Upload
dancatini
View
51
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
QQAAZSQL S XK SK
Citation preview
Unidade: I
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Celso Ribeiro Campos
Teoria elementar da probabilidade
Em estatística indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população, com base nos dados colhidos de uma amostra, temos sempre que admitir a possibilidade de erropossibilidade de erro.
O erro identifica uma tolerância do resultado encontrado.
Neste capítulo, veremos o que significa e como são calculadas as probabilidades, que estão ligadas a esse processo indutivo.
Definição de probabilidade
Em Estatística, adotamos três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva.
Entretanto, antes de seguirmos na definição de probabilidade, é necessário definir alguns termos que serão utilizados.
Conceitos básicos
Experimentos aleatórios: ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. É também chamado de experimento amostralexperimento amostral.
Espaço amostral: é o conjunto S de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É também chamado de conjunto universo
Conceitos básicos
Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: no lançamento de um dado, considere o evento A dado pela ocorrência de um número ímpar.
Temos então:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
Conceitos básicos
Evento certo: é o próprio conjunto universo S. Intuitivamente, é o fato que ocorre sempre, com certeza.
Evento impossível: o conjunto vazio também é subconjunto de S, portanto também é um evento, chamado de impossível porque nunca ocorre.
Exemplo: no lançamento de um dado, o evento número maior que 6 é um evento impossível e o evento número menor que 7 é um evento certo.
Probabilidade – def. clássica
Probabilidade: é uma idéia quantitativa da chance de ocorrência ou não de um evento qualquer.
Abordagem clássica: a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada pela razão entre a quantidade de elementos do conjunto evento A e a quantidade de elementos do espaço amostral S.
Assim, a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:
P(A) = n(A)/n(S)
Exemplo 1
Qual é a probabilidade de, ao se jogar um dado honesto, obter um número primo?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
Eprimo = {2, 3, 5} n(E) = 3
P(E) = 3/6 = 0 5 ou 50%P(E) = 3/6 = 0,5 ou 50%
Probabilidade – def. frequentista
Probabilidade é a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre, e o número total de realizações do experimento, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezeselevado de vezes.
P(A) = f(A)/ftotal
Exemplo: jogamos uma moeda 1.000 vezes e em 512 dessas vezes saiu cara. Podemos dizer, por esta definição que a probabilidade de sair cara nessa moeda é de 512/1.000, ou seja, 51,2%.
Probabilidade – def. subjetiva
A probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência.
Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite”, e sim algo embasado em dados complementados por aspectos pessoais.
É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas em determinado período.
Este capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de decisão.
Interatividade
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça ao acaso, a probabilidade de que ela não seja defeituosa é:
a) 4/10
b) 1/4
c) 1/2
d) 1/3
e) 2/3
Árvore de decisões
Consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados dos experimentos aleatórios, de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender a mecânica do experimentomecânica do experimento.
No próximo slide temos a árvore de possibilidades do lançamento de 2 moedas honestas.
Exemplo
cara
cara
coroa
2 moedas
caracoroa
coroa
Análise combinatória
É comum termos de calcular a quantidade de agrupamentos possíveis de elementos para determinar a probabilidade de ocorrência de um grupo específico.
Esses agrupamentos geralmente se dão na forma de arranjo, combinação ou permutação.
O arranjo de n elementos em grupos de k elementos é dado por:
!
!,
kn
nA kn
Análise combinatória
O arranjo é usado quando, ao invertermos a ordem dos elementos do grupo, obtemos um novo grupo. É comum em agrupamentos de números.
A combinação de n elementos em grupos de k elementos é dada por:
A combinação é usada quando, ao invertemos a ordem dos elementos do
!!
!,
knk
nC kn
invertemos a ordem dos elementos do grupo, obtemos o mesmo grupo. É comum em agrupamentos de pessoas.
Análise Combinatória
A permutação de n elementos é dada por:
É usada quando apenas trocamos a ordem dos elementos sem ficar nenhum
!nPn
ordem dos elementos, sem ficar nenhum de fora dos grupos.
Um exemplo de permutação: de quantas maneiras distintas podemos colocar 4 livros diferentes em uma prateleira?
Experimentos aprox. aleatórios
São eventos que tratam, por exemplo, de moedas ou dados não honestos, que nesse caso são chamados de viciados.
A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser calculada pela frequência relativa, repetindo-se o experimento um grande número de vezes.
Para poucas repetições, não é possível assumir que um dado ou uma moeda não são honestos.
Eventos independentes
Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
Eventos independentes
Assim, temos: P(A e B) = P(A) . P(B)
Exemplo: Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é pA = 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é pB = 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é:
P = 1/6 . 1/6 = 1/36.
Eventos mutuamente exclusivos
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro.
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “cara” e o evento “coroa” são mutuamente exclusivos, pois ao se realizar um deles o outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize.
Eventos mutuamente exclusivos
Assim, P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é:
P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Eventos vinculados ou condicionados
São eventos cujo aparecimento de um dependa ou seja influenciado pelo aparecimento de outro, do mesmo experimento.
Exemplo: a retirada de duas cartas de um baralho. Quando você retira a primeira carta, existem 52 cartas no baralho, 26 vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda carta o baralho terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas oupoderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da primeira carta. com o primeiro.
