Sivu Kenguru 2019 Cadet ratkaisut · Kenguru 2019 Cadet ratkaisut (8. ja 9. luokka) Ylin kakkosella merkitty ruutu on kierrettävä ruudun vasemman yläkulman tai oikean alakulman

Sivu 0 / 16

Kenguru 2019 Cadet ratkaisut (8. ja 9. luokka)

NIMI _________________________________________ LUOKKA _________

Pisteet: ___________ Kenguruloikan pituus: ______

Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse vastaus tehtävän numeron alle.

Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä. Jokaisessa tehtävässä on täsmälleen yksi oikea

vastaus.

Väärästä vastauksesta saa miinuspisteitä ¼ tehtävän pistemäärästä, siis esimerkiksi 4 pisteen

tehtävästä -1 pisteen. Tyhjästä ruudusta ei saa miinuspisteitä.

Tavoitteita on kaksi: saada mahdollisimman paljon pisteitä tai mahdollisimman monta peräkkäistä

oikeaa vastausta.

3 pistettä

TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7

VASTAUS C B E D E C B

4 pistettä

TEHTÄVÄ 8 9 10 11 12 13 14

VASTAUS A A E B C C B

5 pistettä

TEHTÄVÄ 15 16 17 18 19 20 21

VASTAUS C C B C A A D

Kilpailun saa pitää aikaisintaan 25.3.2019.

Logon suunnitteli Samin Ahmed.

Sivu 1 / 16


3 pistettä

1.

Mayojen lukujärjestelmässä piste tarkoitti ykköstä ja viiva viitosta. Miten luku 17 merkittiin?

(A) (B)

(C) (D) (E)

Ratkaisu:

17 = 3 ∙ 5 + 2, joten lukuun 17 tarvitaan kolme viivaa ja kaksi pistettä. Vaihtoehto C on siis oikein.

2.

Perheen jokaisella tytöllä on neljä veljeä ja jokaisella pojalla kolme siskoa. Kuinka monta lasta

perheessä on yhteensä?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 12

Ratkaisu:

Koska kullakin tytöllä on neljä veljeä ja jokaisella pojalla kolme siskoa, niin perheessä on neljä

poikaa ja kolme tyttöä. Lapsia on siis yhteensä 4 + 3 = 7 ja vaihtoehto B oikein.

3.

Iso kuutio rakennettiin pienistä, keskenään samanlaisista kuutioista. Sitten jokaisesta kolmesta

suunnasta porattiin reikä ison kuution läpi, jolloin keskimmäiset pikkukuutiot hävisivät kuvan

mukaisesti. Kuinka monta pikkukuutiota jäi jäljelle?

(A) 15 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20

Sivu 2 / 16


Ratkaisu:

Ylimmässä tasossa on porauksen jälkeen 8 kuutiota, samoin alimmassa.

Keskimmäisessä tasossa on porauksen jälkeen 4 kuutiota.

Kuutioita on porauksen jälkeen yhteensä 2 ∙ 8 + 4 = 20. Vaihtoehto E on siis oikein.

Sivu 3 / 16


4.

Kolme rengasta on kuvan mukaisesti kiinni toisissaan.

Mikä seuraavista kuvista esittää samoja renkaita?

(A) (B) (C) (D) (E)

Ratkaisu:

Kuviossa A musta ja harmaa rengas ovat sisäkkäin, joten se ei ole oikea kuvio.

Kuviossa B harmaa rengas ei ole muissa renkaissa kiinni, joten se ei ole oikea kuvio.

Kuviossa C musta rengas ei ole muissa renkaissa kiinni, joten se ei ole oikea kuvio.

Kuviossa E valkoinen ja harmaa rengas eivät ole sisäkkäin, joten se ei ole oikea kuvio.

Kuviossa D musta rengas on kiinni vain valkoisessa renkaassa ja valkoinen rengas sekä mustassa

että harmaassa renkaassa, joten se on oikea kuvio.

5.

