SKRIPSI PEMODELAN REASURANSI JIWA BERDASARKAN RISIKO

SKRIPSI

PEMODELAN REASURANSI JIWABERDASARKAN RISIKO KATASTROPIK

Maria Gabriella Hadinata

NPM: 2015710017

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI DAN SAINS

UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGAN2018

FINAL PROJECT

LIFE REINSURANCE MODELINGBASED ON CATASTROPHE RISK


NPM: 2015710017

DEPARTMENT OF MATHEMATICSFACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY AND SCIENCES

PARAHYANGAN CATHOLIC UNIVERSITY2018

LEMBAR PENGESAHAN



NPM: 2015710017

Bandung, 3 Desember 2018

Menyetujui,

Pembimbing

Dr. Ferry Jaya Permana, ASAI

Ketua Tim Penguji

Farah Kristiani, M.Si.

Anggota Tim Penguji

Iwan Sugiarto, M.Si.

Mengetahui,

Ketua Program Studi

Dr. Erwinna Chendra, M.Si.

PERNYATAAN

Dengan ini saya yang bertandatangan di bawah ini menyatakan bahwa skripsi dengan judul:


adalah benar-benar karya saya sendiri, dan saya tidak melakukan penjiplakan atau pengutipandengan cara-cara yang tidak sesuai dengan etika keilmuan yang berlaku dalam masyarakat keilmuan.

Atas pernyataan ini, saya siap menanggung segala risiko dan sanksi yang dijatuhkan kepada saya,apabila di kemudian hari ditemukan adanya pelanggaran terhadap etika keilmuan dalam karya saya,atau jika ada tuntutan formal atau non-formal dari pihak lain berkaitan dengan keaslian karya sayaini.

Dinyatakan di Bandung,Tanggal 3 Desember 2018

MeteraiRp. 6000

Maria Gabriella HadinataNPM: 2015710017

ABSTRAK

Peristiwa yang terjadi secara tidak terduga dan mengakibatkan banyak sekali pengajuan kla-im merupakan salah satu faktor utama yang menyebabkan perusahaan asuransi mengalamikerugian. Kejadian katastropik merupakan salah satu peristiwa yang terjadi secara mendadakdan mengakibatkan banyak kematian sehingga dapat menyebabkan perusahaan asuransi jiwamengalami kerugian besar. Perusahaan asuransi dapat mengurangi risiko kerugian tersebutdengan menggunakan produk reasuransi katastropik. Reasuransi katastropik adalah suatuproduk asuransi yang berfungsi mengalihkan sebagian risiko yang dialami perusahaan asuransiakibat kejadian katastropik kepada reasuradur. Kontrak reasuransi katastropik ini biasa disebutkontrak Catastrophe Excess of Loss (Cat XL). Dalam suatu kontrak Cat XL, hal penting yangperlu diketahui oleh reasuradur adalah total besar klaim agar dapat menentukan cadangandan harga kontrak reasuransi yang wajar. Pada skripsi ini dibahas model reasuransi katas-tropik untuk memperoleh total besar klaim dengan menggunakan data kejadian katastropikdi Indonesia. Banyaknya kejadian katastropik dan banyaknya kematian dalam suatu kejadiankatastropik dimodelkan dengan menggunakan model Peaks Over Threshold, yaitu distribusiPoisson sebagai model banyak kejadian dan distribusi Generalized Pareto sebagai model banyakkematian. Banyaknya klaim yang diajukan akibat kejadian katastropik dimodelkan dengandistribusi Beta-binomial. Total besar klaim diperoleh dengan melakukan simulasi model berulangkali. Selain itu, dibahas juga pengaruh perubahan parameter terhadap total besar klaim.

