Zadatak 1: Na mrežu 220 V, 50 Hz, priključen je motor snage P = 2 kW faktora snage

cosφ = 0,745 i grejač snage Pg = 1,54 kW (slika 1.1). Odrediti kapacitet kondenzatora

koji treba priključiti paralelno potrošačima da bi ukupan faktor snage bio cosφ = 1.

Nacrtati fazorski dijagram struja u kolu posle vezivanja kondenzatora.

Slika 1.1

Rešenje

Struja kroz grejač je u fazi sa naponom i ima samo aktivnu komponentu koja iznosi:

A 7220

1540

U

PI

g

g

pa je kompleksna struja grejača:

A j07gI

Impedansa motora se može predstaviti rednom vezom otpornosti i induktivnosti, pa je

struja kroz motor:

A 12,2745,0220

2000

cos

U

PIm

Kasni u odnosu na priključeni napon za ugao čiji je kosinus dat kao:

'2946arccos

Aktivna komponenta struje kroz motor koja je u fazi sa priključenim naponom je:

A 9,089745,02,12cosm IIa

Reaktivna komponenta struje koja u odnosu na napon kasni za π/2 iznosi:

A 8,1667,02,12cos1sin 2m mr III

Kompleksna struja motora je:

A 189 ,jjIII ram

a ukupna struja koju motor i grejač povlače iz mreže je:

A 1816078,09 ,jjjIII gm

Fazorski dijagram struja motora i grejača sa mrežnim naponom na faznoj osi prikazan

je na slici 1.2. Struja kroz kondenzator koji se priključuje paralelno motoru i grejaču

prednjači u odnosu na napon za π/2 kao što je prikazano na fazorskom dijagramu.

Slika 1.2

Da bi ukupna struja sa priključenim kondenzatorom bila u fazi sa naponom, na osnovu

fazorskog dijagrama se može zaključiti da će taj uslov biti ispunjen ukoliko je struja

kondenzatora Ic jednaka reaktivnoj komponenti ukupne struje Ir motora i grejača:

sinIIc

a kako je struja kondenzatora:

fCUX

UI

c

c 2

te na osnovu prethodnih jednačina nalazi se da je kapacitivnost kondenzatora:

μF 117,252

fU

I

U

IC rr

Zadatak 2: Primar transformatora ima N1 = 300, a sekundar N2 = 80 navojaka. Ako

kroz sekundar protiče struja I2 = 5 A odrediti struju kroz primar.

Rešenje

Iz prenosnog odnosa transformatora sledi da je:

A 1,335300

802

1

21

1

2

2

112 I

N

NI

I

I

N

Nm

Zadatak 3: Snaga primara transformatora je P1 = 5 kW. Struja opterećenja (u

sekundaru) je I2 = 50 A, a faktor snage cosφ = 0,9. Ako je stepen korisnog dejstva η =

0,94 odrediti napon na sekundaru.

Rešenje

Stepen korisnog dejstva predstavlja odnos korisne i utrošene snage:

1

2

P

P

Iz prethodnog izraza dobija se tražena vrednost napona na sekundaru transformatora:

V 104,449,050

10594,0

cos

cos 3

2

12

1

22

1

2

I

PU

P

IU

P

P

Zadatak 4: Transformator sa N1 = 480 navojaka primara čiji je otpor R = 25 Ω

priključen je na napon U = 220 V, 50 Hz. U praznom hodu izmerena je struja I0 = 0,36

A i snaga P = 37 W. Odrediti gubitke u jezgru transformatora i magnetni fluks.

Rešenje

U režimu praznog hoda aktivna snaga jednaka je zbiru snage za zagrevanje provodnika

primara i snage gubitaka u jezgru (histerezisni gubici i gubici usled vihornih struja):

FeJ PPP

odakle je:

W36,9736,02537 22000 RIPPPP CuFe

Faktor snage praznog hoda je:

467,035,0220

37cos 0

IU

P

Indukovana elektromotorna sila u namotajima primara je:

111 Ф44,4 UNfE m

a ampliduda magnetnog fluksa kroz jezgro transformatora je:

Wb2,064805044,4

220

44,4Ф

1

1

Nf

Um

Zadatak 5: U jednom trofaznom transformatoru sa N1 = 170 primarnih navojaka i N2 =

2300 sekundarnih navojaka, efektivnim presekom feromagnetnog jezgra sastavljenog

od transformatorskih limova SFe = 50 cm2, čiji je primarni namotaj priključen na mrežu

