site.math.free.frsite.math.free.fr/premiere_st2s/cours_premiere_st2s/statistiques.pdf · statistiques Table des matières 1 généralités et vocabulaire 4 1.1 à retenir

statistiques

Table des matières

1 généralités et vocabulaire 41.1 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 représentations graphiques 52.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 activité 1 : diagramme circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 activité 2 : diagramme en bâtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 activité 3 : Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 corrigé activité 1 : diagramme circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2 corrigé activité 2 : diagramme en bâtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.3 corrigé activité 3 : Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 fréquence 133.1 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 mode 134.1 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 étendue 135.1 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 moyenne arithmétique 146.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.1.1 activité 1 : cas des valeurs en vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.1.2 activité 2 : données avec valeurs et effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.1.3 activité 3 : cas des données avec valeurs regroupées par intervalles . . . . . . 14


6.2.1 corrigé activité 1 : cas des données en vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.2.2 corrigé activité 2 : cas des données avec effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2.3 corrigé activité 3 : cas des données avec valeurs regroupées par intervalles . 17

6.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


7 variance et écart type 257.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.1.1 activité 1 : cas des valeurs en vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.1.2 activité 2 : cas des valeurs avec effectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.1.3 activité 3 : cas des valeurs regroupées par intervalles . . . . . . . . . . . . . . 27


7.2.1 corrigé activité 1 : cas des valeurs en vrac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2.2 corrigé activité 2 : cas des valeurs avec effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2.3 corrigé activité 3 : cas des valeurs regroupées par intervalles . . . . . . . . . 32

1

7.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


8 quartiles et déciles 418.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.1.1 activité 0 : généralités ( médiane, déciles, diagramme en Boîte) . . . . . . . . 41

8.1.2 activité 1 : généralités (moyenne, médiane, déciles, diagramme en Boîte) . . 42

8.1.3 activité 2 : quartiles et déciles avec données en vrac . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.4 activité 3 : quartiles et déciles avec valeurs et effectifs . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.5 activité 4 : quartiles et déciles cas des données avec intervalles . . . . . . . . . 43


8.2.1 corrigé activité 1 : généralités (moyenne, médiane, déciles, diagramme enBoîte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2.2 corrigé activité 2 : quartiles et déciles cas des valeurs en vrac . . . . . . . . . 46

8.2.3 corrigé activité 3 : quartiles et déciles cas valeurs et effectifs . . . . . . . . . . 48

8.2.4 pré-corrigé activité 4 : quartiles et déciles cas des valeurs regroupées parintervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.2.5 corrigé activité 4 : quartiles et déciles cas des valeurs regroupées par intervalles 52

8.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.4 exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


9 devoirs maison 629.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.3 devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.4 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.5 devoir maison 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



10 tests 7510.1 test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.2 corrigé test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.3 test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10.4 corrigé test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.5 test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 évaluations 8511.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12 travaux pratiques 9112.1 tp tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.2 tp caculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13 révisions 95

14 activité globale 9714.1 activité globale 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

14.2 corrigé activité globale 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14.3 activité globale 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


14.5 activité globale 3bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106




14.9 corrigé activité globale 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.10corrigé activité globale 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1 généralités et vocabulaire

1.1 à retenir

définition 1 : (étude statistique)

Faire une étude statistique c’est :

1. recueillir des informations à partir d’un ensemble d’éléments (Sondage, Mesures,. . . )2. organiser et traiter les données (tableaux, calculs,. . . )3. représenter les résultats (diagrammes, courbes, . . . )4. commenter les résultats (remarques,. . . )

définition 2 : (population)

la population d’une étude statistique est l’ensemble d’éléments duquelon extrait des informations(ensemble des élèves d’une classe, ensemble des voitures, . . . )

définition 3 : (individu)

Un individu est un des éléments appartenant à la population.(un des élèves de la classe, une des voitures . . . )

définition 4 : (effectif)

L’ effectif noté « N » d’ une population est le nombre d’élémentsque contient la population (c’est un nombre entier naturel, N ∈ N )(si une classe est de 30 élèves, N = 30)

définition 5 : (variable et valeurs de la variable)

Une "variable" X (ou "caractère" ) est le type d’informationsque l’on extrait de chaque individu (poids, nationalité,... )Les valeurs x1; x2; x3; . . . ; xi; . . . xN prisespar la variable X peuvent être des nombres ou autre chose que des nombreset sont aussi appelées "modalités" de la variable.(nombre de frères et sœurs, couleur des yeux, . . . )

définition 6 : (nature de la variable)

La variable est de nature :QUALITATIVEsi les valeurs possibles de la variable (modalités) ne sont pas des nombres.(Nationalité, couleur des yeux,. . . )

QUANTITATIVEsi les valeurs possibles de la variable sont des nombres. (taille, poids,. . . )

QUANTITATIVE DISCRETEsi les valeurs possibles de la variable sont des nombres isolés.(nombre de frères, nombre d’enfants, de diplômes,. . . )

QUANTITATIVE CONTINUEsi les valeurs possibles de la variables forment un intervalle (poids, taille,. . . )On procède généralement à une séparation de l’ensemble des valeurs possiblesen intervalles disjoints. ([0; 10[ ; [10; 20[ ; . . . )

exemple

On demande à chaque élève d’une classe de 30 élèves son poids en kg.— Population : ensemble des élèves de la classe— Individu : élève— Effectif total : N = 30— Variable : poids— Nature de la variable : quantitative continue (on peut procéder à un regroupement par

intervalles)

2 représentations graphiques

2.1 activités

2.1.1 activité 1 : diagramme circulaire

concernant les terminales générales de l’année 2009 en France (à 1% près)A B C D E F1 série générales ES S L Σ

2 Filles (%) 35 41 24 1003 Garçons(%) 28 64 8 100

H I J K Lsérie générales ES S L Σ

Filles (degrés) 126Garçons (degrés)

i. quel est le "mode" de la variable étudiée pour les filles ? :

ii. quel est le "mode" de la variable étudiée pour les garçons ? :

iii. retrouver un calcul qui permet d’obtenir le 126 de la cellule I2

iv. compléter le tableau des angles des diagrammes circulaires (le cercle pour 100 %)

v. quelles formules entrer en I2 et I3 pour que les résultats s’affichent automatiquementsi on tire vers la droite (dans un tableur) ?

vi. compléter les diagrammes circulaires ci dessous (découpés en tranches de 10 degrés)

commentaires :

2.1.2 activité 2 : diagramme en bâtons

voici les répartitions des nombres d’enfants par familles dans deux classes A et Bnombre d’enfants 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

classe A (%) 10 20 25 15 10 10 5 5 100classe B (%)

i. commenter la valeur 7 du tableau ci dessus

ii. commenter le deuxième bâton du diagramme ci dessous

iii. compléter le diagramme en bâtons ci dessous ainsi que le tableau ci dessus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb enfants

%

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb enfants

%

iv. quelle classe admet le plus grand nombre d’enfants par famille ?

v. quel est le "mode" de la variable étudiée pour chacune des classes ? :

vi. quelle est l’étendue de la variable étudiée pour chacune des classes ? :

2.1.3 activité 3 : Histogramme

le tableau ci dessous donne le nombre d’heures de fonctionnement du poste de télévisionprincipal par jour et par famille pour les élèves de deux classes

nombre d’heures [0; 1[ [1; 3[ [3; 6[ [6; 10] Σ

effectif 8 12 15 8 43

i. commenter la valeur 12 du tableau ci dessus

ii. compléter le tableau de calculs des largeurs et hauteurs des rectangles ci dessous(c’est l’aire du rectangle qui est proportionnelle à l’effectif)nombre d’heures [0; 1[ [1; 3[ [3; 6[ [6; 10] Σ calculs du 2 et du 6

effectif 8 12 15 8 43largeur 2hauteur 6

iii. compléter l’histogramme ci dessous et donner le mode ainsi que l’étendue

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb heures

2.2 corrigés activités

2.2.1 corrigé activité 1 : diagramme circulaire

concernant les terminales générales de l’année 2009 en France (à 1% près)A B C D E F1 série générales ES S L Σ

2 Filles (%) 35 41 24 1003 Garçons(%) 28 64 8 100

H I J K Lsérie générales ES S L Σ

Filles (degrés) 126 147,6 86,4 360Garçons (degrés) 100,8 230,4 28,8 360

i. calcul qui permet d’obtenir le 126 de la cellule I2{

360←→ 100α ←→ 35

donc α =35× 360

100= 126

ii. tableau des angles des diagrammes circulaires (le cercle pour 100 %)

iii. formules entrer en I2 et I3 pour que les résultats s’affichent automatiquement si ontire vers la droite (dans un tableur) ?✞✝

☎✆I2=(C2/100)*360 ou I2=(C2/$F2)*360 ou I2=(C2/$F$2)*360✞

✝☎✆I3=(C3/100)*360 ou I3=(C3/$F3)*360 ou I3=(C3/$F$3)*360

iv. diagrammes circulaires ci dessous (découpés en tranches de 10 degrés)

ES

S

L

FILLES

ES

S L

GARCONS

commentaires : les filières sont relativement équiréparties chez les fillesalors que chez les garçons, la filières S est prépondérante et L est minoritaire

2.2.2 corrigé activité 2 : diagramme en bâtons

voici les répartitions des nombres d’enfants par familles dans deux classes A et Bnombre d’enfants 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

classe A (%) 10 20 25 15 10 10 5 5 100classe B (%)

i. la valeur 7 du tableau ci dessus signifie que✞✝

☎✆5% des familles de la classe A ont 7 enfants

ii. le deuxième bâton du diagramme ci dessous signifie que✞✝

☎✆30% des familles de la classe B ont 2 enfants

iii. compléter le diagramme en bâtons ci dessous ainsi que le tableau ci dessus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb enfants

%

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb enfants

%

iv. quelle classe admet le plus grand nombre d’enfants par famille ?✄✂

�✁A avec 8 enfants

2.2.3 corrigé activité 3 : Histogramme

le tableau ci dessous donne le nombre d’heures de fonctionnement du poste de télévisionprincipal par jour et par famille pour les élèves de deux classes

nombre d’heures [0; 1[ [1; 3[ [3; 6[ [6; 10] Σ

effectif 8 12 15 8 43

i. la valeur 12 du tableau ci dessus signifie que✞✝

☎✆12 des familles de la classe ont le poste allumé entre 1h inclue et 3h exclu

ii. compléter le tableau de calculs des largeurs et hauteurs des rectangles ci dessous(c’est l’aire du rectangle qui est proportionnelle à l’effectif)nombre d’heures [0; 1[ [1; 3[ [3; 6[ [6; 10] Σ calculs du 2 et du 6

effectif 8 12 15 8 43largeur 1− 0 = 1 2 6− 3 = 3 10− 6 = 4

✞✝

☎✆3− 1 = 2

hauteur8

1= 8 6

15

3= 5

8

4= 2

☛

✡

✟

✠12

2= 6

iii. histogramme ci dessous

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb heures

812

15

8

2.3 à retenir

définition 7 : (diagramme circulaire)

dans un diagramme circulaire, l’angle au centre α estproportionnel à l’effectif n (la fréquence f) de la valeur correspondante,avec un angle de 360 degrés pour l’effectif total N (pour la fréquence totale F = 100%)

{

360←→ Nα ←→ n

donc

☛

✡

✟

✠α =

360 × n

N

✎

✍

☞

✌angle au centre =

360 × effectif

effectif total α

de même pour f à la place de n

Exemple :Dans un groupe, il y a 5 filles et 35 garçons ( 40 personnes )Soit αf l’angle correspondant aux filles, on a :{

360←→ 40αf ←→ 5

donc

☛

✡

✟

✠αf =

360 × 5

40= 45 donc αg = 360− 45 = 315

45

F

G

définition 8 : (diagramme en bâtons)

dans un diagramme en bâtons, la hauteur du bâton h en unitésde longueurs est égale à l’effectif n (la fréquence f) de la valeurcorrespondante,

✞✝

☎✆h = n , il suffit de choisir la longueur en cm d’une unité

de longueur (...cm pour 1 unité de longueur)

valeur

effectif

h

définition 9 : (histogramme)

dans un histogramme, l’aire a du rectangle en unitésd’aires est égale à l’effectif n (la fréquence f) de l’intervalle,

pour l’intervalle [a; b[ d’effectif n on a

✞✝

☎✆largeur = l = b− a☛

✡

✟

✠hauteur = h =

n

b− a valeur

hauteur

h

a b

b− a

il suffit de choisir la valeur en cm d’une unité de hauteur.de même pour f à la place de n

Exemple :nombre d’heures [0; 1[ [1; 3[ [3; 6[ [6; 10] Σ calculs du 2 et du 6

effectif 8 12 15 8 43largeur 1− 0 = 1 2 6− 3 = 3 10− 6 = 4

✞✝

☎✆3− 1 = 2

hauteur8

1= 8 6

15

3= 5

8

4= 2

☛

✡

✟

✠12

2= 6

histogramme ci dessous

01234567

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb heures

812 15

8

2.4 exercices

exercice 1 :

(a) écrire un algorithme qui donne la valeur de l’angle au centre d’un diagramme circulairesi on entre l’effectif total et l’effectif de la valeur

(b) écrire un algorithme qui donne la hauteur du rectangle d’un histogramme si on entrel’effectif de l’intervalle ainsi que ses bornes

2.5 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

(a) écrire un algorithme qui donne la valeur de l’angle au centre d’un diagramme circulairesi on entre l’effectif total et l’effectif de la valeur

(b) écrire un algorithme qui donne la hauteur du rectangle d’un histogramme si on entrel’effectif de l’intervalle ainsi que ses bornes

3 fréquence

3.1 à retenir

définition 10 : (fréquence)

quelle que soit la série de N valeurs x1; x2; ..., xN ,quelle que soit la valeur xi de la série,

la fréquence de la valeur xi est le nombre notée fi avec

✎

✍

☞

✌fi =

effectif de la valeur xieffectif total de la serie

exemple

pour la série de valeurs : G,G,G,G,F, F, F, F, F

la fréquence de la valeur F est : f =5

9≃ 0, 5555 soit 55, 55%

4 mode

4.1 à retenir

définition 11 : (mode)

quelle que soit la série de N valeurs x1; x2; ..., xN ,quelle que soit la valeur xi de la série,✞✝

☎✆xi est un "mode" de la série ⇐⇒ xi a le plus grand effectif

exemple

pour la série de valeurs : G,G,G,G,F, F, F, F, F,A,A,A,A,A

F est un mode de la série car il a le plus grand effectif (5)

A est un mode de la série car il a le plus grand effectif (5)

remarques

i. une série de valeurs peut avoir plusieurs modes

ii. dans le cas d’une série de valeurs regroupées par intervalle, on parle de "classe modale"pour l’intervalle de plus grand effectif

iii. plus grand effectif équivaut à plus grande fréquence

5 étendue

5.1 à retenir

définition 12 : (étendue)

quelle que soit la série de N valeurs réelles x1; x2; ..., xN ,✞✝

☎✆e est l’étendue de la série ⇐⇒ e = valeur maximale− valeur minimale

exemple

pour la série de valeurs : 2; 8; 15; 18

e = 18− 2 = 16

6 moyenne arithmétique

6.1 activités

6.1.1 activité 1 : cas des valeurs en vrac

voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits :lac A : 0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 100lac B : 10 ; 15 ; 20 ; 30

a. calculer les profondeurs moyennes respectives xA et xB des lacs A et B

b. quel lac est le plus profond en moyenne ? quel est l’effet du 100 ?

c. peut-on raisonnablement se fier à la profondeur moyenne d’un lac pour juger du dangerde plonger de 5m de haut ?

d. quelle mesure de profondeur supplémentaire du lac B lui donnerait la même profondeurmoyenne que le lac A ?

e. rappeler la formule de la moyenne x de n nombres x1, x2, x3, ..., xn

6.1.2 activité 2 : données avec valeurs et effectifs

voici les nombres d’écrans par foyers (téléviseur, PC,...) pour les élèves de deux classes.

classe A :nombre d’écrans : xi 3 5 8 10

∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30classe B :

xi 4 9 12ni 4 6 10

a. que signifient les 12 de chaque tableaux ?

b. vrai ou faux :classe A : nombre moyen d’écran =

3 + 5 + 8 + 10

4=

26

4= 6, 5 écrans par foyer

c. calculer les nombres moyens d’écrans par foyers xA et xB pour chaque classe

d. vrai ou faux :c’est la classe qui a le plus grand nombre moyen qui a le plus grand nombre d’écrans ?

e. l’arrivée dans la classe B de nouveaux élèves ayant chacun 7 écrans dans leur foyer faitpasser la moyenne à 9 écrans, combien d’élèves sont arrivés dans cette classe ?

f. rappeler la formule de la moyenne x de p nombres x1, x2, x3, ..., xp d’effectifs respectifsn1, n2, n3, ..., np

6.1.3 activité 3 : cas des données avec valeurs regroupées par intervalles

Voici la répartition des salaires dans une entreprise.salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [

∑

centres ci 1100

fréquences hommes : hi 10% 50% 40% 100%fréquences femmes : fi 40% 50% 10% 100%

a. que signifie chaque 10% du tableau ?

b. comparer le salaire moyen des femmes xF et celui des hommes xH

c. est-ce possible ? :"dans cette entreprise, pour chacune des tranches de salaires ci dessus, les femmes gagnentplus que les hommes !"

d. par combien doit-on remplacer le 4000 pour que le salaire moyen des femmes passe à 2000euros ? est-ce équitable ?

e. rappeler comment on calcule la moyenne dans le cas de valeurs par intervalles


6.2.1 corrigé activité 1 : cas des données en vrac

1. a. lac A : xA =0, 2 + 0, 5 + 0, 8 + 0, 9 + 100

5=

102, 4

5=

✞✝

☎✆20,48m de profondeur moyenne

lac B : xB =10 + 15 + 20 + 30

4=

75

4=

✞✝


b.✞✝

☎✆le lac A est le plus profond en moyenne car 20,48>18,75

✞✝

☎✆le 100 fait fortement augmenter la moyenne xA

la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes

c.✞✝

☎✆on ne peut raisonnablement pas se fier à la profondeur moyenne d’un lac pour juger

du danger de plonger de 5m de haut car ce n’est qu’une moyenne.

d. soit x la mesure de profondeur supplémentaire du lac B qui lui donnerait la mêmeprofondeur moyenne que le lac A :

xB =10 + 15 + 20 + 30 + x

5= 20, 48

⇐⇒ 75 + x

5= 20, 48

⇐⇒ 75 + x = 5× 20, 48 = 102, 4

⇐⇒ x = 102, 4 − 75 = 27, 4

✞✝

☎✆la nouvelle mesure doit-être de 27,4m

e. moyenne x de n nombres x1, x2, x3, ..., xn :

✓

✒

✏

✑x =

x1 + x2 + ...+ xnn

=1

n

i=n∑

i=1

xi

6.2.2 corrigé activité 2 : cas des données avec effectifs

2. voici les nombres d’écrans par foyers (téléviseur, PC,...) pour les élèves de deux classes.


∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30classe B :

xi 4 9 12ni 4 6 10

a.✞✝

☎✆12 foyers de la classe A ont 8 écrans

✞✝

☎✆12 écrans pour 10 foyers de la classe B

b.✄✂

�✁faux car

3 + 5 + 8 + 10

4=

26

4= 6, 5

✞✝

☎✆ne tient pas compte des effectifs

c. xA =2× 3 + 7× 5 + 12× 8 + 9× 10

30=

227

30≃

✞✝

☎✆7,6 écrans par foyer en moyenne

xB =4× 4 + 6× 9 + 10× 12

20=

190

20≃

✞✝


d. faux car c’est la classe B qui a le plus grand nombre moyen (9,5 > 7,6) et c’est laclasse A qui a le plus grand nombre d’écrans (227>190)

e. l’arrivée dans la classe B de nouveaux élèves ayant chacun 7 écrans dans leur foyer faitpasser la moyenne à 9 écrans, soit x le nombre d’élèves arrivés dans cette classe.

xB =4× 4 + 6× 9 + 10× 12 + x× 7

20 + x= 9

⇐⇒ 190 + 7x

20 + x= 9

⇐⇒ 9(20 + x) = 190 + 7x

⇐⇒ 180 + 9x = 190 + 7x

⇐⇒ 2x = 10

⇐⇒ x = 5

✄✂

�✁il est arrivé 5 nouveaux élèves

f. moyenne x de p nombres x1, x2, x3, ..., xp d’effectifs respectifs n1, n2, n3, ..., np

✓

✒

✏

✑x =

n1x1 + n2x2 + ...+ npxpn1 + n2 + ...+ np

=1

n

i=p∑

i=1

nixi où n =

i=p∑

i=1

ni

6.2.3 corrigé activité 3 : cas des données avec valeurs regroupées par intervalles

3. Voici la répartition des salaires dans une entreprise.

salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑

centres ci 11001200 + 1600

2= 1400 2800

fréquences hommes : hi 10% 50% 40% 100%fréquences femmes : fi 40% 50% 10% 100%

a.✞✝

☎✆10% des hommes gagnent entre 1000 euros inclu et 1200 euros exclu

✞✝

☎✆10% des femmes gagnent entre 1600 euros inclu et 4000 euros exclu

b. xF =40× 1100 + 50× 1400 + 10× 2800

1000=

142000

100=

✞✝

☎✆1420 euros en moyenne

xH =10× 1100 + 50× 1400 + 40× 2800

100=

193000

100=

✞✝

☎✆1930 euros en moyenne

c.✞✝

☎✆il est possible que :

"dans cette entreprise, pour chacune des tranches de salaires ci dessus, les femmesgagnent plus que les hommes !"

en effet, les moyennes sont calculées par rapport aux centres des intervalles, si chaquefemme de chaque tranche gagne la valeur du centre et chaque homme 100 euros demoins, on aura bien les mêmes moyennes que ci dessus et la phrase sera bien vrai !

d. soit x le nombre par lequel on doit remplacer le 4000 pour que le salaire moyen desfemmes passe à 2000 euros.

xF =40× 1100 + 50× 1400 + 10× 1600 + x

2100

= 2000

⇐⇒ 114000 + 10× (800 + 0, 5x)

100= 2000

⇐⇒ 114000 + 8000 + 5x

100= 2000

⇐⇒ 122000 + 5x

100= 2000

⇐⇒ 122000 + 5x = 200000

⇐⇒ 5x = 200000 − 122000 = 78000

⇐⇒ x =78000

5= 15600

✞✝

☎✆il faut remplacer le 4000 euros par 15600 euros✞

✝☎✆ce n’est pas équitable dans la mesure où on augmente des hauts salaires

e. dans le cas de valeurs par intervalles, on calcule la moyenne✞✝

☎✆en prenant les centres des intervalles et les effectifs

6.3 a retenir :

définition 13 : (moyenne arithmétique)

quels que soient les n nombres réels x1, x2, x3, ..., xn

x est la moyenne arithmétique de x1, x2, x3, ..., xn ⇐⇒

☛

✡

✟

✠x =

x1 + x2 + ...+ xnn

notée :

✓

✒

✏

✑x =

1

n

i=n∑

i=1

xi

aussi notée :

☛

✡

✟

✠x =

∑

xin

exemple :

la moyenne arithmétique de 8 ; 12 ; 10 est x =8 + 12 + 10

3=

30

3= 10

définition 14 : (moyenne arithmétique avec effectifs)

quels que soient les p nombres réels x1, x2, x3, ..., xp (valeurs)quels que soient les p nombres réels n1, n2, n3, ..., np (coefficients)

{

x est la moyenne de x1, x2, x3, ..., xpde coefficients respectifs n1, n2, n3, ..., np

⇐⇒

✎

✍

☞

✌x =

n1x1 + n2x2 + ...+ npxpn1 + n2 + ...+ np

notée

✓

✒

✏

✑x =

1

n

i=p∑

i=1

nixi où n =

i=p∑

i=1

ni

aussi notée :

✎

✍

☞

✌x =

∑

nixi∑

ni

exemple :xi 4 9 12ni 4 6 10

x =4× 4 + 6× 9 + 10× 12

4 + 6 + 10=

190

20= 9, 5

définition 15 : (moyenne arithmétique avec intervalles)

quels que soient les p intervalles ce centres respectifs c1, c2, c3, ..., cp,

(le centre de l’intervalle [a; b] est c =a+ b

2)

quels que soient les p nombres réels n1, n2, n3, ..., np (coefficients)

x est la moyenne des valeurs regroupéesdans les p intervalles

de coefficients respectifs n1, n2, n3, ..., np

⇐⇒

✎

✍

☞

✌x =

n1c1 + n2c2 + ...+ npcpn1 + n2 + ...+ np

notée

✓

✒

✏

✑x =

1

n

i=p∑

i=1

nixi où n =

i=p∑

i=1

ni

aussi notée :

✎

✍

☞

✌x =

∑

nici∑

ni

exemplexi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [

∑

centres ci 11001200 + 1600

2= 1400 2800

ni 40% 50% 10% 100%

x =40× 1100 + 50× 1400 + 10× 2800

100=

142000

100= 1420

6.4 exercices

exercice 2 :

Suite à une évaluation, voici les notes de deux groupes d’élèves :Groupe 1 : 8 ; 12 ; 13 ; 6 ; 5 ; 14 Groupe 2 : 5 ; 18 ; 10 ; 7

A. calculer les étendues e1 et e2 et les moyennes x1 et x2 pour chacun des groupes etpréciser le groupe qui a le mieux réussi en moyenne et celui qui a les notes les "plusétendues"

B. calculer l’étendue e et la moyenne x pour l’ensemble des deux groupes réunis

C. Vrai ou Faux : "x est la moyenne de x1 et x2"

D. quelle 7e note x ajouter au Groupe 1 pour que les deux moyennes soient égales ?

exercice 3 :

Concernant deux sites internet, voici un bilan des nombres de visites des abonnés pourla semaine dernière

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb visites

proportions (%) Site 2

20%Site 1 Σ

visites : xi 1 2 3 4 5 6

effectif : ni 30 50 120 80 40 20

nixi

A. que signifient le 50 et le 20% ?

B. combien de personnes sont abonnées au site 1 ? au site 2 ?

C. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que x1 et x2 les nombres moyens de visites parabonné pour chaque site la semaine dernière et en déduire celui qui a eu le plus devisite de ses abonnés en moyenne.

D. quel site a eu le plus de visites des ses abonnés au total ?

E. combien d’abonnés x à 7 visites aurait-il fallu en plus au site 1 pour avoir la mêmemoyenne qu’au site 2 ?

exercice 4 :

Concernant deux sites internet, voici un bilan des durées de visites des abonnés pourla semaine dernière

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb mn

site 2

5%

15%

Site 1 Σ

durée (mn) : xi [0; 5[ [5; 15[ [15; 30[ [30; 60]

centres : cieffectif : ni 284 50 3 3

nici

A. que signifient le 50 et le 15% ?

B. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que x1 et x2 les durées moyennes des visites parabonné pour chaque site la semaine dernière et en déduire celui qui voit ses abonnésrester connectés le plus longtemps en moyenne

C. quelle durée x aurait-il fallu au site 1 à la place du 60 pour avoir la même moyennequ’au site 2 ?

exercice 5 :

i. écrire un algorithme qui donne la moyenne de nombres si on entre le nombre denombres puis que l’on entre chacun des ces nombres

ii. écrire un algorithme qui donne la moyenne coefficientée de nombres si on entre lenombre de nombres puis que l’on entre chacun des ces nombres puis chacun des coef-ficients respectifs



Suite à une évaluation, voici les notes de deux groupes d’élèves :Groupe 1 : 8 ; 12 ; 13 ; 6 ; 5 ; 14 Groupe 2 : 5 ; 18 ; 10 ; 7

A. e1 = 14− 5 =✄✂

�✁9

e2 = 18− 5 =✄✂

�✁13

x1 =8 + 12 + 13 + 6 + 5 + 14

6=

58

6=

29

3≃

✞✝

☎✆9, 7

x2 =5 + 18 + 10 + 7

4=

40

4=

✄✂

�✁10

✞✝

☎✆le groupe 2 a le mieux réussi en moyenne car 10 > 9, 7

✞✝

☎✆le groupe 2 a les notes les "plus étendues" car 13 > 9

B. e = 18− 5 =✄✂

�✁13

x =8 + 12 + 13 + 6 + 5 + 14 + 5 + 18 + 10 + 7

10=

98

10=

✞✝

☎✆9, 8

C.✄✂

�✁Faux car : x = 9, 8 alors que

x1 + x22

=

58

6+ 10

2=

118

12=

59

6≃ 9, 83

donc x 6= x1 + x22

D. quelle 7e note x ajouter au Groupe 1 pour que les deux moyennes soient égales ?

8 + 12 + 13 + 6 + 5 + 14 + x

7= 10

⇐⇒ 58 + x

7= 10

⇐⇒ 58 + x = 70

⇐⇒ x = 70− 58 =✄✂

�✁12


Concernant deux sites internet, voici un bilan des nombres de visites des abonnés pourla semaine dernière

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb visites

proportions (%)Site 2

20%Site 1 Σ

visites : xi 1 2 3 4 5 6

effectif : ni 30 50 120 80 40 20 340nixi 30 100 360 320 200 120 1130

A. 50 abonnés du site 1 ont fait 2 visites la semaine dernière20% des abonnés du site 1 ont fait 3 visites la semaine dernière

B. 340 personnes sont abonnées au site 1on ne peut pas savoir pour la site 2 car on ne dispose que des proportions

C. e1 = 6− 1 =✄✂

�✁5

e2 = 7− 1 =✄✂

�✁6

x1 =1130

340≃

✞✝

☎✆3, 3

x2 =1× 5 + 2× 10 + 3× 20 + 4× 25 + 5× 25 + 6× 10 + 7× 5

100=

405

100=

✞✝

☎✆4, 05

✄✂

�✁le site 2 a eu le plus de visites de ses abonnés en moyenne car 4, 05 > 3, 3

D. quel site a eu le plus de visites des ses abonnés au total ?On ne peut pas savoir car pour le site 2 on ne dispose que des pourcentages

E. combien d’abonnés x à 7 visites aurait-il fallu en plus au site 1 pour avoir la mêmemoyenne qu’au site 2 ?

x1 =1130 + 7x

340 + x= 4, 05

⇐⇒ 1130 + 7x = 4, 05(340 + x)

⇐⇒ 1130 + 7x = 1377 + 4, 05x

⇐⇒ x =1377 − 1130

7− 4, 05=

247

2, 95≃ 83, 73

⇐⇒ x ≃✞✝

☎✆83, 73


Concernant deux sites internet, voici un bilan des durées de visites des abonnés pourla semaine dernière

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nb mn

site 2

5%

15%

Site 1 Σ

durée (mn) : xi [0; 5[ [5; 15[ [15; 30[ [30; 60]

centres : ci 2,5 10 22,5 45effectif : ni 284 50 3 3 340

nici 710 500 67,5 135 1412,5

A. 50 des abonnés du site 1 sont restés entre 5 et 15 minutes la semaine dernière15% des abonnés du site 2 sont restés entre 3 et 6 minutes la semaine dernière

B. e1 = 60− 0 =✄✂

�✁60

e2 = 10− 0 =✄✂

�✁10

x1 =1412, 5

340=

✞✝

☎✆4, 15

x2 =0, 5 × 25 + 2× 20 + 4, 5 × 15 + 8× 40

100=

422

100=

✞✝

☎✆4, 22

le site 2 voit ses abonnés rester connectés le plus longtemps en moyenne car4, 22 > 4, 15

C. quelle durée x aurait-il fallu au site 1 à la place du 60 pour avoir la même moyennequ’au site 2 ?

x1 =710 + 500 + 67, 5 + 3× 30 + x

2340

= 4, 22

⇐⇒1277, 5 +

90 + 3x

2340

= 4, 22

⇐⇒ 1277, 5 + 45 + 1, 5x

340= 4, 22

⇐⇒ 1322, 5 + 1, 5x

340= 4, 22

⇐⇒ 1322, 5 + 1, 5x = 340 × 4, 22 = 1434, 8

⇐⇒ x =1434, 8 − 1322, 5

1, 5≃ 74, 86

⇐⇒ x ≃✄✂

�✁75




7 variance et écart type

7.1 activités

7.1.1 activité 1 : cas des valeurs en vrac

on veut évaluer la précision et la régularité dedeux tireurs dont on dispose des distances aucentre de la cible pour 5 tirs chacuntireur A (impacts noirs), tireur B (impacts blancs)

pour mesurer la précision des tireursnous utiliserons la moyenne xpour mesurer la régularité des tireursnous utiliserons la variance V et l’écart type σ

(a) Tireur A : 1 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2i. vérifier que les mesures ci dessous sont exactes avec une règle graduée

ii. calculer la moyenne xA des distances au centre pour le tireur A.

iii. compléter le tableau suivant pour le tireur A :Σ

distance au centre xi 1 1 1,5 2 2

écart à la moyenne xi − x

carré de l’écartà la moyenne (xi − x)2

carré desdistance au centre x2i

iv. calculer la variance VA des distances grâce à la première formule : VA =1

5

i=5∑

i=1

(xi−x)2

remarque : il s’agit de la moyenne des carrées des écarts à la moyenne, donc, plusles valeurs sont dispersées en moyenne autour de la moyenne et plus cette valeur estgrande, cela permet de "mesurer" la dispersion des valeurs autours de la moyenne

v. vérifier que l’on trouve aussi VA grâce à la seconde formule : VA =1

5

i=5∑

i=1

x2i − (x)2

(il s’agit de la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne)

vi. calculer à 0,01 près, l’écart type σA de la première série grâce à la formule : σA =√VA

(b) Tireur B : 0,5 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 3i. vérifier que les mesures ci dessus sont exactes avec une règle graduée

ii. calculer la moyenne xB des distances au centre pour le tireur B.

iii. compléter le tableau suivant pour le tireur B :Σ

distance au centre xi 0,5 0,5 1 1,5 3carré des

distance au centre x2iiv. en déduire la valeur de la variance VB de la série de tirs ainsi que, à 0,01 près,

l’écart type σB de la seconde série

v. comparer les moyennes et en déduire le tireur le plus précis en moyenne.

vi. comparer les écarts types et en déduire le tireur le plus régulier en moyenne.(c) Généralisation

i. donner les deux formules de la variance pour la série de p nombres : x1, x2, x3, ..., xpii. donner la formule de l’écart type

iii. comparer le Tireur C aux autres sachant que ses distances sont : 1, 1, 2 et 0.

7.1.2 activité 2 : cas des valeurs avec effectifs.

0 1 2 3

On veut évaluer la précision et larégularité d’un tireur dont ondispose des distances aucentre de la cible pour 100 tirs.

Nous allons calculer la moyenne xdes distances au centre de la ciblepour estimer la précision des tirs.

Nous allons calculer la variance Vet l’écart type σ des distancesau centre de la cible pour évaluerla régularité des tirs.

(a) vérifier les trois premières lignes de la colonneB du tableau sachant que les distances sont arrondies à 1cm près par excès si 5

A B C D E F G

1 distance arrondie : xi effectif : ni nixi nix2

i ni(xi − x)2

2 0 cm 1 x

3 1 cm 8 V

4 2 cm 12 V

5 3 cm 21 σ

6 4 cm 26

7 5 cm 23

8 6 cm 8

9 7 cm 1

10 Σ 100

(b) i. compléter la colonne C et en déduire la valeur de la distance moyenne x

ii. donner la formule qu’il faut entrer dans la cellule C2 d’une feuille de calcul d’untableur pour que la colonne se remplisse si on tire vers le bas jusqu’à C9 : C2 = ...

iii. formule à entrer en G2 pour obtenir la moyenne grâce à la colonne C : G2 = ...

(c) i. compléter la colonne D et en déduire la valeur exacte de la variance V

ii. donner la formule qu’il faut entrer dans la cellule D2 : D2 = ...

iii. formule à entrer en G3 pour obtenir la variance grâce à la colonne D : G3 = ...

(d) i. compléter la colonne E et en déduire la valeur exacte de la variance V

ii. donner la formule qu’il faut entrer dans la cellule E2 : E2 = ...

iii. formule à entrer en G4 pour obtenir la variance grâce à la colonne E : G4 = ...

