Upload
eunice-lau
View
520
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
123
Citation preview
1
SMU 3023 : MATEMATIK ASAS
( FOUNDATION MATHEMATICS )
TAJUK
KUMPULAN
EL UPSI 40 (A121PJJ)
DISEDIAKAN OLEH
NAMA NO. ID NO. TELEFON
LAU SIEW YAN D20102041525 +60167151778
NAMA TUTOR E-LEARNING: : Dr. Nor Aida Zuraimi binti Md Noar
TARIKH SERAH: 30HB. APRIL 2013
TUGASAN 2 Bincangkan tentang kepentingan dan aplikasi mana-mana
LIMA unit (kecuali unit 1) dari modul Matematik Asas dalam kehidupan seharian. Setiap perbincangan perlulah disertakan
dengan contoh yang sesuai.
2
PERKARA MUKA SURAT
1. Pengenalan Matematik Asas ----------------------------------------- 3
2. Pengenalan Logaritma ------------------------------------------------- 4
3. Aplikasi Logaritma dalam kehidupan ------------------------------- 4-7
4. Pengenalan Trigonometri ---------------------------------------------- 8-9
5. Aplikasi Trigonometri dalam kehidupan ---------------------------- 9-12
6. Pengenalan Vektor ------------------------------------------------------ 13-14
7. Aplikasi Vektor dalam kehidupan ------------------------------------ 15-17
8. Pengenalan Geometri Koordinat ------------------------------------- 18-19
9. Aplikasi Geometri Koordinat dalam kehidupan ------------------- 19-21
10. Pengenalan Set ---------------------------------------------------------- 22-23
11. Aplikasi set dalam kehidupan ----------------------------------------- 23-24
12. Penutup --------------------------------------------------------------------- 25
13. Rujukan --------------------------------------------------------------------- 26
ISI KANDUNGAN
3
Matematik ditakrifkan sebagai pembelajaran / kajian mengenai kuantiti, corak struktur,
perubahan dan ruang, atau dalam erti kata lain, kajian mengenai nombor dan gambar
rajah. Matematik juga ialah penyiasatan aksiomatik yang menerangkan struktur abstrak
menggunakan logik dan simbol matematik. Matematik dilihat sebagai lanjutan mudah
kepada bahasa perbualan dan penulisan, dengan kosa kata dan tatabahasa yang
sangat jelas, untuk menghurai dan mendalami hubungan fizikal dan konsep.
Matematik juga adalah badan ilmu berpusat pada konsep-konsep ibarat kuantiti,
struktur, ruang, dan perubahan, dan disiplin kajian-kajian ilmiah berkaitan dengannya;
Benjamin Peirce memanggil ia "sains yang melukis kesimpulan-kesimpulan yang perlu".
Ia berkembang, melalui penggunaan pemujaradan dan penaakulan logik, daripada
membilang, pengiraan, pengukuran, dan kajian bentuk-bentuk dan pergerakan objek-
objek fizikal. Ahli-ahli matematik meneroka konsep-konsep tersebut bertujuan untuk
merumuskan corak-corak baru dan mewujudkan kebenaran mereka secara
penyuntingan ketat yang dipilih melalui Aksiom dan takrif-takrif yang sesuai.
Pengetahuan dan penggunaan matematik asas sentiasa berada di dalam bahagian
sedia ada dan penting bagi kehidupan individu dan kumpulan tertentu. Penghalusan
bagi idea-idea asas adalah dapat dilihat purba di teks-teks matematik berasal dalam
Mesir kuno, Mesopotamia, India Purba, dan China Purba, bertambah dengan ketelitian
kemudiannya diperkenalkan oleh Yunani Purba. Setakat ini, pembangunan diteruskan
dalam keadaan tidak sangat memberangsangkan sehingga Zaman Pembaharuan pada
abad ke-16 di mana inovasi-inovasi matematik berinteraksi dengan penemuan-
penemuan saintifik baru yang membawa kepada satu pemecutan dalam pemahaman
yang diteruskan.
PENGENALAN
4
Pengenalan Logaritma
Logaritma adalah operasi matematik yang merupakan kebalikan dari eksponen atau
pemangkatan.
Formula asas logaritma:
bc = a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.
Graf logaritma terhadap asas adalah yang berbeza. Bahawa garisan berwarna merah
adalah terhadap “e”, garisan berwarna hijau adalah terhadap “10”, dan garisan
berwarna ungu adalah terhadap “1.7”. Perhatikan bahawa graf logaritma terhadap asas
yang berbeza selalu melalui titik (1,0)
kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang tidak diketahui.
