PPPPTK Matematika Kode Dok Revisi : F-PRO-002 : 0 BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR Oleh : Drs. Setiawan, M.Pd.

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 iii DAFTAR ISI Pengantar Daftar Isi .. Peta Kompetensi Skenario Pembelajaran . i ii iv v Bab I Bab II Bab III Bab IV Bab V Pendahuluan A.Latar Belakang. B.Tujuan Penulisan ... C.Sasaran D.Ruang Lingkup Penulisan . E.Pedoman Penggunaan Modul LIMIT FUNGSI ... A.Latar Belakang B.Limit Fungsi Aljabar............................... C.Limit Fungsi Trigonometri D.Limit Fungsi Eksponensial E.Kontinuitas .. TURUNAN SUATU FUNGSI . A.Turunan Fungsi Aljabar . B.Turunan Fungsi Trigonometri ... C.Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposit) ... D.Turunan Fungsi Logaritma E.Turunan Fungsi Eksponen sial .. F.Turunan Fungsi Implisit G.Turunan Jenis Lebih Tinggi ... PERILAKU FUNGSI ... A.Kemonotonan Suatu Fungsi ... B.Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi ... C.Titik Belok .. D.Beberapa Contoh Aplikasi Maksimum dan Minimum ... E.Menggambar Grafik Fungsi ... 1 1 2 2 2 3 5 3 3 10 12 18 18 18 22 23 25 26 26 27 30 30 31 33 35 36 iv Bab VI F.Penerapan Turunan dalam Penyelesaian Limit Fungsi ... G.Nilai-nilai Tak Tentu Fungsi .. KALKULUS INTEGRAL.. A.Integral Tak Tentu .. B.Integral Tentu . 39 42 49 49 64 Daftar Pustaka 74 v PETA KOMPETENSI KALKULUS DASAR 1.Kompetensi Memilikikemampuanuntukmengembangkankompetensisiswadalam menggunakankonsep-konseplimitfungsi,turunandanintegral,serta menggunakannya dalam pemecahan masalah. 2.Sub Kompetensi Mampumengembangkanketerampilansiswadalammenentukanlimit suatufungsidenganpendekatanintuitifdanmenggunakannyadalam pemecahan masalah. Mampumengembangakanketrampilansiswadalammenentukan turunansuatufungsi,maksimumdanminimumdanmemecahkan persoalan maksimum dan minimum Mampumengembangakanketrampilansiswadalammenentukan integraltentudantaktentudanmenggunakannyadalampemecahan masalah 3.Lingkup Materi Limit fungsi baik secara intuitif maupun formal Fungsi turunan, perilaku fungsi, maksimum dan minimum Integral baik integral tentu maupun integral tak tentu vi SKENARIO PEMBELAJARAN Pendahuluan dan Apersepsi Penyampaian Konsep Limit Fungsi Melanjutkan limit fungsi trigonometri , eksponen dan logaritma, dan evaluasi diri mengenailimit Penutup Tujuan Ruang Lingkup Pengetahuan prasyarat nilai-nilai tak tentu Berdiskusi pemecahan masalah tentang limit fungsi-fungsi aljabar, trigonometri, eksponen dan logaritma Refleksi diri dengan Latihan 3

Memahami limit fungsi secara intuitif Berdiskusi melacak limit fungsi yang dahasilkan dari pendekatan intuitif dengan pendekatan formal Merefleksi diri dengan Latihan 1 latihan 2 Kesimpulaan Penugasan Informasi diskusi eksplorasi deferensial dan perilaku fungsi, nilai maksimum dan minimum dan evaluasi diri Setelah berhasil dengan refleksi Latihan 3 Diskusi perilaku fungsi, seperti fungsi naik, turun, stasioner Refleksi diri dengan Latihan 4

