Embed Size (px)
Citation preview
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI
SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ
OTPORNOSTI MATERIJALA
NEIRA TORIĆ,dipl.ing.građ.
Zadatak 1 Izračunati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosaču.
II
40 MPa
D( )
+0
40 kN
D(N)
A
bb
+0
I
3F
-20 MPa
a
-20 kN
III
2F1F
B
2
2
11
11
mmNMPa
mNPa
=
=
mbma
mcmAPaE
NF
NFF
12
1010102,2
104
102
232
11
43
421
==
==
⋅=
⋅=
⋅==
−
MPaPaA
NNFN
AN
FFN
MPaPaA
NNFN
IIIIIII
IIIII
III
401040104
00
201020102
643
21
641
=⋅==⇒⋅==
==⇒=+−=
−=⋅−==⇒⋅−=−=
σ
σ
σ
Zadatak 2 Odrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za +ΔT.
Rješenje : Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu. To zda se štap AC može slobodno izdužiti pod utjecajem temperature za veličinu δ. Sve dje
nači
ok δ≤Δ tl u štapu su naprezanja jednaka
nuli. Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za
δ>Δ tl , aktivira se u štapu sila koja opet “ vraća “ štap na realnu dužinu AB, kao što se vidi na slici. Može se zaključiti i da će sila u štapu biti tlačna , odnosno s predznakom – (minus).
2
1
o
l
l
FB
Bl
Blt
L
Lo1
o
2
A111 E
2 22 E A
A
C
T
δ – realno izduženje ΔlB – nerealno izduženje
( )( )
( )
( ) ( ) [ ]( )
2
B
1
B
22
11
1
21
112211B
22
2B
11
1B
2211
Bt
2211
AFAF
AEAE
ll1l
AET)ll(F13
3AElF
AElF
2T)ll(
1ll
0,0
0,0
TlTl
−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
δ−Δα+α=⇒→
+=
Δα+α=
Δ−Δ
≠σ>ε→δ>
=σ>ε→δ≤
Δα+Δα=
K
K
K
2x
1x
B
t
t
t
t
;2
l
l
l
l
l
σ
σ
Δ
Δ
=δ
Δ
Δ
Δ
Zadatak 3 Odrediti pomak točke C ukoliko se temperatura štapa 1 poveća za ΔT.
Rješenje
o
2ßC'
v
u
1l
C
2
E A+ T
ßß
1E A
βδ=
βδ=
βΔα
=β
Δ=δ
=ΔδΔ
=β
Δα=ε=Δ⇒Δ
=ε
sinv
cosu
2sinTl
2sinl
0l;l
2sin
Tlllll
C
C
1C
2C
1
ttt
t
C
90°-2ß 180°
Zadatak 4 Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura srednjeg štapa poveća za ΔT.
o
FE
Lo
A11
Lo
2T E2
2A
AE 11
11
1l
oL
F 1
L l
2 F
2
1
A B C
D
D
D''
D'
tlF2l
T1.
2.F2
Rješenje
Iz plana pomaka i opterećenja (ovdje promjena temperature) možemo zaključiti da se štap 2 nastoji
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )10FcosF20Y 21 K=−α→=Σ izdužiti, no njegovo potpuno izduženje sprječavaju druga dva štapa spojena u čvoru D, koji nisu direktno opterećeni i nemaju tendenciju izduženja. Štap 2 se izduži za Δlt pri čemu čvor D zauzme položaj D'. Tada se javi otpor štapova 1 koji u štapu 2 aktivira tlačnu silu F2 koja čvor D vraća iz D' u D''.
Iz plana pomaka :
( )2cosllll
ll
cos 212
1
2
1 KαΔ=Δ→ΔΔ
==α Budući da su sva tri štapa međusobno spojena u čvoru D, izduženjem štapa 2 prisilno se izdužuju i štapovi s brojem 1. Kao posljedica izduženja u njima se javlja vlačna sila F1(vlačna sila uzrokuje izduženje ako nema nikakvog drugog opterećenja).
