149
Predavanja Automatika Ak.godina 2010/2011 (radni materijal) Split, 2011.

Skripta Iz Automatike (FESB)

Embed Size (px)

DESCRIPTION

2013/2014. godina

Citation preview

Page 1: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja

Automatika

Ak.godina 2010/2011

(radni materijal)

Split, 2011.

Page 2: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

2

Napomena: Ova skripta obuhvaća predavanja odrţana u akademskoj godini 2010/2011. U njoj nisu i

svi zadaci koji su rješavani tijekom auditornih vjeţbi. Kako je skripta prvenstveno napisana kako bi se

olakšalo pripremanje studenata za kolokvij i ispit, studenti za potpunu pripremu trebaju riješiti i

nauĉiti i te zadatke.

Page 3: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

3

Sadržaj

1. Uvod ................................................................................................................................... 5 1.1 Vrste sustava ................................................................................................................ 5

1.2 Opća svojstva tehniĉkih sustava .................................................................................. 8 1.2.1 Tipiĉne pobudne funkcije sustava ...................................................................... 10

1.3 Podjela sustava .......................................................................................................... 11 1.4 Opis linearnih kontinuiranih sustava ......................................................................... 16

2. Matematiĉki opis dinamiĉkih sustava .............................................................................. 17

2.1 Opis jednostavnih linearnih sustava diferencijalnim jednadţbama ........................... 18 2.2 Analiza u podruĉju kompleksne varijable (Laplaceova transformacija) ................... 25 2.3 Standardne pobudne funkcije i njihova LT ............................................................... 26

2.3.1 Odskoĉna funkcija (step) .................................................................................... 26 2.3.2 Uzlazna pravĉasta funkcija ................................................................................. 27 2.3.3 Impulsna (Diracova) funkcija ............................................................................. 27

2.3.4 Eksponencijalna funkcija ................................................................................... 27 2.3.5 Sinusna funkcija ................................................................................................. 27 2.3.6 Tablica korespondentnih funkcija ...................................................................... 28

2.3.7 Laplaceove transformacije nekontinuiranih funkcija ......................................... 29 2.3.8 LT operacija deriviranja i integriranja ............................................................... 29

2.3.9 Dodatna svojstva LT .......................................................................................... 30

2.4 Inverzna Laplaceova transformacija .......................................................................... 31

2.5 Primjeri rješavanja DJ pomoću LT ............................................................................ 35 3. Prijenosna funkcija ........................................................................................................... 37

3.1 Prijenosne funkcije jednostavnih mreţa .................................................................... 38 3.2 Prijenosna funkcija sklopa s operacijskim pojaĉalom ............................................... 46 3.3 Osnovni elementi mehaniĉkih sustava ...................................................................... 47

4. Algebra blokova ............................................................................................................... 52

4.1 Pravila algebre blokova ............................................................................................. 52 4.1.1 Osnovna pravila algebre blokova ....................................................................... 52 4.1.2 Dodatna pravila algebre blokova ........................................................................ 53

4.2 Primjeri ...................................................................................................................... 55 5. Analiza sustava u vremenskom podruĉju ......................................................................... 64

5.1 Standardne pobudne prijelazne funkcije .................................................................... 64

5.1.1 Jediniĉna odskoĉna funkcija (jediniĉni odskok / jediniĉni step) ........................ 64

5.1.2 Jediniĉna nagibna funkcija / jediniĉna uzlazna pravĉasta funkcija .................... 65 5.1.3 Jediniĉna parabola .............................................................................................. 65 5.1.4 Jediniĉna impulsna funkcija / Jediniĉna Diracova funkcija ............................... 66

5.2 Prijelazna funkcija ..................................................................................................... 66 5.3 Vremenski odziv osnovnih sustava ........................................................................... 67

5.3.1 Proporcionalni ĉlan nultog reda (P0 – ĉlan) ....................................................... 67 5.3.2 Proporcionalni ĉlan prvog reda (P1 – ĉlan) ........................................................ 68 5.3.3 Proporcionalni ĉlan drugog reda (P2 – ĉlan) ...................................................... 70 5.3.4 Integracijski ĉlan ................................................................................................ 75 5.3.5 Derivacijski ĉlan ................................................................................................. 77 5.3.6 Ĉlan sa vremenskom zadrškom .......................................................................... 79

Page 4: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

4

5.3.7 Pregled osnovnih ĉlanova i njihovih vremenskih odziva na step ....................... 80 5.4 PID regulator ............................................................................................................. 80

5.4.1 Oblici PID regulatora ......................................................................................... 80 5.4.2 Djelovanje PID regulatora .................................................................................. 81

6. Sustavi prvog i drugog reda ............................................................................................. 82 6.1 Sustavi prvog reda ..................................................................................................... 82 6.2 Sustavi drugog reda ................................................................................................... 86

7. Analiza sustava u frekvencijskom podruĉju ..................................................................... 94 7.1 Uvod .......................................................................................................................... 94

7.2 Polarni i Nyquistovi dijagrami .................................................................................. 96 7.2.1 Nyquistov polarni dijagram sloţenih prijenosnih funkcija ................................ 98

7.3 Bodeovi dijagrami ................................................................................................... 105 7.3.1 Osnovna ideja crtanja Bodeovih dijagrama ..................................................... 108

7.3.2 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 1. reda ............................................ 109 7.3.3 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 2. reda ............................................ 112

8. Stabilnost sustava ........................................................................................................... 114 8.1 Kriteriji stabilnosti ................................................................................................... 119

8.2 Grafoanalitiĉki kriteriji stabilnosti ........................................................................... 120 8.2.1 Bodeov kriteriji stabilnosti ............................................................................... 120 8.2.2 Nyquistov kriteriji stabilnosti ........................................................................... 121

8.3 Analitiĉki kriteriji stabilnosti ................................................................................... 124

8.3.1 Hurwitzov kriterij stabilnosti ........................................................................... 125 8.3.2 Routhov kriterij stabilnosti ............................................................................... 128

9. Pogreške ustaljenog stanja ............................................................................................. 134 9.1 Uvod ........................................................................................................................ 134

9.2 Pogreške ustaljenog stanja pomaka, brzine i ubrzanja ............................................ 136 9.2.1 Pogreška ustaljenog stanja pomaka .................................................................. 136

9.2.2 Pogreška ustaljenog stanja brzine .................................................................... 137 9.2.3 Pogreška ustaljenog stanja ubrzanja ................................................................. 138 9.2.4 Odstupanje od ţeljenog odziva sustava ............................................................ 139

10. Osjetljivost .................................................................................................................. 143 10.1 Uvod ..................................................................................................................... 143

10.2 Osjetljivost – izvod .............................................................................................. 143 10.3 Osjetljivost - primjeri ........................................................................................... 146

Page 5: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

5

1. Uvod

AUTOMATIKA: automatos (grč.) – ono što se dogaĎa samo od sebe.

Automatska tvorevina: djeluje samostalno s pomoću ugraĎenog mehanizma koji joj to

omogućuje. Uloga čovjeka: opskrba energijom, puštanje u rad, nadzor rada, korištenje

rezultata tog rada.

"Sustav je skup objekata objedinjenih nekim oblikom meĎudjelovanja ili meĎuovisnosti.“

(Websterov rječnik)

"Sustav je dio svijeta koji je povezan s okolinom preko ulaznih i izlaznih djelovanja. Ulazna

djelovanja sustav preoblikuje u izlazna djelovanja. Izlaz sustava općenito može ovisiti o

trenutku pobude i o “memoriji“ sustava do trenutka pobude. Povijest,odnosno "memorija“

sustava tretira se konceptom stanja sustava“ (Vladimir Kučera, 1979).

Poĉeci:

Ktesibiusov vodeni sat: prva poznata tvorevina s povratnom vezom (3.st. p.n.e.)

Klasiĉni regulacijski ureĊaj: centrifugalni regulator C. Huygens (1658.)

(Reguliranje rada satova, vjetrenjaĉa i vodenica)

Napredak automatike u 20. stoljeću: sliĉnost ponašanja i djelovanja

“samostalnih” odnosno “automatskih” tvorevina i ţivih bića

(Norbert Wiener – “Cybernetics”, 1918.)

Norbert Wiener (1894-1964. – slika desno): “Za samostalno

djelovanje neke tvorevine, bilo prirodne ili tehniĉke, potrebno je

svojstvo voĊenja.” KIBERNETIKA: hiberneti (grĉ.) – voditi, upravljati, usmjeravati

Slika 1. Norbert Wiener

Automatika je sastavni dio znanosti o sustavima. Automatika obuhvaća teoriju voĊenja, istraţivanje

uvjeta djelovanja i zakonitosti voĊenja razliĉitih tehniĉkih tvorevina i sastavljanje i gradnju njihovih

dijelova za voĊenje.

1.1 Vrste sustava

Sustavi:

- tehniĉki

- biološki

- ekonomski

- ekološki

- informacijski

- transportni

- ...

Slika 2. Primjeri sustava

Page 6: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

6

Slika 3. Sustavi („Sve je sustav i podsustav“)

Prirodni sustavi nastaju pod uticajem prirodnih zakona.

Biološki sustavi - jedan od osnovnih ciljeva: opstanak, razvoj i razmnoţavanje. Proces

ostvarivanja ovih ciljeva je odreĊen prirodnim zakonima koji se ogledaju u adaptaciji sustava

vanjskim utjecajima.

Proces spoznaje ciljeva i naĉina djelovanja sustava, usmjerenih na ostvarenje tih ciljeva,

pomaţe nam da svojim djelovanjem pospješimo realizaciju ovih ciljeva, ili utiĉemo na

izmjenu ciljeva u zavisnosti od vrste sustava.

Umjetni sustavi tj. sustavi koje je stvorio ĉovjek - ciljeve ovih sustava odreĊuje ĉovjek.

Određivanje granica sustava

Postoje tri kriterija odreĊivanja (sva tri moraju biti zadovoljena):

Page 7: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

7

1. da li izmeĊu elemenata i ostalih dijelova postoji neka bitna veza?

2. da li posmatrani element ima funkciju koja utiĉe na ono što definiramo kao sustav?

3. da li postojanje i funkcioniranje zamišljenog sustava utiĉe na element i funkcioniranje

promatranog elementa?

Sustave možemo dijeliti i prema

Naĉinu postanka:

- Prirodni (nastaju pod uticajem prirodnih zakona bez neposrednog uticaja

ĉovjeka)

- Umjetni (stvora ih ĉovjek svojim posrednim ili neposrednim uĉešćem)

Obliku postojanja:

- Realni (materijalni sustavi ĉija je struktura sastavljena iz realnih elemenata

izmeĊu kojih postoje realne veze. Svi prirodni sustavi su realni sustavi.)

- Apstraktni (spadaju u grupu nematerijalnih sustava. To su formalni, misaoni,

idejni ili matematiĉki. Opisuju realne sustave.)

Pod pojmom sustav u daljnjem razmatranju podrazumijevat će se uglavnom dinamički

tehnički sustav.

Page 8: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

8

1.2 Opća svojstva tehničkih sustava

Osmišljava ga i realizira ĉovjek u svrhu postizanja toĉno odreĊenog i unaprijed zadanog cilja.

Materijalni sustav koji se gradi od razliĉitih komponenata (elemenata). Sve komponente

sustava su u funkciji ostvarenja zadanog cilja. Temeljno svojstvo komponenata sustava je

njihova sposobnost povezivanja s drugim komponentama sustava i s okolinom u kojoj sustav

djeluje. Svaka komponenta sustava razmatra se sa stajališta njezinog meĊudjelovanja s

drugim komponentama sustava.

Značajke sustava

Dvije osnovne znaĉajke sustava (ne samo tehniĉkih) su:

- Djelovanje

- Svrhovitost

DJELOVANJE predstavlja obavljanje radnje (pretvorba energije, prerada tvari, obrada

informacija i sl.)

SVRHOVITOST ili CILJ je kod sustava uvijek prisutna, ali ne mora biti odmah i uoĉljiva.

Karakteristike dinamičkih tehničkih sustava

Osnovne karakteristike dinamiĉkih tehniĉkih sustava su:

- Usmjerenost djelovanja

- Kauzalnost

- Ograniĉenost energetskih resursa

- Ograniĉenost informacijskog kapaciteta

- Strukturiranost

- Povezanost procesa unutar sustava

Slika 4. Automobil je sustav? (DA/NE). Što je sa samostalnošću?

Proces: djelovanje u prirodi, društvu i tehnici.

Procesni prostor: prostor u kojem se odvijanju ta djelovanja. U procesnom prostoru se

akumuliraju tvari i energija potrebni za odrţavanje procesa. Manjak ili višak tvari ili energije -

> nepravilno odvijanje procesa.

Page 9: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

9

VoĎenje omogućava ĉuvanje koliĉine akumulirane tvari i energije u procesnom prostoru.

Proizvodni postupci – procesi

voĊenje procesa elektrolize

voĊenje procesa taljenja

voĊenje procesa mljevenja sirovine

VoĊenje objekata: procesi vezani uz svrhovito gibanje nekog stroja, tijela ili objekta.

VoĊenje: svaki svrhoviti utjecaj na ponašanje procesa ili objekta.

Slika 5. Osnovni prikaz sustava

Naĉini upravljanja sustavom:

1) VoĊenje

2) Reguliranje

Slika 6. Upravljanje voĊenjem

Slika 7. Upravljanje regulacijom

Page 10: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

10

1

t

x(t) = u(t)

Zadaci koji se mogu postaviti i rješavati općenito se mogu podijeliti u tri grupe:

- ZADACI ANALIZE – poznati sustav, ulazna veliĉina x(t), traţi se y(t) – izlazna veliĉina

- ZADACI PROJEKTIRANJA – poznati x(t) i y(t), traţi se sustav

- ZADACI IDENTIFICIRANJA – poznato x(t), y(t), djelomiĉno sustav, traţe se: nepoznati

parametri sustava

1.2.1 Tipične pobudne funkcije sustava

Ovdje ćemo navesti pet osnovnih (najĉešćih) pobudnih funkcija sustava (Slika 8).

1) Jediniĉna odskoĉna funkcija (step funkcija)

2) Dirackova delta funkcija

3) Jediniĉna pravĉasta

4) Paraboliĉna funkcija

5) Sinusna (x(t) = A sin ωt)

a) Jediniĉna odskoĉna funkcija b) Dirackova delta funkcija

c) Jediniĉna pravĉasta funkcija

t

x(t) = t2

d) Paraboliĉna funkcija

Slika 8. Osnovne pobudne funkcije (nedostaje sinusna)

t

x(t) = t

Page 11: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

11

1.3 Podjela sustava

1) LINEARNI I NELINEARNI SUSTAVI

LINEARNI – oni sustavi koji se mogu opisati linearnom diferencijalnom jednadţbom

općenitog oblika:

izlaz,ulaz,konstante,;0 0

yxbadt

xdb

dt

yda ji

n

i

m

jj

j

ji

i

i

NELINEARNI – opisuju se nelinearnim diferencijalnim jednadţbama, sloţeni su, pa se

pretvaraju u linearne i onda se analiziraju kao linearni (uz zanemarivu grešku)

Za LINEARNE sustave vrijedi PRINCIP SUPERPOZICIJE:

operacija,)()(0 0

TtxkTtykn

i

n

i

iiii

Slika 9. Superpozicija vrijedi za linearne sustave

2) SUSTAVI SA KONCENTRIRANIM I RASPODIJELJENIM PARAMETRIMA

Ako je sustav sastavljen od konaĉno mnogo pojedinaĉnih elemenata, tada je to

KONCENTRIRANI sustav. Opisuju se pomoću obiĉnih diferencijalnih jednadţbi.

Slika 10. a) Sustav sa koncentriranim i b) raspodijeljenim parametrima

Ako sustav posjeduje beskonaĉno mnogo pojedinaĉnih elemenata, radi se o sustavu sa

RASPODIJELJENIM PARAMETRIMA. Opisuju se pomoću parcijalnih dif. jednadţbi.

Page 12: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

12

3) VREMENSKI PROMJENJIVI I VREMENSKI NEPROMJENJIVI (INVARIJANTNI)

SUSTAVI

Ako parametri sustava nisu konstantni, nego se mijenjaju s vremenom, onda se radi o

VREMENSKI PROMJENJIVIM sustavima, a ako to nije sluĉaj, onda se radi o

INVARIJANTNIM sustavima.

4) SUSTAVI SA KONTINUIRANIM, KVANTIZIRANIM I DISKRETNIM NAĈINOM

RADA

Ako je izlazni signal y(t) promjenjiv unutar odreĊenih granica, radi se o KONTINUIRANOM

sustavu.

t

y(t)

T

Slika 11. Kontinuirani sustav (Analogni sustav) !

Ako izlazni signal y(t) poprima samo odreĊene vrijednosti amplitude, onda se radi o

KVANTIZIRANOM sustavu.

t

y(t)

T

Slika 12. Kvantizirani sustav (digitalni sustav) !

Ako je izlazni signal y(t) poznat samo u diskretnim trenutcima, radi se o DISKRETNOM

sustavu.

Page 13: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

13

t

y(t)

T

Slika 13. Diskretni sustav (digitalni sustav) !

5) DETERMINISTIĈKI, NEDETERMINISTIĈKI I STOHASTIĈKI SUSTAVI

DETERMINISTIĈKI sustavi su jednoznaĉno odreĊeni, mogu se analitiĉki opisati (u jednakim

uvjetima se uvijek jednako vladaju).

NEDETERMINISTIĈKI sustavi se u jednakim uvjetima u razliĉitim sluĉajevima razliĉito

vladaju.

STOHASTIĈKI sustavi su dinamiĉki sustavi kod kojih pojedinim varijablama ili svojstvima

sustava pridruţujemo odreĊenu mjeru vjerojatnosti kako bi bilo moguće opisati njihovo

ponašanje (opisuju se pomoću statistiĉkih zakonitosti).

6) KAUZALNI I NEKAUZALNI SUSTAVI

Za KAUZALNE sustave karakteristiĉno je da najprije nastupi pobuda pa se onda nakon toga

dobije odziv.

Kod NEKAUZALNIH sustava odziv se moţe dobiti i bez pobude.

7) STABILNI I NESTABILNI SUSTAVI

Ako svaka ograniĉena pobuda daje ograniĉeni izlazni signal, sustav je STABILAN.

Karakteristika stabilnog sustava je da amplituda izlaznog signala s vremenom pada.

Page 14: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

14

SUSTAV

1

t

x(t) = u(t)

1

t

(t)

x(t) = (t)

t

y(t)

t

y(t)

Slika 14. Ulaz i izlaz za stabilan sustav

Kod NESTABILNIH sustava amplituda izlaznog signala s vremenom raste.

t

y(t)

Slika 15. Izlaz nestabilnog sustava

8) SUSTAVI S JEDNIM ULAZOM I IZLAZOM / SUSTAVI S VIŠE ULAZA I IZLAZA

Sustav s jednim ulazom i izlazom (skalarni sustav) engl. SISO – Single Input Single Output.

Sustav s više ulaza i izlaza (multivarijabilni, višestruki) engl. MIMO – Multiple Input Multiple

Output.

Moguće su i sljedeće opcije: MISO; SIMO.

9) SUSTAVI SA I BEZ MEMORIJE

Sustav bez "memorije" – sustav koji ne posjeduje skladišta energije (odziv u svakom

vremenskom trenutku t ovisan samo o pobudi u tom istom trenutku).

Sustav s "memorijom" – sustav koji ima barem jedno skladište energije (njegov odziv u

nekom vremenskom trenutku t ovisi i o iznosima pobude u prošlosti).

