Slobomir - Diskretna - predavanja

DISKRETNA MATEMATIKA

LOGIKA

Nada Vasiljevi


LOGIKA

Nada Vasiljevi

UVODUVODGrubo govorei matematiku moemo da podjelimo na dvije velike cjeline:

Diskretnu matematiku Kontinualnu matematiku

Do sada, uglavnom smo se bavili matematikom analizom, odnosnokontinualnom matematikom. Ona se bavi procesima koji se odlikujuneprekidnim tokom. Nastala je i razvijala se tokom 18, 19 i poetkom 20vijeka. Nastanak diferencijalnog i integralnog rauna u 18. vijeku bio jeuslovljen industrijskom revolucijom, odnosno pojavom mainakontinualnog dejstva. Matematika analiza je bila taj matematiki aparatkoji je mogao da prati i rjeava probleme kontinuma.

Razvoj raunara uslovio je potrebu za novim matematikim aparatom.Memorija raunara je konana, a znajui da su raunari maine diskretnogdejstva ( prelaze iz jednog u drugo stanje u odreenim vremenskimtrenucima ) pojavio se problem rjeavanja velikog broja problema nakonanim skupovima.

Grubo govorei matematiku moemo da podjelimo na dvije velike cjeline: Diskretnu matematiku Kontinualnu matematiku

Do sada, uglavnom smo se bavili matematikom analizom, odnosnokontinualnom matematikom. Ona se bavi procesima koji se odlikujuneprekidnim tokom. Nastala je i razvijala se tokom 18, 19 i poetkom 20vijeka. Nastanak diferencijalnog i integralnog rauna u 18. vijeku bio jeuslovljen industrijskom revolucijom, odnosno pojavom mainakontinualnog dejstva. Matematika analiza je bila taj matematiki aparatkoji je mogao da prati i rjeava probleme kontinuma.

Razvoj raunara uslovio je potrebu za novim matematikim aparatom.Memorija raunara je konana, a znajui da su raunari maine diskretnogdejstva ( prelaze iz jednog u drugo stanje u odreenim vremenskimtrenucima ) pojavio se problem rjeavanja velikog broja problema nakonanim skupovima.

UVODUVOD

Diskretna matematika je dio matematike koji se bavi prouavanjemdiskretnih skupova.Ona je u sutini sinteza:

matematike logike, teorije skupova, opte algebre, kombinatorike, diskretne vjerovatnoe ,i novih oblasti matematike kao to su teorija grafova, teorija kodova, algoritamske strukture i slino.

Diskretna matematika obezbjeuje teorijsku osnovu za mnoge oblastiraunarskih nauka, kao to su struktura podataka, teorija algoritama,formalni jezici, konstrukcija prevodilaca, vjetaka inteligencija,raunarske mree, softversko inenjerstvo i mnoge druge.

Diskretna matematika je dio matematike koji se bavi prouavanjemdiskretnih skupova.Ona je u sutini sinteza:

matematike logike, teorije skupova, opte algebre, kombinatorike, diskretne vjerovatnoe ,i novih oblasti matematike kao to su teorija grafova, teorija kodova, algoritamske strukture i slino.

Diskretna matematika obezbjeuje teorijsku osnovu za mnoge oblastiraunarskih nauka, kao to su struktura podataka, teorija algoritama,formalni jezici, konstrukcija prevodilaca, vjetaka inteligencija,raunarske mree, softversko inenjerstvo i mnoge druge.

JEZIK MATEMATIKEJEZIK MATEMATIKE Pored govornog jezika u matematici se koriste razni matematiki znaci-

simboli koji ine jezik matematike. Taj jezik je univerzalan i omoguavajednostavno i svima razumljivo zapisivanje matematikih sadraja.

Jezik matematike sadri:

Konstante:

Promjenljive:

Operacijske znake:

algebarske operacije: , logike operacije:

skupovne operacije:

Relacijske znake:

Specijalne znake:

12,3, , , 2,2

, , , , , ,x y a b

Pored govornog jezika u matematici se koriste razni matematiki znaci-simboli koji ine jezik matematike. Taj jezik je univerzalan i omoguavajednostavno i svima razumljivo zapisivanje matematikih sadraja.

Jezik matematike sadri:

Konstante:

Promjenljive:

Operacijske znake:

algebarske operacije: , logike operacije:

skupovne operacije:

Relacijske znake:

Specijalne znake:

, , , , , ,x y a b

, ,*, / , , , ,

, , \, ,X

: , , , , ,

, , , , , , , ,!,

JEZIK MATEMATIKEJEZIK MATEMATIKE

Korienjem ovih ovih elemenata matematikog jezika definiemo izraze iformule.

Izrazi sadre konstante, promjenljive i operacijske znake:

Primjer:x+2 je izraz. Izrazi u obinom jeziku predstavljaju rijei.

Formule su izrazi koji moraju da sadre relacijski znak.

Primjer:x+3=5 je formula. Formule su u obinom jeziku su reenice.

Korienjem ovih ovih elemenata matematikog jezika definiemo izraze iformule.

Izrazi sadre konstante, promjenljive i operacijske znake:

Primjer:x+2 je izraz. Izrazi u obinom jeziku predstavljaju rijei.

Formule su izrazi koji moraju da sadre relacijski znak.

Primjer:x+3=5 je formula. Formule su u obinom jeziku su reenice.

JEZIK MATEMATIKEJEZIK MATEMATIKE

Univerzalni kvantor (kvantifikator) - znai svi, svaki, ma koji, bilokoji.

- za svaki x vai a(x)

Egzistencijalni kvantor - znai postoji, makar jedan, bar jedan, neki.- postoji x za koje vai a(x)

Negacija kvantora je:

Primjer:Primjenom kvantora napisati sledeu reenicu:Postoji tano jedan broj iji je kvadrat nula.

x a x

x a x

Univerzalni kvantor (kvantifikator) - znai svi, svaki, ma koji, bilokoji.

- za svaki x vai a(x)

Egzistencijalni kvantor - znai postoji, makar jedan, bar jedan, neki.- postoji x za koje vai a(x)

Negacija kvantora je:

Primjer:Primjenom kvantora napisati sledeu reenicu:Postoji tano jedan broj iji je kvadrat nula.

x a x x a x

x a x x a x

2 0x x

LOGIKLOGIKAA Logika je vjetina i metoda pravilnog miljenja. Logika je nauka o

zakljuivanju i kao takva koristi se u najrazliitijim oblastima nauke, apogotovo u matematici. Osnova je cjelokupnog matematikogrezonovanja. Nastala je u 4 vijeku p.n.e. Na osnovu osnovnih stavova, kojenazivamo aksiomama, odreuje se koji su matematiki iskazi tani, a kojine, i formalizuju se postupci dobijanja sloenih reenica iz prostih u skladusa pravilima ispravnog zakljuivanja.

Osniva logike je grki filozof Aristotel (384-322 p.n.e.). Roen u Stagiri,grkoj koloniji na makedonskom poluostrvu. Njegov otac, Nikomah, radioje kao dvorski ljekar kod kralja Amintasa Makedonskog, dede AleksandraVelikog. Od 18. do 37. godine pohaa Akademiju kao Platonov uenik. Napoziv kralja Filipa Makedonskog postaje tutor Aleksandra Velikog, koji jetada imao 13 godina . Prvi je podrobno obradio zakone logike i pravilazakljuivanja u djelu Organon, to u prevodu znai orue. U ovom djelusainio je prvi skup pravila deduktivnog zakljuivanja.

Logika je vjetina i metoda pravilnog miljenja. Logika je nauka ozakljuivanju i kao takva koristi se u najrazliitijim oblastima nauke, apogotovo u matematici. Osnova je cjelokupnog matematikogrezonovanja. Nastala je u 4 vijeku p.n.e. Na osnovu osnovnih stavova, kojenazivamo aksiomama, odreuje se koji su matematiki iskazi tani, a kojine, i formalizuju se postupci dobijanja sloenih reenica iz prostih u skladusa pravilima ispravnog zakljuivanja.

Osniva logike je grki filozof Aristotel (384-322 p.n.e.). Roen u Stagiri,grkoj koloniji na makedonskom poluostrvu. Njegov otac, Nikomah, radioje kao dvorski ljekar kod kralja Amintasa Makedonskog, dede AleksandraVelikog. Od 18. do 37. godine pohaa Akademiju kao Platonov uenik. Napoziv kralja Filipa Makedonskog postaje tutor Aleksandra Velikog, koji jetada imao 13 godina . Prvi je podrobno obradio zakone logike i pravilazakljuivanja u djelu Organon, to u prevodu znai orue. U ovom djelusainio je prvi skup pravila deduktivnog zakljuivanja.

MATEMATIKA LOGIKAMATEMATIKA LOGIKA Od sredine 19 vjeka pa do danas, matematika logika se razvija veoma

intenzivno. Ona je znaajna matematika disciplina koja je uvela strogost udefinisanje pojmova. Obezbjeuje teorijske osnove mnogih matematikihdisciplina, a prije svega raunarskih nauka. Omoguila je nastanak i razvojdigitalnih elektronskih raunara.ISKAZI

Polazni pojam u matematikoj logici su iskazi, afirmativne reenice kojeimaju smisla i koje su ili tane ili netane.

Reenica koja ima istinitosnu vrijednost naziva se iskaz ili sud. Iskazi se obiljeavaju malim slovima p,q,r,..i nazivaju se iskazna slova. Istinitosna vrijednost iskaza je

Od sredine 19 vjeka pa do danas, matematika logika se razvija veomaintenzivno. Ona je znaajna matematika disciplina koja je uvela strogost udefinisanje pojmova. Obezbjeuje teorijske osnove mnogih matematikihdisciplina, a prije svega raunarskih nauka. Omoguila je nastanak i razvojdigitalnih elektronskih raunara.ISKAZI

Polazni pojam u matematikoj logici su iskazi, afirmativne reenice kojeimaju smisla i koje su ili tane ili netane.

Reenica koja ima istinitosnu vrijednost naziva se iskaz ili sud. Iskazi se obiljeavaju malim slovima p,q,r,..i nazivaju se iskazna slova. Istinitosna vrijednost iskaza je

,,

T p je taan iskazp

p je netaan iskaz

MATEMATIKA LOGIKAMATEMATIKA LOGIKA

Primjer:

Reenica p: 2-1=1 je iskaz i ima tanu istinitosnu vrijednost, tj.

Primjer:

Reenica p: 2-1=-1 je iskaz i ima netanu istinitosnu vrijednost, tj.

Primjer:

Reenica nije iskaz jer nema definisanu istinitosnu vrijednost. Zaneke vrijednosti promenljive x , tj za formula je tana, a za sveostale je netana.

p T

p

Primjer:

Reenica p: 2-1=1 je iskaz i ima tanu istinitosnu vrijednost, tj.

Primjer:

Reenica p: 2-1=-1 je iskaz i ima netanu istinitosnu vrijednost, tj.

Primjer:

Reenica nije iskaz jer nema definisanu istinitosnu vrijednost. Zaneke vrijednosti promenljive x , tj za formula je tana, a za sveostale je netana.

2 1x 1x

OSNOVNE LOGIKE OPERACIJEOSNOVNE LOGIKE OPERACIJE

U svakodnevnom jeziku, reenice se kombinuju u sloene reenice,korienjem veznika i, ili, ne, ako onda i mnogih drugih. Istinitosnavrijednost sloene reenice uslovljena je istinitou njenih delova. Overijei su u vezi sa logikim operacijama.

Primjer:p: Danas pada kiaq: Danas je novembar.Sloena reenica glasiDanas pada kia i danas je novembar.

Sastoji se od 2 dijela spojenih veznikom i. Ova reenica se moe napisatikao p i q.

U svakodnevnom jeziku, reenice se kombinuju u sloene reenice,korienjem veznika i, ili, ne, ako onda i mnogih drugih. Istinitosnavrijednost sloene reenice uslovljena je istinitou njenih delova. Overijei su u vezi sa logikim operacijama.