Turunannya mudah dicari telah menyebabkan logaritma sering digunakan sebagai
penyelesaian integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan mencari punca,
n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponen.
Dalam Bidang Sains dan teknik
Dalam bidang sains, terdapat banyak logaritma digunakan kerana banyak contoh-
contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat pada skala logaritma.
5
Negatif logaritma berasaskan 10 dan digunakan dalam kimia untuk menyatakan
kepekatan ion hidronium (pH).
Contohnya, kepekatan ion hidronium dalam air adalah 10-7 pada suhu 25 ° C,
sehingga pH-nya 7.
Unit bel (dengan simbol B) adalah unit pengukur perbandingan (nisbah), seperti
perbandingan nilai daya dan ketegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang
telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma
adalah kerana telinga manusia mentafsirkan suara yang terdengar secara logaritma.
Unit Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang
pencipta dalam bidang telekomunikasi. Unit desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel,
lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur kekuatan gempa bumi dengan menggunakan skala
logaritma berasaskan 10.
Dalam astronomi, magnitud yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala
logaritma, kerana mata manusia mempersepsikan terang secara logaritma.
Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang biologi, iaitu untuk mengukur
laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan kewangan (untuk mengira bunga
majmuk).
Pengiraan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus pengiraan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat
(eksponen). Bila asas logaritmanya sama, maka beberapa jenis pengiraan menjadi
lebih mudah dengan menggunakan logaritma......
6
Penghitungan dengan angka
Penghitungan dengan eksponen
Identitas Logaritma
Sifat-sifat di atas membuat pengiraan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan
penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum kewujudan kalkulator sebagai
hasil perkembangan teknologi moden. Untuk mendarab dua angka, yang diperlukan
adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan
melihat antilog jumlah tersebut dalam jadual. Untuk menghitung pangkat atau akar dari
sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di dalam jadual, kemudian
hanya mendarab atau membahagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Turunan fungsi logaritma adalah
dimana ln adalah logaritma asli, logaritma yang berasaskan e. Jika b = e, maka rumus
diatas dapat disederhanakan menjadi
7
Integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berasaskan e adalah
Sedangkan untuk logaritma berasaskan e dan berasaskan 2, terdapat prosedur-
prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan,
pendaraban, dan pembahagian. Peluruhan radioaktif, intensitas bunyi, analisis larutan
adalah sebagian contoh penerapan logaritma.
Contoh :
suara motor X yang dipotong knalpotnya memiliki taraf intensitas 100 dB, sedangkan
suara mesin tik yang sedang dipakai kira-kira taraf intensitasnya 40 dB. Berapa jumlah
mesin tik yang digunakan secara bersamaan sehingga intensitasnya sama dengan satu
unit motor X dan jarak pendengar ke sumber suara adalah tetap?
40 = 10 log (I_mesin_tik/Io)
log (I_mesin_tik/Io) = 4
I_mesin tik = 10^4 Io
T I = 10 log (n * I_mesin_tik/Io)
100 = 10 log (n * 10^4 Io/Io)
10 = log (n * 10^4)
n * 10^4 = 10^10
n = 10^6
jadi 1 juta mesin tik yang dioperasikan bersamaan, taraf intesitas bunyi nya setara
dengan suara motor X.
8
Pengenalan Trigonometri
Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segi tiga. Tigonometri mempunyai banyak
aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada bidang kejuruteraan awam dan
astronomi. Trigonometri berkaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara
langsung atau tidak langsung. Ilmu perbintangan dan pembinaan bangunan sangat
dibantu oleh hadirnya trigonometri. Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus
dikempangan, dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama.
Sebagai sebahagian daripada rentetan artikel tentang aplikasi matematik dalam
kehidupan sehari-hari, artikel ini disusun. Awalnya, trigonometri adalah bertindak
sebagai penyelesaian atas pemecahan saiz atas bangun datar-bangun datar sederhana,
seiring berkembangnya zaman trignometri kerap digunakan dalam dunia ilmu terapan
(kehidupan sehari-hari), perkembangan ilmu lain, maupun perkambangan ilmu
matematik itu sendiri.
Trigonometri juga merupakan nilai perbandingan yang ditakrifkan pada koordinat
kartesius atau segitiga siku-siku. Bagi para pelajar, trigonometri serupa dengan fungsi
trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec),
secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk
menentukan suatu sisi sebuah segi tiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi
dalam sebuah segitiga.
