si C te n forats i t1, . . . , tn son termes, C [t1, . . . , tn] es elterme C on es substitueixen els n forats pels n t’sd’esquerra a dreta.

Si t = C [t1, . . . , tn] i n ≥ 1 diem que C es un prefixe de ti cada ti un subterme de t, ti ≤ t (es propi si C 6= •).

sigui t un terme i t = C (s) = D(s) i C 6= D llavors soccorre com a mınim 2 cops a t: 〈s|C 〉 i 〈s|D〉.Analogament per sımbols de funcio.

Introduccio



Termes (iv)

Example

Considerem el terme:

t = g(

f (a, b), h(f (a, b)), f (h(a), h(a)))

Per definicio:

g(

f (•, b), h(•), f (h(a), •))[a, f (a, b), h(a)]

Aixı, el subterme a occorre diversos cops, el podem situargracies als contextes:

〈a, g(

f (•, b), h(f (a, b)), f (h(a), h(a)))〉

〈a, g(

f (a, b), h(f (•, b)), f (h(a), h(a)))〉

. . .

Introduccio



Termes (v)

Exercicis:

1 Definiu els contextes d’un sol forat inductivament.

2 Definiu C [t] recursivament.3 Donades dues ocurrencies 〈s|C []〉 i 〈s ′|C ′[]〉 a t, definiu:

〈s|C []〉 ≤ 〈s ′|C ′[]〉, contingut〈s|C []〉 disjunt de 〈s ′|C ′[]〉

Introduccio



Termes-Arbres (i)

Definition

Podem representar els termes com a arbres finits etiquetats:

les variables i les constants son arbres d’un sol nodeetiquetat amb la variable o constant

el terme f (t1, . . . , tn) sera un arbre amb f com a etiquetade l’arrel i t1, . . . , tn com a subarbres directes d’esquerra adreta.

Ens referim als nodes de l’arbre amb posicions especificadesamb sequencies d’enters:

la posicio arrel d’un arbre es la sequencia buida ε

sigui t un terme i f (t1, . . . , tn) un subterme de t a laposicio π, llavors ti esta a la posicio π i de t, de fett|(π i) = ti .

Introduccio



Termes-Arbres (ii)

Example

Considerem el terme:

t = g(

f (a, b), h(f (a, b)), f (h(a), h(a)))

Tenim, t|11 = a, t|21 = f (a, b) i t|32 = h(a) son subtermes det. De fet, t|31 = t|32.

Exercicis:

4 Definiu inductivament t|p.

5 Verifiqueu que t|p ≤ t|q sii q ≤ p (prefixe de paraules)

6 Demostreu que t|p q = t|p|q

Introduccio



Termes-Substitucions (i)

Definition

Una substitucio es una funcio σ : T (Σ)→ T (Σ) tal que:

σ(f (t1, . . . , tn)) = f (σ(t1), . . . , σ(tn))

i canvia les variables per termes. Tambe es defineix com a unafuncio σ : Var → T (Σ), i es descriu extensionalment com aσ = [x1 → t1, . . . , xn → tn] amb ti 6= xi , aquestes xi son eldomini de σ, Dom(σ).Si s = σ(t) diem que s es una instancia de t.

Example

Sigui σ = [x 7→ f (a, b), y 7→ h(z), z 7→ a], tenim

σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio




Definition


σ(f (t1, . . . , tn)) = f (σ(t1), . . . , σ(tn))


Example


σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=

g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio




Definition


σ(f (t1, . . . , tn)) = f (σ(t1), . . . , σ(tn))


Example


σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio



Termes-Substitucions (ii)

Definition

La composicio de substitucions σ i τ es la substitucio σ ◦ τ :

σ ◦ τ(t) = σ(τ(t))

Una substitucio σ es mes general que τ : σ ≤ τ , si existeix unasubstitucio ρ tal que τ = ρ ◦ σ.