Samuli jakaa omenansa kuuteen samanlaiseen kasaan. Josefina jakaa saman määrän omenoita

viiteen keskenään samanlaiseen kasaan. Hän huomaa, että kussakin hänen kasoistaan oli kaksi

omenaa enemmän kuin kussakin Samulin kasoista. Kuinka monta omenaa Samulin kasoissa on

yhteensä?

(A) 40 (B) 45 (C) 50 (D) 55 (E) 60 Ratkaisu: Josefinan viidessä kasassa on kussakin 2 omenaa enemmän kuin kussakin Samuliin kasoista, joten kuudesosa Samulin omenoista on 5 ∙ 2 = 10. Samulilla on siis 6 ∙ 10 = 60 omenaa, ja vaihtoehto E on oikein.

Sivu 4 / 16


6.

Juoksukilpailussa Emil pääsi maaliin ennen Manfredia, Victor Janin jälkeen, Manfred ennen Jania ja

Miki ennen Victoria. Kuka näistä viidestä juoksijasta tuli maaliin viimeisenä?

(A) Emil (B) Manfred (C) Victor (D) Jan (E) Miki Ratkaisu:

Emil pääsi maaliin ennen Manfredia, joka puolestaan pääsi maaliin ennen Jania, joka pääsi maaliin

ennen Victoria. Myös Miki pääsi maaliin ennen Victoria, joten Victor pääsi maaliin viimeisenä.

(Tehtävänannosta ei käy ilmi, oliko maalissa ensimmäisenä Emil vai Miki.)

7.

Kuvan parkkipaikalla on vain yksi uloskäynti, ja autot voivat ajaa vain eteenpäin ja taaksepäin.

Kuinka monen valkoisen auton vähintään on liikuttava, jotta musta auto pääsee pois

parkkipaikalta?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Ratkaisu: Koska musta auto voi liikkua vain suoraan, on ainakin kuvaan merkittyjen kolmen auton liikuttava.

Sivu 5 / 16


Tämä myös riittää, kun autot liikkuvat tällä tavalla:

Riittää siis, että kolme autoa liikkuu. Vaihtoehto B on oikein. 4 pistettä

8.

Nealla on viisi samanlaista neliötä, ja hän värittää kustakin osan kuvan mukaisesti. Missä neliössä

väritetty pinta-ala on suurin?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Ratkaisu:

Kolmion pinta-ala on puolet kannan ja korkeuden tulosta. Neliöissä B, C, D ja E kolmioiden kannat

Sivu 6 / 16


peittävät neliön yhden sivun kokonaan, ja kunkin kolmion korkeus on neliön sivun pituus. Neliöistä

B, C, D ja E on siis väritetty täsmälleen puolet.

Neliöstä A on väritetty yli puolet, sillä keskellä pystyssä olevan mustan suorakulmion vasemmasta

puolesta on väritetty puolet ja oikeasta puolesta puolet. Vaihtoehto A on siis oikein.

9.

Kullakin kolmesta paperista on nelinumeroinen kokonaisluku. Näiden kolmen luvun summa on

10 126. Paperit peittävät toisensa osittain kuvan mukaisesti. Mikä on piilossa olevien numeroiden

summa?

(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) 22 Ratkaisu: Merkitään piilossa olevia numeroita kirjaimilla A, B ja C ja kirjoitetaan allekkainlasku näkyviin. 1243 21A7 + BC26 = 10126 Ykkösistä saadaan, että 3 + 7 + 6 = 16. Kymmeniin tulee siis muistinumero 1. Kymmenistä saadaan, että laskun 1 + 4 + A + 2 tulos loppuu kakkoseen. On siis oltava A = 5, ja satoihin tulee muistinumero 1. Sadoista saadaan, että laskun 1 + 2 + 1 + C tulos loppuu ykköseen. On siis oltava C = 7, ja tuhansiin tulee muistinumero 1. Tuhansista saadaan, että 1 + 1 + 2 + B = 10, joten on oltava B = 6. Piilossa ovat siis numerot 5, 6 ja 7. Niiden summa on 5 + 6 + 7 = 18, joten vastaus A on oikein.