Primjer:p: Danas pada kiaq: Danas je novembar.Sloena reenica glasiDanas pada kia i danas je novembar.

Sastoji se od 2 dijela spojenih veznikom i. Ova reenica se moe napisatikao p i q.

OSNOVNE LOGIKE OPERACIJEOSNOVNE LOGIKE OPERACIJE Razlikujemo unarne (jedna promenljiva) i binarne (dve promenljive)

logike operacije.

Osnovne logike operacije su:

konjukcija (i), u oznaci . To je reenica oblika p i q.

disjunkcija (ili), u oznaci . To je reenica oblika p ili q.

implikacija (ako - onda), . To je reenica oblika ako p onda q.

ekvivalencija (ako i smo ako) . To je reenica oblika ako p onda q, iako q onda p. ita se i u obliku p ako i samo ako q i pie p akko q.

negacija (ne) . To je reenica oblika nije p.

Razlikujemo unarne (jedna promenljiva) i binarne (dve promenljive)logike operacije.

Osnovne logike operacije su:

konjukcija (i), u oznaci . To je reenica oblika p i q.

disjunkcija (ili), u oznaci . To je reenica oblika p ili q.

implikacija (ako - onda), . To je reenica oblika ako p onda q.

ekvivalencija (ako i smo ako) . To je reenica oblika ako p onda q, iako q onda p. ita se i u obliku p ako i samo ako q i pie p akko q.

negacija (ne) . To je reenica oblika nije p.


Istinitosna vrijednost logikih operacija data je sledeom tablicom.

p q p q p q p q p q p

T

T

T

T

T

T T

T

T

T

T

T

T

T

T


Istinitosna vrijednost u tablici je u saglasnosti sa svakodnevnom logikom i jedinokod implikacije naizgled neloginost vidimo u sluaju kada je .Znai, impikacija je tana bez obzira na vrijednost iskaznog slova q.

p

T T T T

T

OSNOVNE LOGIKE OPERACIJEOSNOVNE LOGIKE OPERACIJE Implikaciji meu logikim operacijama pripada istaknuto mjesto. Najvei

broj matematikih tvrenja su u vezi sa implikacijom i zato se razvio itavniz jezikih izraavanja implikacije.

Implikacija moe da se itata na sledee naine:

Ako p, onda q, q , samo ako p , p je pretpostavka posledice q, p povlai q, iz p sledi q , p je dovoljan uslov za q . q je potreban uslov za p, q ako p,

Primjer: Ako je broj djeljiv sa 6, djeljiv je i sa 2.Proitati na razne naine.

Implikaciji meu logikim operacijama pripada istaknuto mjesto. Najveibroj matematikih tvrenja su u vezi sa implikacijom i zato se razvio itavniz jezikih izraavanja implikacije.

Implikacija moe da se itata na sledee naine:

Ako p, onda q, q , samo ako p , p je pretpostavka posledice q, p povlai q, iz p sledi q , p je dovoljan uslov za q . q je potreban uslov za p, q ako p,

Primjer: Ako je broj djeljiv sa 6, djeljiv je i sa 2.Proitati na razne naine.

OSNOVNE LOGIKE OPERACIJEOSNOVNE LOGIKE OPERACIJEZa implikaciju , vezane su 3 dodatne vrste iskaza:

konverzija

inverzija

kontrapozicija

Primjer:Ako je ona glumica, onda je ona popularna. -implikacija.Ako je ona popularna, onda je ona glumica. - konverzija .Ako je ona nije glumica, onda je ona nije popularna. - inverzija .Ako je ona nije popularna, onda je ona nije glumica. - kontrapozicija.

p q

q p

p q

q p

Za implikaciju , vezane su 3 dodatne vrste iskaza:

konverzija

inverzija

kontrapozicija

Primjer:Ako je ona glumica, onda je ona popularna. -implikacija.Ako je ona popularna, onda je ona glumica. - konverzija .Ako je ona nije glumica, onda je ona nije popularna. - inverzija .Ako je ona nije popularna, onda je ona nije glumica. - kontrapozicija.

OSNOVNE LOGIKE OPERACIJEOSNOVNE LOGIKE OPERACIJE Ekvivalencija je dvostruka implikacija, odnosno

Ekvivalencija se ita na sledee naine: Ako p, onda q i obrnuto, p ako i samo ako q, p je potrebno i dovoljno da je q , p je potreban i dovoljan uslov za q.

Rijei ako i samo ako piemo esto u sledeem obliku akko. Primjer:

Ako je neki cijeli broj jednak 2, onda je njegov kvadarat jednak 4. Primjer:

Trougao je pravougli, ako i samo ako je zbir kvadrata nad katetama jednakkvadratu nad hipotenuzom.

Primjer:Broj je djeljiv sa 6, akko je djeljiv sa 2 i sa 3.

p q p q q p Ekvivalencija je dvostruka implikacija, odnosno

Ekvivalencija se ita na sledee naine: Ako p, onda q i obrnuto, p ako i samo ako q, p je potrebno i dovoljno da je q , p je potreban i dovoljan uslov za q.

Rijei ako i samo ako piemo esto u sledeem obliku akko. Primjer:

Ako je neki cijeli broj jednak 2, onda je njegov kvadarat jednak 4. Primjer:

Trougao je pravougli, ako i samo ako je zbir kvadrata nad katetama jednakkvadratu nad hipotenuzom.

Primjer:Broj je djeljiv sa 6, akko je djeljiv sa 2 i sa 3.

Iskazne formuleIskazne formule

Kombinovanjem iskaznih slova i znakova za logike operacije dobijamosloene formule, kao to su , i slino.

Iskazna slova ine iskaznu formulu.

Iskaznu formulu ine iskazna slova p,q ,r i znaci za osnovne logikeoperacije.

Primjer:Formule su:

Istinitosnu vrijednost iskazne formule mogue je odrediti istinitosnomtablicom.

,p q p p q p r Kombinovanjem iskaznih slova i znakova za logike operacije dobijamo

sloene formule, kao to su , i slino.

Iskazna slova ine iskaznu formulu.

Iskaznu formulu ine iskazna slova p,q ,r i znaci za osnovne logikeoperacije.

Primjer:Formule su:

Istinitosnu vrijednost iskazne formule mogue je odrediti istinitosnomtablicom.

, ,p q p p q r p p q


Primjer:Odrediti istinitosnu tabicu formule p q p

p q p q p q p T T T T

T T T T

T

T T

T


Prilikom pisanja iskaznih formula, ako se izostave zagrade, vano je znatiprioritet logikih operacija, koji moemo vidjeti iz sledee tablice.

logiki operator prioritet1

,

,

2

3

Iskazne formuleIskazne formule Prevod sadraja iz obinog jezika u zapis matematike logike je jedan od

najvanijih problema hardverskih i softverskih poslova. Problem se svodida se sadraj obinog jezika svede na taan i nedvosmislen logiki zapiskoji moe da bude predmet daljeg prouavanja.Primjer:

Automatski, odgovor ne moe biti poslat ako je unutranja memorija puna.

Neka je reenica p : Odgovor se automatski alje.

Neka je reenica q : Unutranja memorija je puna.

Onda p je reenica : Odgovor se ne alje automatski.

Logiki zapis bi bio :

Prevod sadraja iz obinog jezika u zapis matematike logike je jedan odnajvanijih problema hardverskih i softverskih poslova. Problem se svodida se sadraj obinog jezika svede na taan i nedvosmislen logiki zapiskoji moe da bude predmet daljeg prouavanja.Primjer:

Automatski, odgovor ne moe biti poslat ako je unutranja memorija puna.

Neka je reenica p : Odgovor se automatski alje.

Neka je reenica q : Unutranja memorija je puna.

Onda p je reenica : Odgovor se ne alje automatski.

Logiki zapis bi bio :

q p


Iskazna formula koja je uvjek tana naziva se tautologija.

Iskazna formula koja je uvjek netana naziva se kontradikcija.

Tautologije u obinom jeziku predstavljaju zakone miljenja.

Iskazne formuleIskazne formuleOsnovni logiki zakoni su :

Zakon idempotencije

Dvostruka negacija

Komutativnost

Asocijativnost

Distributivnost

De Morganovi zakoni

p p pp p p

p p

p q q pp q q p

Osnovni logiki zakoni su :

Zakon idempotencije

Dvostruka negacija

Komutativnost

Asocijativnost

Distributivnost

De Morganovi zakoni

p q r p q r

p q r p q r

p q p r p q r

p q p r p q r

p q p q

p q p q

PITANJA ZA PONAVLJANJEPITANJA ZA PONAVLJANJE

ta je iskaz? ta je iskazna formula? ta su unarne, a ta binarne logike operacije? Kakva moe da bude istinitosna vrednost iskazne formule? Navesti osnovne logike operacije. ta je konverzija? ta je inverzija? ta je kontrapozicija? ta je tautologija? ta je kontradikcija? Kakav je prioritet logikih operacija? Navesti osnovne logike zakone.

ta je iskaz? ta je iskazna formula? ta su unarne, a ta binarne logike operacije? Kakva moe da bude istinitosna vrednost iskazne formule? Navesti osnovne logike operacije. ta je konverzija? ta je inverzija? ta je kontrapozicija? ta je tautologija? ta je kontradikcija? Kakav je prioritet logikih operacija? Navesti osnovne logike zakone.


TEORIJA SKUPOVA

Nada Vasiljevi


TEORIJA SKUPOVA

Nada Vasiljevi

OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVAOSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA

Svakodnevno, u razliitim prilikama radimo sa skupovima. Korpa jabuka, skup kontinenata, populacija bakterija, skup taaka na krunici,

skup prirodnih brojeva, sve su to primeri skupova. Skoro svaka djelatnost ovjeka odnosi se na neke skupove.

U drugoj polovini 19. vijeka matematiari su poeli da se interesuju zaapstraktne osobine skupova.

Tako je nastala nova matematika disciplina, apstraktna teorija beskonanihskupova, koja je postala odluujui korak u sintetizovanju matematikihznanja.

Njen tvorac je njemaki matematiarDor Kantor (Georg Kantor 1845.-1918.).

Svakodnevno, u razliitim prilikama radimo sa skupovima. Korpa jabuka, skup kontinenata, populacija bakterija, skup taaka na krunici,

skup prirodnih brojeva, sve su to primeri skupova. Skoro svaka djelatnost ovjeka odnosi se na neke skupove.

U drugoj polovini 19. vijeka matematiari su poeli da se interesuju zaapstraktne osobine skupova.

Tako je nastala nova matematika disciplina, apstraktna teorija beskonanihskupova, koja je postala odluujui korak u sintetizovanju matematikihznanja.

Njen tvorac je njemaki matematiarDor Kantor (Georg Kantor 1845.-1918.).


Skup je osnovni pojam koji se ne definie. ine ga elementi koji imaju barjednu zajedniku osobinu.

Objekti skupa nazivaju se njegovim elementima. Skupovi se obeleavaju najee velikim slovima A,B,C,a njegovi

elementi malim slovima a,b ,c , ...

Neki element a moe pripadati datom skupu A, to se oznaava sa, ili ne pripadati istom skupu, to se oznaava sa .

Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i obiljeava se sa . Za grafiko predstavljanje skupova koriste se Venovi dijagrami.

Skup je osnovni pojam koji se ne definie. ine ga elementi koji imaju barjednu zajedniku osobinu.

Objekti skupa nazivaju se njegovim elementima. Skupovi se obeleavaju najee velikim slovima A,B,C,a njegovi

elementi malim slovima a,b ,c , ...

Neki element a moe pripadati datom skupu A, to se oznaava sa, ili ne pripadati istom skupu, to se oznaava sa .

Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i obiljeava se sa . Za grafiko predstavljanje skupova koriste se Venovi dijagrami.

a A a A

a A

Aa


Kaemo da je A podskup skupa B i piemo , ako svaki elementskupa A pripada istovremeno i skupu B.