Introduccio




Definition


σ ◦ τ(t) = σ(τ(t))


Example

Sigui σ = [x 7→ f (a, b), y 7→ h(z), z 7→ a] i ρ = [z 7→ c]

ρ◦ σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=

ρ(

σ(

g( z , h(y), f (x , x) )) )

=

ρ(

g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) ))

=

g( a, h(h(c)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio




Definition


σ ◦ τ(t) = σ(τ(t))


Example


ρ◦ σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=

ρ(

σ(

g( z , h(y), f (x , x) )) )

=

ρ(

g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) ))

=

g( a, h(h(c)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio




Definition


σ ◦ τ(t) = σ(τ(t))


Example


ρ◦ σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=

ρ(

σ(

g( z , h(y), f (x , x) )) )

=

ρ(

g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) ))

=

g( a, h(h(c)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio




Definition


σ ◦ τ(t) = σ(τ(t))


Example


ρ◦ σ(

g( z , h(y), f (x , x) ))

=

ρ(

σ(

g( z , h(y), f (x , x) )) )

=

ρ(

g( a, h(h(z)), f (f (a, b), f (a, b)) ))

=

g( a, h(h(c)), f (f (a, b), f (a, b)) )

Introduccio




Definition


σ ◦ τ(t) = σ(τ(t))


Example

σ1 = [x1 7→ f (a, b), y1 7→ h(z1), z1 7→ a]

σ2 = [x1 7→ f (x2, x3), y1 7→ y2]

σ3 = [x1 7→ f (y3, y3)]

Com es relacionen???

Introduccio



Termes-Unificacio (i)

Definition

Una equacio es un parell (no-orientat) de termes s ?= t.

Un problema d’unificacio es un conjunt d’equacions:P = {s1

?= t1, . . . , sn?= tn}. Es solucionable (unificable)

si existeix alguna substitucio σ (unificador) tal que∀i ∈ {1..n}, σ(si ) = σ(ti ) (instancia comu).

Un unificador es l’unificador mes general (mgu) sii esmes general que qualsevol altre unificador. (unic)

Introduccio



Termes-Unificacio (ii)

Example

No unificables:

{x ?= f (z , a), z ?= f (a, x)}{f (x , x) ?= f (a, z), z ?= f (a, a)}

Unificable: {f (a, x) ?= f (y1, y2), h(f (z , z)) ?= x}un unificador:

σ = [y1 7→ a, y2 7→ h(f (b, b)), x 7→ h(f (b, b)), z 7→ b]

l’unificador mes general:

ρ = [y1 7→ a, y2 7→ h(f (z , z)), x 7→ h(f (z , z))

De fet, σ = [z 7→ b] ◦ ρ.

Introduccio



Termes-Unificacio (ii)

Example

No unificables:

{x ?= f (z , a), z ?= f (a, x)}{f (x , x) ?= f (a, z), z ?= f (a, a)}

Unificable: {f (a, x) ?= f (y1, y2), h(f (z , z)) ?= x}un unificador:

σ = [y1 7→ a, y2 7→ h(f (b, b)), x 7→ h(f (b, b)), z 7→ b]

l’unificador mes general:

ρ = [y1 7→ a, y2 7→ h(f (z , z)), x 7→ h(f (z , z))

De fet, σ = [z 7→ b] ◦ ρ.

Introduccio



Termes-Unificacio (iii)

Procediment d’unificacio, (si unifica dona el mgu):

1 P ∪ {t ?= t} =⇒ P

2 P ∪ {f (t1, . . . , tn) ?= f (s1, . . . , sn)} =⇒ P⋃

1≤i≤n{ti?= si}

3 P ∪ {f (t1, . . . , tn) ?= g(s1, . . . , sn)} =⇒ CLASH (f 6= g)

4 P ∪ {X ?= t} =⇒ {X 7→ t}(P) ∪ {X ?= t} si X ∈ vars(P) iX /∈ vars(t). Si t = Y i X o Y no apareixen a la resta delproblema, no aplicarem la regla.

