26
1 SMU 3023 : MATEMATIK ASAS ( FOUNDATION MATHEMATICS ) TAJUK KUMPULAN EL UPSI 40 (A121PJJ) DISEDIAKAN OLEH NAMA NO. ID NO. TELEFON LAU SIEW YAN D20102041525 +60167151778 NAMA TUTOR E-LEARNING: : Dr. Nor Aida Zuraimi binti Md Noar TARIKH SERAH: 30HB. APRIL 2013 TUGASAN 2 Bincangkan tentang kepentingan dan aplikasi mana-mana LIMA unit (kecuali unit 1) dari modul Matematik Asas dalam kehidupan seharian. Setiap perbincangan perlulah disertakan dengan contoh yang sesuai.

SMU 3023 Tugasan 2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

123

Citation preview

Page 1: SMU 3023 Tugasan 2

1

SMU 3023 : MATEMATIK ASAS

( FOUNDATION MATHEMATICS )

TAJUK

KUMPULAN

EL UPSI 40 (A121PJJ)

DISEDIAKAN OLEH

NAMA NO. ID NO. TELEFON

LAU SIEW YAN D20102041525 +60167151778

NAMA TUTOR E-LEARNING: : Dr. Nor Aida Zuraimi binti Md Noar

TARIKH SERAH: 30HB. APRIL 2013

TUGASAN 2 Bincangkan tentang kepentingan dan aplikasi mana-mana

LIMA unit (kecuali unit 1) dari modul Matematik Asas dalam kehidupan seharian. Setiap perbincangan perlulah disertakan

dengan contoh yang sesuai.

Page 2: SMU 3023 Tugasan 2

2

PERKARA MUKA SURAT

1. Pengenalan Matematik Asas ----------------------------------------- 3

2. Pengenalan Logaritma ------------------------------------------------- 4

3. Aplikasi Logaritma dalam kehidupan ------------------------------- 4-7

4. Pengenalan Trigonometri ---------------------------------------------- 8-9

5. Aplikasi Trigonometri dalam kehidupan ---------------------------- 9-12

6. Pengenalan Vektor ------------------------------------------------------ 13-14

7. Aplikasi Vektor dalam kehidupan ------------------------------------ 15-17

8. Pengenalan Geometri Koordinat ------------------------------------- 18-19

9. Aplikasi Geometri Koordinat dalam kehidupan ------------------- 19-21

10. Pengenalan Set ---------------------------------------------------------- 22-23

11. Aplikasi set dalam kehidupan ----------------------------------------- 23-24

12. Penutup --------------------------------------------------------------------- 25

13. Rujukan --------------------------------------------------------------------- 26

ISI KANDUNGAN

Page 3: SMU 3023 Tugasan 2

3

Matematik ditakrifkan sebagai pembelajaran / kajian mengenai kuantiti, corak struktur,

perubahan dan ruang, atau dalam erti kata lain, kajian mengenai nombor dan gambar

rajah. Matematik juga ialah penyiasatan aksiomatik yang menerangkan struktur abstrak

menggunakan logik dan simbol matematik. Matematik dilihat sebagai lanjutan mudah

kepada bahasa perbualan dan penulisan, dengan kosa kata dan tatabahasa yang

sangat jelas, untuk menghurai dan mendalami hubungan fizikal dan konsep.

Matematik juga adalah badan ilmu berpusat pada konsep-konsep ibarat kuantiti,

struktur, ruang, dan perubahan, dan disiplin kajian-kajian ilmiah berkaitan dengannya;

Benjamin Peirce memanggil ia "sains yang melukis kesimpulan-kesimpulan yang perlu".

Ia berkembang, melalui penggunaan pemujaradan dan penaakulan logik, daripada

membilang, pengiraan, pengukuran, dan kajian bentuk-bentuk dan pergerakan objek-

objek fizikal. Ahli-ahli matematik meneroka konsep-konsep tersebut bertujuan untuk

merumuskan corak-corak baru dan mewujudkan kebenaran mereka secara

penyuntingan ketat yang dipilih melalui Aksiom dan takrif-takrif yang sesuai.