Sivu 7 / 16


10.

Kuvassa 𝑃𝑄 = 𝑃𝑅 = 𝑄𝑆 ja kulma 𝑃 = 20°. Mikä on kulman 𝛼 suuruus?

(A) 20°

(B) 30° (C) 40° (D) 50° (E) 60°

Ratkaisu:

Koska 𝑃𝑄 = 𝑄𝑆, niin kulmat 𝑅𝑃𝑄 ja 𝑄𝑆𝑅 ovat yhtä suuret. Siis ∢𝑄𝑆𝑅 = 20°.

Koska 𝑃𝑄 = 𝑃𝑅, niin kulmat 𝑃𝑄𝑅 ja 𝑄𝑅𝑃 ovat yhtä suuret. Siis ∢𝑃𝑄𝑅 = ∢𝑄𝑅𝑃 =180°−20°

2= 80°.

Kulma 𝑃𝑄𝑆 on tasakylkisen kolmion huippukulma. Koska tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat

20°, on ∢𝑃𝑄𝑆 = 180° − 2 ∙ 20° = 140°. Tästä seuraa, että 𝛼 = 140° − 80° = 60°. Vaihtoehto E

on siis oikein.

11.

Alan, Bill, Claire, Dora ja Erik tapaavat toisensa ja kättelevät täsmälleen kerran jokaista, jonka he

tuntevat etukäteen. Alan kättelee kerran, Bill kahdesti, Claire kolmesti ja Dora neljästi. Kuinka

monta kertaa Erik kättelee?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Ratkaisu: Henkilöitä on viisi ja Dora kättelee neljästi, joten hän kättelee kaikkia muita. Merkitään henkilöitä etunimen alkukirjaimella ja taulukoidaan kättelyitä.

Sivu 8 / 16


Henkilö Ketä kättelee?

A D

B D ja 1 muu

C D ja 2 muuta

D A, B, C, E

E ainakin D

Claire kättelee Doran lisäksi kahta muuta henkilöä, joista kumpikaan ei voi olla Alan, joten Claire kättelee myös Billiä ja Erikiä.

Henkilö Ketä kättelee?

A D

B D, C

C D, B, E

D A, B, C, E

E ainakin D ja C

Kukaan muu kuin Erik ei voi kätellä enempää, joten Erik kättelee vain Clairea ja Doraa. Vaihtoehto B on siis oikein. 12.

Heitettyään palloa 20 kertaa Oskari oli saanut 55 % heitoista koriin. Heitettyään viisi kertaa lisää

hänen onnistumisprosenttinsa oli noussut 56 prosenttiin. Kuinka moni viimeisestä viidestä heitosta

meni koriin?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Ratkaisu: Ensimmäisillä 20 heitolla Oskari sai koriin 55 % eli 0,55 ∙ 20 = 0,55 ∙ 10 ∙ 2 = 5,5 ∙ 2 = 11 heittoa. Kun hän on heittänyt 5 kertaa lisää, heittoja on yhteensä 20 + 5 = 25, joista koriin on mennyt

0,56 ∙ 25 = 56

100∙ 25 =

56

4∙ 1 = 14.

Oskari sai siis viidestä viimeisestä heitosta koriin 14 – 11 = 3 heittoa. Vaihtoehto C on oikein.

Sivu 9 / 16


13.

Sara taitteli neliön muotoisen paperin täsmälleen keskeltä kahtia kahdesti ja leikkasi paperin sen

jälkeen kahdesti halki täsmälleen keskeltä kuvan mukaisesti. Kuinka moni hänen saamistaan

paperinpaloista on neliöitä?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8

Ratkaisu:

Kun paperi avataan jälkimmäisten taitoksien kohdalta, se näyttää tältä:

Kun paperi avataan ensimmäisten taitosten kohdalta, se näyttää tältä:

Paperin nurkkiin jää neljä neliötä, ja yksi neliö jää paperin keskelle. Muut palat eivät ole neliöitä.

