SISTEMI D’EQUAZIONI ED EQUAZIONIDIFFERENZIALI

LINEARI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Equazioni e sistemi Equazioni e sistemi d’equazioni differenziali d’equazioni differenziali ordinarieordinarie

Sistemi d’equazioni Sistemi d’equazioni differenziali ordinarie differenziali ordinarie lineari a coefficienti lineari a coefficienti continui continui

EQUAZIONI E EQUAZIONI E SISTEMI SISTEMI

D’EQUAZIONID’EQUAZIONIDIFFERENZIALIDIFFERENZIALI

ORDINARIEORDINARIE

Mostreremo, per iniziare, che Mostreremo, per iniziare, che un’equazione differenziale d’ordine un’equazione differenziale d’ordine nn è equivalente a un sistema è equivalente a un sistema d’equazioni differenziali del d’equazioni differenziali del prim’ordine di prim’ordine di nn equazioni equazioni in in nn funzioni incognite. funzioni incognite.Sarà così plausibile la nostra Sarà così plausibile la nostra affermazione che ogni sistema affermazione che ogni sistema d’equazioni differenziali d’ordined’equazioni differenziali d’ordinequalsiasi è equivalente a un sistemaqualsiasi è equivalente a un sistemad’equazioni del prim’ordine in und’equazioni del prim’ordine in unnumero opportuno di funzioni numero opportuno di funzioni incognite.incognite.

Un sistema d’equazioni differenzialiUn sistema d’equazioni differenzialidi due equazioni in due funzionidi due equazioni in due funzioniincognite d’ordine 3 è per esempioincognite d’ordine 3 è per esempioil seguente (di forma normale:il seguente (di forma normale:nel seguito per semplicità ci nel seguito per semplicità ci riferiremo a sistemi di riferiremo a sistemi di forma normale.)forma normale.)

y f (x,y, z, y , z , y )

z g(x,y, z, y , z , y )

Un’equazione d’ordine Un’equazione d’ordine nn, si scrive, si scrive

y(n)

f (x,y, y , K ,y (n 1))ed è in generale accompagnata daed è in generale accompagnata daopportune condizioni iniziali o alopportune condizioni iniziali o alcontornocontorno

Mostriamo come si possa trasformare Mostriamo come si possa trasformare l’equazione data in un sistema l’equazione data in un sistema equivalente di equivalente di nn equazioni del equazioni delprim’ordine in prim’ordine in nn funzioni incognite funzioni incognite

Facciamo le seguenti posizioniFacciamo le seguenti posizioni

y1 y

y2 y

y3 y

K K K Kyn y (n 1)

K

Allora l’equazione d’ordine Allora l’equazione d’ordine nn equivale al sistema del prim’ordineequivale al sistema del prim’ordine

y 1 y

2

y 2 y

3

y 3 y

4

K K K K

y n f (x, y1,y

2, K ,yn)

In generale, un sistema di In generale, un sistema di nn equazioni, ciascuna d’ordine equazioni, ciascuna d’ordine mm, è , è

equivalente a un sistema di equivalente a un sistema di nnmmequazioni del prim’ordine.equazioni del prim’ordine.

Useremo la notazione Useremo la notazione YY per per indicare un vettore colonna aventeindicare un vettore colonna aventenn componenti componenti yy11, … , y, … , ynn. In questo. In questomodo un sistema di modo un sistema di nn equazioni equazionidel prim’ordine in del prim’ordine in nn funzioni funzioni incognite, in forma normale, incognite, in forma normale, si scrivesi scrive

in modo simile alla notazionein modo simile alla notazionedi una sola equazione di una sola equazione differenziale, dovedifferenziale, dove

Y F(x,Y )(1)

Y

y1

y2

Myn

ee

F(x,Y )

f1(x,y

1, K ,yn)

f2(x,y

1, K ,yn)

K K Kfn(x,y

1, K ,yn)

In particolare, se si tratta di un In particolare, se si tratta di un sistema d’equazioni linearisistema d’equazioni lineari

