Gimnazija u Pirotu jun,2006

Maturski rad iz matematike

Skalarni proizvod vektora

Mentor: ucenik:prof.Valemtina Kostic Ivan Jovanovic IV5

1

Pojam vektora

-Definicija.Velicine odredjene svojom brojnom vrednoscu,pravcem i smerom zovu se vektorske velicine ili vektori.-Neke vaznije osobine vektora:

1.Pomeranje,sila,brzina,ubrzanje,moment sile,jacina magnetnog polja,i dr.-primeri su velicina koje su odredjene svojom brojnom vrednoscu,pravcem i smerom.

2.Dva vektora su jednaka ako su istog pravca i istog smera i imaju jednake brojne vrednosti u odnosu na istu jedinicu.

3.Duzina ili intenzitet vektora zove se jos i apsolutna vrednost ili

modul,na primer za vektor ,oznacavamo .

4.Vektor je takodje okarakterisan uredjenim parom tacaka,pa se zato i tako oznacacava,npr. (A,B) , (M,N) , itd.

5.Sve vektore koje leze na istoj pravoj nazivamo kolinearnim vektorima.

6.Vektor duzine 1 zove se jedinicni vektor ili ort

1. VEKTORI NA PRAVOJ I U RAVNI

-Definicija.algebarska vrednost MN vektora na datoj osi je realan broj

+ ili - zavisno od toga da li ima isti smer kao osa ili suprotan

smer

(1) MN=+ ili MN=- .

Algebarska vrednost nula-vektora,tj. vektora cija je duzina jednaka 0, je 0.

Ako je dati vektor,tada jedinicni vektor(ort) istog pravca i smera

kao oznacavamo ort pa je ma za koji vektor razlicit od nula-vektora

2

(2) = ort .

Neka su na osi LL’(sl.1.1)sa jedinicnim vektorom u dati vektori i , A B D C

L’ L Sl.1.1 i to istog smera kao osa (tj.pozitivnog smera),a drugi suprotnog smera.Tada je s obzirom na (2):

(3) = , = ,

A kako su algebarske vrednostitih vektora na osi LL’

(4) AB= , CD= ,

imacemo =AB , =CD .

Osa na kojoj su utvrdjene tacke 0 i 1 zove se,kao sto je poznato,koordinatna osa;tacku 0 – koordinatni pocetak –oznacavamo sa 0,a koordinatnu osu sa

, i sl.Koordinatna osa je , preme tome,odredjena svojim jedinicnim

vektorom i zadaje se tim vektorom.Izmedju skupa

realnih brojeva i skupa svih tacaka na koordinatnoj osi(brojevnoj pravoj), postojiuzajamno jednoznacna korespondencija:svakoj tacki odgovara po jedan realan broj i svakom realnom broju odgovara po jedna tacka na koordinatnoj pravoj.

Ako su i ma koja dva vektora na osi tada uvek

mozemo naci takav broj da je

,

To jest

3

.

Za vektore i tada kazemo da su linearno zavisni.

Dva vektora istog pravca (bez obzira da li su na istoj pravoj ili na paralelnim pravim) nazivamo kolinearnim( u sirem smislu );ako dva vektora nemaju isti pravac ,nazivamo ih nekolinearnim vektorima;ocigledno,ti vektori nisu linearno zavisni.

Sl.1.2 sl.1.3Uocimo sada u ravni,dva uzajamno ortogonalna jedinicna vektora,

i , sa zajednickim pocetkom 0 (sl.1.2).ti vektori odredjuju dve

uzajamno ortogonalne koordinatne ose , i ,sa zajednickim

koordinatnim pocetkom 0.Svaki vektor (tj. vektor polozaja svake tacke

)u toj ravni mozemo predstaviti kao zbir jednog vektora na osi

i jednog na osi (tj. razloziti u komponente duz vektora i );dobicemo:

(5) , (sl.1.3)

gde je

(6) ,

(sa i oznacene su,redom,algebarske vrednosti i

vektora ,odn. ).Sada , na osnovu (6) mozemo OA predstaviti

zbirom

(7) ,

4

y

1

x10

y

x

A

Gde su i realni brojevi(koji nisu istovremeno 0);takav zbir nazivamo

linearnom kombinacijom vektora i .

Dakle,jednakost , daje nam razlaganje vektora

na ,realni brojevi i su koordinate vektora ,

Istovremeno ,koordinate tacke A u odnosu na koordinate ose; to oznacavamo:

(8) ili , odn. ;

2. VEKTOR U KOORDINATNOJ RAVNI

Kao sto smo pokazali,polozaj tacke u koordinatnoj ravni jednoznacno je odredjen njenim koordinatama ili njenim vektorom polozaja

u odnosu na koordinatni pocetak .Neka je , na sl. 2.1 (gde su i

istaknuti),A data tacka u koordinatnoj ravni,a .

sl.2.1i

2A x0

OA��������������

( , )ax yA a

5

Projekcija vektora na je , a na osu je ;

pri tom je

.

