Sistemi Con Ritardo

Sistemi con ritardoAppunti di Controlli AutomaticiVersione 1.0

Ing. Alessandro Pisano

SOMMARIO1. Introduzione 2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo 3. Stabilit a ciclo chiuso di sistemi con ritardo 3.1 Ritardo puro 3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo 4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico 5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua calda acqua fredda (3) (4) (8) (8) (13) (16) (18)

2Appunti di Controlli Automatici Sistemi con ritardo v. 1.0 Ing. Alessandro Pisano [email protected]

Sistemi con ritardo

1. IntroduzioneNello studio dei sistemi dinamici spesso si assume che la FdT sia una funzione razionale fratta (cio, un rapporto di polinomi nella variabile s di Laplace). Questa modalit di rappresentazione valida solo per sistemi che rispondono istantaneamente alle variazioni della variabile di ingresso. Una tipica risposta di un sistema senza ritardo riportata nella figura 1.u(t) t0 0

y(t) t0Figura 1 - Sistema istantaneo

In molti casi pratici tale ipotesi di istantaneit non verificata e sono presenti ritardi finiti.Esempio 1.

Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L . In corrispondenza della sezione SIN posta sul lato sinistro viene immessa una portata q(t) di un certo fluido, che si propaga nella tubazione con velocit costante V.SIN u(t) q(t) SOUT y(t) q(t-)

Figura 2 - Sezione di tubazione

Se si considerano come variabile di ingresso u(t) la portata q(t) immessa alla sezione di ingresso SIN e come variabile di uscita y(t) la portata misurata allistante t nella sezione di uscita SOUT, si ricava facilmente come luscita dipenda dalla portata in ingresso attraverso un legame (statico) che coinvolge un ritardo temporale 3Appunti di Controlli Automatici Sistemi con ritardo v. 1.0 Ing. Alessandro Pisano [email protected]

= = =

(1) (2)

Il ritardo temporale dipende ovviamente sia dalla lunghezza L della tubazione che dalla velocit di transito del fluido. Nella figura 3 analizziamo un possibile segnale di ingresso e la relativa uscita. Luscita riproduce, con un ritardo temporale , il medesimo profilo dellingresso.q(t) t

y(t)

t

Figura 3 - Possibile andamento dell'ingresso e dell'uscita per il sistema dell'Esempio 1

Il ritardo il tempo che si deve attendere affinch una variazione dellingresso si manifesti in una corrispondente variazione delluscita. Vediamo se possibile dare una rappresentazione di un legame dinamico che coinvolga un ritardo per mezzo di una FdT.

2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardoPer caratterizzare in termini di FdT sistemi dinamici con ritardi finiti si impiega il Teorema di traslazione nel tempo, una della propriet notevoli della Trasformata di Laplace (TdL). Teorema di traslazione nel dominio del tempo della TdL Sia X(s) la TdL del segnale x(t): L(x(t)) = X(s) L(x(t-)) = X(s)

(3) (4)

La Trasformata di Laplace del segnale ritardato x(t-), dove un ritardo costante, vale

Applicando tale teorema al legame I/O dellEsempio 1 si pu determinarne la FdT associata. Si ha:4Appunti di Controlli Automatici Sistemi con ritardo v. 1.0 Ing. Alessandro Pisano [email protected]

=

=

(5) (6)

e pertanto, ricordando come la FdT sia, per definizione, il rapporto tra le TdL delluscita e dellingresso, si avr

=

=

=

(7)

La FdT individuata nella (7) una funzione trascendente , e contiene il termine esponenziale complesso tipico dei sistemi con ritardo. Pi in generale, la FdT di un sistema SISO con ritardo viene espresso nella forma seguente

=

(8)

dove B(s) ed A(s) sono polinomi razionali ed il parametro positivo viene detto ritardo del sistema. Si noti che la rappresentazione (8), con il termine esponenziale razionale fratta

che moltiplica la FdT

, solo un caso particolare di FdT associate a sistemi con ritardo, caso che

peraltro copre una vasta casistica di interesse applicativo. Legami I/O di carattere piu generale rispetto al semplice legame (2) portano a FdT di forma pi complessa. Ad esempio, il legame dinamico + = viene trasformato con Laplace nella forma seguente + = e conduce, come facile verificare, alla seguente FdT che non pu essere ricondotta nella forma di rappresentazione (8).