Trigonometri merupakan ilmu matematik yang sangat penting dalam kehidupan.
Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti
astronomi, geografi, teori muzik, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak
lagi. Dengan trigonometri kita boleh mengukur jarak suatu bintang diangkasa tanpa
perlu pergi kesana. Dengan trigonometri kita boleh mengukur sudut ketinggian tebing
tanpa perlu memanjatnya. Boleh mengukur lebar suatu sungai tanpa perlu
menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan
sehari-hari.
9
Trigonometri adalah sebuah konsep. Perkara pertama yang perlu difahami dalam
memahami konsep asas trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami
bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya
sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, iaitu sisi condong, sisi samping, dan sisi depan.
Dan tiga buah sudut iaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping. Dimana
jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segi tiga haruslah 180 darjah.
Tujuan utama kita mempelajari trigonometri dalam ilmu matematik adalah untuk
mencari nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segi tiga. Untuk tujuan
tersebut di atas maka trigonometri mempunyai 2 nilai fungsi, iaitu:
Nilai fungsi Trigonometri
1. Nilai fungsi trigonometri unuk sudut istimewa
Sudut istimewa di sini adalah sudut yang besarnya 0, 30, 45, 60, 90 darjah. Untuk
menentukan nilai fungsi sudut istimewa digunakan konsep geometri.
2. Nilai fungsi trigonometri untuk sudut lain
Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak istimewa biasanya
menggunakan jadual atau scientific kalkulator yang dilengkapi dengan fungsi
trigonometri.
Berikut trigonometri digunakan dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai
ke suatu titik di laut.
10
Trigonometri umumnya digunakan dalam mencari ketinggian menara dan
pegunungan.
Trigonometri digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang
air laut
11
Trigonometri digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon
Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa
Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti
pada gelombang suara dan cahaya.
12
Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan
atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan
sudut cahaya.
13
Pengenalan Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor disimbolkan dengan
pembolehubah yang diberi tanda atas atau dicetak tebal. Panjang vektor dilambangkan
dengan dua garis tegak. contoh vektor a adalah vektor yang mempunyai panjang 5
satuan. Apabila ditulis dalam simbol | a | = 5 satuan.
KESAMAAN DUA VEKTOR
a. Dua vektor dikatakan sama apabila mempunyai panjang dan arah yang sama.
b. Dua vektor dikatakan berlawanan apabila panjangnya sama tetapi arahnya
berlawanan.
c. Dua vektor yang arahnya sama (berlawanan) tetapi panjangnya berbeza, maka
vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. contoh AB = 2CD, AB =-FG
(tanda tolak menyatakan arah yang berlawanan).
Macam-macam vektor;
a. Vektor Bebas adalah vektor yang boleh dipindahkan ke mana-mana sahaja, asalkan
besar dan arahnya sama.
b. Vektor Unit adalah vektor yang besarnya satu unit vektor. Vektor satuan dari sebuah
vektor dapat dicari dengan cara;
c. Vektor Negatif adalah vektor yang besarnya sama tapi arahnya berlawanan.
d. Vektor Resultan adalah jumlah vektor terkecil yang menggantikan sistem vektor yang
bersangkutan.
e. Vektor Sifar adalah vektor yang arahnya tak tentu dan besarnya sifar. Vektor ini
dinyatakan dengan 0. Contoh; AA, BB, dsb.
f. Vektor Posisi adalah vektor yang pangkalnya di sifar.
Contoh; jika A (x, y, z), makaOA = a = (x, y, z).
14
PANJANG VEKTOR
Apabila suatu vektor berada pada ruang berdimensi tiga, maka;
MEKANIKA:
mempelajari hubungan antara gerak benda, gaya dan pengaruhnya terhadap gerakan
benda tersebut.
Mekanika terbagi menjadi:
1. Kinematika
2. Statika
3. Dinamika
Sebagai dasar pemikiran:
Hukum-hukum Newton tentang gerak
15
PENERAPAN VEKTOR DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah
kapal, tetapi jauh tersasar kerana adanya dua vektor gaya yaitu gaya graviti dan
gaya dorong angin.
Saat perahu menyeberangi sebuah sungai, makan kelajuan gerak perahu yang
sebenarnya merupakan kelajuan gerak perahu dan kelajuan air.
Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya
sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali
dari kedua-dua hujung busur tersebut.
Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan kaedah vekto,
sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui berjalan vektor yang
disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh
atau terumbang-ambing.