Iz Hookovog zakona :
( )3AElF
l11
111 K=Δ
( )4lTAElF
l 2222
222 K⋅Δ⋅α+=Δ
( ) ( )α+
αΔα=⇒→
3
22
11
2112
1cos
AEAE21
cosATEF)2(4);3(;1
α+
αΔα=⇒α=→
3
22
11
3112
212cos
AEAE21
cosATE2FcosF2F)1(
A;
A2
21
1 −=σ=σFF
Zadatak 5 Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap kraći za δ od predviđene duljine l.
strelice - smer deformiranja
1E 1A
A2E
1E
2
A1oLoL
11 2
2l
l1
1F 1FF
o 2
A B C
D
D'
D''
D''
Rješenje Iz uvjeta ravnoteže sila : ( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Kα=→=α−→=Σ Iz plana pomaka :
( )2cos
1AElF
AElF
cosl
l
ll
ll
cos
11
11
22
2212
2
1
1
2
Kα
+=α
Δ+Δ=δ
Δ−δΔ
==α
( ) ( )
( )
( ) ( )223
112
32211
2
223
112
22211
1
11
1
22
21
11
11
22
21
AEcosAE2l
cosAEAE2F1
AEcosAE2l
cosAEAEF
cos1
AEl
cosAE
l2F
cos1
AElF
cosAElF
221
+α
αδ=⇒
+α
αδ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
+α=α
+α=δ⇒→
Zadatak 6 Odrediti naprezanja u štapovima 1 i 2 te vertikalni pomak točke D.
Rješenje Sustav je jednom statički neodređen (ima jednu prekomjernu veličinu), odnosno nepoznate su 4 veličine ( RH , RV , S1 , S2 ). Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu sličnosti trokuta.
S
Lo
LA
a1
o
oCl1
B o oD
C
C
l
S1B
S2
E
2a
1B
oo
S2
F
D
D
AE1 E11 l 2lA22
F
Iz uvjeta ravnoteže sila : ( )
( )
( )30RsinSFS0Y
2cosSR0cosSR0X
10sinaSaSFl0M
V12
1H1H
1122A
K
K
K
=+α+−→=Σ
α=→=α−→=Σ
=α−−→=Σ
Iz plana pomaka :
αΔ
=δΔ≡δsin
l;l 1
B2C ( )4aa
=
1
B
2
C Kδδ
Iz Hookovog zakona :
22
222
11
111 AE
lSl;
AElS
l =Δ=Δ → ( )4
( )
222
22
22D
D
2
2
22
11
22
2
21
2
1
22
112
21
2
1
2
1
22
1121
aAEllS
al
lla
l
ASAS
sina
all
AEAE
1a
FlS1S
sinaa
ll
AEAE
SS
=Δ=δ⇒δ
=Δ
=σ
=σ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡α+
=⇒→
α=
Zadatak 7 Dimenzionirati štapove AB i DG kružnog poprečnog presjeka napravljene od čelika.
mcmbma
kNFMpaE
Mpadop
123100
102
1405
====
⋅=
=σ
222 AE l
a b
S2
C
SB
E ooS2
Lo1
E 11 A 1l
Fac
EG ooH
D
b
AS1
b
)15,6(2861,244
36,510536,0101401075
)85,13(4201,444
6,121026,110140108,176
8,17645sin575
45sin50345sin50
7510043
430340
221
22
22
2
2236
32
2
211
11
21
1
2236
31
1
2112
22
cmAmmdusvojenocmAddA
cmmS
A
cmAmmdusvojenocmAddA
cmmSA
SAAS
ranjeDimenzioni
kNSSSSM
kNFSFSM
doppot
doppot
doppotdopx
C
H
==→→==⇒=
=⋅=⋅⋅
=≥
==→→==⇒=
=⋅=⋅⋅
=≥
≥⇒≤=
=°
=°
=→=⋅°⋅−⋅⇒=∑
===→=⋅−⋅⇒=∑
−
−
ππ
σ
ππ
σ
σσσ
cmmAElS
l
cmmAElS
l
MPaMPaAS
MPaMPaAS
Kontrola
dopx
dopx
12,010195,121015,61022105,7
18,010056,18707,01085,13102
2108,176
1409,1211015,6105,7
1406,1271085,13108,176
4411
3
22
222
4411
3
11
111
4
3
2
22
4
6
1
11
=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
==Δ
=⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==Δ
=⟨=⋅⋅
==
=⟨=⋅⋅
==
−−
−−
−
−
σσ
σσ
Zadatak 8 Odrediti pomak točaka B i H na sustavu.