Pengetahuan dan penggunaan matematik asas sentiasa berada di dalam bahagian

sedia ada dan penting bagi kehidupan individu dan kumpulan tertentu. Penghalusan

bagi idea-idea asas adalah dapat dilihat purba di teks-teks matematik berasal dalam

Mesir kuno, Mesopotamia, India Purba, dan China Purba, bertambah dengan ketelitian

kemudiannya diperkenalkan oleh Yunani Purba. Setakat ini, pembangunan diteruskan

dalam keadaan tidak sangat memberangsangkan sehingga Zaman Pembaharuan pada

abad ke-16 di mana inovasi-inovasi matematik berinteraksi dengan penemuan-

penemuan saintifik baru yang membawa kepada satu pemecutan dalam pemahaman

yang diteruskan.

PENGENALAN

Page 4: SMU 3023 Tugasan 2

4

Pengenalan Logaritma

Logaritma adalah operasi matematik yang merupakan kebalikan dari eksponen atau

pemangkatan.

Formula asas logaritma:

bc = a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.

Graf logaritma terhadap asas adalah yang berbeza. Bahawa garisan berwarna merah

adalah terhadap “e”, garisan berwarna hijau adalah terhadap “10”, dan garisan

berwarna ungu adalah terhadap “1.7”. Perhatikan bahawa graf logaritma terhadap asas

yang berbeza selalu melalui titik (1,0)

kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang tidak diketahui.

Turunannya mudah dicari telah menyebabkan logaritma sering digunakan sebagai

penyelesaian integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan mencari punca,

n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponen.

Dalam Bidang Sains dan teknik

Dalam bidang sains, terdapat banyak logaritma digunakan kerana banyak contoh-

contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat pada skala logaritma.

Page 5: SMU 3023 Tugasan 2

5

Negatif logaritma berasaskan 10 dan digunakan dalam kimia untuk menyatakan

kepekatan ion hidronium (pH).

Contohnya, kepekatan ion hidronium dalam air adalah 10-7 pada suhu 25 ° C,

sehingga pH-nya 7.

Unit bel (dengan simbol B) adalah unit pengukur perbandingan (nisbah), seperti

perbandingan nilai daya dan ketegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang

telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma

adalah kerana telinga manusia mentafsirkan suara yang terdengar secara logaritma.

Unit Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang

pencipta dalam bidang telekomunikasi. Unit desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel,

lebih sering digunakan.

Skala Richter mengukur kekuatan gempa bumi dengan menggunakan skala

logaritma berasaskan 10.

Dalam astronomi, magnitud yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala

logaritma, kerana mata manusia mempersepsikan terang secara logaritma.

Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang biologi, iaitu untuk mengukur

laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan kewangan (untuk mengira bunga

majmuk).

Pengiraan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus pengiraan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat

(eksponen). Bila asas logaritmanya sama, maka beberapa jenis pengiraan menjadi

lebih mudah dengan menggunakan logaritma......

Page 6: SMU 3023 Tugasan 2

6

Penghitungan dengan angka

Penghitungan dengan eksponen

Identitas Logaritma

Sifat-sifat di atas membuat pengiraan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan

penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum kewujudan kalkulator sebagai

hasil perkembangan teknologi moden. Untuk mendarab dua angka, yang diperlukan

adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan

melihat antilog jumlah tersebut dalam jadual. Untuk menghitung pangkat atau akar dari

sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di dalam jadual, kemudian

hanya mendarab atau membahagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Turunan fungsi logaritma adalah

dimana ln adalah logaritma asli, logaritma yang berasaskan e. Jika b = e, maka rumus

diatas dapat disederhanakan menjadi

Page 7: SMU 3023 Tugasan 2

7

Integral fungsi logaritma adalah

Integral logaritma berasaskan e adalah

Sedangkan untuk logaritma berasaskan e dan berasaskan 2, terdapat prosedur-

prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan,

pendaraban, dan pembahagian. Peluruhan radioaktif, intensitas bunyi, analisis larutan

adalah sebagian contoh penerapan logaritma.