Informasi, diskusi dan eksplorasi tentang Integral, diawali konsep dasarnya, integral tak tentu dan integral tentu dan refleksi diri 1 BABI PENDAHULUAN A.Latar Belakang. MengacupadaPermendiknasno22tahun2006tentangStandarIsi,disebutkan bahawamatapelajaranMatematikabertujuanagarpesertadidikmemiliki kemampuan sebagai berikut. 1.MemahamikonsepMatematika,menjelaskanketerkaitanantarkonsepdan mengaplikasikankonsepataualgoritma,secaraluwes,akurat,efisien,dantepat, dalam pemecahan masalah 2.Menggunakanpenalaranpadapoladansifat,melakukanmanipulasimatematika dalammembuatgeneralisasi,menyusunbukti,ataumenjelaskangagasandan pernyataan matematika 3.Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. 4.Mengkomunikasikangagasandengansimbol,tabel,diagram,ataumedialain untuk memperjelas keadaan atau masalah 5.Menghargaikegunaanmatematikadalamkehidupan,yaitumemilikirasaingin tahu,perhatian,danminatdalammempelajarimatematika,sertasikapuletdan percaya diri dalam pemecahan masalah Memperhatikan butir-butir tujuan di atas, maka kedudukan kalkulus dalam Standar Isi MataPelajaranMatematika,akanmenjadicukupsentral,sehinggamateriiniharus mendapatkanperhatianyangcukupseriusmenyangkutmasalahpenguasaanmateri, pemilihanmetodapembelajaranyangpasdanpenentuanstrategisertateknik mengajar yang serasi. Namundemikianmelihatkenyataandilapanganbaiklewatmonitoringdanevaluasi bagi para alumnus penataran di P4TK Matematika maupun diskusi-diskusi di MGMP, ternyatamateriinikadang-kadangmasihdijumpaikendaladilapangan.Olehkarena itu pembahasan mengenai materi kalkulus ini perlu mendapatkan porsi yang memadai padapenataran-penatarangurumatematika,terutamayangdiselengggarakanoleh P4TK Matematika Yogyakarta. Di samping itu kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki cakupan aplikasi yangsangatluas,baikdalamtubuhmatematikaitusendiri,maupundalamcabang-cabanglmu-ilmuyanglain,sepertidalambidangsains,teknologi,ekonomidan sebagainya.Olehkarenaituparasiswaterlebih-lebihgurumatematikaSMAharus mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik-baiknya. B.Tujuan Penulisan Tulisaninidisusundenganmaksuduntukmemberikantambahanpengetahuan berupa wawasan kepada guru matematika SMA dengan harapan : 2 1.lebihmemahamimaterikalkulusuntukSMAdanbeberapapengembangannya, terutamamasalahlimitfungsi,integraldengansubstitusidanintegralparsial yang ternyata nasih banyak dijumpai kendala di lapangan. 2. dapatdigunakansebagaisalahsatureferensimasalah-masalahpengajaran matematikaSMApadapertemuan-pertemuanMGMPMatematikaSMAdi daerah. 3. memperluaswawasankeilmuandalammatematika,dankhusunyamasalah kalkulus SMA, sehingga guru dapat memilih strategi pembelajaranyang sesuai dengan kondisi di lapangan, sehingga mudah diterima oleh siswa. C.Sasaran Tulisan ini disusun untuk menjadikan bahan penambah wawasan: a.parapesertapenatarandiklatguru-gurupengembangmatematikaSMA,oleh P4TK Matematika Yogyakarta. b.pararekangurumatematikaSMApadaumunyadanjugaparapemerhati pengajaran matematika. D.Ruang Lingkup Penulisan. Ruang lingkup bahan penataran ini meliputi a.limit fungsi dan kontinuitas. b.kalkulus diferensial. c.kalkulus integral E.Pedoman Penggunaan. Bahanpenataraninimerupakansalahsatuacuandalammemahamimateritentang kalkulus,untukmemahamiisipaketinidenganbaikhendaknyaterlebihdulu dicermatiuraianmateribesertacontoh-contohnyadenganseksama,kemudianbaru mencobasoal-soallatihanyangtelahdisediakan,sesuaidengantopikyangtengah dipelajarinya. 3 BAB II LIMIT FUNGSI A.Latar Belakang Kalkulusadalahsalahsatucabangdarimatematikayangsangatpentingdan banyakditerapkansecaraluaspadacabang-cabangilmupengetahuanyanglain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian dan sebagainya.Padamakalahiniakandibahastigapokokbahasan,pokokutamadari kalkulus yakni limit fungsi, diferensial fungsi dan integral fungsi. Sebenarnya ada dua cabangdalamkalkulusitusendiri,yaknikalkulusdiferensialdankalkulusintegral, danjikadiperhatikanintidaripelajarankalkulusadalahmemakaidanmenentukan limitsuatufungsi.Bahkansecaraekstrimkalkulusdapatdidefinisikansebagai pengkajiantentanglimit.Olehkarenaitupemahamantentangkonsepdanmacam-macamfungsidiberbagaicabangilmupengetahuansertasifat-sifatdanoperasilimit suatufungsimerupakansyaratmutlakuntukmemahamikalkulusdiferensialdan kalkulus integral. B.Limit Fungsi Aljabar 1. Limit Fungsi secara Intuitif. Perhatikan contoh di bawah ini Pandanglah fungsif(x) = 2 x4 x2 dengan domainDf={x|xeR,x=2}untukx=2,jika dicari nilai fungsi f(2) = 00= tidak tentu . Kitacarinilai-nilaif(x)untukxmendekati 2. Kitadapatmemperhatikannilaifungsif(x) di sekitar x = 2 seperti tampak pada tabel. Gb.1.1 berikut : x1,90 1,99 1,999 1,999 2 2,001 2,01 2,1 f(x)3,90 3,99 3,999 3,999 ? 