Dva skupa A i B su jednaka, ako svaki element skupa A pripada i skupu B iako svaki element skupa B istovremeno pripada i skupu A.

Partitivni skup P(A) datog skupa A, je skup svih podskupova datog skupa,tj.

Primjer:

A B

A B

B A A B x x A x B

Kaemo da je A podskup skupa B i piemo , ako svaki elementskupa A pripada istovremeno i skupu B.

Dva skupa A i B su jednaka, ako svaki element skupa A pripada i skupu B iako svaki element skupa B istovremeno pripada i skupu A.

Partitivni skup P(A) datog skupa A, je skup svih podskupova datog skupa,tj.

Primjer:

A B x x A x B

P A X X A

, , , P A , , , , , , , , , , , ,A a b c a b c a b b c a c a b c

OPERACIJE SA SKUPOVIMAOPERACIJE SA SKUPOVIMA

Unija dva skupa A i B je skup

Primjer:

U optem sluaju, kada imamo konano mnogo skupova , njihova unija je:

A B x x A x B

A B

BA

Unija dva skupa A i B je skup

Primjer:

U optem sluaju, kada imamo konano mnogo skupova , njihova unija je:

1,2 , 2,3,6,7 , 1,2,3,6,7A B A B

1 21

n

i ni

A A A A


Presjek skupova A i B je skup

Primjer:

Ako je presjek dva skupa A i B prazan, tada kaemo da su oni disjunktni .

Ako je dato konano mnogo skupova njihov presjek je:

A B x x A x B

A BA B

Presjek skupova A i B je skup

Primjer:

Ako je presjek dva skupa A i B prazan, tada kaemo da su oni disjunktni .

Ako je dato konano mnogo skupova njihov presjek je:

1,2 , 2,3,6,7 , 2A B A B

1 21

n

i ni

A A A A


Razlika skupova A i B je skup

Primjer:

Simetrina razlika skupova A i B je

Komplement skupa A u odnosu na skup B (ili dopuna skupa A do skupa B )gde je,

je skup

\A B x x A x B

\A B

AB

1,2 , 2,3,6,7 , \ 1 , \ 3,6,7A B A B B A

Razlika skupova A i B je skup

Primjer:

Simetrina razlika skupova A i B je

Komplement skupa A u odnosu na skup B (ili dopuna skupa A do skupa B )gde je,

je skup

1,2 , 2,3,6,7 , \ 1 , \ 3,6,7A B A B B A

( \ ) ( \ )A B A B B A

A B

\BC A B A

OPERACIJE SA SKUPOVIMAOPERACIJE SA SKUPOVIMA Par elemenata (a,b) nazivamo ureenim parom (ili ureenom dvojkom)

ako je tano odreeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu. Ureeni parovi (a,b) i (c,d) su jednaki ako i samo ako je a=c i b=d . Dekartovim proizvodom skupova A i B naziva se skup

Primjer:Dati su skupovi

Oigledno je , to znai da za Dekartov proizvod skupovane vai zakon komutacije.

Dekartov proizvod se oznaava sa Dekartov proizvod predstavlja realnu ravan.

( , )A B a b a A b B

1,2,3 ,A i B x y

Par elemenata (a,b) nazivamo ureenim parom (ili ureenom dvojkom)ako je tano odreeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu.

Ureeni parovi (a,b) i (c,d) su jednaki ako i samo ako je a=c i b=d . Dekartovim proizvodom skupova A i B naziva se skup

Primjer:Dati su skupovi

Oigledno je , to znai da za Dekartov proizvod skupovane vai zakon komutacije.

Dekartov proizvod se oznaava sa Dekartov proizvod predstavlja realnu ravan.

1,2,3 ,A i B x y (1, ), (2, ), (3, ), (1, ), (2, ), (3, ) ,

( ,1), ( ,2), ( ,3), ( ,1), ( ,2), ( ,3)

A B x x x y y y

B A x x x y y y

A B B A

A A 2A2R R R

Dekart ReneDekart Rene

Dekart Rene (Descartes Ren, 1596.-1650.) Bio je matematiar, filozof inaunik ije je djelo Geometrija (La geometrie) postavilo osnove dananjojanalitikoj geometriji.

Dekart je bio prvi koji je upotrebio poslednja slova alfabeta da oznainepoznate veliine. O znaenju tog otkria Engels je rekao: "Dekartovapromenljiva veliina bila je prekretnica u matematici. Zahvaljujui tomeuli su u matematiku kretanje i dijalektika, a isto se tako odmah nunodolo do diferencijalnog i integralnog rauna, koji se odmah i javlja, te suga Njutn i Lajbnic uglavnom dovrili, a nisu ga otkrili."

Zaetnik je novog filozofskog pravca Racionalizma. Metodskimskeptikim raiavanjem svega nejasnog i nesigurnog i izdvajanjem iodbacivanjem nepouzdanog, Dekart dolazi do osnovne istine, koja je ponjegovom miljenju potpuno pouzdana, i iz koje e nastojati da izvede itavsvoj filozofski sistem. Ta istina je sadrana u njegovoj poznatoj reenici"Mislim, dakle postojim" (Cogito, ergo sum).

Dekart Rene (Descartes Ren, 1596.-1650.) Bio je matematiar, filozof inaunik ije je djelo Geometrija (La geometrie) postavilo osnove dananjojanalitikoj geometriji.

Dekart je bio prvi koji je upotrebio poslednja slova alfabeta da oznainepoznate veliine. O znaenju tog otkria Engels je rekao: "Dekartovapromenljiva veliina bila je prekretnica u matematici. Zahvaljujui tomeuli su u matematiku kretanje i dijalektika, a isto se tako odmah nunodolo do diferencijalnog i integralnog rauna, koji se odmah i javlja, te suga Njutn i Lajbnic uglavnom dovrili, a nisu ga otkrili."

Zaetnik je novog filozofskog pravca Racionalizma. Metodskimskeptikim raiavanjem svega nejasnog i nesigurnog i izdvajanjem iodbacivanjem nepouzdanog, Dekart dolazi do osnovne istine, koja je ponjegovom miljenju potpuno pouzdana, i iz koje e nastojati da izvede itavsvoj filozofski sistem. Ta istina je sadrana u njegovoj poznatoj reenici"Mislim, dakle postojim" (Cogito, ergo sum).

Dekart ReneDekart Rene

1649. godine Dekarta je u Stokholm pozvala vedska kraljica Kristina da bije poduavao. Dvadesettrogodinja kraljica je eljela da crta tangente u petsati ujutru, tako da je Dekart razbio svoju ivotnu naviku ustajanja ujedanaest sati. elei da svojim savjetima utie na udljivu vladarku tadamone zemlje kako bi time uinio neto za mir u svjetu, Dekart je podnosiosurove uslove u zemlji stjena i gleera i svako jutro hodao do palate. Nenaviknut na hladnou vedskih zima umro je 1650. godine od zapaljenjaplua.

1649. godine Dekarta je u Stokholm pozvala vedska kraljica Kristina da bije poduavao. Dvadesettrogodinja kraljica je eljela da crta tangente u petsati ujutru, tako da je Dekart razbio svoju ivotnu naviku ustajanja ujedanaest sati. elei da svojim savjetima utie na udljivu vladarku tadamone zemlje kako bi time uinio neto za mir u svjetu, Dekart je podnosiosurove uslove u zemlji stjena i gleera i svako jutro hodao do palate. Nenaviknut na hladnou vedskih zima umro je 1650. godine od zapaljenjaplua.

BROJ ELEMENATA SKUPABROJ ELEMENATA SKUPAKARDINALNI BROJKARDINALNI BROJ

Odreivanje broja elemenata konanih skupova svodi se na njihovoprebrojavanje .

Meutim, kada se radi o beskonanim skupovima ,stvar je mnogo sloenija.Tada se sreemo sa dosta neoekivanim situacijama.

Pojam kardinalnog broja je uveden da bi se pomou njega skupovi mogliuporeivati po veliini.

Jo u 17. vijeku uveni fiziar i matematiar Galileo Galilej ( GalileoGalilei 1564-1642 ) je primjetio da kod beskonanog skupa, njegov pravipodskup moe biti iste veliine kao i cijeli skup.

Kasnije u 19. vijeku je uoeno da svi beskonani skupovi nisu iste veliine,da neki beskonani skupovi mogu biti vei od drugih beskonanih skupova.Primjer:Skup N- prirodnih brojeva i 2N parnih brojevaSkup N- prirodnih brojeva i Z cijelih brojeva

Odreivanje broja elemenata konanih skupova svodi se na njihovoprebrojavanje .

Meutim, kada se radi o beskonanim skupovima ,stvar je mnogo sloenija.Tada se sreemo sa dosta neoekivanim situacijama.

Pojam kardinalnog broja je uveden da bi se pomou njega skupovi mogliuporeivati po veliini.

Jo u 17. vijeku uveni fiziar i matematiar Galileo Galilej ( GalileoGalilei 1564-1642 ) je primjetio da kod beskonanog skupa, njegov pravipodskup moe biti iste veliine kao i cijeli skup.

Kasnije u 19. vijeku je uoeno da svi beskonani skupovi nisu iste veliine,da neki beskonani skupovi mogu biti vei od drugih beskonanih skupova.Primjer:Skup N- prirodnih brojeva i 2N parnih brojevaSkup N- prirodnih brojeva i Z cijelih brojeva


Ako postoji bijektivna funkcija f skupa A na skup B , onda se za skupove Ai B kae da imaju isti kardinalni broj, u oznaci kA=kB.

Kod konanih skupova, kardinalni broj predstavlja broj elemenata skupa.

Ako skup A ima isti kardinalni broj kao skup prirodnih brojeva N, onda zaskup kaemo da je prebrojiv.

Skup A je prebrojiv ako se moe poreati u niz.

Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva oznaava se sa hebrejskimslovom i ita se alef nula

Ako postoji bijektivna funkcija f skupa A na skup B , onda se za skupove Ai B kae da imaju isti kardinalni broj, u oznaci kA=kB.

Kod konanih skupova, kardinalni broj predstavlja broj elemenata skupa.

Ako skup A ima isti kardinalni broj kao skup prirodnih brojeva N, onda zaskup kaemo da je prebrojiv.

Skup A je prebrojiv ako se moe poreati u niz.

Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva oznaava se sa hebrejskimslovom i ita se alef nula

0kN


Primjer:Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva jednak je kardinalnom broju skupasvih parnih prirodnih brojeva.Ta jednakost se vidi iz preslikavanja

Dakle

Primjer:Skup celih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi moguporeati u nizDakle

1 2 3 4

2 1 2 2 2 3 2 4 2

n

n

Primjer:Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva jednak je kardinalnom broju skupasvih parnih prirodnih brojeva.Ta jednakost se vidi iz preslikavanja

Dakle

Primjer:Skup celih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi moguporeati u nizDakle

2kN k N

0, 1,1, 2,2,

kN kZ


Primjer:Skup racionalnih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi mogu poreati u niz,

Dakle

01121 23 31 2 34 4 4

Primjer:Skup racionalnih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi mogu poreati u niz,

Dakle

01121 23 31 2 34 4 4

cardN cardQ


Skup realnih brojeva R je neprebrojiv, cardR=c ( kontinum ).

Primjer:

Skup svih taaka prave ima kardinalni broj c.Skup svih realnih brojeva izmeu 0 i 1 ima takoe kardinalni broj c.

Primjer:Koliki je kardinalni broj praznog skupa?

Skup realnih brojeva R je neprebrojiv, cardR=c ( kontinum ).

Primjer:

Skup svih taaka prave ima kardinalni broj c.Skup svih realnih brojeva izmeu 0 i 1 ima takoe kardinalni broj c.

Primjer:Koliki je kardinalni broj praznog skupa?

1k

RASELOV PARADOKSRASELOV PARADOKS

Jasno je da je teorija beskonanih skupova u poetku svoga nastanka imalaveliki broj protivnika.