=

=

Peraltro, come si detto, la rappresentazione (8) sufficientemente generale da coprire molti casi di interesse applicativo e quindi il nostro studio si concentrer su tale classe di sistemi. Esempio 2 - Laminatoio Si consideri un impianto di laminazione, schematizzato nella Figura 4 . Lobbiettivo del controllo quello di regolare lo spessore di un laminato agendo sulla distanza tra i cilindri del laminatoio. La distanza verticale h tra i cilindri viene variata per mezzo di un motore elettrico accoppiato ad un opportuno riduttore.


Set-point +

Regolatore

Amplificatore

Riduttore

Motore Misuratore di spessore y V Laminato d Cilindro 1 h

Cilindro 2

Figura 4 - Schema di principio di un laminatoio

Con riferimento alla Figura 4 individuiamo gli elementi costituenti il sistema. Il laminato scorre da destra verso sinistra con velocit costante V. Per motivi pratici, il trasduttore che misura lo spessore dovr essere posizionato ad una certa distanza d dai cilindri del laminatoio. Il trasduttore di misura rileva lo spessore y del laminato, e ne trasduce il valore in un segnale elettrico. Tale segnale viene confrontato in un nodo di comparazione con il valore di set-point, ed il risultante segnale di errore viene elaborato da blocco regolatore. Luscita del blocco regolatore deve pilotare il motore, e a tal fine necessario interporre un opportuno amplificatore di potenza in grado di interfacciarsi direttamente con gli avvolgimenti del motore. Il legame tra luscita del sistema, y(t), e lingresso h(t) descritto dalla seguente relazione = = (9)

Sulla base di quanto detto in precedenza ci significa che la FdT W(s) tra lo spessore del laminato e la distanza tra i cilindri data da = / = (10)

Si pu quindi costruire uno schema a blocchi equivalente come quello in Figura 5


Set-point + MotoreRegolatore Amplificatore

Riduttore

h

y

Figura 5 Rappresentazione del laminatoio mediante schema a blocchi

Esempio 3 Scambiatore di calore Consideriamo uno scambiatore di calore a fasci tubieri per la produzione di acqua calda. Allinterno dei fasci tubieri viene immessa acqua fredda. I fasci tubieri vengono investiti da vapore ad alta temperatura che trasferisce energia termica al fluido che scorre al loro interno. Alluscita dello scambiatore troviamo pertanto acqua calda (oltre che, ovviamente, il vapore condensato). Si faccia riferimento alla seguente Figura 6.Set-pointI/P Convertitore Corrente/Pressione Regolatore

Acqua fredda

+ T

Vapore ad alta temperatura

p

Servovalvola pneumatica T Sensore di

Acqua calda

temperatura Condensa

Figura 6 Schema di principio di uno scambiatore di calore

La portata del vapore in ingresso viene modulata per mezzo di una servovalvola pneumatica di regolazione, che pertanto lorgano attuatore dellazione di controllo. La servo valvola asservita ad un sistema di controllo in retroazione basato sulla misura della temperatura T dellacqua7Appunti di Controlli Automatici Sistemi con ritardo v. 1.0 Ing. Alessandro Pisano [email protected]