4,001 4,01 4,1 Daritabeldiatasdapatdisimpulkanbahwauntukxmendekati2baikdarikiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4, dan ditulis 42 x4 xlim ) x ( f lim22 x 2 n== . Dari pengertian inilah yang disebut pengertian limit secara intuitif, sehingga : y 2 -2 - - o 20 f(x) = 2 x4 x2 x 4 Definisi limit secara intuitif, bahwa c nlim f(x) = L artinya bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L. 2. Limit Fungsi Secara Formal Secara matematis dapat dimaklumi bahwa banyak yang berkeberatan dengan definisi limit secara intuitif di atas, yaitu penggunaan istilahdekat. Apa sebenarnya makna dekat itu ?. Seberapa dekat itu dapat dikatakan dekat ?. Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil menyusun definisi tentang limit seperti di bawah ini yang masih kita gunakan sampai sekarang. Pengertianlimitsecaraintuitifdiatasjikadiberidefinisiformaladalahsebagai berikut. Definisi : DikatakanL x fc x=) ( lim ,adalahbahwauntuksetiapc>0yangdiberikan berapapunkecilya,terdapato>0yangberpadanansedemikianhingga |f(x) L | < c untuk setiap 0 < | x c| < o. Dengan menggunakan definisi limit di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok tentang limit suatu fungsi sebagai berikut : 1.k k limc x=, jika k suatu konstanta. 2.b ac ) b ax ( limc x+ = + 3.f(x) lim kf(x) k limc x c x =4.) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f limc x c x c x = 5.) x ( g lim ). x ( f lim ) x ( g ). x ( f limc x c x c x =6.Hukum substitusi : Jikaf(L) f(g(x)) lim maka f(L), f(x) lim danL g(x) limc x c x c x= = = 7.0. L danL g(x) lim jikaL1 g(x)1limc x c x= = = 8.0. g(x) lim jika,g(x) limf(x) limg(x)f(x)limc xc xc xc x= = 9.Teorema Apit : Misalkan f(x) s g(x) s h(x) pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi : L. g(x) lim maka L h(x) lim f(x) limc x c x c x= = = 5 Dibawahinidiberikancontohduabuktilimitfungsisecaraformal,sedangrumus-rumus limit yang lain upayakan untuk dapat membuktikan sendiri : 1.Buktikank. klimc k= Bukti : Untuk setiap bilangan positip c > 0 berapapun kecilnya akan didapat o > 0sedemikian untuk setiap x pada |x c| < o dipenuhi |k k| < c. Dari |k k|= 0, maka berapapun nilai o > 0 yang diambil yang menyebabkan |x c| 0betapapun kecilnya, akan ditemukano > 0 sedemikian hingga 0 0 sedemikian hingga untuk setiap x selain c jika dipenuhi |x c| < o akan berakibat |f(x)| > M dan ditulis =f(x) limc x -11 x y f(x) = 2x1 8 Contoh 1 : Buktikan bahwaBukti :UntukmembuktikanituberartiuntuksetiapM>0yangdiberikanbetapapun besarnyaadalahmungkinmenemukano>0sedemikianhinggauntuksetiapxyang memenuhi |x 1| < o akan diperoleh M.) x 1 (12 > DariM.) x 1 (12 > berarti (1- x)2 < M1. Sehingga |1 x| < M1. Jika diambil o = M1, berarti untuk setiap x pada |x 1| < M1 akan dipenuhi (x 1)2 < M1 (1 x)2 < M1 M.) x 1 (12 > Dari pertidaksamaan terakhir ini menunjukkan bahwa + = x) - (11 lim21 x. Contoh 2. Tentukan 1 xx1 xlim Jawab : Secaraintuitif jikaxdekatdengan 1makax1 akanmendekati 0, sehinggadapatdifahami (secara intuitif) bila1 xx1 xlim= 0 ~x) - (11 lim21 x+ = y=f(x) 1 X y M 9 DanjikaingindibuktikansecaraformalberartiuntuksetiapbilanganM>0 betapapunbesarnya,adalahmungkinditemukano >0,sedemikianhinggauntuk setiap x pada |x 1| M. Sedangkanlimitfungsiuntukxyangbernilaibesardapatdidefinisikansebagai berikut : Definisi : Jikaf(x)terdefinisiuntukxyangbernilaibesar,kitakatakanbahwaf(x) mendekati L sebagai limit untuk x mendekati tak hingga, dan ditulis : L ) x ( f limx= , bahwa apabila diberikan0 > cmaka akan ditemukan suatu bilangan M sedemikian hingga dipenuhi |f(x) L| M. Ilustrasi geometris dari pengertian di atas adalah sebagai berikut : Contoh 1. Pandanglah fungsi f(x) = 2 + xx sin y=f(x) y=L O L+ cL- cM X Y Y 3 2 1 O y = 2 +cy = 2 y = 2 -cY = 2 + xx sin X 10 Grafiknya beroskilasi terhadap garis y = 2. Amplitudo dari oskilasinya semakin kecil menuju nol. Untuk x , dan kurvanya terletak di antara y = 2 +cdan y = 2 -cjika x > M Atau dengan kata lain : Jika x besar,0xx sindan f(x)2 L = Contoh 2 Tentukan ) 3 2 ( lim2 2x x x xx+ + Jawab : 21 0 1 0 11 1 11lim 3 2lim 3 2) 3 ( ) 2 (lim ) 3 2 () 3 2 )( 3 2 (lim ) 3 2 ( lim3 22 22 22 22 22 2 2 22 2 =+ + + =+ + + =+ + +=+ + ++ +=+ + ++ + + + += + + x xxxxx xx x x xxx x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x x x C.Limit Fungsi Trigonometri Misalkan x dalam radian, dan 0 < x < 2t, maka BC = rsin x dan AD = r tan x. Untuk mencari luas sektor AOB Luas sektor AOB Luas seluruh lingkaran Luas sektor AOB tr2 Gb.1.3 Sehingga luas sektor AOB =x r21r .2x2 2= tt Dari bangun di atas diperoleh : Luas A AOB < luas juring AOB < luas A AOD x 2t = = x 2t x O B A D C r 11 . OA . BC < r2x < . OA . AD . r . r sin x < r2x < . r . r tan x r2 sin x < r2x < r2 tan x sin x < x < tan x .. (i) Dari (i) diperoleh : 1 < x cos1 x sinx< x cos1lim x sinxlim 1 lim0 x 0 x 0 x s s111 x sinxlim 10 x= s s Jadi1 x sinxlim0 x= Dari sini dapat dikembangkan : xx sin0 xlim =0 xlimx sinx1 =111=Dan untuk xx tan0 xlim = x cos . xx sin0 xlim = x cos1xx sin0 x. lim = x cos10 xxx sin0 xlim . lim = 1.1 = 1 Demikian juga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa1 limx tanx0 x= Kesimpulan : 1.1 limxx sin0 x=3.1 limxx tan0 x= 2.1 limx sinx0 x=4.1 limx tanx0 x= ContohHitunglah :a. 2xsin xlim0 xb. 5x3x sin lim0 xc. 5x sin 3x tan lim0 x Penyelesaian : a. |.|