Vaihtoehto C on siis oikein.

Sivu 10 / 16


14.

Lattia koostuu neliöistä, joiden sivun pituus on 1 m. Markus piirtää lattiaan kaksi yhdenmuotoista

kahdeksankulmiota kuvan mukaisesti.

Mikä on tummennetun alueen pinta-ala?

(A) 7 m2 (B) 56

9 m2 (C)

55

9 m2 (D) 6 m2 (E)

53

9 m2

Ratkaisu: Keskellä oleva kahdeksankulmio on yhdenmuotoinen ison kahdeksankulmion kanssa.

Keskellä olevasta ruudusta on tummennettu neljä suorakulmaista pikkukolmiota, joista kunkin

kanta ja korkeus on 1

3 m. Yhden pikkukolmion pinta-ala on neliömetreinä

1

3∙1

3: 2 =

1

9∙1

2=

1

18.

Pikkukolmioiden pinta-ala on yhteensä neliömetreinä 4 ∙1

18=

4

18=

2

9.

Pikkukolmioiden lisäksi on väritetty neljä neliötä, joista kunkin pinta-ala on 1 m2, ja neljä isoa

suorakulmaista kolmiota, joista kunkin pinta-ala on 1

2 m2. Neliöiden pinta-ala on yhteensä 4 m2 ja

isojen kolmioiden pinta-ala yhteensä neliömetreinä 4 ∙1

2= 2.

Tummennettu pinta-ala on yhteensä neliömetreinä 2

9+ 4 + 2 = 6

2

9=

56

9. Vaihtoehto B on siis

oikein. Vaihtoehtoinen ratkaisu: Koko ruudukon pinta-ala on 9 ruutua. Ison kahdeksankulmion ala on 7 ruutua, koska siitä puuttuu neljä puolikasta ruutua.

Sivu 11 / 16


Keskellä oleva pieni kahdeksankulmio on tehtävänannon mukaan yhdenmuotoinen ison

kahdeksankulmion kanssa. Koska pienen kahdeksankulmion sivun pituus on 1

3 ison

kahdeksankulmion sivun pituudesta, niin pienen kahdeksankulmion pinta-ala on (1

3)2

=1

9 ison

kahdeksankulmion pinta-alasta.

Väritetty ala on siis yhteensä neliömetreinä 7 −1

9∙ 7 = 7 −

7

9= 6

2

9=

56

9. Vaihtoehto B on siis

oikein.

5 pistettä

15.

Kasperilla on kaksi suoran ympyrälieriön muotoista kynttilää, jotka eivät ole yhtä paksuja eivätkä

yhtä pitkiä. Ensimmäinen kynttilä palaa 6 tuntia ja toinen 8 tuntia. Kasper sytytti molemmat

kynttilät yhtä aikaa, ja kolmen tunnin kuluttua kynttilät olivat yhtä pitkät. Mikä on kynttilöiden

alkuperäisten pituuksien suhde?

(A) 4 : 3 (B) 8 : 5 (C) 5 : 4 (D) 3 : 5 (E) 5 : 3

Ratkaisu:

Merkitään seuraavasti: ensimmäinen kynttilä palaa tunnissa matkan 𝑎 ja toinen kynttilä matkan 𝑏.

Tällöin ensimmäisen kynttilän alkuperäinen pituus on 6𝑎 ja toisen kynttilän 8𝑏.

Kolmen tunnin kuluttua sytyttämisestä ensimmäisen kynttilän pituus on 6𝑎 − 3𝑎 = 3𝑎 ja toisen

kynttilän pituus 8𝑏 − 3𝑏 = 5𝑏. Nämä pituudet ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja

ratkaistaan siitä suhde 𝑎

𝑏.

3 5 :3

5:

3

5

3

a b

a b b

a

b

Sivu 12 / 16


Kynttilöiden alkuperäisten pituuksien suhde on

3 1

4 1

3 5 56 3.

