Slides Unidade IV - Dinâmica das Partículas

Prof. MSc. Edson S. C. SilvaProf. MSc. Edson S. C. Silva

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Física Geral IFísica Geral I

Engenharia da Engenharia da ComputaçãoComputação

Sistemas de ForçasSistemas de ForçasUnidade I Unidade I

Equilíbrio, Esforços e TensõesEquilíbrio, Esforços e TensõesUnidade II Unidade II

Cinemática das PartículasCinemática das Partículas Unidade III Unidade III

Dinâmica das PartículasDinâmica das Partículas Unidade IV Unidade IV

Eng. da ComputaçãoEng. da ComputaçãoFísica Geral IFísica Geral I

Trabalho e EnergiaTrabalho e EnergiaUnidade V Unidade V

Introdução à Mecânica dos FluidosIntrodução à Mecânica dos FluidosUnidade VI Unidade VI

Introdução à Transf. de Calor e MassaIntrodução à Transf. de Calor e Massa Unidade VII Unidade VII

Tópicos de Física ModernaTópicos de Física Moderna Unidade VIII Unidade VIII

Eng. Eng. dda Computaçãoa ComputaçãoFísica Geral IFísica Geral I

4.1 – Introdução4.1 – Introdução

4.1.1 – Momento Linear4.1.1 – Momento Linear

4.1.2 – Conservação do Momento 4.1.2 – Conservação do Momento

LinearLinear

4.1.3 – Teorema do Impulso4.1.3 – Teorema do Impulso

4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões

4.2 – Leis de Newton do Movimento4.2 – Leis de Newton do Movimento

4.3 – Equações do Movimento4.3 – Equações do Movimento

Unidade IV Unidade IV –– Dinâmica Dinâmica das Partículasdas Partículas

08/04/23Prof. MSc. Edson S. C. Silva 5Física Geral I

Os efeitos causados pelo lançamento de uma Os efeitos causados pelo lançamento de uma bola bola

de tênis e uma esfera de aço maciçode tênis e uma esfera de aço maciço (ambas de (ambas de

mesmo raio) em uma mesmo raio) em uma vidraça vidraça são visivelmente são visivelmente

diferentes, embora as mesmas tenham sido lançadas diferentes, embora as mesmas tenham sido lançadas

com a com a mesma velocidademesma velocidade..

4.1 – Introdução4.1 – Introdução

Da mesma forma, Da mesma forma, bolas de tênis bolas de tênis idênticas lançadas idênticas lançadas

com com velocidades diferentes velocidades diferentes também podem produzir também podem produzir

efeitos diferentes efeitos diferentes em vidraças idênticasem vidraças idênticas..

A criação de uma grandeza física definida pelo A criação de uma grandeza física definida pelo

produto da massa de um corpo pela sua velocidade, produto da massa de um corpo pela sua velocidade,

para caracterizar a quantidade de movimento desse para caracterizar a quantidade de movimento desse

corpo, é de grande importância para o estudo de corpo, é de grande importância para o estudo de

colisões.colisões.


4.1.1 – Momento Linear4.1.1 – Momento Linear

€

p→=m ⋅v

→4.14.1

A taxa de variação do momento linear de um corpo A taxa de variação do momento linear de um corpo

no tempo é igual à força resultante que atua nesse no tempo é igual à força resultante que atua nesse

corpocorpo..

€

F→

∑ =d p

→

d t=

(d m⋅v→)

d t4.24.2

€

m= cte ⇒ F→

∑ =md v

→

d t=ma

→ (2a )Lei de Newton

€

px =m ⋅vx

€

py =m ⋅vy

€

pz =m ⋅vz

O momento linear (ou quantidade de movimento) O momento linear (ou quantidade de movimento)

de um corpo de massa de um corpo de massa mm se movendo se movendo com velocidade com velocidade

vv é definido como o produto de sua massa e é definido como o produto de sua massa e

velocidade.velocidade.


Figura 4.1 – Astronauta lançando seu uniforme para mover-se no sentido oposto.