\|= x x sin21lim2xsin xlim0 x 0 x 211 .21= =12 b. 53.3x3x sin lim2x3x sin lim0 x 0 x|.|

\|= 53 53. 1 = = c. 53.5x sin 5x3x3x tan lim5x sin 3x tan lim0 x 0 x|.|

\||.|

\|= = 53. 1 . 1= 53. D.Limit Fungsi Eksponensial a.Bilangan e |.|

\|+ + ++ + = |.|

\| + n 3 2n1...1.! 3) 1 )( 1 ( 1.! 2) 1 ( 1.1n1 limn11 limnn n nnn nnnnn =

\||.|

\| |.|

\| + |.|

\| |.|

\| + |.|

\| + + n n n n nn2111! 41 2111! 31 11! 211 1 lim |.|+ +|.|

\| nn1...n31 =...! 51! 41! 31! 211 1 + + + + + +Jika diambil sampai sepuluh tempat desimal diperoleh7182884 , 2n11 lim = |.|

\| + nn Nilai limit ini disebut bilangan e atau bilangan Euler (diambil nama sang penemu yaitu Leonard Euler matematikawan Austria 1707 1783). Sehingga : enn= |.|

\| + n11 limLimit ini dapat dikembangkan untuk setiap x e R dipenuhi exx= |.|

\| + x11 lim Jika disubstitusikan u = x1 maka diperoleh rumus e x) (1 limx10 x= + 13 Contoh tentukan 3x21 lim+ |.|

\| +xx Jawab : 3 3x21 .x21 limx21 lim |.|

\| + |.|

\| + = |.|

\| + + xxxx = 3 2 .21x21 lim2|.|

\| +|.|

\| + xxx

= 32x21 .x21 lim2|.|

\| +||.|

\||.|

\| + xx = e2 . (1 + 0)3 = e2. Logaritmayang mengambil e sebagai bilangan pokok disebut logaritma naturalis atau logaritma Napier, dan ditulis dengan notasi ln, sehingga ln x = e log x. Dari maka, e x) (1 limx10 x= + a loge log x) (1 lima0 xx1=|||.|

\|+

a ln1xx) (1 loglima ln e lnx x) (1 loglime log x) (1 log lima0 xa0 xa a0 xx1=+=+= + Misalkan a log (1 + x) = y 1 + x = ay x = ay 1 Untuk x 0, maka ay 1 yang berarti y 0, sehingga persamaan (i) a ln11 ay0 xylim = Sehingga :a lny1 alimy0 y= Atau secara umum : a lnx1 alimx0 x= Jika disubstitusikan a dengan e 1x1 elim ataue lnx1 elimx0 xx0 x== .. (i) 14 Contoh : Tentukan xe elimbx ax0 x Jawab : x1 e 1 elimxe elimbx ax0 xbx ax0 x+ = = ||.|

\| x1 e-x1 alimbx ax0 x = ||.|

\| b .bx1 e- a .ax1 elimbx ax0 x = 1 . a 1 . b = a b Latihan 1 Tentukan nilai limitnya 1.) 4 x 7 (x lim22 x+ 14.) y x : (misal 4 x8 x lim2 3364 x= 2. |.|

\|+xx2lim3 x15. 2 2 x3 1 2x lim4 x + 3. 3 xx 9lim24 x +16. xx 2 - x lim0 x 4. 4 xx 2 xlim222 x17. x 5 52x lim0 x 5. 1 x x1 xlim251 x+ + 18.) 2 3 x ( lim + + xx 6. 2 x6 x x lim22 x +19. xx 2 - x lim x 7. 3 x27 x lim33 x 20. 14 3 2x lim42+ xxx 8. 2 x10 x 3 x lim22 x + + 21. 2n) ... 3 2 (1 limnx+ + + +

9. 1 x1 x lim231 x+ 22. 21) - (2n ... 7 5 3 (1 lim2++ + + + + nx

10. 5 x25 x lim25 x23. |.|

\|+ + + + nx21...814121 lim11. 2 xx 2 x 2 lim2 x +24. |.|

\| + + + + 2 2 2 22 3...7 4n1 limnnn nx 15 12. 3 x5 x 3 2 - 2x lim3 x 25. ... 2 2 2 xHitung + + + =13. x 3 x 21 x 2 2 x lim3 x +26. Tentukan limit Un dari barisan 0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333 27. Tentukan limit Un dari barisan 0,2 , 0,23 , 0,233 , 02333 , 28. Tentukan limit suku Un dari barisan ... , 2 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 , 229. Tentukan limit suku Un dari barisan ... , 6 6 6 6 , 6 6 6 , 6 6 , 6 30. Tentukan limit Un dari barisan berikut ... ,1 - 2n2n , ... ,56 ,34 ,12 31. tan xsin x lim0 x 32. x4x sin lim0 x 33. 23x 20 xxsin lim 34. x cos - 1x lim0 x 35. x cotgxlim0 x 36. a - x a sin- sin x lim0 x 37. sin x 1x cos lim20 x 38. sin x 1 - xcossin x - x cos 1 lim2x ++t 39. 2 xx tan lim2 x +t 40. tan x - 1 x cos - sin x lim4xt 41. 5x11 lim+ |.|

\| +xx Petunjuk :kuadratkan kedua Ruas ! 47. x 32 4 limx x0 x 48. xe e limx 3 2x0 x 49. xb a limx 3 2x0 x 50. xe e limbx -ax0 x 16 42. xx|.|

\| + x71 lim43. xx|.|

\| x3- 1 lim44. xx|.|

\| + 1 - x3 x lim45. x12x) (1 lim0 x+ 46. x4 5 limx x0 x E.Kontinuitas Perhatikanfungsipadabilanganrealf(x)= 2 x4 x2 seperti pada grafik di samping. Untukx=2diperolehf(2)= 00(taktentu) sehinggagrafiknyaterputusdix=2dalamhal ini dikatakan f(x) diskontinu di x = 2. Sedangkanuntukinterval{x|x2,xeR}grafiknya berkesinambungan, dalam hal ini dikatakan f(x) kontinu di x = 2. Gb.1.4 Secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di x = c, jika dipenuhi : a.adaf(x) limc x b.f(c)ada c.) c ( f ) x ( f limc x= Jika pada suatu fungsi f(x) diskontinu di x = c, maka dapat dibuat sedemikian hingga c xlimf(x) = f(c), maka dikatakan diskontuinitas di x = c ini dapat dihapuskan. Contoh : Tentukan diskontuinitas fungsi pada bilangan realf(x) = 4 x8 x23 . Jawab : fungsi rasional di atas akan diskontinu jika penyebutnya nol atau x2 4 = 0 (x + 2)(x 2) = 0 x = -2ataux = 2 Sehingga f(x) diskontinu di x = -2ataux = 2. of(x) = 2 x42x