Contoh :

suara motor X yang dipotong knalpotnya memiliki taraf intensitas 100 dB, sedangkan

suara mesin tik yang sedang dipakai kira-kira taraf intensitasnya 40 dB. Berapa jumlah

mesin tik yang digunakan secara bersamaan sehingga intensitasnya sama dengan satu

unit motor X dan jarak pendengar ke sumber suara adalah tetap?

40 = 10 log (I_mesin_tik/Io)

log (I_mesin_tik/Io) = 4

I_mesin tik = 10^4 Io

T I = 10 log (n * I_mesin_tik/Io)

100 = 10 log (n * 10^4 Io/Io)

10 = log (n * 10^4)

n * 10^4 = 10^10

n = 10^6

jadi 1 juta mesin tik yang dioperasikan bersamaan, taraf intesitas bunyi nya setara

dengan suara motor X.

Page 8: SMU 3023 Tugasan 2

8

Pengenalan Trigonometri

Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segi tiga. Tigonometri mempunyai banyak

aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada bidang kejuruteraan awam dan

astronomi. Trigonometri berkaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara

langsung atau tidak langsung. Ilmu perbintangan dan pembinaan bangunan sangat

dibantu oleh hadirnya trigonometri. Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus

dikempangan, dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama.

Sebagai sebahagian daripada rentetan artikel tentang aplikasi matematik dalam

kehidupan sehari-hari, artikel ini disusun. Awalnya, trigonometri adalah bertindak

sebagai penyelesaian atas pemecahan saiz atas bangun datar-bangun datar sederhana,

seiring berkembangnya zaman trignometri kerap digunakan dalam dunia ilmu terapan

(kehidupan sehari-hari), perkembangan ilmu lain, maupun perkambangan ilmu

matematik itu sendiri.

Trigonometri juga merupakan nilai perbandingan yang ditakrifkan pada koordinat

kartesius atau segitiga siku-siku. Bagi para pelajar, trigonometri serupa dengan fungsi

trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec),

secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk

menentukan suatu sisi sebuah segi tiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi

dalam sebuah segitiga.

Trigonometri merupakan ilmu matematik yang sangat penting dalam kehidupan.

Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti

astronomi, geografi, teori muzik, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak

lagi. Dengan trigonometri kita boleh mengukur jarak suatu bintang diangkasa tanpa

perlu pergi kesana. Dengan trigonometri kita boleh mengukur sudut ketinggian tebing

tanpa perlu memanjatnya. Boleh mengukur lebar suatu sungai tanpa perlu

menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan

sehari-hari.

Page 9: SMU 3023 Tugasan 2

9

Trigonometri adalah sebuah konsep. Perkara pertama yang perlu difahami dalam

memahami konsep asas trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami

bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya

sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, iaitu sisi condong, sisi samping, dan sisi depan.

Dan tiga buah sudut iaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping. Dimana

jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segi tiga haruslah 180 darjah.

Tujuan utama kita mempelajari trigonometri dalam ilmu matematik adalah untuk

mencari nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segi tiga. Untuk tujuan

tersebut di atas maka trigonometri mempunyai 2 nilai fungsi, iaitu:

Nilai fungsi Trigonometri

1. Nilai fungsi trigonometri unuk sudut istimewa

Sudut istimewa di sini adalah sudut yang besarnya 0, 30, 45, 60, 90 darjah. Untuk

menentukan nilai fungsi sudut istimewa digunakan konsep geometri.

2. Nilai fungsi trigonometri untuk sudut lain

Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak istimewa biasanya

menggunakan jadual atau scientific kalkulator yang dilengkapi dengan fungsi

trigonometri.

Berikut trigonometri digunakan dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai

ke suatu titik di laut.

Page 10: SMU 3023 Tugasan 2

10

Trigonometri umumnya digunakan dalam mencari ketinggian menara dan

pegunungan.

Trigonometri digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang

air laut

Page 11: SMU 3023 Tugasan 2

11

Trigonometri digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon

Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa

Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti

pada gelombang suara dan cahaya.

Page 12: SMU 3023 Tugasan 2

12

Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan

atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan

sudut cahaya.