Quando dois ou mais corpos em um sistema Quando dois ou mais corpos em um sistema

isolado interagem, o momento linear total do sistema isolado interagem, o momento linear total do sistema

permanece constante.permanece constante.

4.1.2 – Conservação do Momento Linear4.1.2 – Conservação do Momento Linear

ProbProb4.14.1 – Um astronauta de 70,0 kg lança seu – Um astronauta de 70,0 kg lança seu

uniforme de 1,0 kg com velocidade de 20 m/s para a uniforme de 1,0 kg com velocidade de 20 m/s para a

direita. Qual sua velocidade após o lançamento?direita. Qual sua velocidade após o lançamento?


4.1.2 – Conservação do Momento Linear4.1.2 – Conservação do Momento Linear

Sol. ProbSol. Prob4.14.1 – Como o sistema composto por – Como o sistema composto por

astronauta + uniforme está livre de forças externas, astronauta + uniforme está livre de forças externas,

o momento linear é conservado, logo:o momento linear é conservado, logo:

€

p→

i∑ = p→

f∑

€

⇒ m1 v→1i+m2 v

→2i =m1 v

→1f +m2 v

→2f

00 00

€

⇒ 0 =m1(−v1f i^)+ m 2v 2f i

^

€

⇒ m1v1f i^

= m 2v 2f i^

€

⇒ v1f =m2

m1v2f = 1,0 kg

70, 0 kg 20 /m s = 0,28 /m s

€

∴v→1f ≅ −0, 28 i

^ m/s


O impulso de uma força F atuando em um corpo é O impulso de uma força F atuando em um corpo é

igual à variação do momento linear causado pela igual à variação do momento linear causado pela

força.força.


ProbProb4.24.2 – Uma bola de golf de 50,0 g é arremessada – Uma bola de golf de 50,0 g é arremessada

após tacada certeira (Fig. 4.2a). A força exercida após tacada certeira (Fig. 4.2a). A força exercida

pelo taco na bola varia de zero, no instante antes do pelo taco na bola varia de zero, no instante antes do

contato, até um valor máximo (em que a bola é contato, até um valor máximo (em que a bola é

deformada deformada –– Fig. 4.2b) e então retorna a zero quando Fig. 4.2b) e então retorna a zero quando

o taco perde o contato com a bola. Assim, o gráfico o taco perde o contato com a bola. Assim, o gráfico

qualitativo da força em função do tempo é o da Fig. qualitativo da força em função do tempo é o da Fig.

4.3. Sendo o alcance de 200 m, estime o módulo do 4.3. Sendo o alcance de 200 m, estime o módulo do

impulso causado pela colisão.impulso causado pela colisão.

€

I→=Δ p

→=pf

→−pi

→= F

→dt

ti

tf∫ 4.34.3



Figura 4.2 Figura 4.2 –– (a) Fotografia estroboscópica dos (a) Fotografia estroboscópica dos movimentos do taco e da bola e (b) instante em movimentos do taco e da bola e (b) instante em que o momento linear do taco é transferido que o momento linear do taco é transferido para a bola.para a bola.


Sol. ProbSol. Prob4.24.2.: A velocidade da bola após a colisão .: A velocidade da bola após a colisão

pode ser obtida através do alcance no lançamento pode ser obtida através do alcance no lançamento

oblíquo:oblíquo:


Figura 4.3 Figura 4.3 –– Força Força exercida pelo taco na exercida pelo taco na bola de golfe.bola de golfe.

€

F→med =

I→

Δt=1Δt

F→dt

ti

tf∫ 4.44.4

Obs.: A força média exercida Obs.: A força média exercida

pelo taco na bola equivale à pelo taco na bola equivale à

altura do retângulo (Fig. 4.3) altura do retângulo (Fig. 4.3)

que possui a mesma área que possui a mesma área

(impulso) delimitada pela curva (impulso) delimitada pela curva

e o eixo t.e o eixo t.