02x y 47. x 32 4 limx x0 x 48. xe e limx 3 2x0 x 49. xb a limx 3 2x0 x 50. xe e limbx -ax0 x 17 Selanjutnya untuk ) 2 x )( 2 x () 4 x 2 2)(x - (x lim4 x8 x lim22 x232 x ++ += =3412=Diskontinu di x = 2 dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi f(2) = 3. Selanjutnya untuk x = -2 diperoleh 2 x4 x 2 x lim4 x8 x lim22 x232 x + + += = 04 = , sedangkan f(-2) = 0164 ) 2 (8 ) 2 (23= tidak terdefinisi. Sehingga diskontinu di x = -2 tidak dapat dihapuskan. Latihan 2 Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut 1.f(x) = x2 + xdix = -1 2.f(x) = 4x2 2x + 12dix = 2 3.f(x) =1 -xdi 1 xx=+ 4.f(x) =2 xdix2 x2= 5.f(x) =3tdi3 t9 t 6= 6.f(x) =2 untuk x 22 untuk x4 x 3> s + di x = 2 7.Di titik mana saja f(x) = 10 x 3 x4 x 52 + diskontinu danselidikimacamdiskon-tinuitasnya. 8.Di titik mana saja f(x) = 1 x1 x23 diskontinu danselidikimacamdiskontinui-tasnya. 9.Dengan grafik di titik mana saja (jika ada) fungsi ini diskontinu f(x) =1 untuk x x 21 x0 untukx0 untuk xx2> s s< 10. Tentukan a dan b agar fungsi : f(x) =2 - untuk x 1 bx2 untuk xa2 - untuk x 3 x x2> +=< + kontinu di x = 2 18 BAB III TURUNAN SUATU FUNGSI A.Turunan Fungsi Aljabar Sesuatuyang bersifat tetap di dunia ini adalah perubahan itu sendiri, banyak kejadian-kejadianyangmelibatkanperubahan.Misalnyageraksuatuobyek (kendaraanberjalan,roketbergerak,lajupengisianairsuatutangki),pertumbuhan bibitsuatutanaman,pertumbuhanekonomi,inflasimatauang,berkembangbiaknya bakteri, peluruhan muatan radioaktif dan sebagainya. Studitentanggarissinggungdanpenentuankecepatanbendabergerakyangdirintis olehArchimedes(287212SM),Kepler(15711630),Galileo(15641642), Newton(16421727)danLeibniz(16461716)dapatdipandangsebagaipeletak dasardarikalkulusdiferensialini.NamunparaahliberpendapatbahwaNewtondan Leibniz-lahduaorangyangpalingbanyakandilnyapadapertumbuhankalkulus. Konsep dasar dari turunan suatu fungsi adalah laju perubahan nilai fungsi. Perhatikan fungsi y = f(x) pada domain (x, x +Ax)nilaifungsiberubahdarif(x)padax sampai dengan f(x + Ax) pada x + Ax. y + Ay = f(x + Ax) y = f(x) Ay = f(x + Ax) f(x) Gb.2.1 Ay : disebut diferensi antara f(x + Ax) dengan f(x) Ax : disebut diferensi x x) x ( f ) x x ( fxyA A +=AAdisebut hasil bagi diferensi. Jika B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati A, maka diperoleh limit : xf(x) - x) f(x lim0 x AA + A Nilai limit ini disebut derivatif f (turunan, laju perubahan nilai fungsi, hasil bagi diferensial) dari y = f(x), dan biasa ditulis dengan notasi dxdy atau y'. (Notasi dxdy dan dibaca dy dx inilah yang kita kenal dengan istilah notasi Leibniz) Jadi :x) x ( f ) x f(x lim ydxdy0 x A A += ' = A. y f(x+Ax) f(x) 0 x Ax x + Ax x Ay B Ao C y = f(x) 19 Secara geometris, kita lihat bahwa perbandingan diferensi xyAA adalah gradien tali busur AB = tan o. Jika Ax 0 maka tali busur AB akan menjadi garis singgung di A sehingga : x) x ( f ) x f(x lim ) x ( f ydxdy0 x A A += ' = ' = A adalah gradien garis singgung pada kurvay = f(x) di (x, f(x)). Contoh 1 Diketahui kurva dengan persamaan y = x2 + 2x. Tentukan dxdy dan persamaan garis singgung kurva di x = 1. Jawab :y= x2 + 2x y + Ay = (x + Ax)2 + 2(x + Ax) = x2 + 2x.Ax + (Ax)2 + 2x + 2Ax Ay = (2x + 2) Ax + Ax2

xx ) 2 x 2 (xx x ) 2 x 2 (xy2 2AA + +=AA + A +=AA

xx x 2) (2x limxy limdxdy20 x 0 x AA + A +=AA= A A =) x 2) ((2x lim0 xA + + A = 2x + 2 Untuk x = 1 gradien garis singgung m =4 2 1 . 2dxdy1 x= + =|.|

\|= x = 1 y = 12 + 2.1 = 3 titik singgung (1, 3). Sehingga persamaan garis singgungnya : y 3 = 4(x 1) y = 4x 1 Contoh 2 Tentukan fungsi turunan dari f(x) = 2x3 Jawab : y = 2x3 y +y A = 2) x x (3A + y A = 2) x x (3A + - 2x3 = 2 22 2x . ) x x () x x ( 3 x . 3A +A + = 2 22x . ) x x (x 3 x . x 6A +A A = 2 2x ) x x () x 3 x 6 ( xA +A A 20 2 2 xyx . ) x x (x 3 x 6A +A =AA Sehingga 0 xxy0 xdxdylim lim AAA A= =2 2x . ) x x (x 3 x 6A +A = 3 2 2x6x xx 6 = Rumus-rumus turunan (derivatif) fungsi y = f(x). 1)Fungsi konstanta y = f(x) = c f'(x) =0xc - c limxf(x) - x) f(x) lim0 x 0 x=A=AA + A A f(x) = cf'(x) = 0 2)Derivatif f(x) = xn f'(x) = xx x) (x limn n0 x A A + A = xx ) ) x ( ... ) x ( x! 2) 1 n ( nx . nx (x limn n 2 2 n 1 n n0 x A A + + A+ A + A = ||.|