Page 13: SMU 3023 Tugasan 2

13

Pengenalan Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor disimbolkan dengan

pembolehubah yang diberi tanda atas atau dicetak tebal. Panjang vektor dilambangkan

dengan dua garis tegak. contoh vektor a adalah vektor yang mempunyai panjang 5

satuan. Apabila ditulis dalam simbol | a | = 5 satuan.

KESAMAAN DUA VEKTOR

a. Dua vektor dikatakan sama apabila mempunyai panjang dan arah yang sama.

b. Dua vektor dikatakan berlawanan apabila panjangnya sama tetapi arahnya

berlawanan.

c. Dua vektor yang arahnya sama (berlawanan) tetapi panjangnya berbeza, maka

vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. contoh AB = 2CD, AB =-FG

(tanda tolak menyatakan arah yang berlawanan).

Macam-macam vektor;

a. Vektor Bebas adalah vektor yang boleh dipindahkan ke mana-mana sahaja, asalkan

besar dan arahnya sama.

b. Vektor Unit adalah vektor yang besarnya satu unit vektor. Vektor satuan dari sebuah

vektor dapat dicari dengan cara;

c. Vektor Negatif adalah vektor yang besarnya sama tapi arahnya berlawanan.

d. Vektor Resultan adalah jumlah vektor terkecil yang menggantikan sistem vektor yang

bersangkutan.

e. Vektor Sifar adalah vektor yang arahnya tak tentu dan besarnya sifar. Vektor ini

dinyatakan dengan 0. Contoh; AA, BB, dsb.

f. Vektor Posisi adalah vektor yang pangkalnya di sifar.

Contoh; jika A (x, y, z), makaOA = a = (x, y, z).

Page 14: SMU 3023 Tugasan 2

14

PANJANG VEKTOR

Apabila suatu vektor berada pada ruang berdimensi tiga, maka;

MEKANIKA:

mempelajari hubungan antara gerak benda, gaya dan pengaruhnya terhadap gerakan

benda tersebut.

Mekanika terbagi menjadi:

1. Kinematika

2. Statika

3. Dinamika

Sebagai dasar pemikiran:

Hukum-hukum Newton tentang gerak

Page 15: SMU 3023 Tugasan 2

15

PENERAPAN VEKTOR DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah

kapal, tetapi jauh tersasar kerana adanya dua vektor gaya yaitu gaya graviti dan

gaya dorong angin.

Saat perahu menyeberangi sebuah sungai, makan kelajuan gerak perahu yang

sebenarnya merupakan kelajuan gerak perahu dan kelajuan air.

Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya

sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali

dari kedua-dua hujung busur tersebut.

Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan kaedah vekto,

sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui berjalan vektor yang

disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh

atau terumbang-ambing.

Kaedah vektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang-

layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap

orang yang memegang tali layang-layang. Dengan demikian orang tersebut dapat

melihat layang-layang lebih jelas kerana ada pengaruh vektor.

Pada saat seorang anak bermain ungkit-ungkit, pada bidang miring menggunakan

gaya vektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

Seorang pilotpada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang

dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang memandu tidak salah

arah atau berpindah di tempat yang tidak diingini.

Page 16: SMU 3023 Tugasan 2

16

Penerapan vektor dalam soal-soal fizik

1. Gaya tegang tali yang menopang benda bergantung pada tali tersebut, membentuk

dua vektor gaya yang saling seimbang

T=w

2. Benda yang digantung dengan tiga tali berikut, mengakibatkan kira-kira gaya. gaya

kebawah (berat benda) sama dengan jumlah gaya ke atas (T1 sin beta ditambah T2 sin

alfa).

Gaya ke kiri (T1 cos beta =

T2 cos alfa).....

3. Benda yang terletak di atas bidang miring, maka penyebab benda tersebut turun

adalah komponen gaya berat mengikut bidang miring. Sedangkan besarnya gaya

normal sama dengan komponen gaya berat tegak lurus bidang miring. Penyelesaian

masalah ini memerlukan penguraian vektor gaya berat menjadi dua komponen gaya

yang saling tegak lurus.