Kaedah vektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang-
layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap
orang yang memegang tali layang-layang. Dengan demikian orang tersebut dapat
melihat layang-layang lebih jelas kerana ada pengaruh vektor.
Pada saat seorang anak bermain ungkit-ungkit, pada bidang miring menggunakan
gaya vektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.
Seorang pilotpada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang
dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang memandu tidak salah
arah atau berpindah di tempat yang tidak diingini.
16
Penerapan vektor dalam soal-soal fizik
1. Gaya tegang tali yang menopang benda bergantung pada tali tersebut, membentuk
dua vektor gaya yang saling seimbang
T=w
2. Benda yang digantung dengan tiga tali berikut, mengakibatkan kira-kira gaya. gaya
kebawah (berat benda) sama dengan jumlah gaya ke atas (T1 sin beta ditambah T2 sin
alfa).
Gaya ke kiri (T1 cos beta =
T2 cos alfa).....
3. Benda yang terletak di atas bidang miring, maka penyebab benda tersebut turun
adalah komponen gaya berat mengikut bidang miring. Sedangkan besarnya gaya
normal sama dengan komponen gaya berat tegak lurus bidang miring. Penyelesaian
masalah ini memerlukan penguraian vektor gaya berat menjadi dua komponen gaya
yang saling tegak lurus.
17
4. Arah gerak perahu merupakan resultan dari dua vektor kelajuan iaitu kelajuan perahu
dan kelajuan air
5. Usaha oleh gaya sehingga sebuah benda berpindah. Dalam hal menghitung usaha,
maka gaya yang membentuk sudut tertentu terhadap bidang datar harus disearahkan
dulu (di uraikan ke paksi mendatar) sebelum didarab dengan vektor perpindahan.
6. Meramalkan arah gerak suatu benda yang dipengaruhi dua gaya tidak segaris,
pertama anda harus menghuraikan gaya yang tidak segaris dengan perpindahan,
kedua membandingkan besar gaya ke kanan (hasil penguraian) dan ke kiri. Anda akan
peroleh resultan gaya, dari keputusan tersebut diketahui bahawa arah perpindahannya.
18
Pengenalan geometri koordinat
Geometri (Greek γεωμετρία; geo = bumi, metriä = saiz) adalah sebahagian dari
matematik yang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan
relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada
mulanya ia hanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil
berat dengan jarak, luas dan isipadu, tetapi pada abad ketiga SM geometri telah
diletakkan di dalam bentuk Aksiom oleh Euclid membentuk Geometri Euclid, yang
hasilnya menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Bidang astronomi,
khususnya memetakan bintang-bintang dan planet-planet pada sfera cakerawala,
bertindak sebagai sumber-sumber geometri terpenting dari semasa satu setengah alaf
berikutnya.
Pengenalan kepada koordinat oleh Descartes dan perkembangan sejajar kepada
algebra menandakan peringkat baru untuk geometri, sejak rajah-rajah geometri, seperti
lengkungan datar, kini boleh dipersembahkan secara analitik. Ini memberikan peranan
yang penting kepada kemunculan kalkulus pada abad ke tujuh belas. Tambahan pula,
teori perspektif menunjukkan bahawa terdapat lebih banyak geometri daripada hanya
sifat-sifat metrik (pengukuran) kepada rajah. Subjek dari geometri telah kemudiannya
diperkayakan oleh pembelajaran struktur intrinsik dari objek geometrik yang berasal
dengan Euler dan Gauss telah membawa kepada penciptaan topologi dan pembezaan
geometri.
Sejak penemuan abad kesembilan-belas dari geometri bukan Euclid, konsep dari
ruang telah mengalami perubahan yang besar. Geometri kontemporari menganggap
berganda, ruang yang amat lebih abstrak dari ruang Euclid yang lazim, iaitu mereka
hanya beranggaran menyerupai pada skala kecil. Ruangan ini mungkin dikurniai
dengan struktur tambahan, membenarkan seorang untuk bertutur tentang jarak.
geometri moden mempunyai ikatan kuat berganda dengan fizik, dicontohi oleh ikatan
antara geometri Riemann dan kerelatifan am. Salah satu dari teori fizikal termuda, teori
tali, juga amat geometrik dalam intipatinya.
19
Satu sifat penglihatan dari geometri membuatkan ia pada mulaanya lebih mudah
dikira berbanding dari bahagian lain matematik, seperti algebra atau teori nombor.