alluscita dello scambiatore. Il segnale di controllo per la servo valvola viene generato da un opportuno convertitore corrente/pressione, che converte il segnale elettrico in uscita dal regolatore (che supponiamo essere un segnale in corrente nel range 420 mA) in un segnale di pressione p che si interfaccia direttamente con il posizionatore della servo valvola (un range tipico per i segnali di pressione utilizzati nei sistemi di controllo in tecnologia pneumatica 315 Psi). La grandezza di uscita pertanto la temperatura T dellacqua alluscita dello scambiatore, una quantit che si desidera regolare ad un valore costante. Fra il punto in cui viene misurata la temperatura ed il punto in cui si esercita lazione di controllo vi un ritardo finito che dipende sia dalla velocit di transito dellacqua nei fasci tubieri che dalla lunghezza e geometria degli stessi. Si ha pertanto un ritardo finito tra listante in cui una modifica della variabile di ingresso (la portata di vapore in ingresso) si manifesta in una modifica della variabile di uscita (la temperatura T). Aumentando la lunghezza dei fasci tubieri, o riducendo la velocit di transito dellacqua allinterno dello scambiatore, tale ritardo aumenta. Analizziamo qualitativamente le dinamiche principali che concorrono nel fenomeno di scambio termico controllato che avviene nel sistema seguendo i vali legami di causa-effetto conseguenti ad una variazione del segnale di controllo p della servo valvola. A fronte di una variazione del segnale di controllo della servo valvola si produce una variazione della portata del vapore che transita nella servo valvola. Tale variazione avviene secondo la dinamica propria della servo valvola, e dipende anche dalle condizioni termodinamiche (pressione, temperatura,..) del vapore a monte e a valle della valvola. La variazione della portata del vapore induce un transitorio di adeguamento della temperatura nella regione esterna ai fasci tubieri che viene investita dal vapore ad alta temperatura. Si ha quindi la dinamica dello scambio termico tra lesterno e linterno dei fasci tubieri. In ultimo, si ha il transito del fluido fino al condotto di uscita in cui viene misurata la temperatura

3. Stabilit a ciclo chiuso di sistemi con ritardo3.1 Ritardo puro

Gli esempi precedenti mostrano come la presenza di ritardi finiti nei sistemi di controllo sia un fenomeno rilevante. Abbiamo anche visto come i ritardi finiti si prestino ad una rappresentazione nel dominio della Trasformata di Laplace basata su fattori esponenziali del tipo , dove rappresenta il valore del ritardo (espresso in secondi). Analizziamo le caratteristiche della risposta armonica di una FdT puramente esponenziale = (11) Ricordiamo che una FdT esponenziale del tipo (11) definisce un legame I/O nella forma di un ritardo temporale puro (v. Fig 7).


x(t)

y(t) y(t) = x (t-)

Figura 7 - Schema a blocchi di un ritardo puro

La funzione di risposta armonica vale

= ==1

(12)

Dalla identit =

(13)

si ricavano le espressioni del modulo e della fase della =

:(14)

La FdT esponenziale (12) ha una funzione di risposta armonica in cui il valore dei moduli unitario su tutte le frequenze mentre presente uno sfasamento in ritardo che cresce linearmente allaumentare della frequenza. La pendenza negativa della retta proprio il ritardo . Le relazioni (13) e (14) ci dicono che, con riferimento alla Figura 7, una sinusoide x(t) di ampiezza unitaria e pulsazione in ingresso al blocco G(s) da luogo, in uscita, ad una sinusoide della medesima frequenza, di ampiezza unitaria, sfasata in ritardo rispetto allingresso di un angolo . Ci ovvio se si considera il legame ingresso uscita y(t)=x(t-), che implica come la riposta y(t) allingresso x(t)=sin(t) sia y(t)= x(t-)=sin(t-). sono riportati a seguire I diagrammi di Bode della Funzione di risposta armonicaMdB()=20log10(M())

log() ()

log()

Figura 8 - Diagrammi di risposta armonica del termine esponenziale


Per quanto concerne il diagramma delle fasi si osservi che landamento esponenziale decrescente dovuto al fatto che lasse delle ascisse graduato in termini del log(). Un grafico equivalente, ma con lasse delle ascisse graduato sulla frequenza e non sul suo logaritmo, vedrebbe un diagramma delle fasi con andamento rettilineo decrescente (con pendenza negativa , in accordo con la seconda delle (14)). E utile confrontare i diagrammi delle fasi in corrispondenza di due diversi valori del ritardo. Si considerino i valori 1 e 2, con 1>2 e si faccia riferimento alla figura seguente.

