Latihan 2.4

1. Misalkan

Tunjukkan bahwa himpunan memiliki batas bawah dan tidak memiliki batas

atas. Tunjukkan inf

Bukti:

Perhatikan bahwa

Ambil sebarang

Adt: i) memiliki batas bawah

ii)

iii) tidak memiliki batas atas

i) berlaku , artinya 0 merupakan batas bawah dari

ii) Jika v batas bawah dari v maka

Jika maka v bukan batas bawah dari

Karena sesuai sifat ,

Jadi, 0 merupakan batas bawah terbesar

Sehingga .

iii) adt tidak memiliki batas atas

Secara kontradiksi, misalkan memiliki batas atas maka ambil sebarang

batas atas

Karena sifat , maka .

Berarti batas atas kontradiksi.

Jadi, tidak memiliki batas atas.

2. Misalkan

Apakah memiliki batas bawah? Apakah ada? Buktikan!

Bukti

Perhatikan bahwa

i) dan berlaku , artinya 0 merupakan batas bawah dari

ii) Jika v batas bawah lain dari maka

Jadi, tidak ada.

iii) adt tidak memiliki batas atas

Secara kontradiksi, misalkan memiliki batas atas, maka

ambil sebarang

Karena sifat , maka , dimana

Berarti batas atas

Jadi, tidak memiliki batas atas.

iv) Karena tidak memiliki batas atas

artinya tidak terbatas atas maka

tidak memiliki supremum

3. Misalkan

Tunjukkan bahwa dan

Bukti

Perhatikan bahwa

Adt: a) dengan menunjukkan

i) 1 batas atas

ii) 1 batas atas terkecil

b) dengan menunjukkan

i) 0 adalah batas bawah

ii) 0 adalah batas bawah terbesar

a) adb

i) adt 1 adalah batas atas

Perhatikan bahwa

, berlaku

Jadi, 1 adalah batas atas

ii) adt 1 adalah batas atas terkecil

ambil sebarang atau

Jadi, 1 adalah batas atas terkecil

Dari i) dan ii) terbukti

b) adb

i) adt 0 adalah batas bawah

Perhatikan bahwa

, berlaku

Jadi, 0 adalah batas bawah

ii) adt 0 adalah batas bawah terbesar

misal w batas bawah lain

ambil sebarang

Jadi,

Berdasarkan teorema 2.19 maka

Dari i) dan ii) terbukti

4. Misalkan

Cari dan

Jawab : Perhatikan bahwa

1. dan n ganjil

maka

Jadi dimana n ganjil berlaku

2. dan n genap

maka

Jadi dimana n ganjil berlaku

Dari 1) dan 2) diperoleh:

dan

5. Misal , dan S terbatas bawah

Buktikan bahwa

Bukti

, dan S terbatas bawah

Misalkan maka

1.

2. bila b batas bawah lain dari S maka

Perhatikan kembali 1) dan 2) jika kedua ruas dikali (-1) maka diperoleh

1. ,

berarti –s batas atas terkecil dari -S

2. ,

berarti –s batas atas terkecil dari –S

Dari 1) dan 2), maka menurut defenisi supremum

Sehingga

6. Jika dan mengandung satu batas atas

Buktikan bahwa batas atas ini adalah supremum dari S

Bukti :

Misalkan

Adt:

Perhatikan bahwa

1).

2). Jika v batas atas lain dari S maka

Dari 1) dan 2) terbukti

9. Tunjukkan bahwa

a) Jika dan A, B terbatas maka

b)

Bukti :

a) ambil sebarang dan

Jika

A terbatas dan B terbatas

Maka berarti atau

Sehingga terbatas

b) misal , dan

adt:

Perhatikan bahwa

i)

berarti

ii)

berarti

iii)

berarti

Perhatikan kembali iii)

Artinya

1) w adalah batas atas

sehingga: a)

b)

2) Jika z batas atas lain dari

maka

a)

b)

Dari 2a) dan 2b) diperoleh

Perhatikan kembali

artinya

Dari i), ii), iii) terbukti

11. Misalkan dan

Jika . Tunjukkan bahwa

Bukti :