220 V, 50 Hz, odrediti maksimalnu vrednost magnetne indukcije u jezgru.

Rešenje

Indukovana elektromotorna sila:

USBNfNfE Femm 44,4Ф44,41

Magnetna indukcija je:

T 1,1710501705044,4

220

44,4 41

1

Fe

mSNf

UB

Zadatak 6: Transformator prenosnog odnosa U1/U2 = 110/10 kV, prividne snage Sn =

30 MVA i frekvencije f = 50 Hz, ima gubitke u gvožđu koji iznose PFe = 150 kW.

Koliki bi bili gubici u gvožđu ako se isti transformator priključi na mrežu napona 110

kV, učestanosti 60 Hz? Poznat je odnos gubitaka Pvs/Ph=1,5.

Rešenje

Ako se zanemari omska otpornost namotaja, može se smatrati da je indukovani napon

u namotaju transformatora jednak sa naponom mreže na koju je priključen dati

transformator:

SBNfNfEU mm 44,4Ф44,4

Na osnovu prethodne jednačine, može se zaključiti da vrednost magnentne indukcije u

istom trasnformatoru raste sa porastom napona, pri istoj učestanosti, a opada sa

porastom učestanosti pri istom naponu. Gubici u gvožđu, kroz koje protiče

naizmenični magentni fluks, sastoje se od gubitaka usled histerezisa i gubitaka usled

vrtložnih struja:

FemvmhhFe mBfkBfkPPP 222

Ako se dati odnos gubitaka (Pvs/Ph=1,5) uvrsti u prethodnu jednačinu, dobijamo:

FemhhFe mBfkPP 2

2

5

2

5

Za slučaj kada je transformator priključen na napon U1 = 110 kV i učestanost f1 = 60

Hz, snaga gubitaka u gvožđu je:

FemhFe mBfkP 2111

2

5

Odnos gubitaka u gvožđu je:

2

211

2

211

1

2

52

5

m

m

Femh

Femh

Fe

Fe

Bf

Bf

mBfk

mBfk

P

P

Ako se vrednost magnetne indukcije izrazi preko napona indukovanog u namotaju,

dobija se:

0083,1

44,4

44,42

1

211

11

2

2111

Uf

Uf

SNf

Uf

SNf

Uf

Bf

Bf

P

P

Fe

Fe

m

m

Fe

Fe

Dakle, gubici u gvožđu pri naponu od 110 kV i učestanosti od 60 Hz iznose:

kW 151,2450083,11 FeFe PP

Zadatak 7: Trofazni transformator ima presek jezgra 270 cm2, a indukcija u jezgru

iznosi Bm = 1,5 T. Frekvencija mreže iznosi 50 Hz. Prenosni odnos transformatora je

10000/400 V. Izračunati broj navojaka transformatora na strani visokog i niskog

napona za slučajeve da je spoj namotaja transformatora:

a) zvezda – zvezda Yy,

b) zvezda – trougao Yd,

c) trougao – zvezda Dy.

Rešenje

Napon transformatora:

SBNfNfU mm 44,4Ф44,4

Izraz za proračun broja navojaka namotaja transformatora:

SBf

UN

m

44,4

Za slučaj sprege namotaja transformatora u trougao (D, d), fazni napon je jednak

linijskom, odnosno iznosi Un.

Za slučaj sprege namotaja transformatora u zvezdu (Y, y), fazni napon je 3 puta

manji od linijskog, odnosno iznosi Un / 3 .

a) Sprega namotaja Yy

Broj navojaka namotaja primara:

642027,05,15044,4

3/10000

44,4

3/1

SBf

UN

m

n

Broj navojaka namotaja sekundara:

26027,05,15044,4

3/400

44,4

3/2

SBf

UN

m

n

b) Sprega namotaja Yd

Broj navojaka namotaja primara:

642027,05,15044,4

3/10000

44,4

3/1

SBf

UN

m

n

Broj navojaka namotaja sekundara:

45027,05,15044,4

400

44,42

SBf

UN

m

n

c) Sprega namotaja Dy

Broj navojaka namotaja primara:

1112027,05,15044,4

10000

44,41

SBf

UN

m

n

Broj navojaka namotaja sekundara:

26027,05,15044,4

3/400

44,4

3/2

SBf

UN

m

n

Zadatak 8: Na natpisnoj pločici sinhrone mašine dati su sledeći nominalni podaci: P =

3 MW, Un = 6 kV, In = 334 A, cosφ = 0,9. Namotaji statora spregnuti su u “zvezdu”.

a) Da li je mašina pri nominalnim uslovima predviđena za motorni ili

generatorski režim rada?

b) Odrediti stepen iskorišćenja mašine.

c) Odrediti gubitke u mašini pri nominalnom radnom režimu.