€

A =v02 2sen θg

€

⇒ v0 =A ⋅g

2sen θ=

200 ×9 ,8sen(2 ×45 o )

= 44 ,27 m /s



€

I = Δp = p f − p i =m (v f −v i )

Cont. Sol. ProbCont. Sol. Prob4.24.2.: Deve-se observar que o ângulo .: Deve-se observar que o ângulo

de lançamento considerado (45de lançamento considerado (45ºº) é aquele que ) é aquele que

produz o maior alcance (objetivo do jogo). produz o maior alcance (objetivo do jogo).

O módulo impulso é portanto:O módulo impulso é portanto:

€

I =0 ,050 (44, 27 −0)

€

∴I =2, 21 /m s

Complemento ProbComplemento Prob4.24.2 –– Qual o módulo da força Qual o módulo da força

média aplicada pelo taco à bola supondo que a média aplicada pelo taco à bola supondo que a

duração da colisão foi 1,0 ms?duração da colisão foi 1,0 ms?

€

Fmed =IΔt

=2, 210,001

€

∴F =2, 21 kN Sol. Comp. ProbSol. Comp. Prob4.24.2.:.:



O momento linear total de um sistema isolado é O momento linear total de um sistema isolado é

constante antes e após qualquer tipo de colisão. constante antes e após qualquer tipo de colisão.

Colisão Perfeitamente Inelástica: Colisão Perfeitamente Inelástica: energia cinética energia cinética

não é conservadanão é conservada. Colisão de dois corpos em uma . Colisão de dois corpos em uma

dimensão:dimensão:

€

m1 v→

1i+m2 v→

2i =(m1 +m2 ) v→

2f

€

p→

i∑ = p→

f∑ 4.54.5

€

v→

f =m1 v

→1i+m2 v

→2i

m1 +m24.64.6

ProbProb4.34.3 – Um corpo com velocidade horizontal 10 – Um corpo com velocidade horizontal 10

m/s colide de forma perfeitamente inelástica com m/s colide de forma perfeitamente inelástica com

outro corpo de massa idêntica e inicialmente em outro corpo de massa idêntica e inicialmente em

repouso. Qual a velocidade do conjunto após a repouso. Qual a velocidade do conjunto após a

colisão?colisão?



€

v→

f =m1 v

→1i+m2 v

→2i

m1 +m2=m×10 i

→( / )m s +m×0 i

→( / )m s

m+m

Sol. ProbSol. Prob4.34.3.: Colisão perfeitamente inelástica (Eq. .: Colisão perfeitamente inelástica (Eq.

4.6):4.6):

€

⇒ v→

f =10m i

→( / )m s

2m

€

∴v→

f =5 i→( / )m s

Colisão ElásticaColisão Elástica: neste tipo de colisão a : neste tipo de colisão a energia energia

cinética também é conservadacinética também é conservada. Para dois corpos em . Para dois corpos em

uma dimensão, temos:uma dimensão, temos:

€

m1 v1i +m2 v2i =m1 v1f +m2 v2f 4.74.7

€

m1 v1i2

2+ m2 v2i

2

2=m1 v1f

2

2+m2 v2f

2

24.84.8



Resolvendo o sistema composto pelas equações Resolvendo o sistema composto pelas equações

4.7 e 4.8, obtemos:4.7 e 4.8, obtemos:

Para o caso particular de colisão elástica de dois Para o caso particular de colisão elástica de dois

corpos em uma dimensão em que o segundo corpo corpos em uma dimensão em que o segundo corpo

encontra-se inicialmente parado (encontra-se inicialmente parado (vv2i2i = 0 = 0), temos:), temos:

€

v2f = 2 m1

m1 +m2 v1i +

m2 −m1

m1 +m2 v2i 4.104.10

€

v1f =m1 −m2

m1 +m2 v1i 4.114.11

€

v2f = 2 m1

m1 +m2 v1i 4.124.12

€

v1f =m1 −m2

m1 +m2 v1i +

2 m2

m1 +m2 v2i 4.94.9



Sol. ProbSol. Prob4.44.4.: Temos colisão elástica com .: Temos colisão elástica com vv2i2i = 0 = 0, o , o

que permite utilizarmos as equações 4.11 e 4.12.que permite utilizarmos as equações 4.11 e 4.12.

