SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ

HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ

Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir

fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine

dayanır.

1. Sürekli modeller: Davranışları zamanla birlikte devamlı değişimgösteren sistemlerdir.

Örneğin; dünya nüfusundaki hareketliliğin araştırılması.

2. Kesikli modeller: Zaman içerisinde kesikli veya sayılabilir noktalardatemel değişkenlerinin değerleri değişime uğrayan sistemlerdir.

Örneğin; bekleme hatlarında ortalama kuyrukta bekleme süresinin

hesaplanması.

KESİKLİ SİMÜLASYONUN TEMELLERİ

Cinslerine göre olaylar:

Tüm kesikli simülasyonlar, doğrudan ya da dolaylı olarak,

müşterilerin geldiği durumlarda gerektiğinde oluşabilecekkuyruklar (ya da bekleme hatları) ve ardından da sistemi terk

etmeden önce hizmet görme olarak tanımlanırlar.

Bir kesikli olay modeli kuyrukların oluşturduğu bir şebeke

modelidir.

Herhangi bir kesikli simülasyon modelinde geliş ve gidiş olmak

üzere iki temel olay söz konusudur. Bu olaylar sistemi

incelemek için gereksinim duyulan iki andır. Diğer tümzamanlarda sistemin istatistiklerini etkileyen bir şey olmaz.

KESİKLİ SİMÜLASYONUN TEMELLERİ

Cinslerine göre olaylar:

Sistemde değişiklik meydana geldiği anda modeldeki olaylar

tanımlanmış olur (örneğin, müşterilerin gelmesi ve gitmesi). Bu

olaylar kesikli noktalarda meydana geldikleri için kesikli olay

simülasyonu ortaya çıkmıştır.

Gerek kesikli ve gerekse sürekli simülasyon uygulamada

önemli araçlar olmakla birlikte, kesikli simülasyon, yöneylem

araştırması konularıyla yakınlığı açısından daha çok

kullanılmaktadır. Kesikli simülasyon özellikle kuyruk modelleriyle

yakındır.

KESİKLİ SİMÜLASYONUN TEMELLERİ

Olasılık dağılımlarından gelen olaylar:

Simülasyonda rastgelelik, bir t aralığındaki ardarda iki olayın olasılıklı

olduğu durumlarda ortaya çıkar.

Bir f(t) olasılık dağılımından ardarda t=t1,t2,… rastgele

örneklemelerini üretme yöntemleri şunlardır:

1. Ters dönüşüm yöntemi

2. Konvülasyon yöntemi

3. Kabul-red yöntemi

Bu yöntemlerle bir simülasyon modeline girdi olabilecek

örneklemelerin üretilmesinde istatistiksel dağılımlardan

faydalanılmaktadır.

Dağılımlardan örnekleme oluşturulması

Tahmin edilemeyen, belirsiz faaliyetlerin modellenmesinde

istatistiksel dağılımlar kullanılır.

Gerçek dünya problemlerindeki gelişler arası süre, servis süresi, talep

miktarı gibi değişkenler genellikle tahmin edilemez faaliyetlerdir. Bu

tür değişkenler belirli bir istatistiksel dağılıma sahip rastsal

değişkenler olarak modellenebilir.

Rastsal örnekleme üretme tekniklerinin hepsi [0,1] aralığında uniform

dağılmış rastsal sayıların mevcut olduğu varsayımına dayanır.

TERS DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ

Bir f(x) yoğunluk fonksiyonundan bir rastgele değişken elde

edileceğini varsayalım.

Ters dönüşüm yöntemi, önce y’nin tanımlanmış tüm değerleri için

0≤F(x)≤1 olmak üzere F(x)=P{y≤x} kümülatif yoğunluk fonksiyonunun

kapalı bir formunu belirlemektedir.

TERS DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ

Bu şekilde yöntem hem sürekli hem de kesikli değişkenler içingösterilmektedir. Verilen bir u yada R1 değerine karşılık gelen xdeğeri belirlenir.

1.adım: R(0,1) rastgele sayısını üret.

2.adım: İstenen x=F(R1) değerini hesapla.

Üstel dağılım

Üstel dağılım fonksiyonu, gelişler arası süresi t, ortalaması 1/λ olan bir fonksiyondur.

f(t)=λ.e-λt , t>0

f(t)’den bir t rastgele örneklemesi belirleyelim.

Kümülatif yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi belirlenir.

Burada R=F(t) yazarak t çözüldüğünde

bulunur.

KONVOLÜSYON YÖNTEMİ

Bu yöntemin temel düşüncesi, istenen örneğin kolay örneklenen

diğer rastgele değişkenlerin toplamı olarak ifade edilmesidir.

Bu dağılımların en tipik örnekleri Erlang ve Poisson dağılımları olupüstel dağılım örneklerinden elde edilirler.

Erlang dağilimi

n sayıda olayın tümüyle ortaya çıkmasına kadar geçen

zamanın olasılık dağılımını inceler.

m tane Erlang rastgele değişkeni, m tane bağımsız ve özdeşdağılmış rastgele değişkenlerin istatistiksel toplamı olarak ifade

edilir. Y, m Erlang rastgele değişkenini göstersin. Bu durumda,

Bu değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle tanımlanır:

myyyy ...21

e yyf ii

)(

Erlang dağilimi

i. üstel dağılım:

Dolayısıyla, m tane Erlang örneği:

)(1

RiIniy

).(1

)}(...)()({1

...21

21

m

m

RRRIn

RInRInRIniy

Poisson dağilimi

Eğer ardarda meydana gelen olaylar arası dağılım üstel ise, bu

durumda birim zaman başına düşen olay sayısının dağılımı da Poisson

dağılımına uyacaktır.

0,1

0,......

1

12121

nRe

nRRReRRRt

t

nn

Normal dağilim

Merkezi limit teoremine göre, n yeterince büyük olmak üzere, n adet

bağımsız ve özdeş rastgele değişken normal dağılma

eğilimindedirler.

Bu sonuç ortalaması μ ve standart sapması σ olan bir normal

dağılımdan örneklem üretmek için kullanılmaktadır.

y rastgele örneklemi, ortalaması ve standart sapması olan bir N()

normal dağılımından, x için aşağıdaki formül yardımı ile hesaplanır:

nRRRx ....21

12

2

n

nx

y

Normal dağilim

Uygulamada kolaylık olması açısından n=12 alınarak bu formül

haline indirgenir.

Bu yöntemin dezavantajı her bir normal örneklem için 12 tane (0,1)

rastgele sayı üretmek gerekliliğidir. Bu da verimsiz bir durum

olmaktadır.

Daha verimli bir yöntem olarak Box-Muller Yöntemi önerilmektedir.

Box-Muller yöntemi halen en etkili yöntemdir. Box ve Muller verilen

formülde yerine yazıldığında başka bir örneklem

elde edilebileceğini göstermişlerdir. Bu da, R1 ve R2 gibi iki rastgele

sayı kullanarak aynı anda iki örneklemin üretebilmesi demektir.

)6( xy

)22cos()1(2 RRInx

)22cos( R )22sin( R