Page 15: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

15

Slika 16. Sustav sa (desno) i bez memorije (lijevo).

Slika 17. Pregled kriterija podjele sustava.

Page 16: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

16

1.4 Opis linearnih kontinuiranih sustava

Linearne kontinuirane sustave moţemo opisati u vremenskom i frekvencijskom podruĉju:

U vremenskom podruĉju ove sustave moţemo opisati:

1) pomoću jedne diferencijalne jednadţbe n-tog reda

2) pomoću N diferencijalnih jednadţbi 1.reda (opis varijablama stanja)

3) pomoću posebnih izlaznih signala (slika 18).

SUSTAV

1

t

u(t)

t

(t)

y(t) - težinska funkcija

y(t) - prijelazna funkcija

Slika 18. Opis linearnih kontinuiranih sustava pomoću posebnih funkcija

U frekvencijskom podruĉju ove sustave moţemo opisati:

1) pomoću Laplaceove transformacije

2) pomoću prijenosne funkcije (poĉ.uvjeti = 0)

3) pomoću amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike

Page 17: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

17

2. Matematički opis dinamičkih sustava

Diferencijalna jednadţba - bilo koja algebarska ili neka druga jednakost koja sadrţi derivacije

ili diferencijale.

Diferencijalne jednadţbe dijelimo na:

Obiĉne diferencijalne jednadţbe

Parcijalne diferencijalne jednadţbe

Obična diferencijalna jednadžba – jednakost koja ima jednu neovisnu varijablu, jednu ili više

ovisnih varijabli i jednu ili više derivacija ovisnih varijabli po neovisnoj varijabli.

Primjer: Drugi Newtonov zakon.

dt

dvMaMf

Sila f i brzina v su ovisne, vrijeme t je neovisna varijabla (Vrijeme je najĉešća neovisna

varijabla kod dinamiĉka pojava).

ttvvtff ;)(;)(

Obiĉne dif.jednadţbe opisuju sustave s usredotočenim (koncentriranim) parametrima u

kojima dolazi do pretvorbe energije iz kinetiĉke u potencijalnu i obrnuto.

Vrijeme jedina neovisna varijabla. Nuţno poznavanje početnih uvjeta.

Parcijalna diferencijalna jednadžba - jednakost koja sadrţi dvije ili više neovisnih varijabli,

te jednu ili više ovisnih varijabli uz parcijalne derivacije ovisnih varijabli po neovisnim

varijablama.

Primjer: Jednadţba difuzije.

t

Tk

x

T

T=T(x,t) – ovisna varijabla koja predstavlja koncentraciju neke tvari na nekom poloţaju u

nekom vremenu.

x – pomak (neovisna varijabla)

t – vrijeme (neovisna varijabla)

Parcijalne diferencijalne jednadžbe – opisuju sustave s raspodijeljenim (distribuiranim)

parametrima kod kojih su elementi raspodijeljeni u prostoru.

Nuţno poznavanje početnih uvjeta i rubnih uvjeta (neovisne varijable su i vrijeme i poloţaj).

Parcijalne diferencijalne jednadţbe je općenito mnogo teţe za rješavati stoga se nadomještaju

nizom sustava s koncentriranim parametrima koji se onda mogu opisati obiĉnom

diferencijalnom jednadţbom ili sustavom obiĉnih diferencijalnih jednadţbi.

Moguće su i drugaĉije podjele diferencijalnih jednadţbi:

Page 18: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

18

a) s vremenski nepromjenljivim koeficijentima (npr.

dt

dxy 2 )

b) s vremenski promjenljivim koeficijentima (npr.

dt

dxty 2

)

I još:

a) linearne dif.jednadţbe (sastoje se od zbroja linearnih ĉlanova)

b) nelinearne dif.jednadţbe (ostale)

Primjeri:

Linearna PDJ: t

Tk

x

T

Nelinearna ODJ (ima kvadratni ĉlan): 0

2

y

dt

dy

Linearnim DJ opisujemo linearne sustave. Linearan sustav –> vrijedi princip superpozicije.

Ponovimo još jednom princip superpozicije:

Odziv y(t) linearnog sustava koji je posljedica istovremenog djelovanja više ulaza x1(t),

x2(t),…,xn(t) jednak je zbroju odziva na svaki pojedinačni ulaz posebno:

n

i

i tyty1

)()(

2.1 Opis jednostavnih linearnih sustava diferencijalnim jednadžbama

Nema općenitog recepta za postavljanje matematiĉkog modela pomoću diferencijalne

jednadţbe. Nema opće metode za rješavanje svih tipova jednadţbi.

Opći zapis linearne diferencijalne jednadţbe s konstantnim koeficijentima:

)()()(

...)()(

0011

1

1 txbtyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n

(nehomogena dif.jednadţba)

Gdje je

x – ulazna varijabla (pobuda), y – izlazna varijabla (odziv)

an,…,a0 – konstantni parametri sustava

b0 – konstantni parametar pridruţen pobudi.

Ako na sustav djeluje vanjska pobuda -> neautonoman sustav – opisuje se nehomogenom

diferencijalnom jednadžbom (prethodni izraz).

Ako imamo vanjska pobuda oscilacijskog karaktera -> odziv sustava su prisilne oscilacije.

Ukoliko nema vanjske pobude -> autonoman sustav – opisuje se homogenom diferencijalnom

jednadžbom.

Page 19: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

19

0)()(

...)()(

011

1

1

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n

Za autonoman sustav – uz odreĊene uvjete moţe doći do tzv. vlastitih oscilacija.

Ako uz tzatytx )()(

vrijedi atzaatyatx ,)()( onda je sustav vremenski nepromjenljiv tj ako se pobuda pomakne za vremenski interval a, i

odziv se pomakne za istu vrijednost.

Matematiĉko modeliranje moţe se temeljiti na:

- mjerenju

- fiziĉkim zakonima

- kombinaciji mjerenja i fiziĉkih zakona

Kombinirani pristup je najprikladniji – ujedno se vrši i meĊusobna provjera zakljuĉaka

dobivenih mjerenjem i primjenom teorije.

Neki najĉešći primjenjivani fiziĉki zakoni u razliĉitim podruĉjima:

ELEKTRIĈKI SUSTAVI OHMOV ZAKON

KIRCHOFFOVI ZAKONI

MEHANIĈKI SUSTAVI NEWTONOV ZAKON

D’ALAMBERTOV PRINCIP

TERMODINAMIĈKI SUSTAVI FOURIEROV ZAKON O PRIJENOSU TOPLINE

NEWTONOV ZAKON O HLAĐENJU

HIDRODINAMIĈKI SUSTAVI DARCYEV ZAKON O STRUJANJU

HAGEN-POISEUILLEOV ZAKON O STRUJANJU

Primjer modeliranja: RC krug

R – otpornost

C - kapacitivnost

Drugi Kirchoffov zakon (zbroj narinutih napona jednak je zbroju padova napona na pojedinim

elementima):

CCR UiRUUtU )(

u(t)

+

R

C uC

+

i

Page 20: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

20

Napon kondenzatora UC razmjeran je naboju q:

CUCidtq

Dakle,

dt

dUCi

dt

dq C pa uz CCR UiRUUtU )( dobijemo

)(tUUdt

dUCR C

C .

Ovo je linearna diferencijalna jednadţba prvog reda s konstantnim koeficijentima.

Prvi red znaĉi da sustav ima jedan spremnik energije (kondenzator).

Primjer modeliranja: elementarni mehaniĉki sustav

Zadano (slika): M – masa; B – koeficijent

viskoznog trenja; S – koeficijent elastiĉnog

popuštanja.

Koristimo D’Alambertov princip:

Zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo

jednak je zbroju sila reakcije tj.

SBM ffftf )(

Gdje su izrazi za navedene sile

- Sila ubrzavanja mase

-

- Sila trenja

- Sila elastiĉnog popuštanja

Pa moţemo napisati

Sxdt

dxB

dt

xdMtf

2

2

)(

Dobiveni izraz predstavlja linearnu DJ drugog reda s konstantnim koeficijentima (dva

spremnika energije : masa kao spremnik kinetiĉke energije + opruga kao spremnik

potencijalne energije).

Ako u sustavu postoji n spremnika energije -> sustav n-tog reda -> opis dif. jednadţbom n-tog

reda.

MB

S

f(t), x

Sxf

dt

dxBf

dt

xdMf

S

B

M

2

2

Page 21: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

21

Kada je DJ nekog dinamiĉkog sustava postavljena kaţemo da je odnos izmeĊu odzivne i

pobudne veliĉine izraţen u implicitnom obliku:

0,,,...,, )1()( txyyyF nn

Praksa traţi eksplicitni oblik: txfy , koji identiĉki zadovoljava postavljenu DJ.

Postoje 3 skupine metoda za rješavanje diferencijalnih jednadţbi:

- egzaktne analitičke metode (najtoĉnije, kod sloţenijih sustava zahtijevaju teţak i

dugotrajan rad). To je klasiĉno rješenje.

- numeričke metode (pribliţno rješenje – digitalna raĉunala)

- analogne metode (rješenje u grafiĉkom obliku)

Primjer: primjena egzaktne analitiĉke metode na MBS sustavu

- DJ drugog reda -> lako proširiti na sustave višeg reda

Znamo:

Sxdt

dxB

dt

xdMtf

2

2

)(

Pretpostavka: na sustav ne djeluje nikakva vanjska sila tj. f(t) = 0. Stoga, moţemo pisati

02

2

Sxdt

dxB

dt

xdM (Homogena DJ)

Rješenje homogene DJ naziva se komplementarna funkcija (XFK). Komplementarna funkcija

ovisi samo o sustavu, ne o pobudi. Smatramo da općenito ima eksponencijalni oblik:

t

FK eKX

Pa kada prethodni izraz uvrstimo u 02

2

Sxdt

dxB

dt

xdM , dobijemo karakteristiĉnu

jednadţbu: 02 SBM .

Ova karakteristiĉna jednadţba ima rješenja

M

S

M

B

M

B

2

2

2,142

pa je komplementarna funkcija:

tt

FK eKeKX 21

21

Gdje su K1 i K2 – konstante koje treba odrediti.

Page 22: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

22

Komplementarnu funkciju nazivamo i prijelazno rješenje (slobodni odziv, dio ukupnog

rješenja koje teţi nuli za t ). Ovo vrijedi samo za stabilne sustave.

Sada uzmimo da na sustav djeluje vanjska pobuda f(t), a da je pohranjena energija u sustavu

jednaka nuli. Pobuda stalno donosi sustavu energiju. Nakon nekog vremena uspostavlja se

stacionarno stanje.

Stacionarno stanje opisujemo partikularnim integralom XPI koji ovisi o pobudi i sustavu.

Ako je pobuda konstantna sila 0)( Ftf , uvrštenje rješenja u izraz Sxdt

dxB

dt

xdMtf

2

2

)(

treba to i pokazati.

Pretpostavimo rješenje S

FX PI

0 i uvrstimo ga u Sxdt

dxB

dt

xdMtf

2

2

)( .

Dobijemo 0000)( F

S

FSBMtf ĉime je dokazana ispravnost pretpostavljenog

rješenja.

Partikularnim integralom ĉesto se naziva stacionarnim rješenjem (prinudni odziv) koji ne teţi

nuli za t . Ovo takoĎer vrijedi za stabilne sustave.

Sasvim općenito sustav ima i pohranjenu energiju i na njega djeluje vanjska pobuda: opće

rješenje DJ je zbroj prijelaznog i stacionarnog rješenja (princip superpozicije):

S

FeKeKXXX tt

PIFK0

2121

(totalni odziv)

Još iz poĉetnih uvjeta treba odrediti konstante integracije. Konstante integracije fizikalno

predstavljaju pohranjenu energiju u spremnicima sustava (potencijalna energija opruge

razmjernu poloţaju x i kinetiĉka energija mase razmjerna brzini dx/dt).

Pretpostavka: za t=0 –> x = 0, dx/dt = 0.

Ovo uvrstimo u opće rješenje:

0021

00

2

0

1 S

FKK

S

FeKeKX

i uz

02211221121 KKeKeK

dt

dx tt

moţemo odrediti konstante K1 i K2:

12

102

21

201

S

FK

S

FK

Page 23: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

23

pa je opće rješenje:

121

21

1

21

20 ttee

S

FX

,

M

S

M

B

M

B

2

2

2,142

Uz poznate vrijednosti za F0, M, B, S dobije se numeriĉki oblik rješenja. Prikaz je najĉešće u

grafiĉkom obliku (apscisa t, ordinata odziv).

Primjer: zadana je DJ 0232

2

ydt

dy

dt

yd

- uz poĉetne uvjete 1)0(;0)0( dt

dyy

Ovo je homogena DJ. Karakteristiĉna jednadţba ove homogene DJ glasi:

1

2

2

13

2

893

023

2,1

2

odakle imamo tt eKeKy 2

21

Derivacija rješenja: tt eKeKdt

dy 2

21 2

Pa uz poĉetne uvjete imamo:

1,121

0

1)0(/;0)0(;0

21

21

21

KKKK

KK

dtdyyt

Te je rješenje: FK

tt Yeety 2)(

Grafiĉko rješenje:

t(s) 0 0.5 1 2 5 besk.

yFK(t) 0 0.239 0.233 0.117 0.007 0

t(s)

y(t)

Page 24: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

24

Primjer: razni sustavi

Page 25: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

25

2.2 Analiza u području kompleksne varijable (Laplaceova transformacija)

Jednostavnije rješavanje DJ!

Ideja: znak za derivaciju d/dt zamijeniti s operatorom s pa se, uz nulte poĉetne uvjete DJ:

)()()(

...)()(

0011

1

1 txbtyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n

pretvara u

XbYasasasa n

n

n

n 001

1

1 ...

što se rješava obiĉnim algebarskim postupkom – rezultat u Laplaceovom podruĉju.

Rješenje u vremenskom podruĉju: primjenom inverzne Laplaceove transformacije. Široko se

primjenjuje pri rješavanju linearnih diferencijalnih jednadţbi s konstantnim koeficijentima.

Laplaceova transformacija vremenski zavisne f(t) odreĊena je nepravim integralom:

0

)()( dtetfsF st

gdje je operator “s” definiran kao “kompleksna frekvencija”:

js

f(t) je realna funkcija realne varijable t definirana za t>0. Izraz e-st

predstavlja prigušenje.

Ako je nepravi integral apsolutno konvergentan, funkcija f(t) se moţe transformirati i tu

operaciju obiljeţavamo sa:

)()( tfLsF

Funkcija F(s) se moţe transformirati u vremenski zavisnu funkciju f(t) s pomoću inverzne

Laplaceove transformacije:

j

j

stdsesFj

tf )(2

1)(

Ili simboliĉki:

)()( 1 sFLtf

Praktiĉna korist LT:

U tablicama izraĉunati parovi f(t) i F(s) za najvaţnije funkcije

Page 26: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

26

1

t

x(t) = u(t)

DJ se iz vremenskog (t) podruĉja pomoću tablica transformiramo u algebarske

jednadţbe u kompleksnom frekvencijskom podruĉju

Jednostavnije rješavanje algebarske jednadţbe u “s” podruĉju

Tabliĉno prebacivanje iz “s” u “t” podruĉja - > rješenje poĉetne DJ

Shematski prikaz primjene LT:

2.3 Standardne pobudne funkcije i njihova LT

2.3.1 Odskočna funkcija (step)

sss

edtedtetutuL

ststst 110

1)()(

000

Page 27: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

27

t

x(t) = t

2.3.2 Uzlazna pravčasta funkcija

Gdje su ,dtedvtu st

pa je: sevdtdu st /

22

0000

1101*

sss

e

sdt

s

e

s

etvduuv

ststst

2.3.3 Impulsna (Diracova) funkcija

*1

lim1

lim

)()(1

lim

),(lim)()(

00

0

00

00

0

as

edte

a

dteatutua

dtetaudtettL

as

a

a

st

a

st

a

st

a

st

Riješit ćemo je primjenom L’Hospitalovog pravila za 0/0

1

)(

1

lim*

s

s

da

asdda

ed as

2.3.4 Eksponencijalna funkcija

assasa

edtedteeeL

tsatsastatat

1

)(

10

)(00

)(

0

2.3.5 Sinusna funkcija

22

0

0 0

2

1

2

1sinsin

ssj

e

sj

e

j

dteeej

dtettL

tsjtsj

sttjtjst

Page 28: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

28

2.3.6 Tablica korespondentnih funkcija

Page 29: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

29

2.3.7 Laplaceove transformacije nekontinuiranih funkcija

2.3.8 LT operacija deriviranja i integriranja

Ova LT nuţna je za rješavanje diferencijalnih jednadţbi

a) LT derivacije

)0()()(

fsFsdt

tdfL

Page 30: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

30

gdje je f(0+) vrijednost funkcije f(t) neposredno nakon t=0, što je dovoljno da se

promijeni vrijednost odskoĉne funkcije, a nedovoljno da se promijene sve fiziĉke

varijable koje se mijenjaju u konaĉnom vremenu.

b) LT integracije

s

f

s

sFdttfL

)0()()(

)1(

gdje je:

dttfft

)(lim)0(0

)1(

dok s

f )0()1(

predstavlja konstantu integracije.

Derivacije višeg reda

Transformacija derivacije je zapravo mnoţenje, a transformacija integracije je dijeljenje s

operatorom “s”.

2.3.9 Dodatna svojstva LT

a) Teorem linearnosti

)()()()(

)()()()(

)()(

2121

2121

sbFsaFtbftafL

sFsFtftfL

sFatfaL

a za inverznu LT:

)()()()(

)()()()(

)()(

2121

1

2121

1

1

tbftafsbFsaFL

tftfsFsFL

tfasFaL

što sve vrijedi za t>=0.

Page 31: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

31

b) Teorem prigušenja

)()(

)()(

asFtfeL

asFtfeL

at

at

c) Teorem pomaka

)()(

)()(

sFeatfL

sFeatfL

as

as

d) Teorem početne vrijednosti

)(lim)(lim0

ssFtfst

e) Teorem konačne vrijednosti

)(lim)(lim0

ssFtfst

f) Teorem vremenskog skaliranja

asFaa

tfL

g) Teorem frekvencijskog skaliranja

atfaa

sFL

1

2.4 Inverzna Laplaceova transformacija

Osnovna ideja:

funkciju F(s) rastaviti na zbroj jednostavnih parcijalnih razlomaka

jednostavne parcijalne razlomke pomoću L-tablica transformiramo u t podruĉje

primijenimo teorem linearnosti na pojedinaĉna rješenja

Regulacijske sustave opisujemo funkcijom u obliku:

Page 32: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

32

01

1

1

01

1

1

...

...

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sN

sBsF

n

n

n

m

m

m

m

gdje mora biti n>=m, a koeficijent uz sn = 1.

Pišemo nazivnik u tzv. faktorskom obliku:

nssssss

sB

sN

sBsF

...

)(

)(

)()(

21

gdje su si korijeni nazivnika, dakle vrijednosti za koje je N(s)=0.

Nadalje, pišimo prethodni izraz kao zbroj parcijalnih razlomaka:

n

n

i

i

ss

K

ss

K

ss

K

ss

K

sN

sBsF

......

)(

)()(

2

2

1

1

gdje su koeficijenti Ki konstante koje treba izraĉunati.