Y A(x)Y B(x)

dovedove

B(x)

b1(x)

b2(x)

Mbn(x)

ee

A(x)

a11(x) a

12(x) K a

1n(x)

a21(x) a

22(x) K a

2n(x)

K K K Kan1

(x) an2(x) K ann(x)

Qui i coefficienti Qui i coefficienti bbii(x)(x) e e aaikik(x)(x)sono funzioni continue definite susono funzioni continue definite suun intervallo un intervallo II (che può coincidere (che può coincidere con tutto con tutto RR) )

Il sistema Il sistema (1)(1) è, in generale, è, in generale, accompagnato da opportune accompagnato da opportune condizioni iniziali; si vuole condizioni iniziali; si vuole risolvere il Problema di Cauchyrisolvere il Problema di Cauchy

Y =F (x,Y )(1)

con le condizioni inizialicon le condizioni iniziali

(2) Y(x0)=Y0

Notiamo che la soluzione delNotiamo che la soluzione delpdC (1) + (2) si presta all’pdC (1) + (2) si presta all’interpretazione geometrica cheinterpretazione geometrica chegià abbiamo messo in evidenzagià abbiamo messo in evidenzanella lezione introduttivanella lezione introduttiva

Se la funzione Se la funzione F(x,Y) è è continua, allora esiste una continua, allora esiste una soluzione del pdC. Se soluzione del pdC. Se inoltre sono continue le inoltre sono continue le derivate parziali delle derivate parziali delle

componenti componenti fi rispetto alle rispetto alle

yk allora la soluzione allora la soluzione

locale è unica.locale è unica.

Si noti che se non sono soddisfatte Si noti che se non sono soddisfatte le condizioni sulla continuità dellele condizioni sulla continuità dellederivate parziali, la soluzione può derivate parziali, la soluzione può non essere unicanon essere unica

EsempioEsempio

y’ = |y|y’ = |y|1/21/2

y(xy(x00) = y) = y00

DDyy |y||y|1/21/2 = 1/2 |y| = 1/2 |y|-(1/2) -(1/2) sign (ysign (y))

Se Se yy00 è è ≠ 0≠ 0, allora la derivata , allora la derivata parziale è continua in un parziale è continua in un intornointornodi di yy00. Dunque la soluzione locale. Dunque la soluzione localeè unica. Ma se è unica. Ma se yy00 = 0= 0, non c’è , non c’è continuità in alcun intorno di 0. continuità in alcun intorno di 0. In questo caso l’unicità può In questo caso l’unicità può mancare.mancare.

y(x)

x x0 2 y

0

2

2

Se Se yy00 > 0> 0, allora la soluzione è , allora la soluzione è data dadata da

per per x >x > xx00

Se Se yy00 < 0< 0, allora la soluzione è , allora la soluzione è data dadata da

y(x)

x x0 2 -y

0

2

2

-

per per x <x < xx00

Ma se Ma se yy00 = 0= 0, allora c’è una , allora c’è una soluzione identicamente nulla, soluzione identicamente nulla, accanto alla soluzione accanto alla soluzione

y(x)

x x0

2

2

per per x >x > xx00

e alla soluzionee alla soluzione

y(x)

x x0

2

2

per per x <x < xx00

Il Il pennellopennello di di PeanoPeano

xx00xx

yy

SISTEMI D’EQUAZIONISISTEMI D’EQUAZIONIDIFFERENZIALI DIFFERENZIALI

ORDINARIE LINEARI ORDINARIE LINEARI A COEFFICIENTI A COEFFICIENTI

CONTINUICONTINUI

Ci occuperemo ora della Ci occuperemo ora della soluzione del pdC relativosoluzione del pdC relativoal sistemaal sistema

Y A(x)Y B(x)(3)

Con le condizioni inizialiCon le condizioni iniziali

(4) Y(x0)=Y0

Se le funzioni Se le funzioni bbii(x)(x) e e aaikik(x)(x)sono continue e definite susono continue e definite suun intervallo un intervallo II (che può essere (che può essere tutto tutto RR) allora si può dimostrare) allora si può dimostrareche la soluzione esiste, è definita che la soluzione esiste, è definita su tutto su tutto II ed è unica. ed è unica.

