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C A P T U L O
DEFORMACIONES ANGULARES
CHRISTIAN OTTO MOHR (08/10/1835 02/10/1918)
Naci en una familia de terratenientes en Wesselburen en el
Holstein Alemania. Entr en el Instituto Politcnico Hannover,
a la edad de 16 aos y se gradu con una licenciatura en
1855. En 1868 Otto Mohr se convirti en profesor de
Ingeniera Mecnica en la Polytechnicum Stuttgart. Otto
Mohr fue uno de los ingenieros ms laureados de
Europa en el siglo 19.
En 1868, a la edad de 32 aos, Mohr fue invitado a ser
el profesor de ingeniera mecnica en la Polytechnicum
Stuttgart. A pesar de un parto sin pulir, sus
conferencias fueron bien recibidas por los estudiantes
debido a su simplicidad, claridad y concisin. Ser a la
vez terico y la prctica de ingeniera civil, Mohr saba de
su tema a fondo y siempre fue capaz de traer algo fresco e
interesante para la atencin de sus estudiantes. En 1873,
Mohr se traslad a la Polytechnicum Dresde, y ense all hasta
la edad de 65 aos (1900). Despus de su retiro, se qued en el rea de Dresden,
donde continu su labor cientfica hasta su muerte.
Los Teoremas de Mohr representan un valioso aporte para el clculo de
deformaciones en estructuras es as que tenemos lo siguiente:
1er. Teorema:
El ngulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la lnea
elstica, es igual al rea total del trozo correspondiente del diagrama de momentos
flectores, dividido por el mdulo de rigidez .
2do. Teorema:
La ordenada de un punto de la elstica, respecto a la tangente en otro punto, es igual al
momento esttico de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las
ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el mdulo de
rigidez E.I ".
FUENTE: www.pacific.math.ualberta.ca
VIII
OII
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 2
INTRODUCCIN
El mtodo pendiente-deflexin (PD) representa el punto de inicio en la evolucin del
mtodo matricial de rigidez como este es conocido actualmente.
El mtodo pendiente-deflexin PD puede ser utilizado para analizar todo tipo de vigas
y prticos estticamente indeterminados. Las ecuaciones clsicas de pendiente-
deflexin son derivadas por medio del teorema del momento-rea considerando la
deformacin causada slo por los momentos de flexin y despreciando los debidos por
fuerzas de cortantes y axiales. Bsicamente, un nmero de ecuaciones simultneas son
planteadas con incgnitas como las rotaciones angulares y los desplazamientos de cada
nodo. Una vez que estas ecuaciones han sido solucionadas, los momentos en todos los
nudos pueden ser determinados. El mtodo pendiente-deflexin PD es simple de
explicar y aplicar ya que se basa en el equilibrio de los nudos y de los elementos. El
mtodo pendiente-deflexin PD clsico es enseado en cursos elementales de
ANLISIS ESTRUCTURAL I y empleados en el diseo estructural porque este provee
una perspectiva clara y completa de cmo los momentos internos y las deformaciones
estn interrelacionados, conceptos que son esenciales en la ingeniera estructural.
OBJETIVOS
Identificar adecuadamente las variables, los casos y las restricciones para las
estructuras a analizar para luego resolver correctamente las estructuras que
cumplan todas las condiciones y requisitos previos en los que se aplicar el mtodo,
para de esta manera lograr llevar a cabo un buen y adecuado anlisis.
Identificar adecuadamente las ecuaciones y dems variables que se han de utilizar
durante la resolucin de las estructuras planteadas para de esta manera tener la
lucidez adecuada y solucionar correctamente los problemas del captulo.
Interpretar adecuadamente los resultados obtenidos por el mtodo y plasmarlos
adecuadamente el los diagramas correspondientes (de momentos flectores y
fuerzas cortantes) para su posterior utilizacin en trabajos de diseo de concreto
armado, diseo en acero, entre otras aplicaciones.
Dar la respectiva y adecuada solucin a los problemas propuestos del captulo en
base al conocimiento adquirido en la parte terica y prctica del captulo que a
continuacin se procede a desarrollar.