Kata-kata kunci: Reasuransi katastropik, Kontrak Catastrophe Excess of Loss, Model PeaksOver Threshold, Distribusi Beta-binomial, Besar klaim

ABSTRACT

Unexpected events leading to great amount of claims is one of the main factors an insurancecompany may suffer a great financial loss. A catastrophe claiming many lives is one example ofsuch an unexpected event and can cause a life insurance company to suffer a great loss. In orderto reduce the financial loss, a life insurance company can buy a catastrophe reinsurance productfrom a reinsurer. Catastrophe reinsurance is an insurance product which diverts some of therisks that insurance company faces due to catastrophic events to a reinsurer. The catastrophereinsurance contract is usually called the Catastrophe Excess of Loss (Cat XL) contract. Ina Cat XL contract, the total amount of claims is essential for the reinsurer to know in orderto determine the amount of reserve and the price of reinsurance contract. In this final project,the catastrophe reinsurance model will be discussed in order to obtain the total amount ofclaims using the catastrophic events data in Indonesia. The Peaks Over Threshold model isused to describe the number of catastrophic events and the death toll in each incident which thePoisson distribution represents the number of catastrophic events and the Generalized Paretodistribution represents the death toll in each incident. The number of claims due to catastrophicrisk is described by the Beta-binomial distribution. The total amount of claims can be obtainedthrough number of model simulations. In addition, the effect of parameter changes on the totalamount of claims are also discussed.

Keywords: Catastrophe reinsurance, Catastrophe Excess of Loss Contract, Peaks Over Thresh-old Model, Beta-binomial distribution, Amount of claims

Untuk Papa, Mama, dan Adikku tercinta.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan bimbingan-Nya yang melimpahpenulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi yang berjudul "Pemodelan ReasuransiJiwa berdasarkan Risiko Katastropik" disusun sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan studiStrata-1 Program Studi Matematika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains (FTIS), UniversitasKatolik Parahyangan (UNPAR), Bandung.

Penyusunan skripsi ini tidak luput dari beberapa hambatan dan kesulitan. Oleh karena itu,penulis berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan mendukung penulis dalampenyelesaian skripsi ini. Penulis berterima kasih terutama kepada:

• Papa dan Mama yang selalu memberikan dukungan, nasihat, doa, dan kasih sayang kepadapenulis, serta Patrick dan keluarga besar penulis atas segala doa, dukungan, dan hiburan yangdiberikan.

• Bapak Dr. Ferry JayaPermana,ASAI selaku dosen pembimbing yang telah sabar memberikanilmu, arahan, dan saran selama penyusunan skripsi dan perkuliahan, serta atas pembuatansurat rekomendasi lanjut studi untuk penulis.

• Ibu FarahKristiani,M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan arahan dan saranuntuk perbaikan dan pengembangan skripsi ini.

• Bapak Iwan Sugiarto,M.Si. sekalu koordinator skripsi dan dosen penguji yang telah membe-rikan arahan serta saran untuk perbaikan dan pengembangan skripsi ini.

• Bapak Dr. BennyYong selaku dosen yang telah memberikan ilmu, arahan, dan saran selamaperkuliahan, serta surat rekomendasi lanjut studi untuk penulis.

• Bapak Dr. JuliusDharmaLesmono selaku dosen wali yang telah memberikan ilmu, saran, dannasihat kepada penulis selama perkuliahan.

• Seluruh dosen FTIS khususnya dosen Program Studi Matematika yang telah memberikanilmu, arahan, dan saran selama perkuliahan.

• Seluruh staf Tata Usaha FTIS yang telah banyak memberikan segala bentuk bantuan admi-nistratif selama perkuliahan.

• Seluruh pekarya FTIS yang telah banyak memberikan kenyamanan dalam penggunaan saranadan prasarana selama perkuliahan.

• Nadya Tjindra sebagai teman yang selalu siap mendengarkan cerita serta memberikan du-kungan, hiburan, dan semangat.

• Lisa Saputri sebagai teman yang selalu memberikan dukungan, hiburan, semangat, dancatatan kuliah selama perkuliahan serta membantu penulisan Bab 4.