Interatividade
A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que os dois estejam vivos daqui a 10 anos é igual a
a) 30%
b) 36%
c) 56%
d) 38%
e) 44%
Distribuições de probabilidades
O fato de trabalharmos muitas vezes com variáveis discretas e outras tantas com variáveis contínuas nos conduz à divisão das distribuições de probabilidades em dois grandes grupos, cada um deles com modelos matemáticos específicos:modelos matemáticos específicos:
Entre as distribuições de probabilidades discretas, a principal é a distribuição binomial.
Entre as distribuições de probabilidades contínuas, a principal é a normal.
Distribuição binomial
Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
a) O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n).
b) As provas repetidas devem ser independentes,.
c) Em cada prova ocorre um dos dois possíveis resultados: sucesso ou insucesso (fracasso).insucesso (fracasso).
d) A probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do fracasso são constantes.
Distribuição binomial
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k sucessos em n tentativas. Se a probabilidade de sucesso é p e do fracasso é q, a chance de que um evento se realize exatamente k vezes em um total de nexatamente k vezes em um total de n tentativas é dada pela função:
knk qpk
nkP )(
k
Distribuição binomial
O número binomial é dado por:
k
n
!!
!
knk
n
Que é a mesma fórmula da combinação.
Exemplo 1: Calcular o binomial
S l ã
3
5
20!345!55Solução: 10
2
20
!2!3
!345
!35!3
!5
3
Distribuição binomial
Exemplo 2: Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade de concretizá-la. Em um dia qualquer, ele sai para atender a vinte clientes. Qual é a probabilidade de ele fazer exatamenteprobabilidade de ele fazer exatamente oito vendas?
Solução: p = 3/10 q = 7/10
n = 20 k = 8
970.1258
20
Distribuição binomial
A probabilidade procurada é:
8208
10
7
10
3970.125P
Resolvendo os exponenciais e fazendo os produtos, temos:
P = 0,1144 ou 11,44%
Valor e variância esperados
O valor esperado de uma variável X, geralmente designado por esperança de X, é dado por:
E(X) = p1.X1 + p2.X2 + ... + pn.Xn
Exemplo: em uma certa especulaçãoExemplo: em uma certa especulação comercial, um homem pode ter um lucro de R$300,00 com a probabilidade de 0,6, ou um prejuízo de R$100,00, com a probabilidade de 0,4. Determinar a sua esperança.
Solução: E = 300 . 0,6 + (-100) . 0,4 = 180 – 40 = 140 ou R$140,00
Valor e variância esperados
Perceba que esse resultado não é uma certeza, é um valor sujeito à variabilidade. Essa variabilidade é medida pela variância, que tem a mesma definição e as mesmas características daquela definida para a amostra e édaquela definida para a amostra, e é calculada pela fórmula:
Var(x) = E(x²) [E(x)]2
Devemos também lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Interatividade
A probabilidade de um tiro acertar um alvo é 1/3. Qual é a probabilidade de, em uma série de três tiros independentes, pelo menos um acertar o alvo?
a) 19/27
b) 8/27
c) 5/9
d) 4/9
e) 1
Distribuição normal
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal. Muitas variáveis analisadas em pesquisas sócio-econômicas correspondem à distribuição normal oucorrespondem à distribuição normal ou dela se aproximam.
O aspecto gráfico da distribuição normal é o de uma figura, que apresenta uma curva simétrica e mesocúrtica.
No próximo slide, vemos o modelo da curva normal.
Distribuição normal
Distribuição normal
A curva recebe o nome de curva de Gauss.
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, o que representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
Como a curva é simétrica em relação à média aritmética, a probabilidade de encontrarmos um valor menor que a média é de 50%, o mesmo para valores maiores que a média.
Distribuição normal
Quando temos uma variável aleatória em distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor dentro de um certo intervalo.
Para calcular essa probabilidade, definimos uma variável transformada z, dada por:
xxz i
Sendo S o desvio padrão.
Sz
Distribuição normal
Essa variável reduz a distribuição em um modelo padrão com média 0 e desvio padrão 1.
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas, não havendo a necessidade de serem calculadas.
Observe que a fórmula permite apenas que calculemos a probabilidade da variável estar entre um certo valor xi e a média.
Distribuição normal
Exemplo 1: Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$500, com desvio padrão de R$40. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entreter um salário semanal situado entre R$490 e R$520.
Solução: vamos calcular duas probabilidades e depois somar: entre 490 e a média e depois entre a média e 520. Para isso precisamos reduzir os doisPara isso, precisamos reduzir os dois valores:
Distribuição normal
25,040
10
40
5004901z
5,040
20
40
5005202z
A probabilidade para z1 é 0,0987 e para z2
é 0,1915 (dados pela tabela).
A solução é: P (490 < X < 520 ) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 ou 29,02%
Observe que o sinal negativo de z1 foi q g 1
desprezado, pois estamos tratando de áreas e sabemos que não existem áreas negativas.
Distribuição normal
Abaixo vemos a ilustração da curva normal com destaque para as áreas calculadas.
Distribuição normal
Exemplo 2: Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questãotodos os referentes ao mês em questão. Qual a probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00?
Solução:
00,290006000
z
Na tabela, esse valor corresponde a 0,4772 ou 47,72%
,1500
Distribuição normal
Assim, a probabilidade procurada é:
47,72 + 50 = 97,72%
Interatividade
As taxas de retorno no mercado de um determinado investimento distribuem-se normalmente com média igual a 5% e desvio padrão igual a 4%. Selecionando ao acaso uma taxa de retorno, a probabilidade dela ser maior que 6% é:dela ser maior que 6% é:
a) 9,87%
b) 40,13%
c) 59,87%
d) 50 13%d) 50,13%
e) 37,25%
ATÉ A PRÓXIMA!