U teoriji kompleksne varijable nazivaju se rezidui (ostaci) funkcije F(s) u singularnoj toĉki

s=-si. Korijeni nazivnika mogu biti realni i razliĉiti, realni koji se ponavljaju i konjugirano

kompleksni.

a) Realni i različiti korijeni

Koeficijenti Ki dobit će se mnoţenjem jednadţbe

n

n

i

i

ss

K

ss

K

ss

K

ss

K

sN

sBsF

......

)(

)()(

2

2

1

1

sa (s+si):

n

ini

iii

ss

ssKK

ss

ssK

ss

ssK

sN

sBss

......

)(

)(

2

2

1

1

Uz s=-si dobit će se koeficijent Ki:

nii

ssiissssssss

sBsFssK

i

......

)()(

111

…obratnu transformaciju pojedinog ĉlana nalazimo iz tablice

0,1

teKss

KL

ts

i

i

i i

Page 33: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

33

dok je cijela inverzna transformacija funkcije F(s):

ts

n

ts

i

ts ni eKeKeKsFL ......)( 1

1

1

b) Višestruki realni korijeni

Sloţeno traţenje koeficijenata.

Primjer: dvostruki korijen

221

1

)(

)()(

sssssN

sBsF

Rastavljanje vršimo na sljedeći naĉin:

22

22

2

21

1

1

)(

)()(

ss

K

ss

K

ss

K

sN

sBsF

Parcijalna ekspanzija mora sadrţavati sve potencije. Koeficijenti K1 i K22 se raĉunaju kao u

primjeru a) uz s=-s1 odnosno s=-s2.

Za izraĉunavanje K21 mnoţimo

22

22

2

21

1

1

)(

)()(

ss

K

ss

K

ss

K

sN

sBsF

sa 22ss i derivirajmo po s:

212

1

2

2121

22122

1

2

21

2

2

2

)(

Kss

ssssssK

ssKKss

ssK

ds

dsFss

ds

d

uz s=-s2 na desnoj strani ostaje samo K21, dakle:

2

)(2

221 sssFss

ds

dK

Općenito za korijene koji se ponavljaju n puta imamo:

)1(,...,2,1,)(1

, nksFss

ds

d

kK

iss

n

ik

n

kni

Page 34: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

34

c) Konjugirano kompleksni korijeni

Zapoĉnimo od općenitijeg jednostavnog primjera:

jbas

K

jbas

K

ss

K

ssjbasjbas

ssbassN

sBsF

22

1

1

1

1

22

1

1

)(

)()(

Koeficijente izraĉunamo na sljedeći naĉin:

jbasbj

sFjbasK

jbasbjsFjbasK

bassFssK

jbas

jbas

ss

1

2

1

2

22

1

11

2

1)(

2

1)(

1)(

1

odakle moţemo zakljuĉiti da su 22 KiK konjugirano kompleksan par. Inverzna

transformacija od F(s) je:

tjbatjbats

eKeKeKtf 221

1)(

kako su 22 KiK konjugirano kompleksan par vrijedi:

tjbajtjbajts

eeKeeKeKtf

2211)(

Koristeći Eulerove formule moţemo pisati:

bteKeK

eeeKeKtf

atts

btjbtjatts

cos2

)(

21

21

1

1

gdje se amplituda K2 i fazni kut odreĊuju iz:

b

asarctg

K

Karctg

basbK

1

2

2

22

1

2

Re

Im

2

1

Page 35: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

35

2.5 Primjeri rješavanja DJ pomoću LT

Na temelju pravila raĉunanja s pomoću LT linearnu diferencijalnu jednadţbu (LDJ)

rješavamo na slijedeći naĉin:

1) Svaki ĉlan LDJ transformiramo iz vremenskog (t) podruĉja u frekvencijsko (s)

podruĉje

2) U tako dobivenoj jednadţbi s pomoću algebarskih operacija naĊemo rješenje F(s) i u

to rješenje uvrstimo vrijednosti za poĉetne uvjete.

3) Rješenje F(s) je u obliku razlomljene racionalne funkcije; ako je nazivnik višeg reda,

rastavljamo F(s) u zbroj parcijalnih razlomaka.

4) Svaki ĉlan tako dobivene jednadţbe transformiramo iz “s” u “t” podruĉje (ponekad

nije neophodno).

Primjer 1:

Pomoću LT riješimo DJ:

teyy ako je poĉetni uvjet y(0) = 3, a ostali poĉetni uvjeti su jednaki 0.

1

1

)(

3)()0()(

seL

sYyL

ssYyssYyL

eLyyL

t

t

Pa dobijemo:

1

1)(3)(

ssYssY

odnosno:

11

23)(

ss

ssY

2

5

11

23

1

23)(1

2

1

11

23

1

23)(1

11)(

112

111

21

ss

ss

s

ssYsK

s

ssYsK

s

K

s

KsY

Dobijemo:

Page 36: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

36

1

1

2

5

1

1

2

1)(

sssY

odnosno:

tt eesYLty 2

5

2

1)()( 1

Primjer 2:

Pomoću LT odredimo odziv sustava y(t) definiranog DJ:

)(3

3

txdt

dy

dt

yd

ako je )()( ttx Diracova delta funkcija. Svi poĉetni uvjeti su jednaki 0.

Pišemo:

111

1)(

1)()(

221

2

3

js

K

js

K

s

K

sssY

ssYsYs

odnosno:

2

1

1

1)(1

2

1

1

1)(1

11

1)(

1

13

1

12

0

201

js

js

js

js

ss

jsssYjsK

jsssYjsK

sssYK

Pa imamo:

ttuty

s

s

sjsjsssY

cos)()(

1

1

1

1

1

1

2

11)(

2

Page 37: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

37

21

2

211

21

1

2

)(

)()(

ZZ

Z

ZZI

ZI

sU

sUsW

Z1

Z2

ULAZ

u (s)1

IZLAZ

u (s)2

I1

422

432221

222111

0

ZIU

ZZZIZI

ZIZZIU

3. Prijenosna funkcija

Opći oblik linearne diferencijalne jednadţbe:

xbdt

dxb

dt

xdb

dt

xdbya

dt

dya

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ......

Koeficijenti an,..., a0, bm,..., b0 – konstante, n ≥ m

y – izlazna varijabla, x – ulazna varijabla

Laplaceova transformacija prethodnog izraza:

)()(...)()()(...)( 0101 sXbssXbsXsbsYassYasYsa m

m

n

n

01

01

0101

...

...)(

)(

)(

...)(...)(

asasa

bsbsbsW

sX

sY

bsbsbsXasasasY

n

n

m

m

m

m

n

n

Primjer 1:

Primjer 2:

Z1

Z2

ULAZ

U1

IZLAZ

U2

I1

Z3

Z4I2

?)(

)()(

1

2 sU

sUsW

u vremenskom

podruĉju

u Laplaceovom

podruĉju

prijenosna

funkcija

212

2111

ZIU

ZZIU

Page 38: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

38

Riu RR

Prisjetite se: CRAMEROVO PRAVILO

• daje formulu za rješenje sustava linearnih jednadţbi kada je matrica sustava regularna.

• T: Neka je A regularna matrica i neka je Di determinanta matrice koja se dobije kada se i-

ti stupac matrice A zamijeni s vektorom b. Tada su komponente rješenja sustava Ax = b

dane s

ii

iA

Dx

)det(

422

432221

222111

0

ZIU

ZZZIZI

ZIZZIU

Dalje pišemo:

4232413121

4322

221

22

ZZZZZZZZZZZZZZ

ZZZ

I

12

2

121

20

UZZ

UZZ

Pa je

4232413121

1424

22

ZZZZZZZZZZ

UZZZU

I konaĉno, prijenosna funkcija :

4232413121

42

1

2

)(

)()(

ZZZZZZZZZZ

ZZ

sU

sUsW

3.1 Prijenosne funkcije jednostavnih mreža

Otpornik R:

)()( sIRsU RR

RsI

sUsZ

R

RR

)(

)()(

u t podruĉju mala slova

u Lap. podruĉju velika

slova

Page 39: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

39

dtiC

u CC

1

s

sI

CsU C

C

)(1)(

sCsI

sUsZ

C

CC

1

)(

)()(

dt

diLu L

L

Z1

Z2

Z1 Z2

Kondenzator C :

Zavojnica L :

Znamo :

21

21

ZZ

ZZZuk

21 ZZZuk

Poznavanjem prijenosne funkcije i pobude sustava moţemo izraĉunati izlaz (odziv) sustava:

)()()()(

)()( sUsWsU

sU

sUsW ulizl

ul

izl

)()( sIsLsU LL

sLsI

sUsZ

L

LL

)(

)()(

Page 40: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

40

Definicija:

Prijenosna funkcija je omjer Laplaceove transformacije signala na izlazu i Laplaceove

transformacije signala na ulazu uz nulte početne uvjete.

Dalje moţemo pisati:

'1'

'1'

01

01

...

...)(

asas

bsbsKsW

nn

mm

n

m

ili

))...()((

))...()(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKsW

- z1, z2,...,zm – nultoĉke brojnika (nule W(s), o)

- p1, p2,...,pn – nultoĉke nazivnika (polovi W(s), x)

Općenito:

)(

)()(

1

1

j

n

j

i

m

i

ps

zsKsW

Zadatak 1:

Odredite prijenosnu funkciju sustava čija je dinamika opisana diferencijalnom jednadžbom

xxyyy 4''3''

Y – izlaz

X – ulaz

13

4

)(

)()(

4)(13)(

)(4)()()(3)(

2

2

2

ss

s

sX

sYsW

ssXsssY

sXssXsYssYsYs

Page 41: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

41

Zadatak 2:

Odredite prijenosnu funkciju sustava čije je pojačanje K = 7, a raspored polova i nula je

prikazan na slici 19

Slika 19. Zadatak 2. raspored nula i polova

Općenito vrijedi

)(

)()(

1

1

j

n

j

i

m

i

ps

zsKsW

Gdje je n – broj polova, m – broj nula

Dakle, za naš sluĉaj imamo : K = 7, m = 2, n = 4

)54(

)3)(1(7

)12)(12(

)3)(1(7)(

22

sss

ss

jsjsss

sssW

P1 = 0

P2 = 0

P3 = -2+j1

P4 = -2-j1

Z1 = -1

Z2 = -3

Page 42: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

42

Zadatak 3:

Odredite prijenosnu funkciju sustava prikazanog na slici 20

Slika 20. Zadatak 3.

134

3

92

3

)(

)()(

11)()(

92

33sin)()(

22

2

2

ss

s

s

s

sX

sYsW

sLtxLsX

steLtyLsY t

Page 43: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

43

Zadatak 4:

Za RC mrežu na slici odredite napon na izlazu ako je na ulazu jedinična odskočna pobuda

(Slika 21).

Slika 21. Zadatak 4. R1 = R2 = 1 MΩ

22

1

1

1

1

11

)(

11

1

)(

RsZ

sCR

R

CsR

CsR

CRsZ

1

2

2121

221

2

1

1

2

21

2

2

1

1

)(U

U

s

s

sCRRRR

RsCRR

RsCR

R

R

ZZ

ZsW

22

1)(

1

2

1)()()(

2

12

s

B

s

A

ss

ssU

ss

ssUsWsU

2

2

2

1

ss

BsAAs

ss

s

ABAss 21

Pa je

2

1;

2

1

12

1

BA

A

BA

Nadalje:

2

1

2

11

2

1)(2

ss

sU

-1

Page 44: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

44

2

21

2

21

sCC

sCC

Konaĉno:

tetu 2

22

1

2

1)(

2

1)(

1)0(

2

2

tu

tu

Zadatak 5:

Odredite odziv RC mreže prema slici 22

Slika 22. 24

2

3

1

211 ;1

;1

; RZsC

ZsC

ZRZ

Moţemo pisati (poznato od prije):

sC

R

sCCRR

sC

R

sC

R

sC

R

sW

ZZZZZZZZZZ

ZZsW

1

2

2

21

21

2

1

1

1

1

2

4232413121

42

1)(

)(

1)(

221121

2

2121

22

sCRCRCRsCCRR

sCRsW

Uvrštavanjem vrijednosti otpornika i kondenzatora dobijemo:

1

2

2 13)(

U

U

ss

ssW

Sada dovodimo step na ulaz:

Page 45: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

45

sss

ssUsWsU

1

13)()()(

212

13

1)(

22ss

sU 38.062.238.062.2

1

s

B

s

A

ss

Izraĉunajmo koeficijente A i B:

45.045.0124.2162.238.0

0

162.238.0

ABBBA

BAsBAs

sBsA

i uvrstimo ih:

38.0

45.0

62.2

45.0)(2

sssU

Prebacimo se sad u vremensko podruĉje ( ):

tt eetu 62.238.0

2 45.045.0)(

Za kvalitativno crtanje izlaznog signala uvrstimo:

0)(

0)0(

2

2

tu

tu

Pa imamo:

Page 46: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

46

3.2 Prijenosna funkcija sklopa s operacijskim pojačalom

Izvedimo prijenosnu funkciju sklopa s operacijskim pojaĉalom. Shema je prikazana na slici

23.

Slika 23. Jednostavni sklop s operacijskim pojaĉalom. Z2 – impedancija povratne grane

ig – struja koja ulazi u operacijsko pojaĉalo. Unap+/nap- – istosmjerni napon napajanja OP (poz. i

neg.); AUulaz – naponski izvor ovisan o padu napona na Rul ; U+ - neinvertiajući ulaz; U- -

invertirajući ulaz; Uizlaz – izlazni napon

?)(

)()(

1

2 sU

sUsW

Ĉetiri najvaţnija svojstva idealnog operacijskog pojaĉala:

1. Beskonaĉno pojaĉanje

A

2. Ulazna impedancija beskonaĉno velika

Zul

3. Izlazna impedancija = 0

Ziz 0

4. Propusni pojas (frekvencijski opseg) neograniĉen P.P.

Pri rješavanju koristimo metodu ĉvora, a ne metodu petlje (ne moţemo definirati petlje).

Dakle:

giii 21

Kako za idealno operacijesko pojaĉalo vrijedi 0 gul iZ pa moţemo pisati

002

2

1

121

Z

UU

Z

UUii AA

Page 47: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

47

Za idealno operacijsko pojaĉalo vrijedi

UA = 0 (objašnjenje u okviru)

pa moţemo pisati 02

2

1

1 Z

U

Z

U

odakle dobijemo prijenosnu funkciju sklopa

1

2

1

2

)(

)()(

Z

Z

sU

sUsW

Za drugaĉiji raspored elemenata, biti će drugaĉija i prijenosna funkcija (mi ćemo koristiti

samo ovu sliku i formulu).

3.3 Osnovni elementi mehaničkih sustava

Prvi osnovni element: opruga

a ) translacijski sustavi:

b) rotacijski sustavi:

Potrebno je napomenuti da ovdje prikazani izrazi vrijede kod malih pomaka i zakreta, u

sluĉaju velikih pomaka imamo nelinearnost.

Drugi osnovni element: prigušenje

a) translacijsko prigušenje - prikazuje se pomoću sustava klip - cilindar

Negativna povratna veza sklopa sa slike 24 nastoji

odrţati napon na invertirajućem ulazu U- jednak

naponu na neinvertirajućem ulazu U+, koji je

uzemljen (0 V). Naime, što U- postaje pozitivniji,

izlaz postaje negativniji, pa preko Z2 ulaz U- postaje

negativniji.

Sliĉno, što je U- negativniji, izlaz postaje pozitivniji

što za posljedicu ima povećanje pozitivnosti U-.

Za idealno pojaĉalo, pojaĉanje je beskonaĉno,

stabilizacija je savršena i ulaz U- je stalno na 0 V.

Stoga je ulazni napon operacijskog pojaĉala U+ - U-

jednak nuli tj. vrijedi 0 UU

f(t) – sila

S – koeficijent opruge

(elastiĉnosti)

xStf )(

Na kraj se dovodi vanjski moment

m(t), zakrene se za ,

k je koeficijent opruge:

ktm )(

B – koeficijent viskoznog trenja

21 xx : razlika brzina u prigušnom elementu

Relacija koja opisuje ponašanje ovog mehaničkog

translacijskog prigušenja:

21)( xxBtf

Page 48: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

48

b) rotacijsko prigušenje

Treći osnovni element: inercija

a) u translacijskim sustavima

b) inercija u rotacijskim sustavima (predstavlja se diskom koji rotira)

Mehanički transformatori

a) Mehaniĉki translacijski transformator (poluga)

D – koeficijent trenja ulja

Relacija :

21)( Dtm

Relacija :

xmtf )(

J – moment inercije

Relacija :

Jtm )(

0

0

BBAA

C

rFrF

M

nr

r

F

F

B

A

B

A - omjer transformacije

B

A

BB

AA

k

kn

kr

kr

cos

cos

Page 49: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

49

b) Mehaniĉki rotacijski transformator (zupĉanici)

21 FF (gubitke zanemarujemo)

Primjer 1)

Sustav pruga – masa – prigušenje

Za jednostavnu mehaniĉku tranformacijsku mreţu sa slike 24 napišite diferencijalnu

jednadţbu i odredite prijenosnu funkciju

?)(

)()(

sF

sXsW

D’ALEMBERTOV PRINCIP

Dodamo li nekom sustavu sila i silu inercije, tj. silu kojom se

tijelo odupire gibanju, sustav će biti u ravnoteţi.

ili

D’ALEMBERTOV PRINCIP

Suma vanjskih sila narinutih na neki translacijski sustav mora biti

jednaka sumi sila reakcije.

Silu gravitacije ne uzimamo u obzir jer je x = 0 uzeto u poloţaju statiĉke ravnoteţe.

Pretpostavka: masa se kreće prema dole.

Posljedica:

Opruga se rasteţe.

Sila opruge djeluje prema gore (suprotstavlja se akceleraciji prema dole).

Kretanje mase prema dole – prigušna sila usmjerena gore.

Vanjska sila pomaţe kretanje prema dole (+ predznak).

Dakle:

T – zakretni moment

d – promjer zupĉanika

Zupĉasti prijenos:

1

2

2

1

1

2

T

T

d

dn

222

111

FrT

FrT

F1

F2

Slika 24.

Page 50: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

50

Slika 25. Rotacija – izlaz; ulazni

moment - ulaz

)(tffff SBm

xSxBxmtf

ffftf SBm

)(

)(

gdje je B koeficijent viskoznog trenja, S koeficijent opruge, f(t) vanjska sila (ulaz), a x

rezultantni pomak.

Prebacivanjem u Laplaceovo podruĉje dobijemo

)()()()( 2 sXSsXsBsXsmsF

pa je prijenosna funkcija

SsBsmsF

sXsW

2

1

)(

)()( .

Primjer 2)

Za mehaniĉku rotacijsku mreţu sa slike 25

napišite diferencijalnu jednadţbu i odredite

prijenosnu funkciju.

?)(

)()(

sM

ssW

Sukladno D'Alambertovom principu moţemo

napisati

kDJ mmmtm )( ili )(tmmmm kJD

kDJtm

mmmtm kDJ

)(

)(

tj. u Laplaceovom podruĉju

)()( 2 skDsJssM

pa je traţena prijenosna funkcija rotacijskog sustava

ksDsJsM

ssW

2

1

)(

)()(

Page 51: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

51

Primjer 3)

Odredite prijenosnu funkciju )(

)()( 1

sX

sXsW za mehaniĉku translacijsku mreţu sa slike 26.

Slika 26. Translacijska mreţa za primjer 3.