Page 17: SMU 3023 Tugasan 2

17

4. Arah gerak perahu merupakan resultan dari dua vektor kelajuan iaitu kelajuan perahu

dan kelajuan air

5. Usaha oleh gaya sehingga sebuah benda berpindah. Dalam hal menghitung usaha,

maka gaya yang membentuk sudut tertentu terhadap bidang datar harus disearahkan

dulu (di uraikan ke paksi mendatar) sebelum didarab dengan vektor perpindahan.

6. Meramalkan arah gerak suatu benda yang dipengaruhi dua gaya tidak segaris,

pertama anda harus menghuraikan gaya yang tidak segaris dengan perpindahan,

kedua membandingkan besar gaya ke kanan (hasil penguraian) dan ke kiri. Anda akan

peroleh resultan gaya, dari keputusan tersebut diketahui bahawa arah perpindahannya.

Page 18: SMU 3023 Tugasan 2

18

Pengenalan geometri koordinat

Geometri (Greek γεωμετρία; geo = bumi, metriä = saiz) adalah sebahagian dari

matematik yang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan

relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada

mulanya ia hanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil

berat dengan jarak, luas dan isipadu, tetapi pada abad ketiga SM geometri telah

diletakkan di dalam bentuk Aksiom oleh Euclid membentuk Geometri Euclid, yang

hasilnya menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Bidang astronomi,

khususnya memetakan bintang-bintang dan planet-planet pada sfera cakerawala,

bertindak sebagai sumber-sumber geometri terpenting dari semasa satu setengah alaf

berikutnya.

Pengenalan kepada koordinat oleh Descartes dan perkembangan sejajar kepada

algebra menandakan peringkat baru untuk geometri, sejak rajah-rajah geometri, seperti

lengkungan datar, kini boleh dipersembahkan secara analitik. Ini memberikan peranan

yang penting kepada kemunculan kalkulus pada abad ke tujuh belas. Tambahan pula,

teori perspektif menunjukkan bahawa terdapat lebih banyak geometri daripada hanya

sifat-sifat metrik (pengukuran) kepada rajah. Subjek dari geometri telah kemudiannya

diperkayakan oleh pembelajaran struktur intrinsik dari objek geometrik yang berasal

dengan Euler dan Gauss telah membawa kepada penciptaan topologi dan pembezaan

geometri.

Sejak penemuan abad kesembilan-belas dari geometri bukan Euclid, konsep dari

ruang telah mengalami perubahan yang besar. Geometri kontemporari menganggap

berganda, ruang yang amat lebih abstrak dari ruang Euclid yang lazim, iaitu mereka

hanya beranggaran menyerupai pada skala kecil. Ruangan ini mungkin dikurniai

dengan struktur tambahan, membenarkan seorang untuk bertutur tentang jarak.

geometri moden mempunyai ikatan kuat berganda dengan fizik, dicontohi oleh ikatan

antara geometri Riemann dan kerelatifan am. Salah satu dari teori fizikal termuda, teori

tali, juga amat geometrik dalam intipatinya.

Page 19: SMU 3023 Tugasan 2

19

Satu sifat penglihatan dari geometri membuatkan ia pada mulaanya lebih mudah

dikira berbanding dari bahagian lain matematik, seperti algebra atau teori nombor.

Bagaimanapun, bahasa geometri juga digunakan dalam konteks bahawa mereka

dikeluarkan jauh dari tradisi, tempat asal Euclidnya, contohnya, dalam geometri

pecahan, dan khususnya dalam geometri Algebra.

Fungsi dan kegunaan geometri koordinat–

Geometri Analisis, juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri

kartesius. Dalam pembahasan geometri koordinat lebih banyak menggunakan prinsip-

prinsip aljabar menggunakan bilangan sebenar. Geometri koordinat atau Geometri

Analitik digunakan untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan

persegi, yang sering dalam 2 atau kadang dalam 3 dimensi ukuran.Seperti yang

diajarkan di dalam buku pelajaran sekolah, geometri analitik dapat dijelaskan dengan

mudah iaitu memberi tumpuan kepada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan

dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan, bagaimanapun

dimungkinkan juga sebagai sebuah vektor atau bangun.