(e) i. donner une valeur approchée de l’écart type σ à 0,1 près.

ii. formule à entrer en G5 pour obtenir l’écart type : G5 = ...

(f) un autre tireur a une distance moyenne de 2,5cm et un écart type de 2 cm, comparerles deux tireurs.

(g) donner les deux formules de la variance V et celle de l’écart type de p nombresx1, x2, x3, ..., xp d’effectifs respectifs n1, n2, n3, ..., np

7.1.3 activité 3 : cas des valeurs regroupées par intervalles

pour les 25 élèves d’une classe, voici le temps passé à écouter de la musique par jour.Durée (heures) [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 6 [ [ 6 ; 12 [ Σ

Effectif : ni 5 8 9 3 25

(a) compléter le tableau ci dessous

Durée (heures) [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 6 [ [ 6 ; 12 [ Σ


centre : xi 0,5

nixi 2,5

nix2

i 1,25

(b) calculer x, la valeur de la durée moyenne d’écoute quotidienne par élève à 5 mn près

(c) calculer la variance V des durées

(d) calculer l’écart type σ des durées

(e) une autre classe a une durée moyenne d’écoute de 3h et un écart type de 2,4h comparerles deux classe

(f) comment procède t-on pour calculer l’écart type quand on dispose d’intervalles ?


7.2.1 corrigé activité 1 : cas des valeurs en vrac.

(a) Tireur A :

i. o.k.

ii. xA =1 + 1 + 1, 5 + 2 + 2

5=

7, 5

5= 1, 5

la moyenne des distances au centre pour le tireur A est✞✝

☎✆xA = 1, 5 cm

iii. tableau pour le tireur A :Σ

distance au centre xi 1 1 1,5 2 2✞✝

☎✆7,5

1-1,5 1-1,5 1,5-1,5 2-1,5 2-1,5écart à la moyenne xi − x -0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0

carré de l’écart (−0, 5)2 (−0, 5)2 02 0, 52 0, 52

à la moyenne (xi − x)2 0,25 0,25 0 0,25 0,25✄✂

�✁1

carré des 12 12 1, 52 22 22

distance au centre x2i 1 1 2,25 4 4✞✝

☎✆12,25

iv. VA =1

5

i=5∑

i=1

(xi − x)2 =1

5× 1 = 0, 2

la variance des distances grâce à la première formule est :✞✝

☎✆VA =0,2

v. VA =1

5

i=5∑

i=1

x2i − (x)2 =1

5× 12, 25 − 1, 52 = 2, 45 − 2, 25 = 0, 2

on trouve aussi VA = 0, 2 grâce à la seconde formule :

vi. σA =√VA =

√0, 2 ≃ 0, 45 à 0,01 près

l’écart type de la première série est✞✝

☎✆σA ≃ 0, 45

(b) Tireur B :

i. O.K.

ii. xB =0, 5 + 0, 5 + 1 + 1, 5 + 3

5=

6, 5

5= 1, 3

la moyenne des distances au centre pour le tireur B est✞✝

☎✆xB = 1, 3 cm

iii. tableau pour le tireur B :Σ

distance au centre xi 0,5 0,5 1 1,5 3carré des distance au centre x2i 0,25 0,25 1 2,25 9 12,75

iv. VB =1

5

i=5∑

i=1

x2i − (x)2 =1

5× 12, 75 − 1, 32 = 0, 86

la variance des distances est :✞✝

☎✆VB =0,86 et l’écart type est :

✞✝

☎✆σB =

√0, 86 ≃ 0, 93

bilan :Tireur x σ

A 1,5 0,45B 1,3 0,93

v.✞✝

☎✆le tireur le plus précis en moyenne est B car 1,3 < 1,5 (plus petite distance moyenne)

vi.✞✝

☎✆le tireur le plus régulier en moyenne est A car 0,45 < 0,93 (plus petit écart type)

(c) i. formules pour la variance de la série de p nombres : x1, x2, x3, ..., xp✓

✒

✏

✑V =

(x1 − x)2 + ...+ (xp − x)2

p=

1

p

i=p∑

i=1

(xi − x)2 ou

✓

✒

✏

✑V =

x21+ x2

2+ ...+ x2pp

− (x)2 =1

p

i=p∑

i=1

x2i − (x)2

ii. formule pour l’écart type :✞✝

☎✆σ =

√V

iii. xC =1 + 1 + 0 + 2

4=✄✂

�✁1 , VC =

12 + 12 + 02 + 22

4− (1)2 =

✞✝

☎✆0,5 , σC =

√0, 5 ≃

✞✝

☎✆0,71

C est plus précis que A et B car 0,5<1,3<1,5C est plus régulier que B mais moins que A car 0,45<0,71<0,93

7.2.2 corrigé activité 2 : cas des valeurs avec effectifs

(a) vérification des trois premières lignes de la colonne E du tableau sachant que les distancessont arrondies à 1cm près par excès si 5

A B C D E F G

1 distance arrondie : xi effectif : ni nixi nix2

i ni(xi − x)2

2 0 cm 1 0 0 13,6161 x 3,69

3 1 cm 8 8 8 57,8888 V 2,114

4 2 cm 12 24 48 34,2732 V 2,114

5 3 cm 21 63 189 9,9981 σ 1,454

6 4 cm 26 104 416 2,4986

7 5 cm 23 115 575 39,4703

8 6 cm 8 48 288 42,6888

9 7 cm 1 7 49 10,9451

10 Σ 100 369 1573 211,39

(b) i. de la colonne C on déduit que la valeur de la distance moyenne est

☛

✡

✟

✠x =

369

100= 3, 69

ii.✞✝

☎✆C2 = A2×B2

iii.✞✝

☎✆G2 = C10/B10

(c) i. de la colonne D on déduit la valeur exacte de la variance :

V =1

100

∑

nix2

i − (x)2 =1

100× 1573 − (

369

100)2 =

157300 − 136161

10000=

21139

10000

✞✝

☎✆≃ 2, 114

ii.✞✝

☎✆D2 = A2ˆ 2×B2

iii.✞✝

☎✆G3 = D10/B10 −G2ˆ 2

(d) i. de la colonne E on déduit la valeur exacte de la variance :

V =1

100

∑

ni(xi − x)2 =1

100× 211, 39 =

✞✝

☎✆2, 1139

ii.✞✝

☎✆E2 = B2× (A2−G2)ˆ 2

iii.✞✝

☎✆G4 = E10/B10

(e) i. valeur approchée de l’écart type : σ ≃√

21139

10000≃✞✝

☎✆1,5 à 0,1 près.

ii.✞✝

☎✆G5 =

√G3

(f) un autre tireur a une distance moyenne de 2,5cm et un écart type de 2 cm

✞✝

☎✆le second tireur est plus précis en moyenne car 2,5 < 3,69

✞✝

☎✆le second tireur est moins régulier en moyenne car 1,5 < 2

(g) les deux formules de la variance V : et celle de l’écart type de p nombres x1, x2, x3, ..., xpd’effectifs respectifs n1, n2, n3, ..., np

✓

✒

✏

✑V =

1

N

i=p∑

i=1

nix2

i − (x)2 ou bien

✓

✒

✏

✑V =

1

N

i=p∑

i=1

ni(xi − x)2 avec N =

i=p∑

i=1

ni

✞✝

☎✆σ =

√V

7.2.3 corrigé activité 3 : cas des valeurs regroupées par intervalles

pour les 25 élèves d’une classe, voici le temps passé à écouter de la musique par jour.

Durée (heures) [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 6 [ [ 6 ; 12 [ Σ


i. compléter le tableau ci dessous

Durée (heures) [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 6 [ [ 6 ; 12 [ Σ


centre : xi 0,5 2 4,5 9

nixi 2,5 16 40,5 27 86

nix2

i 1,25 32 182,25 243 458,5

ii. moyenne des durées = x =1

25

∑

nixi =86

25= 3, 44h

✞✝

☎✆la durée moyenne d’écoute est 3h 26mn à 5 mn près .

iii. variance V des durées = V =1

25

i=p∑

i=1

nix2

i − (x)2 =458, 5

25− (

86

25)2 ≃ 6, 5

✞✝

☎✆la variance est égale à environs 6,5 .

iv. l’écart type σ des durées : σ =√V ≃

√6, 5 ≃ 2, 6

✞✝

☎✆l’écart type est égale à environs 2,6 heures .

v. une autre classe a une durée moyenne d’écoute de 3h et un écart type de 2,4h

✞✝

☎✆les élèves de la première classe écoutent plus de musique en moyenne car 3,44> 3

✞✝

☎✆les durées d’écoute sont moins dispersées dans la deuxième classe car 2,4 < 2,6

vi. pour calculer l’écart type, quand on dispose d’intervalles,

✄✂

�✁on utilise les centres des intervalles et les effectifs .

7.3 a retenir :

définition 16 : (variance et valeurs "en vrac")

quels que soient les n nombres réels x1, x2, x3, ..., xn

V est la variance de x1, x2, ..., xn ⇐⇒

✎

✍

☞

✌V =

x21+ x2

2+ ...+ x2nn

− x2

aussi notée V = (1

n

i=n∑

i=1

x2i )− x2 (formule 1)

ou bien

✎

✍

☞

✌V =

(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + ...+ (xn − x)2

n

aussi notée V =1

n

i=n∑

i=1

(xi − x))2 (formule 2)

exemple :la variance de 8 ; 12 ; 10 est :

x =8 + 12 + 10

3=

30

3= 10 puis V =

82 + 122 + 102

3− 102 =

308

3− 102 ≃ 2, 67

ou bien

x =8 + 12 + 10

3=

30

3= 10 puis V =

(8− 10)2 + (12− 10)2 + (10 − 10)2

3=

8

3≃ 2, 67

définition 17 : (variance et valeurs avec effectifs)

quels que soient les p nombres réels x1, x2, x3, ..., xp (valeurs),quels que soient les p nombres réels n1, n2, n3, ..., np (coefficients),V est la variance de x1, x2, ..., xp de coefficients respectifs n1, n2, ..., np

⇐⇒

✎

✍

☞

✌V =

n1x21+ n2x

22+ ...+ npx

2p

n1 + n2 + ...+ np− x2 (formule 1)

aussi notée V = (1

N

i=p∑

i=1

nix2

i )− x2 où N = n1 + n2 + ...+ np =

i=p∑

i=1

ni

ou bien

✎

✍

☞

✌V =

n1(x1 − x)2 + n2(x2 − x)2 + ...+ np(xp − x)2

n1 + n2 + ...+ np(formule 2)

aussi notée V =1

N

i=p∑

i=1

ni(xi − x))2 où N = n1 + n2 + ...+ np =

i=p∑

i=1

ni

exemple :xi 4 9 12ni 4 6 10

x =4× 4 + 6× 9 + 10× 12

4 + 6 + 10=

190

20= 9, 5

puis V =4× 42 + 6× 92 + 10× 122

4 + 6 + 10− 9, 52 =

1990

20− 9, 52 = 9, 25

ou bien

x =4× 4 + 6× 9 + 10× 12

4 + 6 + 10=

190

20= 9, 5

puis V =4× (4− 9, 5)2 + 6× (9− 9, 5)2 + 10× (12− 9, 5)2

4 + 6 + 10=

185

20= 9, 25

définition 18 : (variance et valeurs regroupées par intervalles)

quels que soient les p intervalles ce centres respectifs c1, c2, c3, ..., cp,

(le centre de l’intervalle [a; b] est

☛

✡

✟

✠c =

a+ b

2)

quels que soient les p nombres réels n1, n2, n3, ..., np (coefficients)

V est la variance des valeurs regroupéesdans les p intervalles

de coefficients respectifs n1, n2, n3, ..., np

⇐⇒

✎

✍

☞

✌V =

n1c21+ n2c

22+ ...+ npc

2p

n1 + n2 + ...+ np− x2

aussi notée V = (1

N

i=p∑

i=1

nic2

i )− x2 où N =

i=p∑

i=1

ni

ou bien

✎

✍

☞

✌V =

n1(c1 − x)2 + n2(c2 − x)2 + ...+ np(cp − x)2

n1 + n2 + ...+ np

aussi notée V =1

N

i=n∑

i=1

ni(ci − x))2 où N =

i=p∑

i=1

ni

exemplexi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [

∑

centres ci 11001200 + 1600

2= 1400 2800

ni 40% 50% 10% 100%

x =40× 1100 + 50× 1400 + 10× 2800

100=

142000

100= 1420

puis V =40 × 11002 + 50× 14002 + 10× 28002

100− 14202 =

224800000

100− 14202 = 231600

ou bien

x =40× 1100 + 50× 1400 + 10× 2800

100=

142000

100= 1420

puis V =40 × (1100 − 1420)2 + 50 × (1400 − 1420)2 + 10 × (2800 − 1420)2

100= 231600

définition 19 : (écart type d’une série de valeurs )

l’écart type est le nombre noté σ égal à la racine carrée de la variance✞✝

☎✆σ =

√V

Remarques :

A. la variance (ou l’écart type) permet de "mesurer" la dispersion des valeurs (autourde la moyenne)

B. plus la variance (ou l’écart type) est grande et plus les valeurs sont dispersées(autour de la moyenne)

C. plus la variance (ou l’écart type) est petite et moins les valeurs sont dispersées(autour de la moyenne)

D. dans le cas où V = 0, (σ = 0) toutes les valeurs sont égales à une seule en mêmevaleur.

7.4 exercices

exercice 6 :

voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits :lac A : 0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 100lac B : 10 ; 15 ; 20 ; 30i. calculer les moyennes respectives xA et xB des séries A et B

ii. calculer les variances et écarts types respectifs VA, VB , σA et σB des séries A et Biii. d’après les mesures, quel lac serait le plus profond en moyenne ? quel effet a le 100 ?iv. quelle série a les mesures les plus dispersées ? justifier

v. peut-on raisonnablement se fier à la profondeur moyenne d’un lac pour juger du dangerde plonger de 5m de haut ?

vi. quelle mesure de profondeur supplémentaire du lac B lui donnerait la même profondeurmoyenne que le lac A ?

exercice 7 :


A :

nombre d’écrans : xi 3 5 8 10∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30

effectifs : nixi

effectifs : nixi2

B :

xi 4 9 12∑

ni 4 6 10

nixi

nix2

i

i. que signifient les 12 de chaque tableaux ?ii. vrai ou faux :

classe A : nombre moyen d’écran =3 + 5 + 8 + 10

4=

26

4= 6, 5 écrans par foyer

iii. calculer les nombres moyens d’écrans par foyers xA et xB pour chaque classeiv. calculer les variances et écarts types respectifs VA, VB , σA et σB des séries A et Bv. vrai ou faux :

c’est la classe qui a le plus grand nombre moyen qui a le plus grand nombre d’écrans ?vi. quelle série a les nombres d’écrans les plus dispersés ? justifier

vii. l’arrivée dans la classe B de nouveaux élèves ayant chacun 7 écrans dans leur foyer faitpasser la moyenne à 9 écrans, combien d’élèves sont arrivés dans cette classe ?

exercice 8 :

On relevé des informations sur les nombres d’heures d’ouvertures mensuellles de 100points de ventes d’une grande entreprise.nombre d’heures centre xi nombre de points de ventes ni nixi nix

2

i

[ 120 ; 125 [ 10

[ 125 ; 130 [ 20

[ 130 ; 135 [ 38

[ 135 ; 140 [ 25

[ 140 ; 145 [ 7

i. interpréter dans le contexte la valeur du 20 dans le tableau

ii. calculer la moyenne x1 et l’écart type σ1 de cette série statistique à 10−1 heures prèsiii. comparer avec une 2e entreprise pour laquelle : x2 = 130h et σ2 = 0,5h

exercice 9 :





i. lac A : xA =0, 2 + 0, 5 + 0, 8 + 0, 9 + 100

5=

102, 4

5=

✞✝


lac B : xB =10 + 15 + 20 + 30

4=

75

4=

✞✝


ii. lac A : VA =0, 22 + 0, 52 + 0, 82 + 0, 92 + 1002

5− (

102, 4

5)2 =

10001, 74

5− (

102, 4

5)2 ≃

✞✝

☎✆1580, 9

lac B : VB =102 + 152 + 202 + 302

4− (

75

4)2 =

1625

4− (

75

4)2 ≃

✞✝

☎✆54, 6875

lac A : σA =√VA ≃

√1580, 9 ≃

✞✝

☎✆39, 8

lac B : σB =√VB ≃

√54, 6875 ≃

✞✝

☎✆7, 4

iii.✞✝

☎✆le lac A est le plus profond en moyenne car 20,48>18,75

✞✝

☎✆le 100 fait fortement augmenter la moyenne xA

la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes

iv. la série A a les mesures les plus dispersées car son écart type est plus grand :39,8 > 7,4

v.✞✝

☎✆on ne peut raisonnablement pas se fier à la profondeur moyenne d’un lac pour juger

du danger de plonger de 5m de haut car ce n’est qu’une moyenne.

vi. soit x la mesure de profondeur supplémentaire du lac B qui lui donnerait la mêmeprofondeur moyenne que le lac A, x vérifie alors l’équation :

xB = xA =10 + 15 + 20 + 30 + x

5= 20, 48

⇐⇒ 75 + x

5= 20, 48

⇐⇒ 75 + x = 5× 20, 48 = 102, 4

⇐⇒ x = 102, 4 − 75 = 27, 4

✞✝

☎✆la nouvelle mesure doit-être de 27,4m



A :

nombre d’écrans : xi 3 5 8 10∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30nixi 6 35 96 90 227nix

2

i 18 175 768 900 1861

B :

xi 4 9 12 Σ

ni 4 6 10 20nixi 16 54 120 190nix

2

i 64 486 1440 1990

i.✞✝

☎✆12 foyers de la classe A ont 8 écrans

✞✝

☎✆12 écrans pour 10 foyers de la classe B

ii.✄✂

�✁faux car

3 + 5 + 8 + 10

4=

26

4= 6, 5

✞✝

☎✆ne tient pas compte des effectifs

iii. xA =2× 3 + 7× 5 + 12× 8 + 9× 10

30=

227

30≃

✞✝


xB =4× 4 + 6× 9 + 10× 12

20=

190

20≃

✞✝


iv. VA =1861

30− (

227

30)2 ≃

✞✝

☎✆4, 77

VB =1990

20− (

190

20)2 ≃

✞✝

☎✆9, 25

σA =√4, 77 ≃

✞✝

☎✆2, 18

σB =√9, 25 ≃

✞✝

☎✆3, 04

v. faux car c’est la classe B qui a le plus grand nombre moyen (9,5 > 7,6) et c’est laclasse A qui a le plus grand nombre d’écrans (227>190)

vi. les nombres d’écrans les plus dispersés sont pour la classe B car 3,04 > 2,18

vii. l’arrivée dans la classe B de nouveaux élèves ayant chacun 7 écrans dans leur foyer faitpasser la moyenne à 9 écrans, soit x le nombre d’élèves arrivés dans cette classe.

xB =4× 4 + 6× 9 + 10× 12 + x× 7

20 + x= 9

⇐⇒ 190 + 7x

20 + x= 9

⇐⇒ 9(20 + x) = 190 + 7x

⇐⇒ 180 + 9x = 190 + 7x

⇐⇒ 2x = 10

⇐⇒ x = 5✄✂

�✁il est arrivé 5 nouveaux élèves


i. 20 des 100 points de ventes de l’entreprise ouvrent entre 125 heures et 130 heuresmensuellement

ii. moyenne et écart type à 10−2 près

• à l’aide d’un tableau :

intervalle effectif : ni centre : xi nixi nix2

i

[ 120 ; 125 [ 10 122,5 1225 150062,5[ 125 ; 130 [ 20 127,5 2550 325125[ 130 ; 135 [ 38 132,5 5035 667137,5[ 135 ; 140 [ 25 137,5 3437,5 472656,25[ 140 ; 145 [ 7 142,5 997,5 142143,75

Σ 100 662,5 13245 1757125

moyenne = x =1

100

∑

nixi =13245

100= 132, 45h

✞✝

☎✆la durée moyenne d’ouverture est de 132,45 h .

variance = V = V =1

100

i=p∑

i=1

nix2

i − (x)2 =1757125

100− 132, 452 ≃ 28, 25

✞✝

☎✆la variance est environs égale à 28,25 .