€

v1f =m1 −m2

m1 +m2 v1i =

m −m m +m

10 /m s

€

v2f = 2 m1

m1 +m2 v1i =

2 m m +m

10 /m s

ProbProb4.44.4 – Considere as mesmas informações do – Considere as mesmas informações do

problema 4.3, exceto que a colisão é elástica. Qual a problema 4.3, exceto que a colisão é elástica. Qual a

velocidade de cada corpo após a colisão?velocidade de cada corpo após a colisão?

€

∴v1f =0 /m s

€

∴v2f =10 /m s

Em colisões elásticas de corpos de mesma massa Em colisões elásticas de corpos de mesma massa

com um destes em repouso, suas velocidades são com um destes em repouso, suas velocidades são

trocadas após a colisão.trocadas após a colisão.

00



ProbProb4.54.5 – O engenhoso objeto apresentado na Fig. – O engenhoso objeto apresentado na Fig.

4.4 (Berço de Newton) é composto por 5 esferas de 4.4 (Berço de Newton) é composto por 5 esferas de

mesma massa que colidem quase elasticamente. mesma massa que colidem quase elasticamente.

Analise se a situação (c) pode ocorrer após a colisão.Analise se a situação (c) pode ocorrer após a colisão.

Figura 4.4 Figura 4.4 –– Berço de Berço de Newton Newton ilustrando a ilustrando a conservação do conservação do momento linear momento linear e da energia e da energia cinética.cinética.


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões ProbProb4.64.6 – O pêndulo balístico (Fig. 4.5) é um sistema – O pêndulo balístico (Fig. 4.5) é um sistema

usado para medir a velocidade de um projétil veloz usado para medir a velocidade de um projétil veloz por meio de uma colisão perfeitamente inelástica por meio de uma colisão perfeitamente inelástica com um corpo de prova em repouso, seguida de com um corpo de prova em repouso, seguida de deslocamento vertical do sistema. Qual a expressão deslocamento vertical do sistema. Qual a expressão para o cálculo da velocidade do projétil (para o cálculo da velocidade do projétil (vv1i1i) em ) em função de função de mm11, , mm22, , gg e e hh??

Figura 4.5 Figura 4.5 –– Pêndulo Pêndulo balístico para balístico para medida de medida de velocidade de velocidade de projéteis.projéteis.

Sol. ProbSol. Prob4.64.6.: .:

Para a colisão Para a colisão

inelástica.inelástica.

€

v1i =m1 +m2

m1vf II

€

m1 v1i +m2 v2i =(m1 +m2 ) vf00

€

m1 v1i =(m1 +m2 ) vf


€

(m1 +m2 ) vf2

2=(m1 +m2 )gh

4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões Sol. ProbSol. Prob4.64.6.: Considerando o sistema conservativo, .: Considerando o sistema conservativo,

a lei da conservação da energia mecânica permite a lei da conservação da energia mecânica permite

afirmar que a energia cinética após a colisão é afirmar que a energia cinética após a colisão é

totalmente convertida em energia potencial totalmente convertida em energia potencial

gravitacional, logo:gravitacional, logo:

€

⇒ vf = 2gh IIII Substituindo II em I, Substituindo II em I,

temos:temos:

Complemento ProbComplemento Prob4.64.6 – Considerando h = 5,0 cm, – Considerando h = 5,0 cm, mm1 1 = 5,0 g, e m= 5,0 g, e m22 = 1,0 kg, calcule a velocidade inicial = 1,0 kg, calcule a velocidade inicial

do projétil e perda de energia mecânica na colisão.do projétil e perda de energia mecânica na colisão.

€

v1i =m1 +m2

m12gh 4.134.13


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões Sol. Comp. ProbSol. Comp. Prob4.64.6.:.:

€

vf = 2gh = 2 ×9 ,8 ×0 ,05

A energia mecânica perdida na colisão é dada pela A energia mecânica perdida na colisão é dada pela diferença entre as energias cinéticas antes e depois diferença entre as energias cinéticas antes e depois da colisão.da colisão.