Meutim, poetkom ovog vijeka teorija skupova doivljava svoj procvat inalazi iroku primjenu u matematici i nauci uopte.

Naalost, istovremeno, uoene su i prve protivrjenosti, odnosno paradoksi Najuveniji je Raselov paradoks nastao 1902 godine. Postoje razne interpretacije Raselovog paradoksa, paradoks brijaa,

paradoks biblioteke i mnogi drugi.

Jasno je da je teorija beskonanih skupova u poetku svoga nastanka imalaveliki broj protivnika.

Meutim, poetkom ovog vijeka teorija skupova doivljava svoj procvat inalazi iroku primjenu u matematici i nauci uopte.

Naalost, istovremeno, uoene su i prve protivrjenosti, odnosno paradoksi Najuveniji je Raselov paradoks nastao 1902 godine. Postoje razne interpretacije Raselovog paradoksa, paradoks brijaa,

paradoks biblioteke i mnogi drugi.

RASELOV PARADOKSRASELOV PARADOKSPrimjer:Paradoks brijaaU nekom selu ivjeo je brija, koji je brijao sve one stanovnike sela , kojise nisu brijali sami. Da li je brija brijao samog sebe?

Ako bi se brija brijao sam, on bi bio jedan od stanovnika koji se brijusami, pa se ne bi smio brijati kod brijaa. Ako se pak brija ne bi brijao, biobi jedan od stanovnika sela koji se ne briju sami, pa bi se morao brijati kodbrijaa.

Kako se rjeava ovaj paradoks.

Jednostavno, nije mogue da postoji selo u kome bi brija mogao da radiovako kako je reeno.

Sutina Raselovog paradoksa svodi se na sledee:

Ako za svaku osobinu postoji skup svih objekata koji sadre tu osobinu,onda to isto vai i za osobinu skup ne pripada samom sebi, odnosno,pitanje je, da li skup svih skupova koji ne sadre sebe, sadri sebe?

Primjer:Paradoks brijaaU nekom selu ivjeo je brija, koji je brijao sve one stanovnike sela , kojise nisu brijali sami. Da li je brija brijao samog sebe?

Ako bi se brija brijao sam, on bi bio jedan od stanovnika koji se brijusami, pa se ne bi smio brijati kod brijaa. Ako se pak brija ne bi brijao, biobi jedan od stanovnika sela koji se ne briju sami, pa bi se morao brijati kodbrijaa.

Kako se rjeava ovaj paradoks.

Jednostavno, nije mogue da postoji selo u kome bi brija mogao da radiovako kako je reeno.

Sutina Raselovog paradoksa svodi se na sledee:

Ako za svaku osobinu postoji skup svih objekata koji sadre tu osobinu,onda to isto vai i za osobinu skup ne pripada samom sebi, odnosno,pitanje je, da li skup svih skupova koji ne sadre sebe, sadri sebe?


ta je skup? Kako obiljeavamo skupove? ta su Venovi dijagrami? Navesti i definisati skupovne relacije. Navesti i definisati skupovne operacije. Koji su skupovi disjunktni? ta je Dekartov proizvod skupova? ta je partitivni skup? Definisati kardinalni broj skupa? ta je alef nula? Koliki je kardinalni broj skupa realnih brojeva? Kako glasi Raselov paradoks?

ta je skup? Kako obiljeavamo skupove? ta su Venovi dijagrami? Navesti i definisati skupovne relacije. Navesti i definisati skupovne operacije. Koji su skupovi disjunktni? ta je Dekartov proizvod skupova? ta je partitivni skup? Definisati kardinalni broj skupa? ta je alef nula? Koliki je kardinalni broj skupa realnih brojeva? Kako glasi Raselov paradoks?


RELACIJE I FUNKCIJE

Nada Vasiljevi


RELACIJE I FUNKCIJE

Nada Vasiljevi

RELACIJERELACIJE

ta je relacija?

Relacija je odnos, veza izmeu dva objekta.

Do sada, u matematici, smo se sretali sa razliitim relacijama.

To su, na primjer: jednako, paralelno, normalno, slino i mnogedruge.

Relacija, u stvari, ukazuje na odnos izmeu objekata, jer je estopotrebno objekte uporeivati ili ih poreati po nekom zadatomkriterijumu, kao i uoiti slinost izmeu njih i grupisati ih u grupemeusobno slinih.

ta je relacija?

Relacija je odnos, veza izmeu dva objekta.

Do sada, u matematici, smo se sretali sa razliitim relacijama.

To su, na primjer: jednako, paralelno, normalno, slino i mnogedruge.

Relacija, u stvari, ukazuje na odnos izmeu objekata, jer je estopotrebno objekte uporeivati ili ih poreati po nekom zadatomkriterijumu, kao i uoiti slinost izmeu njih i grupisati ih u grupemeusobno slinih.

DEFINICIJA I OSOBINEDEFINICIJA I OSOBINE

Relacija se moe posmatrati kao povezivanje elemenata nekog skupa A , koji suu vezi, relaciji, sa elementima nekog skupa B.

Znai ako i i pri tome su u datoj relaciji, onda svakom parupridruujemo vrednost T, a ako to nije sluaj vrednost

Relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda proizvoljnih skupova A iB . Ako je i kaemo da je x u relaciji sa y i piemo

Relacije se mogu predstaviti na razliite naine, ureenim parovima,tablicama, graficima i td.

x A y B

,x y A B

Relacija se moe posmatrati kao povezivanje elemenata nekog skupa A , koji suu vezi, relaciji, sa elementima nekog skupa B.

Znai ako i i pri tome su u datoj relaciji, onda svakom parupridruujemo vrednost T, a ako to nije sluaj vrednost

Relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda proizvoljnih skupova A iB . Ako je i kaemo da je x u relaciji sa y i piemo

Relacije se mogu predstaviti na razliite naine, ureenim parovima,tablicama, graficima i td.

A B ,x y x y

RELACIJERELACIJE

Primjer:Relaciji odgovara tablica i grafik. 1,1 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2 , 3,3 , 4, 4

1 2 3 4

1 T T

1 T T

2 T T

3 T

4 T

1 2

3 4

RELACIJERELACIJE Ako , onda se skup naziva Dekartovim kvadratom.

Relacija moe da ima sledee osobine:

Neka je . Za relaciju tada kaemo da je

(R) refleksivna akko

(S) simetrina akko

(AS) antisimetrina

(T) tranzitivna

Relacija iz predhodnog primjera je refleksivna, simetrina i tranzitivna.

A B 2A A A

2A

x A x x

Ako , onda se skup naziva Dekartovim kvadratom.

Relacija moe da ima sledee osobine:

Neka je . Za relaciju tada kaemo da je

(R) refleksivna akko

(S) simetrina akko

(AS) antisimetrina

(T) tranzitivna

Relacija iz predhodnog primjera je refleksivna, simetrina i tranzitivna.

,x y A x y y x

,x y A x y y x x y

, ,x y z A x y y z x z

RELACIJERELACIJE

Primjer:U skupu definisana je relacijaNapisati tablicu, prikazati je grafiki, ispisati parove i ispitati osobinerelacije.

1, 2,3, 4,5A : , : 1x y A x y y x

1 2 3 4 5

1 T

1 T

2 T

3 T

4 T

5

VRSTE RELACIJAVRSTE RELACIJA Relacija koja je refleksivna, simetrina i tranzitivna zove se relacija

ekvivalencije. Relacija koja je refleksivna, antisimetrina i tranzitivna zove se relacija

poretka.Primjer:Relacije ekvivalencije su jednako, podudarno, slino i td, a relacije poretkasu i td.

Uloga relacije ekvivalencije je da se pomou njih izraze slinosti izmeuobjekata i da se oni grupiu u grupe meusobno slinih, a uloga relacijeporetka da se objekti poreaju ili uporeuju po nekom zadatom kriterijumu.

Relacija ekvivalencije moe da se razlae na klase ekvivalencije. Ako je relacija ekvivalencije, onda se klasa ekvivalencije, elementa x,

Skup se zove koliniki skup. Sve klase ekvivalencije jednog skupa ine njegovo razlaganje na disjunktne

podskupove, a njihova unija je sam polazni skup.

, ,

Relacija koja je refleksivna, simetrina i tranzitivna zove se relacijaekvivalencije.

Relacija koja je refleksivna, antisimetrina i tranzitivna zove se relacijaporetka.Primjer:Relacije ekvivalencije su jednako, podudarno, slino i td, a relacije poretkasu i td.

Uloga relacije ekvivalencije je da se pomou njih izraze slinosti izmeuobjekata i da se oni grupiu u grupe meusobno slinih, a uloga relacijeporetka da se objekti poreaju ili uporeuju po nekom zadatom kriterijumu.

Relacija ekvivalencije moe da se razlae na klase ekvivalencije. Ako je relacija ekvivalencije, onda se klasa ekvivalencije, elementa x,

Skup se zove koliniki skup. Sve klase ekvivalencije jednog skupa ine njegovo razlaganje na disjunktne

podskupove, a njihova unija je sam polazni skup.

xC y x y xC

RELACIJERELACIJE

Primjer: U skupu definisana je relacija

Odrediti elemente relacije i prikazati je. Dokazati da je ova relacija relacijaekvivalencije, odrediti klase ekvivalencije i koliniki skup.

1 1 11,2, , ,3, ,42 3 4

A

: , :x y A x y x Z y Z x Z y Z

: 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,4 , 4,2 , 1,3 , 3,1 ,

1 1 1 1 1 1 1 11,4 , 3,3 , 3,4 , 4,4 , 4,3 , 4,1 , , , , , , , , ,2 3 2 2 3 3 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,2 4 4 2 4 4 3 4 4 3

RELACIJERELACIJE

12

13

14

1 2 3 4

1 1 1 1 1 0 0 0

2 1 1 1 1 0 0 0

3 1 1 1 1 0 0 0

12

13

14

3 1 1 1 1 0 0 0

4

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

RELACIJERELACIJE Osobine : (R) Relacija je refleksivna , jer

(S) Relacija je simetrina , jer

(T) Relacija je tranzitivna , jer

Ovo je relacija ekvivalencije. Data relacija rastavlja skup A na 2 podskupa (klase)

Koliniki skup je

x x x Z x Z x Z x Z

x y y x x Z y Z x Z y Z y Z x Z y Z x Z

x y x Z y Z x Z y Z y Z z Z y Z z Z

x Z z Z x Z z Z

Osobine : (R) Relacija je refleksivna , jer

(S) Relacija je simetrina , jer

(T) Relacija je tranzitivna , jer

Ovo je relacija ekvivalencije. Data relacija rastavlja skup A na 2 podskupa (klase)

Koliniki skup je

x y x Z y Z x Z y Z y Z z Z y Z z Z

x Z z Z x Z z Z

1 21 1 11,2,3,4 , , , .2 3 4

A A

1 2/ ,A A A

Primjer:U skupu definisana je relacijaPokazati da je zadata relacija relacija ekvivalencije. Odrediti klaseekvivalencije i koliniki skup.Relacija je refleksivnaRelacija je simetrina

Relacija je tranzitivna

Znai radi se o relaciji ekvivalencijeData relacija rastavlja skup S na 3 podskupa.

Koliniki skup je

12S x x N x , : 3x y S x y x y

: 3 3 0x S x x

, : 3 3

3

3 3

x y S x y x y k

y x x y k

x y y x

, : 3 3

3 33 3 3 3

x y S x y x y z

x y k y z mx z x y y z k m k m n

RELACIJEPrimjer:U skupu definisana je relacijaPokazati da je zadata relacija relacija ekvivalencije. Odrediti klaseekvivalencije i koliniki skup.Relacija je refleksivnaRelacija je simetrina

Relacija je tranzitivna

Znai radi se o relaciji ekvivalencijeData relacija rastavlja skup S na 3 podskupa.