écart type = σ =√V ≃

√28, 25 ≃ 5, 31

✞✝

☎✆l’écart type est égale à environs 5,31 heures .

• sans tableau (calcul direct) :

moyenne = x =1

100

∑

nixi

x =10× 122, 5 + 20× 127, 5 + 38× 132, 5 + 25× 137, 5 + 7× 142, 5

100=

13245

100=

✞✝

☎✆132,45

variance = V =1

100

∑

nix2

i − (x)2

V =10× 122, 52 + 20× 127, 52 + 38× 132, 52 + 25× 137, 52 + 7× 142, 52

100− 132, 452

V =1757125

100− 132, 52 ≃

✞✝

☎✆28,25

σ =√V ≃

√28, 25 ≃

✞✝

☎✆5,31

iii. comparaison avec une 2e entreprise pour laquelle : x = 130 et σ = 0, 5 .

les points de ventes de la deuxième entreprise✞✝

☎✆ouvrent moins longtemps en moyenne

( 130 < 132,45 )

les nombres d’heures d’ouverture de la deuxième entreprise sont✞✝

☎✆moins dispersés autour de la moyenne (0,5 < 5,31)




8 quartiles et déciles

8.1 activités

8.1.1 activité 0 : généralités ( médiane, déciles, diagramme en Boîte)

Les diagrammes en boîte suivants illustrent la répartition des salaires mensuels en eurosdans cinq entreprises A,B,C,D et E

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

A

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

C

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

D

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

E

Indiquez pour quelle(s) entreprise(s) chacune des affirmations suivantes est vraie

(a) tous gagnent au moins 1000 e

(b) L’échelle des salaires va de 1 à 8

(c) Le salaire médian est de 2000 e

(d) Au moins la moitié des salaires sont inférieurs ou égaux à 1500 e

(e) Au moins 50% gagnent plus de 1500 e

(f) Au moins trois salariés sur quatre ont un salaire supérieur à 2000 e

(g) Au minimum un quart des salariés gagnent plus de 3000 e

(h) Au plus 10% gagnent plus de 5500 e

(i) Au moins la moitié des salaires se situe entre 1500 e et 3000 e

(j) L’écart interquartile des salaires est inférieur ou égal à 1500 e

(k) Le P.D.G.(salaire le plus élevé), gagne au moins 3 fois plus qu’au moins la moitié dessalariés

(l) pas plus de 50% gagnent moins de 2000 e

8.1.2 activité 1 : généralités (moyenne, médiane, déciles, diagramme en Boîte)

1. En 2007, en France (sources Insee)

a. "le salaire moyen net a été de x = 1990 euros", signifie que :le total des ... divisé par le nombre total de ... vaut ...

b. "le salaire médian net a été de Q2 = 1600 euros", signifie que :

au moins ... des salaires sont ...

au moins ... des salaires sont ...

c. est-il vrai que l’on a toujours 50% des valeurs supérieures à la moyenne et 50% desvaleurs inférieures à la moyenne ? : ...

2. a partir d’une série de valeurs ( âges, salaires, ...) il est utile de déterminer les 4quartiles (Q1, Q2, Q3, Q4) où les 10 déciles (D1,D2, ...,D10) pour rendre compte de la ré-partition de cette série de valeurs (sont-elles dispersées ?, regroupées ? ...)

Q1 est la plus petite valeur de la série telle que au moins ... % des valeurs de lasérie soient inférieurs ou égales à Q1 et au moins ... % des valeurs lui soient supé-rieures ou égales.pour Q2 : au moins ... % en ... et au moins ... % au ...

pour Q3 : au moins ... % en ... et au moins ... % au ...

Q4 est la valeur maximale de la série.

pour D1 : au moins ... % en ... et au moins ... % au ...

pour D9 : au moins ... % en ... et au moins ... % au ...

3. on peut ensuite construire le diagramme en Boîte de la série de valeurs : (par exemple)

(x : note )0 8

Q1

Q2

12

Q3

141

min

19

max

2

D1

16

D9

ce diagramme permet de lire que :

— la meilleure note est : ...— au moins 25% des notes sont inférieures ou égales à : ...— au moins 25% des notes sont supérieures ou égales à : ...— au moins 50% des notes sont supérieures ou égales à : ...— au moins 10% des notes sont inférieures ou égales à : ...— au moins 75% des notes sont supérieures ou égales à : ...— au moins la moitié des notes sont comprises entre : ...

8.1.3 activité 2 : quartiles et déciles avec données en vrac

voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits :lac A : 0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 0,1 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,4 ; 0,2 ; 0,6 ; 0,6lac B : 10 ; 15 ; 20 ; 30 ; 13 ; 15 ; 17 ; 14 ; 17 ; 12

A. déterminer Q1, Q2, Q3 pour le lac A et construire le diagramme en boîte

B. faire une phrase de commentaire utilisant la médiane et sa signification

C. mettre 100 à la place du 0,9 aurait-il un effet important sur la valeur de la médiane ?

D. comparer les profondeurs des deux lacs en utilisant les déciles sachant que le dia-gramme en boîte du lac B est donné ci dessous

0 13

Q1

Q2

15

Q3

1710

min

30

max

10

D1

20

D9

(profondeur en m )

8.1.4 activité 3 : quartiles et déciles avec valeurs et effectifs



∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30effectifs cumulés : ecc

classe B :xi 4 9 12 14ni 4 6 10 2

effectifs cumulés : ecc

a. construire le diagramme en boîte pour la classe A

b. comparer les deux séries avec la médiane sachant que le diagramme en boîte de laclasse B est donné ci dessous

0 9

Q1

Q2

12

Q3

124

min

14

max

4

D1

12

D9

(nombre d’écrans )

8.1.5 activité 4 : quartiles et déciles cas des données avec intervalles

Voici la répartition des salaires dans une entreprise.

salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑

effectifs hommes : hi 100 500 400 1000effectifs cumulés croissants : ecc

effectifs femmes : fi 200 250 50 500effectifs cumulés croissants : ecc

a. construire la courbe des effectifs cumulés croissants pour les hommes

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 1000 2000 3000

(y:eff

ectifs

cum

ulé

scr

oiss

ants

)

(x : salaire )

b. déduction graphique des valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.

✞✝

☎✆D1 ≃

✞✝

☎✆Q1 ≃

✞✝

☎✆Q2 ≃

✞✝

☎✆Q3 ≃

✞✝

☎✆D9 ≃

c. retrouver algébriquement sur le cahier, les valeurs de Q2 et Q3

d. construire sur le cahier, le diagramme en boîte

e. pour les salaires des femmes, on dispose du diagramme en boîte ci dessous :

0

1125

Q1

Q2

1280

Q3

1480

1000

min

4000

max

1600

D9

(salaires)

f. comparer les répartitions de salaires Hommes-Femmes avec la médiane


8.2.1 corrigé activité 1 : généralités (moyenne, médiane, déciles, diagramme en Boîte)

1. En 2007, en France (sources Insee)

a. "le salaire moyen net a été de x = 1990 euros", signifie que :le total des salaires divisé par le nombre total de salariés vaut 1990

b. "le salaire médian net a été de Q2 = 1600 euros", signifie que :

au moins 50% des salaires sont supérieurs aux égaux à 1600

au moins 50% des salaires sont inférieurs aux égaux à 1600

c. est-il vrai que l’on a toujours 50% des valeurs supérieures à la moyenne et 50% desvaleurs inférieures à la moyenne ? :non, car ci dessus 50% des salaires sont supérieurs ou égaux à 1600 et non pas 1990

2. a partir d’une série de valeurs ( âges, salaires, ...) il est utile de déterminer les 4quartiles (Q1, Q2, Q3, Q4) où les 10 déciles (D1,D2, ...,D10) pour rendre compte de la ré-partition de cette série de valeurs (sont-elles dispersées ?, regroupées ? ...)

Q1 est la plus petite valeur de la série telle que au moins 25% des valeurs de la sériesoient inférieurs ou égales à Q1 et au moins 75% des valeurs lui soient supérieures ouégales.pour Q2 : au moins 50% en dessous et au moins 50% au dessus

pour Q3 : au moins 75% en dessous et au moins 25% au dessus

Q4 est la valeur maximale de la série.

pour D1 : au moins 10% en dessous et au moins 90% au dessus

pour D9 : au moins 90% en dessous et au moins 10% au dessus

3. on peut ensuite construire le diagramme en Boîte de la série de valeurs : (par exemple)

(x : note )0 8

Q1

Q2

12

Q3

141

min

19

max

2

D1

16

D9

ce diagramme permet de lire que :

— la meilleure note est : 19— au moins 25% des notes sont inférieures ou égales à : 8— au moins 25% des notes sont supérieures ou égales à : 14— au moins 50% des notes sont supérieures ou égales à : 12— au moins 10% des notes sont inférieures ou égales à : 2— au moins 75% des notes sont supérieures ou égales à : 8— au moins la moitié des notes sont comprises entre : 2 et 12 ou 8 et 14 ou 12 et 19

8.2.2 corrigé activité 2 : quartiles et déciles cas des valeurs en vrac

voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits :lac A : 0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 0,1 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,4 ; 0,2 ; 0,6 ; 100lac B : 10 ; 15 ; 20 ; 30 ; 13 ; 15 ; 17 ; 14 ; 17 ; 12

a. détermination de Q1, Q2, Q3,D1,D9 et diagramme en boîte

i. série du lac A :• on ordonne les valeurs dans l’ordre croissant :✞✝

☎✆0,1 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,6 ; 0,8 ; 0,8 ; 0,9 ; 100

• pour Q1 :Il y a 11 valeurs au total25% de 11 = 0, 25 × 11 = 2, 75 arrondi à 3 car Q1 est la plus petite valeur de lasérie telle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1

Q1 est la 3e valeur ordonnée✞✝

☎✆Q1 = 0, 2

• pour Q2 :Il y a 11 valeurs au total50% de 11 = 0, 5× 11 = 5, 5 arrondi à 6 car Q2 est la plus petite valeur de la sérietelle qu’au moins 50% de valeurs soient inférieures ou égales à Q2


☎✆Q2 = 0, 6

• pour Q3 :75% de 11 = 0, 75 × 11 = 8, 25 arrondi à 9Q3 est la 9e valeur ordonnée✞✝

☎✆Q3 = 0, 8

• pour D1 :10% de 11 = 0, 1× 11 = 1, 1 arrondi à 2D1 est la 2e valeur ordonnée✞✝

☎✆D1 = 0, 2


☎✆D9 = 0, 9

d’où le diagramme en boîte ci dessous :

0 0.2

Q1

Q2

0.6

Q3

0.80.1

min

0.2

D1

0.9

D9

(profondeur en cm )

100 est hors page

ii. série du lac B :• on ordonne les valeurs dans l’ordre croissant :✞✝

☎✆10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 20 ; 30

• pour Q1 :Il y a 10 valeurs au total25% de 10 = 0, 25×10 = 2, 5 arrondi à 3 car Q1 est la plus petite valeur de la sérietelle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1


☎✆Q1 = 13

• pour Q2 :Il y a 10 valeurs au total50% de 10 = 0, 5× 10 = 5Q2 est la 5e valeur ordonnée car Q2 est la plus petite valeur de la série tellequ’au moins 50% de valeurs soient inférieures ou égales à Q2✞✝

☎✆Q2 = 15


☎✆Q3 = 17

• pour D1 :10% de 10 = 0, 1× 10 = 1D1 est la 1re valeur ordonnée✞✝

☎✆D1 = 10

• pour D9 :90% de 10 = 0, 9× 10 = 9D9 est la 9e valeur ordonnée✞✝

☎✆D9 = 20


0 13

Q1

Q2

15

Q3

1710

min

30

max

10

D1

20

D9

(profondeur en m )

b. phrase de commentaire utilisant la médiane et sa signification pour le lac B :Q2 = 15 signifie que✞✝

☎✆au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à 15m✞

✝☎✆au moins 50% des valeurs sont supérieures ou égales à 15m .

c. comparaison des profondeurs des deux lacs en utilisant les déciles. selon les mesuresci dessus, le lac B semble plus profond que le lac A car :A : D9 = 0, 9 donc au moins 90% des mesures sont inférieures ou égales à 0,9mB : D1 = 10 donc au moins 90% des mesures sont supérieures ou égales à 10m

d. le 100 a t-il un effet important sur la valeur de la médiane ?non, car si on le remplace par 1000 ou 10000 la médiane reste la même✞✝

☎✆la médiane est peu sensible aux valeurs extrèmes

8.2.3 corrigé activité 3 : quartiles et déciles cas valeurs et effectifs


a. diagrammes en boîtes :i. pour la séries A :


∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30effectifs cumulés : ecc 2 9 21 30

• les valeurs sont déja rangées dans l’ordre croissant dans le tableau :• pour Q1 :

Il y a 30 valeurs au total25% de 30 = 0, 25×30 = 7, 5 arrondi à 8 car Q1 est la plus petite valeur de la sérietelle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1

Q1 est la 8e valeur ordonnée{

la 2e valeur est un 3de la 3e valeur à la 9e valeur, il n’y a que des 5

la 8e valeur est un 5✞✝

☎✆Q1 = 5

• pour Q2 :50% de 30 = 0, 5× 30 = 15Q2 est la 15e valeur ordonnée{



☎✆Q2 = 8

• pour Q3 :75% de 30 = 0, 75 × 30 = 22, 5 arrondi à 23Q3 est la 23e valeur ordonnée{



☎✆Q3 = 10


☎✆D1 = 5


☎✆D9 = 10


0 5

Q1

Q2

8

Q3

103

min

10

max

5

D1

10

D9


ii. pour la séries B :

classe B :xi 4 9 12 14 totalni 4 6 10 2 22

effectifs cumulés : ecc 4 10 20 22

• les valeurs sont déja rangées dans l’ordre croissant dans le tableau :• pour Q1 :

Il y a 22 valeurs au total25% de 22 = 0, 25×22 = 5, 5 arrondi à 6 car Q1 est la plus petite valeur de la sérietelle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1

Q1 est la 6e valeur ordonnée{



☎✆Q1 = 9

• pour Q2 :50% de 22 = 0, 5× 22 = 11Q2 est la 11e valeur ordonnée✞✝

☎✆Q2 = 12


☎✆Q3 = 12


☎✆D1 = 4


☎✆D9 = 12


0 9

Q1

Q2

12

Q3

124

min

14

max

4

D1

12

D9


b. comparaison des deux séries avec la médiane :

classe A : Q2 = 8 donc au moins 50% des élèves ont moins de 5 écrans au foyer.

classe B : Q2 = 12 donc au moins 50% des élèves ont plus de 12 écrans au foyer.

les élèves de la classe B ont majoritairement plus d’écrans au foyer que ceux dela classe A.