€

v1i =m1 +m2

m1v f =

0,005 +1,0

0,0050 ,99

€

∴vf ≅0 ,99 m/s

€

∴v1i ≅199 /m s

€

ΔE =m1 v1i2

2−(m1 +m2 ) vf

2

2

€

ΔE =0,005 (199) 2

2−(1+ 0,005) (0, 99) 2

2=99 ,0025 −0 ,4925

€

∴ΔE ≅99, 5 J



Alguns modelos de pêndulos balísticos (Fig 4.6) Alguns modelos de pêndulos balísticos (Fig 4.6)

não utilizam o deslocamento vertical não utilizam o deslocamento vertical hh, mas sim o , mas sim o

ângulo de deflexão do pêndulo. Neste caso temos:ângulo de deflexão do pêndulo. Neste caso temos:

€

cosα =L −hL

€

∴h =L (1 − cos α )

Figura 4.6 Figura 4.6 –– Pêndulo Pêndulo balístico balístico Cidepe.Cidepe.

€

⇒ L cosα =L −h

Levando a equação Levando a equação

anterior em 4.13, temos:anterior em 4.13, temos:

€

v1i =m1 +m2

m12gL (1 − cos α ) 4.144.14

hh

LLL L –– h h α


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões ProbProb4.74.7 – Um jogador de bilhar deseja colocar a bola – Um jogador de bilhar deseja colocar a bola

2 na caçapa como mostra a Fig. 4.7. O ângulo da 2 na caçapa como mostra a Fig. 4.7. O ângulo da caçapa é de 35caçapa é de 35ºº e a colisão é suposta elástica. Qual o e a colisão é suposta elástica. Qual o ângulo ângulo θθ de deflexão da bola 1 após a colisão? de deflexão da bola 1 após a colisão? Despreze atritos e a inércia de rotação das bolas.Despreze atritos e a inércia de rotação das bolas.

Sol. ProbSol. Prob4.74.7.: Para a .: Para a

colisão elástica, vemcolisão elástica, vem

Figura 4.7 Figura 4.7 –– Colisão em duas Colisão em duas dimensões.dimensões.

€

m1 v1i2

2=m1 v1f

2

2+m2 v2f

2

2

€

m1 =m2

⇓

II

€

v1i2 =v1f

2 + v2f2


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões Cont. Sol. ProbCont. Sol. Prob4.74.7 – Os módulos do vetor momento – Os módulos do vetor momento

linear resultante do sistema antes e depois da linear resultante do sistema antes e depois da colisão são iguais, sendo que após a colisão o colisão são iguais, sendo que após a colisão o momento linear pode ser obtido através da momento linear pode ser obtido através da lei dos lei dos cossenoscossenos, logo:, logo:

€

(m1v1i )2 =(m1v1f )

2 + (m2v2f )2 + 2(m1v1f )(m2v2f ) (cos θ + 35 o )

€

pi = pf = p1f2 + p2f

2 + 2 p1f p2f (cos θ + 35 o )

€

pi2 = p1f

2 + p2f2 + 2 p1f p2f (cos θ + 35 o )

€

v1i2 =v1f

2 + v2f2 + 2v1f v2f (cos θ + 35 o ) IIII

Subtraindo I de II, temos:Subtraindo I de II, temos:

€

2v1f v2f (cos θ + 35 o ) =0

€

⇒ (cos θ + 35 o ) =0

€

⇒ θ+ 35 o =90 o

€

∴θ =55 o


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões ProbProb4.74.7 (Halliday) – Uma bala de 8,0 g é disparada (Halliday) – Uma bala de 8,0 g é disparada

em um bloco de 2,5 kg inicialmente em repouso e em um bloco de 2,5 kg inicialmente em repouso e localizado à borda de uma mesa sem atrito de altura localizado à borda de uma mesa sem atrito de altura 1,0 m. A bala aloja-se no bloco e após o impacto, o 1,0 m. A bala aloja-se no bloco e após o impacto, o conjunto (bloco + bala) percorre a distância conjunto (bloco + bala) percorre a distância horizontal de 2,0 m (Fig. 4.8). Determine a horizontal de 2,0 m (Fig. 4.8). Determine a velocidade inicial da bala.velocidade inicial da bala.