Rešenje

a) Ukupna snaga sinhrone mašine iznosi:

MW 3,1249,03341063cos3 3 nnnu IUP

Imajući u vidu da je snaga na vratilu mašine pri nominalnom radnom režimu manja od

ukupne snage, zaključujemo da je u pitanju sinhroni motor.

b) Stepen iskorišćenja motora iznosi:

9603,0124,3

3

uP

P

c) Gubici u nominalnom režimu iznose:

kW 0,1243124,3 PPP u

Zadatak 9: Turbogenerator ima snagu od 20 MVA, linijski napon 10 kV i napon

kratkog spoja 12 %. Treba odrediti efektivnu vrednost simetrične struje kratkog spoja i

udarnu struju kratkog spoja.

Rešenje

Naznačena (nominalna) struja generatora je:

A 115510103

1020

3 3

6

n

nU

SI

Struja kratkog spoja iznosi:

A 105871155

12

1001,1

%

1001,1 n

k

k Iu

I

Udarna struja kratkog spoja iznosi:

A 269501058728,128,1 kud II

Zadatak 10: Trofaznom sinhronom generatoru, čiji rotor ima 24 pola, poznati su

sledeći podaci: Sn = 60 MVA, Un = 10 kV, f = 50 Hz, cosφ = 0,85, sprege namotaja Y.

Ukupni gubici u naznačenom režimu rada iznose Pg = 1,4 MW. Odrediti struju i

pogonski momenat tog generatora pri naznačenom opterećenju.

Rešenje

Naznačena struja:

A 346410103

1060

3 3

6

n

nn

U

SI

Pogonski momenat:

)cos(1

55,955,9 gn

ss

g

s

ngobpog PS

nn

P

n

PMMM

Sinhrona brzina obrtanja generatora:

ob/min 25012

506060

p

fns

Pogonski momenat iznosi:

Nm 102)104,18,01060(250

155,9 666 pogM

Zadatak 11: Tri trofazna sinhrona generatora snage Sn1 = 2 MVA, Sn2 = 2 MVA i Sn3

= 5 MVA napajaju mrežu čije je opterećenje Pm = 6500 kW, cosφm = 0,75. Kolika je

prividna snaga i faktor snage trećeg generatora ako prvi i drugi generator opteretimo

samo aktivnim opterećenjem u iznosu P1 = P2 = 1500 kW?

Rešenje

Prividna snaga mreže:

kVA 866775,0

6500

cos

m

mm

PS

Reaktivna snaga mreže:

kVAr 572066,08667sin mmm SQ

Aktivna snaga trećeg generatora iznosi:

kW 35001500265002 13 PPP m

Budući da ovaj generator treba prema uslovima u zadatku da daje ukupnu reaktivnu

snagu i ostatak aktivne snage, njegova prividna snaga će biti:

kVA 670657203500 222233 mQPS

Faktor snage:

0,526706

3500cos

3

33

S

P

Zadatak 12: Trofazni asinhroni motor snage 10 kW priključen je na fazni napon U =

220 V. Stepen iskorišćenja pri naznačenom opterećenju je η = 0,8, a faktor snage

motora je cosφ = 0,82. Odrediti gubitke pri praznom hodu Po, ako struja praznog hoda

Io iznosi 30 % naznačene struje, a faktor snage motora pri praznom hodu je cosφ0=0,2.

Rešenje

Naznačena struja motora:

A 408,082,02203

10000

cos3

2

U

PIn

Struja praznog hoda iznosi:

A 12403,03,00 nII

Gubici u praznom hodu su:

W914,52,0122203cos3 000 IUP

Zadatak 13: Trofazni asinhroni motor snage 18 kW, stepena iskorišćenja 0,88, ima

nominalno klizanje 0,05. Rotorski namotaj je izveden na klizne prstenove, spojen u

zvezdu i ima otpor po fazi 0,018 Ω. Odredite struju u namotaju rotora pri nominalnom

opterećenju, ako su gubici u bakru statora 1100 W, a gubici u gvožđu statora 420 W.