Accanto al sistema (3), detto Accanto al sistema (3), detto completocompleto, considereremo il , considereremo il sistema sistema omogeneoomogeneo

Y A(x)Y(5)

nel quale nel quale B(x) B(x) 0 0..

Le soluzioni di Le soluzioni di (3)(3) o di o di (5)(5) sono sonofunzioni definite su funzioni definite su II a valori in a valori in RRnn, necessariamente continue con, necessariamente continue conderivata prima continua. Cioèderivata prima continua. Cioè

sono funzioni di classe sono funzioni di classe C1(I,Rn).converrà considerare l’operatoredifferenziale associato a (3) o a (5)

Y A(x)Y(6) L(Y)=

Che a ogni funzioneChe a ogni funzione Y(x): I Y(x): I RRnn

associa associa Y’(x) - A(x) Y’(x) - A(x) YY; questa è ; questa è una funzione continua su una funzione continua su II a valori a valori in in RRnn. Cioè . Cioè LL è un’applicazione lineare è un’applicazione lineareda da C1(I,Rn) a C0(I,Rn).

Le soluzioni di (5) danno dunque il Le soluzioni di (5) danno dunque il nucleonucleo di L: di L: ker(L)ker(L)..

Teoremaker(L) C1(I,Rn) è un sottospazio di

di dimensione n di C1(I,Rn) .

Ossia ker(L) è isomorfo a RRnn.

Si fissi un punto Si fissi un punto xx00 in in II e sia e sia Y(x)Y(x)una soluzione di una soluzione di (5)(5). Allora . Allora Y(xY(x00))è un vettore di è un vettore di RRnn. Se . Se YY11(x) ≠ Y(x) ≠ Y22(x)(x)allora allora YY11(x(x00) ≠ Y) ≠ Y22(x(x00) ) per l’unicitàper l’unicitàdella soluzione del pdC della soluzione del pdC (5) + (4)(5) + (4). . Se poi Se poi YY00 è un arbitrario vettore di è un arbitrario vettore di RRnn esiste una soluzione di esiste una soluzione di (5) + (4)(5) + (4), , per l’esistenza della soluzione delper l’esistenza della soluzione delpdC corrispondente. L’applicazionepdC corrispondente. L’applicazione

N : ker(L) Rn

definita dadefinita da

N Y (x)( )Y (x 0 )

è un isomorfismo tra è un isomorfismo tra ker(L)ker(L) e e RRnn. . Infatti abbiamo verificato che è Infatti abbiamo verificato che è biiettiva; inoltre è lineare. Mabiiettiva; inoltre è lineare. Maspazi vettoriali spazi vettoriali isomorfiisomorfi hanno la hanno lastessa dimensione: stessa dimensione: dim ker(L) = ndim ker(L) = n . .

Esistono dunque Esistono dunque nn funzioni funzioni linearmente indipendentilinearmente indipendenti soluzioni soluzionidi di L(Y) = 0L(Y) = 0: : YY11(x), Y(x), Y22(x), .. , Y(x), .. , Ynn(x)(x)..

Ogni soluzione di Ogni soluzione di (5)(5) è perciò è perciò una combinazione lineare una combinazione lineare delle precedenti funzionidelle precedenti funzioni

YY11(x), Y(x), Y22(x), .. , Y(x), .. , Ynn(x)(x)..

Si noti che, date Si noti che, date nn soluzioni di soluzioni di (5)(5),,se esse, calcolate in un punto se esse, calcolate in un punto xx00,,danno vettori lin. indipendenti danno vettori lin. indipendenti di di RRnn, allora sono l.i. in ogni altro , allora sono l.i. in ogni altro punto di punto di II. Ciò è conseguenza . Ciò è conseguenza dell’unicità della soluzione del pdC.dell’unicità della soluzione del pdC.