\|A + + A + A+ A1 n 2 3 n 2 n 1 - n0 x) x ( ... x . x3 . 2 . 1) 2 n )( 1 n ( nx . x2 . 1) 1 n ( nnx lim = nxn-1. f(x) = xn f'(x) = nxn-1 3)Jika c suatu konstanta dan y = c f(x), maka xcf(x) - x) cf(x limdxdy0 x AA += A = xf(x) - x) f(x( lim0 x AA + A = c.f'(x) = c.dxdy Contoh 2 : y = 4x5 y' = 4.4 4 5x 20 x 5 . y ) x (dxdy= = . 4)Jika u = f(x) dan v = g(x), maka turunan fungsi y = f(x) g(x) dapat dicari sebagai berikut : xg(x)) (f(x) - x) g(x x) (f(x limdxdy0 x A+ A + + A += A 21 = x) x ( g ) x x ( gxf(x) - x) f(x( lim0 x A A ++AA + A = f'(x) + g'(x). Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa y = f(x) g(x) y' = f'(x) - g'(x) Jadi : y = f(x) g(x) y' = f'(x) g'(x) 5)Jika u = f(x) dan v = g(x) dan y = u.v maka y = u.v = f(x) . g(x) y' = xf(x).g(x) - x) x).g(x f(x limdxdy0 x A A + A += A = xf(x).g(x) - x) f(x).g(x x) f(x).g(x - x) x).g(x f(x lim0 x AA + + A + A + A + A = x) x ( g ) x x ( g)( x ( f ) x x ( g .xf(x) - x f(x( lim0 x A A ++ A +|.|

\|AA + A = f'(x).g(x) + f(x) . g'(x) = u'v + uv' Jadiy = uv y' = u'v + uv' 6)Jika u = f(x) dan v = g(x), sedemikian hingga g(x) = 0 pada intervalnya dan y = ) x ( g) x ( fvu= , maka y' = x)) x ( g) x ( f) x x ( g) x x ( f( limx x AA +A + A = ) x ( g ). x x ( g . xx) f(x).g(x - x).g(x) f(x limx x A + AA + A + A y' = ) x ( g ). x x ( g . xf(x).g(x) x) f(x).g(x - f(x).g(x) - x).g(x) f(x limx x A + A+ A + A + A = ) x ( g ). x x ( gx) x ( g ) x x ( g)( x ( f ) x ( g ).xf(x) - x) f(x( limx x A +A A +AA + A = 2 2vv u v u) x ( g () x ( g ). x ( f ) x ( g ). x ( f ' '=' ' Jadiy = 2vv u v uyvu ' '= ' 22 Contoh 3Tentukan f'(x) untuk f(x) = 2x3 x 2 + Jawab : f(x) = 2x3 x 2 + maka mengingat 2vv u v u)vu(' '= 'diperoleh f(x) = 2 22) x (x 2 ). 3 x 2 ( x . 2 + = 42 2xx 6 x 4 x 2 = 42xx 6 x 2 B.Turunan Fungsi Trigonometri a.y = sin x y' = xsin x - x) sin(x lim0 x AA + A = x2x x xcos2x - x xsin2 lim0 x A+ A + A + A = |.|

\| A+||||.|

\|AA A 2xxcos .2x2xsin lim0 x

= 1. cos(x + 0) = cos x Analog y = cos x y' = sin x. b.y = tan x y = x cos x sindengan mengingat 2vv u v u)vu(' '= ' y' = 2 x) (cos x) sin x(-sin - xcos =x secx cos1x cosx sin x cos22 22 2= =+ Analog y = tan x y' = sec2xc.y = sec x y = x cos1 y' = x cos1. x cos x sinx cos(-sin x) . 1 - xcos . 02= = tan x . sec x Analog y = cosec x y' = cot x cosec x. Jadi : 23 y = sin x y' = cos x y = cot x y' = cosec2x y = cos x y' = sin xy = sec x y' = sec x tan x y = tan x y' = sec2xy = cosec x y' = cosec x cot x. C.Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposit) Misalkan y = f(x) dimana u = g(x), menentukan fungsi tersusun y = (f g)(x) = f(g(x)) dan apabila g mempunyai turunan di x, dan f mempunyai turunan di u = g(x) maka turunan fungsi komposisi (f g)(x)ditentukan dengan rumus : (f g)'(x) = f'(g(x)).g'(x)atau dengan notasi Leibniz : dxdududydxdy. = Rumus ini dikenal dengan nama aturan rantai . Cara yang mudah untuk mengingat aturan rantai adalah : Variabel kiriVariabel antaraVariabel kanan y = f(u)danu = g(x)