Koliniki skup je

, : 3 3

3 33 3 3 3

x y S x y x y z

x y k y z mx z x y y z k m k m n

0

1

2

3,6,9,12 3

1,4,7,10 3 1

2,5,8,11 3 2

S x x S x k

S x x S x k

S x x S x k

0 1 2/ , ,S S S S

FUNKCIJEFUNKCIJE

Pojam funkcije ili preslikavanja spada u osnovne matematike kategorije.

Jasna predstava o pojmu funkcije stvorena je tek u 17. vijeku.

Kod funkcija, kao i kod relacija, uspostavlja se veza izmeu elemenata dvaskupa, ali dok kod relacija jednom elementu x skupa A mogu odgovarativie elemenata skupa B, kod funkcija jednom elementu x skupa A moeodgovarati smo jedan elemenat y skupa B.

Pojam funkcije ili preslikavanja spada u osnovne matematike kategorije.

Jasna predstava o pojmu funkcije stvorena je tek u 17. vijeku.

Kod funkcija, kao i kod relacija, uspostavlja se veza izmeu elemenata dvaskupa, ali dok kod relacija jednom elementu x skupa A mogu odgovarativie elemenata skupa B, kod funkcija jednom elementu x skupa A moeodgovarati smo jedan elemenat y skupa B.

x

f

y

DEFINICIJA I OSOBINEDEFINICIJA I OSOBINE Preslikavanje ili funkcija skupa A u skup B, u oznaci je

relacija , koja ima osobinu da je svaki elemenat skupa A u relaciji tano sajednim elementom skupa B, tj

Kod funkcija uobiajeno je da umesto piemo ikaemo da funkcija f preslikava x u y.

Tada x nazivamo originalom, y njenom slikom.

Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementiskupa naziva se oblast definisanosti ili domen funkcije.

Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupanaziva se oblast vrednosti ili kodomen funkcije.

:f A B

,

, , ,

x A y B x y f

x A y z B x y f x z f y z

,x y f y f x

Preslikavanje ili funkcija skupa A u skup B, u oznaci jerelacija , koja ima osobinu da je svaki elemenat skupa A u relaciji tano sajednim elementom skupa B, tj

Kod funkcija uobiajeno je da umesto piemo ikaemo da funkcija f preslikava x u y.

Tada x nazivamo originalom, y njenom slikom.

Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementiskupa naziva se oblast definisanosti ili domen funkcije.

Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupanaziva se oblast vrednosti ili kodomen funkcije.

xD A

yD B

FUNKCIJEFUNKCIJE

Primer:Kod funkcija na konanim skupovima koristimo sledee zapise:Ako su dati skupovi i onda jedna od moguih funkcija je

ili zapisana korienjem ureenih parova

Relacija nije funkcija, jer bi se element b preslikavao u dva razliitaelementa 2 i 3.

, ,A a b c 1,3B

1 3 1a b c

f

,1 , ,3 , ,1f a b c

Primer:Kod funkcija na konanim skupovima koristimo sledee zapise:Ako su dati skupovi i onda jedna od moguih funkcija je

ili zapisana korienjem ureenih parova

Relacija nije funkcija, jer bi se element b preslikavao u dva razliitaelementa 2 i 3.

, 2f b

FUNKCIJEFUNKCIJE Funkcija , naziva se binarnom operacijom.

Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, mnoenje i sl.

Funkcija se naziva 1-1 ili injektivna ako

Funkcija se naziva na ili surjektivna ako

U sutini

Ako je preslikavanje 1-1 i na takvo preslikavanje ili funkcijunazivamo bijektivnim, (obostrano jednoznano preslikavanje).

2:f A A

:f A B

1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x

Funkcija , naziva se binarnom operacijom.

Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, mnoenje i sl.

Funkcija se naziva 1-1 ili injektivna ako

Funkcija se naziva na ili surjektivna ako

U sutini

Ako je preslikavanje 1-1 i na takvo preslikavanje ili funkcijunazivamo bijektivnim, (obostrano jednoznano preslikavanje).

,y B x A y f x yD B

FUNKCIJEFUNKCIJE

Primjer:

Ispitati da li je funkcija bijekcija.

Ako je ispunjenopreslikavanje je 1-1. Izrazi koji u sebi sadre nejednakosti se tekodokazuju i jednostavnije je koristiti kontrapoziciju predhodnog izraza kojaglasi .Dakle, ime smo dokazali da je preslikavanje 1-1.

Da bismo dokazali da je preskikavanje na reimo polaznu jednainu po y.Dobiemo izraz

Onda i zakljuujemo da je preslikavanjena.Poto je preslikavanje 1-1 i na, ono je odnosno bijekcija.

2 1f x x

1 2 1 2 1 2,x x R x x f x f x

1 2 1 2f x f x x x

Primjer:

Ispitati da li je funkcija bijekcija.

Ako je ispunjenopreslikavanje je 1-1. Izrazi koji u sebi sadre nejednakosti se tekodokazuju i jednostavnije je koristiti kontrapoziciju predhodnog izraza kojaglasi .Dakle, ime smo dokazali da je preslikavanje 1-1.

Da bismo dokazali da je preskikavanje na reimo polaznu jednainu po y.Dobiemo izraz

Onda i zakljuujemo da je preslikavanjena.Poto je preslikavanje 1-1 i na, ono je odnosno bijekcija.

1 2 1 2f x f x x x 1 2 1 22 1 2 1x x x x

1 12 2

x y

1 1,2 2

y R x R x y

KOMPOZICIJA FUNKCIJAKOMPOZICIJA FUNKCIJA Neka su date i funkcije. Tada izraz

predstavlja proizvod ili kompoziciju ili slaganje preslikavanja f i g, adefinie se kao

Primjer:Ako su dati skupovi

Tada glasi

:f A B :g B C g f

x A g f x g f x

1,2,3 , , , , 5,6,7A B a b c C : , :f A B g B C

Neka su date i funkcije. Tada izrazpredstavlja proizvod ili kompoziciju ili slaganje preslikavanja f i g, adefinie se kao

Primjer:Ako su dati skupovi

Tada glasi

: , :f A B g B C 1 2 3

,7 6 5a b c

f ga b c

:g f A C

1 2 37 6 5

g f

FUNKCIJEFUNKCIJEPrimjer:Neka su funkcije zadate formulamaTada je: 22 1, 1f x x g x x x

2 2

2 2

22 2 2 4 3 2

2

2 1 2 1 1 4 6 3

2 1 1 2 2 2

1 1 1 2 4 3 3

2 2 1 1 4 3

g f x g f x x x x x

f g x f g x x x x x

g g x g x x x x x x x x x

f f x f x x x

2 2

2 2

22 2 2 4 3 2

2

2 1 2 1 1 4 6 3

2 1 1 2 2 2

1 1 1 2 4 3 3

2 2 1 1 4 3

g f x g f x x x x x

f g x f g x x x x x

g g x g x x x x x x x x x

f f x f x x x

INVERZNA FUNKCIJAINVERZNA FUNKCIJA Ako je bijekcija, onda je inverzna funkcija skupa

B u skup A sa osobinom , gde je I identiko preslikavanje, tj.

Moemo i pisati

Grafici funkcija f i su simetrini u odnosu na pravu y=x.

:f A B 1f 1f f I

x A I x x

1f f x x

1f

yx

y f x

1y f x

FUNKCIJEFUNKCIJEPrimjer:Nai inverzno preslikavanje odPokazali smo da je funkcija bijekcija, odnosno zadovoljava da je 1-1 i na.Dakle postoji inverzno preslikavanje

Grafici ovih funkcija su simetrini u odnosu na pravu y=x

Primjer:Odrediti inverznu funkciju funkcije

Kako i za x=-1 i x=1 dobijamo istu vrednost funkcije y=1 , zakljuujemoda funkcija nije 1-1 , odnosno bijekcija, pa ne postoji inverzna funkcija.

2 1f x x

1 12

xf x y

yx

Primjer:Nai inverzno preslikavanje odPokazali smo da je funkcija bijekcija, odnosno zadovoljava da je 1-1 i na.Dakle postoji inverzno preslikavanje

Grafici ovih funkcija su simetrini u odnosu na pravu y=x

Primjer:Odrediti inverznu funkciju funkcije

Kako i za x=-1 i x=1 dobijamo istu vrednost funkcije y=1 , zakljuujemoda funkcija nije 1-1 , odnosno bijekcija, pa ne postoji inverzna funkcija.

yx

y f x 1y f x

2f x x

FUNKCIJEFUNKCIJE

Primjer:Preslikavanja f i g definisana su sa f(x)=4x+5 i g(x)=x-5. OdreditiRjeenje:Prvo mora da se proveri da li je preslikavanje g bijekcija.

1g f

1 5g x x

1 1 4 5 5 4 10g f x g f x x x


Definisati pojam relacija. Navesti osobine relacija. ta je relacija ekvivalencije? ta je relacija poredka? ta je funkcija? Koja je osnovna razlika izmeu relacija i funkcija? Koje je preslikavanje 1-1? Koje je preslikavanje na? ta je bijekcija? Definisati inverzno preslikavanje. Definisati kompoziciju preslikavanja.

Definisati pojam relacija. Navesti osobine relacija. ta je relacija ekvivalencije? ta je relacija poredka? ta je funkcija? Koja je osnovna razlika izmeu relacija i funkcija? Koje je preslikavanje 1-1? Koje je preslikavanje na? ta je bijekcija? Definisati inverzno preslikavanje. Definisati kompoziciju preslikavanja.

DIDISSKRETNA MATEMATIKAKRETNA MATEMATIKAKOMBINATORIKAKOMBINATORIKA

Nada VasiljeviNada Vasiljevi

DIDISSKRETNA MATEMATIKAKRETNA MATEMATIKAKOMBINATORIKAKOMBINATORIKA


PRINCIPI PREBROJAVANJAPRINCIPI PREBROJAVANJA

Predmet kombinatorike je rasporeivanje elemenata u konanim

skupovima i odreivanje broja takvih rasporeda.

Prouavanje ove oblasti poelo je u 17. veku, uporedo sa nastankom teorije

verovatnoe, kada su se prva pitanja pojavila u vezi sa igrama na sreu.

Prebrojavanja predstavljaju vaan deo kombinatorike. Razliite skupove

moramo prebrojavati u cilju reavanja najrazliitijih problema. Nekada su

to problemi odreivanja trocifrenih brojeva formiranih od zadatih cifara, ili

broj razliitih telefonskih brojeva, do odreivanja sloenosti algoritama ili

utvrivanja verovatnoa sluajnih dogaaja.

Predmet kombinatorike je rasporeivanje elemenata u konanim

skupovima i odreivanje broja takvih rasporeda.

Prouavanje ove oblasti poelo je u 17. veku, uporedo sa nastankom teorije

verovatnoe, kada su se prva pitanja pojavila u vezi sa igrama na sreu.

Prebrojavanja predstavljaju vaan deo kombinatorike. Razliite skupove

moramo prebrojavati u cilju reavanja najrazliitijih problema. Nekada su

to problemi odreivanja trocifrenih brojeva formiranih od zadatih cifara, ili

broj razliitih telefonskih brojeva, do odreivanja sloenosti algoritama ili

utvrivanja verovatnoa sluajnih dogaaja.

PRINCIPI PREBROJAVANJAPRINCIPI PREBROJAVANJAPrimjer:

Dat je skup {1,2,3}. Koliko ima trocifrenih brojeva koji poinju cifrom 2, a

da se cifre ne ponavljaju?

Rjeenje: Sa zadatim ciframa moemo da formirama samo 2 broja koji

poinju cifrom 2, a to su 213 i 231.

Prebrojavanja da se vre u konanim ili prebrojivim skupovima i zato su

ona predmet prouavanja diskretne matematike.

Razlikujemo tri vrste razliitih rasporeda i to su:

permutacije,

varijacije,

kombinacije.

Primjer:

Dat je skup {1,2,3}. Koliko ima trocifrenih brojeva koji poinju cifrom 2, a

da se cifre ne ponavljaju?