5 P ∪ {X ?= t} =⇒ OCCUR-CHECK (si X ∈ vars(t) iX 6= t)

El proces acaba quan produım un OCCUR-CHECK o unCLASH, no unificables; o quan no es poden aplicar mes regles illavors l’unificador es pot obtenir del que ha quedat quenaturalment tindra la forma: {X1

?= t1, . . . ,Xm?= tm}

Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:

{p(f (X , g(X )), h(Y ),V ) ?= p(Y , h(V ), f (g(Z ),W )))}

{f (X , g(X )) ?= Y , h(Y ) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), h(f (X , g(X ))) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= V ,V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )),X ?= g(Z ), g(X ) ?= W }

{Y ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),V ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),X ?= g(Z ), g(g(Z )) ?= W }{Y ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),V ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),X ?= g(Z ),W ?= g(g(Z ))}

Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:

{p(f (X , g(X )), h(Y ),V ) ?= p(Y , h(V ), f (g(Z ),W )))}{f (X , g(X )) ?= Y , h(Y ) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}

{Y ?= f (X , g(X )), h(f (X , g(X ))) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= V ,V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )),X ?= g(Z ), g(X ) ?= W }


Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:

{p(f (X , g(X )), h(Y ),V ) ?= p(Y , h(V ), f (g(Z ),W )))}{f (X , g(X )) ?= Y , h(Y ) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), h(f (X , g(X ))) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}

{Y ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= V ,V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )),X ?= g(Z ), g(X ) ?= W }


Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:

{p(f (X , g(X )), h(Y ),V ) ?= p(Y , h(V ), f (g(Z ),W )))}{f (X , g(X )) ?= Y , h(Y ) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), h(f (X , g(X ))) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= V ,V ?= f (g(Z ),W )}

{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )),X ?= g(Z ), g(X ) ?= W }


Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:

{p(f (X , g(X )), h(Y ),V ) ?= p(Y , h(V ), f (g(Z ),W )))}{f (X , g(X )) ?= Y , h(Y ) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), h(f (X , g(X ))) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= V ,V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= f (g(Z ),W )}

{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )),X ?= g(Z ), g(X ) ?= W }{Y ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),V ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),X ?= g(Z ), g(g(Z )) ?= W }{Y ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),V ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),X ?= g(Z ),W ?= g(g(Z ))}

Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:

{p(f (X , g(X )), h(Y ),V ) ?= p(Y , h(V ), f (g(Z ),W )))}{f (X , g(X )) ?= Y , h(Y ) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), h(f (X , g(X ))) ?= h(V ),V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= V ,V ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )), f (X , g(X )) ?= f (g(Z ),W )}{Y ?= f (X , g(X )),V ?= f (X , g(X )),X ?= g(Z ), g(X ) ?= W }


Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:


{Y ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),V ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),X ?= g(Z ), g(g(Z )) ?= W }

{Y ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),V ?= f (g(Z ), g(g(Z ))),X ?= g(Z ),W ?= g(g(Z ))}

Introduccio



Unificacio (iv)

Unifiquem:



Introduccio



Termes-Unificacio (iv)

Exercicis:7 Resol les seguents equacions:

h(x , h(x , f (y))) ?= h(h(g(y), y), z)

h(h(g(x), f (y)), f (z)) ?= h(h(g(z), f (f (x))), f (y))

8 Demostra que la “instancia comu” mınima d’un problemad’unificacio pot tenir tamany exponencial. (dona unaequacio amb solucio exponencial)

9 Quina es la complexitat de l’algorisme d’unificacio que ushem donat?

Introduccio



Termes-Unificacio (v)

Problema obert:

Si a les equacions, a part de variables de termes, permetemvariables de contextes, que denotin contextes, estem davant delproblema d’unificacio de contextes.Existeix algun algorisme per a decidir unificabilitat de qualsevolequacio?

F (f (a, b)) ?= f (F (a), b)

Introduccio



Termes-Unificacio (vi)

Definition

Un problema de matching es un conjunt d’equacions:P = {s1

?= t1, . . . , sn?= tn}.

Es solucionable si existeix alguna substitucio σ(unificador) tal que ∀i ∈ {1..n}, σ(si ) = ti .