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 3
TEOREMA DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES
(SLOPE DEFLECTION)
(Pendiente Deflexin)
El mtodo pendiente-deflexin se basa en expresar los momentos de los extremos de
los miembros de estructuras estticamente indeterminadas en funcin de los giros y
deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos
pueden girar o deflectarse, los ngulos entre los elementos que convergen en el nudo
se mantienen constantes.
RESTRICCIONES:
Este mtodo considera slo el efecto de la flexin sobre los elementos y omite el efecto
del corte y axial.
Este mtodo es adecuado para el anlisis de estructuras pequeas, corresponde a un
caso especial del mtodo de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy
buena aproximacin inicial para presentar la formulacin matricial del mtodo de la
rigidez.
VENTAJAS:
Este mtodo presenta la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo
de la deformada.
Figura 8.1
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 4
Figura 8.2
SE CALCULA:
Momentos flectores en los extremos de las barras deseadas y/o analizadas.
LAS VARIABLES:
Las principales variables utilizadas durante el desarrollo del curso son los
desplazamientos. Existen dos tipos de desplazamientos desconocidos: angulares y
lineales. Las incgnitas angulares son los ngulos de giro de los nudos rgidos del
sistema analizado. Las incgnitas lineales son los desplazamientos lineales de los
nudos del sistema.
APLICACIN:
Sea una parte de la viga que sometida a un sistema de cargas cualquiera.
Sean (i) y (j) dos secciones cualesquiera de la viga de seccin constante con una
longitud Lij y un momento de inercia de la seccin igual Iij.
En la resolucin por este mtodo se consideran como incgnitas (variables) los
desplazamientos en los nudos de la estructura. A fin de presentar la ecuaciones que
definen este mtodo considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los
puntos i y j con las constantes ya descritas as tenemos la siguiente grfica.
Observacin:
Para la aplicacin del mtodo se asume para todos los efectos en sentido horario
POSITIVO.
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 5
Figura 8.3
OBJETIVO PRINCIPAL:
Calcular los momentos en los extremos:
Figura 8.4
En donde Mij y Mji son los momentos finales a determinar mediante el mtodo.
DESCRIPCIN DEL MTODO:
Para cumplir con el objetivo trazado primero debemos identificar adecuadamente
nuestras variables a partir del siguiente grfico:
Figura 8.5
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 6
El mtodo consiste en determinar del elemento en funcin de las cargas
(Momentos de Empotramiento Perfecto:
) y de las deformaciones producidas por
estas .Es as que las deformaciones (giros y desplazamientos) utilizadas por
el mtodo son las siguientes:
Desplazamiento transversal relativo del extremo (j) respecto del extremo (i)
Rotacin de la barra i j
La manera o forma de relacionar las deformaciones y desplazamientos ya mencionadas
con los momentos finales a determinar (Mij y Mji) es mediante las ecuaciones de
Maney que presentamos a continuacin.
ECUACIONES DE MANEY:
( )
( )
En donde:
Momentos flectores con signos de Maney
Momentos de empotramiento perfecto (MEP)
Giros en (i) y (j) respectivamente
Deformacin angular (ROTACION) de la barra i j
Estas ecuaciones se utilizarn cuando sean conocidas las deformaciones: de
no ser as se recomienda trabajar con las expresiones simplificadas siguientes:
Rigidices relativas:
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 7
Cambio de variable:
( )
( )
Cuando los nudos solamente giran ms no desplazan, como es comn en sistema de
vigas hiperestticas, entonces:
Entonces las frmulas simplificadas seran las siguientes:
( )
( )
DEMOSTRACIN:
Resolveremos por el Principio de Superposicin de efectos, considerando 4 estados.
Estado 0:
Momentos producidos por las cargas con extremos del elemento en la condicin de
perfectamente empotrados.
Figura 8.6
Estado 1:
M
j
ij
iMji
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 8
Momentos producidos por el giro elstico del extremo empotrado (i)
Figura 8.7
Estado 2:
Momentos producidos por el giro elstico del extremo empotrado (i).
Figura 8.8
Estado 3:
Momentos producidos por la rotacin de la barra o debido al desplazamiento transversal
relativo del extremo (j) respecto del extremo (i).
Figura 8.9
Superponiendo:
( )
ji
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 9
( )
Resolviendo el estado: 1
Aplicando la ecuacin de los 3