Geometri juga merupakan satu cabang matematik yang melibatkan bentuk dan

saiz. Asas geometri membolehkan kita menentukan sifat seperti luas dan perimeter

terhadap bentuk dua dimensi serta luas permukaan dan isipadu terhadap bentuk tiga

Page 20: SMU 3023 Tugasan 2

20

dimensi. Konsep-konsep geometri dapat diaplikasikan dalam kehidupan seharian.

Penggunaan formula geometri dalam kehidupan seharian adalah seperti mengira

jumlah isipadu air di dalam akuarium, mengira keluasan padang dan sebagainya. Istilah

geometri diperoleh daripada perkataan Greek iaitu geo bermaksud bumi dan metrein

bermaksud ukuran. Ini dapat menunjukkan gambaran mengenai kerja-kerja ahli

matematik geometri yang terawal di mana mereka menyelesaikan masalah-masalah

seperti mengukur saiz padang dan menetapkan sudut kanan bagi pepenjuru bangunan.

Pada tamadun Mesir, ketika kejadian Sungai Nil yang melimpah daripada paras

tebingnya, bidang geometri digunakan untuk membina semula tembok-tembok akibat

daripada banjir. Contoh geometri yang empirikal ini telah berkembang semasa di

tamadun Mesir dan Babylon dan telah diperbaiki oleh Greek.

Antara ahli matematik terawal yang penting dalam bidang geometri adalah

Thales Miletus, iaitu ketika tamadun Greek kira-kira tahun 600S.M. Menurut Abdul Latif

Samian (1992), sumbangan yang diberi oleh Thales dan minat beliau tentang

matematik adalah cara beliau mendapatkan teorem geometri melalui asas yang logik.

Salah seorang murid kepada Thales ialah Phythagoras. Pengikut-pengikut Phythagoras

mengkaji geometri dengan menghubungkaitkan geometri dengan nombor. Phytagoras

dan pengikutnya membuktikan banyak teorem baru tentang segitiga, bulatan dan

perkadaran. Beliau terkenal dengan teorem yang menyatakan tentang di dalam satu

segi tiga, empat segi yang terletak pada sebelah sesendeng yang menghadap sudut

tegak itu mempunyai keluasan yang sama dengan jumlah keluasan empat segi tepat

yang terletak pada sesendeng yang lain (Abdul Latif Samian, 1992).

Ahli matematik geometri pada abad ke-17 ialah Rene Descartes. Descartes telah

menyumbang kepada perkembangan geometri yang digunakan pada masa kini.

Descartes telah menunjukkan kebijaksanaan dengan menggabungkan aljabar dan

geometri dan hasil daripada gabungan ini maka tercetuslah bidang analytic geometry.

Ia juga dikenali sebagai geometri koordinat. Beliau telah memperkenalkan kaedah yang

mewakili gambarajah geometri dalam sistem koordinat. Menurut beberapa sumber

sejarah, beliau mendapat ilham menngenai sistem koordinat Cartesian ketika sedang

Page 21: SMU 3023 Tugasan 2

21

berbaring di atas katil. Pada suatu hari ketika beliau berbaring di atas katil, beliau

terpandang satu serangga berterbangan merayap-rayap pada siling biliknya. Ketika

beliau menyedari bahawa beliau boleh menggambarkan kedudukan serangga tersebut

pada garis-garis persilangan siling biliknya. Garis-garis persilangan ini merupakan garis

lurus x dan y di mana ia menjadi asas kepada sebahagian matematik termasuk kalkulus

dan geometri koordinat.

Kini, kita menggunakan satah koordinat di mana garis lurus x dan y berserenjang

terhadap satu sama lain dan satah ini digunakan dalam geometri untuk

menggambarkan persamaan graf bagi dua pembolehubah. Selain itu, kita dapat

menyelesaikan masalah berbentuk geometri seperti mencari luas gambarajah, panjang

garis tembereng, jarak antara dua titik dan sudut dengan satah koordinat ini. Bidang

geometri merupakan bidang yang penting terkandung dalam matematik. Geometri juga

digunakan atau diaplikasikan dalam cabang matematik yang lain.

Page 22: SMU 3023 Tugasan 2

22

Pengenalan Nombor Kompleks

Dalam matematik, set ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang

set diteruskan lagi dalam bidang teori set. Teori set ialah satu cabang ilmu matematik

yang mengkaji set, iaitu koleksi objek. Teori set dianggap sebagai satu daripada topik-

topik asas dalam matematik.