Rjeenje: Sa zadatim ciframa moemo da formirama samo 2 broja koji

poinju cifrom 2, a to su 213 i 231.

Prebrojavanja da se vre u konanim ili prebrojivim skupovima i zato su

ona predmet prouavanja diskretne matematike.

Razlikujemo tri vrste razliitih rasporeda i to su:

permutacije,

varijacije,

kombinacije.

PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJAPERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA

Neka je dat skup

Permutacija je bilo koji raspored svih elemenata skupa .

Permutacije bez ponavljanja elemenata se mogu definisati i kao broj svihbijektivnih preslikavanja skupa A u samog sebe.

Primjer: Jedna od permutacija skupa bez ponavljanja elemenata, je

preslikavanje

1 2, , , nA a a a Neka je dat skup

Permutacija je bilo koji raspored svih elemenata skupa .

Permutacije bez ponavljanja elemenata se mogu definisati i kao broj svihbijektivnih preslikavanja skupa A u samog sebe.

Primjer: Jedna od permutacija skupa bez ponavljanja elemenata, je

preslikavanje 1, 2,3, 4,5A

1 2 3 4 52 5 4 3 1


Broj permutacija skupa od elemenata iznosi

Simbol n! je skraenica za zapisivanje uzastopnog proizvoda od elemenata iita se faktorijel.

Po definiciji se uzima da je 0!=1Primjer:

5!=5.4.3.2.1=120.

1 2 1 !P n n n n n N

1 1 2 ....... 1 2 2 1P n nP n n n P n n n n

Broj permutacija skupa od elemenata iznosi

Simbol n! je skraenica za zapisivanje uzastopnog proizvoda od elemenata iita se faktorijel.

Po definiciji se uzima da je 0!=1Primjer:

5!=5.4.3.2.1=120.

1 1 2 ....... 1 2 2 1P n nP n n n P n n n n


Primjer:Dat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa ,a da se elementi ne ponavljaju?

Ima ih dvije.To su:

Primjer: Dat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga

skupa, a da se elementi ne ponavljaju?

Ima ih est.To su:

1 2,A a a

2 2 1 2 1 2P P 1 2 2 1a a i a a

1 2 3, ,A a a a

Primjer:Dat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa ,a da se elementi ne ponavljaju?

Ima ih dvije.To su:

Primjer: Dat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga

skupa, a da se elementi ne ponavljaju?

Ima ih est.To su:

1 2 3, ,A a a a

3 3 2 3 2 1 3 2 1 6P P P 1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 3 2 2 3 1 3 2 1

a a a a a a a a aa a a a a a a a a


Primjer:Na koliko naina se mogu rasporediti 6 razliitih knjiga na policu?

Primjer:Pela treba da skupi polen sa 7 razliitih cvjetova. Kada uzme polen sacvijeta ona se na njega vie ne vraa. Na koliko naina pela moe da obiesvih 7 cvjetova?

6 6! 6 5 4 3 2 1 720P

Primjer:Na koliko naina se mogu rasporediti 6 razliitih knjiga na policu?

Primjer:Pela treba da skupi polen sa 7 razliitih cvjetova. Kada uzme polen sacvijeta ona se na njega vie ne vraa. Na koliko naina pela moe da obiesvih 7 cvjetova?

7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040P

PERMUTACIJE SA PONAVLJANJEMPERMUTACIJE SA PONAVLJANJEM

Neka je dat skup Broj permutacija sa ponavljanjem, skupa od elemenata, meu kojima ima

jednakih , iznosi

Primjer:Napisati sve permutacije elemenata

Primjer:Odrediti broj permutacija elemenataBroj permutacija je

1 2, , , nA a a a

1 2, , , mk k k

1 2

1 31, ,

31 2 1 2

!! ! !m

mk k k

m m

n k k kn n k nP nk kk k k k k

Neka je dat skup Broj permutacija sa ponavljanjem, skupa od elemenata, meu kojima ima

jednakih , iznosi

Primjer:Napisati sve permutacije elemenata

Primjer:Odrediti broj permutacija elemenataBroj permutacija je

, ,a b b, ,abb bab bba

0,0,0,1,1,1,1

3,47 7 3 7! 7 6 5 4!7 353 4 3!4! 3!4!

P

VARIJACIJEVARIJACIJE ILI UREENI IZBORI BEZILI UREENI IZBORI BEZPONAVLJANJA ELEMENATAPONAVLJANJA ELEMENATA

Neka je dat skup Varijacija k klase od n elemenata je bilo koja k-torka razliitih elemenata

skupa A.

Broj varijacija iznosi

Varijacije bez ponavljanja elemenata se mogu definisati i kao broj svihinjektivnih preslikavanja ( 1-1 preslikavanja ) skupa A od n elemenata uskup B od k elemenata

Napomena: U savremenoj literaturi sve se manje koristi naziv varijacije, ve

k-permutacije.

1 2, , , nA a a a

1

0

1 1k

nk

iV n i n n n k

Neka je dat skup Varijacija k klase od n elemenata je bilo koja k-torka razliitih elemenata

skupa A.

Broj varijacija iznosi

Varijacije bez ponavljanja elemenata se mogu definisati i kao broj svihinjektivnih preslikavanja ( 1-1 preslikavanja ) skupa A od n elemenata uskup B od k elemenata

Napomena: U savremenoj literaturi sve se manje koristi naziv varijacije, ve

k-permutacije.

:f A B

VARIJACIJEVARIJACIJE ILI UREENI IZBORI BEZILI UREENI IZBORI BEZPONAVLJANJA ELEMENATAPONAVLJANJA ELEMENATA

Primjer:Dat je skup . Koliko ima varijacija druge klase elemenataovoga skupa i kako glase?Ima ih est.To su:

Primjer:Na konkurs u firmu javilo se 6 kandidata za radna mjesta direktora ,sekretara i potrira. Na koliko naina ih je mogue izabrati?Vrimo izbor 3 od 6 kandidata. Kako je raspored ( funkcija) bitan, u pitanjusu varijacije tree klase od 6 elemenata.

1 2 3, ,A a a a

32 3 2 6V

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2a a a a a a a a a a a a

Primjer:Dat je skup . Koliko ima varijacija druge klase elemenataovoga skupa i kako glase?Ima ih est.To su:

Primjer:Na konkurs u firmu javilo se 6 kandidata za radna mjesta direktora ,sekretara i potrira. Na koliko naina ih je mogue izabrati?Vrimo izbor 3 od 6 kandidata. Kako je raspored ( funkcija) bitan, u pitanjusu varijacije tree klase od 6 elemenata.

63 6 5 4 120V

VARIJACIJE SA PONAVLJANJEMVARIJACIJE SA PONAVLJANJEM Neka je dat skup

Varijacija sa ponavljanjem k klase od n elemenata je bilo koja k-torkaelemenata skupa A.

Broj varijacija iznosi Varijacije sa ponavljanjem elemenata se mogu definisati i kao broj svih

preslikavanja skupa A od elemenata, u skup B od elemenata,

Primjer:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa 1,2,3 ikako glase?Ima ih

To su:

Napomena: Ako je klasa jednaka broju elemenata zadatog skupa, varijacijese svode na permutacije

1 2, , , nA a a a

n kkV n

1n 0k :f A B

Neka je dat skup

Varijacija sa ponavljanjem k klase od n elemenata je bilo koja k-torkaelemenata skupa A.

Broj varijacija iznosi Varijacije sa ponavljanjem elemenata se mogu definisati i kao broj svih

preslikavanja skupa A od elemenata, u skup B od elemenata,

Primjer:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa 1,2,3 ikako glase?Ima ih

To su:

Napomena: Ako je klasa jednaka broju elemenata zadatog skupa, varijacijese svode na permutacije

3 22 3 9V

11,12,13,21,22,23,31,32,33

KOMBINACIJE ILI NEUREENI IZBORIKOMBINACIJE ILI NEUREENI IZBORIBEZ PONAVLJANJA ELEMENATABEZ PONAVLJANJA ELEMENATA

Neka je dat skup

Kombijacija klase k od n elemenata je bilo koja neureena k-torkarazliitih elemenata skupa A .

Broj kombinacija iznosi

Izraz ita se n nad k i to je broj svih poskupova datog skupa A kojiimaju k elemenata.

Primjer:Dat je skup . Koliko ima kombinacija druge klase elemenataovoga skupa i kako glase?

Ima ih

To su:

1 2, , , nA a a a

1 1! !

nn kk

n n n n kVCkk k

nk

Neka je dat skup

Kombijacija klase k od n elemenata je bilo koja neureena k-torkarazliitih elemenata skupa A .

Broj kombinacija iznosi

Izraz ita se n nad k i to je broj svih poskupova datog skupa A kojiimaju k elemenata.

Primjer:Dat je skup . Koliko ima kombinacija druge klase elemenataovoga skupa i kako glase?

Ima ih

To su:

1 2 3, ,A a a a

32

3 3 2 32 2!

C

1 2 1 3 2 3a a a a a a


Napomena:

Osnovna razlika izmeu permutacija, varijacija i kombinacija je u tome to

kod permutacija koristimo i rasporeujemo sve elemente zadatog skupa,

dok kod varijacija i kombinacija koristimo podskupove zadatog skupa.

Sa druge strane, razlika izmeu varijacija i kombinacija je u tome to je kod

varijacija je bitno mesto elementa u rasporedu, a kod kombinacija nije.

Napomena:

Osnovna razlika izmeu permutacija, varijacija i kombinacija je u tome to

kod permutacija koristimo i rasporeujemo sve elemente zadatog skupa,

dok kod varijacija i kombinacija koristimo podskupove zadatog skupa.

Sa druge strane, razlika izmeu varijacija i kombinacija je u tome to je kod

varijacija je bitno mesto elementa u rasporedu, a kod kombinacija nije.


Primjer:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa1,2,3 ?Kako je u broju bitan raspored cifara, ovo su varijacijeIma ih

Primjer:Koliko ima pravih koji se mogu povui kroz nekolinearne take A,B,C?Kako je sada nije bitan raspored taaka na pravoj, ovo su kombinacije.Ima ih

To su prave AB, BC i AC.

32 3 2 6V

Primjer:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa1,2,3 ?Kako je u broju bitan raspored cifara, ovo su varijacijeIma ih

Primjer:Koliko ima pravih koji se mogu povui kroz nekolinearne take A,B,C?Kako je sada nije bitan raspored taaka na pravoj, ovo su kombinacije.Ima ih

To su prave AB, BC i AC.

32

3 3 2 3 2 32 2! 2 1

C

KOMBINACIJEKOMBINACIJE SA PONAVLJANJEMSA PONAVLJANJEM

Neka je dat skup

Kombijacija k klase od n elemenata sa ponavljanjem je

Primjer:Na koliko naina se 12 istih loptica moe rasporediti u 6 razliitih kutija.Ima ih

1 2, , , nA a a a

1nk

n kC

k

Neka je dat skup

Kombijacija k klase od n elemenata sa ponavljanjem je

Primjer:Na koliko naina se 12 istih loptica moe rasporediti u 6 razliitih kutija.Ima ih

126

6 12 16188

12C

BINOMNA FORMULABINOMNA FORMULA

Iz srednje kole znamo neke od ovih obrazaca

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b


Binomni koeficijenti ine takozvani Paskalov trougao:


Binomna formula glasi

1 2 2 1

0

0 1 2 1

,

n n n n n n

nn k k

k

n n n n na b a a b a b ab b

n n

na b n k N

k

1 2 1 !! ! !

n n n n n k nk k k n k

11

n n nk k k

10n n

n

n nk n k

1n k k

k

nT a b

k


Primjer:Razviti po binomnoj formuli

61

xx

66 4 2

2 4 6

6 4 22 4 6

6 6 6 6 61 1 1 11 2 3 4 5

15 6 16 15 20

x x x xx x x x

x x xx x x

66 4 2

2 4 6

6 4 22 4 6

6 6 6 6 61 1 1 11 2 3 4 5

15 6 16 15 20

x x x xx x x x

x x xx x x


Primjer:Odrediti peti lan u razvijenom obliku binoma

122132x x

1n k k

k

nT a b

k

412 4 2 2013 32

5

12495

4T x x x


Primjer:Zbir koeficijenata prvog, drugog i treeg lana binoma je 46. Odrediti

lan koji ne sadri x.