- pomak mase m1 je razliĉit od pomaka mase m

- na m djeluje sila f(t)

- na m1 nema vanjskih sila

1. Opisujemo gibanje mase m :

1111)( xxBxxSxmxStf (1)

2. Opisujemo gibanje mase m1 :

xxBxxSxm 1111110 (2)

Izraze (1) i (2) prebacimo u Laplaceovo podruĉje:

)()()( 11111

2 sXSsBsXSSsBsmsF (3)

)()(0 111

2

111 sXSsBsmsXsBS (4)

iz izraza (4) dobijemo

)()( 111

2

111 sXSsBsmsXSsB

11

2

1

111

)(

)()(

SsBsm

SsB

sX

sXsW

(pišemo po potencijama).

Primijetimo da je, zbog naĉina na koji je zadana prijenosna funkcija, jednadţba prvog dijela

sustava (1) bila suvišna.

Page 52: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

52

4. Algebra blokova

Radi što zornije predodţbe sloţene sustave najĉešće prikazujemo grafiĉki pomoću tzv. blok-

dijagrama.

Algebra blokova: matematiĉki postupci vezani uz rješavanje problema blok-dijagrama.

Pod algebrom blokova podrazumijevamo postupak saţimanja blokova sloţenog sustava u

jedan jedini blok najĉešće s jednom ulaznom i jednom izlaznom veliĉinom.

Slika 27. Blok prikaz sustava

4.1 Pravila algebre blokova

4.1.1 Osnovna pravila algebre blokova

1) Serijski spoj

2) Paralelni spoj

3) Povratni spoj (Povratna veza)

G – prijenosna funkcija direktne grane

H – prijenosna funkcija povratne grane (ako je H = 1 – negativna povratna veza)

Page 53: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

53

4.1.2 Dodatna pravila algebre blokova

1) Prebacivanje toĉke grananja u smjeru toka signala

Ako se točka grananja prebacuje u smjeru toka signala, prijenosna funkcija grane koja se

prebacuje dijeli se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje se prebacuje.

2) Prebacivanje toĉke grananja u smjeru suprotnom od toka signala

Ako se točka grananja prebacuje suprotno od toka signala, prijenosna funkcija grane koja se

prebacuje množi se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje se prebacuje.

3) Prebacivanje toĉke zbrajanja u smjeru toka signala

Ako se točka zbrajanja prebacuje u smjeru toka signala, prijenosna funkcija grane koja se

prebacuje množi se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje prebacujemo.

Page 54: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

54

4) Prebacivanje toĉke zbrajanja u smjeru suprotnom od toka signala

Ako se točka zbrajanja prebacuje u smjeru suprotnom od toka signala, prijenosna funkcija

grane koja se prebacuje dijeli se sa prijenosnom funkcijom grane preko koje prebacujemo.

Moţe se zamijeniti toĉke grananja bez mijenjanja prijenosne funkcije:

Mogu se zamijeniti i toĉke zbrajanja bez mijenjanja prijenosne funkcije:

Toĉka zbrajanja i toĉka grananja se ne zamjenjuju

Page 55: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

55

4.2 Primjeri

Primjer 1

Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:

Primijenjujemo pravilo prebacivanja toĉke zbrajanja u smjeru suprotnom od toka signala !

Nakon prvog koraka:

Pojednostavnimo!

Nakon drugog koraka:

Dalje imamo:

H

G

Page 56: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

56

Rješavanje je sada poznato:

2211

21

1

2

11

21

11

21

1

11

1

1 HGHG

GG

G

H

HG

GG

HG

GG

HG

G

X

Y

Odnosno:

Primjer 2

Odredite izlazni signal (Y = ?) sustava sa 2 ulaza prema slici:

Primijenimo superpoziciju!

2121 ,010,1 XXXXYYY

A: X1, X2 = 0

1

21

21

1

1

1Y

HGG

GG

X

Y

B: X1 = 0, X2

Pa imamo:

Page 57: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

57

2

12

2

12

2

2

2

11Y

HGG

G

HGG

G

X

Y

Ukupni signal je dakle:

211

21

2

21

22

21

12121

111XXG

HGG

G

HGG

XG

HGG

XGGYYY

Sustav smo mogli riješiti i na drugi naĉin:

Sa slike:

12

21

GAXB

HGBXA

pa je

HGGBGXXB 21112

12

21

GAXB

HGBXA

HGGBGXXB 21112

Page 58: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

58

I dalje:

HGG

XGXB

GBY

21

211

2

1

Pa je izlaz jednak:

211

21

2

1XGX

HGG

GY

.

Primjer 3

Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:

G3G1

y

H1

x

B

G2

H2

D C

A

Prebacimo izlaz iz bloka H2 sa toĉku zbrajanja C u D. Prebacimo i granu koja iz toĉke

grananja A ide u blok H1 na toĉku grananja B. Nakon prebacivanja imamo:

G3G1

y

H1

x

G2

H2

G3

G1

Pišemo:

)()()()( 3211 sGsGsGsW

jer su blokovi G1(s), G2(s) i G3(s) vezani kaskadno. TakoĊer, moţemo pisati

Page 59: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

59

)()(

)()()()(

)(

)(

)(

)()(

31

3211

1

2

3

12

sGsG

sGsHsGsH

sG

sH

sG

sHsW

jer su blokovi H1(s)/G3(s) i H2(s)/G1(s) vezani paralelno. Stoga moţemo dobiveni sustav

prikazati kao klasiĉni povratni prijenos:

Pa je prijenosna funkcija:

)()()()()()(1

)()()()(

)()(

)()()()()()()(1

)()()()(

)()(1

)(

)(

)()(

232121

321

31

3211321

321

21

1

sHsGsGsHsGsG

sGsGsGsW

sGsG

sGsHsGsHsGsGsG

sGsGsGsW

sWsW

sW

sX

sYsW

Primjer 4

Odredite odziv Y(s) sustava sa slike:

G1

yx

G2

H2H1

x3

x2

Primijenimo metodu superpozicije:

Page 60: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

60

a)

2121

121111

2121

21

1

1132

1

10

HHGG

XGGXWY

HHGG

GG

X

YWXX

b)

2112

22222

2112

2

2

2231

1

10

HHGG

XGXWY

HHGG

G

X

YWXX

c)

2121

3211333

2211

211

3

3321

1

10

HHGG

XGGHXWY

HGGH

GGH

X

YWXX

Konaĉno:

2121

3112112321

1 HHGG

XHGXXGGYYYY

Primjer 5

Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:

C

AU(s) Y(s)

B

Prebacivanje toĉke zbrajanja u smjeru suprotnom od toka signala !

C

AU(s) Y(s)

B

Prebacivanje toĉke grananja u smjeru toka signala !

Page 61: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

61

C

AU(s) Y(s)

B

1/B

Blokovi A i B su u kaskadi, a blokovi C i 1/B paralelno spojeni.

-C + 1/B

U(s) Y(s)AB

Ovo je povratna veza pa imamo

U(s) Y(s)AB

1+ABC-A

Dakle, prijenosna funkcija je

AABC

AB

sU

sYsW

1)(

)()(

Primjer 6

Odredite prijenosnu funkciju sustava sa slike:

AU(s) Y(s)

B C E

F

G

H

Nakon sreĊivanja osjenĉanog dijela imamo

Page 62: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

62

Dakle, sada moţemo u jedan blok staviti A, B/(1+BF) i C. TakoĊer moţemo prebaciti i izlaz

iz bloka H kako je prikazano na gornjoj slici.

Dalje:

U(s) Y(s)ABC

1+BF+ G

E

1+EGH

Odnosno, konaĉno dobijemo:

U(s) Y(s)ABCE + GE + BEFG

(1+BF) (1+EGH)

Page 63: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

63

Zadatak za samostalnu vjeţbu (sa rješenjem):

U(s) Y(s)A(B + C)

1 + AE (1 + CD)

AU(s) Y(s)

B

C

E

X(s)

D

Z(s)

I(s) H(s)J(s)K(s)

Page 64: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

64

5. Analiza sustava u vremenskom području

Rješenje dif.jednadţbe opisuje vremenski tok odzivne funkcije uz proizvoljni tok

pobudne funkcije.

Kod stvarnih sustava – pobudna funkcija uglavnom sluĉajnog karaktera (teško

matematiĉki opisati)

Zakljuĉivanje o ponašanju sustava pomoću standardnih pobudnih funkcija

Analiza u vremenskom podruĉju – standardne pobudne prijelazne funkcije.

5.1 Standardne pobudne prijelazne funkcije

5.1.1 Jedinična odskočna funkcija (jedinični odskok / jedinični step)

Definira se kao:

0,1

0,0)()(

t

ttutf

ako je vremenski pomaknuta za interval “a” onda je definiramo kao:

at

atatu

,1

,0)(

Ova funkcija je idealizirani prikaz nekog fiziĉkog stanja jer ne postoji fiziĉka veliĉina koja se

moţe trenutno promijeniti.

Slika: Jedinična odskočna funkcija

1

0 ta

u(t)

u(t-a)

Page 65: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

65

1

0 t

f(t)

t

1

5.1.2 Jedinična nagibna funkcija / jedinična uzlazna pravčasta funkcija

Definira se kao:

0,

0,0)(

tt

ttf

pa je moţemo pisati i kao tu(t).

Moţemo je shvatiti kao vremenski integral jediniĉnog odskoka:

tt

tdtdttutf00

1)()(

Slika:

Jedinična

nagibna

funkcija

5.1.3 Jedinična parabola

Definira se kao:

0,2/

0,0)(

2 tt

ttf ili )(

2

2

tut

Moţemo je shvatiti i kao vremenski integral jediniĉne nagibne funkcije:

2)(

2

0

ttdttf

t

.

Slika:

Jedinična

parabola

0,5

0 t

f(t)

t /22

1

Page 66: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

66

0 t

f(t)

(t)

a

(t-a)

5.1.4 Jedinična impulsna funkcija / Jedinična Diracova funkcija

Definira se kao impuls neizmjerno velike amplitude i neizmjerno kratkog trajanja:

0,0

0,

0,0

)()(

t

t

t

ttf

Ovu funkciju dobijemo deriviranjem odskoĉne funkcije:

dt

tdut

)()(

Jediniĉna impulsna funkcija zatvara jediniĉnu površinu (zato je jediniĉna):

1)()()(

)(

tutdudtdt

tdudtt

Slika:

Jedinična

impulsna

funkcija

Ĉetiri standardne pobudne funkcije su meĊusobno povezane. Kod istraţivanja regulacijskih

sustava mogu dati odgovore na bitna pitanja o ponašanju sustava.

5.2 Prijelazna funkcija

Ĉest pojam:

impulsni odziv (odziv sustava na impulsnu pobudu)

odskoĉni odziv (odziv sustava na odskoĉnu pobudu)

Ukoliko nema posebnog objašnjenja, podrazumijeva se odziv linearnih vremenski

invarijantnih sustava na pobudu u obliku odskočne funkcije.

Definicija prijelazne funkcije:

“Prijelazna funkcija h(t) je kvocijent odziva i pobudne odskočne funkcije amplitude X”:

)(

)()(

tXu

tYth

Page 67: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

67

+R1

R2

uizl

uul +

1

0 t

uul

1

0 t

uizl

k up ul

Ako odaberemo jediniĉnu odskoĉnu funkciju X = 1, onda je prijelazna funkcija po obliku

identiĉna odzivnoj funkciji

1

)(

)(

)(

)(

)()(

tY

tu

tY

tXu

tYth

5.3 Vremenski odziv osnovnih sustava

Realni regulacijski sustavi mogu se razloţiti na niz jednostavnijih podsustava koji su

pogodniji za analizu. Svodimo ih na tzv. osnovne podsustave ili osnovne članove :

proporcionalni članovi nultog, prvog i drugog reda

integracijski članovi

derivacijski članovi

član s vremenskom zadrškom

5.3.1 Proporcionalni član nultog reda (P0 – član)

Primjer elektriĉnog potenciometra odnosno djelitelja napona

Slika desno

Pobuda (gore) i

odziv P0 člana (dole)

Kp se općenito naziva prijenosni omjer (ako su ulazna i izlazna veliĉina razliĉite fiziĉke

veliĉine ili pojačanje (ako su ulazna i izlazna veliĉina iste fiziĉke veliĉine).

P0 ĉlan – pojačivački član

Kp < 1 -> prigušenje (pasivni sustavi)

Za izlazni napon moţemo pisati:

)()(

)(

21

2 thtu

tuKuKu

RR

Ru

ul

izlpulpulizl

ulpulizl ukuRR

Ru

21

2

Page 68: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

68

+

R

uC

uul

Ci

+

(uz )()( tutuul prigušenje odgovara prijelaznoj funkciji).

5.3.2 Proporcionalni član prvog reda (P1 – član)

Primjer: RC krug

Ovo je nehomogena DJ prvog reda; nehomogena jer se na desnoj strani jednakosti ne nalazi 0,

a prvog reda jer funkciju uc(t) deriviramo samo jednom.

ulcc uu

dt

duRC

Općenito je rješenje nehomogene DJ jednako

uc(t) = ucH(t) + ucP (t)=UCKF +UCPI

gdje je ucH(t) rješenje odgovarajuće homogene jednadţbe, a ucP (t) tzv. partikularno rješenje

koje ima funkcionalnu ovisnost o parametru t jednako onome koje ima nehomogeni dio.

za poĉetak uzmimo samo homogenu diferencijalnu jednadţbu (Uul = 0) i riješimo je

separacijom varijabli:

RC

dt

u

du

c

c

integriranjem obje strane dobijemo prijelazno rješenje:

RCt

C eKUKF

/

gdje je K konstanta integracije.

Rješenje ustaljenog stanja je:

ulC UUPI jer se za t kondenzator potpuno nabije na izvor napona. Ukupno rješenje je:

ulcc

cc

cc

cul

uudt

duRC

dt

duCuCi

dt

dqi

Cdt

dqu

C

qu

uiRu

Page 69: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

69

RCt

ulCCC eKuUUUPIKF

/ .

uz poĉ. uvjet (t = 0 -> UC = 0 jer kondenzator nije prethodno nabijen): ulUK

pa konaĉno imamo:

RCt

ulC eUU /1

ili uz RC što nazivamo vremenskom konstantom sustava:

/1 t

ulC eUU .

Vremenska konstanta (u primjeru RC) daje nam direktnu informaciju o vremenu punjenja

kondenzatora odnosno o vremenskom ponašanju sustava.

0 t

uul

u (t)ul

0 t

uul

u (t)C

tangenta

0,632uul

uC

Slika: pobuda i odziv P1 člana.

Analitiĉki se lako dokazuje (uz t = ) da je vremenska konstanta vrijeme u kojem

eksponencijalna rastuća funkcija dosegne 63,2% od svoje konaĉne vrijednosti:

ululC UeUU 632,01)( 1

Izraz za prijelaznu funkciju ovog P1 ĉlana je:

//

1)(1

)(

)()( t

ul

t

ul

ul

C ethU

eU

tU

tUth

Page 70: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

70

5.3.3 Proporcionalni član drugog reda (P2 – član)

Primjer: RLC krug

+

R

uC

uul

Ci

+

L

II Kirchoffov zakon za petlju sa slike RLC kruga:

ulCRL UidtC

Ridt

diLUUU

1

Uz dt

dUCi C

Pišemo:

ulCCC UU

dt

dURC

dt

UdLC

2

2

Napišimo prijelazno rješenje iz homogene DJ uz pretpostavku da je općeniti izraz za napon na

kondenzatoru:

t

C KeU 012 RCLCKe t

budući je 0tKe izraz u zagradi mora biti identiĉno jednak nuli -> dobije se karakteristiĉna

jednadţba ĉiji su korijeni:

LCL

R

L

R 1

42 2

2

2,1

pa je prijelazno rješenje:

tt

C eKeKUKF

21

21

,

a rješenje ustaljenog stanja je:

ulC UUPI

jer se za t kondenzator konaĉno nabije na napon Uul.

Page 71: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

71

Konstante integracije odredimo iz poĉetnih uvjeta ( 0//,0 CidtdUU CC

ako ni C ni L ne sadrţe pohranjenu energiju prije t = 0).

Poĉetni uvjeti se uvrste u opće rješenje i njegovu derivaciju (2 jednadţbe s 2 nepoznanice):

021

21 ul

tt

CCC UeKeKUUUPIKF

(1)

021

2211 ttC eKeK

dt

dU (2)

uz t = 0 dobije se:

21

12

21

21

2211

21

0

0

ul

ulul

UK

UK

KK

UKK

Uvrstimo konstante u opću jednadţbu i sredimo:

21

1221

1

tt

ulCCC

eeUUUU

PIKF (*)

Tri su karakteristiĉna sluĉaja za rješenje ovog problema, a ovise o izrazu pod korijenom:

LCL

R

L

R 1

42 2

2

2,1 .

1. slučaj: LCL

R 1

4 2

2

rješenje su konjugirano kompleksni korijeni.

Faktor prigušenja

Prigušena vlastita frekvencija sustava

Ovo uvrstimo u jednadţbu (*) pa dobijemo:

tjt

p

ptjt

p

p

ulCpp ee

j

jee

j

jUU

221 .

Nadalje, uz primjenu Eulerovih formula (2

cos,2

sintjtjtjtj ee

tj

eet

) dobijemo:

tteUU pp

p

t

ulC

cossin1

2

2

2,1

4

1

2

L

R

LC

L

R

j

p

p

Page 72: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

72

Veliĉina Uc se pribliţava novom stacionarnom stanju uz prigušeno osciliranje. Kada je R = 0,

faktor prigušenja = 0 pa se javljaju oscilacije s neprigušenom vlastitom frekvencijom:

LCN

1 .

2. slučaj: LCL

R 1

4 2

2

rješenje realni i razliĉiti korijeni.

LCL

R

L

R 1

42'

2

2

2,1 .

Opće rješenje (*) je za ovaj sluĉaj:

tttt

ulC eeeeUU ''

'2

'

'2

'1

koristeći hiperbolne funkcije (2

',2

''''' tttt ee

tchee

tsh

) dobijemo:

tchtsheUU t

ulC '''

1

Ovo je aperiodski odziv ( izlazna funkcija se nakon poremećaja monotono pribliţava novoj

vrijednosti ustaljenog stanja).

3. slučaj: LCL

R 1

4 2

2

rješenje realni i jednaki korijeni 2,1 .

Budući da moramo imati dvije konstante integracije K1 i K2, rješenje pišemo općenito:

ul

tt

C UteKeKU 21

a derivacija je:

tttC eKteKeKdt

dU 221

uz t =0 i 0dt

UdU C

C dobijemo: ulul UKUK 21 , pa je: teUU t

ulC 11 .

Ovo je granični aperiodični slučaj (izlazna funkcija se nakon poremećaja najbrţe aperiodiĉno

pribliţava novom stacionarnom stanju).

Page 73: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

73

Definirajmo omjer n

kao stupanj prigušenja.

Vrijede sljedeće tvrdnje:

0

0

10

1

1

Razmotrimo prigušeni oscilacijski sluĉaj na primjeru općenite DJ drugog reda:

)(0012

2

2 tubyadt

dya

dt

yda

Pa umjesto koeficijenata a1, a2 i b0 napišimo izraz:

)(21

2

2

2tuKy

dt

dy

dt

ydp

nn

Koji po obliku odgovara zapisu RLC kruga:

ulCCC UU

dt

dURC

dt

UdLC

2

2

Stoga je i rješenje oblika :

tteUU pp

p

t

ulC

cossin1

Odnosno

tteKty nn

t

pn 22

21cos1sin

11)(

.

Sustav je, dakle, opisan sa i n .