• Teman-teman "Buaya Darat" (Edo, Jojo, Raka, Mahe, Lisa, Fani, Lydia, Vania, Mega,dan Stany) yang telah berbagi ilmu, pengalaman, hiburan, dan kebersamaan sejak awalperkuliahan.

xv

• Teman-teman "Rempela" (Lisa, Fani, Lydia, Vania, dan Mega) yang telah berbagi ilmu,hiburan, dan kebersamaan.

• Teman-teman "Trio Ayam" (Edo dan Jojo) sebagai teman seperjuangan belajar di malam hari.

• Teman-teman Matematika angkatan 2015: Thomas, Inez, Dhito, Vania, Dius, Nancy, Laura,Edo, Fanie, Lisa, Stany, Desmond, Vincent, Alif, Nanda, Chandra, Mona, Charisma, Mahe,Lydia, Jojo, Sandy, Daud, Mega, Vivi, Livia, Vano, Gazza, Karina, Hendra, Retno, Onto,Kijati, Raka, Aryo, Marschel, Elis, Shanti, dan Paulina yang telah berbagi ilmu, hiburan, danpengalaman selama penulis kuliah di UNPAR.

• Teman-teman Matematika angkatan 2012, 2013, 2014, 2016, dan 2017 yang tidak dapatdisebutkan satu per satu.

• Teman-teman Majelis Perwakilan Mahasiswa UNPAR periode 2017/2018 yang telah membe-rikan ilmu, hiburan, dan pengalaman keorganisasian.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu,penulis dengan terbuka menerima segala saran dan kritik yang membangun dari pembaca untukpenyempurnaan skripsi ini. Penulis berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat dan memberikaninspirasi bagi pembaca.

Bandung, Desember 2018

Penulis

xvi

DAFTAR ISI

Kata Pengantar xv

Daftar Isi xvii

Daftar Gambar xix

Daftar Tabel xxi

1 Pendahuluan 11.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Sistematika Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Landasan Teori 52.1 Kontrak Reasuransi Katastropik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Jenis Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Momen Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Ekspektasi Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 Variansi Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Distribusi Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Distribusi Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Distribusi Marginal dan Ekspektasi Peubah Acak Diskret . . . . . . . . . . 72.4.2 Distribusi Marginal dan Ekspektasi Peubah Acak Kontinu . . . . . . . . . . 72.4.3 Sifat Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Distribusi Majemuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Jenis-Jenis Distribusi Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7.1 Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7.2 Distribusi Generalized Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7.3 Distribusi Beta-Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8 Metode Penaksiran Parameter Maximum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9 Quantile-Quantile Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.10 Uji Coba Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Model Reasuransi Katastropik 233.1 Model Peaks Over Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Model Banyak Kejadian Katastropik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Model Banyak Kematian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Model Banyak Klaim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Model Besar Klaim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

xvii

4 Simulasi Model 294.1 Aplikasi Model pada Data Katastropik di Indonesia . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Model Banyak Kejadian Katastropik Tahunan di Indonesia . . . . . . . . . 294.1.2 Model Banyak Kematian akibat Kejadian Katastropik di Indonesia . . . . . 304.1.3 Total Besar Klaim Tahunan akibat Kejadian Katastropik di Indonesia . . . 32

4.2 Analisis Sensitivitas Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.1 Analisis Parameter λm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.2 Analisis Parameter q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.3 Analisis Parameter θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Kesimpulan dan Saran 415.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Daftar Referensi 43

xviii

DAFTAR GAMBAR

2.1 Fungsi Massa Peluang Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Fungsi Padat Peluang Distribusi Generalized Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Fungsi Massa Peluang Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Fungsi Padat Peluang Distribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Fungsi Massa Peluang Distribusi Beta-Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Fungsi Tingkat Ketergantungan Antarindividu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Perbandingan Distribusi Data Banyak Kematian dan Model Estimasi DistribusiGeneralized Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 CDF Empiris dan CDF Generalized Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Histogram Besar Klaim (Juta Rupiah) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Proporsi Kontribusi Masing-Masing Besar Klaim (Juta Rupiah) terhadap Total Besar