2 1n

xx

146 1 46 90 1 2 2n n n n n

n n

92 1x

x

92 18 2 18 31

9 9 91 1

18 3 0 6

kk k k

k kT x x xk k kx xk k

.

92 1x

x

92 18 2 18 31

9 9 91 1

18 3 0 6

kk k k

k kT x x xk k kx xk k

6 1 7

9 9 9 8 7 846 3 1 2 3

T T


ta su permutacije ? ta su varijacije? ta su kombinacije? Kako glasi binomna formula? ta je Paskalov trogao?

ta su permutacije ? ta su varijacije? ta su kombinacije? Kako glasi binomna formula? ta je Paskalov trogao?


MATRICE

Nada Vasiljevi


MATRICE

Nada Vasiljevi

UVODUVOD

Matrine jednaine.Matrine jednaine.

Jednaine oblika , i slino u kojima je

nepoznata varijabla matrica nazivaju se matrine jednaine.

Oigledno je da matrina jednaina za martice formata ima

jedinstveno rjeenje, matricu .

Meutim, to nije sluaj sa jednainom ili jednainom

, pri emu pretpostavljamo da su matrice odgovarajuih formata.

Ukoliko je matrica kvadratna i invertibilna (napomenimo da samo za

kvadratnu matricu moemo govoriti o invertibilnosti) tada gornje jednaine

imaju jedinstveno rjeenje odnosno .

Pri reavanju ovakvih jednaina potrebno je voditi rauna o tome s koje

strane matrica mnoi nepoznatu jer mnoenje matrica nije komutativno.

.

A X B A X B

,

A X B

X B A

A X B

Y A B

Jednaine oblika , i slino u kojima je

nepoznata varijabla matrica nazivaju se matrine jednaine.

Oigledno je da matrina jednaina za martice formata ima

jedinstveno rjeenje, matricu .

Meutim, to nije sluaj sa jednainom ili jednainom

, pri emu pretpostavljamo da su matrice odgovarajuih formata.

Ukoliko je matrica kvadratna i invertibilna (napomenimo da samo za

kvadratnu matricu moemo govoriti o invertibilnosti) tada gornje jednaine

imaju jedinstveno rjeenje odnosno .

Pri reavanju ovakvih jednaina potrebno je voditi rauna o tome s koje

strane matrica mnoi nepoznatu jer mnoenje matrica nije komutativno.

.

Y A B

1X A B 1Y B A

Matrine jednaine.Matrine jednaine.

Jednaine i mogu imati reenje i u sluaju da

matrica nije kvadratna matrica, kao i u sluaju da matrica jeste kvadratna

ali nije invertibilna.

U tom sluaju jednaina moe imati i beskonano mnogo rjeenja .

Takoe, moe se dogoditi da u ovom sluaju jednaine nemaju rjeenja.

A X B Y A B Jednaine i mogu imati reenje i u sluaju da

matrica nije kvadratna matrica, kao i u sluaju da matrica jeste kvadratna

ali nije invertibilna.

U tom sluaju jednaina moe imati i beskonano mnogo rjeenja .

Takoe, moe se dogoditi da u ovom sluaju jednaine nemaju rjeenja.

TEORIJA ALGORITAMATEORIJA ALGORITAMA



TEORIJA ALGORITAMATEORIJA ALGORITAMA


UVODUVOD Najvei broj zadataka danas ovjek rijeava pomou raunara. Da bi se na taj

nain problemi rijeili proces rjeavanja treba definisati kroz nekoliko koraka.Najvaniji su

formulacija problema, definisanje matematikog oblika problema, pravljenje algoritama, programiranje, izrada test primjera, testiranje problema, dobijanje i analiza rezultata.

Ovim i slinim problemima bave se razne raunarske discipline, ali osnovasvega je matematika. Jedan od koraka, definisanje algoritama, je veoma sloen izahtjevan posao. Teorija algoritama je samostalna oblast koja definie apstraktnemodele za rjeavanje problema nezavisno od programskih jezika. Slino kao uostalim matematikim disciplinama, potrebno je prouiti zakonitosti i principealgoritama, a ne njegove konkretne implementacije.

Najvei broj zadataka danas ovjek rijeava pomou raunara. Da bi se na tajnain problemi rijeili proces rjeavanja treba definisati kroz nekoliko koraka.Najvaniji su

formulacija problema, definisanje matematikog oblika problema, pravljenje algoritama, programiranje, izrada test primjera, testiranje problema, dobijanje i analiza rezultata.

Ovim i slinim problemima bave se razne raunarske discipline, ali osnovasvega je matematika. Jedan od koraka, definisanje algoritama, je veoma sloen izahtjevan posao. Teorija algoritama je samostalna oblast koja definie apstraktnemodele za rjeavanje problema nezavisno od programskih jezika. Slino kao uostalim matematikim disciplinama, potrebno je prouiti zakonitosti i principealgoritama, a ne njegove konkretne implementacije.

Prvi algoritam napisao je persijski matematiar Al Khowarizmi ( oko 850godine ) i sluio je za rjeavanje algebarskih problema. U knjizi AlKhowarizmi o indijskoj vjetini raunanja, u matematiku uvodi indijskecifre i decimalni brojni sistem, koje se vremenom pogreno poinjunazivati arapskim ciframa, a od loeg prevoda imena ovog matematiara nalatinski, nastaje ime za algoritam.

Prvi raunarski algoritam je napisala Ada Bajron 1842 godine. U pitanju jealgoritam za raunanje Bernulijevih brojeva na analitikoj maini arlsaBebida. Ta maina nikada nije proradila, ali je njen algoritam ostaviodubok trag. U njenu ast jedan od programskih jezika dobio je ime Ada.

UVODUVOD

Prvi algoritam napisao je persijski matematiar Al Khowarizmi ( oko 850godine ) i sluio je za rjeavanje algebarskih problema. U knjizi AlKhowarizmi o indijskoj vjetini raunanja, u matematiku uvodi indijskecifre i decimalni brojni sistem, koje se vremenom pogreno poinjunazivati arapskim ciframa, a od loeg prevoda imena ovog matematiara nalatinski, nastaje ime za algoritam.

Prvi raunarski algoritam je napisala Ada Bajron 1842 godine. U pitanju jealgoritam za raunanje Bernulijevih brojeva na analitikoj maini arlsaBebida. Ta maina nikada nije proradila, ali je njen algoritam ostaviodubok trag. U njenu ast jedan od programskih jezika dobio je ime Ada.

Sledei znaajan napredak u formalizaciji uvoenja algoritma umatematiku i logiku uinio je Alan Tjuring, definiui Tjuringovu mainu.To je primitivan automat, ustvari, misaona tvorevina koja posjedujemogunost izvoenja operacija koje su dovoljne za izvoenje skoro svihalgoritama. Njegova maina inicirala je teoriju konanih automata.

U novije vrijeme, pojam algoritma se gotovo iskljuivo vezuje zaraunarstvo, mada se algoritmi koriste uvjek kada jednostavno, upojedinanim koracima, elimo da rijeimo neki problem. Na primjer, svakikuvarski recept je jedan algoritam.

U matematici su poznati Euklidov algoritam za odreivanje najveegzajednikog djelioca dva broja, Gausov algoritam za rjeavanje sistemalinearnih jednaina i mnogi drugi.

UVODUVOD

Sledei znaajan napredak u formalizaciji uvoenja algoritma umatematiku i logiku uinio je Alan Tjuring, definiui Tjuringovu mainu.To je primitivan automat, ustvari, misaona tvorevina koja posjedujemogunost izvoenja operacija koje su dovoljne za izvoenje skoro svihalgoritama. Njegova maina inicirala je teoriju konanih automata.

U novije vrijeme, pojam algoritma se gotovo iskljuivo vezuje zaraunarstvo, mada se algoritmi koriste uvjek kada jednostavno, upojedinanim koracima, elimo da rijeimo neki problem. Na primjer, svakikuvarski recept je jedan algoritam.

U matematici su poznati Euklidov algoritam za odreivanje najveegzajednikog djelioca dva broja, Gausov algoritam za rjeavanje sistemalinearnih jednaina i mnogi drugi.

Teko je dati preciznu definiciju algoritma i postoje mnoge ekvivalentenedefinicije, manje ili vie stroge, ali moe se opisno rei da:

Algoritam je skup jasno definisanih pravila koja opisuju rijeavanje nekogproblema.

Algoritmi se mogu prestaviti na neki od sledeih naina:

Dijagram- blok algoritamska ema, psudo jezici, odnosno, pseudokod. (Pseudokod predstavlja meu korak

izmeu svakodnevnog jezika, (srpski, engleski i td. i programskih jezika), programski jezici, Postova maina , Tjuringova maina, rekurzivne funkcije i mnogi drugi

AlgoritamAlgoritam

Teko je dati preciznu definiciju algoritma i postoje mnoge ekvivalentenedefinicije, manje ili vie stroge, ali moe se opisno rei da:

Algoritam je skup jasno definisanih pravila koja opisuju rijeavanje nekogproblema.

Algoritmi se mogu prestaviti na neki od sledeih naina:

Dijagram- blok algoritamska ema, psudo jezici, odnosno, pseudokod. (Pseudokod predstavlja meu korak

izmeu svakodnevnog jezika, (srpski, engleski i td. i programskih jezika), programski jezici, Postova maina , Tjuringova maina, rekurzivne funkcije i mnogi drugi

DIJAGRAMDIJAGRAM-- BLOK EMABLOK EMA Najee, algoritam se predstavlja u obliku blok eme sa jasno definisanim

nizom radnji, korak po korak. Grafiki zapis algoritma naziva se algoritamska blok ema. Grafiki simboli koje se koriste za pravljenje algoritamske eme su:

Poetak- prvi korak algoritma Definie ulazne veliine algoritma Definie obradu podataka Uslovni algoritamski korak

Definie izlazne veliine algoritma

Definie kraj algoritma

Najee, algoritam se predstavlja u obliku blok eme sa jasno definisanimnizom radnji, korak po korak.

Grafiki zapis algoritma naziva se algoritamska blok ema. Grafiki simboli koje se koriste za pravljenje algoritamske eme su:

Poetak- prvi korak algoritma Definie ulazne veliine algoritma Definie obradu podataka Uslovni algoritamski korak

Definie izlazne veliine algoritma

Definie kraj algoritma

Algoritamske eme mogu se podijeliti u dvije kategorije: Linijske algoritamske eme, Cikline algoritamske eme

Linijske algoritamske eme su one eme kod kojih se svaki algoritamski korakizvrava najvie jedanput u toku izvravanja algoritma.Mogu biti proste i razgranate.

Proste linijske algoritamske eme, su one eme kod kojih se svakialgoritamski korak izvrava tano jednput u toku izvravanja algoritma.

Razgranate linijske algoritamske eme, su one eme kod kojih se svaki korakizvrava tano jedanput i obavezno sadri bar jedan uslovni algoritamskikorak. Ako je uslov ispunjen, izlaz iz algoritamskog koraka bie oznaen sada, a ako uslov nije ispunjen izlaz e biti oznaen sa ne.

DIJAGRAMDIJAGRAM-- BLOK EMABLOK EMA

Algoritamske eme mogu se podijeliti u dvije kategorije: Linijske algoritamske eme, Cikline algoritamske eme

Linijske algoritamske eme su one eme kod kojih se svaki algoritamski korakizvrava najvie jedanput u toku izvravanja algoritma.Mogu biti proste i razgranate.

Proste linijske algoritamske eme, su one eme kod kojih se svakialgoritamski korak izvrava tano jednput u toku izvravanja algoritma.