Bagaimanapun, bahasa geometri juga digunakan dalam konteks bahawa mereka
dikeluarkan jauh dari tradisi, tempat asal Euclidnya, contohnya, dalam geometri
pecahan, dan khususnya dalam geometri Algebra.
Fungsi dan kegunaan geometri koordinat–
Geometri Analisis, juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri
kartesius. Dalam pembahasan geometri koordinat lebih banyak menggunakan prinsip-
prinsip aljabar menggunakan bilangan sebenar. Geometri koordinat atau Geometri
Analitik digunakan untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan
persegi, yang sering dalam 2 atau kadang dalam 3 dimensi ukuran.Seperti yang
diajarkan di dalam buku pelajaran sekolah, geometri analitik dapat dijelaskan dengan
mudah iaitu memberi tumpuan kepada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan
dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan, bagaimanapun
dimungkinkan juga sebagai sebuah vektor atau bangun.
Geometri juga merupakan satu cabang matematik yang melibatkan bentuk dan
saiz. Asas geometri membolehkan kita menentukan sifat seperti luas dan perimeter
terhadap bentuk dua dimensi serta luas permukaan dan isipadu terhadap bentuk tiga
20
dimensi. Konsep-konsep geometri dapat diaplikasikan dalam kehidupan seharian.
Penggunaan formula geometri dalam kehidupan seharian adalah seperti mengira
jumlah isipadu air di dalam akuarium, mengira keluasan padang dan sebagainya. Istilah
geometri diperoleh daripada perkataan Greek iaitu geo bermaksud bumi dan metrein
bermaksud ukuran. Ini dapat menunjukkan gambaran mengenai kerja-kerja ahli
matematik geometri yang terawal di mana mereka menyelesaikan masalah-masalah
seperti mengukur saiz padang dan menetapkan sudut kanan bagi pepenjuru bangunan.
Pada tamadun Mesir, ketika kejadian Sungai Nil yang melimpah daripada paras
tebingnya, bidang geometri digunakan untuk membina semula tembok-tembok akibat
daripada banjir. Contoh geometri yang empirikal ini telah berkembang semasa di
tamadun Mesir dan Babylon dan telah diperbaiki oleh Greek.
Antara ahli matematik terawal yang penting dalam bidang geometri adalah
Thales Miletus, iaitu ketika tamadun Greek kira-kira tahun 600S.M. Menurut Abdul Latif
Samian (1992), sumbangan yang diberi oleh Thales dan minat beliau tentang
matematik adalah cara beliau mendapatkan teorem geometri melalui asas yang logik.
Salah seorang murid kepada Thales ialah Phythagoras. Pengikut-pengikut Phythagoras
mengkaji geometri dengan menghubungkaitkan geometri dengan nombor. Phytagoras
dan pengikutnya membuktikan banyak teorem baru tentang segitiga, bulatan dan
perkadaran. Beliau terkenal dengan teorem yang menyatakan tentang di dalam satu
segi tiga, empat segi yang terletak pada sebelah sesendeng yang menghadap sudut
tegak itu mempunyai keluasan yang sama dengan jumlah keluasan empat segi tepat
yang terletak pada sesendeng yang lain (Abdul Latif Samian, 1992).
Ahli matematik geometri pada abad ke-17 ialah Rene Descartes. Descartes telah
menyumbang kepada perkembangan geometri yang digunakan pada masa kini.
Descartes telah menunjukkan kebijaksanaan dengan menggabungkan aljabar dan
geometri dan hasil daripada gabungan ini maka tercetuslah bidang analytic geometry.
Ia juga dikenali sebagai geometri koordinat. Beliau telah memperkenalkan kaedah yang
mewakili gambarajah geometri dalam sistem koordinat. Menurut beberapa sumber
sejarah, beliau mendapat ilham menngenai sistem koordinat Cartesian ketika sedang
21
berbaring di atas katil. Pada suatu hari ketika beliau berbaring di atas katil, beliau
terpandang satu serangga berterbangan merayap-rayap pada siling biliknya. Ketika
beliau menyedari bahawa beliau boleh menggambarkan kedudukan serangga tersebut
pada garis-garis persilangan siling biliknya. Garis-garis persilangan ini merupakan garis
lurus x dan y di mana ia menjadi asas kepada sebahagian matematik termasuk kalkulus
dan geometri koordinat.