Rešenje

Elektromagnetna (obrtna) snaga iznosi:

W18935110042088,0

18001

211 CuFeCuFeem PP

PPPPP

Gubici u bakru rotora i struja namotaja rotora iznose:

112222 3 CuFeemCu PPPsPsIRP

A 132,4018,03

1893505,0

3 2

2

R

PsI em

Zadatak 14: Šestopolni asinhroni motor pri naznačenom opterećenju i frekvenciji 50

Hz razvija korisni momenat 167 Nm, a ukupni (obrtni) momenat iznosi 182 Nm.

Elektromotorna sila ima frekvenciju 4 Hz. Treba odrediti gubitke u bakru rotora i

stepen iskorišćenja motora ako su gubici u statoru 650 W.

Rešenje

Klizanje asinhronog motora:

0,0850

4

1

2 f

fs

Brzina obrtanja asinhronog motora:

ob/min 920)08,01(3

50601

601

s

p

fsnn s

Snaga obrtnog polja iznosi:

W190593

502182

p

MMP seemsmemem

Gubici u bakru rortora:

W15251905908,02 emCu PsP

Korisna (mehanička) snaga iznosi:

W1608992016760

2

60

222

nMP

Uložena snaga je:

W19709650190591 gsem PPP

Stepen iskorišćenja elektromotora iznosi:

0,81619709

160892

1

2

gsem PP

P

P

P

Zadatak 15: Trofazni šestopolni asinhroni motor 380 V, 50 Hz, daje na osovini snagu

30 kW pri brzini obrtanja od 980 ob/min . Gubici u statoru iznose 0,9 kW, a momenat

trenja i ventilacije 10 Nm. Odrediti:

a) snagu koju motor uzima iz mreže,

b) stepen iskorišćenja motora.

Rešenje

Klizanje asinhronog motora:

0,021000

9801000

s

s

n

nns

ob/min 10003

506060

p

fns

Mehanička snaga asinhronog motora:

W3102655,9

9801030000

55,922

nMPPPP

f

fmeh

Snaga koju motor uzima iz mreže:

W32,5690002,01

31026

11

gs

mehgsem P

s

PPPP

Stepen iskorišćenja motora:

% 92,156,32

30

1

2 P

P

Zadatak 16: Trofazni asinhroni motor radi opterećen nominalnim momentom. Motor

ima tri para polova, frekvencije 50 Hz, klizanja 3%. Odrediti:

a) brzinu obrtanja pri podizanju tereta,

b) pri spuštanju tereta u dizaličnom pogonu.

Rešenje

a) Asinhroni motor koji podiže teret ima 3 para polova, tako da je njegova

sinhrona brzina:

ob/min 10003

506060

p

fns

rad/s 104,72503

2

s

Slika 16.1. Momenti na vratilu motora pri dizanju tereta

Za poznatu sinhronu brzinu i poznato nominalno klizanje, iz jednačine koja daje

vrednost klizanja izraženu u relativnim jedinicama:

s

s

s

s

n

nns

dolazi se do izraza kojim se izračunava brzina obrtanja u ovom režimu rada, tj. pri

podizanju tereta:

snn nsn 1

ss 1

U postavci zadatka je navedeno da je motor opterećen nominalnim momentom, što

prouzrokuje da je klizanje u takvom režimu nominalno, odnosno mašina se obrće

nominalnom brzinom od:

ob/min 970100003,011 snn nsn

Radna tačka ovog režima rada je u tački A, i nalazi se na karakteristici datoj na slici

16.2. Ugaona brzina obrtanja rotora se može izračunati i kao:

rad/s 101,57897060

2

60

2

nn n

Slika 16.2. Radne tačke pogona dizalice na mehaničkoj karakteristici motora

b) Da bi se ostvarilo spuštanje tereta, prvo se mora promeniti smer obrtnog polja

statora asinhrone mašine, čime se omogućuje obrtanje bubnja na suprotnu stranu.