El matching tambe es defineix de vegades com a unproblema d’unificacio on “cada equacio te un costatground”.

Tant el problema de la unificacio com del matching tenencomplexitat lineal pero, naturalment, el matching es moltmes facil d’implementar.

Introduccio



Termes-Unificacio (vii)

Procediment de matching:

1 P ∪ {t ?= t} =⇒ P

2 P ∪ {f (t1, . . . , tn) ?= f (s1, . . . , sn)} =⇒ P⋃

1≤i≤n{ti?= si}

3 P ∪ {f (t1, . . . , tn) ?= g(s1, . . . , sn)} =⇒ FAIL (f 6= g)

4 P ∪ {f (t1, . . . , tn) ?= x} =⇒ FAIL

5 P ∪ {x ?= t1} =⇒ FAIL si x ?= t2 ∈ P i tenim t1 6= t2

El proces acaba quan produım una fallada, no “matchables”; oquan no es poden aplicar mes regles i llavors l’unificador es potobtenir del que ha quedat que naturalment tindra la forma:{X1

?= t1, . . . ,Xm?= tm}

Introduccio



Term Rewriting Systems (TRS) (i)

Example

Un conjunt de regles de reescriptura:

r1 : f (a, x) → g(x , x)r2 : b → f (b, b)

Introduccio




Example


r1 : f (a, x) → g(x , x)r2 : b → f (b, b)

ens permet reescriure el terme g(f (a, b), f (a, b)):

g(f (a, b), f (a, b))→ g(g(b, b), f (a, b))

Introduccio




Example


r1 : f (a, x) → g(x , x)r2 : b → f (b, b)

ens permet reescriure el terme g(f (a, b), f (a, b)):

g(f (a, b), f (a, b))→ g(g(b, b), f (a, b))

utilitzant la regla r1 amb la substitucio {x 7→ b} en el subterme〈f (a, b) | g(•, f (a, b))〉. (fem matching!)

Introduccio



Term Rewriting Systems (TRS) (ii)

Definition

Una regla de reescriptura es un parell de termes l , r querepresentarem l → r .

l no pot ser una variableVar(r) ⊆ Var(l)

Un sistema de reescriptura de termes (TRS) es unparell (signatura, conjunt de regles de reescriptura):R = (Σ,R)

Un pas de reescriptura d’una regla r1 : l → r en unterme t consisteix en reduir una ocurrencia de σ(l) (redex)en un determinat contexte C [ ] de t, tal com segueix:

t = C [σ(l)]→r1 C [σ(r)]

Introduccio




Definition





t = C [σ(l)]→r1 C [σ(r)]

Introduccio




Definition





t = C [σ(l)]→r1 C [σ(r)]

Introduccio



Term Rewriting Systems (TRS) (iii)

Identificarem R = {Σ,R} amb l’ARS (T (Σ),→) on→= ∪{→ρ∈ R}.S’hereden tots els conceptes dels ARS: CR, C, SN, T,...

Tipus de regles (generalitzable a TRS):

una regla es left(/right)-linear si el terme esquerra(/dret)es linealuna regla es non-duplicating si cap variable occorre mescops a la dreta que a l’esquerrauna regla es non-erasing si tota variable de l’esquerraocorre a la dretauna regla es collapsing si el terme dret es una variable

Introduccio



Sistemes equacionals (i)

Un conjunt d’equacions ens permet especificar tipus de dades:naturals amb suma i producte:

e1 : suma(x , 0) = xe2 : suma(x , s(y)) = s(suma(x , y))e3 : per(x , 0) = 0e4 : per(x , s(y)) = suma(per(x , y), x)

Introduccio



Sistemes equacionals (i)

Un conjunt d’equacions ens permet especificar tipus de dades:naturals amb suma i producte:

e1 : suma(x , 0) → xe2 : suma(x , s(y)) → s(suma(x , y))e3 : per(x , 0) → 0e4 : per(x , s(y)) → suma(per(x , y), x)

Tıpicament per resoldre el word problem: donada una teoria idos termes decidir si aquests son iguals segons la teoria, interessatraduir equacions a regles de reescriptura, obtenint un sistemaconvergent, pero com?Que passa amb:?

suma(x , y) = suma(y , x)

Introduccio



Sistemes equacionals (ii)

Definition

Un sistema equacional es un parell E : (Σ,E ) on E es unconjunt d’equacions s = t on s, t ∈ T (Σ).

