Soal-soal GeoAanalitikRuang

  • View
    299

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

xx

Text of Soal-soal GeoAanalitikRuang

(Dengan Pendekatan Vektor)

Oleh: Murdanu, M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2004

SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011

1. Diberikan titik A(4,3,2) dan B( 2,3,2). Carilah persamaan vektor suatu garis yang: (a) melalui O dan A; (b) melalui B dan sejajar dengan OA ; (c) melalui A dan sejajar dengan OB ; (d) melalui A dan B. 2. Diberikan titik A(0,1,2), B(3,0,0), C( 1, 2, 1): (a) Carilah persamaan vektor garis-garis yang memuat sisi-sisi ABC; (b) Carilah persamaan vektor garis yang melalui A dan sejajar dengan BC ; (c) Carilah persamaan vektor garis yang melalui B dan sejajar dengan CA ; (d) Carilah persamaan vektor garis yang melalui C dan sejajar dengan AB . 3. Diberikan titik-titik A( 1,0,0), B(5, 1,9), dan C(9, 5,15) dan garis g dengan persamaan:g x y z 3 2 6 2 1 3

. Selidikilah: apakah A, B, C

g?

4. Gambar berikut merupakan visualisasi dari sebuah limas beraturan T.ABCD. AB = OT = 4 sp.z T

D O C y B

A

x

(a) Jika P merupakan titik tengah TB , carilah persamaan vektor garis OP ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang memuat TD ! (c) Kemukakan pendapatmu tentang OP dan TD ! (d) Jika Q, R, dan S berturut-turut titik-titik tengah dari AB , AD , dan DT , carilah persamaan vektor dari PQ dan RS ! (e) Kemukakan pendapatmu tentangPQ dan RS

5. Carilah persamaan vektor dari bidang-bidang yang melalui titik-titik: (a) O(0,0,0), A(2, 3,4), B( 5, 2,1); (b) D(3,0,0), E(0,2,0), F(0,05); (c) G(0,0,4), H(1, 2,4), I(3,1,4). Apakah keistimewaan bidang-GHT ? 6. Carilah persamaan vektor dari bidang yang melalui A(3, 4,2), dan memuat vektor-vektor:a 2 3 1 dan b 1 2 . 0x y z x y z 0 2 3 2 1 3 1 2 1

7. Carilah persamaan vektor dari bidang yang: (a) melalui garis-garis gx y z 4 1 2 1 2 1

dan2 5 1

h

; (b) melalui titik (3, 2,1) dan memuat garis k

.

Written by Mur&u, halaman 1

SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/20118. Lukiskan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran rusuk 4 sp., sedemikian, sehingga D=O (pusat sistem koordinat siku-siku), sumbu-x memuat DA , sumbu-y memuat DC , dan sumbu-z memuat DH . Carilah persamaan vektor dari: (a) bidang-sisi- ABFE dan bidang-sisi-EFGH; (b) bidang-diagonal-ABGH dan bidang-diagonal-ACGE; (c) bidang-AFH dan bidang BEG. 9. Selidikilah! Apakah titik-titik A(4, 2, 2) dan B( 7,4,4) terletak pada bidang:x y z 0 0 1 1 1 0 2 2 0

?

10. Selidikilah! Apakah titik-titik A( 1,3, 1), B(0,0, 2), C(2,0,1), dan D(5, 3,5) terletak pada satu bidang? 11. Selidikilah! Apakah garis-garis: gx y z 2 0 0 1 2 1

x y z

0 0 3

2 0 4x y z 2 1 1

,h2 1 0

x y z

0 4 01 2 0

5 2 22 0 1

,

k

, sejajar dengan bidang

?

12. Tunjukkanlah bahwa garis gx y z 0 1 3 1 0 2

x y z

2 1 7

terletak pada bidang

!

13. Selidikilah! Apakah garis-garis mx y z 0 2 1 3 1 2

x y z 0 1 4

6 2 3

dan n

x y z

0 2 0

3 0 2

menembus

bidang

? Apabila kedua garis tersebut menembus bidang

tersebut, carilah koordinat-koordinat titik tembusnya! 14. Carilah koordinat-koordinat titik tembus sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z dengan bidangx y z 2 6 0 2 0 5 2 3 0

!

15. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB , BC , GH , EH . Ukuran rusuk kubus tersebut 2a sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Carilah persamaan vektor dari bidang- yang melalui P, Q, R, dan S; (b) Carilah koordinat-koordinat titik potong bidangTunjukkanlah bahwa KG bidang- . dengan AE dan CG . (c) KAE BE .

Written by Mur&u, halaman 2

SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201116. Vektor-vektor ac1 c2 c3

a1 a2 a3dan d

dan b

b1 b2 b3

adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- , dan vektor-

vektor c

d1 d2 d3

adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- . Rumuskanlah ciri

kesejajaran antara bidang- dan bidang- dengan menggunakan determinan. 17. Selidikilah! Apakah pasangan-pasangan bidang berikut sejajar ataukah berpotongan: (a)x y z x y z x y z 8 5 0 2 3 1 4 3 5 1 0 1 4 0 1 2 2 0 2 1 0 2 3 0 dan x y z x y z x y z 4 2 3 4 5 1 0 7 5 0 1 1 0 1 2 0 6 1 2 5 3 3 2 1

;2 3 2

(b)

dan

;

(c)

dan

.

