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TEMA: GEOMETRIA DEL ESPACIO

1. Un palo de escoba est apoyado sobre una

pared y el piso. Si el polo forma un ngulo de

32 con la pared, cunto mide el ngulo que

forma con el piso?

A) 29 B) 32 C) 48 D) 58 E) 38

2. Las proyecciones de un segmento de recta

AB sobre un plano y sobre una recta

perpendicular al plano mide 8 y 15

respectivamente. Hallar AB.

A) 7 B) 17 C) 23 D) 25 E) 30

3. La distancia de un punto P a un plano es 5,

se traza PQ (Q pertenece al plano), de tal

manera que la proyeccin de PQ sobre el

plano es de 12. Hallar PQ.

A) 7 B) 13 C) 18 D) 17 E) 20

4. Dos puntos A y B situados a uno y otro lado

de un plano P distan 2 y 10 y la proyeccinde AB sobre el plano P mide 5. Hallar AB.

A) 11B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

5. La proyeccin de un segmento AB sobre un

plano Q, es el segmento AF . Si AF mide 12

cm y AB forma con Q un ngulo de 37,

hallar la longitud de AB .

A) 9 cm C) 15 cm E) 10 cm

B) 12 cm D) 18 cm

6. A es un punto que est en un plano P. B es

otro punto fuera de P, tal que AB forma un

ngulo de 30 con P. La distancia de B a P

es 12 cm. Hallar AB.

A) 6 cm C) 12 cm E) 10 cm

B) 6 3 cm D) 24 cm

7. La distancia de un punto E a un plano H es

EF = 8 cm. La distancia de E a una recta m,

contenida en H, es EM = 17 cm. Hallar FM.

A) 4 cm C) 15 cm E) 31 cm

B) 8 cm D) 24 cm

8. Se tienen dos planos paralelos P y Q

distantes 20. Calcular la proyeccin de AB

sobre Q, si AB = 25 y adems A est en P y

B en QU.

A) 15B) 17 C) 20 D) 25 E) 30

9. Sean M y N dos planos paralelos que distan

entre s 40 m. La proyeccin de AB (con A enM y B en N) sobre el plano N mide 30 m.

Calcular AB.

A) 20 m C) 40 m E) 50 m

B) 30 m D) 45 m

10. ABC es un tringulo equiltero. Por B se

eleva BF perpendicular al plano ABC. Si M es

punto medio de AC , cunto mide el ngulo

que forman AC y FM?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90

11. En el problema anterior, si AB = 2 cm y

BF = 6 cm, hallar FM.

A) 3 cm C) 2 3 cm E) 4 cmB) 3 cm D) 2 6 cm

12. ABC es un tringulo recto en B contenido en

el plano H. Por B se eleva BJ perpendicular a

H. Si AC = 14 m y BJ = 24 m, hallar JM

donde M es punto medio de AC .

A) 35 m C) 37 m E) 17 m

B) 32 m D) 25 m


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13. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Se

eleva AF , perpendicular al plano ABCD, tal

que AF = 4 cm. Hallar FC.

A) 2 3 cm C) 4 3 cm E) 2 cm

B) 4 2 cm D) 2 2 cm

14. La distancia EA del punto E del espacio a

una recta contenida en un plano es 17 cm y

la distancia del mismo punto E al plano es de

15 cm. Hallar la proyeccin de EA sobre el

plano.

A) 10 cm C) 12 cm E) 5 m

B) 8 cm D) 6 m

15. Se da una recta contenida en un plano D. La

distancia a la recta de un punto A, exterior al

plano es AC = 25 m y la proyeccin de AC

sobre el plano es CB = 15 m. Hallar la

distancia de B a AC, siendo AB la distancia

de A al plano.

A) 9 m C) 15 m E) N.A.

B) 12 m D) 18 m

16. Un punto situado en una de las caras de un

diedro dista 10 de su arista y 6 de la otra

cara. Calcular la medida del diedro.

A) 15 B) 37 C) 30 D) 53 E) 45

17. Se considera un diedro AB de 60 cuyas

caras son P y Q sobre la cara Q se ubica el

punto M, el cual dista 4m de AB . Hallar la

distancia del punto M a la cara P.

A) 4 m C) 2 3 m E) 4 3 mB) 2 m D) 6 m

18. Un tringulo al ser proyectado sobre un plano

determina un tringulo cuya rea es la mitad

del rea del primero. El diedro que forman los

planos de los dos tringulos mide:

A) 15 B) 60 C) 45 D) 75 E) 30

19. En un tringulo rectngulo ABC (mB = 90),

los catetos miden 15 y 20, por B se traza BP

perpendicular al plano ABC, tal que BP = 9.

Calcular la medida del diedro que forman los

planos ABC y APC.

A) 15 B) 30 C) 37 D) 45 E) 53

20. Hallar la longitud de un segmento exterior a

un plano, sabiendo que sus proyecciones

sobre el plano y sobre el plano perpendicular

al primero miden 15 m y 8 m

respectivamente.

A) 12 m C) 15 m E) 25 m

B) 13 m D) 17 m

21. Sobre el centro de una cara de un cubo de

arista 2 cm y a una altura de 3 cm, se ubica

el punto exterior P. Hallar la distancia del

punto P a uno de los vrtices de la cara

opuesta.

A) 3 3 C) 4 2 E) 5

B) 2 6 D) 3 2

22. La recta L de interseccin de dos planos X e

Y, perpendiculares entre s, es paralela a una

recta R del plano X y a una recta S del plano

Y. Si la distancia entre L y R es 16, y entre L

y S es 12, calcular la distancia entre R y S.