dudy= dudy. dxdu Turunan variabelTurunan variabelTurunan variabelkiri terhadap =kiri terhadapantara terhadap variabel kanan variabel antara variabel kanan Aturan rantai tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut : Bukti : Misalkany=f(u)danu=g(x);gmempunyaiturunandixdanfmempunyai turunandiu=g(x).Apabilavariabelxbertambahdenganx A yangberubah menjadi (x +x A ), maka u = g(x) bertambah menjadi g(x +x A ) dany = f(g(x)) bertambah menjadi f(g(x +x A )), sebagaimana diagram di bawah ini : 24 Pertambahan untuk u = g(x) adalah g(x+ ) x ( g ) x ( g ) x A + = A , dan dari hubungan ini akan diperoleh0 ) x ( g Aapabila0 x A )) x ( g ( f A= f(g(x +) x A ) - f(g(x)) Berdasar definisi umum turunan fungsi, maka turunan dari fungsi komposisi : (fog)'(x) = x)) x )( g f ( ) x x )( g f (lim0 x A A + A = x)) x ( g ( f ) x x ( g ( flim0 x A A + A = x)) x ( g ( f )) x ( g ) x ( g ( flim0 x A A A = x) x ( g) x ( g)) x ( g ( f )) x ( g ) x ( g ( flim0 x AA-A A + A = x) x ( g ) x x ( glim) x ( g)) x ( g ) x ( g ( flim0 x 0 ) x ( g A A +-AA A A = f'(g(x)).g'(x)(terbukti) Dan apabila aturan rantai di atas kita tulis dengan notasi Leibniz akan diperoleh : Jika y = f(x) dan u = g(x) maka dxdy= dxdududy Contoh 3 Tentukan turunan fungsi f(x) = (2x3 4)7 Jawab : Misal,u = 2x3 4 u' = 6x2 f(x) = u7 f'(x) = 7u6 . u' Jadi f(x) = (2x3 4)7 f'(x) = 7(2x3 4)6 . 6x2. = 42x2(2x2 4)6. Dalil Rantai di atas dapat dikembangkan lebih lanjut. x g(x) f(g(x)) x+ x Ag(x+ x A ) f(g(x+ x A )) ) g f 25 Jika y = f(u),u = g(v)dan v = h(x), maka (f g)'(x) = f'(g(x)).g'(x) dxdv.dvd.dudydxdy= Begitu dan seterusnya. Contoh 4 Jika f(x) = sin3(2x 5), maka tentukan f'(x). Jawab : Misalu = sin(2x 5) dan v = 2x 5, sehingga v = 2x 5 2dxdv= u = sin v v cosdvdu= y = u3 2u 3dudy=f'(x) = dxdv.dvdu.du) x ( dfdx) x ( df== 3 . u2 . cos v . 2 = 6 sin2(2x 5) . cos(2x 5) D.Turunan Fungsi Logaritma a.Pandanglah fungsi f(x) = ln x f'(x) = xln x - x) ln(x lim0 x AA + A = xx. xxx) ln(x lim0 x AA A + A = x11 .x1e lnx1 lim0 x= = A Jadif(x) = ln x f'(x) = x1 b.Jka f(x) = a log x, maka f(x) = a lnx1) x ( fa ln x ln= ' Jadif(x) = a log x f'(x) = a lnx 1 26 E.Turunan Fungsi Eksponensial a. Jika f(x) = eg(x), maka ln f(x) = ln eg(x) = g(x) . ln e ln f(x) = g(x) jika kedua ruas diturunkan ), x ( g ) x ( f .) x ( f1' = ' sehingga f'(x) = f(x) . g'(x) = eg(x) . g'(x) Jadif(x) = eg(x) f'(x) = eg(x) . g'(x) Contoh 5 Jika y = ex, maka y' = ex . 1 = ex Sehingga y = ex y' = ex b.Untuk fungsi eksponensial y = ag(x), maka ln y = ln ag(x) ln y = g(x) . ln a jika kedua ruas diturunkan, maka y .y1'= g'(x) . ln a y' = y . g'(x) . ln a = ag(x) . g'(x) . ln a Jadi y = ag(x) y' = ag(x) . g'(x) . ln a Contoh 6 Jika y = 3 x 232 , maka y' =2 ln . x 6 . 23 x 23 = 6x .2 ln . 23 x 23 F.Turunan Fungsi Implisit Jika y = f(x), maka turunan fungsi implisit F(x,y) = c adalah dengan memandang y fungsi dari x. Contoh 7 Tentukan y' jika x2 + 3xy + y2 = 4 Jawab : ) 4 (dxd) y xy 3 x (dxd2 2= + +2x + 3y + 3xy' + 2y . y' = 0 (3x + 2y)y' = 2x 3y y' = y 2 x 3y 3 x 3++. 27 G.Turunan Jenis Lebih Tinggi Andaikan fungsi turunan pertama f'(x) atau dx) x ( df dari suatu fungsi adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada x, maka turunan dari turunan pertama ini, disebut turunan kedua, dan ditulis dengan notasi f''(x) =.dx) x ( f d22 Demikian juga andaikan turunan kedua ini fungsi yang dapat didiferensialkan, maka turunan dari turunan kedua ini disebut turunan ketiga dan ditulis dengan notasi f'''(x) =.dx) x ( f d33 Begitu dan seterusnya turunan dari turunan ke n-1 disebut turunan ke-n dan ditulis dengan notasi f(n)(x) = nndx) x ( f d. Contoh 8 Tentukan 33dx) x ( f djika f(x) = x5 5x2 Jawab : f(x) = x5 5x2 f'(x) = 5x4 10x f''(x) = 20x3 10 f'''(x) = 60x2 Contoh 9 Tentukan nndx) x ( f djika f(x) = sin x Jawab : f(x) = sin x )2. 1 sin(xxcosdx) x ( df t+ = = )2. 2 sin(xxsindx) x ( f d22t+ = =)2. 3 sin(xxcosdx) x ( f d33t+ = =)2. sin(xxsindx) x ( f d to + = =oo .. ).2. nsin(x dx) x ( f dnnt+ = 28 Latihan 3 Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 10, tentukan f'(x) dari 1.f(x) = 6 4x3 + x5 8. f(x) = (x2 + 2x2)2 2.f(x) = (3x 2)29. f(x) = (2x +)x1x 2 )(x13.f(x) = (x3 2x)210. f(x) = x x1 x2+ 4.f(x) = x x111. f(x) = x1x5 2+5.f(x) = 3x2 - 3x 6112. f(x) = \x (3x +)x 31x 3 )(x 316.f(x) = (3x2 + 6)(2x -)4113. f(x) = (5x2 - 1)(x2 + 4x - 2). 7.f(x) = x 31 x2+14. f(x) = 2 32x 2 x3 x 4+ + 16.Diketahuif(x)=x2-6x-16.Tentukangradiengarissinggungkurvadix=1,dan persamaan garis singgungnya. 17. Diketahui fungsi f : x (2x + 3)2 a)Tentukan rumus untuk turunan fungsi f'(x) b)Tentukan laju perubahan fungsi pada x = -1 dan pada x = -2. 18. Jarak s meter yang ditempuh oleh bola golf yang menggelinding pada waktu t detik dinyatakan dengan s = 15t t2. a)Hitung kecepatan bola golf pada t = s b)Kapan bola golf tersebut berhenti. 19.Tentukanpersamaangarissinggungkurvadenganpersamaany=(x-2)2dititikyang absisnya x = 2. 20. Tentukan f'(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini a.f(x) 6 sin x + 3 cos xh. f(x) = sin2x + cos2x b.f(x) = 3 sin x cos xi. F(x) = sin3(x 5) c.fx) = x cos sin x x sin+j. f(x) = sin x0 d.f(x) = x cos - sin x x tg(x0 = radian dengan menggunakan kesamaan e.f(x) = x2 sec x 180o = t radian), xo = radian f.f(x) = x cosx2k. f(x) = tan(3 sin x). 21. Jika y = f(x), maka tunjukkan bahwax . x ). x ( f y A c + A ' = A , di mana jika 0 x A maka0 cCatatan : Sifat ini dapat digunakan untuk membuktikan aturan rantai : Jika y = f(u) dan u = g(x) makax . x ). x ( f y A c + A ' = A , di mana0 lim0 x= c A 29 xy.xu.dudyxyAAc +AA=AA xu. limxulim .dudyxylim0 x 0 x 0 x AAc +AA=AA A A A