3. cas des données avec valeurs regroupées par intervalles

Voici la répartition des salaires dans une entreprise.

salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑

effectifs hommes : hi 100 500 400 1000effectifs cumulés croissants : ecc

effectifs femmes : fi 200 250 50 500effectifs cumulés croissants : ecc

a. construire la courbe des effectifs cumulés croissants pour les hommes

b. en déduire graphiquement les valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.

c. retrouver algébriquement les valeurs précédentes.

d. construire le diagramme en boîte

e. procéder de même pour les salaires des femmes

f. comparer les répartitions de salaires avec la médiane

8.2.4 pré-corrigé activité 4 : quartiles et déciles cas des valeurs regroupées par intervalles

Voici la répartition des salaires des hommes dans une entreprise.

salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑

effectifs : ei 100 500 400 1000ecci

pour les hommes :

a. courbe des effectifs cumulés croissants

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 1000 2000 3000

(y:eff

ectifs

cum

ulé

scr

oiss

ants

)

(x : salaire )


✞✝

☎✆D1 ≃

✞✝

☎✆Q1 ≃

✞✝

☎✆Q2 ≃

✞✝

☎✆Q3 ≃

✞✝

☎✆D9 ≃

c. algébriquement :

8.2.5 corrigé activité 4 : quartiles et déciles cas des valeurs regroupées par intervalles

Voici la répartition des salaires des hommes dans une entreprise.

salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑

effectifs : ei 100 500 400 1000ecci 100 600 1000

pour les hommes :

a. courbe des effectifs cumulés croissants

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 1000 2000 3000

(y:eff

ectifs

cum

ulé

scr

oiss

ants

)

(x : salaire )100

D1

250

Q1

500

Q2

750

Q3

900

D9


✞✝

☎✆D1 = 1200 euros

✞✝

☎✆Q1 ≃ 1300 euros

✞✝

☎✆Q2 ≃ 1500 euros

✞✝

☎✆Q3 ≃ 2500 euros

✞✝

☎✆D9 ≃ 3400 euros

c. algébriquement :

• pour D1 : aucun calcul,✞✝

☎✆D1 = 1200 euros

• pour Q1 :Il y a 1000 valeurs au total25% de 1000 = 0, 25 × 1000 = 250Q1 est la 250e valeur ordonnée{

la 100e valeur est considérée comme étant 1200la 600e valeur est considérée comme étant 1600

la 250e valeur Q1 est donc comprise entre 1200 et 1600, dans l’intervalle [ 1200 ; 1600 [

on considère que les 500 valeurs de l’intervalle [ 1200 ; 1600 [ sont répartiesuniformément, ce qui donne :

100e valeur : 1200250e valeur : Q1

600e valeur : 1600ou encore

100e 250e 600e

1200 Q1 1600

Q1 est solution de l’équation :600− 100

250− 100=

1600 − 1200

Q1 − 1200(Thales)

500

150=

400

Q1 − 1200

400× 150 = (Q1 − 1200) × 500

400× 150

500= Q1 − 1200

400× 150

500+ 1200 = Q1

1312 = Q1

✞✝

☎✆Q1 = 1312

• pour Q2 :50% de 1000 = 0, 5× 1000 = 500Q2 est la 500e valeur ordonnée{


la 500e valeur Q2 est donc dans l’intervalle [ 1200 ; 1600 [




100e 500e 600e

1200 Q2 1600


500− 100=

1600 − 1200

Q2 − 1200(Thales)

500

400=

400

Q2 − 1200

400× 400 = (Q2 − 1200) × 500

400× 400

500= Q2 − 1200

400× 400

500+ 1200 = Q2

✞✝

☎✆Q2 = 1520

• pour Q3 :75% de 1000 = 0, 75 × 1000 = 750Q3 est la 750e valeur ordonnée{


la 750e valeur Q3 est donc dans l’intervalle [ 1600 ; 4000 [




600e 750e 1000e

1600 Q3 4000

Q3 est solution de l’équation :1000 − 600

750− 600=

4000 − 1600

Q3 − 1600(Thales)

400

150=

2400

Q3 − 1600

150× 2400 = (Q3 − 1600) × 400

150× 2400

400= Q3 − 1600

150× 2400

400+ 1600 = Q3

✞✝

☎✆Q3 = 2500

• pour D9 : on trouve de même✞✝

☎✆D9 = 3400

d. diagramme en boîte

0

1200

Q1

Q2

1320

Q3

15200

min40

00

max

1200

D1

3400

D9

(salaires)

voici les salaires des femmes dans une entreprise

salaires femmes : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑

effectifs : ei 200 250 50 500ecci

0. faire une phrase qui explique ce que représente le 250 du tableau...

1. terminer la courbe des effectifs cumulés croissants ci dessous

0

100

200

300

400

0 200 400 600 800 100012001400160018002000220024002600280030003200340036003800

(y:eff

ectifs

cum

ulé

scr

oiss

ants

)

(x : salaire )

2. déduire du graphique les valeurs des quartiles et du premier et dernier décile(tracés apparents)✞✝

☎✆D1 ≃ ... euros✞✝

☎✆Q1 ≃ ... euros✞✝

☎✆Q2 ≃ ... euros

✞✝

☎✆Q3 ≃ ... euros✞✝

☎✆D9 ≃ ... euros

faire une phrase pour dire ce que représente la valeur de D9 trouvée ci dessus :...

3. retrouver la valeur exactes de Q2 par le calcul (en détaillant les étapes) et donnerune phrase de conclusion (vérifier la cohérence avec le résultat précédent)(calculs au verso)

4. voici le diagramme en boîte pour les hommes de cette entreprises

0

1200

Q1

Q2

1320

Q3

15200

min

4000

max

1200

D1

3400

D9

(salaires)

faire une phrase pour comparer les salaires des hommes et des femmes avec lamédiane

e. procéder de même pour les salaires des femmesVoici la répartition des salaires dans une entreprise.

salaires : xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [∑


courbe des effectifs cumulés croissants

0

100

200

300

400

0 1000 2000 3000

(y:eff

ectifs

cum

ulé

scr

oiss

ants

)

(x : salaire )50

D1

125

Q1

250

Q2

375

Q3

450

D9

déduction graphique (et algébrique) des valeurs des quartiles et du premier etdernier décile.

✞✝

☎✆D1 = 1050 euros✞✝

☎✆Q1 = 1125 euros✞✝

☎✆Q2 = 1280 euros

✞✝

☎✆Q3 = 1480 euros✞✝

☎✆D9 = 1600 euros

diagramme en boîte

0

1125

Q1

Q2

1280

Q3

14800

min

4000

max

1050

D1

1600

D9

(salaires)

f. comparaison des répartitions de salaires avec la médiane :Hommes : Q2 = 1320 donc au moins 50% des hommes ont plus de 1320 euros.Femmes : Q2 = 1280 donc au moins 50% des femmes ont moins de 1280.

les hommes sont majoritairement des salaires plus élevés que ceux des femmes.

8.3 a retenir :

définition 20 :

quelle que soit la série de n valeurs réelles x1, x2, x3, ..., xn,le nombre noté me (aussi Q2) est une médiane

⇐⇒

au moins 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à me

etau moins 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à me

remarques :

a. pour la série : 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10

me = 10 vérifie bien la définition 1 et✞✝

☎✆il n’y a qu’une seule médiane possible

b. pour la série : 9 ; 10 ;✄✂

�✁12 ; 14 ; 20

me = 12 vérifie bien la définition 1 et✞✝

☎✆il n’y a qu’une seule médiane possible

c. pour la série : 9 ; 10 ; 12 ; 16 ; 18 ; 20

me = 12 vérifie bien la définition 1me = 12, 1 vérifie aussi la définition 1me = 12, 2 vérifie aussi la définition 1... me = 16 vérifie aussi la définition 1 et

✞✝

☎✆il y a une infinité de médianes possibles

on peut prendre la moyenne de 12 et 16 c’est à dire me =12 + 16

2= 14

pour simplifier prendrons la médiane donné par la propriété suivante :

propriété 1 :

quelle que soit la série de n valeurs réelles x1, x2, x3, ..., xn,✞✝

☎✆la plus petite valeur de la série telle que :

au moins 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à cette médianeetau moins 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à cette médiane

existe et est une médiane de la série

démonstration : (cette propriété est admise)

Remarques :de même :— le premier quartile Q1 a pour pourcentages respectifs : 25% et 75%— le second quartile Q2 est la médiane— le troisième quartile Q3 a pour pourcentages respectifs : 75% et 25%

et aussi— le premier décile D1 a pour pourcentages respectifs : 10% et 90%— ...— le neuvième décile D9 a pour pourcentages respectifs : 90% et 10%

propriété 2 :

quelle que soit la série de n valeurs réelles x1, x2, x3, ..., xn,soit le nombre me tel que :

si 50% × n est un entier :✞✝

☎✆me = la valeur de rang (50% × n)

etsi 50% × n n’est pas entier :

✞✝

☎✆me =la valeur de rang "l’arrondi supérieur de (50% × n)"

me est une médiane de la série de valeurs

démonstration : (cette propriété est admise)

remarque : on procède de même pour chacun des quartiles ou des déciles.

exemples :A. soit la série de valeurs : 0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 0,1 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,4 ; 0,2 ; 0,6 ; 100• on ordonne les valeurs dans l’ordre croissant :✞✝

☎✆0,1 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,6 ; 0,8 ; 0,8 ; 0,9 ; 100

• pour Q1 :— Il y a 11 valeurs au total

25% de 11 = 0, 25× 11 = 2, 75 arrondi à 3 car Q1 est la plus petite valeur de la sérietelle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1


☎✆Q1 = 0, 2

B.xi 3 5 8 10

∑

effectifs : ni 2 7 12 9 30effectifs cumulés : ecc 2 9 21 30• les valeurs sont déja rangées dans l’ordre croissant dans le tableau :• pour Q2 :

50% de 30 = 0, 5× 30 = 15Q2 est la 15e valeur ordonnée{



☎✆Q2 = 8

C.xi [ 1000 ; 1200 [ [ 1200 ; 1600 [ [ 1600 ; 4000 [

∑


• pour Q1 :Il y a 1000 valeurs au total, 25% de 1000 = 0, 25×1000 = 250 , Q1 est la 250e valeurordonnée{


la 250e valeur Q1 est donc comprise entre 1200 et 1600, dans l’intervalle [ 1200 ; 1600 [

on considère que les 500 valeurs de l’intervalle [ 1200 ; 1600 [ sont réparties uni-formément, ce qui donne :



100e 250e 600e

1200 Q1 1600


250− 100=

1600 − 1200

Q1 − 1200(Thales)

500

150=

400

Q1 − 1200

400× 150 = (Q1 − 1200) × 500

400× 150

500= Q1 − 1200 ,

400× 150

500+ 1200 = Q1 , 1312 = Q1 ,

✞✝

☎✆Q1 = 1312

8.4 exercice

exercice 10 : répartition des âges des médecins remplaçants dans une région A de France.

âges [ 25 ; 35 [ [ 35 ; 45 [ [ 45 ; 60 [ [ 60 ; 75 [∑

centres : xi

effectif : ni 89 65 36 10 200

fréquences (%) : fi (1)

fréquence cumulée croissante (%) : fcci

(a) que signifie le 65 du tableau ?(b) déterminer l’âge moyen ainsi que l’écart type pour les âges des médecins remplaçants

de la région A puis comparer la région précédente à une région B où l’âge moyen desmédecins remplaçants est de xB = 36 ans et σB = 5 ans

(c) compléter le tableau à la précision de 0,1% en détaillant le calcul de la case (1)(d) représenter graphiquement la courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous.

(mettre une légende aux axes)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

(e) Déterminer graphiquement et à un an près (tracés apparents).i. la valeur du premier quartile, de la médiane et du troisième quartile.ii. la valeur de l’inter-quartileiii. commentez l’âge des médecins remplaçants en utilisant la médiane et l’inter-quartile

(f) retrouver par le calcul la valeur de la médiane et du premier quartile.(g) comparer la région A avec la région C dont on a le diagramme en boîte ci dessous

(x : âge )0 45 50 6026 6930 65


corrigé exercice 10 : répartition des âges des médecins remplaçants dans une région de France.

âge [ 25 ; 35 [ [ 35 ; 45 [ [ 45 ; 60 [ [ 60 ; 75 [∑

centres : xi 30 40 52,5 67,5

effectif : n 89 65 36 10 200fréquence (%) : f (1)44,5% 32,5 % 18% 5% 100%

fréquence cumulée croissante (%) : fcc 44,5% 77% 95% 100%

1.✞✝

☎✆65 des 200 médecins remplaçants ont entre 35 ans inclu et 45 ans exclu

2. xA =89× 30 + 65× 40 + 36 × 52, 5 + 10× 67, 5

200=

✞✝

☎✆39, 175

VA =89 × 302 + 65× 402 + 36× 52, 52 + 10× 67, 52

200− (39, 175)2 ≃

✞✝

☎✆109, 76

σA =√VA ≃

√109, 76 ≃

✞✝

☎✆10, 5

les médecins de la région B sont✞✝

☎✆moins âgés en moyenne (36 < 39)

et leurs âges sont✞✝

☎✆moins dispersés (5 < 10,5)

3. calcul de la case (1) :89

200= 0, 445 = 44, 5%

4. représenter graphiquement la courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous.(mettre une légende aux axes)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

(y:fr

équen

cecu

mulé

ecr

oiss

ante

)

(x : âge du médecin remplaçant )

25%

50%

75%

5. graphiquement et à un an près (tracés apparents).

(a) premier quartile : Q1 ≃✄✂

�✁30 ans

médiane : Me ≃✄✂

�✁36 ans

troisième quartile : Q3 ≃✄✂

�✁44 ans

(b) inter-quartile : 44− 30 =✄✂

�✁14 ans autour de la médiane

(c)✞✝

☎✆au moins 50% ont moins de 36 ans et

✞✝

☎✆50% sont répartis sur 14 années

6. Retrouver par le calcul la valeur de la médiane et des premiers et derniers quartiles.

Pour Q1 : Q1 est dans l’intervalle [ 25 ; 35 [

fcc 0% 25% 44, 5%

âges 25 Q1 35

35− 25

Q1 − 25=

44, 5 − 0

25 − 0⇐⇒ 10

Q1 − 25=

44, 5

25⇐⇒ 44, 5(Q1 − 25) = 10× 25⇐⇒ 44, 5Q1 − 1112, 5 = 250

⇐⇒ 44, 5Q1 = 1112, 5 + 250⇐⇒ 44, 5Q1 = 1362, 5 ⇐⇒ Q1 =1362, 5

44, 5≃ 30, 61 soit

✄✂

�✁31 ans .

Pour Q2 : Q2 est dans l’intervalle [ 35 ; 45 [

fcc 44, 5% 50% 77%

âges 35 Q2 45

45− 35

Q2 − 35=

77 − 44, 5

50 − 44, 5⇐⇒ 10

Q2 − 35=

32, 5

5, 5⇐⇒ 32, 5(Q2− 35) = 10× 5, 5⇐⇒ 32, 5Q2− 1137, 5 = 55

⇐⇒ 32, 5Q2 = 1137, 5 + 55⇐⇒ 32, 5Q2 = 1192, 5 ⇐⇒ Q2 =1192, 5

32, 5≃ 36, 7 soit

✄✂

�✁37 ans .

7. les remplaçants de la région C sont✞✝

☎✆majoritairement plus âgés que ceux de la région A car :

pour C :✞✝

☎✆au moins 75% ont plus de 45 ans

alors quepour A :

✞✝

☎✆au moins 75% ont moins de 44 ans

9 devoirs maison

9.1 devoir maison 1

devoir maison

Exercice 1 : (moyenne et écart type)un élève a pour notes 6 et 9

1.(a) quelle troisième note x doit-il avoir pour que la moyenne x soit égale à 12 ?(poser et résoudre une équation et donner une vérification)

(b) quelle troisième note y doit-il avoir pour que la médiane me soit égale à 12 ?

2.(a) à partir des deux notes précédentes, quel nombre entier n de 20 sur 20 doit-ilavoir au minimum pour que sa moyenne soit de 19,5 ?(poser et résoudre une équation où n est le nombre de 20 et donner une vérification)

(b) même question pour que la médiane dépasse 19,5

3. on cherche quelle troisième note x avoir pour que l’écart type σ soit égal à 2, ce quiéquivaut au fait que la variance soit égale à 2, x vérifie alors l’équation :

V =62 + 92 + x2

3− (

8 + 9 + x

3)2 = 2

on souhaite continuer la résolution de l’équation suivante

62 + 92 + x2

3− (

6 + 9 + x

3)2 = 2

117 + x2

3− (

15 + x

3)2 = 2

117 + x2

3− (15 + x)2

9= 2

351 + 3x2

9− 225 + 30x+ x2

9= 2

2x2 − 30x+ 126

9= 2

2x2 − 30x+ 126 = 182x2 − 30x+ 108 = 0...

(a) montrer que 2x2 − 30x+ 108 est aussi égal à (2x− 18)(x − 6)

(b) en déduire les solutions de l’équation (2x− 18)(x − 6) = 0

(c) en déduire la (les) note(s) qui donne(nt) une variance de 2

4. on cherche quelle note x avoir pour que l’écart type σ soit minimal, ce qui équivautau fait que la variance V soit minimaleV est donnée en fonction de x par :

V (x) =62 + 92 + x2

3− (

8 + 9 + x

3)2 = 2x2 − 30x+ 108

(a) construire un tableau de valeurs pour V (x) pour x ∈ [0 ; 20]

(b) estimer le tableau de variations sur [0; 20] à 0,1 près de la fonction V

(c) conclure et donner l’écart type minimal à 0,1 près

Exercice 2 : (quartiles)Voici la répartition des masses à la naissance de bébés d’une maternité A pour l’année 2011.

A B C D E F G1 masses [ 2 ; 2, 5 [ [ 2, 5 ; 3 [ [ 3 ; 3, 5 [ [ 3, 5 ; 4 [ [ 4 ; 4, 5 [

∑

2 effectifs : ni 21 372 942 525 70 19303 fréquences (à 1 % près ) : fi (1)

4 fcci (à 1 % près )

5 centres : xi 2,25 2,75 3,25 3,756 nixi

7 nix2

i

1. interpréter la valeur 525 du tableau2. donner le mode (classe modale) et interpréter le résultat3. déterminer l’étendue de la série des masses4. calculer la fréquence de chaque classe avec (1) pour exemple de calcul et donner la formule

à entrer dans la cellule B3 pour obtenir automatiquement les résultats quand on tire laformule jusqu’à la cellule F3. Donner la formule à entrer en G3

5. compléter la ligne des fréquences cumulées croissantes6. construire la courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous

051015202530354045505560657075808590

2 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

(y:fr

équen

ces

cum

ulé

escr

oiss

ante

s)

(x : masses en kg )

7. déterminer graphiquement les valeurs des premiers, second et troisième quartiles (Q1, Q2

et Q3) ainsi que du premier et du dernier décile (D1 et D9) (tracés apparents et phrasessur la copie)

8. retrouver la valeur de Q2 par calcul9. construire un diagramme en boîte associé à la série des masses

10. recopier et compléter les phrases suivantes :(a) 75% des enfants pèsent moins de ... kg et 75% pèsent au moins ... kg.(b) un quart des enfants pèsent plus de ... kg et un quart pèse au plus ... kg(c) le pourcentage de bébés qui pèse entre 3 et 4 kg est ...