A
A D
SD
H
a
E oo
F
BB
b
B
S
C
hF
( )
( )
( )AEabahFB
baB
ah
AEabahF
AEhSh
abaFSSabaFM A
⋅⋅+⋅⋅
=Δ⇒+Δ
=Δ
⋅⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=Δ
+=→=−+⇒=Σ
2
2
00
Zadatak 9
( )
( )
( ) ( )
MPamN
AS
MPamN
AS
NSNS
AlAlFSaS
AlaAlSFa
AlAlSS
AElS
AElS
llal
al
aSaSFaM
NFEE
mcmA
mcmA
mlml
A
7,8105,1
35,1304
43,10101
5,104335,13045,1043
334
033412
23223
2332
10320
6000
105,15,1
1011
8,11
242
22
241
11
2
1
21
1222
21
122
21
1221
22
22
11
11
2121
21
21
2422
2421
2
1
=⋅
==
=⋅
==
==
+=⇒=−−⇒→
=⇒=
Δ=Δ⇒Δ
=Δ
=−−⇒=Σ
==
⋅==
⋅==
==
−
−
−
−
σ
σ
K
K
Zadatak 10 Kruta greda AB obješena je o tri čelična štapa istog poprečnog presjeka površine 10 cm2. Dužina štapova je h = 1 m, s tim da je srednji štap (2) napravljen kraći od projektirane dužine za Δ = 0,6 mm. Odrediti sile u štapovima i izduženje srednjeg štapa ako je izvršena prinudna montaža sustava.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
mmmEA
hSl
kNS
kNS
kNS
kNccScSS
kNcSS
kNcSSScS
kNNchEA
SSSaSaSaSM
ShEAS
EAhS
EAhSll
al
al
SSEA
hSEA
hSll
al
al
EAhSl
EAhS
lEA
hSl
hlllEAAEAEAE
A
4,0103,4101101,200,11090
54
90
18
9012675
7222
5412673
731
187
1267194232,1
1261012600,1
101101,2106
3320320
22222
13333
;;
4311
32
2
3
2
1
121
31
1111
33114
321321
1212
2121
1313
1313
22
33
11
321
332211
=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
==Δ
=
=
=
==−=−=⇒→
===⇒→
===→−−=⇒→
=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
==Δ
−=⇒=+−→=Σ
−Δ
=⇒−Δ=⇒Δ−Δ=Δ⇒Δ−Δ
=Δ
=⇒=⇒Δ=Δ⇒Δ
=Δ
=Δ=Δ=Δ
======
−−
−−
K
K
K
S
E
A
a
ooB
h
A B
a a
2 31
S2
S3
S1
1l 2l3l-
Zadatak 11 Cilindrični stup promjera 4 cm, dužine 120 cm opterećen je u presjecima (1), (2) i (3) na udaljenostima zi = 0; 40 i 80 cm (i=1,2,3) od slobodnog kraja aksijalnim silamaFi(i=1,2,3) = 15 kN, 10 kN i 5 kN. Izračumati naprezanje u piojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
mmllllmmmNkl
mmmNkl
mmmNklNm
AElk
NkNNNAElllll
MPaPamN
AN
kNFFFNcmz
MPaPamN
AN
kNFFNcmz
MPaPamN
AN
kNFNcmz
mdA
cmLllllcmL
cmdMPaE
ii
112,0048,01080,4103010159,0
04,01000,4102510159,0
024,010415,2101510159,0
10159,01021056,12
4,0
2410241056,12
1030
30120803
2010201056,12
1025
2580402
1210121056,12
1015
154001
1056,124
1044
403
;120
4102
321
53833
53822
53811
8114
3
1321321
624
33
3
3213
3
624
32
2
212
2
624
31
1
11
1
24422
321
5
=Δ+Δ+Δ=Δ
=⋅=⋅⋅⋅=⋅=Δ
=⋅=⋅⋅⋅=⋅=Δ
=⋅=⋅⋅⋅=⋅=Δ
⋅=⋅⋅⋅
==
⋅=++=Δ+Δ+Δ=Δ
=⋅=⋅⋅
==
=++=<≤
=⋅=⋅⋅
==
=+=<≤
=⋅=⋅⋅
==
==<≤
⋅=⋅
==
======
=⋅=
−−
−−
−−
−−
=
−
−
−
−−
∑
σ
σ
σ
ππ
K
K
K
F
F
F
1
2
3
(1)
(2)
(3)
zi
FDC
2S
1S
B
Zadatak 12 Dimenzionirati čeličnu zategu kružnog porečnog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog poprečnog presjeka (h=2b) površine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a dopušteni naponi za čelik 12 ·107 N/m2 i drvo 6·106 N/m2.