Donat E : (Σ,E ), denotem E↔ el pseudo-TRS (Σ,E↔) onE↔ = {s → t | s = t ∈ E ∨ t = s ∈ E}.Una reduccio a (Σ,E↔) es una conversio. Escriurems =E t si existeix una conversio de s a t amb E↔.

El mes important es que la reescriptura respecti el significat(soundness).

Theorem

Sigui A |= E , llavors t =E s ⇒ A |= t = s.

P. ex.: interpretem la teoria dels nats, la suma i el producte, lareescriptura transforma iguals per iguals en els naturals.

Introduccio



Sistemes equacionals (ii)

Definition

Un sistema equacional es un parell E : (Σ,E ) on E es unconjunt d’equacions s = t on s, t ∈ T (Σ).

Donat E : (Σ,E ), denotem E↔ el pseudo-TRS (Σ,E↔) onE↔ = {s → t | s = t ∈ E ∨ t = s ∈ E}.Una reduccio a (Σ,E↔) es una conversio. Escriurems =E t si existeix una conversio de s a t amb E↔.

El mes important es que la reescriptura respecti el significat(soundness).

Theorem

Sigui A |= E , llavors t =E s ⇒ A |= t = s.

P. ex.: interpretem la teoria dels nats, la suma i el producte, lareescriptura transforma iguals per iguals en els naturals.

Introduccio



Sistemes equacionals (iii)

Per a resoldre el word problem d’un sistema equacional E vo-lem un TRS R complet: strongly-normalizing (de terminacio) iChurch-rosser de manera que:

t =R s ⇔ t =E s

L’algorisme es: trobar t ↓ i s ↓ i mirar si son iguals.

Compte!

Que passa quan els TRS no son complets?

Introduccio



Sistemes equacionals (iii)

Per a resoldre el word problem d’un sistema equacional E vo-lem un TRS R complet: strongly-normalizing (de terminacio) iChurch-rosser de manera que:

t =R s ⇔ t =E s

L’algorisme es: trobar t ↓ i s ↓ i mirar si son iguals.

Compte!

Que passa quan els TRS no son complets?

Introduccio



Sistemes equacionals (iv)

Especificacio equacional dels booleans:

e1 : ¬(true) = falsee2 : ¬(¬(x)) = xe3 : and(true, x) = xe4 : and(false, x) = falsee5 : or(x , y) = ¬(and(¬(x),¬(y)))

Introduccio




En construim un TRS que es strongly-normalizing pero...

r1 : ¬(true) → falser2 : ¬(¬(x)) → xr3 : and(true, x) → xr4 : and(false, x) → falser5 : or(x , y) → ¬(and(¬(x),¬(y)))

Introduccio




En construim un TRS que es strongly-normalizing pero...

r1 : ¬(true) → falser2 : ¬(¬(x)) → xr3 : and(true, x) → xr4 : and(false, x) → falser5 : or(x , y) → ¬(and(¬(x),¬(y)))

no es Church-Rosser...

¬(false) ←r1 ¬(¬(true)) →r2 true

Direm que ¬(false) i true son critical pairs...

Introduccio




Usant Critical pairs podem completar el TRS:

r1 : ¬(true) → falser2 : ¬(¬(x)) → xr3 : and(true, x) → xr4 : and(false, x) → falser5 : or(x , y) → ¬(and(¬(x),¬(y)))r6 : ¬(false) → true

Documents

Sistemes de Reescriptura (09-10)ima.udg.es › ~villaret › sistemes_reescriptura.pdfSistemes de Reescriptura Abstractes Reescriptura de Termes Sistemes de Reescriptura (09-10) Mateu