Kini, kita menggunakan satah koordinat di mana garis lurus x dan y berserenjang
terhadap satu sama lain dan satah ini digunakan dalam geometri untuk
menggambarkan persamaan graf bagi dua pembolehubah. Selain itu, kita dapat
menyelesaikan masalah berbentuk geometri seperti mencari luas gambarajah, panjang
garis tembereng, jarak antara dua titik dan sudut dengan satah koordinat ini. Bidang
geometri merupakan bidang yang penting terkandung dalam matematik. Geometri juga
digunakan atau diaplikasikan dalam cabang matematik yang lain.
22
Pengenalan Nombor Kompleks
Dalam matematik, set ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang
set diteruskan lagi dalam bidang teori set. Teori set ialah satu cabang ilmu matematik
yang mengkaji set, iaitu koleksi objek. Teori set dianggap sebagai satu daripada topik-
topik asas dalam matematik.
Kajian moden mengenai teori set diterajui oleh Georg Cantor dan Dedekind pada tahun
1870. Namun begitu, pada sekitar 1900-an, beberapa paradoks telah ditemui,
antaranya paradoks Russell oleh Bertrand Russell dan Zermelo, yang menunjukkan
percanggahan dalam teori set. Penemuan-penemuan ini memberi cabaran kepada ahli-
ahli matematik untuk mengemukakan sistem-sistem Aksiom baru untuk teori set. Pada
awal abad ke-20, antara sistem Aksiom baru yang dibentuk sebagai asas baru untuk
teori set ialah Aksiom Zermelo-Fraenkel dan Aksiom pilihan.
Set boleh dibentuk dengan tatatanda \ {... \}. Sebagai contoh, berikut ialah set warna
utama W:
W = \ {merah, hijau, biru \}
Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set adalah ahli atau unsur bagi set itu.
Sebagai contoh, 1 ialah unsur bagi set \ {1,2,3,4 \}.
Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang Kenyataan
Bermaksud ialah unsur . Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang
Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set
lain. Sebagai contoh, ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur , yang
pula merupakan set dengan satu unsur . Dalam kata lain, .
23
Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat di dalam set yang lain.
Sebagai contoh, set adalah subset kepada . Atau
secara matematik, ia ditulis . Sama juga, , tetapi kali ini ia dibaca "
ialah superset bagi " berbanding sebelumnya, " ialah subset bagi ".
Secara formal, , atau, dengan menggunakan set
kuasa, .
Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah
sama dengan suatu set B jika set A adalah subset B dan B adalah subset A. Dalam
simbol,
Kegunaan set dalam kehidupan harian
Operasi
Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.
Kesatuan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur
bagi B. Secara formal,
Persilangan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam
kedua-dua A dan B. Secara formal,
Pelengkap bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak
mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,
24
Hasil darab Descartes bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi
A dan unsur bagi B. Secara formal,
Kesatuan tak bercantum bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A
dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,
Set khas
Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini
ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':
Set bagi semua nombor perdana.
Set bagi semua nombor asli. Iaitu, atau .
Set bagi semua integer. Iaitu, .
Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, .
Set bagi semua nombor nyata.
Set bagi semua nombor kompleks.
Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu,
saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan saiz kekardinalan.
Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah (alef-sifar). Teori mengenai
kekardinalan ini dikemukakan oleh George Cantor.
25
Penutup
Konsep matematik hendaklah dibina melalui interaksi bersahaja di dalam suasana
pembelajaran yang kaya dengan kepelbagaian dan bukannya terkongkong oleh arahan
aktiviti guru yang terlalu berstruktur. Proses pengajaran dan pembelajaran seharusnya
memberi peluang murid untuk membina dan memahami konsep dan proses mengenai
asas matematik. Sebahagian daripada pengalaman mengenai konsep dan proses itu
ialah perbendaharaan kata. Seterusnya kemahiran dalam lima tajuk sangat penting
untuk digunakan dalam bidang matematik yang lebih tinggi dan juga dalam semua
aspek kehidupan seharian.
26
Rujukan
1. www.artikata.com/arti-356182-vektor.html
2. kk.mercubuana.ac.id/files/11001-2-761085445499.pdf
3. file.upi.edu/Direktori/.../Pengertian_Vektor.pdf
4. mewahilmu.blogspot.com
5. memathlove.blogspot.com/
6. mesintikus.wordpress.com
7. nabihbawazir.com
8. rbaryans.wordpress.com
9. id.wikipedia.org/wiki/Logaritma
10. www.slideshare.net/ramvina/logaritma
11. Marzita Puteh.2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti
Pendidikan Sultan Idris.
12. Marzita Puteh.2002. Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall
13. Marzita Puteh.2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.
14. McGregor, C.1994. Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing,
Chichester