Dakle,komponente vektora razlozene na su istovremeno

projekcije vektora OA na osu i na osu ;

Ako je dat vektor ,tada je njegova duzina

;

odatle nalazimo kvadrat duzine tog vektora , ,koji se oznacava

:

(1) .

Imajuci u vidu jos da je

(2)

( tj. ugao vektora prema osi), mozemo konstatovati

da ,znajuci koordinate vektora polozaja tacke, mozemo odrediti duzinu,pravac i smer tog vektora.

Dolazimo do zakljucka :Vektori kojima su odgovarajuce koordinate jednake jednaki su.

Za resavanje zadataka iz ove oblasti potrebno je poznavanje proizvoda vektora, i to sklarni prizvod vektora i vektorski proizvod vektora . Medjutim mi cemo sada objasniti samo skalarni proizvod vektora.

3.SKALARNI PROIZVOD VEKTORA

6

3.1.IZRACUNAVANJE ALGEBARSKE VREDNISTI PROJEKCIJA VEKTORA

Projekcije vektora i (sl.3.1)na vektor (ili,sto je u ovom

slucaju isto,na osu OL)jesu vektori i ,cije su algebarske

vrednosti(zavisno od njihove orijentacije );

Sl.3.1

(1) ,

(2) .

Iz je

(1’)

a iz je

(2’)

.

S obzirom na jednakosti (1),(2) i (1’),(2’) sada imamo jednakosti

(*)

7

L0

BA

iz koje zakljucujemo:Algebarska vrednost projekcije vektora na drugi vektor jednaka je

proizvodu intenziteta prvog vektora i kosinusa ugla zahvacenog tim vektorima.

Posto se pri promeni znaka ugla vrednost njegovog kosinusa ne menja,jasno je da je svejedno koji krak ugla uzimamo kao pocetni,a koji je kao zavrsni.

-Algebarske vrednosti projekcija jedinicnog vektora na

jedinicne vektore i koordinatnih osa su i

; zato svaki jedinicni vektor

mozemo napisati u obliku

;

odatle je ,tj. jedinicni vektor ima koordinatne

i gde su i uglovitog vektora prema koordinatnim osama.

3.2.SKALARNI PROIZVOD DVA VEKTORA

Definicija.Proizvod algebarske vrdnosti projekcije jednog vektora na drugi i intenziteta ovog drugog vektora nazivamo skalarnim proizvodom ta dva vektora.

Kao sto samo ime ovog proizvoda kaze,rezultat takvog mnozenja dva vektora je skalar.Skalarni proizvod dva vektora obelezavamo tackom ,kao i

proizvod skalara ,na primer: ,ili pomocu male zagrade ,na primer:

.

Dakle, za dva vektora i (sl.3.1) skalarni proizvod je,po

definiciji,

,

a za vektore i skalarni proizvod je

8

,

Uzimajuci u obzir jednakosti (*),dobijamo neposredno:

(**) ,

.

Jednakosti (**) sluze kao definicione jednakosti skalarnog proizvoda dva vektora,naime vazi sledeca

Definicija.Skalarni proizvod dva vektora je proizvod njihovih intenziteta i kosinusa ugla izmedju tih vektora.

Ako je tada je ,na primer,

,

tj. algebarska vrednost projekcije vektora na jedinicni vektor jednaka

je skalarnom proizvodu ova dva vektora.

-Za skalarni proizvod, ocigledno,vazi zakon komutacije, to jest

.Sada cemo pokazati da za skalarni proizvod vazi i zakon

distribucije.

Neka je (sl.3.2) .Treba da dokazemo da je

.

9 L0

A

B

sl.3.2

Zaista je ,po definiciji,

Sabiranjem poslednjih dveju jednakosti dobijamo

dakle

,

a odatle je , s obzirom na

sto je i trebalo dokazati.Skalarni proizvod dva uzajamno ortogonalna vektora je 0;tako je ,

na primer ,

Primer1.Pokazati da kosinusna teorema vazi za ma kakav trougao(to jest i za tupougli trougao).

10

A B

C

sl.3.3

Resenje.Neka trougao ABC obrazuju vektori i

.Ocigledno je (sl.3.3):

Gornju jednakost pomnozicemo njom samom (sto smemo uciniti,jer je

):

i na tako nastali skalarni proizvod primenicemo zakon distribucije vodeci racuna o tome da je :

dakle,dobicemo:

Preostaje jos skalarni proizvod

11

ugao te je

na osnovu toga je

i

Ova jednakost ,kao sto je poznato,izrazava kosinusnu teoremu.Ocigledno,prethodna jednakost vazi za bilo koji trougao.Ako je

torugao pravougli,tada je te se dobija

to jest Pitagorina teorema kao poseban slucaj kosinusne teoreme.