Klaim dalam 100.000 Tahun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5 Analisis Parameter λm terhadap Total Besar Klaim Tahunan . . . . . . . . . . . . 374.6 Analisis Parameter q terhadap Total Besar Klaim Tahunan . . . . . . . . . . . . . 384.7 Analisis Parameter θ terhadap Total Besar Klaim Tahunan . . . . . . . . . . . . . 39

xix

DAFTAR TABEL

4.1 Banyak Kejadian Katastropik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Frekuensi Besar Klaim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Proporsi Kontribusi Masing-Masing Besar Klaim (Juta Rupiah) terhadap Total Besar

Klaim dalam 100.000 Tahun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Analisis Parameter λm terhadap Total Besar Klaim Tahunan . . . . . . . . . . . . 374.5 Analisis Parameter q terhadap Total Besar Klaim Tahunan . . . . . . . . . . . . . 384.6 Analisis Parameter θ terhadap Total Besar Klaim Tahunan . . . . . . . . . . . . . 39

xxi

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangKejadian katastropik merupakan peristiwa yang terjadi secara mendadak dan mengakibatkan banyakkematian. Kejadian katastropik terbagi menjadi dua, yaitu bencana alam (natural disasters) danbencana nonalam (man-made disasters). Beberapa bencana alam yang termasuk kejadian katastro-pik adalah gempa bumi, gunung meletus, dan tsunami. Sedangkan, beberapa bencana nonalamyang termasuk kejadian katastropik adalah kecelakaan pesawat, serangan teroris, dan banjir. Freku-ensi kejadian katastropik biasanya rendah, tetapi memberikan dampak kerugian yang sangat besar[1].

Indonesia merupakan salah satu negara yang berada di Cincin Api Pasifik (the Pacific Ringof Fire). Cincin Api Pasifik merupakan daerah yang sering terjadi gempa bumi dan letusan gunungberapi di sepanjang cekungan Samudra Pasifik. Jadi, Indonesia merupakan salah satu negara yangsering kali mengalami bencana alam. Hal ini menyebabkan kesadaran masyarakat Indonesia akanpentingnya asuransi jiwa menjadi meningkat. Ketika kesadaran memiliki asuransi meningkat, makasuatu perusahaan asuransi harus bisa mengantisipasi kerugian yang dapat timbul.

Suatu peristiwa yang terjadi secara tidak terduga dan mengakibatkan pengajuan klaim men-jadi banyak sekali merupakan salah satu faktor utama perusahaan asuransi mengalami kerugian.Oleh karena itu, salah satu solusi yang dapat dilakukan oleh perusahaan asuransi adalah mengalih-kan risiko tersebut ke perusahaan asuransi lain. Skenario ini biasa dikenal dengan nama reasuransi.Reasuransi merupakan suatu mekanisme pengalihan risiko dari satu pihak yang disebut ceding com-pany kepada pihak lainnya yang disebut reasuradur (reinsurer). Kejadian katastropik merupakansalah satu peristiwa yang terjadi secara mendadak dan memiliki potensi menyebabkan kerugianyang besar terhadap suatu perusahaan asuransi jiwa. Potensi kerugian besar yang dimaksud adalahketika terjadi banyak pengajuan klaim dalam waktu yang sama akibat kematian dari suatu kejadiankatastropik dan dana cadangan dari perusahaan asuransi tidak cukup untuk menutupi semua biayaklaim. Hal ini tentu sangat berpotensi membuat perusahaan asuransi mengalami pailit. Untukmenghindari risiko ini, dibutuhkan suatu pengalih risiko yang disebut reasuransi katastropik.

Reasuransi katastropik adalah suatu produk asuransi yang berfungsi untuk mengalihkan seba-gian risiko yang dialami suatu perusahaan asuransi akibat suatu kejadian katastropik kepadareasuradur. Salah satu hal yang penting yang dibutuhkan reasuradur dalam suatu kontrak rea-suransi katastropik adalah mengetahui total besar klaim yang diajukan setiap tahunnya. Hal inidibutuhkan oleh perusahaan reasuransi agar bisa menentukan cadangan untuk membayar klaimdan menentukan harga yang wajar untuk suatu kontrak reasuransi katastropik. Oleh karena itu,penulis bermaksud membahas mengenai pemodelan reasuransi katastropik untuk menaksir totalbesar klaim tahunan berdasarkan risiko katastropik di Indonesia.