18. Tunjukkanlah bahwa bidang-bidang berikut berimpit:x y z 1 1 0 2 3 0 1 0 2 dan x y z 0 4 2 1 3 2 0 3 4

!

19. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. . Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB , EH , AD , BC . Tunjukkanlah bahwa: (a) BH bidang PDE ; (b) PQ bidangRSH ; (c) bidang-DGQ bidang-ASF.

20. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang-bidangx y z 0 2 0 1 0 2 1 2 0 dan x y z 1 0 0 0 1 2

!

21. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakang perpotongan antara bidangx y z 3 6 0 3 2 0 1 2 1

dengan bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ.

22. Diberikan titik-titik A(3,0,1), B(5,1,1), dan C(4, 1, 1). (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A, B, dan C; (b) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui titik P(5,2,0) dan sejajar dengan bidang- ; (c) Carilah persamaan vektor garis-garis yang merupakan perpotongan antara bidang-XOZ dan bidang- , bidang-XOZ dan bidang- ; (d) Tunjukkan kedua garis tersebut saling sejajar.

Written by Mur&u, halaman 3

SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201123. Diketahui bidang- melalui garis-garis: gx y z 0 0 4 0 1 0 dan h x y z 8 0 0 0 1 0

, dan

bidang- melalui titik-titik O(0,0,0), A(6,0,3), dan B(0,3,2). Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang- ! 24. Bidang- memuat garis kx y z 0 2 1 1 0 2

dan garis-garis yang sejejar dengan sumbu-z.

Carilah persamaan vektor bidang- dan persamaan vektor garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang XOY. 25. Hitunglah cosinus dari sudut antara pasangan-pasangan garis berikut: (a) gx y z 0 3 2 0 2 2 3 dan h x y z 1 0 2 3 4 0

;

(b) m

x y z

0 0 1

4 2 1

dan n

x y z

2 1 3

3 5 2

.

26. Garis k melalui titik-titik A( 5,8,5) dan B(5, 7,0); garis j melalui titik-titik C( 9, 7,0) dan D(6,2,3). (a) Apakah kedua garis tersebut berpotongan? (b) Apabila kedua garis tersebut: (1) Tentukanlah m (j,k); (2) Carilah koordinat dari E = j k. 27. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 2 sp. P adalah titik tengah AB dan Q BG CF . Pilihlah sebuah sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Hitunglah cosinus dari: (1) m ( DF , DP ) ; (2) m ( DF , DG ) ; (3) m ( DF , EC ) ; (b) Buktikan bahwa DF menyilang tegaklurus, masing-masing dengan BE , BG , EG . 28. Carilah persamaan vektor garis-garis yang melalui titik (3,2,0), sejajar dengan bidang-XOZ, dan membentuk sudut berukuran1 4

dengan garis k

x y z

1 2 0x y z

2 2 1

.

29. Diketahui sebuah garis g

x y z

0 0 4

2 3 1

dan bidang

2 1 0

1 0 2

1 1 1

.

(a) Selidikilah! Apakah g bidang- ?; (b) Bidangsumbu-z = A, A h, dan h persamaan vektor dari garis h!; (c) Jelaskan hubungan antara g dan h ! 30. Diketahui bidangx y z 0 2 5

bidang- . Carilah

bidang- dan garis g. Buktikanlah: g2 3 4

g

.

31. Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A(3,1,0) dan tegaklurus dengan garisk

dan tentukan koordinat dari B = bidang-

k.

Written by Mur&u, halaman 4

SOAL SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/201132. (a) Carilah persamaan vektor garis m yang melalui titik B(0,3,7) dan memotong tegaklurus garisn x y z 0 3 2 1 1 2

; n;

(b) Tentukanlah koordinat S = m (c) Tentukan m BS ! (a) AGbidang BDE ;

33. Buktikanlah, bahwa dalam kubus ABCD.EFGH: (b) AGbidang CFH .

34. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah EF . Pilih D berimpit dengan pusat sistem koordinat siku-siku. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui P dan tegaklurus dengan DF ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang BCGF. 35. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas 4 sp., dan ukuran garis tingginya m OT 4 sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku dengan OT berimpit dengan sumbu-z. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui D dan tegaklurus dengan TB ! ; (b) Tentukan koordinat titik potong bidang- dengan TB !; (c) Carilah persamaan vektor garis-potong antara bidang- dan bidang-ABT ! 36. Tentukanlah ukuran sudut antara garis g dan bidang- yang memiliki persamaan-persamaan vektor berikut: (a) gx y z x y z x y z 1 1 2 0 1 0 8 5 7 dan x y z 1 1 2 1 1 2 dan 3 8 5 x y z x y z 4 0 3 1 1 1 3 10 8 2 3 0 0 2 1 2 1 1

;

(b) g

;1 1 2

(c) g

dan

.

37. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah FG dan Q AH DE . (a) Tentukan m ( DF , bidang (b) Tentukan m ( BQ , bidangBDG ) ; ACGE ) .

38. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD, dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. O AC BD dan P adalah titik tengah CT . (a) Tentukanlah m ( BP , bidang BDT ) ; (b) Tentukanlah m ( BT , bidangBDP ) .

39. Hitunglah cos m ( , ) yang persama