Misalkan dan , dan

adt

Pernhatikan bahwa

i)

artinya

ii)

artinya

Perhatikan kembali ii)

artinya

1) w adalah batas atas

sehingga

2) Jika z batas atas lain

maka

sehingga

dengan demikian

Dari i) dan ii) terbukti

15. Tuliskan secara lengkap bukti dari Lemma 2.3.3

Pemyelesaian :

Lemma 2.3.3

, u supremum dari S jika dan hanya jika memenuhi kondisi:

1) berlaku

2) Jika , maka

Bukti

Berdasarkan defenisi 2.3.3, u supremum dari S jika

1) u merupakan batas atas dari S ( defenisi 2.3.1)

2) Jika v batas atas lain dari S maka

Defenisi 2) ekuivalen dengan

Jika , maka

Bukti

Jika

1) berlaku ,

artinya S terbatas atas dengan u merupakan batas atasnya.

2) Jika , maka

Pernyataan ini ekuivalen dengan

Jika v batas atas lain dari S, maka

Dari 1) dan 2) dapat disimpulkan bahwa u merupakan supremum dari S dan

.

Latihan 2.5

1. Tunjukkan bahwa

Bukti :

Ambil sebarang

Adb : dengan menunjukkan

i) 1 adalah batas atas dari

ii) 1 adalah batas atas terkecil dari

i) adt 1 adalah batas atas dari

perhatiakn bahwa

Artinya 1 adalah batas atas dari

ii) adt 1 adalah batas atas terkecil dari

jika w adalah batas atas dari maka

ambil sebarang

menurut sifat archimedian

atau

sehingga

jadi

2. Jika

Cari dan

Penyelesaian

a. ambil sebarang

b. adt dan

c. perhatikan bahwa

misalkan

Maka

Maka

Karena sehingga

atau

Jadi

Maka

Karena sehingga

Jadi

3. Misalkan , Buktikan bahwa memenuhi

Sifat : i) berlaku dimana bukan batas atas dari

ii) berlaku dimana merupakan batas atas dari

maka

Bukti :

i) ambil sebarang karena sifat dari maka

berarti merupakan batas bawah dari dan bukan merupakan batas atas

dari .

ii) ambil sebarang karena sifat dari maka

Berarti merupakan batas atas dari

dari ii) jika batas atas lain dari maka

jadi

4. Misalkan , dan terbatas

a. misal dan

buktikan bahwa

b. misal dan

buktikan bahwa

Penyelesaian

a. Karena terbatas, maka mempunyai nilai Supremum dan Infrimum

Misal dan

Adb : dan

Dengan menunjukkan

i) batas bawah

ii) batas bawah terbesar

iii) batas atas

iv) batas atas terkecil

Karena maka ,

Sehingga ,

Dengan demikian terbukti batas bawah terbesar

Jika batas bawah lain dari maka

,

,

Merupakan batas bawah dari maka

Dengan demikian

Sehingga

Karena maka ,

Sehingga ,

Dengan demikian merupakan batas atas dari

Jika batas atas lain maka

,

,

Merupakan batas atas maka

Dengan demikian

Sehingga

b. , dan terbatas

Dan

Karena terbatas maka mempunyai nilai supremum dan infrimum

Misal dan

Adb : dan

Dengan menunjukkan

i) batas bawah

ii) batas bawah terbesar

iii) batas atas

iv) batas atas terkecil

karena maka ,

sehingga ,

dengan demikian merupakan batas atas

jika batas atas lain dari maka

adalah batas atas sehingga

dengan demikian

karena maka ,

sehingga , ,

dengan demikian merupakam batas bawah

jka batas bawah lain dari maka

batas bawah lain dari

sehingga

dengan demikian

jadi

6. misalkan , dan terbatas

misalkan

buktikan bahwa

bukti

a. misalkan

adt

dengan menunjukkan

i) batas atas

ii) batas atas terkecil dari

perhatikan bahwa

maka

maka

Sehingga

,

berarti merupakan batas atas dari

untuk menunjukkan merupakan batas atas

terkecil dari maka

ambil sebarang

berdasarkan sifat archimedian dan

dan

Jadi

dengan demikian merupakan batas atas terkecil

jadi

b. perhatiakn bahwa

Sehingga