4 4 48 3

a a

b b Vaihtoehto C on siis oikein.

16.

Konsta järjestää tulitikkuja pisteillä merkityille viivoille kuvan mukaisesti. Hän muodostaa niillä

ruudukkoon suljetun reitin ilman risteyksiä niin, että ruuduissa olevat luvut ilmaisevat ruudun

ympärillä olevien tikkujen lukumäärän. Kuinka monta tulitikkua reitissä on?

(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20

Ratkaisu:

Tutkitaan ruutuja, joiden ympärille on laitettava kolme tai nolla tikkua. Huomataan, että ainakin

seuraaviin kohtiin on laitettava tikku.

Koska reitin on oltava suljettu, on myös seuraaviin kohtiin laitettava tikku.

Sivu 13 / 16


Ylin kakkosella merkitty ruutu on kierrettävä ruudun vasemman yläkulman tai oikean alakulman

kautta.

tai

Jälkimmäinen vaihtoehto ei ole mahdollinen, koska ykkösellä merkityn ruudun ympärille tulisi

liikaa tikkuja. Jatketaan siis edellisen vaihtoehdon mukaan.

Tikkuja tarvitaan yhteensä 16. Vaihtoehto C on oikein.

17.

Kokonaisluvut luvusta 1 lukuun 𝑛 (myös 1 ja 𝑛) kirjoitetaan tasaisin välein numerojärjestyksessä

ympyrän kehälle. Ympyrän halkaisija kulkee lukujen 7 ja 23 kautta. Mikä on luku 𝑛?

(A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 36 (E) 38 Ratkaisu: Lukujen 7 ja 23 etäisyys on 23 – 7 = 16. On siis 15 kokonaislukua, jotka ovat suurempia kuin 7 ja pienempiä kuin 23. Nämä luvut on laitettava jommallekummalle puolelle lukua 7. Symmetrian vuoksi myös toiselle puolelle tarvitaan täsmälleen 15 lukua.

Sivu 14 / 16


Lukuja on yhteensä 15 + 15 + 2 = 32. Koska luvut ovat peräkkäisiä positiivisia kokonaislukuja alkaen luvusta 1, niin suurin luku on 𝑛 = 32. Vaihtoehto B on oikein. 18.

Helmillä on neljänvärisiä keppejä: sinisiä, punaisia, keltaisia ja vihreitä. Kunkin kepin pituus on 1.

Helmi rakentaa kepeistä 3 x 3 -neliön niin, että kunkin 1 x 1 -neliön ympärillä on neljä eriväristä

keppiä. Kuinka monta vihreää keppiä Helmi vähintään tarvitsee?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Ratkaisu: Yksi vihreä tikku on korkeintaan kahden neliön sivuna, joten yksi vihreä tikku riittää korkeintaan kahdelle neliölle. Neliöitä on 9, joten vihreitä tikkuja tarvitaan vähintään 9 : 2 = 4,5. Pienin mahdollinen määrä on siis 5 tikkua. 5 tikkua myös riittää, mikä nähdään esimerkiksi näin:

Vaihtoehto C on siis oikein.

Sivu 15 / 16


19.

Tamila järjestää shakkiturnauksen, johon osallistuu kolmihenkisiä joukkueita. Kunkin pelaajan on

pelattava täsmälleen kerran kaikkia muita paitsi oman joukkueensa pelaajia vastaan. Käytännön

syistä johtuen yli 250 peliä ei voida pelata. Kuinka monta joukkuetta turnaukseen voi korkeintaan

osallistua?

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11 Ratkaisu:

Merkitään joukkueiden määrää kirjaimella 𝑛, jolloin pelaajia on yhteensä 3𝑛 kappaletta.

Oman joukkueen pelaajia vastaan ei pelata, joten kukin pelaaja pelaa 3𝑛 − 3 ottelua.