Plan pomaka
oD oBoC
Lo 1l
Lo
B'D'
C'
ßß
A
2l
bhAAEE
mNE
mNE
mNmN
dop
dop
21020
101
102
106
1012
12
21
210
2
211
1
26
2
27
1
===
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
σ
σ
22cossin
6532
54
6/53/2cos
53
6/52/sin
2
1
==
=
=
==
==
ββ
α
α
ll
ll
llll
A B C D
F
E oo
l/3
oL
2
1
ß
l/3
l/2
l/3 l/3
Sile u štapovima
( )
( )
( )
( )
kNSkNSFFS
SSSlAE
lAES
SlAElAE
SAE
lSAE
lS
AElSl
AElSl
ll
lSlSFlM
DC
CDDc
A
4,353;9,5838,02
241
512
16252610
2335202
sinsin
2sin
2sin
2
sinsin;
sinsin
22
32
31
1031sin
32sin0
122
21212
121
2122
2111
22
22
11
11
11
111
22
222
21
==→=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⇒
⇒→=⇒⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
=→=⇒
=Δ
==Δ
=
=→=
=−−→=∑
βα
βα
αβδ
βαδ
δδδδ
βα
K
K
Dimenzioniranje
cmbcmmb
SbSbbhAAS
cmdcmmd
SdSdAAS
dopdopdop
dopdopdop
8707,0
1062109,58
22
7606,0
1012104,35344
4
6
3
2
2
2
2222
2
22
7
3
1
1
1
12
111
11
=→=≥
⋅⋅⋅
=≥→≥==→≤=
=→=≥
⋅⋅⋅⋅
=≥→≥=→≤=
σσσσ
ππσσπσσ
Kontrola napona
26
226
42
3
2
22
27
127
42
3
1
11
106106,41082109,58
10121018,9
4107
104,353
mN
mN
AS
mN
mN
AS
dop
dop
⋅=≤⋅=⋅⋅⋅
==
⋅=≤⋅=⋅
⋅==
−
−
σσ
σπ
σ
Zadatak 13 Odrediti sile u čeličnim kružnim zategama CF, DF i EG uslijed djelovanja naznačenog opterećenja.
A C D
B
oL ß ß E
F
G
M
l/2
l/4
l/4 l/4 l/4 l/4E oo
F
1
3
2
Plan pomaka
DC
2S1S
B
oC oD oB
2l
3S
ßoL
D'C'
B'
Lo ß
1l
oE
E
E'
M
ß
F
ß 2l
A
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )[ ] ( ) 10sinS3S2sinSF20sinS3S2sinS4l
M4Fl
0M
4Fl
M
321321A K=β+−α−→=β++α−+→=∑
=
( ) Iz plana pomaka :
( )
21
sin;5
2sin;
4l3
2l;2l
2l;4l
5l;sin
l;
sinl
;sin
l
2
4l
32l
4l
3213
E2
D1
C
EDC
=β=α===β
Δ=δ
βΔ
=δα
Δ=δ
δ=
δ=
δK
( )
( ) ( )
F38,0F47,054
S54
S
F47,0SSsin5sin
54
F2S0sinS3S2sinS
54
F21
SSl2l3sin
l2sin
l323
4l
32l
S54
Ssin
lSsin
lS2sin
lsin
l22
2l
4l
2
21
322222
323232
EDED
21221121
DCDC
===
==→β+α
=→=β+−α−→
=→Δ=Δ→β
Δ=
βΔ
→δ=δ→δ
=δ
=→β
=α
→β
Δ=
αΔ
→δ=δ→δ
=δ
→
F38,0F47,054
S54
S
F47,0SS
21
32
===
==