11. voici le diagramme en boîte pour une maternité B :

3kg 4kg (x : masse en kg )

vrai ou faux ? (justifier)"75% des bébé nés en B sont plus lourds que 75% des bébés nés en A"

12.(a) donner les formules à entrer dans les cellules B6 et B7 et à tirer jusqu’à respectivementF6 et F7 et compléter les lignes 5, 6 et 7 du tableau

(b) calculer la moyenne xA et l’écart type σA des masses à 0,1 près(c) dans une autre maternité C on a une moyenne xB = 3 et l’écart type de σB = 0, 9,

comparer les deux séries de masses (moyenne et dispersion)13. une des trois maternités précédentes est spécialisée dans la naissance des prématurés,

laquelle ? (justifier)

9.2 corrigé devoir maison 1

corrigé devoir maison

Exercice 1 : (moyenne et écart type)

1.(a)8 + 9 + x

3= 12⇐⇒ 17 + x = 3× 12⇐⇒ x = 36− 17 = 19 soit

✄✂

�✁x = 19

(b)✄✂

�✁Aucune note convient car la médiane sera la deuxième note ordonnée c’est à

dire 9 au maximum

2.(a)8 + 9 + 20n

n+ 2= 19, 5⇐⇒ 17 + 20n = 19, 5 × (n + 2)⇐⇒ 17 + 20n = 19, 5n + 39⇐⇒ 0, 5n =

22⇐⇒ n = 44 soit✄✂

�✁n = 44

(b)✞✝

☎✆Pour trois 20 en plus la médiane dépasse 18 car elle vaut 20

3. 2x2 − 34x+ 146 = 362x2 − 34x+ 110 = 0on utilise le discriminant, ∆ = (−34)2 − 4× 2× 110 = 276∆ > 0 donc l’équation admet deux solutions

x1 =−(−34) +

√276

2× 2=

34 +√276

4≃

✞✝

☎✆12, 7

x2 =−(−34) −

√276

2× 2=

34−√276

4≃

✞✝

☎✆4, 3

Pour avoir un écart type de 2, il faut avoir une troisième note d’environs 12,7ou d’environs 4,3

4. (a) tableau de variations sur [0; 20] à 0,1 près de la fonction du second degré :

V : x 7→ 2

9x2 − 34

9x+

146

9

x0 =−b2a

=−−34

9

2× 2

9

=✞✝

☎✆8, 5 f(x0) = f(8, 5) =

2

9× 8, 52 − 34

9× 8, 5 +

146

9≃

✞✝

☎✆0, 17

x 0 8, 5 20

≃ 16, 2 ≃ 29, 6f(x) ց ր

≃ 0, 17

(b) la variance minimale est environs 0,17 donc l’écart type minimal est environs√0, 17 ≃

✞✝

☎✆0, 41 à 0,1 près pour une troisième note de

✞✝

☎✆8,5

Exercice 2 : (quartiles)Voici la répartition des masses à la naissance de bébés d’une maternité A pour l’année 2011.

A B C D E F G1 masses : [ 2 ; 2, 5 [ [ 2, 5 ; 3 [ [ 3 ; 3, 5 [ [ 3, 5 ; 4 [ [ 4 ; 4, 5 [

∑

2 ni 21 372 942 525 70 19303 (à 1 % près ) : fi 1% 19% 49% 27% 4% 100%

4 fcci (à 1 % près ) 1% 20% 69% 96% 100%

5 xi 2,25 2,75 3,25 3,75 4,256 nixi 47,25 1023 3061,5 1968,75 297,5 6398

7 nix2

i 106,31 2813,25 9949,88 7382,81 1264,38 21516,63

1.✞✝

☎✆525 bébés pesaient à la naissance entre 3,5 et 4 kg

2. la classe modale est✞✝

☎✆[3; 3, 5[ , ce qui signifie que

✞✝

☎✆le plus grand nombre des bébés pesaient

entre 3 et 3,5 kg

3. l’étendue vaut 4, 5− 2 =✞✝

☎✆2, 5

4. (1) :21

1930≃ 1%

✞✝

☎✆B3 = B2/$G2 et

✞✝

☎✆G3 = somme(B3 : F3)

5. ligne des fréquences cumulées croissantes

6. courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous

05101520253035404550556065707580859095

2 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

(y:fr

équen

ces

cum

ulé

escr

oiss

ante

s)

(x : masses en kg )

25%

50%

75%

90%

10%

(x : masse en kg )2kg 3.05kg 3.6kg 4.5kg3.3kg

7. graphiquement :✞✝

☎✆Q1 ≃ 3, 05 ,✞✝

☎✆Q2 ≃ 3, 3 et

✞✝

☎✆Q3 ≃ 3, 6 ,✞✝

☎✆D1 ≃ 2, 72 et

✞✝

☎✆D9 ≃ 3, 9

8. calcul de Q2 qui est dans l’intervalle [ 3 ; 3, 5 [

3, 5 − 3

x− 3=

69− 20

50− 20⇐⇒ 0, 5

x− 3=

49

30⇐⇒ 49(x− 3) = 0, 5 × 30⇐⇒ 49x− 147 = 15

⇐⇒ 49x = 147 + 15⇐⇒ 49x = 162⇐⇒ x =162

49≃ 3, 3 soit

✞✝

☎✆3,3 kg .

9. diagramme en boîte

10. recopier et compléter les phrases suivantes :

(a) 75% des enfants pèsent moins de✞✝

☎✆3,6 kg et 75% pèsent au moins

✞✝

☎✆3,05 kg .

(b) un quart des enfants pèsent plus de✞✝

☎✆3,6 kg et un quart pèse au plus

✞✝

☎✆3,05 kg

(c) le pourcentage de bébés qui pèse entre 3 et 4 kg est 49% + 27% =✞✝

☎✆76%

11. diagramme en boîte pour une maternité B :

3kg 4kg (x : masse en kg )

"75% des bébé nés en B sont plus lourds que 75% des bébés nés en A"✞✝

☎✆vrai car pour B on a Q1 = 3, 7kg et pour A on a Q3 = 3, 6 kg

12.(a)✞✝

☎✆B6 = B2 ×B5 et

✞✝

☎✆B7 = B2 × (B7)

2

(b) xA =6398

1930≃

✞✝

☎✆3, 32 , V =

21516, 63

1930− (

6398

1930)2 ≃

✞✝

☎✆0, 157 donc σA ≃

√0, 157 ≃

✞✝

☎✆0, 4

(c) en C les bébés sont moins lourd en moyenne à la naissance car 3 < 3, 32 et les massessont plus dispersées car 0, 9 > 0, 4

13. C semble spécialisée dans la naissance des prématurés compte tenu de la moyenne de 3kget de la comparaison de A et B faite ci dessus

9.3 devoir maison 2

Exercice 1 :voici les notes d’une classe à un contrôle : 2− 2− 2− 2− 6− 6− 6− 6− 10− 10− 10− 10

1. calculer la moyenne, l’écart type et la variance de ces notes

2. une autre classe obtient 7 de moyenne et un écart type de 6 pour le même contrôle.comparer les deux classes avec la moyenne puis avec l’écart type (quelle est la meilleureen moyenne ? quelle est celle qui a les résultats les plus dispersés autour de la moyenne ?)(justifier)

Exercice 2 :voici les résultats à trois épreuves d’un examen pour un groupe de candidats

note sur 20 effectifs épreuve 1 effectifs épreuve 1 effectifs épreuve 15 0 3 06 6 0 07 5 5 28 8 0 19 1 8 610 3 0 311 0 3 512 2 4 013 0 0 214 1 1 615 2 4 316 2 2 2

1. déterminer les moyennes et écarts types pour chacune des épreuves

2. quelle épreuve a été la mieux réussie d’après la moyenne (justifier)

3. quelle épreuve a eu les résultats les plus homogènes d’après l’écart type ? (justifier)

Exercice 3 :Les tableaux suivants donnent la répartition des salaires mensuels nets en euros des em-ployés, à temps partiel ou à temps complet, dans deux entreprises A et B

Entreprise Asalaire (en e) effectif

[610 ;1220[ 200[1220 ;1830[ 200[1830 ;2440[ 200[2440 ;3050[ 200

Entreprise Bsalaire (en e) effectif[1050 ;1370[ 50[1370 ;1690[ 400[1690 ;2010[ 1500[2010 ;2330[ 500

1. calculer le salaire moyen dans chacune des entreprises en considérant les centres desintervalles et comparer les salaires moyens

2. calculer l’écart type des salaires dans chacune des entreprises et comparer alors les dis-persions des salaires


Exercice 1 : (19.1 page 181)— valeurs : 2− 2− 2− 2− 6− 6− 6− 6− 10− 10− 10− 10

1. moyenne des valeurs : x =4× 2 + 4× 6 + 4× 10

12=

72

12=

✄✂

�✁6

variance des valeurs : V =4× 22 + 4× 62 + 4× 102

12− 62 =

560

12− 36 ≃

✞✝

☎✆10, 67

écart type des valeurs : σ =√V ≃

√10, 67 ≃

✞✝

☎✆3, 27

2. la deuxième classe est meilleure en moyenne car 7 > 6la deuxième classe a les résultats les plus dispersés car 6 > 3, 27

Exercice 2 : (20 page 181)

1. Epreuve 1 :moyenne des notes :

x =6× 6 + 5× 7 + 8× 8 + 1× 9 + 3× 10 + 2× 12 + 1× 14 + 2× 15 + 2× 16

6 + 5 + 8 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 2=

274

30≃

✞✝

☎✆9, 13

variance des notes :

V ≃ 6× 62 + 5× 72 + 8× 82 + 1× 92 + 3× 102 + 2× 122 + 1× 142 + 2× 152 + 2× 162

30− 9, 132

V ≃ 2800

30− 9, 132 ≃

✞✝

☎✆9, 97

écart type des notes : σ =√V ≃

√9, 97 ≃

✞✝

☎✆3, 15

Bilan :✞✝

☎✆x ≃ 9, 13✞✝

☎✆V ≃ 9, 97✞✝

☎✆σ = 3, 15

2. Epreuve 2 :✞✝

☎✆x ≃ 10, 3✞✝

☎✆V ≃ 11, 08✞✝

☎✆σ = 3, 33

3. Epreuve 3 :✞✝

☎✆x ≃ 11, 6✞✝

☎✆V ≃ 7, 24✞✝

☎✆σ = 2, 69

4. comparaisons :L’épreuve 3 est mieux réussie en moyenne car la moyenne est la plus élevée avec : 11,6Les résultats les plus homogènes sont pour l’épreuve 3 car l’écart type est le plus petitavec : 2,69


1. Entreprise A :moyenne des salaires :

x =200 × 915 + 700 × 1525 + 1000 × 2135 + 100 × 2745

200 + 700 + 1000 + 100=

✄✂

�✁1830

variance des salaires :

V ≃ 200 × 9152 + 700× 15252 + 1000 × 21352 + 100 × 27452

2000− 18302 =

✄✂

�✁204655

écart type des salaires : σ =√V =

√204655 ≃

✞✝

☎✆452, 4

Entreprise B :✄✂

�✁x = 1850✄✂

�✁V ≃ 45975.5✞✝

☎✆σ = 214, 4

2. comparaisons :Le salaire moyen est plus élevé dans l’entreprise B (1850 > 1830) et les salaires sont moinsdispersés dans cette même entreprise B (214, 4 < 452, 4)

9.5 devoir maison 3




1.(a) il y a 97 valeurs au total25% de 97 = 24,25 donc Q1 = 25e valeur donc

✞✝

☎✆Q1 = 16

50% de 97 = 48,5 donc Me = 49e valeur donc✞✝

☎✆Me = 16, 5

75% de 97 = 72,75 donc Q1 = 73e valeur donc✞✝

☎✆Q3 = 18

(b) 10% de 97 = 9,7 donc D1 = 10e valeur donc✞✝

☎✆D1 = 15

90% de 97 = 87,3 donc D9 = 88e valeur donc✞✝

☎✆D9 = 19

(c) écart interquartile = Q3 −Q1 = 18− 16 =✄✂

�✁2

2.(a) écart interquartile = Q3 −Q1 = 28− 15 =✄✂

�✁13

(b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Sans Arbres

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Avec Arbres

(c) on constate que la présence d’arbre semble semble empêcher les fluctuations de latempérature (le second diagramme est beaucoup plus "resserré" que le premier)


1. proportion de personnes de moins de 25 ans✞✝

☎✆plus grande en B car :

{

en A : moins de 25% car Q1 ≃ 27, 5en B : plus de 25% car Q1 = 20

2. la dispersion autour de l’âge médian est✞✝

☎✆plus grande en A car :

{

en A : Q3 −Q1 ≃ 65− 27, 5 = 37, 5en B : Q3 −Q1 ≃ 52, 5 − 20 = 32, 5

Exercice 3 : (questions 6 à 12 polycopié activité 0)

6. Au moins trois salariés sur quatre ont un salaire supérieur à 2000 e :✄✂

�✁D

7. Au minimum un quart des salariés gagnent plus de 3000 e :✞✝

☎✆A,B,C et D

8. Au plus 10% gagnent plus de 5500 e :✞✝

☎✆A,B,C,D et E

9. Au moins la moitié des salaires se situe entre 1500 eet 3000 e :✄✂

�✁A et D

10. L’écart interquartile des salaires est inférieur ou égal à 1500 e :✞✝

☎✆A, D et E

11. Le P.D.G. qui a le salaire le plus élevé, gagne au moins 3 fois plus qu’au moins la moitiédes salariés :

✞✝

☎✆A,C et E

12. pas plus de 50% gagnent moins de 2000 e :✞✝

☎✆A,C et D



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

(y : effectifs cumulés croissants)

(x : montants en euros )

60

Q2

1. détermination graphique de Q2 :d’après la courbe des effectifs cumulés on peut dire qu’il y a 120 factures au totalor 50% de 120 = 60 donc Q2 est la 60e des factures ordonnées par montant croissantet le graphique permet de lire que (voir tracés)

✞✝

☎✆Q2 ≃ 510 e

2. détermination de Q2 par calculd’après la courbe des effectifs cumulés on peut dire que Q2 ∈ [400; 600]

avec



e.c.c 35e 60e 80e

montant 400 Q2 600


60− 35=

600 − 400

Q2 − 400(Thales)

45

25=

200

Q2 − 400=⇒ 25× 200 = (Q2− 400)× 45 =⇒ 5000 = (Q2− 400)× 45 =⇒ 5000

45= Q2− 400

=⇒ 5000

45+ 400 = Q2 donc

✞✝

☎✆Q2 ≃ 511, 11 e


Ages dans le département A :0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

25%

Ages dans le département B :0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

25%

1. la proportion de personnes de moins de 25 ans est✞✝

☎✆plus grande en B car :

{

en A : elle est de moins de 25% car Q1 ≃ 27, 5en B : elle est de plus de 25% car Q1 = 20

2. dispersion autour de l’âge médian✞✝

☎✆plus grande en A car :

{

A : Q3 −Q1 ≃ 65− 27, 5 = 37, 5B : Q3 −Q1 ≃ 52, 5 − 20 = 32, 5


1.(a) taille moyenne des 9 nouveau-nés :

48 + 50, 5 + 51, 5 + 50 + 52, 5 + 50 + 49 + 53 + 50

9=

✞✝

☎✆50, 5cm

(b) médiane des tailles :valeurs rangées dans l’ordre croissant : 48 ; 49 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50,5 ; 51,5 ; 52,5 ; 53il y a 9 valeurs50% de 9 = 4,5 arrondi à 5on peut prendre pour médiane la 5e valeur ordonnée soit

✄✂

�✁me = 50cm

2.(a) la calculatrice donne pour moyenne x ≃✄✂

�✁50cm

(b) la calculatrice donne pour médiane me =✄✂

�✁50cm

(c) il y a 1+2+3+5+5 = 16 tailles sur 57 qui sont inférieures ou égales à 49cm

ce qui donne en pourcentage :16

57≃

✞✝

☎✆28, 1%

(d) au moins 75% des nouveaux né ont une taille inférieure ou égale à✄✂

�✁51 cm

car 51 est le✞✝

☎✆troisième quartile Q3 de la série

(e) diagramme en boîte "Beaux jours" :

46 47 48 49 50 51 52

3.(a) diagramme en boîte "Bon Accueil " :

46 47 48 49 50 51 52

(b) Bon accueil possède fort probablement un service pour prématurés car au moins 50%font moins de 49 cm alors qu’à Beaux jours, au moins 75% font plus de 49cm

(c) sur la totalité du mois de janvier : moyenne ≃ 57× 50 + 49, 3 × 64

57 + 64≃

✞✝

☎✆49, 6cm

non, on ne peut pas déterminer la médiane de la série des tailles, car50% de (53+64) = 58,5 arrondi à 59donc la médiane de la série des tailles serait la 59e valeur ordonnéeque l’on ne peut pas connaître

10 tests

10.1 test 1

nom, prénom : ... évaluation

voici les notes de deux élèves dans une même matière :

Elève A : 8 ; 6 ; 12 ; 18 Elève B :notes 5 8 12

effectifs 2 2 1

1. déterminer les moyennes xA et xB et écarts-types σA et σB de chaque série de notes à0,1 près.

xA = ...

VA = ...

σA = ...

xB = ...

VB = ...

σB = ...

2. comparer les résultats des deux élèves à l’aide de la moyenne puis de l’écart type

quel est le meilleur ? et quel est le plus régulier ?élève A Bx

σ

10.2 corrigé test 1


voici les notes de deux élèves dans une même matière :

Elève A : 8 ; 6 ; 12 ; 18 Elève B :notes 5 8 12

effectifs 2 2 1

1. à 0,1 près.

xA =8 + 6 + 12 + 18

4=

✄✂

�✁11

VA =82 + 62 + 122 + 182

4− 112 =

568

4− 121 =

✄✂

�✁21

σA =√21 ≃

✞✝

☎✆4, 6

xB =2× 5 + 2× 8 + 1× 12

2 + 2 + 1=

38

5=

✞✝

☎✆7, 6

VB =2× 52 + 2× 82 + 1× 122

2 + 2 + 1− 7, 62 =

322

5− 7, 62 =

✞✝

☎✆6, 6

σB =√6, 6 =

✞✝

☎✆2, 6

2.élève A Bx 11 7,6σ 4,6 2,6✄

✂�✁le meilleur est l’élève A car

✞✝

☎✆sa moyenne est la plus grande (11>7,6)✞

✝☎✆le plus régulier est l’élève B car

✞✝

☎✆son écart type est le plus petit (2,6 < 4,6)

10.3 test 2


voici des données sur deux classes concernant le temps de travail à la maison par semaine :

Classe A :Durée (heures) : xi 0,5 2,5 7 Σ

Effectif : ni 10 16 4 30

Classe B :Durée (heures) [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 5 [ [ 5 ; 12 [

Effectif : ni 5 8 3centres xi 2

1. déterminer les moyennes xA et xB et écarts-types σA et σB pour chaque classe à 0,1 près.

xA = ...