Uz pomoć trigonometrijske relacije: sinsincoscossin , dobit ćemo :

te

Kty n

t

p

n

2

21sin

11)(

gdje je fazni pomak arccos .

Page 74: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

74

Ovu funkciju moţemo prikazati na tzv. normiranom dijagramu (na apscisi je normirano

vrijeme tn , na ordinati normirana amplituda y/Kp, a parametar koji se mijenja je stupanj

prigušenja .

Slika: Proporcionalni član drugog reda (P2 – član) - normirani dijagram prijelazne funkcije)

Frekvencija osciliranja (prigušena vlastita frekvencija sustava) moţe se prikazati:

222

2

2

14

1 nnp

L

R

LC

Oĉigledno, za veći imat ćemo manju vrijednost p . Prvi maksimum krivulje – nadvišenje

izraĉunavamo deriviranjem y(t) u vremenu i izjednaĉimo sa nulom (raĉunamo ekstrem

funkcije):

01cos1

11sin1

)( 2

2

22

2

te

te

Kdt

tdyn

t

nn

t

np

nn

.

Nakon skraćivanja izraza i dijeljenja sa tn

21cos dobijemo:

Page 75: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

75

22 1

1

ttg n

a uz /1arccos;arccos 2 tg dobijemo:

tgttg n 21

što je je zadovoljeno samo za:

,...2,1,01 2 kktn

Budući nas zanima prvi maksimum (k=1):

21

n

pTt

Uvrstimo t = Tp u

tteKty nn

t

pn 22

21cos1sin

11)(

pa dobijemo

normiranu vršnu vrijednost :

arccossin1

11

)( 21

2

e

K

Ty

p

p

uz : 21arccossin konaĉni izraz za normiranu vršnu vrijednost glasi:

211

)(

eK

Ty

p

p

Postotno nadvišenje Mp [%] je razlika izmeĊu vršne vrijednosti i vrijednosti ustaljenog stanja

izraţena u postotcima:

1001001)(

%21

eK

TyM

p

p

p (Ovisi samo o stupnju prigušenja!)

5.3.4 Integracijski član

Tipiĉan integracijski ĉlan je istosmjerni motor (slika)

Page 76: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

76

Slika:

Shematski prikaz istosmjernog

motora

Uz konstantnu struju magnetskog polja Im = konst. napon Ua je je razmjeran kutnoj brzini

osovine ω. Izraz za kutnu derivacija kuta po vremenu je:

aiUKdt

d

pa je odnos izmeĊu odziva Φ i pobude Ua: dtUK ai

Prijelazna funkcija opisanog integracijskog ĉlana (I0 – ĉlan) je općenito:

)(

)()(

tu

tyth a uz )(ty i )(tuUa : tK

tu

dttuKth i

i

)(

)()( .

što je grafiĉki prikazano na slici:

Slika:

Uzbuda i odziv

integracijskog I0 - člana

Prikazan je idealni elektromotor, bez zakašnjenja. Ako uzmemo u obzir zakašnjenje zbog

mase, trenja, induktivnosti, … - potrebni su novi derivacijski ĉlanovi za opis sustava.

Integracijski I1 – ĉlan : jednostavan sluĉaj kada se javlja samo jedan dodatan ĉlan:

dtUKydt

dyT ai

Uz poĉetne uvjete:

.0;0,0 dt

dyyt

Deriviranjem prethodnog izraza dobijemo:

Page 77: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

77

aiUKdt

dy

dt

ydT

2

2

pa uz supstituciju dt

dyy ' i jediniĉni odskok na ulazu imamo:

)(''

tuKydt

dyT i

Rješenje jednadţbe je tada:

Tt

i eKy /1'

Vratimo izvornu varijablu y:

Tt

ii

tT

i

t

o

eKTtKTeKdyy /

0

/)('

Grafiĉki prikaz odziva odnosno prijelazna funkcija I1 – ĉlana gornjeg izraza:

5.3.5 Derivacijski član

Elektriĉki generator posebne izvedbe tzv. tahogenerator uzima se kao primjer derivacijskog

ĉlana. Uz konstantnu struju magnetskog polja Im brzina rotacije dt

d je razmjerna

izlaznom naponu Ua : dt

dKU da

.

Page 78: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

78

Slika: tahogenerator

Odskoĉni zakret osovine za neki kut uzrokuje nagli naponski impuls na izlazu, koji pada na

nulu kad se osovina zaustavi. Prijelazna funkcija ovakvog D0 derivacijskog ĉlana je teoretski:

00

0

00

)(

)()(

t

t

t

tu

tyth

Slika: Prijelazna funkcija

D0 člana

Uzmimo u obzir kašnjenje prvog reda zbog mase, trenja i induktivnosti – derivacijski D1 –

ĉlan:

dt

dxKy

dt

dyT d

Partikularni integral je nula jer je dx/dt=δ(t), dakle Diracova funkcija koja nestaje u t=0+. Kao

rješenje ostaje TtKey / .

Konstantu integracije odreĊujemo iz poĉetnih uvjeta:

xKydtTy d

za t=0+, Ty i Kdx su konaĉne vrijednosti, a integral ydt je 0. Uz x(0

+)=1 slijedi iz

T

Ky d0 .

Prijelazna funkcija D1 derivacijskog

ĉlana je dakle (slika):

Ttd eT

K

tu

tyth /

)(

)()(

Page 79: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

79

5.3.6 Član sa vremenskom zadrškom

Primjer ovakvog sustava je transportna traka za materijal.

Ovakve sustave ne moţemo opisati obiĉnim diferencijalnim jednadţbama već parcijalnim

jednadžbama ili, u jednostavnijim sluĉajevima, jednadžbama diferencija.

Slika: Primjer sustava sa vremenskom

zadrškom

Ako je M vrijeme potrebno da materijal preĊe put od x=0 do x=L i uz pretpostavku da sav

materijal doĊe na završetak trake pišemo izraz:

0,, MtqLtq

gdje je q koliĉina materijala.

S obzirom da poloţaj ne utjeĉe na q, moţemo pisati:

Mui tqtq

Slika: Ulazna i odzivna veličina transportnog sustava s vremenskom zadrškom

Uz ulaznu funkciju odskoĉnog tipa x=u(t) prijelazna funkcija M ĉlana će biti:

M

M

tza

tza

tu

tyth

1

0

)(

)()(

Page 80: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

80

5.3.7 Pregled osnovnih članova i njihovih vremenskih odziva na step

5.4 PID regulator

Posebno mjesto meĊu kontinuiranim regulatorima ima PID (proporcionalno – integracijsko –

derivacijski) regulator.

Njegov je znaĉaj u voĊenju sustava izuzetno velik, i u analognoj primjeni prošao je cijeli niz

verzija od pneumatskog, preko relejnog do tranzistorskog i integriranog.

5.4.1 Oblici PID regulatora

Osnovna jednadţba koja opisuje djelovanje PID regulatora je:

dt

tdeTdtte

TteKtu d

t

i

)()(

1)()(

0

Page 81: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

81

i sadrţi tri osnovne komponente – proporcionalnu, integracijsku i derivacijsku definirane

konstantama:

- K konstanta pojaĉanja,

- Ti vremenska konstanta integracijskog dijela, i

- Td vremenska konstanta derivacijskog dijela.

Prebacimo li ga u Laplaceovo podruĉje dobiti ćemo:

)()(

)()()(1

)()( sEsKs

sEKsEKsETssE

TssEKsUU did

i

5.4.2 Djelovanje PID regulatora

PID regulator nije ništa drugo nego gruba matematiĉka kopija postupka kojeg bi iskusni

ĉovjek operater koristio pri voĊenju.

Zamislimo primjer voĎenja broda. Kormilar promatra trenutni kurs i željeni kurs u kojem bi

brod trebao voziti. Na temelju njihove razlike (pogreške e(t)) on provodi upravljačku akciju –

zakret lista kormila (upravljanje u(t)) koje mu je obično proporcionalno s iznosom pogreške –

što je razlika izmeĎu željenog i stvarnog kursa veća to će više zakrenuti kormilo (P –

proporcionalno djelovanje). Upravljački signal proporcionalnog djelovanja u svakom

trenutku ovisi o trenutnoj vrijednosti pogreške pa je P djelovanje vezano sa sadašnjošću, s

onim što se sada dogaĎa. Dobar kormilar neće samo promatrati pogrešku kursa broda, on će

pratiti i što se s brodom dogaĎa tijekom mijenjanja kursa, on će pamtiti prošlost pogreške.

Zašto?

Zato da bi kod odreĎivanja upravljačkog signala uzeo u obzir i cijeli tijek mijenjanja

pogreške. Kormilar prati što se dogaĎa u prošlosti pogreške, a najgrublji matematički model

prošlosti je integral. Dakle I – integracijska komponenta na neki način modelira prošlost, a

kroz prošlost i iskustvo kormilara. Treći mogući način djelovanja je pokušati predvidjeti i

budućnost, pokušati predvidjeti što će se s pogreškom zbivati u budućnosti. Upravljački signal

se vezuje i s onim što će se u budućnosti dogoditi, a najjednostavniji matematički model

budućnosti je derivacija.

Zbog toga postoji i treća D – derivacijska konstanta koja na neki način modelira budućnost,

a kroz nju i intuiciju kormilara.

PID regulator je prema tome grubi matematiĉki model pokušaja da se kod odreĊivanja

upravljaĉke akcije uzme u obzir i sadašnjost (P – djelovanje) i prošlost (I – djelovanje) i

budućnost (D – djelovanje).

Upravljaĉki se signal formira ovisno o trenutnoj vrijednosti pogreške (P – djelovanje), ovisno

o tome kako se pogreška mijenjala u prošlosti (I – djelovanje) i ovisno o tome kakav je

trenutni trend porasta pogreške (D-djelovanje).

Ne smijemo zaboraviti da kod PID regulatora sva tri dijela djeluje istovremeno, pa je

upravljaĉka akcija rezultata njihovog zajedniĉkog djelovanja.

Utjecaji proporcionalnog, integracijskog i derivacijskog dijela PID regulatora mogu se

promatrati i u odnosu na specifikacije vremenskog odziva zatvorenog regulacijskog sustava.

Page 82: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

82

Slika: Djelovanje PID regulatora

Proporcionalni član djeluje na vrijeme porasta, ali se njegovim povećanjem ne moţe ukloniti

pogreška ustaljenog stanja.

Integracijski član djeluje na smanjenje pogreške ustaljenog stanja, ali moţe pogoršati

dinamiĉka svojstva sustava (usporiti sustav).

Derivacijski dio utjeĉe na povećanje stabilnosti sustava, smanjuje prebaĉaj i poboljšava

karakteristike prijelaznog dijela odziva.

6. Sustavi prvog i drugog reda

6.1 Sustavi prvog reda

Sustavi prvog reda su sustavi koji se mogu opisati diferencijalnom jednadţbom prvog reda.

gdje je

y(t) izlaz, a x(t) ulaz sustava

K – pojaĉanje sustava

T – vremenska konstanta sustava

U Laplaceovom podruĉju pišemo:

Slika: Sustav prvog reda

)()()( txKtytydt

dT

1)(

)()(

)(1)(

)()()(

sT

K

sX

sYsW

sXKsTsY

sXKsYsYsT

Page 83: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

83

Sada kada smo odredili prijenosnu funkciju, razmotrimo ponašanje sustava na tipiĉne

pobudne signale.

A. Neka je )()( ttx :

Tada kaţemo da je y(t) impulsni odziv (teţinska funkcija)

1)()()( sXttx

Izraĉunajmo odziv :

)()()()(

)()( sXsWsY

sX

sYsW

Ts

T

K

sT

KsWsY

1

1

1)()(

T

t

eT

Kty

)(

Gornji izraz još nazivamo i težinska funkcija. Grafiĉki prikaz odziva sustava prvog reda na

impulsnu pobudnu funkciju prikazan je na donjoj slici.

Slika: Odziv sustava prvog reda na impulsnu pobudnu funkciju. Odsječak T na vremenskoj osi

dobije se presjekom pravca – tangente krivulje za t = 0.

B. Neka je 1)()( tutx (jediniĉna odskoĉna funkcija)

Tada kaţemo da je y(t) vremenski odziv (prijelazna funkcija). Izraĉunajmo odziv i za ovaj

sluĉaj.

ssXtutx

1)(1)()(

)()()()(

)()( sXsWsY

sX

sYsW

T

t

eT

Kty

)(

Page 84: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

84

T

s

B

s

A

Tss

T

K

sTs

KsWsY

11

1

1)()(

Vrijednosti za A i B izraĉunajmo metodom ostatka.

K

Tss

T

K

TsBK

Tss

T

K

sA

Tss

1

0

1

1;

1

Ts

K

s

KsY

1)(

Sada primijenimo inverznu Laplaceovu transformaciju i napišimo odziv u vremenskom

podruĉju:

T

t

T

t

eKeKKty 1)(

Grafiĉki prikaz odziva sustava prvog reda na jediniĉnu odskoĉnu funkciju prikazan je na

donjoj slici.

Slika: Odziv sustava prvog reda na jediničnu odskočnu funkciju.

Promotrimo 2 sluĉaja:

1) K = konst., T1 < T2 < T3

T

t

T

t

eKeKKty 1)(

Page 85: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

85

Grafiĉki prikaz odziva uz gornji uvjet prikazan je na donjoj slici.

Slika:

K = konst., T1 < T2 < T3

Vrijeme kašnjenja – tD: vrijeme

potrebno odzivu da poprimi 50%

vrijednosti ustaljenog stanja

Vrijeme porasta – tR: vrijeme potrebno

odzivu da poprimi 90% ustaljenog

stanja

2) T = konst. , K1 < K2 < K3

Grafiĉki prikaz odziva uz gornji uvjet

prikazan je na slici desno.

Slika:

T = konst. , K1 < K2 < K3

- Vremena kašnjenja su jednaka

- Vremena porasta su jednaka

Razmotrimo polove prijenosne funkcije sustava prvog reda:

Ts

Ts

Ts

T

K

sW1

01

1)(

Slika: Za sustav 1. reda pol je stabilan jer mu se položaj nalazi na lijevoj strani kompleksne

ravnine.

Page 86: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

86

Primjer:

Automobil mase M se giba po cesti.

v je horizontalna brzina automobila

F sila koju stvara motor.

b je koeficijent prigušenja za automobil,

(ovisi o otporu vjetra, trenju kotaĉa, itd.)

Postavimo jednadţbu:

)()()( tvbtFtaM

Kako znamo da je dt

dva , moţemo pisati:

)()()(

tvbtFdt

tdvM

U Laplaceovom podruĉju pišemo:

)()()( sVbsFsVsM

Dakle, ulaz je sila motora - F(s), a izlaz brzina automobila - V(s). Napišimo prijenosnu

funkciju:

1/

/11

)(

)()(

)()()(

)()()(

sbM

b

bsMsF

sVsW

bsMsVsF

sVbsVsMsF

Dakle, ponašanje ovog sustava moţe se opisati prijenosnom funkcijom prvog reda (K = 1/b ;

T = M/b).

6.2 Sustavi drugog reda

Sustavi drugog reda su zanimljivi iz sljedećih razloga:

1) Matematiĉki ih je lako opisati

• u vremenskom podruĉju radi se o diferencijalnoj jednadţbi 2. reda

• u Laplaceovom podruĉju opisuju se obiĉnom kvadratnom jednadţbom

2) Svi sustavi u prirodi mogu se opisati sustavom drugog reda

3) Svi sustavi višeg reda mogu se dovoljno dobro aproksimirati sustavom drugog reda

4) Sustav 1. reda samo je specifiĉni oblik sustava 2.reda

Opisuju se diferencijalnom jednadţbom drugog reda. U vremenskom podruĉju, standardni

oblik jednadţbe sustava drugog reda je:

Page 87: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

87

)()()(2

)(1

2

2

2txKtyty

dt

dty

dt

d

nn

gdje je

K - istosmjerno pojaĉanje sustava (odreĊuje amplitudu odziva ustaljenog stanja )

- stupanj prigušenja (zeta) (odreĊuje koliko će biti oscilacija u odzivu)

n - neprigušena vlastita frekvencija (odreĊuje brzinu osciliranja)

Gornju diferencijalnu jednadţbu prebacimo u Laplaceovo podruĉje:

)(121

)(

)()()(2

)(1

2

2

2

2

sXKsssY

sXKsYsYssYs

nn

nn

22

2

2

2

21

21)(

)()(

nn

n

nn

ss

K

ss

K

sX

sYsW

Za K = 1 imamo standarni zapis sustava drugog reda:

22

2

2)(

)()(

nn

n

sssX

sYsW

gdje je

- stupanj prigušenja (zeta)

n - neprigušena vlastita frekvencija

Kako će biti vidljivo iz izlaganja, stupanj prigušenja zapravo odreĊuje koliko će biti oscilacija

u odzivu dok neprigušena vlastita frekvencija odreĊuje brzinu osciliranja. Sada izraĉunajmo

polove prijenosne funkcije :

02 22 nn ss

2

122

2

442

2

2,1

222

2,1

nn

nnn

js

s

pnn jjs 2

2,1 1

Page 88: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

88

gdje je n faktor prigušenja, a pn 21 tzv. prigušena vlastita frekvencija.

Oĉito, mogući su razliĉiti tipovi rješenja odnosno polova zavisno o vrijednosti stupnja

prigušenja i neprigušenoj vlastitoj frekvenciji.

1. Slučaj :

10 - polovi su konjugirano kompleksni par (slika)

2

2,1 1 nn js - u ovom sluĉaju pod korijenom imamo pozitivan realni broj.

Slika:

10 - polovi su konjugirano kompleksni par

cos (Sustav je stabilan!)

Neka je ulazni signal x(t) = u(t) = 1

)()()()( 1 tsXsWLty

)(

2)(

22

21 t

sssLty

nn

n

Koristeći tablice, prebacimo izraz u vremensko podruĉje. Koristimo redak

22sin

aste at iz tablica pretvorbe.

arccos1sin1

1)( 2

2

te

ty n

tn

Dakle, uz x(t) = u(t) = 1 imamo odziv prikazan na donjoj. Radi se o prigušenom

oscilirajućem odzivu.

Slika: Prigušeni oscilirajući odziv

sustava drugog reda na impulsnu

pobudu i uz 10 .

Mp – maksimalni postotni prebaĉaj:

razlika vršne i stacionarne vrijednosti

(najĉešće izraţen u % ustaljenog

stanja).

Tp – vrijeme prvog prebaĉaja.

tS – vrijeme smirivanja (vrijeme

potrebno oscilacijama da uĊu unutar

nekih unaprijed dogovorenih granica

+/-5% vrijednosti ustaljenog stanja.

tD – vrijeme kašnjenja ; tR – vrijeme

porasta

Page 89: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

89

Maksimalni postotni prebaĉaj Mp i vrijeme prvog prebaĉaja Tp izraĉunavamo kao klasiĉni

maksimum funkcije: 0dt

dy

222

2

1101sin

11)(

ttgdt

dyt

ety nn

tn

Ova jednakost vrijedi za

,...3,2,1,01 2 nntn

Za n = 1:

Pn

pTt

21

%10021

eM p

Moguće je izraĉunati i druge karakteristiĉne veliĉine. Ovde su konaĉni izrazi:

n

St

05.0ln

n

Dt

7.01

Vrijeme porasta Rt izraĉunavamo izjednaĉavajući y(t) sa 0.9. Grafiĉki prikazi mjera kvalitete

u ovisnosti o stupnju prigušenja dani su na sljedećim slikama.