Skalarni proizvod vektora je jedno od osnovnih pojmova vektorske algebre.Njegovo svojstvo se siroko primenjuje pri dokazivanju teorema i resavanju zadataka.sada cemo ilustrovati primenu skalarnog proizvoda vektora u resavanju geometrijskih zadataka.

4.ZADACI

12

Zadatak 1.Strana osnovne pravilne trostrane prizme je

.Tacke M i N pravilnog tetraedra MNPQ leze na pravoj ,koja prolazi kroz

tacke i ,a tacke P i Q-na pravoj .Naci:

1)zapreminu prizme2)rastojanje izmedju sredisnjih odsecaka MN i PQ.Resenje.

(slika 1.)

iz

toga sledi prema tome .A sa nasim oznakama

Uzimajuci o obzir,da je ,dobijamo

otuda nalazimo zapreminu prizme

2)Neka su K i L sredisnji odsecci PQ i MN podudarni .Nadjimo .

13

A B

C

P

K

Q

M

L

N

Ima nekoliko nacina za izracunavanje rastojanj medju pravama .Mi cemo se opredeliti za resavanje nepoznatog rastojanja pomocu skalarnog proizvoda.Pri tome ,kako mi vidimo ,nece biti neophodno da crtamo opste vertikale .Vazan je samo faktor njenog postojanja .Pa kako K i L leze na pravama

Jasno je (pogledati sliku 1.), da je

.

Sve nam se vise ukazuje da predstavlja opstu vertikalu pravih

.Prema tome

,

ili

Posle primene elementarnih transformacija dobicemo:

Sada mozemo odrediti preko skalarnog kvadrata vektora KL:

14

Zadatak 2.U trapezu ABCD bocna strana CD je vertikalna na osnovu AD.

na osnovi AD nalazi se takva tacka M da je

.Naci visinu trapeza.

(slika 2.)

Resenje . Stavimo da je

.Tada je Posto su

vetori i vertikalni,iz toga je odatle je

,

Prema tome dobijamo obrazac

(*)

Posto je vektor vertikalan sa vektorima i ,tako je Posto

su vektori kolinearni ,znaci da .Prema tome iz (*) sledi, da je

(**)

Posto su vektori

15

O

B C

DA M

Kako smo malopre ustanovili, tako i sada vazi ,Na tome se

zasniva .Prema tome

,sto je ekvivalentno sa

,zatim

,sada jednacinu pomnozimo sa ,

, iz (**) dobijamo

,

Odatle dobijamo h korenovanjem jednacine

.

Zadatak 3.Trougao AOB rotira u osnovi do temena O za .Pri cemu je teme A preslo u A’ ,a teme B u B’.Dokazati da je u trouglu OAB’ tezisna linija strane AB’ visina trougla OA’B.

(slika 3.)

Resenje.Neka C- sredina (slika 3.).Dokazati da je

,prema tome ;

16

O

C

B

A

Imamo da je

(*)

.

Iz uslova sledi , da je .Prema tome

.Iz toga je jasno da je

.Prema tome .Iz jednacine (*)

dobijamo .

Zadatak4.U pravilnom tetraedru DABC, odsecam MN sjedinjuje sredinu ivice AD sa centrom stranice BCD,a odsecak QP sjedinjuje sredinu ivice CD sa centorom stranice ABC .Naci ugao medju odseccima MN i PQ .

(slika 4.)

17

N

A

B

C

D

M Q

PE

Resenje.Oznaciti (slika 4.).Ocigledno da je

Nije tesko dokazati, da je

Neka je -velicina kojom cemo oznaciti ugao medju vektorima

.Nadjimo iz formule sklarnog proizvoda dva vektora:

(*) .

Imamo jos da izracunamo vektore ,

zamenom u jednacinu (*) dobijamo

,

Uvidjamo da je i .Ocigledno

je :

Ubacivanjem u formulu dobijamo:

je ugao medju odseccima MN i PQ .

Zadatak 5.Duzina svake stranice trostrane piramide SABC je 1.

18

Naci rastojanje medju tackama S i E.

(slika 5.)

Resenje.Nacrtati u trouglu BDE visinu EM i sjedinimo tacke O i

E.Kroz tacku M nacrtati Posto su odsecci

MN i AC paralelni,oni cine sa povrsinom ravni BDE pravi ugao.Posto .Posto su

Pre

ma tome .Ocigledno,da je Naci

skalarni kvadrat vektora .

Ocigledno da je .Nije tesko shvatiti

,

(1)

19

E

S

A

D

C

B

O

M

N

.

Zamenom u jednacinu (1),dobijamo

,

.

20

LITERATURA

1.Milica Ilic-Dajovic,Trigonometrija ,Naucna knjiga, Beograd 1986

2.Branislav Kisacanin,Mala matematika,Stylos,Novi Sad 1995

3.web sajt http://kvant.mccme.ru

4.Vladimir Stojanovic,Mathematiskop 7 , Matematiskop,Beograd 2003

21