VA = ...

σA = ...

xB = ...

VB = ...

σB = ...

2. comparer les résultats des deux classes à l’aide de la moyenne puis de l’écart type en

donnant des phrases de conclusionclasse A B

x

σ

3. il arrive un certain nombre x d’élèves dans la classe A, chacun travaillant 10h parsemaine, la moyenne passe alors à 4, 325 heures.quel est ce nombre d’élève x ?

10.4 corrigé test 2


voici des données sur deux classes concernant le temps de travail à la maison par semaine :

Classe A :Durée (heures) : xi 0,5 2,5 7 Σ

Effectif : ni 10 16 4 30

Classe B :Durée (heures) [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 5 [ [ 5 ; 12 [

Effectif : ni 5 8 3centres xi 2 4 8,5

1. déterminer les moyennes xA et xB et écarts-types σA et σB pour chaque classe à 0,1 près.

xA =10× 0, 5 + 16 × 2, 5 + 4× 7

10 + 16 + 4=

73

30≃

✞✝

☎✆2, 4

VA =10× 0, 52 + 16× 2, 52 + 4× 72

10 + 16 + 4− (

73

30)2 =

298, 5

30− (

73

30)2 =

✄✂

�✁4

σA =√4 =

✄✂

�✁2

xB =5× 2 + 8× 4 + 3× 8, 5

5 + 8 + 3=

67, 5

16≃

✞✝

☎✆4, 2

VB =5× 22 + 8× 42 + 3× 8, 52

5 + 8 + 3− (

67, 5

16)2 ≃

✄✂

�✁5

σB =√5 =

✞✝

☎✆2, 2

2. comparer les résultats des deux classes à l’aide de la moyenne puis de l’écart type en

donnant des phrases de conclusionclasse A B

x 2,4 4,2σ 2 2,2

La classe B travaille plus à la maison en moyenne var 4, 2 > 2, 4Les dispersions des durées de travail maison sont sensiblement égales pour les deuxclasse car 2, 2 ≃ 2

3. il arrive un certain nombre x d’élèves dans la classe A, chacun travaillant 10h par se-maine, la moyenne passe alors à 4, 325 heures.quel est ce nombre d’élève x ?

10× 0, 5 + 16× 2, 5 + 4× 7 + 10x

10 + 16 + 4 + x= 4, 325

x = 10 soit✄✂

�✁10 élèves

10.5 test 3


voici des mesures de profondeurs d’un lac en mètres en différents endroits :lac A : 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 13 ; 15 ; 17 ; 14 ; 17 ; 12i. déterminer min, max, Q1, Q2, Q3 pour la série des profondeurs et construire le dia-

gramme en boîte ci dessous

Diagramme en boîte :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

(profondeur en m )

ii. pour un autre lac B, on a le diagramme en boîte suivant

0 16 18 205 2310 22(profondeur en m )

A. donner min, max, Q1, Q2, Q3 pour ce lac :

B. comparer les profondeurs des deux lacs avec les médianes

11 évaluations

11.1 évaluation 1


Exercice 1 :voici les notes de deux élèves dans une même matière :

Elève A : 2 ; 10 ; 8 ; 6 ; 12 ; 18 Elève B :notes 5 8 12 19

effectifs 2 2 1 1

1. déterminer les moyennes xA et xB, les variances VA et VB et les écarts-types σA et σBde chaque série de notes à 0,1 près.

2. comparer les résultats des deux élèves à l’aide de la moyenne puis de l’écart type

3. déterminer une médiane pour chaque série de notes

4. comparer les résultats des élèves à l’aide de la médiane

5. quelle autre note x faut-il à l’élève A pour que sa moyenne passe à 10 ?(poser une équation et la résoudre)

Exercice 2 :voici les diagrammes en boîte des notes de deux classes à une même épreuve commune :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19(x : note )

classe A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19(x : note )

classe B

1. donner les valeurs suivantes pour les notes de la classe A : min, max, Q1, Q2, Q3

2. compléter les phrases suivantes :

au moins 75% des élèves de la classe B ont moins de ... et 75% ont au moins ...

au moins un quart des élèves de la classe B ont plus de ... et un quart ont auplus ...

le pourcentage des élèves de la classe B qui ont entre 7 et 10 est ... (donner un

calcul)

3. quelle classe a mieux réussit le devoir commun? (justifier)

Exercice 3 :Voici la répartition des salaires des employés d’une grande entreprise A en milliers d’euros

A B C D E F G1 salaires [ 1 ; 1, 5 [ [ 1, 5 ; 2 [ [ 2 ; 2, 5 [ [ 2, 5 ; 3 [ [ 3 ; 3, 5 [

∑

2 effectifs : ni 42 744 1884 1050 140 38603 (à 1 % près ) : fi 1% 19% 49% (1) 4% 100%4 fcci (à 1 % près ) 1% 20% 69% (2) 100%5 centres : xi 1,25 1,75 2,25 (3) 3,256 nixi 52,5 1302 4239 2887,5 (4) 8936

7 nix2

i 65,625 2278,5 9537,75 7940,625 (5) 21301,25

1. interpréter la valeur 1050 du tableau

2. interpréter la valeur 69% du tableau

3. la courbe des fréquences cumulées croissantes est donnée ci dessous

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

(y:fc

c)

(x : salaires en ke)

déterminer graphiquement les valeurs des premiers, second et troisième quartiles (Q1, Q2

et Q3) (tracés apparents et phrases sur la copie)

4. retrouver la valeur de Q2 par calcul et commenter cette valeur

5. voici le diagramme en boîte pour une entreprise B :

3ke 4ke (x : salaires en ke)

vrai ou faux ? (justifier)"75% des salaires en B sont plus élevés que 75% des salaires en A"

6.(a) compléter les cases de (1) à (5) du tableau en détaillant les calculs

(b) calculer la moyenne xA et l’écart type σA des salaires à 0,1 près

(c) dans une autre entreprise C on a une moyenne xC = 3 et l’écart type de σC = 0, 9,comparer les deux séries de salaires (moyenne et dispersion)

7. une des trois entreprises précédentes est réputé pour avoir des salaires relativement élevés,laquelle ? (justifier)

11.2 corrigé évaluation 1

Exercice 1 :voici les notes de deux élèves dans une même matière :

Elève A : 2 ; 10 ; 8 ; 6 ; 12 ; 18 Elève B :notes 5 8 12 19

effectifs 2 2 1 1

1. xA =2 + 10 + 8 + 6 + 12 + 18

6=

56

6≃

✞✝

☎✆9, 3 xB =

2× 5 + 2× 8 + 1× 12 + 1× 19

2 + 2 + 1 + 1=

57

6=

✞✝

☎✆9, 5

VA ≃22 + 102 + 82 + 62 + 122 + 182

6− 9, 32 ≃

✞✝

☎✆25, 5 et σA =

√VA ≃

√25, 5 ≃

✄✂

�✁5

VB =2× 52 + 2× 82 + 1× 122 + 1× 192

2 + 2 + 1 + 1− 9, 52 =

✞✝

☎✆23, 6 et σB =

√VB ≃

√23, 6 ≃

✞✝

☎✆4, 9

2.élève A Bx 9,3 9,5σ 5 4,9

{

B est✞✝

☎✆légèrement meilleur que A en moyenne car 9, 5 > 9, 3

les notes de A sont✞✝

☎✆légèrement plus dispersées que celles de B car 5 > 4, 9

3. Pour A :les valeurs ordonnées dans l’ordre croissant sont : 2; 6; 8; 10; 12; 18il y a 6 valeurs et 50% de 6 = 3on peut prendre pour médiane la 3e valeur ordonnée

✞✝

☎✆Q2 = 8

Pour B :il y a 6 valeurs et 50% de 6 = 3on peut prendre pour médiane la 3e valeur ordonnée

✞✝

☎✆Q2 = 8

4. les✞✝

☎✆médianes sont égales et

✞✝

☎✆ne suffisent pas à départager les deux élèves

5. il faut 10 car :2 + 10 + 8 + 6 + 12 + 18 + x

7= 10 donne

56 + x

7= 10

donc 10× 7 = 56 + x donc x70− 56 =✄✂

�✁14

Exercice 2 :voici les diagrammes en boîte des notes de deux classes à une même épreuve commune :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19(x : note )

classe A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19(x : note )

classe B

1. informations possibles pour les notes de la classe A :

✄✂

�✁min = 1✞✝

☎✆D1 = 2✞✝

☎✆Q1 = 8✞✝

☎✆Q2 = 12✞✝

☎✆Q3 = 14✞✝

☎✆D9 = 16✄✂

�✁max = 19

2. compléter les phrases suivantes :au moins 75% des élèves de la classe B ont moins de

✄✂

�✁10

et 75% ont au moins✄✂

�✁7

au moins un quart des élèves de la classe B ont plus de✄✂

�✁10

et un quart ont au plus✄✂

�✁7

le pourcentage des élèves de la classe B qui ont entre 7 et 15 est 90%− 25% =✞✝

☎✆65%

3. la classe A a mieux réussit le devoir commun que la classe Ben effet : 50% de la classe B a moins de 8 alors que 50% de la classe A a plus de 12

Exercice 3 :Voici la répartition des salaires des employés d’une grande entreprise A en milliers d’euros

A B C D E F G1 salaires [ 1 ; 1, 5 [ [ 1, 5 ; 2 [ [ 2 ; 2, 5 [ [ 2, 5 ; 3 [ [ 3 ; 3, 5 [

∑

2 effectifs : ni 42 744 1884 1050 140 38603 (à 1 % près ) : fi 1% 19% 49%

✞✝

☎✆27% 4% 100%

4 fcci (à 1 % près ) 1% 20% 69%✞✝

☎✆96% 100%

5 centres : xi 1,25 1,75 2,25✞✝

☎✆2,75 3,25

6 nixi 52,5 1302 4239 2887,5✄✂

�✁455 8936

7 nix2

i 65,625 2278,5 9537,75 7940,625✞✝

☎✆1478,75 21301,25

1. 1050 employés ont un salaire✞✝

☎✆compris entre 2500 e inclus et 3000 e exclu

2. 69% des employés ont un salaire✞✝

☎✆compris entre 1000 e inclus et 2500 e exclu

3. la courbe des fréquences cumulées croissantes est donnée ci dessous

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

(y:fc

c)


25%

50%

75%

10%

90%

4.✞✝

☎✆Q1 ≃ 2, 05✞✝

☎✆Q2 ≃ 2, 3✞✝

☎✆Q3 ≃ 2, 6✞✝

☎✆D1 ≃ 1, 72✞✝

☎✆D9 ≃ 2, 88

5. Q2 correspond à une fcc de 50% donc Q2 est dans l’intervalle [ 2 ; 2, 5 [

2, 5 − 2

x− 2=

69− 20

50− 20⇐⇒ 0, 5

x− 2=

49

30⇐⇒ 49(x− 2) = 0, 5 × 30⇐⇒ 49x− 98 = 15

⇐⇒ 49x = 98 + 15⇐⇒ 49x = 113⇐⇒ x =113

49≃ 2, 3 soit

✞✝

☎✆2,3 ke .

6.✄✂

�✁vrai : car 75% des salaires en B sont d’au moins 3, 7ke et 75% des salaires en A sont d’au

plus 2, 6ke

7.(a) lignes 5, 6 et 7 du tableau

(b) xA =8936

3860≃

✞✝

☎✆2, 3 et VA ≃

21301, 25

3860− 2, 32 ≃ 0, 159 soit σA ≃

√0, 159 ≃

✞✝

☎✆0, 4

(c) salaire moyen plus élevé en C car 3 > 2, 3 et salaires moins dispersés en A car 0, 4 < 0, 9

8. c’est certainement B car le salaire minimum est de 3 ke donc xB ≥ 3 et 75% des salairessont d’au moins 3,7 ke

12 travaux pratiques

12.1 tp tableur

TP tableur : Statistiques

sauvegardez le travail dans un dossier appelé "mathematiques" dans votre dossier de travail

a partir{

_du fichier tp (tableur) de statistiques de : site.math.free.fr_du tableau des formules tableur donné en annexe

vous allez devoir entrer des formules dans des cellules du tableur pour obtenir automatique-ment des résultats cherchés (moyenne, mode, ...)

(a)✄✂

�✁avec les formules-tableur "toutes faites" du tableau donné en annexe

i. entrez dans la cellule C10 la formule qu’il faut pour qu’elle affiche le nombre de cellulesqui ne sont pas vides de la cellule A2 à la cellule A29quel résultat donne t-elle : ...

ii. entrez en C11 la formule pour obtenir le minimum de la cellule A2 à la cellule A29

iii. de même dans C12 pour obtenir le maximum de la cellule A2 à la cellule A29

iv. obtenir le mode de la série en C13 en entrant la formule qu’il faut

v. entrez en C14 la formule pour obtenir la moyenne des notes de A2 à A29

vi. entrez en C15 la formule pour obtenir la variance des notes de A2 à A29

vii. entrez en C16 la formule pour obtenir l’ écart type des notes de A2 à A29

viii. obtenez la médiane de la série en C17

ix. obtenez le premier le second et le 3e quartile en respectivement C18, C19 et C20

(b)✄✂

�✁sans les formules-tableur "toutes faites"

i. entrer dans la cellule C3 la formule suivante =NB.SI($A2 :$A29 ;C2)puis étirer la formule vers la droite jusqu’a la cellule M3expliquer ce que fait la formule entrée en C3 :...mettre un dollar devant le A dans la formule, permet de ... le A quand on étirela formule vers la ...

ii. obtenir la somme des cellules C3 à M3 dans la cellule N3total obtenu : ...

iii. quelle formule faut-il entrer en C4 pour obtenir le résultat attendu ? : ...

iv. étirer la formule C4 jusqu’à M4 puis obtenir le total en N4

v. en déduire (grâce à ce tableau) la formule à entrer en C25 pour obtenir la moyenne :C25 = ...

vi. quelle formule faut-il entrer en C5 pour obtenir le résultat attendu ? : ...

vii. étirer la formule C5 jusqu’à M5 puis obtenir le total en N5

viii. en déduire (grâce à ce tableau) la formule à entrer en C26 pour obtenir la variance :C26 = ...

ix. quelle formule faut-il entrer en C6 pour obtenir le résultat attendu ? : ...

x. étirer la formule C6 jusqu’à M6 puis obtenir le total en N6

xi. en déduire (grâce à ce tableau) la formule à entrer en C27 pour obtenir la variance :C27 = ...

xii. en déduire une formule à entrer en C28 pour obtenir l’écart type : C28 = ...

xiii. entrer en C29 la formule qu’il faut pour obtenir l’étendue : C29 = ...

xiv. entrer en M30 la formule : =SI(C14>I27 ;"ES1" ;"ES2")à quoi sert cette formule ? :

xv. en déduire la formule à entrer en M31 : ...

(c) diagramme en bâtons

i. obtenez le diagramme en bâtons des notes (en x) effectifs (en y) avec légende

FORMULES TABLEUR (1/2)

pour faire formule type exemplecompter le nombre decellules qui ne sontpas vides

=NBVAL(cellule départ : cellule fin) =NBVAL(B1 :B5) donne lenombre de cellules non

vides de B1 à B5Calculer la plus petite va-leur d’une plage de valeurs

=MIN(cellule départ : cellule fin) =MIN(B1 :B5) calcule laplus petite valeur des

valeurs des cellules B1 à B5Calculer la plus grandevaleur d’une plage de va-leurs

=MAX(cellule départ : cellule fin) =MAX(B1 :B5) calcule laplus grande valeur des

valeurs des cellules B1 à B5Calculer le mode d’uneplage de valeurs

=MODE(cellule départ : cellule fin) =MODE(B1 :B5) calcule lemode des valeurs des

cellules B1 à B5Calculer la moyenne d’uneplage de valeurs

=MOYENNE(cellule départ : cellule fin) =MOYENNE(B1 :B5)calcule la moyenne des

valeurs des cellules B1 à B5Calculer la variance d’uneplage de valeurs

=VAR.P(cellule départ : cellule fin) =VAR.P(B1 :B5) calcule lavariance des valeurs des

cellules B1 à B5Calculer l’écart typed’une plage de valeurs

= ECARTYPEP(cellule départ : cellule

fin)=ECARTYPEP(B1 :B5)calcule la variance des

valeurs des cellules B1 à B5Calculer la médiane d’uneplage de valeurs

=MEDIANE(cellule départ : cellule fin) =MEDIANE(B1 :B5)calcule la médiane des

valeurs des cellules B1 à B5Calculer le ieme quartiled’une plage de valeurs (i= 1 à 4)

=QUARTILE(cellule départ : cellule

fin ;i)=QUARTILE(B1 :B5 ;1)calcule le premier quartile

des valeurs des cellules B1 àB5

Compter lenombre de cellules àl’intérieur d’une plage quirépondent à un critère

=NB.SI(plage ; critère) =NB.SI(B1 :B5 ; 10) donnele nombre de cellules qui

contiennent 10 à l’intérieurde la plage de B1 à B5

Calculer la somme des va-leurs d’une plage de va-leurs

=SOMME(cellule départ : cellule fin) =SOMME(B1 :B5) calculela somme des valeurs des

cellules B1 à B5

Étirer une formule

La poignée de recopie est située enbas à droite des cellules sélectionnéeset marquée par un petit carré à cap-turer et à tirer

on tire le petit carré

Créer uneréférence absolue : laréférence sera vérouilléeet ne subira aucune modi-fication lors d’un étiragede formule

Faire précéder la référence du sym-bole $ (dollard)

$A1 fera toujours référenceà la colonne A, A$1 fera

toujours référence à la ligne1, $A$1 fera toujours

référence à la cellule A1

FORMULES TABLEUR (2/2)

pour faire formule type

Obtenir un diagramme circulaire

insertionGraphiqueSecteursSuivantSérieSupprimer (toutes les séries)AjouterEtiquettes de catégories : տ flèche rouge

sélectionner les valeurs à la souris puis ↓ flèche rouge

Valeurs : տ flèche rouge

sélectionner les valeurs à la souris puis ↓ flèche rougeSuivanttitre du graphiqueSuivantEn tant qu’objet dansTerminer

Obtenir un diagramme en bâtons

insertionGraphiqueHistogrammeSuivantSérieSupprimer (toutes les séries)AjouterEtiquettes des abscisses(X) : տ flèche rouge


Valeurs : տ flèche rouge

sélectionner les valeurs à la souris puis ↓ flèche rougeSuivantremplir titre et légendes des axesSuivantEn tant qu’objet dansTerminer

Obtenir une courbe

insertionGraphiqueNuage de pointsNuage de points reliés par une courbeSuivantSérieSupprimer (toutes les séries)AjouterValeur X : տ flèche rouge


Valeurs Y : տ flèche rouge

sélectionner les valeurs à la souris puis ↓ flèche rougeSuivantremplir titre et légendes des axesSuivantEn tant qu’objet dansTerminer

12.2 tp caculatrice

13 révisions

Exercice :Voici la répartition des salaires des employés d’une grande entreprise A en milliers d’euros

salaires [ 1 ; 1, 5 [ [ 1, 5 ; 2 [ [ 2 ; 2, 5 [ [ 2, 5 ; 3 [ [ 3 ; 3, 5 [∑

effectifs : ni 42 744 1884 1050 140 3860(à 1 % près ) : fi 1% 19% 49% 27% 4% 100%fcci (à 1 % près ) 1% 20% 69% 96% 100%

xi 1,75nixi 52,5 1302 4239 2887,5

nix2

i 65,625 2278,5 9537,75 7940,625

la courbe des fréquences cumulées croissantes est donnée ci dessous

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

(y:fc

c)


1. déterminer graphiquement les valeurs des premiers, second et troisième quartiles (Q1, Q2

et Q3) (tracés apparents et phrases sur la copie)

2. déterminer graphiquement le pourcentage d’employés qui gagnent moins de 2,2 ke

3. expliquer les sens de Q1 et Q2 par une phrase

4. calculer le salaire moyen xA dans cette entreprise

5. calculer la variance VA et l’écart type σA des salaires à 0,1 près

6. donner le total des salaires des employés (masse salariale)

7. quelle tranche salariale coûte le plus à l’entreprise ?