Razgranate linijske algoritamske eme, su one eme kod kojih se svaki korakizvrava tano jedanput i obavezno sadri bar jedan uslovni algoritamskikorak. Ako je uslov ispunjen, izlaz iz algoritamskog koraka bie oznaen sada, a ako uslov nije ispunjen izlaz e biti oznaen sa ne.

DIJAGRAMDIJAGRAM-- BLOK EMABLOK EMA

Cikline algoritamske eme su one eme u kojima se jedan ili viealgoritamskih koraka moe izvravati vie od jedanput u toku izvravanjaalgoritma. Ovi koraci ine ciklus. Ukoliko je uslov ispunjen izlazi se izciklusa, u suprotnom ciklus se ponavlja.

Uslov za izlazak iz ciklusa zove se izlazni kriterijum ciklusa. Cikline algoritamske eme mogu biti konstantne i promenljive. Konstantne cikline eme su eme kod kojih se zakon obrade tokom

ciklusa ne mijenja, dok se kod promenljivih mijenja.

DIJAGRAMDIJAGRAM-- BLOK EMABLOK EMA Cikline algoritamske eme su one eme u kojima se jedan ili vie

algoritamskih koraka moe izvravati vie od jedanput u toku izvravanjaalgoritma. Ovi koraci ine ciklus. Ukoliko je uslov ispunjen izlazi se izciklusa, u suprotnom ciklus se ponavlja.

Uslov za izlazak iz ciklusa zove se izlazni kriterijum ciklusa. Cikline algoritamske eme mogu biti konstantne i promenljive. Konstantne cikline eme su eme kod kojih se zakon obrade tokom

ciklusa ne mijenja, dok se kod promenljivih mijenja.

OSOBINE ALGORITAMAOSOBINE ALGORITAMA

Za rjeavanje jednog istog zadatka moe se sastaviti vie algoritamarazliitih struktura.

Za ovakve algoritme kae se da su ekvivalentni. Meu ekvivalentnim algoritmima treba izabrati onaj koji najefikasnije

dovodi do rezultata. Kriterijumi za izbor najefikasnijeg algoritma su razliiti:

Najvea brzina izvravanja algoritma, minimalno angaovanje memorijskog prostora, minimalno vrijeme koje je potrebno za izvravanje algoritma, to jednostavnija struktura i td,

Za rjeavanje jednog istog zadatka moe se sastaviti vie algoritamarazliitih struktura.

Za ovakve algoritme kae se da su ekvivalentni. Meu ekvivalentnim algoritmima treba izabrati onaj koji najefikasnije

dovodi do rezultata. Kriterijumi za izbor najefikasnijeg algoritma su razliiti:

Najvea brzina izvravanja algoritma, minimalno angaovanje memorijskog prostora, minimalno vrijeme koje je potrebno za izvravanje algoritma, to jednostavnija struktura i td,

Meu najvanije osobine algoritama spadaju: Diskretnost algoritama: svakom koraku moemo pridruiti diskretan

vremenski period u kome se taj korak izvrava. Determinisanost: svaki korak sadri ulazne veliine, na osnovu kojih se

jednoznano dobijaju izlazne veliine. Elementarnost: zakon dobijanja izlaznih veliina mora biti jasan i prost. Rezultativnost: svakom skupu ulaznih veliina mora biti definisano ta je

rezultat. Masovnost: algoritam treba tako napraviti da vai za najiri skup ulaznih

podataka.


Meu najvanije osobine algoritama spadaju: Diskretnost algoritama: svakom koraku moemo pridruiti diskretan

vremenski period u kome se taj korak izvrava. Determinisanost: svaki korak sadri ulazne veliine, na osnovu kojih se

jednoznano dobijaju izlazne veliine. Elementarnost: zakon dobijanja izlaznih veliina mora biti jasan i prost. Rezultativnost: svakom skupu ulaznih veliina mora biti definisano ta je

rezultat. Masovnost: algoritam treba tako napraviti da vai za najiri skup ulaznih

podataka.

Posao sastavljanja algoritma je kreativne prirode i ne postoje univerzalnapravila po kome se posao moe formalizovati.

Samo kod jednostavnih struktura, kao to su linijske strukture, ispravnost semoe utvrditi paljivim pregledom svih koraka.

Za ispitivanje ispravnosti algoritma najee se koristi testiranje. Izabere se izvjestan broj primjera. Testiranje moe posluiti samo za dokazivanje prisustva greke, a nikako

nije dokaz da greke nema. Testiranje algoritamskih ema oduzima mnogo vremena i podlono je

grekama koje ovjek moe da napravi. Zato se danas za provjeru ispravnosti koriste raunari.


Posao sastavljanja algoritma je kreativne prirode i ne postoje univerzalnapravila po kome se posao moe formalizovati.

Samo kod jednostavnih struktura, kao to su linijske strukture, ispravnost semoe utvrditi paljivim pregledom svih koraka.

Za ispitivanje ispravnosti algoritma najee se koristi testiranje. Izabere se izvjestan broj primjera. Testiranje moe posluiti samo za dokazivanje prisustva greke, a nikako

nije dokaz da greke nema. Testiranje algoritamskih ema oduzima mnogo vremena i podlono je

grekama koje ovjek moe da napravi. Zato se danas za provjeru ispravnosti koriste raunari.

MATEMATIKA DEFINICIJA ALGORITMAMATEMATIKA DEFINICIJA ALGORITMA

Intuitivno shvatanje algoritma kao postupka za rjeavanje problema nezadovoljava ni teorijske ni praktine potrebe.

Neki autori ograniavaju definiciju algoritma na procedure koje se konanozavravaju.

Naravno, ostaju otvorena pitanja koja se odnose na algoritamski nerjeiveprobleme, ili one koji se izvravaju zauvijek bez zaustavljanja, ili za one zakoje postoje algoritmi , ali se dugo izvravaju i koji uprkos velikojefikasnosti, ne garantuju rjeavanje problema.

Naravno postavlja se i pitanje da li za svaki problem moemo sastavitialgoritam za njegovo rjeavanje, odnosno postoje li zadaci za koje postupakrjeavanja ne moe biti predstavljen u obliku algoritma.

Intuitivno shvatanje algoritma kao postupka za rjeavanje problema nezadovoljava ni teorijske ni praktine potrebe.

Neki autori ograniavaju definiciju algoritma na procedure koje se konanozavravaju.

Naravno, ostaju otvorena pitanja koja se odnose na algoritamski nerjeiveprobleme, ili one koji se izvravaju zauvijek bez zaustavljanja, ili za one zakoje postoje algoritmi , ali se dugo izvravaju i koji uprkos velikojefikasnosti, ne garantuju rjeavanje problema.

Naravno postavlja se i pitanje da li za svaki problem moemo sastavitialgoritam za njegovo rjeavanje, odnosno postoje li zadaci za koje postupakrjeavanja ne moe biti predstavljen u obliku algoritma.

REKURZIVNE FUNKCIJEREKURZIVNE FUNKCIJE

Jedan od naina da se definie algoritam je pomou rekurzivnih funkcija.

Mi emo rekurzivne funkcije definisati na skupu cijelih brojeva, mada se tadefinicija moe uoptiti.

Rekurzija (lat. recursio, recursion od recurrere: vraanje) u matematici iinformatici oznaava postupak ili funkciju koje u svojoj definiciji koristesame sebe.

Sastoje se iz dva koraka:

Funkcija je definisana za neku poetnu vrijednost a ( najee 0 ili 1 ) Ako je funkcija definisana za neku vrijednost n, (koja je vea ili jednaka a),

tada moe da se definie i za vrijednost n+1.

Jedan od naina da se definie algoritam je pomou rekurzivnih funkcija.

Mi emo rekurzivne funkcije definisati na skupu cijelih brojeva, mada se tadefinicija moe uoptiti.

Rekurzija (lat. recursio, recursion od recurrere: vraanje) u matematici iinformatici oznaava postupak ili funkciju koje u svojoj definiciji koristesame sebe.

Sastoje se iz dva koraka:

Funkcija je definisana za neku poetnu vrijednost a ( najee 0 ili 1 ) Ako je funkcija definisana za neku vrijednost n, (koja je vea ili jednaka a),

tada moe da se definie i za vrijednost n+1.

Rekurzivne definicije su veoma prisutne u matematici.

Primjer:Napisati rekurzivnu definiciju prirodnih brojeva:

1) 1 je prirodni broj 2) Ako je n prirodni broj, onda je to i n+1.

Rekurzivne funkcije imaju za osobinu da za izraunavanje njenihvrijednosti postoji efektivni postupak.

Naalost proces izraunavanja moe da bude dugotrajan, ali je sigurnouvijek jasan i oigledan.

Do rjeenja emo uvijek doi poslije konano mnogo provjeravanja. Za takve funkcije kaemo da su izraunljive.


Rekurzivne definicije su veoma prisutne u matematici.

Primjer:Napisati rekurzivnu definiciju prirodnih brojeva:

1) 1 je prirodni broj 2) Ako je n prirodni broj, onda je to i n+1.

Rekurzivne funkcije imaju za osobinu da za izraunavanje njenihvrijednosti postoji efektivni postupak.

Naalost proces izraunavanja moe da bude dugotrajan, ali je sigurnouvijek jasan i oigledan.

Do rjeenja emo uvijek doi poslije konano mnogo provjeravanja. Za takve funkcije kaemo da su izraunljive.

Primjer: Uoimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih cijelih

brojeva. Ona se moe shvatiti kao proizvod od n vrednosti broja a,

Isto tako funkcija se moe zapisati i rekurzivno na sledei nain

Izraunati Kako je

nf n a

n

n

a a a a


Primjer: Uoimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih cijelih

brojeva. Ona se moe shvatiti kao proizvod od n vrednosti broja a,

Isto tako funkcija se moe zapisati i rekurzivno na sledei nain

Izraunati Kako je

00 1 1

1

f znajui da je a

f n a f n

3f

31) 12) 3 2 1 0 1

oaf a f a a f a a a f a a a a

Primjer: Uoimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih cijelih brojeva.

Funkcija se moe zapisati rekurzivno na sledei nain

!f n n

! 1 2 2 1n n n n


Primjer: Uoimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih cijelih brojeva.

Funkcija se moe zapisati rekurzivno na sledei nain

0 1 0! 1

1 1

deff znajui da je

f n n f n

Bitno je napomenuti da u savremenim programskim jezicima poput C/C++i Jave svako rekurzivno rjeenje nekog problema ima i svoj iterativniekvivalent, tj. algoritam koji isti problem rjeava bez rekurzije.

U praktinom programiranju uglavnom treba izbjegavati rekurziju jer takvareenja u optem sluaju troe vie vremena od iterativnih.

Rjeavanje rekurzivne jednaine omoguava prelazak iz rekurentnog uobini oblik funkcije.

Obino se odredi nekoliko poetnih vrijednosti, pa se na osnovu tihpodataka izvodi opti obrazac.

Dobijeni obrazac treba strogo dokazati matematikom indukcijom.


Bitno je napomenuti da u savremenim programskim jezicima poput C/C++i Jave svako rekurzivno rjeenje nekog problema ima i svoj iterativniekvivalent, tj. algoritam koji isti problem rjeava bez rekurzije.

U praktinom programiranju uglavnom treba izbjegavati rekurziju jer takvareenja u optem sluaju troe vie vremena od iterativnih.

Rjeavanje rekurzivne jednaine omoguava prelazak iz rekurentnog uobini oblik funkcije.

Obino se odredi nekoliko poetnih vrijednosti, pa se na osnovu tihpodataka izvodi opti obrazac.

Dobijeni obrazac treba strogo dokazati matematikom indukcijom.

Primjer: Rijeiti rekurentnu jednainu

Kako je

Znai, moemo da zakljuimo da je

1 1

2 1 1

f

f k f k

1 1

2 2 1 1 3

3 2 3 1 7

4 2 7 1 15

Documents

Slobomir - Diskretna - predavanja