Slika: Grafički prikazi mjera kvalitete u ovisnosti o stupnju prigušenja.

%10021

eM pPn

pTt

21

n

St

05.0ln

21 np

Page 90: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

90

Nastavimo razmatranje odziva uz 10 . Promotrimo izraz

22

2

2)(

)()(

nn

n

sssX

sYsW

te ispitajmo ponašanje zavisno o promjenama parametara i n . Rezultati su prikazani na

donjim slikama.

Slika:

.konstn

321

321

321

PPP

PPP

TTT

MMM

Najmanjoj vrijednosti

prigušenja odgovara najveći

prebačaj i najmanje vrijeme

prebačaja

Slika: .konst ; 321 nnn ; 321 PPP MMM ; 321 PPP TTT ;

nn

p

konstT

21

Najvećoj neprigušenoj vlastitoj frekvenciji odgovara najmanje vrijeme 1. prebaĉaja

Page 91: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

91

2. Slučaj :

0 - sustav je na granici stabilnosti (slika)

U ovom sluĉaju, polovi prijenosne funkcije sustava drugog reda se nalaze na imaginarnoj osi.

nnn jsjs 2,1

2

2,1 1

Slika: Polovi i odziv sustava za 0 . Odziv sustava je neprigušen i oscilirajući.

3. Slučaj :

1 - sustav je stabilan (slika dole).

nnn sjs 2,1

2

2,1 1

Slika: Polovi i odziv sustava za 1 . Oba pola su na lijevoj strani kompleksne ravnine.

Sustav ima graničan aperiodski odziv.

tty

M

n

p

cos1)(

%100

tety

T

eM

n

t

n

p

p

n

11)(

1

0%100

2

1 2

Page 92: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

92

4. Slučaj :

1 - sustav je stabilan (slika dole).

2

2,1 1 nn js

Slika: Polovi i odziv sustava za 1 . Oba pola su na lijevoj strani kompleksne ravnine. Ne

postoji maksimalni prebačaj ni vrijeme 1. prebačaja (pod korijenom je negativni broj).

Sustav ima aperiodski odziv.

Odziv sustava: vrijeme kašnjenja i vrijeme porasta za sluĉaj 1 je veće od tih vremena

kada je 1 .

212

21

121)(

s

e

s

ety

tsts

n

Page 93: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

93

5. Slučaj :

0 - sustav je nestabilan (slika dole). Moguća su tri rasporeda polova o kojem ovisi i oblik

odziva sustava.

2

2,1 1 nn js

a)

b)

Slika: Polovi i odziv sustava za 0 . Oba pola su na desnoj strani kompleksne ravnine. Za

slučaj a) sustav ima raspireni oscilirajući odziv dok slučaj b) nastupa za vrijednosti 1 .

Page 94: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

94

7. Analiza sustava u frekvencijskom području

7.1 Uvod

Uz standardne prijelazne funkcije za ispitivanje linearnih vremenski nepromjenjivih sustava

najĉešće se koristi sinusna funkcija.

Metoda ispitivanja sinusnom funkcijom – metoda prisilnih oscilacija.

Ako na ulaz linearnog, vremenski nepromjenjivog sustava dovedemo sinusnu funkciju:

tXx sin

na izlazu će se nakon prijelaznog razdoblja pojaviti sinusni signal iste frekvencije, ali

općenito razliĉite amplitude i s faznim pomakom u odnosu na ulaznu funkciju:

tYy sin

Slika: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika

Analiza u frekvencijskom podruĉju predstavlja ispitivanje promjena amplitude i faznog

pomaka kod različitih frekvencija. Kod Laplaceove transformacije smo imali: d/dt → s, gdje

je s = σ+jω. Kod sinusne pobude konstantne frekvencije i amplitude nema prigušenja dakle,

uz σ = 0 pa moţemo pisati: s = jω .

Napišimo sinusnu prijenosnu funkciju:

je

X

Y

jx

jyjWsW

)(

)()()(

Prijenosna funkcija se sastoji iz realnog i imaginarnog dijela:

j

jseMjIRsW

)(

Apsolutna vrijednost ili modul prijenosne funkcije je apsolutna vrijednost odnosa amplituda

verzora:

22)(

IRsWM

js

Fazni kut ili faza prijenosne funkcije jednaka je:

Page 95: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

95

R

IarctgsW

js

)(arg

Slika: Kompleksna ravnina: modul (M) i fazni zakret prijenosne funkcije (Φ).

Grafiĉki prikaz se sastoji u prikazivanju amplitude i faze sinusne prijenosne funkcije W(s)s=jω

tj. W(jω) u ovisnosti o frekvenciji ω kao nezavisnoj varijabli (Slika 50).

Za grafiĉku analizu ponašanja sustava na sinusnu ulaznu funkciju (prikazujemo sinusnu

prijenosnu funkciju W(jω)) moţemo koristiti razliĉite postupke.

Najĉešći :

Nyquistov dijagram

Bodeovi dijagrami

Slika: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika

Page 96: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

96

7.2 Polarni i Nyquistovi dijagrami

Polarni dijagram predstavlja prikaz prijenosne funkcije sustava W(s) u kompleksnoj ravnini

( se mijenja u intervalu od 0 do ).

Nyquist-ov dijagram predstavlja proširenje polarnog dijagrama prijenosne funkcije W(s) za

frekvencijski opseg . Ako se polarnom dijagramu nacrta simetriĉna slika

obzirom na realnu os, dobije se tzv. Nyquistov dijagram.

Slika: Prikaz amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike u kompleksnoj ravnini: polarni

dijagram (hodograf frekvencija).

Primjer 1.

Nacrtajte polarni dijagram sustava ĉija je prijenosna funkcija: 2

2)(

ssW

js

2

2)(

jjW

24

2)(

jW

nazivnikabrojnika

22

0 arctgarctg

2

arctg

Sada u tablici izraĉunajmo vrijednosti modula i faznog zakreta za odabrane diskretne

vrijednosti frekvencije ω:

ω 0 0.5 1 2 5 10 ∞

1 0,97 0,89 0,107 0,37 0,2 0

0 -14 -26 -45 -68 -78 -90

Page 97: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

97

= 0

Im

Re= 0.5

= 1= 10

Vrijednosti izraĉunate u tablici moţemo prikazati na dva naĉina (slika dole).

c) b)

Slika: Grafički prikaz: a) Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika; b) gore - polarni

dijagram (vrhovi spojeni krivuljom, označi se smjer rasta frekvencije); dole – Nyquistov

dijagram (takoĎer označen smjer rasta frekvencije)

Drugi naĉin crtanja Nyquistovog dijagrama prijenosne funkcije sustava iz primjera primjera je

preko realnog i imaginarnog dijela prijenosne funkcije, a ne modula i faznog zakreta.

4

2

4

4

2

2

2

2)(

22

jj

j

jjW

js

Sada u tablicu upisujemo izraĉunate vrijednosti realnog i imaginarnog dijela za odabrane

frekvencije:

ω 0 2 … ∞

Re 1 1/2 0

Im 0 -1/2 0

= 0

Im

Re= 0.5

= 1= 10

Page 98: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

98

7.2.1 Nyquistov polarni dijagram složenih prijenosnih funkcija

Sustavi, odnosno njihovi sastavni dijelovi mogu se opisati prijenosnim funkcijama razliĉitih

vrsti i redova. Vrsta sustava ovisi o broju polova u ishodištu tj. sustav 0. vrsti nema polova u

ishodištu, sustav 1. vrsti ima jedan pol u ishodištu itd.

Razmotrit ćemo kvalitativno crtanje Nyquistovih polarnih dijagrama za niz tipiĉnih

prijenosnih funkcija 0, 1. i 2. vrsti te 1, 2, 3. i 4. reda:

0. vrst. 1. red: as

KsW

')(

0. vrst. 2. red: bsas

KsW

')(

0. vrst. 3. red: csbsas

KsW

')(

0. vrst. 4. red: dscsbsas

KsW

')(

Zajedniĉka osobina svih sustava 0. vrsti je da im je izvorište Nyquistovog polarnog

sustava negdje na realnoj osi. Ovo se lako dokaţe uvrštavajući s = 0 u prethodne

jednadţbe.

Svaki ĉlan prvog reda u nazivniku prijenosne funkcije za js dosegne fazu od

-90°. Posljedica: prijenosna funkcija prvog reda za js imati će ponorište

Nyquistovog dijagrama u ishodištu, ali tako da dijagram tangira -90° os. Nyquistov

dijagram prijenosne funkcije drugog reda završavat će takoĊer u ishodištu tangirajući

-180° os itd…

Primjeri:

-1 -0.5 0 0.5-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

2

1)(

ssW

Page 99: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

99

-1 -0.5 0 0.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

21

1)(

sssW

321

1)(

ssssW

Page 100: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

100

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Razmotrimo sustave 1. vrsti:

1. vrst 2. red: ass

KsW

')(

1. vrst 3. red: bsass

KsW

')(

1. vrst 4. red: csbsass

KsW

')(

Zbog slobodnog s u nazivniku, svi Nyquistovi dijagrami sustava 1. vrsti poĉinju s fazom

-90°. Dakle, izvorište im je u “-Re”, “-Im” kvadrantu. O ponorištu donosimo zakljuĉak na

temelju reda prijenosne funkcije kao i kod sustava 0. vrsti.

Primjeri:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

)1(111

1)(

sssssW

11

)(

ss

sW

Page 101: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

101

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

21

1)(

ssssW

-0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

321

1)(

sssssW

Page 102: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

102

-250 -200 -150 -100 -50 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Nyquistovi polarni dijagrami za sustave 2. vrsti (3. i 4. reda).

2. vrst 3. red: ass

KsW

2

')(

2. vrst 4. red: bsass

KsW

2

')(

Primjeri:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

11

)(2

ss

sW

Page 103: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

103

-200 -150 -100 -50 0 50-15

-10

-5

0

5

10

15

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Primjer:

Nacrtaj Nyquistov dijagram prijenosne funkcije: 12

2)(

2

sssW

Prijenosna funkcija je 0. vrste, 2. reda. Dakle, poĉetak grafa je na realnoj osi, ponorište u

ishodištu uz tangiranje realne osi pod kutem -180°.

s = jω:

21

2

12

2)(

22 jjsW

222222

2

41

4

41

12)(

jsW

ω 0 0.5 1 5 ∞

Re W(jω) 2 0.96 0 -0.071 0

Im W(jω) 0 -1.28 -1 -0.029 0

Pa je Nyquistov dijagram:

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

21

1)(

2

ssssW

Page 104: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

104

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Page 105: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

105

7.3 Bodeovi dijagrami

Bodeovi dijagrami su metoda aproksimacijskog crtanja amplitudne i fazne frekvencijske

karakteristike sloţenih sustava.

Da bi se ovom metodom nacrtale amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika potrebno je

poznavati amplitudnu i faznu frekvencijsku karakteristiku za 7 osnovnih tipova prijenosnih

funkcija.

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 1:

KsW )(1

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 2:

,...3,2,1

,1

)(2

n

ssW

n

Page 106: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

106

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 3:

,...3,2,1

,)(3

n

ssW n

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 4:

1

1)(4

TssW

L - lomna frekvencija

TL

1

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 5:

1)(5 TssW

L - lomna frekvencija

TL

1

-1 dogovor

+1

Page 107: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

107

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 6:

nL

nn

n

T

sssW

Ts

Ts

T

TssTsW

1

2)(

12

1

12

1)(

22

2

6

2

2

2

226

Slika:

Amplitudna i fazna

frekvencijska karakteristika

osnovnih tipova

prijenosnih funkcija

Tip 7:

T

TssTsW

L

1

12)( 22

7

dogovor

-2

+2

Page 108: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

108

7.3.1 Osnovna ideja crtanja Bodeovih dijagrama

Općenito prijenosnu funkciju moţemo napisati pomoću sljedećeg izraza:

n

m

j

n

j

i

m

i

pspspszszszsK

ps

zsKsW

1...

11...)(

21

21

1

1

)(...)(...)()(

......)(

1

21

jWjWjWKjW

WWWWKsW

nmm

nmm

jj

nm

jjeWeWeWeWKjW nm

......)( 21

21

Dakle, moţemo posebno pisati :

nmWWWKW ...21

mn ...21

Ako izraz (21) logaritmiramo onda dobijemo:

nmWWWKW log...loglogloglog 21

i dalje, sve pomnoţimo sa 20:

nmWWWKW log20...log20log20log20log20 21

Odnosno, u decibelima

dBWWWKW nm ...21

Page 109: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

109

7.3.2 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 1. reda

Prisjetimo se sustava prvog reda:

Uz K = 1, imamo sljedeću prijenosnu funkciju:

TTssW L

1,

1

1)(

Grafiĉki prikaz amplitudne frekvencijske karakteristike ovog sustava prikazan je na donjoj

slici. Maksimalno odstupanje Bodeove aproksimacije i stvarne karakteristike je 3 db.

Slika: Amplitudna frekvencijska karakteristika sustava 1. reda.

TTssW L

1,

1

1)(

Analizirajmo karakteristiku:

1

1

1

1)(

L

jTj

jW

js

2

1

1)(

L

jW

1. sluĉaj: L

1jW

Nakon logaritmiranja i mnoţenja sa 20:

Page 110: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

110

0dBjW dBW 00

2. sluĉaj: L

2

2

2

1W

Nakon logaritmiranja i mnoţenja sa 20:

3dBW

3. sluĉaj: L

LjW

Nakon logaritmiranja i mnoţenja sa 20:

log20log20 LdBW

Gornji izraz deriviramo po log

logd

d pa za nagib pravca dobijemo

20k

Slika: Fazna frekvencijska karakteristika sustava 1. reda.

TTssW L

1,

1

1)(

Page 111: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

111

Analizirajmo i faznu frekvencijsku karakteristiku prikazane na prethodoj slici:

1

1

L

j

jW

L

L

nazivnikbrojnik

arctg

arctgarctg

1

0

1. sluĉaj: L

00

L

2. sluĉaj: L

451arctg

3. sluĉaj: L

90

L

Page 112: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

112

7.3.3 Amplitudna i fazna karakteristika sustava 2. reda

Prijenosna karakteristika sustava 2. reda (donje slike):

nLTTssT

sW

1

,12

122

LL

j

jW

TjTjW

js

21

1

12

1

2

22

2

2

22

2

41

1

21

1

LLLL

jW

j

jW

Derivirajmo gornji izraz i izjednaĉimo ga s nulom kako bi odredili frekvenciju na kojoj

nastupa maksimalni modul:

2

max 210

nd

Wd

707.02

2021 2

707.0 Nemamo prebaĉaj

707.0 Maksimum postoji

2

max

12

1

W

WL ,0

Sada analiziramo i faznu frekvencijsku karakteristiku:

Slika: Amplitudna frekvencijska

karakteristika sustava 2. reda.

Page 113: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

113

2

1

2

L

Lnazivnikbrojnik arctg

Slika:

Slika: Fazna frekvencijska

karakteristika sustava 2. reda.

12

1)(

2

nn

sssW

Page 114: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

114

8. Stabilnost sustava

Definicije stabilnosti:

“Linearni regulacijski sustav je stabilan, ako je njegov odziv na ograničenu pobudu

takoĎer ograničen.”

“Linearni regulacijski sustav je stabilan, ako mu odziv na impulsnu pobudu teži k nuli

kad vrijeme teži k beskonačnosti.”

Pri razmatranju stabilnosti sustava uvodimo i pojam relativne stabilnosti, koja daje

informaciju o stupnju stabilnosti sustava. Općenito razlikujemo statiĉku i dinamiĉku

nestabilnost. Statička nestabilnost izaziva monotoni porast (Moţe se lako eliminirati -> nije

zanimljiva.). Dinamička nestabilnost nastaje u sustavima koji imaju takve parametre da

dolazi do osciliranja na odreĊenim frekvencijama.

Potrebno je naglasiti da je stabilnost znaĉajka samog sustava tj. ona ne ovisi o pobudnoj

funkciji. Ako je poznata prijenosna funkcija sustava, ili njegova diferencijalna jednadţba, tada

se problem stabilnosti svodi na rješavanje karakteristične jednadžbe zatvorene petlje

(odnosno homogene diferencijalne jednadţbe). Karakteristiĉnu jednadţbu sustava dobijemo

kada nazivnik prijenosne funkcije zatvorene petlje izjednaĉimo sa nulom.

Moţemo kazati da je sustav stabilan ako vrijedi:

0lim

tyt

Sustav je na granici stabilnosti ako je:

.lim konsttyt

Sustav je nestabilan ako je:

tytlim

Slika 8.1.

Impulsna funkcija na ulazu stabilnog sustava daje odziv 0lim

tyt

O stabilnosti sustava moţemo zakljuĉivati temeljem eksperimentalno dobivenih rezultata ili

temeljem analize njegove prijenosne funkcije.

Page 115: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

115

Slika 8.3.

Raspored polova sustava iz

primjera B (lijevo)

1) Ispitivanje stabilnosti sustava eksperimentalnim putem

Kod eksperimentalnog ispitivanja stabilnosti sustava potrebno je pobuditi sustav nekom od

standardnih pobuda.

Pritom vrijedi:

1) Sustav je STABILAN ako je njegov odziv na ograničenu pobudu takoĊer

ograničen 2) Sustav je STABILAN ako njegov odziv na impulsnu pobudu teţi nuli

2) Ispitivanje stabilnosti sustava opisanog prijenosnom funkcijom

Ukoliko nam sustav nije dostupan već je opisan sa prijenosnom funkcijom o stabilnosti

zakljuĉujemo temeljem poloţaja polova tog sustava u kompleksnoj ravnini.

Ispitivanje stabilnosti sustava opisanog prijenosnom funkcijom (primjeri)

A) )(

)(1)(

sX

sY

ssW

)()(1)( ttxsX

tetys

sY

)(1

)(

0)(lim

tyt

Dakle, sustav je stabilan (polovi su realni i negativni).

Slika 8.2.

Raspored polova sustava iz primjera A (lijevo) i njegov odziv na impulsnu funkciju (desno)

B) )(

)(1)(

sX

sY

ssW

)()(1)( ttxsX

1)(1

)( tys

sY

1)(lim

tyt

Dakle, sustav je na granici stabilnosti (polovi su na

imaginarnoj osi).

Page 116: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

116

Slika 8.5.

Raspored polova sustava iz

primjera D (gore) te odziv

sustava (dole)

C) )(

)(1)(

sX

sY

ssW

)()(1)( ttxsX

tetys

sY

)(1

)(

)(lim tyt

Dakle, sustav je nestabilan (polovi su realni i pozitivni).

Slika 8.4.

Raspored polova sustava iz primjera C (lijevo) i njegov odziv na impulsnu funkciju (desno)

D) )(

)(1)(

sX

sY

jsjssW

)()(1)( ttxsX

)(

1)(

22sX

sjsjssY

22

1)(

ssY

22

1)(

ssY

tety t

sin1

)(

0)(lim

tyt

Dakle, sustav je stabilan (polovi imaju negativni realni

dio).

Page 117: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

117

Slika 8.6.

Raspored polova sustava iz

primjera E (lijevo) te odziv

sustava (desno)

Slika 8.7.

Raspored polova sustava iz primjera F (lijevo)

te odziv sustava (desno)

E) )(

)(1)(

sX

sY

jsjssW

)()(1)( ttxsX

22

22

1)(

1)(

ssY

ssW

tty

sin1

)(

Dakle, sustav je na granici stabilnosti (oscilator).