8. l’employeur donne une prime à 75% des plus bas salaires, à quel salaire doit-il se limiter ?

9. l’employeur gèle le salaire de 10% des plus haut salaires, à quel salaire doit -il se limiter ?

10. l’employeur augmente tous les salaires de 100 e, queles seraient alors la moyenne et l’écarttype ?

14 activité globale

14.1 activité globale 1

Activité 1 : StatistiquesMoyenne : x / Variance : V / Ecart-type : σ

On dispose des notes sur 10, données par un certain nombre de clients, concernant uneenquête de satisfaction relative à un service en ligne.

7 ; 1 ; 8 ; 5 ; 2 ; 7 ; 5 ; 2 ; 8 ; 9 ; 7 ; 6 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9

A B C D E F G H I J K L M1 valeur : xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 total

2 effectif : ni

3 nixi

4 nix2

i

5 ni(xi − x)2

1. Min, Max, Mode

(a) compléter la ligne 2 du tableau ci dessus à partir des données

(b) en déduire l’effectif N de la série de notes

(c) en déduire la valeur du minimum xmin et du maximum xmax de la série de notes

(d) en déduire la valeur du mode m la série de notes (justifier)

2. Moyenne

(a) compléter la ligne 3 du tableau

(b) quelle formule tableur entrer dans la cellule B3 pour ensuite tirer jusqu’à L3 ?

(c) en déduire la moyenne x de la série de notes (2 méthodes)

(d) un second service en ligne a eu une note moyenne de 5,58quel est le meilleur des deux en moyenne ?

3. Variance et écart type formule 1



(c) sachant que la variance V et l’écart type σ d’une série de valeurs x1, x2, ..., xp d’effectifsrespectifs n1, n2, ..., np sont calculés par les formules suivantes :

V =1

N

i=p∑

i=1

nix2

i − (x)2 où N =

i=p∑

i=1

ni et σ =√V

calculer la variance et l’écart type de la série de notes

(d) le second service en ligne a eu un écart type de 0,5comparer les deux services quand à la variation des notes obtenues




(c) sachant que la variance V est aussi donnée par la formule suivante :

V =1

N

i=p∑

i=1

ni(xi − x)2

retrouver la variance de la série de notes et comparer au résultat précédent

5.(a) recopier et compléter le tableau suivant :service 1 2

x

σ

(b) comparer alors les deux services en moyenne et en écart type et interpréter dans lecontexte

14.2 corrigé activité globale 1


7 ; 0 ; 8 ; 5 ; 2 ; 2 ; 5 ; 2 ; 8 ; 9 ; 7 ; 6 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 total

ni 1 0 3 0 1 4 3 3 3 2 0 20

nixi 0 0 6 0 4 20 18 21 24 18 0 111

nix2

i 0 0 12 0 16 100 108 147 192 162 0 737

ni(xi − x)2 30,80 0 37,8 0 2,4 1,2 0,6 6,3 18 23,8 0 120,95

1. Min, Max, Mode

(a) ligne 2 du tableau complétée

(b) effectif de la série de notes✄✂

�✁N = 20

(c) minimum✞✝

☎✆xmin = 0 et maximum

✞✝

☎✆xmax = 9

(d) mode✄✂

�✁m = 5 car c’est la note "à la mode" qui revient le plus souvent

2. Moyenne

(a) ligne 3 du tableau

(b)✄✂

�✁B3 = B1 ∗B2 pour ensuite tirer jusqu’à L3

(c) moyenne x =1

N

i=p∑

i=1

nixi où N =

i=p∑

i=1

ni

x =111

20=

✞✝

☎✆5, 55

ou bien

x =7 + 0 + 8 + 5 + 2 + 2 + 5 + 2 + 8 + 9 + 7 + 6 + 5 + 6 + 7 + 8 + 4 + 5 + 6 + 9

20= 5, 55

(d) un second service en ligne a eu une note moyenne de 5,58le second service est le meilleur des deux en moyenne car

✞✝

☎✆5,58 > 5,55



(b)✄✂

�✁B4 = B2 ∗B1 ∧ 2 pour ensuite tirer jusqu’à L4

(c) V =1

N

i=p∑

i=1

nix2

i − (x)2 =1

20× 737 − 5, 552 =

✞✝

☎✆6, 0475

σ =√V =

√6, 0475 ≃

✞✝

☎✆2, 46

(d) le second service en ligne a eu un écart type de 0,5comparer les deux services quand à la variation des notes obtenues0,5 < 2,46 donc le second service a eu des notes moins dispersées que les notes duservice 1



(b) B5 = B2 ∗ (B1− 5, 55) ∧ 2 pour ensuite tirer jusqu’à L5

(c) V =1

N

i=p∑

i=1

ni(xi − x)2 =120, 95

20=

✞✝

☎✆6, 0475

on retrouve la variance de la série de notes précédente

5.(a) recopier et compléter le tableau suivant :service 1 2

x 5,55 5,58σ 2,46 0,5

(b) le premier service est moins bien noté que le second en moyenne ( 5,55 < 5,58 )le premier service a des notes plus dispersées en moyenne que celles du second ( 2,46> 0,5)



(valeurs "en vrac")

on veut évaluer la précision et la régularité dedeux tireurs dont on dispose des distances aucentre de la cible pour N = 5 tirs chacun

tireur A (impacts noirs), tireur B (impacts blancs)pour mesurer la précision des tireursnous utiliserons la moyenne xpour mesurer la régularité des tireursnous utiliserons la variance V et l’écart type σ

Tireur A : 1 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2 (distances au centre de la cible pour 5 tirs)Tireur B : 0,5 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 3 (distances au centre de la cible pour 5 tirs)

formulaire : V =1

N

i=p∑

i=1

x2i − (x)2 (formule 1) V =1

N

i=p∑

i=1

(xi − x)2 (formule 2) σ =√V

(a) calculer la moyenne xA des distances au centre ainsi que ma variance VA et l’écart typeσA pour le tireur A (2 méthodes pour la variance)

(b) procéder de même pour le tireur B

(c) comparer les moyennes et en déduire le tireur le plus précis en moyenne.

(d) comparer les écarts types et en déduire le tireur le plus régulier en moyenne.



(valeurs "avec intervalles")

pour les 25 élèves d’une classe, voici le temps passé à écouter de la musique par jour.Durée (heures) [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 6 [ [ 6 ; 12 [ Σ


Durée (heures) [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 3 [ [ 3 ; 6 [ [ 6 ; 12 [ Σ


centre : xi0 + 1

2= 0, 5

nixi

nix2

i

ni(xi − x)2

Moyenne :

✎

✍

☞

✌x =

1

N

∑

nixi —> indicateur de position

Variance (Formule 1) :

✎

✍

☞

✌V =

1

N

∑

nix2

i − (x)2 —> indicateur de dispersion

Variance (Formule 2) :

✎

✍

☞

✌V =

1

N

∑

ni(xi − x)2 —> indicateur de dispersion

Effectif total :

✎

✍

☞

✌N =

∑

ni

Ecart type (sigma) :✞✝

☎✆σ =

√V —> indicateur de dispersion

1. compléter le tableau au maximum

2. calculer x, la valeur de la durée moyenne d’écoute quotidienne par élève à 5 mn près etinterpréter le résultat(puis terminer de remplir le tableau)

3. calculer la variance V des durées avec les deux formules possibles

4. calculer l’écart type σ des durées et interpréter le résultat

5. une autre classe a une durée moyenne d’écoute de 3h et un écart type de 2,4h comparerles deux classes (faire un tableau comparatif avec moyenne et écart type)

classes 1 2

moyennes

écarts types

6. comment procède t-on pour calculer l’écart type quand on dispose d’intervalles ?( on utilise les ... des intervalles)

7. retrouver les valeurs de l’écart type et de la moyenne directement avec la calculatrice

14.5 activité globale 3bis

Activité 3bis : StatistiquesMoyenne : x / Variance : V / Ecart-type : σ

(valeurs "avec intervalles")

pour les 20 élèves d’une classe, voici le temps passé à utiliser un PC par jour.

Durée (heures) [ 0 ; 2 [ [ 2 ; 3 [ [ 3 ; 7 [ [ 7 ; 12 [ Σ


Durée (heures) [ 0 ; 2 [ [ 2 ; 3 [ [ 3 ; 7 [ [ 7 ; 12 [ Σ


centre : xi0 + 2

2= 1

2 + 3

2= 2, 5

nixi 5× 1 = 5

nix2

i 5× 12 = 5

ni(xi − x)2

x =1

N

i=p∑

i=1

nixi V =1

N

i=p∑

i=1

nix2

i − (x)2 ou V =1

N

i=p∑

i=1

ni(xi − x)2 N =

i=p∑

i=1

ni σ =√V

(a) calculer x, la valeur de la durée moyenne d’utilisation du PC quotidienne par élève à 5mn près

(b) calculer la variance V des durées

(c) calculer l’écart type σ des durées

(d) une autre classe a une durée moyenne d’utilisation de 3h et un écart type de 2,4h comparerles deux classes

(e) comment procède t-on pour calculer l’écart type quand on dispose d’intervalles ?( on utilise les ... des intervalles)


Activité 4 : Statistiques

But :Revoir : ->

{

"Vocabulaire de base", "Fréquence", "Mode", "Diagramme Circulaire",

1. Fréquence, Mode :Inventer une situation où il est question de deux populations statistiques constituéesd’individus humains, d’ effectifs différents sur lesquelles on étudie une même variablestatistique de nature qualitative ayant au moins 3 modalitésIl faut de plus que les deux populations aient un mode commun et que l’une d’elle aitdeux modes. Faire une représentation graphique adaptée donnant des fréquences aveccommentaires(idée éventuelle : –> Niveaux dans des Lycées)



But :

Revoir : ->{

"Vocabulaire de base", "Etendue", "Moyenne""Variance", "écart type"

1. Moyenne, Variance , Ecart type :Inventer une situation où il est question de deux populations statistiques d’individus nonhumains, sur lesquelles on étudie une même variable statistique de nature quantitativediscrète ayant au moins 10 valeurs regroupées dans un tableau d’effectifsIl faut de plus que :

(a) la moyenne des valeurs de la seconde soit plus grande que celle de la première x1 < x2

(b) l’étendue des valeurs de la première soit plus grande que celle de la seconde e1 > e2

(c) l’écart type des valeurs de la première soit plus petit que celle de la seconde σ1 < σ2

Faire une représentation graphique adaptée avec commentaires (sur la position et la dis-persion)(idée éventuelle : –> Notes de deux élèves)



But :

Revoir : ->{


1. Moyenne, Variance , Ecart type :Inventer une situation où il est question de deux populations statistiques d’individus nonhumains, sur lesquelles on étudie une même variable statistique de nature quantitativecontinue ayant au moins 10 valeurs regroupées dans un tableau d’effectifsIl faut de plus que :

(a) la moyenne des valeurs de la seconde soit plus grande que celle de la première x1 < x2

(b) l’étendue des valeurs de la première soit plus grande que celle de la seconde e1 > e2

(c) l’écart type des valeurs de la première soit plus petit que celle de la seconde σ1 < σ2

Faire une représentation graphique adaptée avec commentaires (sur la position et la dis-persion)(idée éventuelle : –> salaires dans deux entreprises)



1. Fréquence, Mode :

population 1 : Ensemble des élèves d’un Lycée A d’effectif 1000population 2 : Ensemble des élèves d’un Lycée B d’effectif 800Variable qualitative : Niveau d’étude (modalités : seconde ; première ; terminale ; BTS)

Lycée ANiveau d’étude 2nd 1ère term BTS total

effectifs 400 400 100 100 1000fréquences (%) 40% 40% 10% 10% 100%Angles (degrés) 144 144 36 36 360

exemple de calcul de fréquence :400

1000= 0, 4 = 40%

exemple de calcul d’angle :

effectif −−Angle1000 < −− > 360400 < −− > x

(produit en croix) x =400× 360

1000= 144

Lycée BNiveau d’étude 2nd 1ère term BTS total

effectifs 400 200 100 100 800fréquences (%) 50% 25% 12,5% 12,5% 100%Angles (degrés) 180 90 45 45 360

les deux populations ont un mode commun "2nd" et l’une d’elle "Lycée A" a deux modesqui sont "2nd" et "1ère" .

Représentation graphique adaptée donnant des fréquences avec commentairesLycée A

2nd 40%

1ère 40%

term 10%

BTS 10%

Lycée B

2nd 50%

1ère 25%

term 12,5%

BTS 12,5%



But :

Revoir : ->{


1. Moyenne, Médiane :Inventer une situation où il est question de deux populations statistiques d’individus nonhumains, sur lesquelles on étudie une même variable statistique de nature quantitativediscrète ayant au moins 10 valeurs regroupées dans un tableau d’effectifsIl faut de plus que :

(a) l’étendue des valeurs de la première soit plus grande que celle de la seconde e1 > e2

(b) la moyenne des valeurs de la seconde soit plus grande que celle de la première x1 < x2

(c) la variance et l’écart type des valeurs de la première soit plus petit que celle de laseconde V1 < V2 et σ1 < σ2

Faire une représentation graphique adaptée avec commentaires (sur la position et la dis-persion)(idée éventuelle : –> Notes de deux élèves)

Population 1 : Ensemble des interrogations de Mathématiques d’un élève 1Population 2 : Ensemble des interrogations de Mathématiques d’un élève 2Variable Quantitative discrète : Note obtenue à l’évaluation

Elève 1notes : xi 7 11 12 13 16 total

effectifs : ni 2 10 10 10 2 34nixi 14 110 120 130 32 406x2i 48 121 144 169 256nix

2

i 98 1210 1440 1690 512 4950

Elève 2xi 8 9 10 15 16 totalni 1 10 2 10 3 26nixi 8 90 20 150 48 316x2i 64 81 100 225 256nix

2

i 64 810 200 2250 768 4092

e1 = xmax − xmin = 16 − 7 = 9e2 = xmax − xmin = 16 − 8 = 8on a bien 9 > 8 donc e1 > e2(étendue plus grande pour 1)

Moyenne 1 = x1 =2× 7 + 10× 11 + 10× 12 + 10× 13 + 2× 16

34=

406

34≃ 11, 94

Moyenne 2 = x2 =316

26≃ 12, 15 on a bien 11, 94 < 12, 15 donc x1 < x2

(moyenne plus grande pour 2)

Variance 1

V1 =2× (7− 406

34)2 + 10× (11 − 406

34)2 + 10× (12− 406

34)2 + 10× (13− 406

34)2 + 2× (16− 406

34)2

34

V1 ≃ 3

Variance 2

V2 =1× (8− 316

26)2 + 10× (9− 316

26)2 + 2× (10 − 316

26)2 + 10× (15− 316

26)2 + 3× (16− 316

26)2

34

V2 ≃ 9, 67(Variance plus grande pour 2)

ou bien

Variance 1 = V1 =2× 72 + 10× 112 + 10 × 122 + 10× 132 + 2× 162

34− x1

2 =4950

34− (

406

34)2 ≃

3

Variance 2 = V3 =4092

26− x2

2 =4092

26− (

316

26)2 ≃ 9, 67

(Variance plus grande pour 2)

Ecart type 1 = σ1 =√V1 ≃

√3 ≃ 1, 7

Ecart type 2 = σ2 =√V2 ≃

√9, 67 ≃ 3, 1

(Ecart type plus grand pour 2)

Conclusion :L’élève 2 a une meilleure moyenne mais l’élève 1 est plus régulier car ila un écart typeplus petit, attention, 1 a une plus grande étendue mais ce résultat n’est pas fiable carl’étendue ne tient compte que de 2 notes alors que l’écart type tient compte de toutes lesnotes

Représentations graphiques

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

notes

effectifs

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819

notes

effectifs

Documents

site.math.free.frsite.math.free.fr/premiere_st2s/cours_premiere_st2s/statistiques.pdf · statistiques Table des matières 1 généralités et vocabulaire 4 1.1 à retenir