A) 20 B) 14 C) 28 D) 4 E) 24

23. Se tiene un plano y un punto P exterior a l.En dicho plano se encuentra una

circunferencia cuyo radio mide 3 m. La

distancia de P al plano es de 9 m y la menor

distancia de P a la circunferencia es de 15 m.

Calcular la mayor distancia de P a la

circunferencia.

A) 9 C) 9 5 E) 18 2

B) 9 2 D) 18


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24. Sobre el plano P se encuentra un crculo de

dimetro AB = 9. Sobre AB pasa el plano

ABQ perpendicular al plano P. Si AQ = 17,

QB = 10. Hallar la distancia de Q al plano P.

A) 6

B) 7

C) 8D) 9

E) 12

25. Tres planos paralelos determinan sobre una

recta secante L1, los segmentos AE y EB y

sobre otra L2, secante, los segmentos CF y

FD . Si AB = 8 m, CD = 12 m y FD EB = 1

m. Hallar el valor de CF .

A) 4 m C) 5 m E) 9 m

B) 7 m D) 1 m

26. Hallar la longitud de la arista de un cubo

sabiendo que en su interior se ha tomado un

punto tal que la suma de las distancias de

dicho punto a las 6 caras del cubo es 12 m.

A) 2 3 m C) 6 m E) 10 m

B) 8 m D) 4 m

27. En la figura, AC = CB = 4 y CD es

perpendicular al plano del tringulo ABC.

Hallar la medida de CD para que el diedro AB

mida 60.

A) 2 2

B) 4 6

C) 2 6

D) 4 2 E) 4

28. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 10. Se

dobla a lo largo de MN (M y N puntos medios

de AB y CD respectivamente) formando un

ngulo diedro de 37. Hallar la distancia del

vrtice A al plano MNCB.

A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 8

29. En una circunferencia de centro O, se

inscribe un tringulo ABC recto en B. Se

levanta BF perpendicular al tringulo tal que

BF = AC. Si AB = 6 y BC = 8, hallar OF.

A) 5 C) 5 3 E) 5 5

B) 5 2 D) 10 2

30. En la figura, los tringulos ABC y ABD son

equilteros, de lado igual a 2. Si el diedro AB

es recto hallar la medida del segmento CD .

A) 1

B) 2

C) 3

D) 6

E) 7

31. Sea A y B dos puntos situados por encima de

un plano. Las perpendiculares bajadas desde

A y B al plano miden BP = 7 y AQ = 13.

Calcular la distancia de M al mismo plano,

siendo M punto medio del segmento AB .

A) 11 B) 9 C) 8 D) 10 E) 12

32. Se tiene un segmento de recta AB de 8 m

situado en un plano y un punto P que dista

12 m de dicho plano. Hallar la distancia de

AB a la proyeccin del punto P sobre el plano

si: AP = BP = 13 m.

A) 5 m C) 4,5 m E) 6 m

B) 4 m D) 3 m

33. Un tringulo equiltero ABC, est en un

plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El

segmento de recta que une el punto medio

de AC con el punto medio de AD mide 1 cm.

Hallar el rea del cuadrado.

A) 1 cm2 C) 3 cm2 E) 5 cm2

B) 2 cm2 D) 4 cm2

A B

Q

P

A

B

C

D

A

B

C

D


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34. Un plano P tiene una inclinacin de 60 sobre

el plano Q. A qu distancia del plano Q se

debe trazar otro plano paralelo que corte a P,

tal que sus intersecciones disten 42 cm?

A) 21 cm C) 24 cm E) 20 cm

B) 31,5 cm D) 21 3 cm

35. A una distancia de 3 cm del centro de una

cara de un cubo de arista 4 cm se ubica el

punto exterior P. Calcular la distancia de

dicho punto a uno de los vrtices de la cara

opuesta.

A) 57 cm C) 8 cm E) 9 cm

B) 59 cm D) 7 cm

36. Se tiene un cono circular recto de vrtice A,

cuya altura mide 8 cm y el radio de la base 9

cm. En el plano de la base del cono se traza

el segmento BC , tangente en B a la

circunferencia tal que BC mide 12 cm.

Calcular la distancia de A a C en centmetros.

A) 8 5 C) 17 E) 23

B) 17 2 D) 20

37. En un tringulo los catetos AB y BC miden 1

y 2 cm. Por el vrtice B del ngulo recto se

traza una perpendicular BF = 10 cm, al plano

del tringulo. Calcular el rea del tringulo

AFC.

A) 6 cm2 C) 1,5 6 cm2 E) 0,5 6 cm2

B) 2 6 cm2 D) 2,5 6 cm2

38. Los catetos AB y BC de un tringulo

rectngulo ABC miden 15 m y 20 m,

respectivamente. Por B se levanta la

perpendicular BP = 12 3 m, al plano del

tringulo. Luego, se une P con A y con C.

Hallar la medida del diedro AC.

A) 60 B) 30 C) 45 D) 15 E) 75

39. En una circunferencia de 5 m de radio se

traza un dimetro AB y una cuerda AC de 8

m de longitud. Por el punto B se levanta

BF = 6 m, perpendicular al plano de la

circunferencia. Hallar el rea del tringulo

FCA.

A) 24 2 m2 C) 36 m2 E) 45 2 m2B) 24 m2 D) 48 m2

40. Los tringulos equilteros ABD y ABC de

lado a se sitan en dos planos

perpendiculares. Hallar la distancia del

baricentro del tringulo ABD al punto medio

de AC .

A) a 2 / 3 C) a 3 / 3 E) a 2 / 2B) a 3 / 2 D) a 2 / 4

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