F) )(

)(11)(

22sX

sY

sjsjssW

)()(1)( ttxsX

22

1)(

ssY

tety t

sin1

)(

Dakle, sustav je nestabilan (raspirene

oscilacije).

Pregled svih šest sluĉajeva prikazan je na sljedećoj tablici:

A,D (Re < 0) STABILAN!

B, E (Re = 0) NA GRANICI!

C, F (Re > 0) NESTABILAN!

Iz navedenog slijedi osnovni uvjet stabilnosti sustava:

SVI POLOVI SUSTAVA SE MORAJU NALAZITI S LIJEVE STRANE KOMPLEKSNE

RAVNINE!

Page 118: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

118

DOMINANTNI POL (POLOVI) je onaj pol koji znatnije utjeĉe na konaĉni oblik odziva

sustava.

Za STABILNI sustav dominantni polovi su oni koji su bliţe imaginarnoj osi. Ukoliko postoje

polovi s pozitivnim realnim dijelom – onda su oni dominantni.

Slika 8.8.

Dominantni polovi.

Page 119: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

119

8.1 Kriteriji stabilnosti

Pregled kriterija stabilnosti dan je na slici 8.9.

KRITERIJI STABILNOSTI

Grafoanalitički kriteriji Analitički kriteriji

Bodeovkriterij

Nyquistovkriterij

Hurwitzovkriterij

Routhovkriterij

W (s) – prijenosna funkcija

otvorene petlje0 Karakteristična jednadžba

Slika 8.9.

Kriteriji stabilnosti.

Iz slike 8.9 se moţe uoĉiti kako grafoanalitiĉke metode kao polazište koriste prijenosnu

funkciju otvorene petlje sustava, a analitiĉki kriteriji stabilnosti koriste karakteristiĉnu

jednadţbu sustava. Vezu izmeĊu ovih pojmova i njihovo znaĉenje moţemo analizirati

koristeći sliku 8.10.

Slika 8.10.

Sustav s povratnom vezom.

Kako već znamo, prijenosna funkcija sustava sa slike 75 glasi:

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sX

sYsW

Tada je

)()()(0 sHsGsW - prijenosna funkcija otvorene petlje tog sustava

)()(1 sHsG = 0 – karakteristiĉna jednadţba

Page 120: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

120

8.2 Grafoanalitički kriteriji stabilnosti

8.2.1 Bodeov kriteriji stabilnosti

Bodeov kriterij stabilnosti: Sustav je stabilan ako aproksimacijska amplitudna karakteristika

prijenosne funkcije otvorene petlje presjeĉe frekvencijsku os prije nego fazna frekvencijska

karakteristika te iste funkcije presijeĉe os -180°.

Promatrajući odnos izmeĊu frekvencije kritiĉne amplitude I i frekvencije kritiĉne faze

moţemo zakljuĉiti o stabilnosti sustava:

1) I Stabilan sustav

2) I Sustav na granici stabilnosti

3) I Nestabilan sustav

Iz amplitudne i fazne karakteristike prijenosne funkcije otvorene petlje mogu se odrediti i tzv.

mjere stabilnosti (AMPLITUDNA i FAZNA PRIĈUVA). AP i FP nam govore koliko je

sustav daleko od granice stabilnosti.

Amplitudna priĉuva definirana je na frekvenciji kritiĉne faze i predstavlja udaljenost

amplitudnog dijagrama do frekvencijske osi (AP na slici 8.11).

Fazna priĉuva definirana je na frekvenciji kritiĉne amplitude i predstavlja udaljenost od osi -

180° do faznog dijagrama (FP na slici 8.11).

Amplitudna priĉuva i fazna priĉuva su uvijek ili obe pozitivne ili obe negativne.

Za stabilan sustav: AP [dB] > 0 (AP > 1 - Ako nije u dB); FP > 0

Za sustav na granici stabilnosti: AP [dB] = 0 (AP = 1 - Ako nije u dB); FP = 0

Slika 8.11.

Ilustracija Bodeovog kriterija

stabilnosti.

I - Frekvencija kritiĉne amplitude

- Frekvencija kritiĉne faze

I Sustav je stabilan!

Page 121: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

121

Za nestabilna sustav: AP [dB] < 0 (AP < 1 - Ako nije u dB); FP < 0.

Primjer nestabilnog sustava prikazan je na slici 8.12.

8.2.2 Nyquistov kriteriji stabilnosti

Matematiĉka osnova ovog kriterija je CAUCHY-ev TEOREM:

“Ako zatvorena krivulja u S ravnini obuhvaća Z - nula i P – polova neke funkcije, njezina

odgovarajuća preslikana krivulja u kompleksnoj ravnini obuhvaća ishodište N = Z – P puta.”

N – broj obilazaka krivulje oko ishodišta

Slika 8.12.

Ilustracija Bodeovog kriterija

stabilnosti na primjeru nestabilnog

sustava.

I Sustav je nestabilan!

0

)1(

0

FP

AP

dBAP

Slika 8.13.

PZN

PZ

polovanula

00 360360

.arg.arg

tj. preslikana krivulja

napravi (Z-P) okruţenja

ishodišta kompleksne

ravnine

Page 122: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

122

Slika 8.15.

Broj obilazaka ishodišta: N =-3 kada 1+GH ima 6 polova (P=6) i 3 nule (Z=3).

Nazivnik prijenosne funkcije zatvorenog kruga koji definira njegovu stabilnost glasi:

)(

)(

)(

)(1)(1)()(1

0

0sA

sA

sA

sBKsWsHsG z

gdje je Az(s) brojnik karakteristiĉne jednadţbe (nazivnika prijenosne funkcije zatvorenog

kruga), a A0(s) nazivnik k.j.

Prema Cauchyevu principu argumenta slijedi da će funkcija 1+W0(s) okruţiti ishodište Z-P

puta u smjeru obilaska krivulje koja se preslikava (smjer kazaljke sata), gdje je Z broj nula

polinoma Az(s) obuhvaćenih krivuljom (u desnoj poluravnini) i P- broj nula polinoma Ao(s)

obuhvaćenim krivuljom koja se preslikava.

Nyquist:

1. Nyquist proširuje konturu na ĉitavu desnu poluravninu

2. Krivulja koja se promatra pripada karakteristiĉnoj jednadţbi 1+GH=0 (nazivnik

prijenosne funkcije izjednaĉimo s nulom)

Da bi sustav bio stabilan dovoljno je pokazati da nijedna nula K.J. nije unutar

Nyquistove konture D, koja obuhvaća cijelu desnu poluravninu s-ravnine.

Nul toĉke karakteristiĉne jednadţbe polovi prijenosne funkcije sustava

PZN

PZ

polovanula

00 360360

.arg.arg

Slika 8.14.

Princip argumenata:

Ako 1+GH sadrţi Z nula i P polova

unutar D, dijagram 1+GH za s koji

se mijenjaju po konturi D u smjeru

kazaljke na satu obići će ishodište u

kompleksnoj ravnini Z-P puta

Page 123: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

123

Da bi sustav bio stabilan treba biti zadovoljeno Z = 0, odnosno N = -P.

Predznak za N: + u smjeru kretanja kazaljke na satu, - obratno od smjera

kretanja kazaljke na satu.

3. 1 + GH = 0

GH = -1

W0 = -1 + j0

Napomena: Treba primjetiti da se kod analize stabilnosti, zbog jednostavnosti, obično

preslikava funkcija W0(s) a ne 1+W0 (s), što ima za posljedicu da se stabilnost odreĎuje s

obzirom na broj okruženja točke -1 + j0 umjesto ishodišta.

Nyquistov kriterij stabilnosti:

“Sustav je stabilan ako polarna krivulja prijenosne funkcije otvorene petlje obiĎe kritičnu

točku -1 + j0 u smjeru suprotnom od kazalke na satu onoliko puta koliko ta prijenosna

funkcija otvorene petlje ima polova sa pozitivnim realnim dijelom (N=-P).”

Amplitudna i fazna priĉuva kod Nyquistovih dijagrama

Neka imamo sustav ĉija je prijenosna funkcija otvorene petlje:

bsass

KW

0

Obilaţenje dijagrama 1+GH oko ishodišta jednako je

obilaţenju GH tj. W0 oko toĉke -1, na negativnoj realnoj osi.

Slika 81.

1) SLUČAJ :

Stabilan sustav

Slika 8.16.

1) SLUČAJ :

Stabilan sustav

Slika 8.17.

2) Sluĉaj:

Nestabilan sustav

Page 124: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

124

Amplitudna i fazna priĉuva - analitiĉki

1:

Re

Im

Re

Im180

arg180

0Im:

Re

1log20

0

0

0

0

0

0

II

NAZBR

I

jW

arctgarctgFP

jWFP

jW

dBjW

AP

I

Dobre strane Nyquistovog kriterija stabilnosti:

o nije potrebno poznavati diferencijalnu jednadţbu sustava; polarna krivulja se moţe

odrediti pokusom ili iz poznatih prijenosnih funkcija pojedinih elemenata,

o uvid u relativnu stabilnost preko amplitudne i fazne priĉuve,

o moţe se odrediti utjecaj pojedinaĉno svakog elementa sustava što je vaţno sa stajališta

i analize i sinteze,

o mogu se analizirati i sustavi s raspodijeljenim parametrima.

Nedostaci :

o potrebno je dosta vremena da se doĊe do informacije o stabilnosti sustava.

8.3 Analitički kriteriji stabilnosti

Da bi sustav bio apsolutno stabilan dovoljno je da svi korijeni karakteristiĉne jednadţbe

0)()(1 sHsG leţe u lijevoj polovini s- ravnine.

K.J. moţemo pisati u obliku:

0... 01

1

1

asasasa n

n

n

n

Treba poznavati koeficijente:

011 ,,..., aaaa nn

Da bi odredili gdje se nalaze korijeni karakteristiĉne jednadţbe, a da pri tom ne raĉunamo

njihovu toĉnu vrijednost, koristimo Routhov i Hurwitzov kriterij stabilnosti.

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Page 125: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

125

8.3.1 Hurwitzov kriterij stabilnosti

Za primjenu ovog kriterija potrebno je formirati tzv. Hurwitzovu determinantu:

...

...00

...0

...0

...

...

1

2

31

42

531

n

n

nn

nn

nnn

nnn

n

a

a

aa

aa

aaa

aaa

H

Hurwitzova determinanta ima redova ima koliko je i n u bazi Hn. Iz ove determinante

formiramo subdeterminante:

11 naH

2

31

2

nn

nn

aa

aaH

31

42

531

3

0

nn

nnn

nnn

aa

aaa

aaa

H

nH...

Hurwitz je pokazao sljedeće:

“Zatvoreni regulacijski sustav s negativnom povratnom vezom je stabilan ako su svi

koeficijenti ai karakteristične jednadžbe istog predznaka i ako su sve dijagonale

subdeterminante Hi Hurwitzove determinante H veće od nule.”

Odnosno:

o Sustav je stabilan ako su sve subdeterminante Hurwitzove determinante ukljuĉujući i

samu determinantu veće od 0.

o Ako je jedna od subdeterminanti jednaka 0, Hurwitzov kriterij ne daje odgovor je li

sustav stabilan ili nije.

Prednosti:

Nije potrebno poznavati rješenje diferencijalne, odnosno karakteristiĉne jednadţbe

sustava da bi se ustanovila apsolutna stabilnost.

Treba poznavati samo koeficijente karakteristiĉne jednadţbe.

Page 126: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

126

Nedostatci:

Potrebno je poznavati karakteristiĉnu jednadţbu sustava koju je u praksi ĉesto vrlo teško

odrediti.

Dobije se informacija samo o apsolutnoj, ne i relativnoj stabilnosti sustava.

Ne moţemo odrediti utjecaj pojedinih elemenata i sklopova na stabilnost sustava.

Primjer 1:

S pomoću Hurwitzova kriterija ispitajmo stabilnost sustava ĉija je karakteristiĉna jednadţba:

024148 23 sss

Koeficijenti su:

024;014;08;01 321 nnnn aaaa

Pa je Hurwitzova determinanta:

...

...00

...0

...0

...

...

1

2

31

42

531

n

n

nn

nn

nnn

nnn

n

a

a

aa

aa

aaa

aaa

H

Odnosno za ovaj primjer:

2480

0141

0248

H

A subdeterminante:

08824148141

248;088 21 HH

02112242424148

2480

0141

0248

3 H

Svi koeficijenti i sve determinante > 0 tj. sustav je stabilan!

Page 127: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

127

Primjer 2:

S pomoću Hurwitzova kriterija ispitajmo stabilnost sustava ĉija je karakteristiĉna jednadţba:

01242 23 sss

Koeficijenti su:

012;04;02;01 321 nnnn aaaa

Pa je Hurwitzova determinanta:

48

1220

041

0122

0 31

42

531

3

nn

nnn

nnn

aa

aaa

aaa

H

A subdeterminante:

0412841

122;022 21 HH

Sustav nije stabilan jer su H2 i H3 < 0!

Primjer 3:

S pomoću Hurwitzova kriterija odredimo vrijednost konstante K pa da sustav ĉija je

karakteristiĉna jednadţba:

0122 KKss

bude stabilan!

Koeficijenti su:

;12;;01 02112 KaaKaaaa nnn

Pa je Hurwitzova determinanta:

KKK

K

aa

aaH

nn

nn

2

2

31

2 2121

0

Za stabilan sustav trebaju biti zadovoljeni uvjeti:

Page 128: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

128

,2

1

2

10012

02 2

KKKKK

KK

8.3.2 Routhov kriterij stabilnosti

Za sustave više od ĉetvrtog reda Hurwitzov kriterij postaje jako neprikladan jer je potrebno

rješavati subdeterminante ĉetvrtog i višeg reda. U tim sluĉajevima se koristi Routhov kriterij

stabilnosti. Jako sliĉan Hurwitzovom, ali sa znatno jednostavnijim proraĉunima.

Prvo formiramo tzv. Routheov raspored:

1. Stupac (izdvojimo prvi stupac)

).1(

.4

.3

.2

.1

321

321

531

42

n

BBB

AAA

aaa

aaa

nnn

nnn

Kako se moţe primijetiti, prva dva reda Routhovog rasporeda se pišu direktno iz koeficijenata

karakteristiĉne jednadţbe.

Ostale ĉlanove raĉunamo iz sljedećih izraza:

3

72633

1

31512

1

5412

1

21311

1

3211

n

nnnn

nn

n

nnnn

nn

n

nnnn

a

aaaaA

A

AaaAB

a

aaaaA

A

AaaAB

a

aaaaA

Općenito pravilo za raĉunanje tih i ostalih (osim elemenata prva dva retka) je sljedeće:

lijevi

donji

desni

donji

lijevi

gornji

desni

gornji

lijevi

donji

(31)

Page 129: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

129

Routhov kriterij stabilnosti:

“Sustav je stabilan ako svi elementi prvog stupca Routhovog rasporeda imaju isti predznak.

Ako se meĎu elementima prvog stupca pojavi nula, Routhov kriterij stabilnosti daje odgovor

na pitanje da li je sustav stabilan ili nije (nužan i dovoljan uvjet stabilnosti)*.

Broj promjena predznaka meĎu elementima prvog stupca govori koliko promatrani sustav

ima polova sa pozitivnim realnim dijelom.”

* Tj. ako je neki prvi element u bilo kojem retku nula, zamjenjujemo ga s vrlo malim brojem

koji jeveći od nule (e > 0).

Primjer 4:

Primjenom Routhovog kriterija stabilnosti ispitajte stabilnost sustava ĉija je karakteristiĉna

jednadţba:

023 24 sss

Formiramo Routhov raspored:

2131 01234

4321

aaaaa

aaaaa nnnnn

Jako mali pozitivni broj

Izraĉunajmo i elemente 3., 4. i 5. retka:

21

021

12

20

1313

1

12211

1

1

1

23111

0

3

4032

3

14231

B

ABABC

A

A

A

AaaAB

aa

aaaA

a

aaaaA

Pa je Routhov raspored:

2.5

1.4

213

.3

1.2

231.1

).1(

.4

.3

.2

.1

321

321

531

42

n

BBB

AAA

aaa

aaa

nnn

nnn

).1(

.4

.3

01.2

231.1

321

321

13

024

n

BBB

AAA

aa

aaa

lijevi

donji

desni

donji

lijevi

gornji

desni

gornji

lijevi

donji

0

Predznak se mijenja 2 puta:

Sustav ima dva pola s pozitivnim

realnim dijelom - NESTABILAN

Promjena

predznaka

Page 130: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

130

Primjer 5 :

Za sustav ĉija je karakteristiĉna jednadţba:

01242 23 sss

O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:

12421 321

321

nnnn

nnnn

aaaa

aaaa n=3 -> 4 retka

Izraĉunajmo i elemente 3. i 4. retka (n+1=4):

122

0122

0

22

12142

1

21311

1

5412

1

3211

A

AaaAB

a

aaaaA

a

aaaaA

nn

n

nnnn

n

nnnn

Pa je Routhov raspored:

012.4

002.3

0122.2

041.1

Primjer 6 :

Za sustav ĉija je prijenosna funkcija zatvorene petlje:

7643

8)(

23

sss

ssW

Pa je karakteristiĉna jednadţba: 07643 23 sss

O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:

7643 321

321

nnnn

nnnn

aaaa

aaaa n=3 -> 4 retka

Izraĉunajmo i elemente 3. i 4. retka (n+1=4):

Predznak se mijenja 2 puta:

Sustav ima dva pola s pozitivnim

realnim dijelom - NESTABILAN

Page 131: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

131

775.0

04775.0

0

75.04

7364

1

21311

1

5412

1

3211

A

AaaAB

a

aaaaA

a

aaaaA

nn

n

nnnn

n

nnnn

Pa je Routhov raspored:

7.4

075.0.3

74.2

63.1

Primjer 7 :

Za sustav ĉija je karakteristiĉna jednadţba:

015322 2345 sssss

O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:

15

3

2

2

1

1

5

4

3

2

1

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

n=5 -> 6 redaka

Prvi način:

Izraĉunajmo i elemente 3.-6. retka (n+1=6):

15

122

1442415

12

0

1

2

1

21311

1

5412

1

C

A

AaaAB

a

aaaaA

A

nn

n

nnnn

Predznak se ne mijenja :

Sustav je STABILAN

Page 132: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

132

012122

1442415lim

122lim

2

0

0

Sustav nije stabilan

Drugi način:

Uvodimo supstituciju: s = 1/ x

Pa nakon supstitucije rješavamo novu jednadţbu:

0122315

/0151

31

21

211

2345

5

2345

xxxxx

xxxxxx

1.6

012.5

15.0.4

48.3

123.2

1215.1

Sustav nije stabilan!

Primjer 8 :

Za sustav sa slike odredite K tako da sustav bude stabilan:

K1

s(s+1)(s+2)(s+4)+

-

15.6

0122

1442415.5

15122

.4

12.3

1521.2

321.1

2

Page 133: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

133

GH

GsW

1)(

Pa je karakteristiĉna jednadţba:

08147

0421

34

Kssss

Kssss

O stabilnosti zakljuĉujemo Routhovim kriterijem:

Kaaaa

aaaaa

nnnn

nnnnn

81471 321

4321

n=4 -> 5 redaka

Pa je Routhov raspored:

K

K

K

K

.5

090

49720.4

7

90.3

087.2

141.1

Uvjet stabilnosti:

49

7200

90

49720

0

KK

K

Page 134: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

134

9. Pogreške ustaljenog stanja

9.1 Uvod

Osnovni zahtjev koji se postavlja pred svaki regulacijski sustav – stabilnost u radu.