1

2 Bab 1. Pendahuluan

1.2 Rumusan MasalahPada skripsi ini akan dibahas pengaplikasian model reasuransi jiwa berdasarkan risiko katastropikdengan menggunakan data kejadian katastropik di Indonesia. Oleh karena itu, masalah yang akandibahas pada skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut.

1. Bagaimana menaksir banyak kejadian katastropik yang terjadi pada suatu periode waktu?

2. Bagaimana menaksir banyak kematian yang diakibatkan oleh suatu kejadian dalam reasuransikatastropik?

3. Bagaimana menaksir banyak klaim yang diajukan akibat kematian dari suatu kejadian dalamreasuransi katastropik?

4. Bagaimana menaksir besar klaim akibat suatu kejadian dalam reasuransi katastropik?

5. Bagaimana menaksir total besar klaim dalam reasuransi katastropik?

6. Bagaimana pengaruh perubahan parameter terhadap total besar klaim dalam reasuransikatastropik?

1.3 TujuanTujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. menaksir banyak kejadian katastropik yang terjadi dalam suatu periode waktu;

2. menaksir banyak kematian yang diakibatkan oleh suatu kejadian dalam reasuransi katastropik;

3. menaksir banyak klaim yang diajukan akibat kematian dari suatu kejadian dalam reasuransikatastropik;

4. menaksir besar klaim akibat suatu kejadian dalam reasuransi katastropik;

5. mengetahui ekspektasi, variansi, dan distribusi dari total besar klaim dalam reasuransikatastropik;

6. mengetahui pengaruh perubahan parameter terhadap total besar klaim dalam reasuransikatastropik.

1.4 Batasan MasalahBatasan masalah pada skripsi ini adalah:

1. kerugian akibat kejadian katastropik yang dimodelkan hanya berupa banyak korban meninggalatau hilang;

2. kejadian katastropik yang dimodelkan hanya banjir, tanah longsor, puting beliung, gempabumi, tsunami, letusan gunung berapi, dan kecelakaan transportasi;

3. perusahaan reasuransi hanya mengasuransikan jiwa dan bukan asuransi kerugian;

4. banyak kejadian katastropik diasumsikan berdistribusi Poisson;

5. banyak kematian akibat kejadian katastropok diasumsikan berdistribusi Discrete GeneralizedPareto;

6. banyak klaim yang diajukan akibat kejadian katastropik diasumsikan berdistribusi Beta-binomial;

7. besar klaim dari setiap pemegang polis diasumsikan sama nilainya.

1.5. Sistematika Pembahasan 3

1.5 Sistematika PembahasanSistematika pembahasan pada skripsi ini terdiri dari lima bab, yaitu:

Bab 1: PendahuluanBab ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan, batasan masalah, dan sistematikapembahasan.

Bab 2: Landasan TeoriBab ini membahas teori-teori yang mendukung dalam pengerjaan skripsi ini.

Bab 3: Model Reasuransi KatastropikBab ini membahas model banyak kejadian katastropik, model banyak kematian, model banyakklaim yang diajukan, dan model besar klaim dalam reasuransi katastropik.

Bab 4: Simulasi ModelBab ini membahas aplikasi model pada data kejadian katastropik di Indonesia dan pengaruhperubahan masing-masing parameter terhadap total besar klaim.

Bab 5: Kesimpulan dan SaranBab ini berisi kesimpulan dari isi skripsi dan saran untuk pengembangan topik yang dapat digunakanuntuk penelitian selanjutnya.

Documents

SKRIPSI PEMODELAN REASURANSI JIWA BERDASARKAN RISIKO