Mostriamo ora che tutte le soluzioniMostriamo ora che tutte le soluzionidel sistema completo (3) sono deldel sistema completo (3) sono deltipotipo

Y(x) Z(x) Y (x)

dove dove Z(x)Z(x) è una soluzione del è una soluzione del sistema omogeneo e sistema omogeneo e Y(x) Y(x) è una è una Soluzione particolare di Soluzione particolare di (3)(3)..

Infatti Infatti

L(Y ) L(Z) L(Y ) 0 B(x) B(x)

Se poi abbiamo due soluzioni delSe poi abbiamo due soluzioni delsistema completo sistema completo Y(x)Y(x) e e Y(x)Y(x)la loro differenza soddisfala loro differenza soddisfa

L(Y Y ) L(Y ) L(Y ) B(x) B(x) 0

cioè cioè Y(x) - Y(x) = Z(x)Y(x) - Y(x) = Z(x) è una è una soluzione del sistema omogeneo.soluzione del sistema omogeneo.

Se Se YY11(x), Y(x), Y22(x), .. , Y(x), .. , Ynn(x)(x) sono sono soluzioni l.i. del sistema omogeneo,soluzioni l.i. del sistema omogeneo,si dice che formano un si dice che formano un insiemeinsieme (o (o sistemasistema) ) fondamentalefondamentale di di soluzioni del sistema (5).soluzioni del sistema (5).

La matrice La matrice U(x)U(x) le cui colonne le cui colonnesono date da sono date da YY11(x), Y(x), Y22(x), .. ,(x), .. , YYnn(x)(x) l. i., si dice una l. i., si dice una matricematrice fondamentalefondamentale

Si noti che seSi noti che se det U(xdet U(x00) ≠ 0) ≠ 0 alloraalloradet U(x) ≠ 0det U(x) ≠ 0 per ogniper ogni xx inin II..

Evidentemente per la matrice Evidentemente per la matrice fondamentale fondamentale U(x)U(x) vale l’equazione vale l’equazione

U’(x) - A(x) U’(x) - A(x) U(x) = 0U(x) = 0

La soluzione generale del sistemaLa soluzione generale del sistemaomogeneo L(Y) = 0, è una omogeneo L(Y) = 0, è una combinazione lineare dell’insiemecombinazione lineare dell’insiemefondamentale: fondamentale:

Y(x) = cY(x) = c11YY11(x)+c(x)+c22YY22(x)+ .. +c(x)+ .. +cnnYYnn(x) =(x) =

=U(x) =U(x) (c(c11, c, c22, .. , c, .. , cnn))TT

Il metodo della Il metodo della variazione dellevariazione dellecostanticostanti suggerisce di cercare per suggerisce di cercare per(3) una soluzione della forma(3) una soluzione della forma

Y(x) = U(x)Y(x) = U(x) Z(x)

Si trovaSi trova

U’(x) U’(x) Z(x) + U(x) Z(x) + U(x) Z’(x) = Z’(x) =

= A(x) = A(x) U(x) U(x) Z(x) + B(x) Z(x) + B(x)

E quindiE quindi

((U’(x) - A(x) U’(x) - A(x) U(x) U(x) )) Z(x)+ Z(x)+

+ U(x) + U(x) Z’(x) = B(x) Z’(x) = B(x)

OssiaOssia

U(x) U(x) Z’(x) = B(x) Z’(x) = B(x)

E finalmenteE finalmente

Z’(x) = U(x)Z’(x) = U(x)-1-1 B(x) B(x)

IntegrandoIntegrando

Z(x) U 1(t)B(t)dt

E in conclusioneE in conclusione

Y(x) U(x) U 1(t)B(t)dt

Il metodo per trovare un integraleIl metodo per trovare un integraleparticolare del sistema completoparticolare del sistema completosarà utile anche nel caso di una sarà utile anche nel caso di una singola equazione lineare completasingola equazione lineare completad’ordine n.d’ordine n.