()

log()

>

Figura 8 - Diagrammi delle fasi per diversi valori del ritardo

Osserviamo come ad una data frequenza il valore del ritardo determini un maggiore o minore sfasamento in ritardo del corrispondente diagramma degli sfasamenti. I ritardi di fase hanno notoriamente effetti deleteri sulle propriet di stabilit degli schemi a ciclo chiuso. Investighiamo ora le propriet di stabilit a ciclo chiuso di sistemi contenenti dei ritardi. Iniziamo dal caso pi semplice di un sistema in retroazione con funzione di trasferimento di ciclo aperto = . Consideriamo per semplicit un sistema di controllo a retroazione unitaria.x(t) + y(t)

k

Figura 9 Sistema a ciclo chiuso

Il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso : + = (15)

Si desidera investigare le propriet di stabilit del sistema a ciclo chiuso, descritto dalla funzione di trasferimento = = (16)


Il polinomio caratteristico =1+ una funzione trascendente che ne complica lanalisi. Utilizziamo il criterio di stabilit di Nyquist, la cui validit copre anche sistemi dinamici affetti da ritardi finiti. La funzione di risposta armonica a ciclo aperto = .

La figura seguente riporta il diagramma di Nyquist completo per la , che parte, a frequenza =0, dal punto di coordinate (k,0) e coincide con la circonferenza centrata nellorigine di raggio k, che viene percorsa infinite volte (in senso orario per valori crescenti della frequenza). Nellanalisi secondo il criterio di Nyquist la variazione del guadagno k pu essere messa in conto come una traslazione orizzontale del punto critico. Averlo disegnato in Figura 10 alla sinistra del punto (k,0), intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo, significa avere implicitamente assunto, nel tracciare il diagramma, che k < 1. In tale condizione il punto critico non viene circondato dal diagramma e pertanto il sistema a ciclo chiuso stabile. Se invece k>1 il punto critico si trova alla destra del punto (k,0), e quindi allinterno della circonferenza individuata dal diagramma di Nyquist. Pertanto il sistema a ciclo chiuso instabile se k>1. Quando k=1 il diagramma passa per il punto critico, e quindi siamo in condizione di limite di stabilit per il sistema a ciclo chiuso.Im(F(j))

Punto critico -k -1+j0 k Re(F(j)) Punto di partenza

Figura 10 Diagramma di Nyquist della FdT a ciclo aperto

Lanalisi con il criterio di Nyquist ci dice quindi che il sistema a ciclo chiuso : Stabile se k < 1 instabile se k > 1 al limite di stabilit se k=1

Le propriet di stabilit a ciclo chiuso della semplice FdT in esame = dipendono quindi soltanto dal valore del guadagno danello e non dal particolare valore del ritardo. Le cose cambieranno quando andremo a considerare FdT piu complesse, per le quali il valore del ritardo invece determinante ai fini della determinazione delle propriet di stabilit a ciclo chiuso.


Verifichiamo i risultati ottenuti simulando il sistema in Figura 9 con un ingresso x(t) a gradino unitario, un valore del ritardo pari a = . , e, in successione, con tre diversi valori del guadagno k (rif. File ritardo_puro.mdl). Per k=1 il sistema presenta come atteso una oscillazione permanente. Per k=0.5 luscita tende al valore di regime k/(1+k), calcolabile applicando il teorema del valore finale. Per k = 1.1 luscita diverge. Si vedano i corrispondenti grafici nelle tre figure seguenti. Uscita a ciclo chiuso con k=1

Uscita a ciclo chiuso con k=0.5

Uscita a ciclo chiuso con k=1.1


3.2

Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo

Ora analizziamo la stabilit a ciclo chiuso di sistemi pi complessi. Tratteremo in successione i tre casi seguenti : = 1+ : = : = 1+