Dodatni zahtjevi:

Što točniji sustav tj. da mu izlazna stvarna veliĉina bude što bliţa izlaznoj veliĉini;

Što manja osjetljivost na promjenu pojedinih parametara.

Točnost sustava opisujemo s pomoću trajnog regulacijskog odstupanja – pogrešaka

ustaljenog stanja.

Osjetljivost definiramo kao promjenu prijenosne funkcije sustava u odnosu na promjenu

pojedinih parametara sustava (zbog temperature, vlage, starenja, itd.).

Prisjetimo se zatvorenog sustava s negativnom povratnom vezom:

Slika 9.1.

Zatvoreni sustav s negativnom povratnom vezom

Njegova prijenosna funkcija je:

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sX

sYsW

A prijenosna funkcija otvorene petlje: )()()(0 sHsGsW

Prijenosna funkcija otvorene petlje ovog regulacijskog sustava je sasvim općenito:

n

j

j

m

i

i

ps

zsK

sHsGsW

1

10

'

)()()( (9.1)

K’ je prijenosni omjer ili pojaĉanje, -zi, -pj nule odnosno polovi prijenosne funkcije otvorene

petlje, a m ≤ n.

Ako postoji a nula i b polova u ishodištu, pišemo:

Page 135: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

135

bn

j

j

b

am

i

i

a

pss

zssK

sHsG

1

1

'

)()( (9.2)

Razmotrimo li sustave sa b ≥ a i uz b-a=d, dobit ćemo:

)(

)(''

)()(

1

1

sNs

sBK

pss

zsK

sHsGdadn

j

j

d

am

i

i

(9.3)

gdje eksponent d odreĊuje sustav obzirom na vrstu:

d = 0 sustav nulte vrsti

d = 1 sustav prve vrsti

d = 2 sustav druge vrsti

Vrsta sustava odgovara broju čistih integracija.

Za sustav sa slike 9.1 odredimo pogrešku ustaljenog stanja, dakle razliku ulaznog i povratnog

signala kad vrijeme t teţi u beskonaĉnost:

e(t) = x(t) – p(t)

Odnosno:

E(s) = X(s) – P(s) (9.4)

Oĉito je:

E(s) = X(s) – Y(s) H(s)

odnosno:

E(s) = X(s) – E(s) G(s) H(s)

pa je:

E(s) =G(s)H(s)1

X(s)

(9.5)

Budući da je po teoremu konačne vrijednosti:

)(lim)(lim0

ssEteest

dobit ćemo:

)()(1

)(lim

0 sHsG

sXse

s

(9.6)

Page 136: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

136

Vidljivo je da pogreška ustaljenog stanja ovisi o ulaznom signalu i o prijenosnoj funkciji

sustava.

9.2 Pogreške ustaljenog stanja pomaka, brzine i ubrzanja

Definirajmo tri pogreške ustaljenog stanja: pomaka, brzine i ubrzanja.

9.2.1 Pogreška ustaljenog stanja pomaka

Ako na ulaz stabilnog sustava dovedemo jediniĉnu odskoĉnu funkciju:

s

sXilitutx1

)()(

odredit ćemo konstantu:

)(

)('lim)()(lim)(lim

000

0 sNs

sBKsHsGsWK

dsssp

(9.7)

kao konstantu položaja ili koeficijent pogreške položaja.

Oĉigledno je:

0

0)0(

)0('

dza

dzaN

BK

K p (9.8)

Ţelimo li odrediti pogrešku ustaljenog stanja položaja koristit ćemo jednadţbu

)()(1

)(lim

0 sHsG

sXse

s

dakle:

p

s

sP

KsHsGsHsG

sse

1

1

)()(lim1

1

)()(1

1

lim

0

0 (9.9)

Oĉigledno je iz navedenog (vidi izraze 9.8 i 9.9) :

Pe (9.10)

razliĉita od nule i konaĉna za d = 0

0 za d > 0

Page 137: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

137

9.2.2 Pogreška ustaljenog stanja brzine

Ako na ulaz stabilnog sustava dovedemo jediniĉnu pravĉastu funkciju:

2

1)(

ssXilittx

definirat ćemo konstantu:

)(

)('lim)()(lim)(lim

1000

0 sNs

sBKsHsGssWsK

dsssV

(9.11)

kao konstantu brzine ili koeficijent pogreške brzine.

Oĉito je:

1

1)0(

)0('

00

dza

dzaN

BK

dza

KV (9.12)

Odredimo sada pogrešku ustaljenog stanja brzine s pomoću jednadţbe

)()(1

)(lim

0 sHsG

sXse

s

)()(

1lim

)()(1

1

lim0

2

0 sHssGssHsG

ssess

V

s

VKsHssG

e1

)()(lim

1

0

(9.13)

Iz izraza (9.12) i (9.13) slijedi:

Ve (9.14) ∞ za d = 0

razliĉita od 0 i konaĉna za d = 1

0 za d > 1

Page 138: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

138

9.2.3 Pogreška ustaljenog stanja ubrzanja

Ako na ulaz stabilnog sustava dovedemo paraboliĉku pobudnu funkciju:

3

2 1)(

2)(

ssXili

ttx

definirat ćemo konstantu:

)(

)('lim)()(lim)(lim

20

2

00

2

0 sNs

sBKsHsGssWsK

dsssa

(9.15)

kao konstantu ubrzanja ili koeficijent pogreške ubrzanja.

Oĉigledno je:

2

2)0(

)0('

1,00

dza

dzaN

BK

dza

Ka (9.16)

Pogreška ustaljenog stanja ubrzanja je prema jednadţbi

)()(1

)(lim

0 sHsG

sXse

s

as

sa

KsHsGssHsG

sse1

)()(lim

1

)()(1

1

lim)(2

0

3

0

(9.17)

pa je:

)(ae (9.18)

Zajedniĉki zakljuĉak:

Sve konstante odnosno koeficijenti pogreške su upravo proporcionalni pojaĉanju u

sustavu.

Sve pogreške su ubrnuto proporcionalne pojaĉanju u sustavu.

Zakljuĉak:

SUSTAV JE TOĈNIJI ŠTO JE POJAĈANJE VEĆE.

(Sustav s većim pojaĉanjem moţe reagirati na male pogreške, odnosno na male razlike

izmeĊu ţeljene i stvarne vrijednosti).

∞ za d = 0,1

razliĉita od 0 i konaĉna za d = 2

0 za d > 2

Page 139: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

139

Tabelarni prikaz pogreški ustaljenog stanja i koeficijenata za sustave 0, 1. i 2. vrsti:

Ulaz JEDINIČNI ODSKOK u(t) ili 1/s

JEDINIČNI PRAVAC

t ili 1/s2

JEDINIČNA PARABOLA

t2

/2 ili 1/s3

Vrst sustava

Kp ep(∞)

K

V e

V(∞) K

a e

a(∞)

0

)0(

)0('

N

BK pK1

1

0

0

1 ∞

0 )0(

)0('

N

BK

VK

1

0

2 ∞

0

0 )0(

)0('

N

BK

aK

1

9.2.4 Odstupanje od željenog odziva sustava

Pod pogreškom ĉesto podrazumijevamo odstupanje stvarnog od ţeljenog odziva sustava

(Slika 84). Pogreška (E) je tada:

)()()( sYsYsE T (9.19)

Gdje je )(sYT ţeljeni odziv, a )(sY stvarni odziv sustava.

Slika 9.2.

Odstupanje odziva idealnog i stvarnog sustava.

U ovom sluĉaju definiraju se sljedeće veliĉine:

Konstanta pogreške odskoka:

X

YT

K

s

S

0lim

1 (9.20)

Page 140: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

140

Pogreška ustaljenog stanja (odskoka):

S

St

SK

tee1

)(lim

(9.21)

Konstanta pogreške nagiba:

X

YT

s

K

s

R1

lim

1

0

(9.22)

Pogreška ustaljenog stanja (nagiba):

R

Rt

RK

tee1

)(lim

(9.23)

Konstanta pogreške parabole:

X

YT

s

K

s

PA

20

1lim

1 (9.24)

Pogreška ustaljenog stanja (parabole):

PA

PAt

PAK

tee1

)(lim

(9.25)

Ako ţelimo odrediti relacije izmeĊu ovih konstanti i konstanti pogrešaka kod, na primjer,

sustava s negativnom jediniĉnom povratnom vezom, imat ćemo uz T = 1:

GG

G

X

YT

G

G

X

YTH

1

1

11

1;1;1

pa vrijedi

Ps

s

S KsG

G

K

1)(lim1

1

1lim

1

0

0

Vs

s

R KssG

Gs

K

)(lim1

1

11lim

1

0

0

Page 141: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

141

as

s

PA KsGs

Gs

K

)(lim1

1

11lim

1 2

0

20

Primjer 1:

Za regulacijski sustav sa slike odredite pogrešku ustaljenog stanja poloţaja pe .

Prijenosna funkcija otvorene petlje ovog sustava je:

1033,0

9,025)()()(0

ssHsGsW

pa je:

)()(1

)(lim)(lim)(

00 sHsG

sXsssEe

ssP

u ovom sluĉaju imamo X(s) = 1/s pa je:

0425,05,23

1

1033,0

9,0251

/1lim)(

0

s

sse

sP

Primjer 2:

Za regulacijski sustav sa slike odredite koeficijente pogreške odskoka, ulaza i parabole te

odgovarajuće pogreške ako je ţeljena prijenosna funkcija T = 0.5.

Moţemo pisati:

Page 142: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

142

42

2

222

2

2

121

2

2

1

2

2

2

2

ssX

Y

ss

s

ss

GH

G

X

Y

422

2

42

2

2

122

ss

ss

ssX

YT

Koeficijenti su:

0

422

21lim

1

1lim

1

4

422

21lim

1

1lim

1

422

2lim

1

lim

1

22020

200

200

ss

ss

sX

YT

s

K

ss

ss

sX

YT

s

K

ss

ss

X

YT

K

ss

PA

ss

R

ss

S

Dakle, odgovarajuće pogreške su:

Za odskok na ulazu:

Za uzlaz na ulazu:

Za parabolu na ulazu:

PA

R

S

Ke

Ke

Ke

1

25,01

01

Page 143: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

143

10. Osjetljivost

10.1 Uvod

Prvi korak kod analize ili sinteze regulacijskih sustava je izrada matematiĉkog modela

sustava. Kod vremenski nepromjenljivih linearnih sustava najĉešće najvaţniji matematiĉki

modeli su:

a) prijenosna funkcija i

b) frekvencijska prijenosna funkcija.

a) Prijenosna funkcija OdreĊena je konaĉnim brojem konstantnih parametara. Vrijednosti ovih parametara su tzv.

nazivne vrijednosti. Takva prijenosna funkcija naziva se nazivna prijenosna funkcija.

Točnost modela ovisi o odstupanju stvarnih vrijednosti parametara od nazivnih vrijednosti te

o odstupanju od nazivnih vrijednosti tijekom rada sustava.

U tom sluĉaju, osjetljivost definiramo kao mjerilo odstupanja prijenosne funkcije sustava od

njene nazivne vrijednosti kada se vrijednost jednog od njenih parametara razlikuje od svoje

nazivne vrijednosti.

b) Frekvencijska prijenosna funkcija OdreĊuje se direktno iz prijenosne funkcije sustava (kompleksnu varijablu “s” zamijenimo s

“jω”). U tom sluĉaju – frekvencijska prijenosna funkcija definirana istim parametrima kao i

prijenosna funkcija. Toĉnost odreĊena toĉnošću parametara prijenosne funkcije.

Frekvencijska prijenosna funkcija (FPF) moţe takoĊer biti odreĊena dijagramima amplitude i

faznog kuta kao funkcija kruţne frekvencije ω. Amplitudni i fazni dijagrami se najĉešće

odreĊuju eksperimentalno. Ĉesto ne mogu biti opisani konaĉnim brojem parametara, stoga je

potrebna aproksimacija.

Toĉnost modela ovisi o tome koliko dobro dijagrami amplitude i faznog kuta aproksimiraju

nazivnu frekvencijsku prijenosnu funkciju.

U ovom sluĉaju, osjetljivost je mjerilo odstupanja frekvencijske prijenosne funkcije od njene

nazivne vrijednosti, kada frekvencijska prijenosna funkcija jednog od elemenata sustava

odstupa od nazivne vrijednosti.

10.2 Osjetljivost – izvod

Pretpostavimo da je T(k) matematiĉki model prijenosne funkcije ili frekvencijske prijenosne

funkcije linearnog i vremenski nepromjenjivog sustava:

Tj

ekTkT

)()( (10.1)

gdje je k parametar o kojem ovisi T(k).

Obiĉno i T(k) i ΦT ovise o k, a k je realna ili kompleksna veliĉina koja predstavlja neki od

parametara sustava.

Osjetljivost funkcije T(k) u odnosu na parametar k odreĊuje se preko prirodnog logaritma kao:

Page 144: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

144

T

k

kT

k

kT

k

S

S

S

)(

)(

)(

)()(

)(

ln

)(ln)(

kT

k

dk

kdT

k

dk

kT

kdT

kd

kTdS kT

k (10.2)

Osjetljivost modula funkcije T(k) je:

)(

)()(

kT

k

dk

kTdS

kT

k (10.3)

Osjetljivost argumenta funkcije T(k) je:

T

Tk

k

dk

dS T

(10.4)

Ove tri osjetljivosti povezane su relacijom:

(10.5)

gdje su:

- ukupna osjetljivost

- osjetljivost modula

- osjetljivost argumenta

prijenosne funkcije TjekTkT

)()( u odnosu na parametar k.

Općenito su )(kT

kS i T

kS

kompleksni brojevi (realni su ako je k realan). Veliki broj

prijenosnih funkcija sustava automatske regulacije moţe se svesti na općeniti oblik:

43

21)()(kAA

kAAsWkT

(10.6)

gdje je k parametar a A1, A2, A3 i A4 polinomi od s.

Nadalje, izraĉunajmo osjetljivost prijenosne funkcije prema izrazu (10.2)

)(

)()(

kT

k

dk

kdTS kT

k

pa dobijemo:

T

kT

kTkT

k SjSS

)()(

Page 145: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

145

4321

41424232

43

212

43

214432

43

21

43

21

)(

kAAkAA

AAkAAkAAAAk

kAA

kAA

k

kAA

kAAAkAAA

kAA

kAA

k

dk

kAA

kAAd

S kT

k

(10.7)

Konaĉno:

4321

4132)(

kAAkAA

AAAAkS kT

k

(10.8)

Primijenimo izraz (10.8) na klasiĉnu prijenosnu funkciju s negativnom povratnom vezom

Imamo:

)()(1

)()()(

sHsG

sGkTsW

a) Neka je k = G(s) pa je prema (10.6):

43

21

)()(1

)()(

kAA

kAA

sHsG

sGsW

Oĉigledno je: A1 = 0

A2 = 1

A3 = 1

A4 = H(s)

Pa je osjetljivost prijenosne funkcije sustava u ovisnosti preijenosne funkcije direktne grane:

)()(1

1

)()(1)(

)(

4321

4132)(

)(sHsGsHsGsG

sG

kAAkAA

AAAAkS sW

sG

b) Neka je k = H(s) pa je

43

21

)()(1

)()(

kAA

kAA

sHsG

sGsW

Page 146: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

146

Oĉigledno je: A1 = G(s)

A2 = 0

A3 = 1

A4 = G(s)

Pa je osjetljivost prijenosne funkcije sustava u ovisnosti prijenosne funkcije povratne grane:

)()(1

)()(

)()(1)(

)()( 2

4321

4132)(

)(sHsG

sHsG

sHsGsG

sGsH

kAAkAA

AAAAkS sW

sH

Na temelju izraza za )(

)(

sW

sGS i )(

)(

sW

sHS mogu se izvući sljedeći zakljuĉci:

1. Osjetljivost u svakom slučaju ovisi o frekvenciji (s=jω)-

2. Osjetljivost W(s) u ovisnosti o G(s) je pozitivna, a u ovisnosti od H(s) je negativna (ako

raste G(s), raste i W(s), a ako raste H(s) – opada W(s)).

3. Ako sustav ima odreĎeno pojačanje p.f. otvorene petlje (GH>1), osjetljivost prijenosne

funkcije sustava o H(s) je izrazito veća nego osjetljivost o G(s).

Na primjer: GH = 100, pa je:

19901,01001

100

01,00099,01001

1

)(

)(

)(

)(

sW

sH

sW

sG

S

S

10.3 Osjetljivost - primjeri

Primjer 1

Odredite ukupnu osjetljivost te osjetljivost modula i argumenta prijenosne funkcije RC mreţe

na slici u ovisnosti o promjeni kapaciteta C na frekvenciji ω=2 1srad .

C = 0,7 μF

R1 = R2 = 2 MΩ

RCs

RCs

R

CsR

CsR

R

U

UsW

2

1

1

1)(

1

2

Usporedimo

Page 147: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

147

RCs

RCs

CAA

CAA

2

1

43

21

pa dobijemo

RsAARsAA 4321 ;2;;1 .

Stoga je

RCsRCs

RsRsC

CAACAA

AAAACSW

C

12

2

2143

4132

az s = jω = j2 (zadano)

4,884,5

4,884,5

4,884,5

8,2

8,218,22

8,2

j

j

j

j

jj

jSW

C

1562,02247,0665,104

352,1652,23j

jSW

C

Budući da je W

CW

W

C

W

C SjSS

Dakle:

W

C

CW

W

C

W

W

S

jSj

S

1562,0

1562,0

2247,0

Odredimo sad argument prijenosne funkcije ΦW

2365,08311,084,11

8,284,92

8,22

8,22

8,22

8,21

22

212

jj

jW

j

j

j

j

RCj

RCjjWjW

Pa je:

radarctgarctgW 277,088,152845,08311,0

2365,0 0

I nadalje:

5638,0277,0

1562,0W

CS

Page 148: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

148

Ukupna osjetljivost:

1562,02247,0 jSW

C

Osjetljivost modula:

2247,0W

CS

Osjetljivost argumenta:

5638,0W

CS

Primjer 2

Odredite prijenosne funkcije sustava a) i b). Zatim odredite ukupne osjetljivosti prijenosnih

funkcija u odnosu na pojaĉanje K1 ako je K1 = K2 = 100.

10010009,01

100

09,0109,01

1001001000099,01

100100

0099,01

2

2

2

1

12

21

211

K

K

K

KW

KK

KKW

Uz K1 = K2 = 100 – prijenosne funkcije su jednake po iznosu.

Odredimo osjetljivosti za prvi sluĉaj:

W1

W2

Page 149: Skripta Iz Automatike (FESB)

Predavanja iz automatike 2011

149

01,0

1001001001000099,01

100100

0099,01

0099,0;1;;00099,01

0

1

1

1

1

2121

21

243221

21

211

W

K

W

K

S

KKKK

KKS

KAAKAAKK

KKW

Odredimo osjetljivosti za drugi sluĉaj:

1,0

10009,01

1

09,01

1

09,0109,01

09,01

0081,009,0;09,01

;;0

0081,009,009,01

0

2

1

2

1

12121

221

2423

221

212

212

W

K

W

K

S

KKKKK

KKKS

KAKA

KAA

KKK

KKW

Dakle: ako se, na primjer, K1 promijeni za 10%, W1 se promijeni za 0,1%, a W2 za 1% - drugi

sustav je 10 puta osjetljiviji na promjene pojaĉanja K1.