Momenat opterećenja ne menja smer jer masa tereta uvek vuče sajlu na dole, bez

obzira na smer kretanja (dizanje/spuštanje). Prilikom uključenja motora za rad u

suprotnom smeru (spuštanje), teret povećava brzinu rotora iznad sinhrone brzine,

motor prelazi u generatorski režim rada i na taj način ograničava brzinu spuštanja

tereta. U odnosu na sliku 16.1, promenjen je smer kretanja ω<0 a momenti motora i

opterećenja su zadržali smerove. Pošto su brzina obrtanja i obrtni moment konverzije

asinhrone mašine suprotnih smerova, režim rada je generatorski. U ovom režimu rada

klizanje je nominalno i iznosi:

03,0ns

Brzina obrtanja je veća od sinhrone brzine, i iznosi:

ob/min -1030100003,011 snn nsn

Na slici 16.2 prikazana je mehanička karakteristika motora i karakteristika opterećenja

mm. Karakteristika opterećenja je konstantna, i ne zavisi od brzine ni po iznosu ni po

smeru - uvek se podiže i spušta isti teret. Radna tačka podizanja tereta označena je sa

A, a radna tačka spuštanja tereta označena je sa B. Ovde je potrebno obratiti pažnju na

izgled izlazne mehaničke karakteristike motora pri promenjenom smeru obrtnog

magnetnog polja.

Zadatak 17: Dvopolni generator jednosmerne struje sa jednim parom paralelnih grana

(a = 1), napaja potrošače strujom Ia = 50 A. Otpor njegovog namotaja je Ra=0,4 Ω, dok

se rotor obrće brzinom n = 1200 ob/min. Odrediti napon na priključcima generatora

ako je magnetni fluks Ф = 0,02 Wb, broj provodnika iznosi N = 1000.

Rešenje

Indukovana elektromotorna sila:

V 40002,060

12001000

1

1Ф

60

nN

a

pE

Nominalni napon na priključcima dvopolnog generatora jednosmerne struje sa jednim

parom paralelnih grana (a = 1):

V 380504,0400 aan IREU

Zadatak 18: Generator jednosmerne struje sa paralelnom pobudom ima sledeće

podatke: Pn = 16,5 kW, Un = 115 V, n = 1460 ob/min, Rp = 20 Ω, Ra = 0,0424 Ω, broj

provodnika N = 246, broj polova 2p = 4, broj pari paralelnih grana je 2a = 2.

Odrediti:

a) fluks Φ,

b) elektromagnetni obrtni moment M,

c) otpor jedne paralelne grane indukta.

Rešenje

a) Struja indukta:

A 14920

115

115

105,16 3

p

n

n

npna

R

U

U

PIII

Indukovana elektromotorna sila generatora:

V 121,31490424,0115 aan IRUE

Magnetni fluks:

Wb0,010114602462

3,1216060Ф

60

npNn

EaФ

nN

a

pE

b) Elektromagnetni obrtni moment:

Nm 117,81490101,02

246

1

2Ф

2

aI

N

a

pM

c) Otpor jedne paralelne grane indukta:

0,08480424,01221 aa aRR

Zadatak 19: Motor jednosmerne struje sa paralelnom pobudom napona 220 V, otpora

namotaja indukta 0,2 Ω, otpora namotaja induktora 55 Ω, struje koju motor uzima iz

mreže 104 A. Odrediti koliki omski otpor treba ugraditi na red sa nomotajem indukta

da bi se brzina smanjila sa 1000 ob/min na 700 ob/min.

Rešenje

Struja indukta:

A 10055

220104

p

paR

UIIII

Elektromotorna sila:

V 2001002,0220 aa IRUE

0,21000

200ФФ

1

111

n

EknkE EE

V 1407002,0Ф 22 nkE E

Dodatni otpor:

a

aadada

I

IREURIRREU

2

2

0,6100

1002,0140220dR

Zadatak 20: Motor jednosmerne struje sa rednom pobudom (Ra+Rp=1,2 Ω) pri naponu

U = 220 V i struji I = 15 A rotira brzinom n1 = 1000 ob/min. Izračunati promenu

brzine pri rednom vezivanju otpora Rd = 3,8 Ω, ako se opterećenje motora ne menja, a

pad napona na četkicama zanemariti.

Rešenje

U stacionarnim uslovima rada je MMM p 0 ,

0

dt

dnJ .

Kada otpornik Rd nije vezan važi 211 kIM , 11 IRRUE pa .

Posle vezivanja otpornika je 222 kIM , 22 IRRRUE dpa .

Iz uslova da je M1 = M2 dobija se da je I1 = I2, a iz odnosa indukovanih

elektromotornih sila:

1

2

1

2

1

2

nc

nc

IRRU

IRRRU

E

E

pa

dpa

Odakle je:

ob/min 687

152,1200

158,32,1200100012

IRRU

IRRRUnn

pa

dpa