Pelaajien määrä on 3𝑛, joten otteluita pelataan yhteensä 3 3 3

.2

n n (Kahdella jakaminen johtuu

siitä, että ilman sitä jokainen peli laskettaisiin kahdesti: pelaajien A ja B välinen otteluhan on sama

kuin pelaajien B ja A välinen ottelu.)

Kun 𝑛 = 7, lausekkeen 3 3 3

2

n n arvo on

3 7 3 7 3 21 21 3 21 1821 9 189.

2 2 2

Kun 𝑛 = 8, lausekkeen 3 3 3

2

n n arvo on

3 8 3 8 3 24 24 3 24 2112 21 252.

2 2 2

7 joukkueen tapauksessa otteluita on 189 ja 8 joukkueen tapauksessa 252, mikä on liikaa, koska

korkeintaan 250 peliä voidaan pelata. Joukkueita voidaan siis ottaa turnaukseen mukaan

korkeintaan 7. Vastaus A on oikein.

20.

Roope maalaa kunkin kuvan kahdeksasta ympyrästä punaiseksi, keltaiseksi tai siniseksi niin, että

mitkään kaksi toisiinsa yhdistettyä ympyrää eivät ole samanvärisiä. Mitkä kaksi ympyrää on

väritettävä samalla värillä?

(A) 5 ja 8 (B) 1 ja 6 (C) 2 ja 7 (D) 4 ja 5 (E) 3 ja 6

Sivu 16 / 16


Ratkaisu: Ympyrät 2 ja 6 on yhdistetty toisiinsa, joten niiden on oltava erivärisiä. Näiden kahden ympyrän värittämiseen kuluu kaksi väriä. Ympyrät 5 ja 8 on molemmat yhdistetty sekä ympyrään 5 että ympyrään 8, joten niiden värittämiseen tarvitaan kolmatta väriä. Näin ympyröistä 5 ja 8 tulee väistämättä samanvärisiä. Ainakin vaihtoehto A on siis oikein. Seuraava kuva osoittaa, että kaikki muut vaihtoehdot ovat vääriä: Ympyrät 1 ja 6 ovat tässä tapauksessa keskenään eriväriset, 2 ja 7 keskenään eriväriset, 4 ja 5 keskenään eriväriset sekä 3 ja 6 keskenään eriväriset.

21.

Junassa on 18 vaunua ja täsmälleen 700 matkustajaa. Viidessä peräkkäisessä vaunussa on aina

yhteensä täsmälleen 199 matkustajaa. Kuinka monta matkustajaa kahdessa keskimmäisessä

vaunussa on yhteensä?

(A) 70 (B) 77 (C) 78 (D) 96 (E) 103 Ratkaisu: Merkitään vaunuja numeroilla 1-18. Vaunut 9 ja 10 ovat keskimmäisiä. Vaunuissa 6-13 ovat matkustajat, jotka eivät ole vaunuissa 1-5 (viisi peräkkäistä vaunua) eivätkä vaunuissa 14-18 (viisi peräkkäistä vaunua). Heitä on yhteensä 700 – 2 ∙ 199 = 302. Vaunuissa 6-10 on 199 matkustajaa. Samoin vaunuissa 9-13 on 199 matkustajaa. Vaunujen 6-13 matkustajien määrä voitaisiin laskea 199 + 199, mutta tällöin vaunujen 9 ja 10 matkustajien määrä tulisi laskettua kahteen kertaan. Merkitään vaunujen 9 ja 10 matkustajien määrää kirjaimella 𝑥 ja muodostetaan yhtälö.

199 + 199 − 𝑥 = 302 𝑥 = 96

Vaunuissa 9-10 on siis 96 matkustajaa, ja vaihtoehto D on oikein.

Documents

Sivu Kenguru 2019 Cadet ratkaisut · Kenguru 2019 Cadet ratkaisut (8. ja 9. luokka) Ylin kakkosella merkitty ruutu on kierrettävä ruudun vasemman yläkulman tai oikean alakulman