Kajian moden mengenai teori set diterajui oleh Georg Cantor dan Dedekind pada tahun

1870. Namun begitu, pada sekitar 1900-an, beberapa paradoks telah ditemui,

antaranya paradoks Russell oleh Bertrand Russell dan Zermelo, yang menunjukkan

percanggahan dalam teori set. Penemuan-penemuan ini memberi cabaran kepada ahli-

ahli matematik untuk mengemukakan sistem-sistem Aksiom baru untuk teori set. Pada

awal abad ke-20, antara sistem Aksiom baru yang dibentuk sebagai asas baru untuk

teori set ialah Aksiom Zermelo-Fraenkel dan Aksiom pilihan.

Set boleh dibentuk dengan tatatanda \ {... \}. Sebagai contoh, berikut ialah set warna

utama W:

W = \ {merah, hijau, biru \}

Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set adalah ahli atau unsur bagi set itu.

Sebagai contoh, 1 ialah unsur bagi set \ {1,2,3,4 \}.

Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang Kenyataan

Bermaksud ialah unsur . Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang

Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set

lain. Sebagai contoh, ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur , yang

pula merupakan set dengan satu unsur . Dalam kata lain, .

Page 23: SMU 3023 Tugasan 2

23

Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat di dalam set yang lain.

Sebagai contoh, set adalah subset kepada . Atau

secara matematik, ia ditulis . Sama juga, , tetapi kali ini ia dibaca "

ialah superset bagi " berbanding sebelumnya, " ialah subset bagi ".

Secara formal, , atau, dengan menggunakan set

kuasa, .

Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah

sama dengan suatu set B jika set A adalah subset B dan B adalah subset A. Dalam

simbol,

Kegunaan set dalam kehidupan harian

Operasi

Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.

Kesatuan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur

bagi B. Secara formal,

Persilangan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam

kedua-dua A dan B. Secara formal,

Pelengkap bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak

mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,

Page 24: SMU 3023 Tugasan 2

24

Hasil darab Descartes bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi

A dan unsur bagi B. Secara formal,

Kesatuan tak bercantum bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A

dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,

Set khas

Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini

ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':

Set bagi semua nombor perdana.

Set bagi semua nombor asli. Iaitu, atau .

Set bagi semua integer. Iaitu, .

Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, .

Set bagi semua nombor nyata.

Set bagi semua nombor kompleks.

Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu,

saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan saiz kekardinalan.

Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah (alef-sifar). Teori mengenai

kekardinalan ini dikemukakan oleh George Cantor.

Page 25: SMU 3023 Tugasan 2

25

Penutup

Konsep matematik hendaklah dibina melalui interaksi bersahaja di dalam suasana

pembelajaran yang kaya dengan kepelbagaian dan bukannya terkongkong oleh arahan

aktiviti guru yang terlalu berstruktur. Proses pengajaran dan pembelajaran seharusnya

memberi peluang murid untuk membina dan memahami konsep dan proses mengenai

asas matematik. Sebahagian daripada pengalaman mengenai konsep dan proses itu

ialah perbendaharaan kata. Seterusnya kemahiran dalam lima tajuk sangat penting

untuk digunakan dalam bidang matematik yang lebih tinggi dan juga dalam semua

aspek kehidupan seharian.

Page 26: SMU 3023 Tugasan 2

26

Rujukan

1. www.artikata.com/arti-356182-vektor.html

2. kk.mercubuana.ac.id/files/11001-2-761085445499.pdf

3. file.upi.edu/Direktori/.../Pengertian_Vektor.pdf

4. mewahilmu.blogspot.com

5. memathlove.blogspot.com/

6. mesintikus.wordpress.com

7. nabihbawazir.com

8. rbaryans.wordpress.com

9. id.wikipedia.org/wiki/Logaritma

10. www.slideshare.net/ramvina/logaritma

11. Marzita Puteh.2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti

Pendidikan Sultan Idris.

12. Marzita Puteh.2002. Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall

13. Marzita Puteh.2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.

14. McGregor, C.1994. Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing,

Chichester