dove una costante di tempo positiva. A. =

Analizziamo preliminarmente le propriet di stabilita a ciclo chiuso per la Fdt senza il ritardo. La FdT = ha un diagramma di Nyquist che, limitatamente alle frequenza positive, interamente contenuto nel IV quadrante (v. Figura 11-(a)). Ci dipende dal fatto che la fase di sempre compresa tra 0 e -90. Il diagramma parte per =0 dal punto (k,0), e converge allorigine per con un andamento simile a quello riportato nella Figura 11-(a). Quindi, la FdT senza il ritardo da luogo ad un sistema che, a ciclo chiuso, sempre stabile qualunque sia il valore di k. Questa una propriet facilmente verificabile analizzando luogo delle radici della = . e , in corrispondenza di due Le cose cambiano quando si include la presenza del ritardo . Nella figura 11-(b) si riportano due possibili andamenti per i diagrammi di Nyquist della F s = diversi valori 1 e 2 del ritardo, con 1 < 2 . Si nota come i diagrammi delle FdT con ritardo hanno un andamento sostanzialmente differente in quanto la fase non pi compresa tra 0 e -90 a causa del ritardo di fase, crescente con , introdotto dal ritardo.

11-(a)

11-(b) kcr() Sistema al limite di stabilit se k= kcr()

Il valore kcr sar sempre maggiore di uno, perche se k inferiore allunit il diagramma di Nyquist non potr mai uscire dalla circonferenza di raggio unitario (k difatti il valore massimo del modulo della FdT). Analizziamo cosa succede tenendo costante k e facendo variare il ritardo . Fissato k, al crescere del ritardo il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si sposta verso sinistra. Tale punto di intersezione non potr per mai andare alla sinistra del punto (-k,j0) perch come detto il modulo della FdT F s non pu mai eccedere il valore k e quindi nessun punto del diagramma di Nyquist pu avere una distanza dallorigine superiore a k. Quindi, il ritardo potr destabilizzare il sistema soltanto quando questultimo ha un guadagno in catena aperta k > 1. Infatti, se k > 1 il punto (-k,j0) giace alla sinistra del punto critico (-1,j0). Pertanto, con k > 1, quando il ritardo eccede una certa soglia cr= cr(k) il punto di intersezione si sar spostato alla sinistra del punto critico (-1,j0), destabilizzando quindi il sistema a ciclo chiuso sulla base del criterio di stabilit di Nyquist. Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha pertanto, - Sistema sempre stabile se k 1 - Fissato k > 1: o Sistema stabile se < cr o Sistema instabile se > cr o Sistema al limite di stabilit se = cr Si faccia riferimento al file F1.mdl, che simula il sistema a ciclo chiuso con = 1 . Si pu verificare mediante simulazione come ponendo k=2 si ottiene un cr pari a 1.21s circa. Si riporta a seguire lo schema Simulink.

1

y(t)

2

1 s+1

Gain 3

Transfer Fcn

Transport Delay


:

= FdT viene condotta in maniera simile al ha un diagramma di Nyquist completo come

Lanalisi della stabilit a ciclo chiuso della

precedente caso A. La FdT senza ritardo F s =

quello riportato nella Figura 12-(a), nel quale viene evidenziata anche la richiusura allinfinito. Poich il diagramma completo in Figura 12-(a) non circonda il punto critico (-1,j0) si pu concludere che il relativo sistema a ciclo chiuso sempre stabile comunque si scelga k > 0. Lintroduzione del ritardo provoca la comparsa di un movimento rotatorio simile a quella visto nellesempio precedente ( v. Figura 12-(b)).

12-(a)=0

12-(b)

(-1,0)

=- =

(-1,0)

=

1). : =

1+ = ,

La Figura 13-(a) riporta il diagramma di Nyquist completo della FdT senza ritardo

che mostra come il relativo sistema a ciclo chiuso sempre stabile comunque si scelga k > 0. Nel15Appunti di Controlli Automatici Sistemi con ritardo v. 1.0 Ing. Alessandro Pisano [email protected]

medesimo diagramma possiamo leggere graficamente il valore del margine di fase m individuando il punto di intersezione P tra il diagramma e la circonferenza di raggio unitario centrata nellorigine e valutando langolo m che la congiungente PO individua con lasse reale negativo. Lanalisi del diagramma della FdT con il ritardo (Fig. 13-(b)) vede ancora la presenza delle rotazioni nel percorso verso lorigine, e del punto di intersezione con lasse reale negativo. Il sistema a ciclo chiuso con ritardo viene quindi destabilizzato sia da guadagni k troppo elevati che, qualunque sia k anche eventualmente

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