Figura 4.8 Figura 4.8 –– Exemplo Exemplo de colisão inelástica de colisão inelástica de um projétil com um de um projétil com um bloco seguido de bloco seguido de lançamento lançamento horizontal.horizontal.


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões ProbProb4.84.8 (Halliday) – A partir de um funil (Halliday) – A partir de um funil

estacionário é despejado areia em uma esteira à estacionário é despejado areia em uma esteira à

razão de 5,0 kg/s (Fig. 4.9). A esteira transportadora razão de 5,0 kg/s (Fig. 4.9). A esteira transportadora

é apoiada por fricção a rolos e se move a uma é apoiada por fricção a rolos e se move a uma

velocidade constante de 0,75 m/s sob ação de uma velocidade constante de 0,75 m/s sob ação de uma

força horizontal constante externa força horizontal constante externa FFextext suprida pelo suprida pelo

motor que impulsiona a correia. motor que impulsiona a correia. Figura 4.9 Figura 4.9 –– Exemplo Exemplo de esteira de esteira transportadora básica transportadora básica aplicada em aplicada em indústrias.indústrias.


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões Continuação do ProbContinuação do Prob4.84.8 (Halliday) – Encontre (a) a (Halliday) – Encontre (a) a

taxa de variação do momento linear da areia na taxa de variação do momento linear da areia na

direção horizontal (b), a força de atrito exercida pela direção horizontal (b), a força de atrito exercida pela

correia na areia, (c) a força externa correia na areia, (c) a força externa FFextext, (d) o , (d) o

trabalho realizado por trabalho realizado por FFextext em 1,0 s e (e) a energia em 1,0 s e (e) a energia

cinética adquirida pela queda da areia a cada cinética adquirida pela queda da areia a cada

segundo devido à mudança em seu movimento segundo devido à mudança em seu movimento

horizontal. Por que as respostas dos itens (d) e (e) horizontal. Por que as respostas dos itens (d) e (e)

são diferentes?são diferentes?


4.1.4 – Colisões4.1.4 – Colisões ProbProb4.94.9 (Halliday) – Uma bala de 5,0 g movendo-se (Halliday) – Uma bala de 5,0 g movendo-se

com velocidade inicial de 400 m/s é disparada e com velocidade inicial de 400 m/s é disparada e

atravessa um bloco de 1,0 kg (Fig. 4.10). O bloco, atravessa um bloco de 1,0 kg (Fig. 4.10). O bloco,

inicialmente em repouso em uma superfície inicialmente em repouso em uma superfície

horizontal sem atrito é conectado à uma mola com horizontal sem atrito é conectado à uma mola com

constante elástica 900 N/m. Se o bloco move-se 5,0 constante elástica 900 N/m. Se o bloco move-se 5,0

cm para a direita após o impacto, encontre (a) a cm para a direita após o impacto, encontre (a) a

velocidade que a bala emerge do bloco e (b) a velocidade que a bala emerge do bloco e (b) a

energia perdida na colisão.energia perdida na colisão.

Figura 4.10 Figura 4.10 –– Exemplo de colisão Exemplo de colisão parcialmente elástica em que parcialmente elástica em que parte da energia cinética é parte da energia cinética é convertida em energia potencial convertida em energia potencial elástica.elástica.


Referências Referências BibliográficasBibliográficas Halliday, D.; ResnickHalliday, D.; Resnick; Krane; Krane

Física Vol. 1 – LTC, 1996, 4Física Vol. 1 – LTC, 1996, 4ªª Ed. Ed.

Tipler, Paul. A.; Física Vol. 1 – LTC, 1999, 4Tipler, Paul. A.; Física Vol. 1 – LTC, 1999, 4ªª Ed. Ed.

www.feiradeciencias.com.brwww.feiradeciencias.com.br

www.walter-fendt.de/ph14br/www.walter-fendt.de/ph14br/

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