dxdy = dxdu.dudy 22. Tentukan f'(x) jika f(x) = x7sin(2x - 5)) 23. Tentukan g'(x) jika g(x) = 2x 5 x 2 +22. Jika y = sin x maka... ydxy d22= +23. Jika y = x5 sin 3x, maka tentukan 22dxy d 24. Tentukan nndxy d jika y = ekx 25. Tentukan 22dxy d jika x2 y = 0 26. Tentukan dxdy jika diketahui x3 + y3 = x3y3. 27. Jika xy + sin y = x2, maka tentukanlah y'. 28. Tentukan dxdy jika diketahui : a.x2y + 3xy3- x = 3 b.1x1y1= +c.xy = 8 d.3x2- 2xy + y2 = 0 e.4 y 6 x 32 2= 29. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut : a.y = 3e-4x b.y = (x 2)e5x c.y = x ln 3x d.y = log (2x + 3) e.y = 23x xsin3+ \ 30 BAB IV PERILAKU FUNGSI A.Kemonotonan Suatu Fungsi . Dalamhalinikitakatakanabahwafnaikpadaselangtertutup[x1,x2]danfturun pada selang tertutup [x2,x3]. Definisi : Fungsifyangterdefinisipadasuatuselangdikatakannaikpadax=x0,apabila untuk h positif dan cukup kecil berlaku f(x0 h) < f(x0) < f(x0 + h). Dari gambar di atas kelihatan bahwa fungsi f naik pada selang [x1,x2] dan [x3,x4]. Definisi : Fungsi fyang terdefinisi pada suatu selang dikatakan turun pada x = x0, apabila untuk h positif dan cukup kecil berlaku f(x0 h) > f(x0) > f(x0 + h) Dari gambar di atas fungsi f turun pada selang [x2,x3] Bila fungsi f naik atau turun pada suatu selkang maka f dikatakan monoton pada selang tersebut. Misalkankurvadisampingmenyajikan grafikfungsiy=f(x),sehinggaterlihat bahwa untuk x < a, gradien garis singgung g1 positif, yang berarti f'(x) > 0, dan f naik pada intervalitu.Untukx>0,gradiengaris singgung-garissinggungselalunegatif sehingga f'(x) < 0,danf turun pada interval tersebut. Sedang untuk x = a, gradien garis singgung dititik tersebut = 0, garis singgungnya sejajar sumbux,sehinggaf'(x)=0,dalamhaliniftidaknaikdantidakturundandikatakanf stasioner di x = a. y x g1 g2 y = f(x) g3 o1 a Gambardisampingmem-perlihatkanbahwajikasuatu titikbergeraksepanjangkurva dariAkeB,makanilaifungsi bertambahapabilaabsisber-tambah;danjugajikatitik bergerak sepanjang kurva dari B keCmakanilaifungsiberku-rang apabila absis bertambah. Gb. 2.1 D(x4,y4) - - - - C(x3,y3) B(x2,y2) A(x1,y1) y=f(x) Y X O - 31 Bukti : Pertama kita buktikan jika f(x0) > 0 maka fungsi naik pada x = x0. Dari f(x0) > 0 maka0) ( ) (lim0 00>A A + Axx f x x fx, kita peroleh : 0) ( ) (0 0>A A +xx f x x f untukx A cukup kecil. Jika Ax < 0 maka f(x0 + Ax) f(x0) < 0 , untuk Ax = h maka f(x0h) < f(x0) .(1) Jika Ax> 0 maka f(x0 + Ax) f(x0) > 0, untuk Ax = h maka f(x0 +h) > f(x0) (2) Dari (1) dan (2) kita peroleh f(x0h) < f(x0) < f(x0 +h) yang ini berarti f naik padax = x0 Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa jika f(x0) < 0 maka fungsi turun pada x = x0 Suatufungsinonkonstandikatakannaik(turun)padasuatuselang,apabilafungsi tersebut naik (turun) atau stasioner pada setiap titik pada interval tersebut. Sehingga kurva y = f(x) akan: (i)naik jika f'(x) > 0 (ii)turun jika f'(x) < 0 (iii)stasioner jika f'(x) = 0. ContohTentukan internal dimana fungsi f(x) =7 x 2 x412 4+ naik atau turun. Jawab : f(x) =7 x 2 x412 4+ f'(x) = x3 4x = x (x + 2)(x 2) x(x + 2)(x 2)

Melihat nilai positip dan negatifnya masing-masing interval, dapat disimpulkan bahwa pada fungsi f(x) =7 x 2 x412 4+ kurvanyanaik pada interval 2 < x < 0 atau x > 2 turun pada interval x < -2 atau 0 < x < 2. B.Nilai Maksimum atau Minimum Relatif Suatu Fungsi Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif (minimum relatif) pada suatuintervalpadax=xo,apabilaf(xo)adalahnilaiterbesar(terkecil)darinilai pendahulu (penyerta) dari fungsi tersebut. Pada Gambar 2.2 di bawah, titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif dari kurva sebab f(a)>f(x)padasetiapsekitar(neighbourhood)sekecilapapun0